Текст книги "Волшебный двурог"
Автор книги: Сергей Бобров
сообщить о нарушении
Текущая страница: 18 (всего у книги 31 страниц)
Псевдосфера
И действительно, как только прикрепили трактрису к Центрифуге и пустили последнюю в ход, получилась псевдосфера, каковую Асимптотос спокойно снял со станка и разрезал пополам, затем добыл откуда-то резиновую нитку и влез внутрь того вогнутого конуса, похожего на опрокинутый бокал, который представляла собой полупсевдосфера. Поверхность была довольно прозрачная, и Асимптотоса было отлично видно. Намазав резиновую нитку сажей, он натянул ее на поверхность полупсевдосферы и, щелкнув ниткой, получил одно ребро треугольника снизу вверх, направо от основания к вершине —
– 276 —
ровную темную черту. Затем он так же обозначил другое ребро треугольника сверху, от вершины вниз направо, подмигнул Илюше и сказал:
– Так как я имею дело с поверхностью отрицательной кривизны, то, для того чтобы провести основание треугольника, я должен, очевидно, выбраться из-под псевдосферы снова наружу.
Илюша внимательно поглядел на псевдосферу и сообразил, что если натянуть резиновую нитку горизонтально, стоя внутри седлообразной псевдосферы, то нить окажется в воздухе, а не будет вся целиком лежать на поверхности, как полагается лежать геодезической линии.
Асимптотос выбрался наружу и, лихо щелкнув начерненной ниткой, провел основание треугольника.
– Ну, Илюша, – сказал Коникос, – если ты внимательно посмотришь на этот треугольник, ты и сам заметишь, что углы его много меньше, чем им полагалось быть, если бы это был плоскостной треугольник.
Коникос вырезал псевдосферический седлообразный треугольник и положил на стол, а потом прикрепил три крепко натянутые нитки к его вершинам. Рассматривая углы, которые были образованы нитками, и собственные не-евклидовы углы треугольника, Илюша мог убедиться, что последние меньше, нежели плоскостные.
– Ясно? – спросил Радикс.
– Как будто ясно, – отвечал мальчик. – Ну, а как получается с параллельными? Я все-таки никак не пойму, как через одну точку провести две параллельные к третьей прямой?
– С параллельными, – отвечал Радикс, – не так-то просто. Давай сравним, как ведут себя два перпендикуляра к одной и той же секущей на выпуклой, плоской и седлообразной поверхности. На плоскости они идут на одном расстоянии друг
– 277 —
На выпуклой поверхности два перпендикуляра сходятся.
На плоскости два перпендикуляра не сходятся и не расходятся.
от друга, то есть не сходятся и не расходятся. Но на выпуклой поверхности, как, например, на Земле, они будут вести себя так, как два меридиана, перпендикулярных к экватору, то есть будут приближаться друг к другу по обе стороны секущей и пересекутся на полюсах. На седлообразной поверхности наоборот: два перпендикуляра к одной и той же секущей будут расходиться по обе стороны, удаляясь друг от друга. Поэтому можно уменьшить углы их наклона к секущей, и полученные наклонные все еще не будут пересекаться. Если продолжать уменьшать угол наклона, то в конце концов мы дойдем до такого крайнего положения, при котором дальнейшее уменьшение угла наклона вызовет появление точки пересечения. В этом крайнем положении две прямые и называются, по Лобачевскому, параллельными друг другу «в ту сторону», в какую они образуют острые углы с секущей. Наши прямые «в сторону параллельности» еще не пересекаются и уже не расходятся, а сходятся друг с другом, так сказать, «в бесконечности», как обычные параллельные. На полупсевдосфере можно это очень хорошо представить себе, если взять два уходящих в бесконечность меридиана этой поверхности. Ты, может быть, возразишь, что это два перпендикуляра к параллели полусферы, но не забудь, что параллель (то есть сечение псевдосферы плоскостью, перпендикулярной к оси) не будет линией кратчайшего расстояния (геодезической) на этой поверхности и потому не может нами рассматриваться как «прямая».
