Текст книги "Волшебный двурог"

Автор книги: Сергей Бобров

ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Научный редактор проф. И. Н. Веселовский

Издание второе, переработанное и дополненное

Рисунки В. Конашевича

Схемы и чертежи М. Гетманского и Г. Соболевского

Сергей Бобров

ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

или

правдивая история небывалых приключений

нашего отважного друга

ИЛЬИ АЛЕКСЕЕВИЧА КАМОВА

в неведомой стране,

где правят:  ДОГАДКА, УСИДЧИВОСТЬ, НАХОДЧИВОСТЬ,

ТЕРПЕНИЕ, ОСТРОУМИЕ И ТРУДОЛЮБИЕ,

и которая в то же время есть

пресветлое царство

веселого,

но

совершенно таинственного существа,

чьё имя

очень похоже

на

название этой удивительной книжки,

которую надлежит читать

не торопясь

____

Издательство «Детская литература»

Москва 1967

Так, значит, давай познакомимся, любезный читатель!..

Когда вы узнаете о том, что давным-давно, в середине XVIII века, мальчик Блез Паскаль самостоятельно читал «Начала» Евклида, а девочка Софья Ковалевская[1]1
  Очерк о Софье Ковалевской можно прочитать в книге «Люди русской науки». М., Физматгиз, 1961, стр. 178.


[Закрыть] не так давно, в прошлом веке, ухитрилась разобраться в основах математического анализа по разрозненным листам учебника Остроградского, которыми случайно оклеили стены детской комнаты, то не удивляйтесь и не думайте, что это просто занимательные рассказы или поразительные исключения.

Что-нибудь в этом роде было в детстве у всякого, кто любил математику и затем всю жизнь работал в какой-либо ее области. Именно так, в самостоятельной работе, и проявляются первые начатки подлинного интереса к науке, именно так и растут будущие труженики на славном поприще научной деятельности.

Есть немало хороших книг, которые могли бы помочь любознательному школьнику, если он увлекается математикой.

Но нередко эти книги трудны и требуют от читателя большого напряжения, которое не всегда по силам учащемуся средней школы.

В этой книжке юным читателям дается такой материал по математике, который будит их интерес к знанию, раскрывает перед ними некоторые перспективы, позволяет представить себе, что такое математика. С другой стороны, здесь есть ма-

– 3 —

териал для самостоятельной работы, то есть не просто рассказы о математике, а нечто большее, что даст нашему читателю радость научного труда, радость небольшого, но все-таки заработанного собственными трудами познания.

Книга рассчитана на подростка, кончившего семь классов, и поэтому очень много в ней дать нельзя. Для примера укажем, что почти невозможно дать обзор научной деятельности Софьи Ковалевской, не говоря уже о более поздних ученых.

Однако все-таки возможно на ряде любопытных примеров ввести читателя в мир научной математической мысли. Некоторые из этих примеров принадлежат к исторически чрезвычайно важным, другие представляют собой не слишком трудные вещи, а иной раз это просто загадка, но за ней кое-что таится, и над этим стоит подумать.

А кроме того, эта книжка для того и написана, чтобы читатель понял, что математика – не только не скучная, но даже очень увлекательная наука! Если кто ее совсем не любит – пусть хоть заглянет в книгу. И даже он найдет здесь кое-что интересное…

Наш рассказ представляет собой фантастическое путешествие по волшебным странам математического мира, но читатель и сам довольно скоро разберет, что все те добродушные, веселые и шутливые фигуры, с которыми он повстречается, только для того и появились на белый свет, чтобы помочь ему поразмыслить над тем, что он найдет на страницах книги.

Читатель узнает, как человек изобрел и усовершенствовал такую великую вещь, как математический анализ, то есть то самое, что называется «высшей математикой». Рассказ наш доводится до примеров определенного интеграла и производной. А ведь это и есть тот самый крепкий и надежный фундамент, на котором покоится вся огромная современная техника.

Вторая наша тема, которой отдано гораздо меньше внимания, – это не-евклидова геометрия. Попутно и по необходимости мы касаемся и других вопросов. В частности, у нас есть обычные разделы занимательной математики – лабиринты, уникурсальные фигуры, игра в «Дразнилку». Есть и задачи-шутки, но некоторые из них совсем не так просты и касаются вещей серьезных.

