Текст книги "Волшебный двурог"

Автор книги: Сергей Бобров

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 31 страниц)

– Здорово-то здорово, но дело в том, что ты все это делал с ядрами в руках. А как бы это нам с тобой рассудить вообще, не касаясь ядер? Вот что интересно.

Илюша задумался. Ему казалось, что и без того все ясно, но высказать эту храбрую мысль он почему-то не решился. Радикс немного поморщился и произнес:

– Вот передо мной кучка ядер в два слоя: в первом слое, как обычно, одно ядро, во втором – три. Ясно?

– Вполне.

– Прелестно и очаровательно! Теперь пусть фигура не разрушается, пусть линии, соединяющие центры ядер, не расплываются и не укорачиваются, а ядра уменьшатся почти до размеров точки, только чтобы можно было заметить глазом.

Тетраэдр.

Немедленно все совершилось как по-писанному. И вскоре перед Илюшей на полу стояла некая геометрическая фигура, очень похожая на те проволочные модели, с которых рисуют начинающие живописцы. Ядра стали толстыми «точками» в углах фигуры, а центры ядер соединились тонкими линиями.

– Это, – сказал Радикс, – не что иное, как тетраэдр, один из правильных многогранников, каждая грань которого есть равносторонний треугольник. Их всего четыре, столько же у него и вершин (вспомни, что в той фигуре, с которой мы начали, было тоже четыре ядра), а ребер у тетраэдра шесть. Пять правильных многогранников были известны еще грекам, в частности о них писал Платон, почему их нередко называют Платоновыми телами. Вот они каковы: тетраэдр, ограниченный четырьмя правильными треугольниками; октаэдр, ограниченный восемью правильными треугольниками; икосаэдр, ограниченный двадцатью правильными треугольниками; куб – известное тебе

– 120 —

тело, ограниченное шестью квадратами, и додекаэдр, ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками. Так вот, перед тобой здесь тетраэдр. Рассматривая его, можно легко понять, как лежат ядра в куче. Надо иметь в виду, что нужно уложить ядра так, чтобы они располагались наиболее плотно. Чтобы нам в этом разобраться, начнем с более простой задачи. Как уложить на плоскости возможно больше кругов, которые должны частично соприкасаться, но нигде не перекрываться? Рассуждение приводит нас к выводу, что наиболее плотное (решетчатое) расположение кругов на плоскости получается, если центры трех кругов, из которых только два лежат в одном ряду, образуют равносторонний треугольник, сторона которого, очевидно, равна диаметру круга. Когда мы теперь переходим к расположению не кругов на плоскости, а шаров в пространстве, то очевидно, что пока речь идет о расположении шаров в одни слой, остается верным правило равностороннего треугольника, которое мы формулировали для кругов на плоскости. Но когда дело касается наиплотнейшего расположения шаров в пространстве, тут задача несколько усложняется. Как ты уже отметил (и совершенно правильно), мы не имеем возможности укладывать шары в следующем слое в каждую лунку – для этого шары слишком велики, – следовательно, нам надо выбирать те или иные лунки. Ты сам это заметил, когда говорил о шестиугольнике. Помнишь?

– Конечно, помню.

Октаэдр.

Куб.

Икосаэдр.

– 121 —

Додекаэдр.

– Так вот. Для изображения двух слоев ядер ставим рядом три тетраэдра, чтобы их соприкасающиеся точки слились.

Немедленно перед Радиксом стали на полу три тетраэдра, и указанные точки слились.

– Так, – сказал Илюша, – теперь я как будто понимаю. Точки в углах тетраэдров – это ядра. В нижнем ряду шесть ядер, в верхнем – три. Все правильно. Основание каждого тетраэдра – это те треугольнички, которые мы называли «черными». А треугольник, который лежит в глубине впадины между тремя тетраэдрами, назывался у нас «белым». Его мы пропускаем. То есть здесь среди шаров и будет та лунка, которую мы не заполняем. А если я сверху, на вершины этих трех тетраэдров, поставлю еще один так, чтобы три точки его основания слились с тремя вершинами нижних трех тетраэдров, то ясно, что на трех шарах будет лежать один. Я получу тогда один большой тетраэдр. Теперь я понял.

