Текст книги "Волшебный двурог"

Автор книги: Сергей Бобров

сообщить о нарушении

Текущая страница: 25 (всего у книги 31 страниц)

– Более или менее я это себе представляю, – сказал Илюша, – но иногда в науке встречаются такие странные выражения, которым, по-моему, даже никакое сравнение не поможет. В одной книжке у папы я нашел выражение «кривизна пространства» и не мог понять, что оно означает.

– Тут речь идет о геометрии мирового пространства…

– Вот как! – Илюша даже немного испугался. – Это вроде рассуждений Лобачевского о мировой геометрии?

– 391 —

– Да, примерно. Раз уж ты просишь меня это рассказывать, то слушай внимательно. Существует одна очень сложная теория о строении Вселенной. Эта теория утверждает, что самый свет есть нечто материальное, обладающее массой. Чтобы нам не забираться далеко, поверь мне в этом на слово. Иначе говоря, приходится допустить, что для света существует мировое притяжение, или – гравитация. Мы обычно представляем себе луч света как наилучший физический образ прямой линии. Натянутая нитка, сколь она ни будет тонка, в середине провисает (вспомни цепную линию из Схолии Четырнадцатой). Так вот, с точки зрения этой новой теории мы имеем основание утверждать, что если свет есть действительно нечто материальное, то он не может быть совершенно независим от гравитации. Попробуем проверить это. Опыт ставится так: фотографируется определенный участок неба, а затем тот же самый участок фотографируют еще раз во время солнечного затмения. Участок выбирается такой, чтобы во время затмения Солнце примерно оказалось в его середине. Что же должно произойти? В силу нашей гипотезы о свете мы полагаем, что луч одной из звезд, который попадает на оба снимка, должен сместиться в том случае, когда он проходит в непосредственной близости от огромного небесного тела – Солнца. То есть Солнце окажет на него гравитационное влияние, и луч искривится. Отсюда делается вывод – наше пространство имеет обычную евклидову геометрию, которая нарушается (искривляется) в окрестностях небесных тел. Вот это явление и называется кривизной пространства[32]32
  Когда приходится говорить о замечательной деятельности Н. И. Лобачевского, то некоторые обстоятельства его многотрудной жизни до сих пор ставят исследователя в тупик. Есть основания думать, что то тяжкое нравственное одиночество научного работника, в которое был поставлен Лобачевский бессмысленными преследованиями и издевательствами, оказало самое пагубное влияние на всю его жизнь. Обращает на себя внимание такой крайне странный эпизод. В Юрьеве (Дерпте, теперешний Тарту) работал будущий академик Ф. Г. Миндинг, ученик Гаусса. В 1840 году Миндинг печатает в том же самом журнале Крелле статью, где, опираясь на новые работы Гаусса, приходит к некоторым выводам, очень близким к выводам Лобачевского. Но ни замкнувшийся в себе Лобачевский не замечает этой статьи, ни Миндинг не замечает совпадения своих взглядов с идеями Лобачевского! А Бельтрами отлично замечает это совпадение и на нем, в частности, строит свое оправдание всей геометрии Лобачевского. Так что в сущности признание свое (косвенное, правда!) гениальное произведение Лобачевского получило именно в России… Но увы! Оно прошло незамеченным, пока не попало через четверть века в руки Бельтрами (см. статью Э. К. Хилькевича «Распространение и развитие идей Лобачевского» в сборнике «Историко-математические исследования», М., Гостехгиз, 1949, вып. II, стр. 179 и далее). В высшей степени любопытно еще и то, что В. И. Ленин в своей работе «Материализм и эмпириокритицизм» (изд. 4, т. 14, стр. 221), критикуя взгляды Гельмгольца, в сущности выступает в защиту великих идей Лобачевского (см. у Хилькевича, стр. 221-222).


[Закрыть]. Ясно или нет?

– Так, значит, это получилось развитие мыслей Лобачевского? Но ведь искривляется луч, а не пространство…

– 392 —

– Но ведь он искривляется не сам по себе, а в силу особенностей пространства. Не так ли?

– Так… Но понять все-таки трудно, – признался Илюша.

– С помощью волшебства уж как-нибудь, – пробормотал Радикс.

И немедленно перед Илюшей возникла горизонтальная, совершенно прозрачная тонкая плоскость. Она нигде не провисала. А около Радикса на полу выросла целая куча шаров разных размеров. Радикс взял один шар и положил его на плоскость, которая прогнулась под весом шара.

