Текст книги "Волшебный двурог"

Автор книги: Сергей Бобров

сообщить о нарушении

Текущая страница: 22 (всего у книги 31 страниц)

0	-	1
1	3	4
2	5	9
3	7	16
4	9	25
5	11	36
6	13	49
7	15	64
8	17	81
9	19	100
10	21	121
11	23	144

– Так вот, оказывается, как! – воскликнул Илюша.

– Допустим, – продолжал Радикс, – что нам дано уравнение, которое показывает, какой скоростью обладает в каждый данный момент движущееся тело. Если мы сумеем сложить одну за другой все эти данные кривой моментальные скорости и получить их так называемую «начетную» кривую, то она и будет кривой пройденного пути. Могу тебе это показать на простеньком примере. Это не будет ни дифференцирование, ни интегрирование, но нечто очень похожее на то и на другое. Пусть некоторое тело движется с постоянным ускорением, равным двум сантиметрам в секунду, и пусть его средняя скорость в первую секунду равняется трем сантиметрам, а до этой секунды оно уже прошло один сантиметр. Требуется найти кривую пройденного пути. В таком случае нетрудно составить табличку. Кривая пройденного пути есть начет

– 342 —

ная кривая, то есть каждое число ее равно сумме всех предыдущих чисел кривой скорости, и, как легко заметить, она есть не что иное, как кривая квадратов натуральных чисел, то есть…

– Парабола! – ответил Илюша.

– Правильно! А наша кривая скоростей – это что, по-твоему?

– Это кривая нечетных чисел, то есть прямая.

– Верно!

– Я уже знаю, – продолжал Илюша, – что если складывать нечетные числа одно за другим, то получатся квадраты.

– Это правило было известно еще в древнем Вавилоне. Опираясь на него, Галилей и открыл, что падающие тела движутся по параболе.

– А если интегрировать линейную функцию, которая дает прямую, то получишь на чертеже параболу, – добавил Илюша.

– Вот и еще одно свойство параболы.

– И обратно, если искать производную от правой части уравнения, то получишь функцию, изображаемую на графике прямой линией. А что получится, если интегрировать уравнение параболы?

– Параболу третьего порядка, кубическую, и так далее. Но мы не будем останавливаться на этом, а поговорим об открытии Ньютона. Причем принцип, о котором мы говорим, был известен еще учителю Ньютона, замечательному английскому математику Барроу, однако значение этого принципа не было еще тогда ясно. Это было одно из самых удивительных открытий в математике. Но, мало этого, в дальнейшем выяснились еще более поразительные вещи. Оказалось, что в большинстве случаев закон изменения для бесконечно малых частиц кривой вообще гораздо проще, чем для конечных изменений! Кривая скоростей, как мы только что видели, проще кривой пройденного пути. В физике мы, изучая плотность неоднородного тела, из тех же соображений можем принимать, что в некотором неограниченном уменьшающемся кубике плотность эта остается постоянной. То же самое возможно при изучении распределения тепловой или электрической энергии, количества истекшей из сосуда жидкости и так далее. Если, например, надо вычислить длину дуги кривой, то рассматривают бесконечно малые отрезки дуги. А для бесконечно малых отрезков дуги можно считать, что на таком ничтожно малом отрезке кривая идет по прямой. А если так, то на бесконечно малом отрезке кривой строим прямоугольный треугольник, катетами которого будут бесконечно малые приращения икса и игрека, а гипотенузой – крохотный отрезок прямой, которым в бесконечно малом заменяют отрезочек

– 343 —

дуги. Но гипотенузу прямоугольного треугольника можно получить по теореме Пифагора, а дальше надо только сложить все эти бесконечно малые гипотенузочки, и получится в пределе точная длина кривой. Опыт показывает, что это путь правильный! Так как с первого взгляда все-таки довольно трудно понять, как это возможно, заменяя маленькую дугу отрезком прямой, прийти к правильным результатам, я приведу тебе одно очень полезное рассуждение Ньютона, которое называют микроскопом Ньютона. Допустим, что когда мы начертим все это, то катет АС равен двадцати пяти сантиметрам.