– Но это еще не все, – добавил Радикс. – Дело в том, что наиплотнейшее расположение шаров в пространстве, даже в три только слоя, зависит от того, в какие лунки ты кладешь ядра и какие ты пропускаешь. Чтобы это стало совершенно ясным, составим тетраэдры в два слоя так, чтобы соприкасающиеся углы их совпали, и допустим, что эти два слоя тянутся безгранично далеко. У каждого из тетраэдров есть вершина, которая изображает в нашей схеме шар второго слоя. Теперь я хочу добавить еще третий слой, но добавить его не сверху, а снизу. И при этом я могу действовать двумя способами. Либо я к каждому основанию моего тетраэдра приклею основание еще одного (чтобы они совпали и слились воедино), и тогда вершина второго тетраэдра будет стоять симметрично относительно вершины первого. Это первый способ наиплотнейшего расположения шаров в

Наиболее плотное расположение кругов на плоскости.

– 122 —

Четыре тетраэдра (план). Заштрихованные треугольники – основания трех нижних тетраэдров; кружки – вершины этих тетраэдров (А, В, С); звездочка – положение верхнего шара, то есть вершины четвертого тетраэдра, основание которого совпадает с пунктирным треугольником ABC.

пространстве. Однако можно действовать и по-другому, то есть приложить основание второго тетраэдра к той впадине, которая образуется между двумя рядом стоящими тетраэдрами. Тогда третий, нижний слой шаров будет расположен так, что его можно перевести в первый при помощи того же смещения, которое переводит первый ряд во второй. Комбинируя эти два основных способа укладки, можно получить различные расположения шаров в пространстве. Так вот, куча из ядер, о которой мы с тобой сейчас толкуем, построена по…

– Второму способу! – закончил Илюша. – Ну, теперь ясно, что на Арамиса должны нападать трое сверху, трое снизу и шесть человек со всех сторон! Выходит не так, как всегда говорят: «со всех четырех сторон», а со всех двенадцати сторон! Интересно, сколько же в куче будет всего ядер? Наверху – одно, в следующем слое – столько, сколько видно сбоку в первом треугольнике, то есть три, а в следующем – столько, сколько во втором треугольнике; это будет еще на три ядра больше, значит, шесть. Потом будет уже на четыре больше – десять. Как же считать?

Четыре тетраэдра (вид сбоку).

– Об этом ты узнаешь в Схолии Одиннадцатой, а пока продолжай складывать.

– В первом и втором слоях вместе: один да три – четыре.

– Квадрат двух, – подсказал Радикс. – А во втором и третьем?

– Три и шесть – девять,

– 123 —

Первый способ наиплотнейшего расположения шаров. Шары верхнего слон (кружки) закрывают шары нижнего слоя (крестики).

опять квадрат. А шесть и десять-шестнадцать, опять квадрат.

– Три и шесть – девять, опять квадрат. А шесть и десять – шестнадцать, опять квадрат. Как интересно! Значит, очень просто эти слои считать: вычти число последнего слоя из следующего квадрата и получишь то, что надо. Следующий квадрат будет двадцать пять. Вычитаю десять, и выходит пятнадцать. Так?

– Твое наблюдение правильно. Это треугольные числа.

– Как интересно! – воскликнул Илюша. – И для всякого числа есть свое название! А выходит, что шесть – это очень знатное число: оно и совершенное и треугольное! Теперь: сколько же всего ядер выходит в куче?

Один слой – одно. Два слоя – четыре. Три слоя – десять. Четыре слоя – двадцать. Пять слоев – тридцать пять.

Строение селитры по М.В. Ломоносову (1763 г.)

– А это пирамидальные числа.

– Ну да, потому что выходит пирамида из ядер.

– Конечно, – сказал Радикс. – Такое расположение имеет важное значение при изучении места отдельных

– 124 —

атомов или молекул в кристаллах. Они там тоже так уложены. Представь себе, что математики пришли к этой мысли раньше, чем физики! И все эти числа получить очень просто. Возьми-ка мел и пиши. В первом столбике напиши одну под другой пять единиц; во втором – те числа, которые ты видишь в пирамиде ядер сбоку; в третьем столбике – треугольные числа, а в четвертом – пирамидальные.