На седлообразной поверхности два перпендикуляра расходятся.
– 278 —
– Я понимаю, – сказал Илюша. – Если я представлю себе, что полупсевдосфера лежит передо мной узкой частью вправо, то концы натягиваемой поперек поверхности нити придется оттягивать влево, иначе нить будет соскальзывать вправо.
На полупсевдосфере два «параллельных» мередиана образуют острые углы с секущей геодезической.
– Поэтому, – продолжал Радикс, – два меридиана будут образовывать с пересекающей их геодезической острые углы (с параллелью они образуют прямые), как видно на чертеже. Несмотря на это, они не будут справа пересекаться, как бы далеко ты их ни продолжал на полупсевдосфере. Но отклони один из них чуть-чуть внутрь, по направлению к другому, и наверху появится точка пересечения. Это и означает, что два меридиана, по Лобачевскому, параллельны «в правую сторону» (нашей полупсевдосферы).
– А как же будут вести себя перпендикуляры к этой поперечной геодезической? Куда они денутся на псевдосфере? – спросил Илюша.
– Видишь ли, – ответил Радикс, – на небольшом участке псевдосферы хорошо видно, что два перпендикуляра расходятся, но дальше они начнут даже огибать поверхность снизу и где-то с нижней стороны пересекутся. Но не оттого, что они сходятся, а, наоборот, оттого, что они расходятся. Вообще надо иметь в виду, что только геометрия «куска» поверхности псевдосферы отвечает геометрии соответственного «куска» подлинной «плоскости Лобачевского»; вдобавок еще мешает «ребро» псевдосферы с нижней стороны. «Плоскость» же Лобачевского, как и наша обычная, простирается неограниченно во все стороны, и все направления на ней равноправны. Поэтому на плоскости Лобачевского получается такая картина.
Если взять секущую MN и в точке N провести к ней перпендикуляр АВ, а в точке М наклонять второй перпендикуляр, уменьшая его угол с секущей со стороны точки В, то наклонная, проходящая через точку М, начнет пересекать прямую АВ, только когда угол наклона станет меньше некоторого острого угла φ. Этот острый угол (он тем ближе к прямому, чем меньше расстояние MN) Лобачевский назвал углом параллельности, а наклонную в том крайнем положении, когда она еще не пересекается с перпендикуляром АВ, он назвал проходящей через точку М параллельной к АВ в сторону В. С другой стороны секущей получается та же самая картина. Крайнее положение наклонной, при котором точки пересечения еще нет, и будет второй «параллельной»
– 279 —
Лобачевского – параллельной в «другую сторону». Поэтому на нашем чертеже все прямые Лобачевского, проходящие через точку М, разделяются двумя параллельными – «в сторону A» и «в сторону В» – на две категории. Одни, образующие с перпендикуляром NM угол, меньший «угла параллельности» φ, пересекают прямую АВ. Другие, образующие с перпендикуляром прямой или хотя и острый, но больший угла параллельности угол, проходят между двумя «параллельными» и не пересекают прямой АВ ни с той, ни с другой стороны. Они называются расходящимися с прямой АВ. Параллельные, конечно, тоже не пересекаются с АВ, но они выделяются из числа всех не пересекающихся с АВ прямых, проходящих через точку М, как раз тем, что положение параллельности – крайнее, при котором нет точки пересечения: две параллельные отделяют, таким образом, все пересекающие прямые от расходящихся. В отличие от геометрии Евклида, сумма внутренних односторонних углов, образованных параллельной в данную сторону с секущей, меньше двух прямых, так как угол параллельности φ острый. Величина этого угла зависит от расстояния MN. Еще греки, по всей вероятности, догадывались о таких возможностях.
– Значит, – решил Илюша, – это гораздо хитрее того, что мы учим в школе о параллельных?
– Ну еще бы! – отвечал Радикс. – Если бы это было то же самое, так ведь тогда и говорить было бы не о чем.
– Какая же она, однако, удивительная, эта геометрия! – задумчиво произнес Илюша.