Теперь я уменьшаю величину АС в миллион раз. Уменьшение это касается только самого треугольничка, то есть его катетов и гипотенузы, а дуга как была, так и остается.

При вычислении длины кривой дуга ADB заменяется прямой АВ, которую легко определить:

AB = √[(AC)² + (BC)²]

Если уменьшать катеты треугольника ABC и считать их бесконечно малыми, то можно вычислить длину кривой, которая будет равна пределу суммы таких бесконечно малых гипотенуз.

Очевидно, что при этом точка В будет просто скользить по измеряемой дуге. Итак, я уменьшил треугольник. А теперь я опять его увеличиваю на этот раз вместе с участком дуги снова в миллион раз, и он снова равен двадцати пяти сантиметрам. Но зато сама дуга, а ведь она-то нас больше всего интересует, теперь уже гораздо больше похожа на гипотенузу. Их еле можно отличить друг от друга. И снова я уменьшаю полученный треугольник, но на этот раз в миллион миллионов раз, а затем опять увеличиваю так, чтобы катет АС был равен двадцати пяти сантиметрам. Теперь уже ясно видно, что дуга и гипотенуза слились воедино и отличить их друг от друга невозможно. Так как ясно, что этот процесс уменьшения и рассматривания в новый, еще более сильный «микроскоп» я могу повторять столько раз, сколько мне заблагорассудится, то очевидно, что мы, уменьшая размеры приращений, можем приблизиться с нашим отрезком прямой сколь угодно близко к искомой длине дуги… Теперь начинается самое значительное и самое интересное. Слушай внимательно! Если ты

– 344 —

изучаешь некий физический закон и не можешь его из-за сложности формулировать…

В это время сзади Илюши раздалось робкое, однако настойчивое покашливание. Мальчик обернулся и увидел маленького старичка с бородой, в темных очках. Он вежливо приподнял шляпу и сказал:

– Надеюсь, что не помешал… Очень хотел бы… Меня зовут Зазубрилкин Фиолет Чернилыч. Я хотел поделиться с вами одним моим открытием. Очень упрощает прохождение курса алгебры и геометрии… Разрешите изложить?

– Пожалуйста, – ответил Илюша.

– Открытие мое, конечно, пустяковое, – произнес Фиолет Чернилыч. – Мне удалось показать, что сторона квадрата совершенно рационально выражается через его диагональ, и обратно.

– Как так? – удивился Илюша.

– Я, видите ли, сам сперва удивлялся, как это выходит, по потом убедился, что так и есть. Тут дело только в том, чтобы рассудить насчет бесконечности. Конечно, это штука довольно хитрая, но ведь все-таки длину окружности кое-как, на троечку, вычисляем, сумму уплывающей гомерической процессии тоже…

Илюша, не веря углам своим, хотел было переспросить, о какой собственно процессии идет речь. Но тут уж Фиолет Чернилыч достал из кармана мел, нарисовал квадрат, затем провел диагональ и приосанился (и в этот миг вдруг напомнил Илюше одного странного старичка, с которым он встретился в Схолии Шестой).

– Так вот-с, – начал он излагать свою теорию, – вместо того, чтобы идти от А к С по диагонали, я пойду от А к В, а от В к С. Затем от А к В₁, затем к В₂, потом к В₃, а оттуда к С. Ясно, что второй мой путь равен первому, то есть движению от А к В и затем к С. Если сторона квадрата равна единице, то этот путь равен двум. Ясно! Теперь я пойду от А к С через точки B′₁, B'₂, B'₃, B₂, B'₄, B'₅ и B'₆.

Затем я совершу этот же путь от А к С через точки новой ступенчатой кривой, ступени которой еще вдвое меньше. Каждый раз я буду удваивать число ступенек. Наконец я увеличу число

– 345 —

ступенек до бесконечности. Очевидно, что сколько бы раз я ни увеличивал число ступеней, их сумма равна двум. А с другой стороны, эта ступенчатая кривая неограниченно близко пододвигается к диагонали. В конце концов диагональ и ступенчатая кривая сольются, когда величина каждой ступеньки станет бесконечно малой. Отсюда ясно, что длина диагонали равняется двум, а вовсе не корню из двух. Вот и все! Вот я и хотел вас спросить… как же это?..