Илюша взял мел и написал то, что изображено справа.

– Смотри, какая у тебя получилась табличка. Каждое число в любой строке равно сумме того числа, которое стоит над ним, и того, которое стоит слева от него. Видишь?

– Верно, – отвечал Илюша. – Например, десять равно шести плюс четыре!

– А теперь, – продолжал его друг, – ты видишь, что эту табличку очень легко продолжить по этому правилу. Добавь-ка еще четыре единички в первой строке и три в первом столбце и заполни таблицу. И в каждой строке пиши одним числом меньше, чем в верхней. Ну-ка, пиши поскорей!

Илюша написал единицы, и у него получилась табличка, изображенная слева.

– Эта замечательная табличка называется треугольником Паскаля, – сказал Радикс, – потому что она была составлена французским математиком семнадцатого века Блезом Паскалем.

– Это тот самый, про которого ты вспоминал, когда Великий Змий пришел пробирать нас? – спросил Илюша.

– Он самый, – торжественно произнес Радикс. – Эту табличку до Паскаля, веком раньше, построили итальянские математики. Но в то время известия о новых открытиях распространялись не так быстро, как теперь. Мало того, что этот треугольник дает натуральные числа, треугольные, пирами-

– 125 —

дальние и многие другие, которые в общем называются фигурными числами, он дает еще более полезные и важные указания. Вот я его сейчас перепишу по-другому.

Радикс взял мел и написал то, что изображено слева.

– Посмотри, – сказал он. – Тебе эти цифры ничего не напоминают?

Илюша внимательно посмотрел новую табличку, подумал, потом сказал:

– Один, два, один – это похоже на сто двадцать один, то есть на квадрат одиннадцати.

Потом Илюша взял мел и начал что-то старательно множить.

– Четвертая строка, – сказал он, – это будет куб одиннадцати, а пятая – четвертая степень одиннадцати.

– Правильно, – отвечал Радикс. – Ну, а кроме этого, ты ничего не замечаешь?

– Нет, – сказал Илюша, подумав, – больше, кажется, ничего.

– А помнишь ты формулу квадрата и куба суммы?

– Конечно!

– А как там идут коэффициенты?

Илюша помолчал, посмотрел на Радикса, потом на табличку и затем написал:

(а + b)² = а² + 2ab + b².

(а + b)³ = а³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Внимательно посмотрев на эти хорошо знакомые формулы, а затем снова на табличку Радикса, Илюша сказал:

– А ведь верно! Если взять квадрат суммы, то при а² коэффициент единица, при ab – двойка, а при b² – снова единица, то есть коэффициенты идут, как в третьей строке: 1—2—1.

И в кубе суммы тоже идут, как в четвертой строке: 1—3—3—1.

Илюша умножил куб суммы на первую степень суммы и, довольный, сказал:

– Ну это просто замечательно! И в четвертой степени у нас получается:

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ ,

и, значит, коэффициенты идут опять, как здесь, в последней строчке: 1—4—6—4—1.

– 126 —

– Ну, так вот, – продолжал, улыбаясь, Радикс, – значит, с помощью этого треугольника, если ты его продолжишь (а как ты видел, это очень просто), ты можешь написать сумму в любой степени. Ты должен только запомнить еще одно нехитрое правило: степени первого слагаемого уменьшаются от той степени, в которую ты возводишь сумму, до нулевой, а степени второго слагаемого идут как раз в обратном порядке – от пулевой до старшей.

– Действительно так, – сказал Илюша, посмотрев на четвертую степень суммы.

– И это еще не все, – сказал Радикс. – Ты еще немало узнаешь в дальнейшем про эти числа. Они многое могут делать. Узнаешь также, что у Арамиса были весьма серьезные основания интересоваться этим треугольником (AЛ-I, XII).

– Вот почему он и сказал про двести семьдесят шесть ядер?