– Если хочешь знать, – отозвался Радикс, – сферическая геометрия еще удивительнее «воображаемой», только мы
– 280 —
к ней более привыкли благодаря тому, что глобус стал нам приятелем со школьной скамьи, если не раньше. А если подумать, то нетрудно убедиться в этом. Сравни хотя бы такие обстоятельства. Прямая у Евклида безгранична, у Лобачевского тоже, а на сфере она (например меридиан) не только не безгранична, но еще и замкнута.
– Да! – отвечал Илюша. – А ведь действительно так!
– Насчет же всяких неожиданностей в «воображаемой» геометрии, так я могу тебе подарить на память еще один такой случай. Если ты возьмешь на плоскости Лобачевского окружность, разделишь ее на несколько равных частей и в точках деления проведешь касательные к этой окружности, то они образуют многоугольник только в том случае, если радиус окружности очень невелик, а в противном случае они вовсе не встретятся и не пересекутся.
– Мы можем, – добавил Асимптотос, – показать тебе еще кое-что по поводу треугольников Лобачевского, но только это будет потруднее. И нам кое в чем придется с тобой условиться.
– Как это условиться? – спросил Илюша.
– Вот как. Мы знаем, что роль «прямых» на сфере играют дуги больших кругов. А теперь мы условимся считать «прямыми» на сфере не дуги больших кругов, а дуги некоторых других кругов. Мы начнем с того, что рассечем сферу пополам. Положим полусферу на плоскость сечением вниз. А далее согласимся считать дуги кругов, плоскость которых перпендикулярна к той плоскости, на которой лежит наша полусфера, прямыми. Надеюсь, что ты понял меня?
– Но ведь можно «условиться» о чем угодно! – сказал в недоумении Илюша. – Захочу и «условлюсь», что у меня семь равняется нулю. Так что ж, так и будет?
– Мне кажется, – отвечал Радикс, – что не так уж трудно придумать случай, когда такое равенство будет иметь смысл. Например, допустим, что ты будешь различать числа только по остаткам, которые они дают при делении на семь. Ясно, что в этом смысле 1, 8, 15 и так далее будут равны между собой; 2, 9, 16 и так далее будут также равны между собой, а 7 окажется равным числам 0, 14, 21 и прочим. Тебе может показаться, что это бессмыслица. Но допусти, что некоторый месяц начинается в воскресенье и мы обозначим этот день нулем, понедельник – единицей, вторник – двойкой и так далее. Тогда, если мы интересуемся только днями недели, а «нуль», «семь» и «четырнадцать» – все будут обозначать воскресенья, то в этом смысле ты можешь не делать между ними различия. Так что уже не столь бессмысленно «условиться», что семерка равна нулю. Имей в виду, что при изучении известных вопросов вполне возможно поставить некоторое осо-
– 281 —
бое условие, и это может даже сделать для нас доступными такие вопросы, которые без этого трудно было бы исследовать[19]19
АЛ-I; XI, 5, 6.
[Закрыть].
– Пожалуй, – сказал Илюша, – я с таким рассуждением готов согласиться, но вот чего я боюсь: если мы условимся считать какие-то линии на сфере «прямыми», смогут ли эти «прямые» сохранить свои обычные свойства? А если не сохранят, то разве это будут «прямые»?
– Видишь ли, – отвечал Асимптотос, – все свои свойства наши «прямые», разумеется, сохранить не смогут, но ведь мы как раз и хотим рассмотреть на примере такую геометрию, в которой некоторые свойства прямых таковы же, что и на плоскости (например, две «прямые» пересекаются только в одной точке, через две точки проходит одна и только одна «прямая» и так далее). Однако в отношении свойств параллельности или величины суммы углов треугольника наши новые линии должны подчиняться не обычным законам геометрии, а законам геометрии Лобачевского. А если это так, то совершенно очевидно, что такие «прямые», поскольку мы их рассматриваем в нашем обычном евклидовом пространстве, должны и по внешнему виду отличаться от обыкновенных прямых. Сейчас нам даже придется отказаться и от того свойства, которое мы сохраняем на сфере при пояснении римановой геометрии: «прямые» уже не будут линиями кратчайшего расстояния на полусфере. Однако, чтобы ты не очень уж задумывался над смыслом таких «условий», мы сейчас придумаем самый животрепещущий пример…
– Я бы полагал… – перебил нашего оратора Коникос.