И вдруг Фиолет Чернилыч дернул себя за свою густейшую бородищу. К удивлению Илюши, борода медленно поползла вниз, за ней усы, багровый нос, очки и шляпа.

Перед Илюшей, гордо скрестив руки на груди, стоял не кто иной, как Уникурсал Уникурсалыч. И он снова спросил:

– Ну, что ты скажешь, о многомудрый отрок? Как насчет бесконечноватых процессов, отменяющих иррациональные числа, о синус души моей? А?

Вслед за этим Командор Ордена Семи Мостов церемонно раскланялся и расплылся в воздухе. Илюша беспомощно посмотрел на Радикса.

– Как же это так? – спросил он у своего друга жалобным голосом. – Ведь если вычислять, как он шел, например, во второй раз, то есть через точки А, В₁, В₂, В₃ и С, то будет два треугольника. Стороны их каждая равна половине, а диагональ будет равна:

Если я обе эти диагонали сложу, то получу:

то есть все будет как надо. И, по-моему, сколько ни удваивай число ступенек, все равно так и останется. Но, с другой стороны, ведь действительно, если стороны треугольничков станут бесконечно малыми, то тогда их нельзя будет отличить от их гипотенуз и выйдет, что Уникурсал Уникурсалыч прав. В чем же здесь дело? Мне кажется, что на сколько бы частей я ни делил величину, равную корню из двух, она от этого увеличиться не может. А выходит неведомо что!

– Н-да, – сказал Радикс усмехаясь. – А не поможет ли тебе в беде этот самый «микроскоп Ньютона»? Ну-ка, попробуй!..

И действительно, как только Илюша вспомнил о микроскопе Ньютона, он тут же сообразил, что как ни уменьшай и как ни увеличивай чертеж Фиолета Чернилыча, ничего

– 346 —

ни в нем, ни в открытии Пифагора измениться не может.

Илюше даже пришло в голову, что если приложить принцип Фиолета Чернилыча к измерению дуги (о чем они только что толковали с Радиксом), то придется брать не гипотенузу прямоугольного треугольника, а просто сумму катетов, что вряд ли приведет к какому бы то ни было разумному результату…

Когда он все это изложил Радиксу, тот с ним согласился, и на том обсуждение новой выдумки Доктора Четных и Нечетных и было благополучно закончено.

– Итак, вернемся! – сказал Радикс. – Допусти, как я уже тебе говорил, что ты изучаешь некоторый важный физический процесс или закон и из-за его сложности не можешь формулировать его математически. Так вот, представь себе, что нередко в таком случае ты имеешь полную возможность формулировать, как этот процесс протекает в бесконечно малом.

– В бесконечно малом? Это я что-то не понимаю!

– Возьмем пример, – отвечал Радикс. – Ньютон искал закон остывания нагретого тела. Закон этот очень важен для многих отделов науки. В частности, очень важно и для металлургов знать, с какой скоростью остывает расплавленный металл. Ньютон наблюдал это явление, делал опыты, даже сконструировал для этого первый в мире термометр – он был масляный. Ньютон видел, что температура нагретого тела падает непропорционально времени, что если нарисовать на чертеже кривую температуры остывающего тела, то получается довольно сложная кривая, уравнения которой он не знал. Тогда он решил исследовать, что происходит при небольших изменениях температуры. Другими словами, он рассматривал в свой «микроскоп» малые участки кривой, почти не отличимые от касательной. А тангенс угла наклона касательной как раз и выражает, как ты помнишь, скорость изменения ординаты в данной точке. Таким образом, Ньютон стал исследовать, с какой скоростью происходят изменения температуры в различные моменты времени. Если нанести эти значения скорости в качестве ординат на график, то получится кривая проще кривой изменения температуры. Это обстоятельство и позволило Ньютону высказать по поводу кривой скорости остывания разумную гипотезу. Ты, наверно, и сам замечал, что стакан чаю недолго бывает таким горячим, что пить нельзя, но зато теплым остается долго.