– Двести семьдесят шесть и двести пятьдесят три – это два пирамидальных числа. Но тут есть вещи и посерьезнее. Дело в том, что этот треугольник учит храбрых пушкарей не только складывать ядра в кучи: он учит их еще и стрелять из пушек! А самое главное, он учит их попадать этими ядрами как раз туда, куда следует, чтоб отвадить непрошеных гостей, которые падки на чужое добро!

– 127 —

Схолия Восьмая,

из которой любезный читатель узнает о том, как некий скромный знак препинания отправляется прогуляться по бережку весьма живописной речки, но никто из присутствующих никак не может понять, по какому берегу он идет – по этому или по противоположному. Наши друзья пытаются разрешить это небывалое затруднение при помощи карманных часов, но из этого ничего не выходит, потому что эти часы ведут себя не только весьма двулично, но, сверх того, еще находятся в самой тесной дружбе с одним несговорчивым зверьком, по имени спрут. Однако доблестный Илья Алексеевич, не теряя присутствия духа, бросается на своего страшного врага с ножницами и после пятикратного боя выходит из этой борьбы победителем. Естественно, что ему дается награда за этот знаменитый подвиг, благодаря чему он и получает возможность потрогать собственными руками ту самую таинственную бутылку, в которой сидел ужасный джинн из арабской сказки, причем талисман, которым был на тысячи лет запечатан в этой бутылке джинн, оказывается троюродным внуком одного нашего хорошего знакомого.

– Вот что, – сказал Радикс, забираясь в кресло, – ты ведь еще спрашивал насчет двери в домик Розамунды. Понравилась? А ведь признайся: в качестве двери в волшебное царство – устройство самое подходящее! А между тем эту дверь очень легко сделать.

– 128 —

Он протянул Илюше ровную четырехугольную полоску бумаги. На четырех углах ее стояли буквы А, В, С, D.

– Ну-ка, сверни ее кольцом.

Илюша свернул.

– А теперь поверни один конец на сто восемьдесят градусов, то есть обратной стороной, так, чтобы буква С пришлась против А и В – против D. Нажми хорошенько, и концы склеятся.

Илюша так и сделал. И у него в руках оказалась бумажная фигурка, которая нарисована внизу.

– Ну, вот и дверь, – сказал Радикс.

– Как так? – спросил Илюша в недоумении, разглядывая бумажную фигурку.

– А очень просто, – отвечал ему его приятель. – Это односторонний Мебиусов лист. (Вырежи скорее себе полоску бумажки, склей ее, как показано на картинке. Бери полоску в 25 см длиной и в 3 см шириной.)

– Вот какая странная бумажка! – сказал Илюша. – Действительно ты прав, – эта дверь как раз так и была устроена. Теперь я как будто понимаю, как я очутился с другой стороны, не переходя через край. Какая интересная поверхность!

– Ну, – сказал Радикс, – это еще что! Наш Бушмейстер еще и не такие чудеса может показывать.

– А кто такой Бушмейстер?

– А это такая змея водится в Гвиане. Страшно ядовитая, а хитра, как сам сатана. Правда, она двусторонняя. Но наша поверхность тоже очень хитрая, мы ее и прозвали Бушмейстером. Однако с бумажкой нам будет не очень удобно. Лучше мы попросим нашего Бушмейстера явиться к нам сюда собственной персоной. А вот и он! Прошу любить да жаловать.

– 129 —

И перед Илюшей повисла в воздухе Мебиусова поверхность, но довольно большая, около метра с лишним, а ширина ленты была сантиметров тридцать. Сделан был милейший Бушмейстер не из бумаги, а из почти совершенно прозрачного стекла. Илюша обошел его со всех сторон и заметил, что лента, из которой сделана односторонняя поверхность, была совершенно лишена толщины, как и полагается настоящей геометрической поверхности, однако была очень крепкая.

– Ну-с, – сказал Радикс, – надо тебе с ним познакомиться. Вот тебе карандаш. Проведи-ка вдоль всего Бушмейстера линию, но только с одной стороны. Начни, например, отсюда. Попросим его на минуту сделаться непрозрачным.

– Попробую, – сказал Илюша и взял карандаш. – Вот. И линия у меня сомкнулась, совсем как на обыкновенной ленте.