– Всем шарам, которые я буду класть на эту поверхность, – сказал Радикс, – я повелеваю лежать смирно на том месте, на которое я их положил.

Затем Радикс положил на поверхность еще несколько шаров поменьше, и у каждого получилась своя ямка, но ни один из них не скатывался в ямку соседа. Потом Радикс взял маленький пистолетик, зарядил его крохотной дробинкой, положил дуло пистолетика на поверхность и выпалил. Дробинка покатилась по поверхности совершенно прямо, добежала до одной из ямок, нырнула в нее, вылетела обратно… И тут Илюша заметил, что, когда дробинка вылетела из ямки, направление ее изменилось, а путь искривился.

– Ну вот тебе в миниатюре это явление, – сказал Радикс. – Наша поверхность совершенно плоская, но там, где лежат шары, она искривляется, и прямолинейный путь по ней становится криволинейным[33]33
  С этим вопросом можно поближе познакомиться по книгам Л. Д. Ландау и Ю. Б. Румер. Что такое теория относительности. М., «Советская Россия», 1959; А. И. Жуков. Введение в теорию относительности. М., Физматгиз, 1961, § 17 «Отклонение световых лучей в поле тяготения»; Альберт Эйнштейн. Сущность теории относительности. М., ИЛ, 1955; Макс Борн. Эйнштейнова теория относительности М., «Мир», 1964 М. Гарднер. Теория относительности для миллионов. М., Атомиздат, 1965. А если читатель захочет еще кое-что узнать об Эйнштейне, то можно посоветовать еще одну замечательную книгу: А. Эйнштейн. Физика и реальность (*). М., «Наука», 1965 (особенно главу «Творческая автобиография», стр. 131-166).


[Закрыть].

– Теперь я как будто понимаю, – обрадовался Илюша, – и, кажется, все спросил! Даже не знаю, как мне благодарить тебя за все…

– 393 —

Тут Илюша невольно запнулся, взглянув на Радикса, и поглядел туда, куда так внимательно смотрел Радикс. На стене сиял какой-то странный чертеж, причем линии его мягко переливались разными оттенками всех цветов.

Радикс вытаращил свой глаз, поднял палец и прошептал:

– Молчи! Ты… ты удостоен…

Илюша был в полном недоумении и весь как бы превратился в вопросительный знак.

– Ты удостоен ли-це-зре-ния! – раздельно, шепотом произнес Радикс.

– 394 —

Схолия Восемнадцатая,

в которой Илюша снова встречается с Мнимием Радиксовичем, занятым работой по сооружению некоторого очень красивого и всем приятного геометрического образа. Тут Илюша узнает, что такое комплексная акробатика и какое она имеет отношение к синусам, кругам, многоугольникам, единице, корням из оной и прочее. А сверх того, Илюша в этой блестящей схолии неожиданно знакомится с удивительным Охотником (в сапогах до самых ушей!), который показывает ему самый верный и безопасный (математический!) способ охоты на львов.

Странный чертеж сиял, поднятый палец Радикса был совершенно неподвижен, а Илюша молчал, не зная, что будет дальше. Вдруг опять появится К.Т.Н. да и начнет отчитывать за то, что суешь свой нос, куда тебя не спрашивают?..

Послышались звуки какой-то знакомой нежной мелодии, и тут Илюша заметил, что это была «Колыбельная» Моцарта.

– Пошли! – тихо сказал Радикс.

Илюша очнулся.

– А что это такое? – вполголоса спросил он.

– Увидишь! – отвечал Радикс, по-видимому не склонный в эту минуту к долгим разглагольствованиям.

Они пошли стемневшей рощицей. Деревья тяжело и мрачно толпились кругом, но вдруг посветлело, и неожиданно они вышли к громадному зданию, чьи сумрачные

– 395 —

башни с тяжелыми зубцами торжественно уходили ввысь, в молчаливую темноту. Высокие ворота были украшены странными узорами из чеканных шляпок громадных гвоздей, которыми были сколочены тяжелые створки. Илюша взглянул и заметил, что эти узоры ужасно похожи на разные максимумы, корни и прочие замысловатые вещи, соответственные тому чудесному миру, в котором он находился. Радикс остановился у ворот, подождал минутку, потом произнес медленно и внятно:

 
Пришельцы ждут ответа
У самого порога!
Откройте ж нам дорогу,
Ворота вещих теней,
Высоким повеленьем
ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!
 

И как только он произнес это заклинание, створки ворот медленно и беззвучно раскрылись. Илюша и Радикс вошли на широкий двор, обнесенный громадными, тяжелыми стенами.