Но если доктор У. У. Уникурсальян, с которым вы познакомитесь через несколько страниц и, надеемся, подружитесь, – великий мастер говорить длинные речи, причем иной раз довольно затейливо, то из этого еще не следует, что все, о чем здесь говорится, так уж просто и легко.

Впрочем, если уж читатель не сразу разберется в древней прекрасной легенде о царевне Ариадне и ее путеводной нити, то он не должен пугаться. Наоборот, он должен запастись тер-

– 4 —

пением и перечесть эту историю еще разок. Ничего не будет страшного, если он вернется к ней и третий раз. Надо все так хорошо разобрать, чтобы потом об этом понятно рассказать тому, кто совсем не читал этой книги. А как же достигнуть этого?

Да очень простым способом. Надо не просто перечитывать, а делать это в приятном обществе карандаша и бумаги. Втроем разобрать любую из наших историй гораздо легче. Не надо только забывать о том, что если всякий понимает, что школьная парта сделана из дерева, то далеко не всякий сумеет пойти в лес, срубить там дерево и сделать из него эту самую парту.

А нам с вами, чтобы научиться работать, надо непременно попробовать что-то сделать собственными руками, а не только знать понаслышке. А то ведь есть на свете такая обидная поговорка: «Слышал звон, да не знает, откуда он…» А узнать-то не так уж и трудно: подумать не торопясь, взяться и не бросать, пока не выйдет то, что надо.

Некоторые наши темы очень просты и касаются вопросов почти что шуточных. Но и в них, если как следует разобраться, есть немало интересного и очень полезного. Можно просто пообещать читателю: если ты проработаешь всю эту книгу, ты кое-что серьезное о математике узнаешь!

Таково мнение доктора У. У. Уникурсальяна, и мы вполне к нему присоединяемся. Он сам и все его друзья будут говорить с вами весело и любезно и терпеливо будут стараться навести вас на правильную мысль. А иной раз и подразнят немножко! Да ведь это любя, обижаться не стоит!..

Нет никакой нужды читать сразу всю книжку подряд.

Тот, кто сперва прочтет то, что полегче, а потом возьмется за более непослушные задачки, ничего не потеряет.

Может быть, прочитав эту книгу, захочется познакомиться и с другими книгами по математике. Сейчас у нас есть много хороших книг для самостоятельного чтения. Целый ряд их упоминается у нас в примечаниях. Большинство из них немного потруднее, чем эта книжка. Но ничего не поделаешь, надо привыкать работать с книгой. Если в примечании книга отмечена звездочкой в скобках (*), значит она повышенной трудности. Такую книгу лучше разобрать вместе с товарищами или с руководителем.

Есть еще очень полезные книжки, где рассказывается, как жили и трудились крупные ученые. Почитаешь и увидишь, что и им не все и не всегда легко давалось, но их горячая любовь к знаниям и упорство превозмогали трудности. Есть очень хорошие книги академика С. И. Вавилова о Ньютоне, профессора В. С. Кагана – о Лобачевском, французского ученого Дальма – о математике Галуа, революционере и ученом. Интересен

– 5 —

целый том «Воспоминаний и писем» Ковалевской. Можно порекомендовать несколько хороших книг по истории математики:

Н. Бурбаки «Очерки по истории математики» (*), а особенно надо посоветовать прочесть книгу Д. Я. Стройка «Краткий очерк истории математики».

Впрочем, если среди наших читателей найдутся такие, которым всего этого покажется мало, то в таком особенном случае можно посоветовать заняться очень полезной и сравнительно не очень трудной книгой Я. Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих». В этой книжке очень много хороших примеров из физики.

А вообще не надо робеть перед наукой. Конечно, не всякий будет в дальнейшем Ньютоном или Ковалевской. Но ведь в наши дни математика нужна повсюду – не только в инженерии, не только в космонавтике, а даже и в медицине, и в изучении литературы. У нас много больших научно-исследовательских институтов, где нужны математически образованные люди: ведь работа там идет коллективная и нередко совместные усилия дают плоды исключительной ценности. Наш дорогой Пушкин говорил, что надо «в просвещении быть с веком наравне». Это не очень легко, но и не так уж трудно, если любить это дело и понимать, до какой степени оно в наши дни нужно Родине.

