Текст книги "Волшебный двурог"

Автор книги: Сергей Бобров

сообщить о нарушении

Текущая страница: 24 (всего у книги 31 страниц)

Точки А и В лежат на кругах, но которым вписанные шары соприкасаются с конусом. Ясно, что ВА есть величина постоянная? А ну-ка, докажи это равенство!

F₁P + F₂P = BP + РА = ВА

Кто сам докажет, того переводим без экзаменов в следующую схолию. F₁ и F₂ – фокусы.

Так как шары ее крепко держат, то мы попросим первый шар, который поменьше, потесниться и сделаться немного меньше.^{14} Когда таким образом нам удастся повернуть секущую плоскость под некоторым углом к основанию конуса, то сечение конуса станет уже не кругом, а эллипсом, а два шара будут касаться секущей плоскости (а тем самым и плоскости эллипса) в двух точках, а не в одной. Эти две точки называются

– 374 —

фокусами эллипса. Так вот, эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная. По нашей фигуре эта постоянная равна длине общей касательной к двум шарам. Кстати сказать, не так трудно представить себе, что прямые, соединяющие фокусы с любой точкой эллипса (его радиусы-векторы), каждый раз образуют между собой некоторый угол. Так вот биссектриса этого угла как раз будет нормалью эллипса к данной точке, а следовательно, найти и касательную к эллипсу не очень сложно. В таком случае гипербола есть геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная. Вот попробуй нарисуй чертеж с конусом и двумя шарами, при помощи которого это было бы легко доказать. Из этого нового определения эллипса получается простой способ черчения эллипса. В двух точках – фокусах – ты накалываешь на бумагу две кнопки. Потом берешь нитку и связываешь ее колечком так, чтобы вся длина этого кольца была pавна расстоянию между фокусами плюс та самая постоянная сумма расстояний от точек эллипса до двух фокусов. Надеваешь эту связанную

Вот как чертится эллипс.

Кто скажет, в каком отношении друг к другу находятся отрезки F₁E и F₂E – с одной стороны, и большая ось эллипса AB – с другой? Карандаш уверяет, что стоит ему дойти до точки…

– 375 —

нитку на кнопки, а потом поддеваешь ее кончиком карандаша, натягиваешь и чертишь. Карандаш тебе как раз вычертит эллипс. Чем ближе поставить при одной и той же нитке фокусы-кнопки, тем больше эллипс будет походить на круг.

Чем дальше их расставить, тем более продолговатым будет эллипс. Если поставить кнопки совсем рядом, а нитку взять подлинней, то эллипс трудно будет отличить от круга, то есть когда фокусы сходятся в одной точке, эллипс превращается в круг. А если ты так далеко расставишь кнопки, что нитка совсем натянется, эллипс превратится в отрезок прямой.

– Так, – отвечал Илюша. – Обязательно попробую. Эллипс ведь очень красивая фигура! Ну, а если взять не сумму расстояний до двух точек и не разность, а, например, произведение?

– Тогда получится овал или восьмерка. Эта фигура называется лемнискатой. Ее построил математик Яков Бернулли. Уравнение этой кривой будет не второго порядка, как все конические сечения, а четвертого.

– Ишь какая важная!

– Это еще невелика важность, – ответил, усмехнувшись, Радикс.

– А начертить параболу и гиперболу труднее, чем эллипс?

Вот как надо чертить гиперболу.

– Нет, – отвечал Радикс, – не так уж трудно. Гиперболу, можно начертить так. Возьмем линейку и закрепим ее в одном из фокусов одним концом так, чтобы она могла вращаться вокруг фокуса, как на шарнире. Гипербола определяется, как мы говорили, постоянной разностью между расстояниями от каждой ее точки до двух фокусов. Назовем эту разность 2а и расстояние между фокусами 2с, причем с всегда больше а. У эллипса, кстати сказать, будет как раз наоборот, если называть там 2а суммой соответствующих расстояний.

Так вот, берем линейку, которая должна быть длиннее расстояния 2с, и нитку, длина которой равна длине линейки минус 2а. Один конец нитки закрепляем кнопкой в свободном фокусе (то есть не в том, в котором мы закрепили линейку), а другой ее конец

– 376 —

Прошу любить да жаловать! Это сама Лемниската Яковлевна Бернулли. Основное ее свойство в том, что произведение [(F₁A) (AF₂)] есть величина постоянная, то есть площадь квадрата со сторонойF₁Oравна площади прямоугольника со сторонамиF₁АиAF₂.

прикрепляем к свободному концу линейки. Теперь, если натягивать кончиком карандаша нитку по линейке и в то же время поворачивать линейку около фокуса, карандаш начертит гиперболу.

– Это я тоже вычерчу! – отвечал Илюша. – А параболу?