Бесконечное множество причудливо одетых гномов и карликов заполняло его. Эти маленькие существа стояли там тесными стройными рядами. Наши друзья поднялись по широким ступеням в замок. И как только они вошли в дубовые двери, к ним подлетел их старый знакомый Мнимий Радиксович.

– Очень, очень рад вас видеть, дорогие друзья! – воскликнул человечек, пожимая руки путешественникам. – А я-то думаю, куда же это вы запропастились?

– Только что усмотрели Великий Знак, – отвечал Радикс, – и сейчас же двинулись в путь.

– Ах, вот как! – сказал Мнимий. – Ну, тогда другое дело. А мы вот только доделаем Златоиссеченную Звезду – и все готово к празднику.

– А что это за Звезда? – спросил Илюша.

– Неужели вы ее не знаете, юноша? – воскликнул, смеясь, Мнимий. – Да нет, я уверен, что вы ее много раз видели и смотрели на нее с великим удовольствием, но только вы не знали о ее золотой сущности и золотом происхождении. Эта звезда иначе называется Повергающая Неправду. Ну? Теперь догадались? Прекрасная звезда! Красавица! И грозная для врагов живой мысли и человеческого сердца! Ясно?

– Н-не совсем, – нерешительно произнес Илюша.

– Ну, если не совсем, – отвечал Мним, – тогда идемте! Вы сейчас увидите, как она делается, и тут вы ее узнаете в единый миг. Прошу!

Они свернули в какую-то маленькую дверцу и прошли коридорчиком, пол которого был устлан красивыми ковриками,

– 396 —

a стены расписаны самыми удивительными узорами. Точная правильность их указывала, что это не просто фантастические узоры, но и тонко геометрические. Затем они вошли в большую комнату с низкими кругловатыми сводами, где стояло нечто вроде громадного мольберта, на каких живописцы пишут свои картины, а на нем большая доска.

– Вот, – сказал Мнимий, – сейчас мы с товарищами будем здесь делать Златоиссеченную Звезду, которая повергает неправду. Дело в том, что мы великие друзья с синусами и косинусами…

– Да, вы мне об этом уже говорили, – сказал Илюша.

– А сейчас вы увидите, молодой человек, какой смысл имеет эта великая дружба. Мы сейчас попросим кого-нибудь из наших друзей нам это продемонстрировать.

Немедленно откуда-то появился человечек, ужасно похожий на Мнимия Радиксовича. Он весело раскланялся, взял мел, начертил на доске оси координат и снова очень любезно улыбнулся.

Мнимий сказал:

– Хорошо известные вам оси прямоугольных координат. Ясно?

– 397 —

– Ясно, – отвечал Илюша.

– С маленькой разницей. То есть горизонтальную ось, ту, которая была у вас осью иксов, мы теперь будем называть действительной осью. А вертикальную, то есть ось игреков, – мнимой осью. Вы, кажется, уже встречались с одной мнимой осью? Вот вам и другая.

Новый знакомец Илюши, маленький комплексный человечек, подошел к осям, ухватился обеими руками за ту точку, где оси пересекались (то есть за так называемое начало координат), и ловко вытянулся. Носки его туфелек выгнулись, а сам он тут же превратился в стрелку. Немедленно от конца этой стрелки, то есть от его сапожков, поползли перпендикулярно к осям какие-то, как показалось Илюше, маленькие мушки. Но когда он пригляделся, то увидел, что это просто точки, из которых образовались две пунктирные линии, перпендикулярные к осям. Тогда на отрезках осей от их пересечения, то есть от нуля, до пересечения осей с этими пунктирными перпендикулярами тоже образовались две стрелочки: одна глядела направо, а другая вверх.

– Это я! – сказал комплексный человечек Наклонная Стрелка.

– А это я! – ответила Горизонтальная Стрелка.

– И я! – отозвалась Вертикальная Стрелка.

– Понятно? – спросил Мнимий Радиксович.

Илюша поглядел на стрелки и не совсем уверенно сказал:

– Маленькие стрелки на осях – ведь это его проекции?

Мнимая ось.

Действительная ось.

Стрелка ОА есть геометрическая сумма стрелок ОВ и ОС, которая получается по правилу сложения сил в механике. Стрелка ОА есть (a + bi); стрелка ОВ есть а; стрелка ОС есть bi.

– Точно! – ответил Радикс.

– А кроме того, это похоже на параллелограмм сил. Выходит, что Наклонная Стрелка есть сумма тех стрелок, которые на осях?

– Или?.. – важно спросил Мнимий.