– Ты думаешь? А ну-ка, покажи мне теперь ту сторону Бушмейстера, на которой ты не проводил линию.

Илюша посмотрел снизу и воскликнул:

– Я вел линию все время с одной стороны, но она оказалась и там тоже! Выходит, что у него одна только сторона и есть. Он действительно односторонний!

А Бушмейстер мгновенно полинял и снова стал прозрачным.

Однако когда мальчик через минуту взглянул на Бушмейстера, он заметил, что теперь по самой середине поверхности течет речка из темной, непрозрачной жидкости. Речка текла в одном направлении и представляла собой движущуюся ленту из жидкости, вставленную в эту стеклянную ленту. Почему эта жидкость не проливалась? Однако если в этом мире Бушмейстер может сам по себе висеть в воздухе, то почему бы не висеть и речке?

Затем Радикс положил на ладошку Илюше что-то совсем крошечное и черненькое.

– Что это такое? – удивленно произнес мальчик.

В ответ с его ладошки раздался тоненький, еле слышный писк:

– Я – Точка! Геометрическая Точка. Неужели не узнал?

Илюша начал было рассматривать свою новую знакомку, но Радикс сказал ему:

– Ну-ка, брось Точку в эту речку.

Илюша бросил Точку, и она поплыла по течению вокруг по всей ленте, вернулась на старое место и опять поплыла в том же направлении. Так что Илюша еще раз мог убедиться, что конца у этой поверхности, как и у окружности, пет.

– Ну, а теперь, – продолжал Радикс, – выуди ее оттуда и положи на бережок, который около тебя.

– 130 —

Илюша выловил Точку и положил ее на берег речки.

– На какой берег ты ее положил? – спросил Радикс.

– Если я стану лицом по течению реки и буду смотреть на ленту сверху, – отвечал Илюша, – то, значит, она лежит на правом берегу.

– На правом? – переспросил Радикс.

– Да, – ответил Илюша.

– Так, – ответил Радикс, – на правом так на правом. Так и запишем: Точка находится на правом берегу речки.

Точка легла на плоскость. Однако лента была настолько тонка, что Точка прошла ее всю насквозь, как чернильная клякса на промокашке, и ее на ленте было отлично видно как сверху, так и снизу.

– Готово! – пискнула Точка из плоскости.

– Прелестно! – отвечал ей Радикс. – А теперь я попрошу тебя, любезная Точечка, двигаться по берегу вниз по течению речки, но, пожалуйста, двигайся как можно медленнее.

Точка послушалась и медленно поплыла внутри ленты.

Илюша отлично видел ее.

– А ты, Илюша, – сказал Радикс, – следи за ней. И как только ты ее снова увидишь сверху, скажи ей, чтобы она остановилась. Понял?

– Понял, – отвечал Илюша.

Точка медленно подошла к тому месту, где лента Бушмейстера поворачивала вниз, исчезла на миг, появилась на сгибе и опять исчезла. Затем Илюша увидел, как она появилась с другого края и начала двигаться вверх. Когда она подошла к нему поближе, Илюша скомандовал:

– Точка, стоп!

Точка остановилась.

– Ты ее видишь? – спросил Радикс.

– Вижу, – ответил мальчик.

– Ясно видишь?

– Совершенно ясно. Она ведь прошла насквозь через ленту.

– Можешь ты мне ответить, на каком она берегу? Только посмотри повнимательней.

Илюша посмотрел и ответил:

– Я смотрю опять сверху. И берег определяю так же, то есть по течению речки. Но только… только… хм… Вот уж я не знаю…

– Чего ты не знаешь?

– Она сейчас на другом берегу!

– На каком другом?

– На левом.

– А ты не ошибаешься?

– 131 —

– Да нет, – ответил Илюша, – я не могу ошибиться, потому что даже поставил мелом крестик на том месте, куда ее положил. И вот крестик остался на правом берегу, а она на левом… Послушай, Радикс, а можно, чтобы она еще раз пошла?

– Прошу, – отвечал тот.

– Точка, – сказал Илюша, стараясь говорить как можно более внятно и определенно, – продолжай двигаться в том же направлении, в каком ты двигалась, и так же медленно. Поняла?