Первое издание «Волшебного двурога» вышло в 1948 году.

Научным редактором книги был замечательный ученый Игорь Владимирович Арнольд, безвременно скончавшийся. Он не дожил двух месяцев до выхода в свет нашей книги.

В 1959 и в 1962 годах пишущий эти строки выпустил еще две книги по общедоступной математике – два томика «Архимедова лета», на которые мы будем ссылаться время от времени. Чтобы не писать каждый раз название этих книг, мы будем сокращенно обозначать таким образом: АЛ-II, XVIII, 4.

Это значит: «Архимедово лето», том II, глава XVIII, раздел 4.

Знай, дорогой мой читатель, что немало славных русских имен вписано золотыми буквами в книгу развития науки математической! Таковы – Остроградский, Лобачевский, Ляпунов, Чебышев, Марков, Вороной, Золотарев, Федоров, Ковалевская и многие другие. И из ныне здравствующих наших математиков есть немало таких, которые обогатили мировую науку поистине высокими достижениями. Назовем хотя бы Виноградова, Бернштейна, Колмогорова… Да ведь вот беда: за редкими исключениями, для того чтобы хотя бы разобраться в том, какими вопросами они занимались, надо знать во много-много раз больше того, чем говорится в этой книге!

Теперь уж, кажется, все ясно, только надо сказать еще два

– 6 —

слова тому, кто совсем не любит математику. Всякий понимает, что хочешь не хочешь, а считать-то надо уметь! Без этого не проживешь. А кто же такие эти ученые-математики? Чем они занимаются?

Каждый из нас слышал имя великого ученого Исаака Ньютона. Однажды он сказал, что геометрия, «будучи искусством точного измерения», была придумана людьми для того, чтобы мы, пользуясь чертежами, могли избегать утомительных вычислений. Другими словами, великий математик уверяет, что его наука дает нам возможность поменьше мучиться с вычислениями, а это ведь как раз и есть то, чего хочет человек, который не любит математики! Но когда наука идет вперед, постоянно упрощая для нас все более трудные задачи, она в то же время дает человеку гигантские силы, и он обретает возможность делать то, чего прежние поколения не могли изучить, попять и одолеть! Вот в чем самая сила, дорогой мой читатель, не забывай об этом.

Теперь, когда все самое главное уже высказало, читатель может еще спросить: «А почему же в этой книжке рассказывает о математике не ученый, а писатель?» Действительно, почему? Но, на этот вопрос давным-давно ответил великий писатель Земли Русской ЛЕВ ТОЛСТОЙ, который в своей работе «Что такое искусство?» 1897 г.) говорит: «Дело искусства состоит именно в том, чтобы делать понятным и доступным то, что могло быть непонятным и недоступным в виде рассуждений».

Автор считает своим приятным долгом выразить признательность научному редактору книги проф. И. Н. Веселовскому за целый ряд ценных указаний и поправок при редактировании.

– 7 —

Схолия Первая,

в которой наш любезный читатель знакомится… Впрочем, может быть, ты еще не совсем понимаешь, что такое схолия? Схолия, видишь ли, – это нечто очень интересное, и как-нибудь немного погодя я тебе все это изложу подробно. Ну, а теперь, конечно, ты уж и сам смекнул, что эта книжка рассчитана на довольно догадливых молодых людей. Знаешь ли ты, кстати сказать, что такое Эратосфеново решето? Если не знаешь, то я тебе и об этом тоже кое-что расскажу. Отсюда совершенно ясно, что я буду рассказывать, а ты, разумеется, будешь на ус мотать. А именно это-то и называется теперь у нас играть в схолии. Итак, внимание! Начинается Схолия Первая, в которой читатель знакомится с Илюшей Комовым, со всей его семьей и с одним очень странным существом, про которое весьма трудно сказать сразу, было оно или никогда и не бывало…

Дело клонилось к вечеру, и пора уже было лампу зажигать.

– Илюша! – сказала мама довольно настойчиво.

Она сказала это уже в третий раз, и на этот раз Илюша даже попытался ответить маме, но, кроме неясного мычания, никто ничего не разобрал.