Илюша молчал.

– Если, – сказал Мнимий, – Наклонная Стрелка является геометрической суммой осевых стрелок, то, следовательно, эти стрелки по отношению к Наклонной Стрелке суть…

– 398 —

– …ее слагаемые, – отвечал Илюша. – Пожалуй, лучше сказать: ее составляющие.

– Вот это да! – отвечал Мнимий. – Так и запишем. Итак, каждый комплексный человечек может быть рассматриваем как сумма вещественной составляющей и мнимой, что нам давно известно из формулы:

a + bi

А теперь вы видите, как это можно изобразить геометрически.

Далее мы попросим нашего друга комплексного Вектора уменьшиться так, чтобы он был ростом в одну единицу.

Вектор-Наклонная-Стрелка немедленно сделался покороче.

– Как раз! – сказал Мнимий. – Ровно единица!

Осевые стрелки тоже сделались соответственно короче.

– Ну-с, – сказал Мнимий Илюше, – вы ничего не замечаете?

– Не знаю, – отвечал Илюша.

Тогда Вектор-Наклонная-Стрелка быстро повернулся против часовой стрелки, и кончик его туфелек начертил круг.

– А теперь? – спросил Мнимий.

Картина перед Илюшей несколько изменилась. Линии осей, уходившие за черту круга, исчезли. Все линии стали очень тоненькими, исключая проекцию Вектора-Наклонной-Стрелки на действительную ось и того перпендикуляра, который опускался от конца Вектора на конец этой проекции. Эти линии, наоборот, стали очень толстыми и черными.

– Не узнаете? – спросил Мнимий.

– Узнаю как будто, – сказал Илюша. – Это синус и косинус.

– Ага! – вскричал Мнимий. – Они самые. Ну-ка, прикиньте, что бы это могло значить алгебраически? Как выходит, что проекции единичного вектора суть синус и косинус?

– Потому, вероятно, – отвечал Илюша, – что синус в квадрате и косинус в квадрате, как катеты прямоугольного треугольника, равны гипотенузе в квадрате, а она у нас равна единице. Радиус ведь и есть единица. Вектор в данном случае и есть радиус.

– Ну что ж, – отвечал Мнимий, – вы правы. Но давайте разберемся в этом. Если нам дан на комплексной плоскости, которую вы видите сейчас перед собой, некий комплексный вектор, то ответьте, чем он, по-вашему, отличается от обыкновенных чисел?

– Он как сила в механике, – ответил Илюша, – имеет направление.

– 399 —

– Мне очень нравится ваш ответ, – вежливо отвечал Мнимий, – но давайте посмотрим еще на наш чертеж и разберем все подробней. Итак, значит, длину вектора мы…

– … определяем по теореме Пифагора, – подхватил Илюша.

– Любого вектора?

– Любого.

– Напишите! – сказал Мнимий.

Илюша написал:

r = √(a² + b²).

Что это за линии OB и BA?

Кто скажет?

– Отменно! – произнес Мним. – Далее, если вектор наклонен по отношению к положительному направлению вещественной оси под углом φ, то как бы вы определили проекции вектора на оси, исходя из длины его и данного угла?

– По-моему, надо вот как написать:

а = r cos φ;

b = r sin φ.

– Справедливо! А что если нам теперь взять наш вектор в обычной форме:

a + bi

и подставить в его выражение новые значения для а и b?

а + bi = r cos φ + (r sin φ) i = r (cos φ + i sin φ).

– Теперь, – заявил Мнимий, – получилась так называемая тригонометрическая форма комплексного числа.

Ясно, что множитель перед скобкой есть длина вектора, или его модуль. А что же стоит в скобках?

– 400 —

Угол с положительным направлением вещественной оси определяет направление вектора.

– Мне кажется, что это тоже вектор.

– Справедливо. А длина его?

– Равна единице.

– Точно. Потому он и называется единичным вектором.

А величина, определяющая направление вектора, именуется его аргументом. Очевидно, любой вектор можно изобразить, выбрав соответствующий аргумент и приличный случаю модуль.

– Ясно, – отвечал Илюша. – Умножил на сколько надо и получил из единичного вектора такой, какой требуется.

– Точно, правильно, прекрасно! – произнес Радикс.

– В таком случае давайте рассмотрим, что будет с единичным вектором, если его умножить на самого себя:

(cos φ + i sin φ) (cos φ + i sin φ) = (cos² φ – sin² φ) + 2i sinφ · cos φ.