– Это верно! – сказал Илюша.

– Так вот, Ньютон, заметив все это, высказал гипотезу, что скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности между его собственной температурой и температурой окружающей среды. Другими словами, пока тело нагрето значительно выше окружающей среды, оно стынет быстро, а когда

– 347 —

разница между его температурой и температурой окружающей среды невелика, то и скорость остывания становится малой. Когда он пришел к такому заключению, то записал эту гипотезу математически. И тогда у него получилось уравнение, в которое входила скорость изменения пока еще не известной ему кривой. Теперь следовало перейти от бесконечно малых изменений ординаты кривой к конечным изменениям. Это можно сделать с помощью того же метода интегрирования, о котором мы говорили. В результате получаем искомую кривую, то есть находим и формулируем еще один закон природы. Эти удивительные уравнения, которые сделали человека почти всемогущим, называются дифференциальными уравнениями. Вот теперь ты знаешь кое-что о том, какие поразительные чудеса может делать Величайший Змий, чье имя Интеграл. Он строит мосты и крепости, он делает самолеты и пушки, он учит, как строить динамо-машину, турбину и плотину, как построить паровоз и пароход, как сделать рентгеновский прибор, рассказывает, как построены кости нашего тела, как устроена Вселенная и что такое электрон, и так далее, и так далее! Вот во что превратились теперь труды Ньютона. А знаешь ли ты, кстати, кто вычислил, с какой быстротой должно пустить ракету, чтобы она вылетела за пределы земного притяжения? Так вот, имей в виду, что сделал это не кто иной, как Ньютон, так что Циолковский и мы с тобой его прямые наследники!

– Мне кажется, – сказал, немного помолчав, Илюша, – что я чуть-чуть разобрался в том, что ты мне рассказывал об интегрировании. Но не можешь ли ты дать какой-нибудь пример того, как это все делается на практике?

– Отчего же! – сказал Радикс. – Это не так трудно, если только у тебя хватит терпения сперва прослушать маленький рассказ насчет очень полезного предмета, который, к сожалению, слишком редко вспоминают при математических объяснениях, то есть насчет шахматной доски, или, как говорили в старину, шашечницы.

– С удовольствием, – сказал Илюша. – Я люблю играть в шахматы. Мы очень часто играем с папой, и когда он мне дает ладью вперед, так я даже и выигрываю.

– Видишь ли, – начал Радикс, – при помощи шашечницы очень удобно производить некоторые суммирования. Но только мы не будем обязательно устанавливать, сколько у нас полей на шашечнице, ибо для наших целей необязательно, чтобы их было шестьдесят четыре. Будем считать, что доска имеет n вертикальных и горизонтальных полос, а следовательно, n² меток. Установим сперва два способа сложения чисел, которые мы будем писать в клетках доски. Первый способ будем

– 348 —

называть сложением «по прямым». При этом способе мы будем складывать сперва все числа данной полосы (ну, например, если бы сложили все восемь чисел, написанных на седьмой полосе, если считать снизу), а затем сложим и все их суммы. Второй способ мы будем называть сложением «по гномонам». В этом случае мы будем поступать так: первым слагаемым будет одно число из верхней левой клетки (шахматисты называют эту клетку «а8»), вторым – сумма чисел в клетках вертикальной полосы «b» и горизонтальной полосы седьмой вплоть до их пересечения (клетка b7) и включая оное (то есть клетки b8, b7 и а7). Всего во втором слагаемом будет, значит, три клетки. Третье слагаемое состоит из пяти чисел, находящихся в клетках вертикальной полосы «с» и в клетках горизонтальной полосы шестой до их пересечения (клетка с6) и опять-таки включая оное (то есть клетки с8, с7, с6, b6 и а6).