Налька, сестра Илюши, которая сидела у окна и упивалась

– 8 —

«Графом Монте-Кристо», отвела глаза от книжки, хотя оторвать Нальку от чтения было не так-то просто. Но она всегда заступалась за Илюшу перед мамой, хотя с маминой точки зрения можно было обойтись и без этого.

– Мама, он сейчас, – сказала Наля.

– Это я уже слышала.

Тут и Илюша обрел дар речи.

– Мама, – произнес он в высшей степени убедительно, – я, честное слово… сейчас…

Папа опустил газету и сказал:

– Ну, Илюша, брось-ка ты эти свои пустяки и садись есть кашу.

Илюша встал со стула, но почувствовал себя оскорбленным в своих лучших чувствах.

– Папа, – ответил он, – у меня задачка не выходит!

– Задачка твоя от тебя никуда не уйдет, – возразила мама, – а каша стынет. Поешь, а потом возись хоть до света со своими задачками.

Илюша сердито уселся за кашу, взял ложку и принялся есть с большим аппетитом.

А затем мама убрала со стола, зажгли лампу. Потом Наля начала позевывать и не без сожаления захлопнула растрепанный том «Монте-Кристо». Илюша изгрыз весь кончик карандаша, а папа прочел всю газету. Мама сказала:

– Илюша, ты что же, правда до света сидеть намерен?

Илюша посмотрел на нее с чувством жестокой обиды. Ему хотелось ответить… Но он покосился на папу и решил отложить этот разговор, потому что папа очень плохо разбирался в препирательствах Илюши с мамой и обычно прекращал их в ту же минуту, совершенно не желая входить в обсуждение того, кто прав и кто виноват.

– Покажи папе, – предложила мама.

Илюше очень хотелось ответить: «И не подумаю», но вместо этого он вздохнул, взял задачник и медленно подошел к папе, разглядывая по дороге в сотый раз непослушную задачку.

Папа взял книгу.

– Так, – заметил он спокойно, – ну что ж тут такого?

Покажи-ка, как ты делал.

Илюша притащил тетрадку.

– Н-да, – сказал папа, – начал правильно. А теперь надо кончать. Скобки раскрывать раньше времени незачем. Ничего тут особенного нет.

Илюша посмотрел на папу, потом на пол.

– Не выходит! – сообщил он, хотя понимал, что повторять это и бесполезно и не так уж приятно.

– 9 —

– Не торопись, – ответил папа, отдавая ему тетрадку, – подумай. Это у тебя что такое?

Илюша посмотрел на строчку, которую указывал ему папин палец, и ничего не сумел ответить.

– Ну? – спросил папа.

Илюша посмотрел еще раз на спокойное папино лицо, потом на непонятную строчку и снова не ответил ни слова.

– Наверху у тебя что? – спросил папа.

– Разность кубов.

– Так. А внизу?

А что было внизу, в знаменателе, этого-то Илюша и не знал.

– Квадратный трехчлен! – сказал папа. – Неужели ты не знаешь? Проспал в классе?

– Ничего не проспал! – обиженно пробормотал Илюша.

– Допустим, – отозвался папа, – что не проспал. Но тогда – в предположении, что ты не проспал, – ты должен знать. А?

У папы была пренеприятная манера: если ему что-нибудь вот так пробурчишь, то он начинает говорить несколько насмешливым и совершенно безразличным тоном, и тогда уж от него толку не добьешься. Вот и сейчас как раз так и вышло.

Илюша взял задачник и тетрадку и поплелся обратно. «Квадратный трехчлен?..» Да, кажется, действительно было что-то, в этом роде, но что именно, припомнить было невозможно.

– Илюша, – сказала мама, – я тебе постелила. Ложись лучше спать. А завтра утром встанешь и на свежую голову сделаешь.

Илюша молча поглядел на маму. Завтра утром надо идти в школу, а идти с нерешенной задачкой не больно-то весело.

Наля ушла спать. А часы подумали, зашипели и пробили одиннадцать. Глаза у Илюши начали слипаться, а задачка все не выходила.

Мама тихонько сказала папе:

– Ну покажи ему.

А папа так же тихонько ответил:

– Что за баловство? А если бы некому было показать? Что тут для него интересного, если я покажу? Интересно самому добиться.