– Как не понять! – раздался тоненький писк, и Точка поплыла вдоль по ленте.

Через некоторое время она появилась на правом берегу, около крестика. Илюша не остановил ее, она пошла дальше и снова появилась на левом берегу.

– Значит, – сказал в раздумье Илюша, – ей надо обойти плоскость эту два раза, чтобы попасть на то же самое место.

– Точно! – отвечал Радикс.

– А когда она плыла по поверхности речки, ей надо было обойти плоскость только один раз, – сказал Илюша.

– В этом роде, – рассеянно отвечал Радикс. – Однако это еще не все. Ну, ты, Точка, можешь теперь исчезнуть! Благодарю.

Точка немедленно исчезла, вслед за ней исчезла и речка.

– Вот тут у меня часики есть, – продолжал Илюшин друг, – посмотри-ка!

Илюша взял со стола обыкновенные карманные часы. Впрочем, при ближайшем рассмотрении они оказались не совсем обыкновенными, потому что были плоские и очень тонкие, примерно в миллиметр толщины, и совершенно прозрачные, так что стрелки можно было видеть с обеих сторон. Шли они очень быстро, и поэтому Илюша ясно видел, как бежит большая, минутная стрелка. Часовая двигалась медленнее, во и ее движение было заметно.

– Положи их на Бушмейстера около твоего крестика, предложил Радикс.

Илюша положил их на самый крестик.

– Ну-ка, часики, – сказал Радикс, – прошу вас, принимайтесь за работу.

Часы сразу ушли в ленту так же, как это сделала Точка.

Они медленно двинулись в путь вдоль ленты вперед, по тому же направлению, по которому раньше текла речка, словно они были вставлены в ленту. Илюша внимательно следил за ними. Часики плыли, плыли и наконец показались около самого крестика.

– Стойте! Стойте! – закричал Илюша вне себя от удивления,

– 132 —

Часики остановились около крестика, а Илюша смотрел на них и ничего не понимал. Циферблат был виден как будто отраженный в зеркале. Стрелки бежали с прежней быстротой, но уж теперь в обратную сторону, следуя движению переставленных цифр: против часовой стрелки!

– Теперь уж я совсем ничего не понимаю! – воскликнул Илюша в отчаянии. – Ну, идите дальше!

Часы послушались и через некоторое время снова появились у крестика. Теперь у них опять был обычный циферблат, и их стрелки двигались нормально. Затем они вновь появились около крестика, и тут стрелки опять бежали в противоположную сторону.

– Нет, – сказал Илюша, – этого я не могу понять. Они где-то меняют направление движения стрелок.

– Ты думаешь? – спросил Радикс. – Ну хорошо, постарайся проследить, где именно это происходит. Вот тебе вторые часики, такие же. Оставь одни часы около крестика, а сам следи за теми, которые будут плыть в ленте.

Илюша послушался и заметил, что часы, за которыми он следил не отрываясь, ведут себя обычно. Но когда часы добрались до крестика и оказались рядом с теми часами, которые там оставались, Илюша с удивлением обнаружил, что теперь те часы, которые не двигались, идут в противоположную сторону.

– Может быть, – произнес в недоумении Илюша, – я просто смотрю теперь на них с другой стороны ленты?

– С другой стороны? – спросил Радикс. – А когда же ты успел перебраться на «другую сторону»? И что это за «другая сторона»? Ты ведь, кажется, убедился, что у этой поверхности только одна сторона и есть.

– Но мне кажется, что на часы я смотрю с другой стороны!

– Хм… – иронически промолвил Радикс. – Но вот то-то и удивительно, что, оставаясь с той же стороны поверхности, ты ухитрился на часы посмотреть «с другой стороны». Нет, тут дело немножко похитрее. Если эти часы принадлежат ленте, вделаны в нее, то и о них уже нельзя сказать, где у них одна сторона, где другая.

– Да, – сказал Илюша. – Но если лента и часы непро

– 133 —

зрачные, они будут в том же месте с другой стороны ленты, и я их не увижу.