– А именно? – вопросил Радикс.
Коникос задумчиво сказал:
– Необходимо соорудить при помощи волшебства…
– Да что именно? – спросил Асимптотос. – Уж не томи ты нас, говори прямо!
– Начнем с полусферы, – уклончиво ответствовал загадочный Коникос, – ну, а потом… посмотрим.
Действительно, тотчас перед Коникосом выросла громадная, трехметровая полусфера тонкого, прозрачного синеватого стекла, под колокол которой он немедля и забрался. Из-под своего халата Коникос тут же извлек громаднейшую кремневую пистолю, самую старозаветную, у которой один только курок весил до полукилограмма, и с торжеством показал свое удивительное оружие Илюше.
– Вот мое восхитительное изобретение! – сказал он. – Эта волшебно-не-евклидова пистоля имеет изумительные свойства. Пуля этой пистоли и будет описывать не-евклидовы
– 282 —
«прямые»! Я буду стрелять, но не прямо, а так, чтобы ее круглая нуля скользила точно, «в притирку» но внутренней стороне моей полусферы. Стекло это очень крепкое, и пробить его пуля не может, она только его поцарапает. Ясно?
– Ясно! – отвечал Илюша.
– Но только вот что! – добавил наставительно Асимптотос. – Запомни раз и навсегда: пуля этой казанской – или, что то же, не-евклидовой – пистоли, скользя по внутренней поверхности полусферы, все время остается в той же вертикальной плоскости, в каковой находился и пребывал ствол этой пистоли в момент выстрела.
Затем Коникос начертил внутри полусферы, на полу, равносторонний треугольник, почти вписанный в круг, который образовывал на полу край полусферы, как нарисовано на следующей странице.
– Ну, уж в этом-то треугольнике никак не может быть больше или меньше двух прямых! – торжествующе заявил Илюша.
Асимптотос и Радикс только чуточку усмехнулись в ответ на это заявление Илюши, а Копикос сказал:
– Ты, юноша, не спорь, а следи как можно внимательнее за тем, что я буду делать.
С этими словами Коникос стал в левом углу при оснований начерченного на полу треугольника (угол С) и обернулся лицом прямо к углу при вершине его. Он поднял над головой свою пистолю, вплотную прижал ее почти совершенно вертикально к внутренней стороне сферы и выпалил. Раздался
– 283 —
страшный грохот, целое облако дыма вырвалось из широкого дула пистоли, по, несмотря на все эти пиротехнические эффекты, пуля летела так медленно, что Илюша видел, как она мелькнула по внутренней стороне полусферы, оставив за собой тонкий след в виде царапины по стеклу.
– Попал! – крикнул Коникос. – Какая меткость! С первого раза!
Илюша удостоверился, что пуля, обогнув полусферу, прошла как раз над вершиной треугольника (В) и ушла в пол.
Затем Коникос снова зарядил пистолю, подсыпал пороху на полку, стал опять на то же место, но повернулся теперь лицом в сторону другого угла (А), который был с правой стороны основания треугольника. Снова бах! Пуля прошла как раз над вершиной справа у основания.
Затем Коникос перешел в тот самый угол, над вершиной которого только что прошла пуля. Теперь он стал в этот правый угол (А) и лицом обратился снова к углу в вершине (В).
Снова он поднял пистолю над головой, так что она стояла почти вертикально, то есть почти перпендикулярно к полу, а затем опять трах! Снова целое извержение порохового дыма, и опять мелькнула пуля, царапая стекло.
Вот такой треугольник начертил на полу Коникос, стоя под полусферой.
– Вот выстрел! Поищи-ка, где пересекаются оба следа.