– Ну, Илюша, – сказал Радикс, – глянь-ка повнимательней: тебе эта формула ничего не говорит?

Илюша пожал плечами.

– Тогда вот что, – сказал Мнимий Радиксович. – Может быть, в дальнейшем вы заглянете в учебник тригонометрии и узнаете, что разность квадратов косинуса и синуса есть косинус двойного угла φ, то есть угла, равного двум φ. А удвоенное произведение косинуса φ на синус φ есть аналогично синус угла двух φ. Если записать, то выйдет:

cos 2φ = cos²φ – sin²φ

sin 2φ = 2 sin φ · cos φ.

Минуя некоторые длинные выкладки, сделаем такое общее заключение: возвести единичный вектор в степень n значит увеличить его угол в n раз. Вот что означает геометрически возведение единичного вектора в степень.

– Как будто, – сказал очень нерешительно Илюша, – я это где-то даже видел.

– Весьма вероятно! – подхватил Мнимий. – И увидите,

– 401 —

наверно, еще не раз. Это ведь не так трудно проверить. Допустим, что наш единичный вектор наклонен к положительному направлению действительной оси под углом в сорок пять градусов. Тогда его косинус, то есть его проекция на действительную ось, равен…

– … половине корня из двух. Такой же и синус будет.

– Давайте умножим такой вектор на самого себя.

Илюша взял мел и перемножил

– Получилось одно i, – сказал Илюша в некотором недоумении. – Что это за вектор, у которого только одно i осталось?

Затем Илюша внимательно посмотрел на чертеж.

– А-а! – сказал он. – Понял! Это единичный вектор, направленный прямо по мнимой оси. Единичный он потому, что около i стоит множителем единица. А так как мнимая ось перпендикулярна к действительной, то, значит, этот вектор образует с ней угол в девяносто градусов. И выходит, что действительно угол удвоился.

– А вектор?

– А вектор повернулся против часовой стрелки на сорок пять градусов. А если еще раз умножить? Можно, я попробую?

– Сделайте ваше одолжение! – отвечал Мнимий.

Илюша умножил еще раз. Вышло:

– Что-то я не пойму, – сказал Илюша.

Но на чертеже он увидел, что вектор повернулся теперь на 135° по отношению к положительному направлению действительной оси, и, следовательно, к 90° прибавилось еще 45°.

OA = 1;

AB = sin α;

OB = cos α

– А ведь верно! – сказал Илюша.

– Ну вот. Половина дела сделана, – сказал, улыбаясь, Мнимий. – Теперь вы поняли, почему мы можем так поворачиваться вокруг начала координат. А теперь

– 402 —

решим обратную задачу. Что значит извлечь корень из комплексного числа? Поскольку возведение в степень и извлечение корня суть обратные действия, мы можем считать, что и в области комплексных чисел остается в силе определение корня как обратного действия. А если это так, то как теперь извлечь корень из единичного комплексного вектора?

– Мне кажется, что раз при возведении в степень углы умножаются, то, – продолжал Илюша, – это похоже на действия со степенями. А значит, при извлечении корня углы векторов делятся. Так?

– Молодчина! – отвечал Мнимий.

– Но только как же тогда я, извлекая из одного единственного i корень, получу такое выражение:

хотя как раз так и должно быть, потому что, когда я возводил это выражение в квадрат, то получил i?

– Очень просто, – сказал Мнимий, – стоит только эго «одно-единственное i» написать в виде комплексного числа:

0 + i · 1.

А это можно изобразить и так:

cos φ + i sin φ,

то ясно, что φ равен девяноста градусам. Поделите φ пополам, и все будет в порядке. Заметьте кстати, дружок, что если вы еще раз возведете в квадрат, то как раз и получите:

i² = cos 180° + i· sin 180°.

Наше чудесное равенство i² = —1, таким образом, означает, что, повернув вектор дважды на прямой угол, вы повернете его в итоге на сто восемьдесят градусов, то есть переведете его в вектор противоположного направления. Но тут есть еще одно весьма важное обстоятельство. Ведь вы, наверно, помни-

– 403 —

те, что извлечение квадратного корня для вещественных чисел есть операция двузначная, то есть дает два ответа: один с плюсом, а другой с минусом. Как же это отразится в нашей комплексной области? Ясно, что если вектор повернется на целый круг, то он снова попадет на старое место…

Вектор немедленно плавно проплыл целый круг, двигаясь вперед против часовой стрелки, и застыл опять на старом месте. Постояв так минутку, он снова проплыл целый круг в том же направлении и снова остановился на старом месте. А затем повернулся так же еще в третий раз.