Папа встал с дивана и вышел. Мама тоже ушла. Илюша сидел, подпершись кулаком, и без всякого толку разглядывал довольно простой, но совершенно непонятный ответ в конце задачника.

Стало совсем тихо. Илюша попробовал было закрыть глаза, но быстро их вытаращил, потому что оказалось – глаза только этого и дожидаются да того и гляди сами закроются. Он серди-

– 10 —

то встал со стула, подошел к папиному столу, постоял, потом осторожно вытащил из стопки папиных книг одну наудачу, открыл и погрузился в непонятные рассуждения о паровых котлах. Перевернув рассеянно две странички с запутанными диаграммами, он уткнулся в формулу, где около хорошо известных ему алгебраических знаков стояла какая-то длинная черная закорючка, у которой был вид важный и неприступный. «Да-а! – подумал Илюша. – Ему хорошо, папе, если он и таких штук не боится. Что ему моя задачка!..» Положил аккуратно книжку на место, уселся за свой стол и погрузился в самые неопределенные раздумья…

Какой-то странный легкий шелест донесся до его слуха.

Илюша не обратил никакого внимания, но настойчивый шорох повторился и заставил его обернуться. И тут он увидел нечто удивительное.

Страница лежавшего перед ним на столе задачника тихонько шевелилась и вроде как поскрипывала, как будто под ней что-то ползало. Илюша недовольно сморщился, сообразив, что под лист забралось что-то вроде таракана. И как только он это подумал, справа из-за края страницы показались два тоненьких усика этого пройдохи, который – извольте радоваться! – нашел себе место для прогулок.

– Постой! – угрожающе прошептал Илюша и осторожно протянул руку, норовя половчее ухватить незваного гостя за его длинные усищи.

Но как только он их коснулся, немедленно отдернул руку, воскликнув: «Ах ты! Чтоб тебя!..», ибо эти усики сразу сомкнулись и так ущипнули его за палец, что он света невзвидел.

– Это что еще за новости? – сказал рассерженно Илюша, разглядывая красненькое пятнышко на пальце. – Да разве это таракан? Это прямо…

А под страницей опять что-то зашуршало, и какой-то тоненький голосок спросил укоризненно:

– А в каком смысле прямо, молодой человек?

Однако оцепеневший от удивления молодой человек не мог сообразить, кому и что именно надлежит отвечать на этот неожиданный вопрос.

Пока он размышлял над этой внезапно возникшей проблемой[2]2
  Вопрос о том, как надлежит в различных обстоятельствах разуметь и толковать слово «прямо», обсуждается весьма подробно в Схолии Четырнадцатой, так что ты уж, пожалуйста, не удивляйся этому вопросу.


[Закрыть], страница задачника медленно перевернулась, а нижний ее край плавно завернулся внутрь, будто кто-то собирался эту

– 11 —

страничку свернуть в фунтик. Илюша в удивлении протер глаза. Через мгновение некое престранное существо выпустило из крохотной своей лапки кончик странички, фунтик развернулся, и листок задачника лег на свое место. А странное существо спросило Илюшу тем же тоненьким голоском:

– Так как же это, молодой человек, насчет прямо, а? Что вы, собственно, имели в виду мне сказать?

Илюша вытаращил глаза на своего небывалого собеседника. Важный тон этого существа совершенно не соответствовал его комариному голоску. Крохотный блестящий глазок его был чуть побольше булавочной головки, однако смотрел так покровительственно-насмешливо, что Илюша даже немного оробел.

Мальчик промолчал целую минуту и наконец спросил:

– А кто ты такой?

Собеседник снисходительно ухмыльнулся и спросил в свою очередь:

– Неужели не узнаешь?

Илюша в недоумении пожал плечами.

Перед ним на страничке задачника стоял маленький, примерно в сантиметр ростом, знак квадратного корня.

Та длинная черта направо, под которой до сих пор люди добрые писали подкоренное количество, у него раздваивалась, как клюв, а на том месте, где обычно пишут показатель корня, сверкал хитро прищуренный глаз. А слева у него была крохотная ручонка, которая в настоящий момент сделала довольно выразительный жест, который как бы говорил: «Ну-с. молодой человек?..»