Илюша обошел сферу, подошел к углу при вершине и убедился, что оба следа пересеклись в точке, лежащей как раз над вершиной В треугольника.
Затем Коникос выполз из-под полусферы и сказал:
– Я полагаю, что пули летели «совершенно прямо», в неевклидовом смысле слова, как это им и свойственно. Они бы, разумеется, летели иначе, если бы им стекло не мешало и они не были бы обязаны сохранять вертикальную плоскость полета, но тут уж им при всей их любви к прямолинейности и краткопутности ничего другого не оставалось! Теперь я попрошу полусферу уменьшиться до полуметра в диаметре, дабы мы имели возможность обозреть результаты моей неподражаемой стрельбы в цель.
– 284 —
Полусфера сейчас же послушалась, и Илюша увидел, что пули начертили на стекле своеобразный треугольник. Тогда Асимптотос взял свой широченный нож и сказал мальчику:
Срез полусферы (экватор)
– Смотри: плоскость моего ножа, то есть секущая плоскость, стоит сейчас перпендикулярно к той плоскости, на которой лежит половина сферы. Ясно?
– Ясно.
– Я сделаю три сечения. Каждый раз нож будет стоять перпендикулярно к плоскости, на которой лежит полушар.
Затем Асимптотос аккуратно провел разрез так, что линия его шла от точки А к точке В. Второй разрез соединил точки В и С, а третий – точки С и А. И все разрезы шли в точности по царапинам, оставленным пулями. Затем он вынул из середины сферы получившийся кусок и дал его Илюше.
– Заметь, – сказал Асимптотос, – что если вершины треугольника будут лежать на самом срезе полусферы, то есть на ее экваторе, то все дуги «прямых», то есть вертикальных сечений сферы, проходящие через эту точку, будут иметь общую касательную вертикаль, а угол, образованный этими дугами, поэтому будет
– 285 —
равен нулю. (Вспомни, как Коникос учил тебя измерять угол между кривыми!) Но если немного сдвинуть вершину треугольника вверх по полусфере, как мы это сделали, то касательные наклонятся и разойдутся: это и даст нам возможность применять нашу пистолю. Но так как мы сдвинулись немного вверх, то и угол между двумя положениями ствола пистоли Коникоса, то есть угол треугольника, будет очень мал, и он будет тем меньше, чем ближе вершина к экватору. Я вырежу еще такой же треугольник, только расположенный повыше и площадью поменьше.
Снова Асимптотос начертил круг, затем снова вписал в него равносторонний треугольник ABC, а затем начертил внутри этого треугольника еще один – А1В1С1, поменьше, подобный первому и симметрично расположенный. (Смотри на картинке, стр. 284{11}.)
После этого он взял нож и вырезал еще один треугольник, уложив, разумеется, предварительно на чертеж еще одну половину сферы.
– А теперь, – заявил Коникос, – мы будем утверждать, что данные два треугольника по своим свойствам суть не что иное, как треугольники Лобачевского! Доказать тебе, наш юный друг, это обстоятельство было бы хлопотливо, однако это так. Поверь на слово. Был один француз-математик в истекшем столетии, который нашел это и доказал довольно-таки точно и неоспоримо.
Нахмуренная физиономия доктора У. У. Уникурсальяна немедленно появилась среди почтенной компании.
– Не следует, – сказал он, – утверждать того, чего ты не можешь доказать.
– Докажи, что я неправ! – предложил Коникос.
Но в ответ на это Доктор Четных и Нечетных почему-то отвернулся да и растаял втихомолку.
– Теперь далее! – наставительно произнес Асимптотос. – Слушай-ка хорошенько да мотай на ус. Тебе, я думаю, совершенно ясно, что эти два плоскостных треугольника, которые у меня были чем-то вроде выкроек для не-евклидовых треугольников, подобны друг другу?
– Абсолютно ясно! – заявил Илюша.
– А ну-ка, – продолжал словоохотливый старичок, – проверим-ка, подобны ли эти два удивительных не-евклидовых треугольника.