– Ясно? – спросил Мнимий.

– Как будто ясно, – сказал Илюша. – К чему он это показывает?

– А вот к чему. Очевидно, что комплексное число не изменит своего значения, если угол вектора, или, как мы говорим, его аргумент, увеличить на 2π, то есть на триста шестьдесят градусов, или на величину, кратную последней. Другими словами, число (cos φ + i sin φ) и число [cos (φ + 2π) + i sin (φ + 2π)] отличаются только начертанием, а геометрически это одно и то же.

– Конечно, – отвечал Илюша.

– Так вот, если теперь мы извлекаем из единичного комплексного числа корень, скажем, второй степени, то возьмем это комплексное число в двух написаниях, то есть:

I) cos φ + i sin φ,

II) cos (φ + 2π) + i sin (φ + 2π),

и из каждого извлечем квадратный корень путем деления его аргумента на два. Если мы это проделаем с тем же самым комплексным числом, то будем иметь:

I) cos 90° + i sin 90°,

II) cos 450° + i sin 450°.

Прибавлять еще по 2π здесь, как вы увидите, уже нет смысла, так как новых результатов не получится. Рассмотрим, что выйдет при делении угла пополам. Во-первых, мы получили тот же единичный вектор с углом в сорок пять градусов, который уже видели, а кроме того, еще получился другой вектор с аргументом

– 404 —

в двести двадцать пять градусов. Это и есть второе значение корня. Заметьте, что эти два вектора делят окружность пополам. Ну вот, теперь все ясно, и мы можем приступить к нашей работе.

Этот круг единичного радиуса для изготовления нашей Златоиссеченной Звезды надлежит разделить на пять частей. Это все равно, что решить уравнение

х⁵ – 1 = 0

или найти все пять корней пятой степени из единицы. Мы уже решали при прошлой нашей встрече в Схолии Седьмой нечто в этом роде, разлагая на множители разность кубов x³ – 1. Приступая к извлечению всех корней пятой степени из единицы, мы попросим нашего друга Вектора нам их найти.

Ну-ка! Против часовой стрелки кругом марш!

Вектор стал сперва на нуль, затем повернулся и стал примерно на половине второго квадранта круга. Потом начал поворачиваться далее и остановился в начале четвертого квадранта. Затем двинулся снова вперед и остановился в первом квадранте. Двинулся еще раз и остановился в третьем квадранте.

– Трудно понять! – сказал со вздохом Илюша.

– Не так уж трудно, – отвечал Мнимий Радиксовнч. – Стоит для этого только рассмотреть, как меняется наш аргумент. Он будет:

φ = 0; 2π; 4π; 6π; 8π,

то есть мы прибавляем к нулю четыре раза по 2π, или по триста шестьдесят градусов. А теперь какие векторы получатся после деления аргумента? А вот они:

I) cos 0° + i sin 0° (φ = 0°)

II) cos 2/5π + i sin 2/5π (φ = 144°)

III) cos 4/5π + i sin 4/5π (φ = 288°)

IV) cos 6/5π + i sin 6/5π (φ = 432°)

V) cos 8/5π + i sin 8/5π (φ = 576°)

– 405 —

Очевидно, что углы их будут: 0°, 72°, 144°, 216° и 288°. Мы попросим теперь Вектора повторить его путешествие по кругу и останавливаться каждый раз у всякого деления.

Вектор исполнил все, что ему велели. При этом вместо одного вектора их оказалось пять. Окружность была разделена ровно на пять частей.

– Теперь проведем прямые! – сказал Мнимий.

Он соединил точки прямыми, и получился правильный пятиугольник, вписанный в круг. Тут Илюша вспомнил, как ему говорили, что если разложить разность кубов на три множителя, то тем самым выяснится, как вписать треугольник в круг. Вот, оказывается, в чем дело!

– Кстати, – добавил с мягкой улыбкой Мнимий, – заметьте, что именно великий Гаусс указал и нашел, что такое деление круга связано с построением правильных многоугольников!

– Вон как! Это, значит, важное дело?

– А как вы думаете! – рассмеялся Мнимий. – Однако, – произнес он, осмотрев еще раз свой чертеж. – Пожалуй, придется немного увеличить, да надо еще наш пятиугольник повернуть, чтобы и он стал симметрично. Ну-ка, ребятки-векторы, увеличьтесь разика в два с половиной да, кстати, повернитесь на восемнадцать градусов!