– Это так, но если ты хочешь рассуждать о поверхности, у которой нет никакой толщины, то лучше представлять себе ее прозрачной, как мы с самого начала и сделали. А ты рассуждаешь о листке бумаги – это уже, собственно говоря, удвоенный Бушмейстер или, если хочешь, Бушмейстер «в чехле». Но и на нем происходят удивительные вещи: не пересекая края, ты можешь непрерывным движением перейти из точки, которая находится с одной стороны и тебе видна, в точку противоположной «в этом месте» стороны, от тебя закрытой. Ты совершенно правильно выразился сейчас, сказав «в том же месте с другой стороны». Если вырезать маленький кружок из Бушмейстера, то этот кружок будет такой же двусторонний, как и кружок, вырезанный из самой обыкновенной ленты. Но если его окрасить в разные цвета с разных сторон (например, с одной – в синий, а с другой – в красный), потом вставить обратно в ленту и закрасить соседние части ленты в цвет, одинаковый с цветом примыкающей стороны кружка, то может сначала показаться, что закрашены в разные цвета разные стороны поверхности. Но это можно сделать именно только «в данном месте». Если раскрашивать ленту дальше, то синий и красный цвета столкнутся. Где это случится? Сразу «на обеих сторонах»? Или «на одной из них»? Значит, у Бушмейстера, если взять его в целом, действительно нет возможности разграничить одну и другую стороны. Вот поэтому-то мы и называем его односторонним!

Радикс посмотрел на Илюшу, улыбнулся и промолвил:

– Можно проделать еще один интересный опыт с Бушмейстером, который, я надеюсь, покажется тебе более понятным. Пусть снова вдоль всего Бушмейстера, посредине, будет течь широкая речка.

Немедленно на Бушмейстере снова появилась речка.

– Выстроим на речке плотину, – сказал Радикс, – то есть превратим речку в пруд.

Речка сейчас же сделалась спокойной, как пруд, а на Бушмейстере появилась плотина, образовавшая широкую перемычку между тем берегом речки, у которого стоял Илюша, и противоположным.

– Теперь, – продолжал Радикс, – я беру двое обыкновенных на вид карманных часов. Одни я положу в виде островка в пруд слева от плотины, а другие – справа. Сейчас и те и другие часики стоят, а идти они начнут по команде нашей старой приятельницы – Точки.

Немедленно недалеко от плотины на поверхности Бушмейстера показалась и Точка.

– 134 —

– Теперь, – сказал Радикс, – мы пустим нашу Точку в обход пруда, причем она отправится с нашей стороны плотины на другой берег, а затем повернет направо и отправится в обход по берегу. Позволим ей кружиться вокруг нашего пруда в одном и том же направлении столько, сколько ей вздумается. А теперь слушайте меня, вы, часики ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!

– Тик-так. Слу-тик-ша-так-ем-тик-так! – ответили двое часиков. – Тик-так. Вот-как! Тик-так.

– Ну-ну! Потише! – заворчал на них Радикс. – Идти еще вам не полагается. Но вы должны пойти, когда каждым из вас скомандует Точка, проходя мимо. И при этом каждые из вас должны пойти так, чтобы ваши стрелки побежали в том же направлении, в котором вас огибает Точка, как будто она зацепила концы стрелок и увлекла их за собой.

Часики в один голос отвечали, что они поняли и так и сделают.

– Точка, вперед! – скомандовал Илюша.

Точка двинулась вперед, перешла через плотину и скомандовала правым часикам: «Шагом марш!» Первые часики немедленно пошли в обычном направлении – «по часовой стрелке», так как Точка, пройдя плотину, повернула направо по берегу пруда и проследовала дальше по изгибу ленты Бушмейстера. Через минуту она появилась снова: Илюша увидел ее слева от плотины, но, к своему удивлению, не на противоположном берегу, а на том самом, с которого она ушла. Точка снова скомандовала, на этот раз левым часикам: «Шагом марш!» Часики затикали, а Точка, пройдя через плотину и продолжая огибать левую сторону пруда, повернула налево и продолжала свое движение в том же направлении по ленте Бушмейстера.