Сперва Илюша не мог сообразить, как ему взяться за эту проверку подобия, но затем придумал. Он положил оба треугольника на половинку сферы. Большой треугольник кое-как закрепил (кажется, кнопками), а малый стал передвигать так, что он скользил по сфере и по большому треугольнику. Он
– 286 —
рассуждал: если эти треугольники подобны, то углы у них равны, а следовательно, можно вдвинуть один из углов малого треугольника в один из углов большого, а если углы равны, то две стороны малого должны совпасть с двумя сторонами большого. Сказано – сделано! И вот, представьте себе, когда он пододвинул один из углов малого треугольника к одному из углов большого, то стороны малого не только не пошли по сторонам большого, не только не совпали с ними, а даже закрыли стороны большого, так что Илюша должен был заключить, что углы малого треугольника больше – и заметно больше! – углов большого треугольника.
– Вот тебе и раз! – сказал Илюша. – Не подобны, нет… И, честное слово, я не понимаю, как это выходит!
– Дело вот в чем, – серьезным тоном проговорил Коникос. – Мы уже тебе говорили, что сумма углов в не-евклидовых треугольниках не есть величина постоянная, в противоположность евклидовым треугольникам, где сумма углов всегда постоянна и равна, как тебе известно, ста восьмидесяти градусам. Мало этого, в не-евклидовых треугольниках сумма углов связана с их площадью. Причем если ты имеешь дело со сферическими треугольниками, то там чем больше площадь треугольника, тем больше и сумма его углов, и ты сам видел треугольник, сумма углов которого доходила до трех прямых углов. В треугольнике Лобачевского дело обстоит в некотором отношении так же, а в некотором – как раз наоборот. Там тоже сумма углов треугольника связана с площадью, но в обратном отношении, то есть чем больше сумма углов треугольника, тем меньше его площадь, и обратно, пока сумма углов не дойдет до своего естественного предела, то есть станет равной нулю для треугольников, все вершины которых лежат на экваторе сферы. Но уж это в геометрии Лобачевского, собственно, не треугольники, а фигуры, образованные тремя попарно параллельными прямыми. В силу именно этих обстоятельств ты и видишь сейчас, что каждый из взаимно равных углов равностороннего малого не-евклидова треугольника больше любого угла такого же большого треугольника, и так должно быть! А отсюда следует вывод чрезвычайно в данном случае значительный: никаких подобных фигур в не-евклидовых геометриях не существует, и там невозможно построить фигуру, подобную данной, но имеющую иные размеры. Если нам с тобой повстречаются два треугольника с соответственно равными углами, то нетрудно будет убедиться, что эти треугольники равны. Любопытно еще и то, что площадь такого треугольника ограничена и не может превысить некоторой определенной величины, как бы мы ни увеличивали его стороны, ибо площадь эта прямо пропорциональна разности
– 287 —
[180°– (α + β+γ)], где α, β и γ суть углы треугольника. А наше выражение в квадратных скобках, очевидно, не может быть больше ста восьмидесяти градусов. Однако и этого еще мало, и этим не исчерпываются необычайные чудеса этой геометрии. В ней мы имеем возможность определить отрезок через угол. Ибо коль скоро треугольник вполне определяется своими тремя углами, то я могу точно определить отрезок, указав, что он является стороной равностороннего треугольника с заданным углом (меньшим, разумеется, нежели две трети прямого угла). Отсюда можно сделать один удивительный вывод. Тогда как в обычном мире необходим эталон (то есть образчик) меры длины – метр, ярд, сажень, – в мире «воображаемой» геометрии в таковом эталоне нет надобности. Там с помощью геометрического построения, как бы исходя из свойств самого пространства, мы строим единицу длины наподобие того, как в евклидовой геометрии строится прямой угол (то, что мы потом его делим на девяносто градусов, к его величине касательства не имеет.)
– Сумма углов равностороннего треугольника Лобачевского, – промолвил Асимптотос, – поистине меньше двух прямых, ибо каждый из них меньше чем шестьдесят градусов. Мы можем тебе показать это.