Все остальные слагаемые составляются по тому же принципу (затем, очевидно, пойдет гномон с клеткой пересечения «d5», затем «е4» итак далее). Теперь приступим к самому счету. Начну с того, что напишу в каждой клетке по единице. Если их считать «по прямым», то в каждой полосе будет n. А полос во всей доске тоже n. Ясно, что на всей доске получится n². Но теперь попробуем считать «по гномонам». Получим:

1; 2 + 1; 3 + 2; …; n + (n-1).

Сумма всех этих чисел будет, очевидно,

1 + 3 + 5 + … + 2n – 1.

Приравнивая сумму «по прямым» сумме «по гномонам», получаю:

1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n²,

то есть сумма и нечетных чисел равна n². Как будто недавно мы с тобой уже встречались с этим вавилонским равенством?

– Встречались, – отвечал Илюша.

– Прелестно! – обрадовался Радикс. -Хорошо, что ты не забыл об этом. А теперь далее. Я напишу в каждой горизонтальной полосе числа от единицы до n, то есть

1, 2, 3, 4, 5, … , n,

и ясно, что сумма их будет равна в каждой полосе

(n + 1)n / 2,

– 349 —

по правилу суммы арифметической прогрессии. Раз это так, то ясно, что сумма всех полос доски будет равна

(n + 1)n² / 2

Теперь рассмотрим, каковы будут суммы «по гномонам». Ясно, что сумма чисел энного гномона будет

n²+ (1 + 2 + 3 + … + n-1).

Эту сумму можно записать еще иначе, то есть:

n²+ n(n + 1) / 2

и окончательно:

⅔n² – (1/2)n

Теперь я буду давать в этой формуле числу и значения 1, 2, 3… и до n включительно. Суммы тогда будут равны по окончательному написанию:

3/2 · 1² – 1/2 · 1

3/2 · 2² – 1/2 · 2

3/2 · 3² – 1/2 · 3

………

………

3/2 · n² – 1/2 · n

Сложив все это столбиком, получаю для всех полос:

3/2 · S₂ – 1/2 · S

где S₂ есть сумма квадратов первых и натуральных чисел, а S – сумма их первых степеней. Приравнивая, как и ранее, сумму «по прямым» сумме «по гномонам», получаю:

3/2 · S₂ – 1/2 · S = n²(n + 1) / 2

– 350 —

а отсюда определяю, чему равняется S₂ и после ряда несложных переделок, которые, конечно, ты и сам не откажешься выполнить, получаю сумму квадратов первых и натуральных чисел, которая будет:

S₂ = (2n + 1)(n + 1)n / 6.

Советую тебе еще написать в клетках шашечницы пифагорову таблицу умножения и по ней найти, чему равна сумма кубов первых n чисел. Если же ты напишешь в клетках квадраты чисел пифагоровой таблицы, то сможешь найти и сумму пятых степеней. Однако нам пока это все, кроме суммы квадратов, не понадобится. Приступим теперь к вопросу об интегрировании. Допустим, что нам дана парабола, уравнение которой будет:

y = х²,

и нам нужно эту функцию проинтегрировать, или найти площадь, ограниченную параболой от начала координат до точки с абсциссой b, то есть площадь, ограниченную отрезком самой параболы, отрезком оси абсцисс и ординатой в точке х = b.

Для этого мы сначала делим интервал (то есть отрезок абсциссы) от нуля до b на n равных частей. Длина каждой такой части будет

h = b / n

Вся площадь теперь разбита на трапецоиды, ширина каждого из которых равна, как уже указано, b/n, а вышину мы определяем, согласно уравнению кривой, для последовательных точек параболы, как

h², 2²h², 3²h², … , n²h²,

ибо ясно, что если х равен h, то у будет равен h² и так далее.

Но если это так, то площади последовательных прямоугольников, которыми мы заменяем наши трапецоиды, будут равны

hh², h2²h², h3²h², … hn²h².