– 12 —

Схолия Вторая,

из каковой любознательный читатель… А что же такое все-таки схолия? Это, видишь ли, нечто вроде… Кстати: ты, друг-читатель, помнишь теорему Виеты? Не помнишь? Проспал, вроде как Илюша квадратный трехчлен? Ах, ты совсем не знаешь? У вас не проходили? Ты болел? Так, может быть, ты еще мал? Другими словами, тебе еще рано играть в схолии?.. Итак, в Схолии Второй читатель узнает, как Илюша познакомился поближе с тем самым странным существом, о котором автор этой удивительно правдивой книжки даже и сам не в состоянии толком сказать, было оно или не было.

– Послушай, – начал осторожно Илюша, – может быть, все это мне снится?

– А может быть, и не снится?.. – совершенно тем же тоном отвечал ему новый знакомый.

– Нет, – возразил мальчик, – я так не могу. Ничего не понимаю.

– А как же ты можешь?

– Не знаю, – отвечал Илюша.

– Очень мило! – отвечал ему собеседник с довольно ехидной улыбочкой. – Так мы и запишем: пункт первый – ты не можешь, пункт второй – ты не знаешь. И будем полагать сию тему исчерпанной. И, значит, начнем все сначала.

– 13 —

И тут Илюша, поеживаясь от недоумения, увидел, что его новый знакомый уже вырос примерно до метра ростом и что он, оказывается, сделан из какого-то блестящего синеватого металла. И оба они стоят в какой-то неизвестной до сих пор Илюше маленькой комнате, а прямо перед ними стена, которая отдаленно напоминает классную доску.

Илюшин знакомец состроил очень гордую мину и не то что проговорил, а, можно сказать, провозгласил:

– Мое имя Рáдикс, что означает по латыни «корень».

Ясно?

– Ясно, – торопливо пробормотал Илюша, вдруг потерявший способность противоречить.

– А это что такое? – спросил Радикс, указывая на темную стену.

Илюша поднял глаза и увидел на стене ряд алгебраических знаков. Знаки были все знакомые, но Илюше было как-то не по себе оттого, что знаки эти не стояли на месте, а толкались, бродили по всей стене из стороны в сторону, то собирались кучками, то вновь расходились.

– Квадратный трехчлен! – вдруг скомандовал Радикс, да так зычно, что Илюша даже вздрогнул.

– 14 —

И в тот же миг на стене воцарился полный порядок.

А Илюша в великом смущении увидел следующее:

(x+a)(x+b) = x² + (a + b)x + ab.

x² + 10x + 9 = (x+1)(x+9)

– Фу, какая ерунда! – воскликнул он. – И угораздило же меня такую простую вещь позабыть?

– Отсюда совершенно ясно, – продолжал Радикс, – что поскольку… Впрочем, этот маленький инцидент тоже можно полагать исчерпанным. Не правда ли?

Илюша еле выдавил из себя неопределенное мычание.

Но все-таки он несколько приободрился.

– Так вот, – вымолвил Радикс, – скажи, пожалуйста, как ты относишься к песенкам?

– К песенкам?.. – нерешительно повторил мальчик, не понимая, куда он клонит. – Да, в общем… как тебе сказать… ничего отношусь.

– Так не спеть ли нам песенку?

– Какую?

– А вот увидишь. Повторяй за мной и не сбивайся. А ну-ка!

И они запели следующую песенку:

 
Кто усидчив и проворен,
Тот нигде не пропадет.
Он посмотрит прямо в корень…
То есть нет, совсем не в корень,
Нет, не в корень, а под корень,
Карандашик погрызет,
Поглядит и извлечет.
Кто усидчив и проворен,
Тот нигде не пропадет!
 

Песенка понравилась Илюше, а самое главное – Илюша заметил, что песенка эта волшебная. Волшебство же ее заключалось в том, что хоть Илюша никогда ее не слыхал, он ни разу не сбился, когда пел ее.

– Ну, что ты скажешь? – вопросил Радикс. – Ты ведь понимаешь, что автор этой песенки я, а автора хлебом не корми, а только похвали. Что ж ты не хвалишь мою песенку?