Илюша наклонился над левыми часиками и убедился, что они идут полным ходом, но в направлении «против часовой стрелки», то есть в том направлении, которое в математике называется положительным направлением вращения.

– Вот так история! – сказал Илюша – Часики идут в разные стороны, а Точка обходит пруд все время в одном направлении. Как же это так выходит?..

Илюша еще раз проследил за Точкой и за часиками, посмотрел на все это очень растерянно и почесал в затылке.

– А здорово получается! – произнес наш герой. – Сперва Точка по моей команде идет вперед и пруд у нее справа. А когда она снова, объехав всего Бушмейстера, подходит к запруде, то пруд оказывается от нее слева… И если даже я просуну голову снизу и буду смотреть как бы «с другой сто-

– 135 —

роны», то опять получается, что сначала пруд у нее слева, а потом справа! А где она меняет свое «правое» на «левое», я найти не могу…

– Вот видишь, – промолвил Радикс наставительно, – на нашей поверхности не только нет «двух различных сторон», на ней нельзя установить и определенного «направления вращения». Одно и то же движение ты можешь воспринимать как вращение в обычном направлении часовой стрелки и одновременно в противоположном. Ведь ты, например, не можешь сказать, как твоя Точка обходит пруд: по часовой стрелке или против? Одно направление непрерывно переходит в другое, когда Точка обегает вокруг ленты.

Стрелки показывают, как двигалась точка

– Это ужасно трудно понять! – сказал Илюша. – Кажется, просто кусочек бумажки, а показывает какие чудеса!

– То-то и дело! Вот ты и мотай на ус! Ну, теперь еще одно крохотное чудо. Друг сердечный, Бушмейстер, а ты не мог бы немного уменьшиться?

Бушмейстер послушался и уменьшился примерно вдвое.

– Так-с, – сказал Радикс Илюше, поглядывая на него немного иронически. – Вот что: возьми ножницы. Как ты думаешь, можно нашего друга Бушмейстера разрезать вдоль по самой серединке?

– Наверное, можно, – сказал не совсем уверенно Илюша.

– А что из этого получится?

– Ну… получатся… два Бушмейстера. Вот и все.

– И больше ничего?

Илюша задумался и посмотрел внимательно на Бушмейстера.

– Ах нет! – сказал он. – Не только… будет, конечно, два Бушмейстера, но они друг за друга зацепятся… ну, как кольца в цепочке.

– Та-ак-с… – протянул Радикс. – Давай попробуем! Возьми-ка ножницы и разрежь его, беднягу, вдоль всего брюха, которое в то же время служит ему спиной. Посерединке. Как есть на свете головоногие существа, так и Бушмейстер есть существо спиннобрюхое. Ну-ка, режь! Посмотрим, что он запоет.

Оказалось, что стекло, из которого был сделан Бушмейстер, прекрасно режется обыкновенными ножницами. Илюша резал, держась самой середины ленты, добрался до того места, с которого начал

– 136 —

резать, и сделал последнее движение ножницами. Разрезы сомкнулись. Илюша вскрикнул и отскочил в сторону. На мгновение он испытал то же самое, что испытывает хорек, около которого мелькнут стальные челюсти капкана, или то, что испытывает водолаз, который глубоко под водой встретится внезапно со спрутом. Он глядел на то, что получилось, и глазам не верил. (А что получилось? Этого рассказать нельзя! Бери скорее ножницы и попробуй разрезать своего маленького бумажного Бушмейстера, как разрезал Илюша. И ты все узнаешь!)

– Ну? Как тебе это нравится? – спросил, улыбаясь, Радикс. – Ты, кажется, этого не ожидал?

– Нет, никак не ожидал.

Илюша обошел около того, что получилось из разрезанного Бушмейстера, постоял, подумал, а потом сказал:

– Теперь я, кажется, понимаю, почему Точке надо было его обойти два раза, чтобы попасть на старое место.

– Да, – сказал Радикс, – наш Бушмейстер до того лукав, что сразу не скажешь, что он выкинет.

– Какая хитрая штука! И я все-таки не совсем понял. Я, кажется, догадываюсь, что так должно быть, но не могу объяснить, как это происходит и почему. Только ты не смейся.