– 351 —

Видно, что сумма прямоугольников больше, нежели сумма трапецоидов, но при безграничном увеличении числа n искомая площадь будет пределом суммы прямоугольничков, то есть пределом следующего выражения:

h(h² + 2²h² + 3²h² + … + n²h²) = h³(1² + 1² + 2² + 3² + … + n²) = b³/n³(1² + 1² + 2² + 3² + … + n²)

А так как шахматная доска уже объяснила нам, что сумма первых и квадратов натурального ряда равна

(2n + 1)(n +1)n / 6

то мы, подставляя это выражение в предыдущую формулу, после некоторых несложных переделок получим:

b³/6 (1 + 1/n)(2 + 1/n)

Спрашивается: что будет с этим выражением, если число n будет неограниченно возрастать? Ясно, что дробь 1/n будет неограниченно приближаться к нулю и ею мы можем пренебречь. В таком случае предыдущее выражение в пределе обратится в

b³/3

что и является результатом нашего интегрирования. Знай, что это один из первых интегралов, полученных человеком, что человека этого звали Архимед и что он рассуждал примерно так, как и мы.

И тут Величайший Змий вырос снова перед ними. Он взглянул на Илюшу, и мальчику показалось, что это могущественное чудовище даже улыбнулось!

– 352 —

Схолия Семнадцатая,

в которой Илюша припоминает разные разности из предыдущих схолий, оставшиеся не совсем ясными, а Радикс рассказывает ему об истории надгробного камня Архимеда, погибшего от меча римского грабителя, о спирали Архимеда. Затем следует масса любопытнейших подробностей о веретенах, о шотландском сыре, о фокусах, которые придумали древнегреческие геометры, о том, как в старину индусы решали кубические уравнения, как в шестнадцатом веке бедный мальчик-заика учился на кладбище грамоте, а также почему у квадрата такая большая площадь и что по этому поводу думает касательная; о битве за высоту над городом Клермоном. А затем Илюша присутствует при волшебном опыте, который поясняет, что такое прямая линия и какие чудеса с ней случаются при ее путешествиях в мировом пространстве. Вслед за этим Илюша и Радикс видят нечто чрезвычайно странное… Но пока это еще страшный секрет, который, может быть, раскроется в будущем…

– Ну, теперь ты доволен? – спросил Радикс.

– Да, – сказал Илюша, – я узнал массу интересных вещей. Теперь я, кажется, понимаю, почему так уважают Архимеда и как велико могущество Змия. Но только у меня есть еще вопросы.

– Ну что ж! Давай твои вопросы. Может быть, как-нибудь вдвоем разберемся.

– 353 —

– Помнишь, ты где-то, кажется в Схолии Одиннадцатой, перечислял мне титулы Величайшего Змия? Так вот, я хотел тебя спросить о них. О площадях я теперь понял: путем интегрирования можно получить площадь любой криволинейной фигуры. С объемами я тоже как будто сообразил. Это, вероятно, делается путем суммирования бесконечно тонких слоев тела, как Демокрит считал объем конуса?

– Правильно. А сейчас мы можем закончить вывод формулы для объема конуса, о которой мы толковали в Схолии Пятнадцатой. Если рассечь конус плоскостью, проходящей через его ось, то получится треугольник. Из рассмотрения этого треугольника ты убедишься в том, что радиус основания цилиндрика, отстоящего на расстояние h от вершины, определится при помощи пропорции:

r/R = h/H

где R – радиус основания, а H – высота конуса. Отсюда

r = (R/H)h

и площадь основания цилиндрика будет

πr² = π(R²/H²) · h²

Теперь предположим, что мы делим высоту конуса на n частей. Тогда высота каждого цилиндрика будет H/n, а последовательные расстояния оснований цилиндриков от вершины конуса, то есть радиусы этих оснований, будут

h, 2h, 3h,… nh.

Поэтому сумма объемов этих цилиндриков равна

π(R²/H²) · H/h (h² + 2²h² + … + n²h²) = π R²/H (1² + 2² + … + n²) / n³

Как и в предыдущей схолии, ты убедишься, что предел последнего множителя при неограниченном возрастании n будет равен ⅓, и для объема конуса получается выражение:

⅓πR²H

– 354 —

Множитель ⅓ ты можешь рассматривать как лежащую на этой формуле печать Великого Змия.