– Очень хорошая песенка, – торопливо выговорил Илюша как только мог любезно, – но только, видишь ли, мне очень стыдно, что я запутался и забыл эту формулу…

– А у нас об этом, – вкрадчиво отвечал ему собеседник, – еще будет случай потолковать по душам. Не бойся, но забудем!

– 15 —

А пока поставим точку. Вопрос исчерпан. Вернемся лучше к песенке. Усвоил ли ты ее содержание?

– Содержание… – отвечал несколько ошеломленный Илюша, – я усвоил. То есть, видишь ли…

Тут Радикс глянул на мальчика очень важно.

– Хм… – протянул он. – Усвоить содержание дело хорошее. Но что бы ты мог ответить на эту песенку?

Илюша посмотрел на Радикса, помолчал, потом сказал:

– Может быть, если бы я просто попробовал разложить этот трехчлен на множители, вместо того чтобы сидеть да злиться, так он бы разложился в лучшем виде и я бы все вспомнил?

– Вот это дело! – воскликнул Радикс. – Хорошо сказано. Поддерживаю и присоединяюсь… А поскольку это действительно так, то я готов предложить тебе в качестве премии еще одну песенку. Тут, видишь ли, вот какая история…

При этих словах Радикс задумчиво почесал себе бровь (потому что затылка в его распоряжении не имелось).

– Кто-то мне недавно говорил, уж не помню кто, будто ты любишь математику…

– Конечно, люблю. И даже очень, – отозвался немедленно мальчик. – Да ты не думай, пожалуйста, что я хвастаюсь! Сам Василий Иваныч в классе говорил, что мы у него с Колькой Неверовым математический актив.

– А ведь это, братец, довольно ответственное звание – «математический актив», если положить, к примеру, что Василий Иваныч говорил всерьез.

Илюша замялся. Ему хотелось согласиться, а все-таки немножко неловко самому о себе говорить как о «довольно ответственном математическом активе»…

– Ничего, брат, не поделаешь, – отвечал Радикс. – Хочешь быть в математическом активе, так нечего трусить. Давай попробуем?

Илюша не знал, что на это ответить, и спросил:

– А про какую ты песенку говорил?

Радикс улыбнулся, стал рядом с Илюшей и протянул ему свою руку.

– Это будет, – сказал он, – совершенно новая и особенная песенка – и заметь: она с секретом. Внимание!

 
Двадцать две совы скучали
На больших сухих суках,
Двадцать две совы мечтали
О семи больших мышах.
О мышах довольно юрких,
В аккуратных серых шкурках.
 

– 16 —

 
Слюнки капали с усов
У огромных серых сов.
Вот как жили-поживали
Эти совы на суках —
Двадцать две совы мечтали
О семи больших мышах.
 

– Песенка хорошая, – сказал Илюша, – только я не совсем понял, в чем тут дело.

– Я ведь тебе сказал, что песенка эта с секретом. Дано: совы, мыши и так далее, рифмы, строчки и все такое. Спрашивается: о чем повествует данное сочинение?

Илюша думал, думал, но придумать ничего не мог.

– Слабо, слабо! – отозвался собеседник. – Тогда вот ты мне что скажи: слыхал ли ты что-нибудь о музах?

– Слыхал, – отвечал мальчик. – Это такие, вроде богинь у греков были, и они разными искусствами занимались: одна театром, другая стихами, и так далее.

– Справедливо! А тебе никогда не приходилось слышать, чтобы эти музы действовали хором?

– Хм… – протянул Илюша. – Постой-ка, я как будто бы что-то слышал на этот счет… только не помню что.

– А насчет любви к родному краю?

– К родному краю?.. – удивился Илюша. – А-а! Стой-ка, я, кажется, теперь вспомнил. Это такие стихи, мне их папа уже сколько раз читал. Их сочинил Валерий Брюсов:

 
Свой хор заветный водят музы
Вдали от дольних зол и бед.
Но ты родные Сиракузы
Люби, как древле Архимед.
 

Ты об этом говорил?

И так как Радикс подмигнул, мальчик воскликнул:

– Понял! Это ты спел песенку про архимедово число. Двадцать две совы на суках, то есть наверху, – это числитель. А семь мышей – те внизу, это знаменатель. Выходит дробь двадцать две седьмых, отношение окружности к диаметру. Только ведь это не очень точное значение! У папы в справочнике я видел это число π с пятнадцатью десятичными знаками, а папа говорит, что на самом деле этим знакам и конца нет. Впрочем, папа сказал, что очень уж много знаков и не нужно. А все-таки хочется запомнить побольше. Да никак не запомнишь!