Немедленно все пять векторов вытянулись и стали длиннее в два с половиной раза. Вместе с ними, конечно, увеличился пятиугольник и повернулся на 18°. В то же мгновение «Круг № 1» стал «кругом № 2».

– Это, – пояснил Радикс, – тоже умножение, притом на комплексное число, модуль которого 2,5, а аргумент – восемнадцать градусов. Комплексные числа могут, таким образом, делать еще и преобразования подобия.

– Совершенно справедливо! – отвечал Мнимий. – Преобразования подобия – это, можно сказать, наша специальность. Помните ли вы сказку Шарля Перро про Кота в сапогах? Так вот, дело там кончается тем, что Людоед-Чародей обращается во льва, а потом в мышь, а Кот в сапогах бросается на мышь, и тут-то ей и конец. Помните?

– Ну да, помню, – отвечал Илюша. – А что?

– Неужели вы не догадались, что это мы действовали в этом случае и провели Перро?

– Как так?

– 406 —

– Очень просто! Никакой там мыши не было. Подумайте, какая канитель – превращать, то есть преобразовывать, льва в мышь! Мы поступили гораздо проще: просто подобно уменьшили льва до размеров мыши, и вот этого-то подобно преобразованного льва и загрыз Кот в сапогах. А так как все произошло очень быстро, то и возникла эта легенда о мыши.

– Вот как?.. – задумчиво произнес сбитый с толку Илюша. – А если наоборот, из мыши сделать льва?

– Вон чего захотели! – засмеялся Мнимий. – Это будет немного потруднее. Сам Галилей это признал. Дело в том, что если мышь подобно преобразить в такого большого зверя, как лев, то она… сломается! Ее тонкие косточки не выдержат тяжелого веса. Механическое подобие – вещь совсем не простая… Ну, а теперь приступим к сооружению Златоиссеченной Звезды. Соединим прямыми противолежащие точки.

Когда Мнимий начертил это, то в круге получился звездчатый пятиугольник. И все векторы исчезли.

– Позвольте, – воскликнул Илюша, – да ведь это наша Красная Звезда!

– Она же и Золотая, – улыбаясь, ответил Мнимий.

– Ну да, и Золотая! Но вы-то почему ее называете Златоиссеченной?

– Для этого, – ответил Мнимий, – у нас имеются серьезные причины. Если мы рассмотрим нашу звезду повнимательнее, то найдем в ней немало вещей, в высшей степени глубоких и поучительных.

Мнимий расставил буквы у углов и получил чертеж, который нарисован на этой странице.

– Если мы возьмем одну из прямых, – начал Мнимий, – составляющих наш звездчатый пятиугольник, например прямую BGFE, то ясно из чертежа, что отрезки BG и FE равны между собой, ибо треугольники BGA и AFE равны. Теперь мы назовем каждый из этих отрезков буквой у, а отрезок KF буквой z. Очевидно, что и остальные схожие отрезки таковы же, то есть GA, FA, FE, КЕ, ID, IС, … , и все они

– 407 —

равны у. Совершенно так же FG, KI, IH… равны z. Ясно, что треугольник GAF равнобедренный. Угол при вершине А ранен одной пятой ста восьмидесяти градусов, так как он вписанный и опирается на дугу, равную одной пятой окружности. Ясно?

– Ясно, – отвечал Илюша.

– Следовательно, в этом углу ровно тридцать шесть градусов. Другие два угла треугольника равны друг другу и, следовательно, будут по семьдесят два градуса, то есть вдвое больше угла при вершине А. Стало быть, величины у и z суть боковая сторона и основание равнобедренного треугольника, у которого угол при основании вдвое больше угла при вершине. Теперь мы займемся треугольником BFA. Угол при вершине F нам известен: он равен семидесяти двум градусам. Угол при вершине В по тем же основаниям, что и угол A в треугольнике GAF, равен тридцати шести градусам. Угол треугольника BFA при вершине А равен семидесяти двум градусам, ибо это вписанный угол и опирается на дугу в дне пятых окружности. Ясно, что и этот треугольник тоже равнобедренный, а в силу равенства углов подобен предыдущему. Сторона BF равна (z + у), а следовательно, сторона АВ тоже равна (z + y), а это ведь сторона выпуклого пятиугольника. Теперь возьмем третий треугольник – ABD. Угол при вершине D равен снова тридцати шести градусам. Треугольник этот тоже равнобедренный и подобен двум предыдущим. Его боковая сторона равна (2y + z), основание равно (у + z). Из этих величин и подобия треугольников мы получаем теперь следующие пропорции:

(y + z) / ( 2у + z) = y / (y + z) = z / у

Пусть каждое из этих отношений равно х. Все ясно?