– Как интересно! – сказал Илюша. – А с объемом шара можно справиться таким способом?

– Я приведу тебе только чертеж, который, по преданию, Архимед завещал вырезать на своем надгробном памятнике.

Здесь ты видишь цилиндр, вписанный в него шар радиуса R и конус. Разбей все три тела на тонкие «цилиндрические» слои и легко установишь, что на расстоянии h от центра шара площадь поперечного сечения самого шара равна:

π (R² – h²) = πR² – πh²

то есть разности площадей поперечных сечений цилиндра и конуса. Суммируя объемы всех тонких цилиндрических пластинок и переходя к пределу, как мы это делали для конуса, находим, что и объем шара тоже будет равен разности объемов цилиндра и конуса. Этот закон и был открыт Архимедом. Таким путем можно найти не только объем всего шара, но и объем любого шарового слоя. В формулы войдет опять множитель ⅓, печать Великого Змия, свидетельствующая о том, что здесь приходилось интегрировать функцию, содержащую квадрат переменной (в данном случае – квадрат высоты h).

– Очень хорошо! – отвечал мальчик. – А теперь вот еще что. Ты назвал Великого Змия развертывателем спиралей. Что это значит?

– Это значит, что путем интегрирования можно получить длину дуги любой кривой, например параболы, окружности и так далее. В частности, и длину спирали. Мы ведь уже говорили, как находится длина дуги.

– Но я должен сознаться, – вздохнув, сказал Илюша, – что до сих пор не пойму, как при помощи этой спирали получается длина окружности, то есть почти квадратура круга?

– Конечно, история эта необычная, – отвечал Радикс. – Из-за нее в средние века долго ломали голову над вопросом квадратуры круга и ни к какому разумному заключению не пришли. Совсем запутались. Начали даже поговаривать, что геометрия – наука, может быть, не слишком точная… Все

– 355 —

это довольно сложно. Могу рассказать лишь о самом принципе этой работы Архимеда. Дело было так. До Византии еще дошла биография Архимеда, написанная его учеником Гераклидом. Затем она была утрачена. Но ее еще читал и изучал византийский математик Евтокий, оставивший очень ценные комментарии к сочинениям Архимеда. По словам Евтокия, Архимед дал два решения о квадратуре, причем одно из них было приближенным…

– Двадцать две седьмых! – воскликнул Илья.

– Правильно! – отвечал Радикс. – А другое решение Архимеда было точным!

– А разве это возможно?

– Слушай меня как только можешь внимательно! Я расскажу тебе, в чем заключается принцип этой работы Архимеда. А уж потом мы постараемся рассудить, что возможно и что невозможно. Здесь вся сила в том, что Архимед, построив свою спираль, ввел в античную математику еще одну, как говорили греки, «механическую» замечательную кривую, то есть такую, свойства которой не могут быть изложены средствами, близкими к элементарной геометрии (в отличие, например, от многих, хотя и не всех свойств конических сечений). Такова и квадратриса, о которой мы уже говорили (эти кривые называются «трансцендентными» кривыми). В силу этого сочинение Архимеда о спиралях и критиковалось в древности! И даже очень жестоко! Только уж в семнадцатом веке в Европе эта дивная работа Архимеда наконец была оценена по своему превосходному достоинству. Нужны были новые основания, новый подход к пониманию для такой кривой, и гений Архимеда нашел их. Эти новые основания и были дифференциальным подходом к изучению кривой, то есть тонким изучением скорости изменения некоторых связанных с ней отрезков. И делается это опять-таки через ту же касательную. Этот метод восходит к методу исчерпания Евдокса, но еще сильнее его. Он просто берет, как говорится, быка за рога. Слушай далее, и ты поймешь, в чем тут дело. Итак, самым главным в работе Архимеда была задача провести касательную к этой новой своеобразной кривой, которую он назвал спиралью. Она, как и квадратриса, построена с помощью двух движений. Первое – это вращение радиуса-вектора (именно так называется тот отрезок прямой, о котором мы уже вспоминали в Схолии Пятнадцатой; его конец чертит нашу спираль), второе – рост этого радиуса-вектора пропорционально углу, на который повернулся вектор. Длина радиуса-вектора и угол его поворота называются полярными координатами точки, являющейся концом радиуса-вектора. Догадываешься, почему эти величины можно называть координатами?