Снова перед Илюшей выросла полусфера высотой в один метр. Линии, которые провели по стеклу круглые пули Коникоса, были прекрасно видны. Асимптотос подошел к полусфере и лёгонько толкнул ее пальцем. Полусфера закачалась, перевернулась своим срезом (основанием) вверх.
Асимптотос взял ниточку и, нагнувшись над опрокинутой полюсом вниз полусферой, закрепил один конец нитки в одной из трех точек внутри полусферы, где пересекались два следа пуль. Илюша внимательно следил за всеми этими приготовлениями. Затем Асимптотос, туго натянув нитку, повел ее к другой точке пересечения следов не-евклидовой пальбы и закрепил во второй точке, а затем и в третьей точке. Наконец он потянул ниточку из третьей точки снова в первую и закрепил ее там, где она вся и кончилась. Таким образом, внутри полусферы в воздухе повис туго натянутый ниточный равносторонний треугольник. Он висел, разумеется, так, что плоскость его была параллельна полу.
– Теперь это будет тот самый треугольник, который Коникос чертил на полу и о котором ты еще высказал такое авторитетное мнение… насчет суммы его углов, помнишь?
Илюша очень хорошо помнил свое «авторитетное мнение», только ему совсем не хотелось, чтобы и другие об этом вспоминали…
Асимптотос похлопал рукой по краю полусферы, и она тут
– 288 —
же превратилась в целую сферу, то есть на лежащей ее половине тотчас же выросла и вторая (верхняя) половина шара. Теперь у этой сферы было два полюса – южный (старый) и северный (новый, верхний). Коникос принес откуда-то маленькую ярко светящуюся точку и положил ее на северный полюс сферы. В светлице стало темно, и лучи ярко светящейся точки северного полюса бросали резкие тени. На полу под сферой эти лучи сейчас же отчетливо нарисовали тень экватора, которая, конечно, оказалась правильным кругом. А внутри этого круга, разумеется, нарисовалась, отступя на некоторое расстояние от окружности, и тень ниточного треугольника.
– Смотри хорошенько! – произнес Коникос. – Видишь, как легли на полу тени тех следов, которые нацарапали на стекле полусферы пульки.
Это, конечно, и было самое интересное в этом волшебном опыте! Илюша заметил без особого труда, что следы пуль Коникоса рисуются на полу, как дуги кругов, перпендикулярных к тени экватора. Они и образовывали на полу своеобразный треугольник с вогнутыми внутрь сторонами. А треугольник этот был как бы «вписан» в самый обыкновенный евклидов равносторонний треугольник, который был тенью ниточного треугольника.
– Ну-с? – произнес Радикс.
И в тот же миг стало опять совершенно светло, а сфера и сияющая полярная точка исчезли. На полу остался лежать очень четкий чертеж круга и двух треугольников внутри его. Теперь уж не было никаких сомнений в том, что эти не-евклидовы углы много меньше евклидовых. Сумма углов равнялась 110°.
– Хорошо! – сказал Илюша. – На этом-то чертеже совершенно ясно, что углы не-евклидова треугольника гораздо меньше. Но разве тени следов пуль образуют те же углы, как и самые следы?
– Видишь ли, – терпеливо отвечал ему Радикс, – вообще, разумеется, не те же. Однако, если по отношению к лучу света плоскость угла отклонить в одну сторону, а плоскость, на кото-
– 289 —
рую ложится тень, – в другую, так, чтобы обе эти плоскости образовали с лучом светящейся точки равные углы, то тени дадут тот же самый угол, который и был у тебя. Попробуй-ка начерти сечение нашей сферы по меридиану и выясни, какие получатся углы. Ты без особого труда, я полагаю, убедишься, что в нашем случае углы будут в точности одинаковые… Следует еще помнить о том, что, имея дело с геометрией сферы, необходимо принимать во внимание ее размеры: именно это и определяет ее кривизну, как и для псевдосферы, то есть и для «воображаемой» геометрии. Сам Лобачевский полагал, что только физико-астрономические опыты могут дать нам материал для суждения о том, какая именно геометрия свойственна нашему пространству, в котором мы существуем. Поэтому тот, кто скажет, что великий русский геометр подходил к геометрии «как естествоиспытатель», будет очень близок к истине. Современные ученые полагают, что Лобачевский был прав в своих догадках: действительно, в некотором смысле геометрия нашего мирового пространства – это не-евклидова геометрия, хотя она и не совсем такая, как геометрия Лобачевского. А теперь, чтобы ты мог себе уяснить с помощью некоторой особой аналогии этот взгляд на геометрию, а вместе с тем познакомился и с другим примером осуществления геометрии Лобачевского, вспомним прежде всего, что геометрии на малых участках будут очень мало отличаться друг от друга, на чем бы они ни были – на плоскости, сфере или псевдосфере.