– Да, – ответил Илюша. – Треугольники подобны, а как получаются пропорции, я понял. Везде взято отношение основания к боковой стороне. Так как треугольники подобны, то отношение это во всех случаях одно и то же.

– Если мы теперь посмотрим на прямую BF, которая равна (у + z), то заметим, что точка G делит этот отрезок так, что весь отрезок относится к большей своей части, как относится большая часть к меньшей. Это деление и называется со времен глубокой древности золотым сечением.

– Ах, так вот почему вы ее называете Златоиссеченной! – вскричал Илюша.

– Именно поэтому! Но если у вас хватит терпения, то я могу вам еще рассказать насчет этой звезды немало интересного. Ибо это еще не все.

– 408 —

– Рассказывайте, – попросил Илюша. – Ведь сколько раз я ее видел, и даже в голову не пришло, что наша Красная Звезда такая знаменитая в геометрическом мире.

– Так вот, слушайте дальше. Если мы впишем в круг правильный выпуклый десятиугольник, то его сторона будет равна нашей величине х, помноженной на радиус большого круга, потому что если мы соединим концы одной из сторон десятиугольника с центром круга, то получим равнобедренный треугольник, угол при вершине которого, очевидно, равен тридцати шести градусам, то есть десятой части всей окружности. Боковые стороны равны радиусу описанного круга,

– 409 —

а основание – стороне десятиугольника. Следовательно, углы при основании будут иметь по семьдесят два градуса, и этот треугольник будет подобен только что рассмотренным. А если это так, то, следовательно, отношение стороны десятиугольника к радиусу снова равно тому же х. Ну, а теперь я посоветую вам, юноша, проделать еще кое-что своими собственными силами для того, чтобы ознакомиться поближе с Златоиссеченной Звездой. Согласны ли вы на это?

– Ну еще бы! – воскликнул Илюша. – Вполне согласен.

– Тогда вот что. Опишите круг около маленького пятиугольничка FGHIK (чертеж на странице 407) и найдите, как относится его радиус OG = r к радиусу большого круга OB = R.

Далее проведите прямые ВК и OG и из двух новых треугольников BKI и BGO попробуйте получить вот такое равенство:

R² + R²x² = (y + z)²

Что означает это равенство? Ясно, что R есть, во-первых, радиус описанного вокруг пятиугольника круга, а во-вторых, сторона вписанного шестиугольника. Поскольку мы ранее выяснили, что сторона правильного десятиугольника так относится к радиусу, как z к у, то, следовательно, эта сторона есть Rx.

Наконец, величина (у + z) есть не что иное, как сторона выпуклого пятиугольника. Следовательно, это наше равенство означает, что сумма квадратов длин сторон вписанных шестиугольника и десятиугольника равна квадрату длины стороны вписанного пятиугольника. И, сопоставляя это с известной вам теоремой Пифагора, мы можем утверждать, что стороны шестиугольника и десятиугольника могут быть сторонами прямоугольного треугольника, у которого гипотенузой будет сторона пятиугольника. Вы можете очень легко это проверить, вспомнив, что стороны этих вписанных многоугольников, будучи определены через радиус, равны:

Вот какие интересные выводы можно сделать из рассмотрения нашей Звезды. Что касается самого отношения золотого сечения, то оно примерно равно 0,618. Немало исследователей утверждало, что это самое приятное для глаза соотношение и что очень многое в природе, живописи, скульптуре и архитектуре строится именно по этому отношению.

– Конечно, эту Звезду очень приятно видеть, – сказал Илюша.

– Вполне с вами согласен, – отвечал Мнимий, – ибо это мудрый символ чистого и справедливого отношения.

– 410 —

Тут на чертеже, который был против Илюши, исчезли линии круга и выпуклого многоугольника, и осталась одна Звезда. Ее линии начали светиться золотистым светом.

Илюша стоял и любовался. Потом спросил у Мнимия:

– А как быть, если нужно разделить какой-нибудь отрезок в отношении золотого сечения? Можно получить это построением без многоугольников? И как вывести величину 0,618?

– О, это очень просто! – отвечал его собеседник. – Возьмем некоторый отрезок, который вы хотите разделить по золотому сечению. Пусть его длина будет а, и пусть большая часть его будет у. Построим квадрат на этом отрезке. Разделим его основание пополам и из средней точки основания проведем прямую в одну из вершин квадрата. Далее опишем из средней точки основания дугу радиусом, равным этой прямой.