– 356 —

– Кажется, догадываюсь… Я думаю, что с помощью радиуса-вектора, зная его начало, то есть полюс всего этого построения, и зная угол, под которым радиус-вектор находится по отношению к полярной оси, и его длину, можно определить любую точку на плоскости. Вот и выходит, что это координаты!

– Правильно, – подтвердил Радикс, – теперь слушай дальше. Построим с тобой касательную к спирали в заданной точке, причем будем учитывать направление движения спирали, то есть либо от полярной осп против часовой стрелки, либо обратно. Первое из этих направлений мы будем считать положительным…

– Постой! – прервал его Илюша. – Например, граммофонная пластинка вращается по часовой стрелке, то есть в отрицательном направлении, а если бы мы поместили наш радиус-вектор в самую середину пластинки да еще заставили бы его обегать пластинку, начиная не с края, как обычно делается, а с серединки (где полагается находиться полюсу полярных координат), то он бы вращался в положительном направлении… Только всю музыку он сыграл бы сзади наперед! Но ведь нам сейчас это неважно. Так я говорю?

– Ты говоришь верно. Итак, если мы построим эту касательную, а через полюс системы координат – перпендикуляр к радиусу-вектору, а другой перпендикуляр к касательной через точку касания (а этот перпендикуляр, как ты знаешь, называется «нормалью») и заметим точки m и N, в которых пересекаются с первым перпендикуляром касательная и нормаль, то отрезок ОТ будет полярной подкасательной, а отрезок ON – полярной поднормалью. Многие кривые могут быть полностью охарактеризованы отношениями их важнейших характеристик, то есть: касательной, нормали,

– 357 —

подкасательной и поднормали. Закон изменения этих характеристик заключает в себе нечто постоянное, что и является смыслом и существом рассматриваемой кривой. Так, для параболы этот закон особенно прост: если изобразить параболу в обычных декартовых координатах, но положить ее «набок», так, чтобы ось абсцисс была ее осью (см. чертеж на стр. 245^{12} в Схолии Тринадцатой), то в таком случае поднормаль параболы (длина поднормали) есть величина постоянная. Когда надо найти поднормаль у параболы, мы проводим к ней касательную в данной точке и строим нормаль в той же точке (перпендикуляр к касательной); затем из нашей точки опускаем перпендикуляр на ось параболы (а поскольку парабола у нас лежит «на боку», то ее ось совпадает с осью абсцисс; что же до вершины параболы, то мы – можем ее поместить в самое начало координат). Теперь отрезок оси абсцисс, лежащий между концом этого перпендикуляра и пересечением нормали с осью абсцисс – и есть искомая поднормаль. Для параболы поднормаль есть величина постоянная (ты на досуге сделай чертежик и посмотри!). Подкасательная есть тоже отрезок на оси абсцисс от того же конца перпендикуляра до пересечения касательной с осью абсцисс. Отсюда ясно, как много значат при изучении кривых касательная и все с ней связанное, ибо через нее мы получаем для кривых очень важные, точно определяющие их характеристики. Архимед, анализируя свою спираль, нашел и доказал, что и для этой кривой полярная поднормаль постоянна. Вот это было одно из замечательных открытий Архимеда. Ясно?

– Что-то я плохо понимаю, как это «постоянная»? Всегда одна и та же?

– Именно так: она всегда одна и та же и равна постоянной величине, входящей в полярное уравнение кривой. Зная уравнение кривой, мы уже знаем, чему равна длина поднормали. Слушай дальше и ты поймешь, в чем тут дело. Это особое свойство данной связи между радиусом-вектором r и полярным углом φ: если мы будем искать методами высшего анализа кривую, у которой поднормаль в полярных координатах постоянна, мы неминуемо придем к Архимедовой спирали. Это ее важное свойство подобно свойствам, определяющим «геометрическое место».