– Это пустяки! – сказал Радикс. – Могу помочь тебе и

– 17 —

выдумать хоть тысячу песенок для этого, и все будут разные.

Про что хочешь? Про длинное π? Так я такое π тебе подарю, что с ним ты можешь делать микроскопы, телескопы и все, что хочешь. Только эту высокоторжественную песенку надлежит петь погромче:

 
Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз.
 
 
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам заняться,
Оказать старинке честь.
 
 
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть,
Надо только постараться
И запомнить все как есть:
 
 
Три – четырнадцать – пятнадцать —
Девяносто два и шесть!
 

Ну-с! – произнес Радикс. – Вот мел, вот тебе плоскость, то есть стена, она же доска, пиши!

Илюша взял мел и написал на стене:

3,1415926…

– Ясно. Теперь не забуду. Превосходная песенка!

– Песенка полезная, – отвечал, задумчиво улыбаясь, Радикс. – Ты можешь быть уверен, что это приближенное значение π годится для самого точного расчета, потому что если ты возьмешь даже не семь, а только шесть знаков, то и тогда получишь прекрасные результаты. Если, например, вычислять длину окружности, диаметр которой равен одному километру, то ошибка будет меньше миллиметра… В пятом веке нашей эры китайские математики предложили дробь 355/113 в качестве приближенного значения π. Эту дробь запомнить нетрудно.

Напиши по два раза три первых нечетных числа – единицу, тройку и пятерку, – то есть 113355, раздели эти шесть цифр на две группы, по три цифры в каждой: вторая будет числителем, а первая – знаменателем. Просто и ясно!

– Ловко! – ответил Илюша улыбаясь.

– Кстати, – добавил Радикс, – известно ли тебе, что египтяне полагали, что площадь круга равна квадрату восьми девятых диаметра? Если ты припомнишь формулу площади круга, то легко можешь найти, чем египтяне заменяли π. И тогда увидишь, что египетское приближение не так уж плохо. Ва-

– 18 —

вилонские математики – древние звездочеты, халдеи – иногда считали π равным просто трем. Они исходили из того, что радиус шестикратно помещается в окружности в качестве хорды, и это деление круга сперва на шесть частей, а потом на двенадцать и привело к первому, очень неточному значению числа π, которое было принято равным 3,0. Это же значение приводится дважды и в библии. А индусы полагали, что корень квадратный из десяти очень близок к числу π. Ты это и сам легко можешь проверить на бумажке[3]3
  Загляни, мой хороший читатель, в АЛ-II, XVI, XVII, XVIII, там все это рассказано очень подробно.


[Закрыть]. Тебе, быть может, небезынтересно будет узнать, что в первом русском учебнике математики, в «Арифметике» Леонтия Магницкого, которая вышла в свет в самом начале восемнадцатого века, первое значение для π, которое узнали на Руси, как раз и было архимедовым числом, то есть равнялось двадцати двум седьмым.

И если ты действительно любишь математику, то так и быть, я могу тебе подарить на память о нашей встрече совершенно замечательное приближение для π. В нем довольно много знаков, а нашел его математик Шэнкс лет восемьдесят тому назад. Я так полагаю, этого тебе хватит! Вот оно какое:

 
π = 3,
14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288
41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164
06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148
08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172
53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211
05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975
66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120
19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482
13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315
58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436
78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841
46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953
09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446
23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381
83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021
39…[4]4
  Однако, как на грех, при переписке Шэнкс пропустил один нуль, и эту его ошибку обнаружили только в 1948 году. Теперь с помощью электронно-счетных машин найдено уже несколько тысяч знаков числа π.


[Закрыть]
 

В этот самый миг вдруг где-то сбоку раздалось оглушительно-грозное громыхание, а вслед за ним послышался такой пронзительный шип, что Илюша даже вспомнил, как шипит паровоз, когда машинист выпускает пар. Только здесь, видимо, шипел не один паровоз, а штук десять сразу…