– Конечно, – отвечал мальчик, – небольшой кусочек сферы или псевдосферы трудно было бы отличить от плоскости.
– Вот, – продолжал Радикс, – если ты сообразишь, что измеряемые нами обычно расстояния слишком малы и не дают вообще возможности отличить свойственную нашему миру геометрию от евклидовой, то тебе станет ясной идея Лобачевского – решить вопрос о нашей геометрии с помощью астрономических опытов. Это раз. А затем скажи мне: сумеешь ли ты отличить дугу окружности от прямой?
– Еще бы! – отвечал, улыбаясь, Илюша. – Дуга имеет кривизну, а прямая нет.
– Ясно. Но вот представь себе: я начерчу на протяжении тридцати сантиметров дугу окружности радиусом длиной в несколько километров. Что ты тогда скажешь?
– На таком маленьком участке, пожалуй, никак не отличишь, – согласился Илюша. – Но ведь если дугу эту сделать не в тридцать сантиметров, а побольше, то сразу станет видно.
– Постой! – прервал его Радикс. – Именно этого мы сейчас делать и не станем. Будем рассматривать геометрию на небольшом участке плоскости, но вместо прямых будем проводить окружности очень больших радиусов. Для примера пусть
– 290 —
радиусы будут длиной около пяти километров, а мы будем при помощи таких радиусов чертить фигуры на обыкновенной классной доске. Вряд ли ты заподозришь, что они не проведены с помощью самой обыкновенной линейки.
– Наверно, нет! – усмехнулся Илюша.
– Сверх этого, мы будем все эти окружности чертить не как-нибудь, а с соблюдением некоторого особого условия: возьмем какую-нибудь очень далеко отстоящую от нас прямую и будем все центры окружностей выбирать на этой прямой.
– Очень далеко, – сказал Илюша, – то есть около пяти километров?
– Пусть так, – согласился Радикс. – А потом вот еще что. Чтобы подчеркнуть, что эти окружности заменяют нам прямые (они у нас так и будут называться «прямые», в кавычках), будем называть линию их центров «бесконечно удаленной» в нашей геометрии.
– Ну да, – подхватил Илюша, – ведь, вероятно, потому, что дуга окружности тем больше похожа на прямую, чем больше ее радиус, иногда и говорят, что прямая – это окружность бесконечного радиуса?
– Именно поэтому! – отвечал Радикс. – А теперь давай рассмотрим, какая геометрия получится на большом расстоянии от нашей «бесконечно удаленной» прямой. Начнем с того, что выясним, можно ли в таких условиях провести через две данные точки одну «прямую», и только одну.
– Да ведь это сводится к задаче провести через две данные точки окружность, центр которой лежал бы на данной прямой? Это очень просто сделать.
– Ну, а будет ли в нашей геометрии «прямых» правильно, что две прямые пересекаются в одной точке?
– Если, – сказал, подумав, Илюша, – мы будем рассматривать все только по одну сторону от линии центров, то есть только полуокружности, да еще без их крайних точек, потому что они ведь тоже попадают на эту «бесконечно удаленную» прямую (я думаю, мы можем ее считать просто для нас недоступной), то, разумеется, две полуокружности могут пересечься только в одной точке.