– А параболу чертят при помощи линейки и угольника. Ты ставишь линейку по директрисе параболы и прикладываешь к ней вплотную угольник малым катетом. Потом берешь нитку, равную по длине большому катету, и закрепляешь ее с одной стороны в фокусе параболы кнопкой, а с другой – в конце большого катета, у острого угла. Натягиваешь нить карандашом, а в то же время заставляешь малый катет угольника скользить по линейке.

– Ну хорошо, – сказал Илюша. – А как же

Можно увидеть Лемнискату, если удастся достать арагонитовую либо селитряную пластинку и рассматривать ее в поляризованном свете.

– 377 —

решается уравнение третьей степени, то есть кубическое? Мы чертили график этого уравнения и находили максимум и минимум ординаты. А как найти корни?

– В частных случаях иногда кубическое уравнение решается довольно просто. Вот задача индусского математика Бхаскара Ачариа, жившего в двенадцатом веке нашей эры:

х³ – 6х² + 12x; = 35.

Достаточно в левой части прибавить и вычесть восемь, чтобы получить точный куб:

(х³ – 6x² + 12x – 8) + 8 = 35,

х³ – 6х² + 12х – 8 = 27;

(x – 2)³ = 27;

х – 2 = 3; х = 5.

Индусский математик нашел только один корень. Другие два будут комплексные, и их легко найти, выделив один из множителей нашего четырехчлена, то есть:

Вот как чертят параболу.

– 378 —

x³ – 6x²+ 12x – 35 = 0;

х³ – 5х² – х² + 5х + 7х – 35 = 0;

х²(х – 5) – х (x – 5) + 7 (х – 5) = 0;

(х – 5) (х² – х + 7) = 0.

Затем ты приравниваешь нулю трехчлен во второй скобке и решаешь квадратное уравнение. Так мы найдем два комплексных корня. А для общего случая есть специальная формула, открытая в шестнадцатом веке итальянским математиком Тарталья, хотя ее чаще называют формулой Кардана, по имени другого математика, современника Тартальи, который ее впервые опубликовал. История этого Тартальи весьма поучительна. В начале шестнадцатого века его родной город Брешиа взяли приступом неприятельские войска. Тарталья, шестилетний мальчик, был найден с разрубленным лицом около бездыханного тела своего отца. Из-за этой раны он так и остался заикой на всю жизнь, а «тарталья» как раз и значит «заика» – это не имя его, а прозвище. Мать его после кончины отца осталась в такой нищете, что взяла своего сынишку из школы, как только он выучил азбуку до буквы «к». Но мальчик горячо любил науку и сам выучился грамоте, потом древним языкам, без которых в то время нельзя было учиться дальше, а затем овладел математикой. А ведь он был до того беден, что даже не мог купить себе бумаги для вычислений и проделывал их на плитах старого кладбища! Тем не менее он стал ученым и сделал немало для алгебры[28]28
  Об этом подробнее смотри в Схолии Девятнадцатой.


[Закрыть]. Вот какая замечательная настойчивость!

– Как наш Ломоносов!

– Правильно! – отвечал Радикс. – Великий был человек Ломоносов. И не зря он выразил уверенность, «что может собственных Платонов и быстрых разумом Невтонов Российская земля рождать».

– А почему он вспоминает Платона?

– Потому что Платон тоже занимался математикой и очень ценил ее. Из его сочинений извлечено теперь много данных о древней науке[29]29
  В книге Ван-дер-Вардена «Пробуждающаяся наука» в главе VI «Век Платона» много интересного.


[Закрыть]. Полагают, например, что он дал определение понятию геометрического места. Добавлю, кстати, что кубическая парабола – немаловажная в технике кривая. Например, когда строители железных дорог рассчитывают поворот пути так, чтобы поезд на большой скорости плавно повернул по рельсам, то это закругление нужно рассчитывать именно по кубической параболе.

– 379 —

– Мне еще хочется узнать про максимумы, – попросил Илюша. – Это очень трудно – их определить?

– Да нет, – отвечал Радикс, – не так уж трудно. Давай возьмем пример. Допустим, имеется прямоугольник. Какие надо взять стороны у прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей, если сумма этих двух сторон равна восемнадцати?

– Плохо я что-то понимаю эту задачу! – заметил Илюша.

– Ты слушай, – отвечал Радикс, – и постепенно уразумеешь. Начнем вот с чего. Пусть наши стороны-множители будут а и b, а их сумма будет с, то есть

а + b = с.

Теперь возьмем квадраты их суммы и разности и вычтем один из другого:

 
(а + b)² = а² + 2ab + b²
—
(а – b)² = а² – 2ab + b²
–
(a + b)² – (a – b)² = 4ab
 

Так как (а + b) равно с, то мы можем написать:

с² – (a – b)² = 4ab,

или так еще:

ab – c²/4 – (а – b)² / 4

Отсюда ясно, что поскольку с есть величина постоянная, то произведение ab изменяется только в зависимости от изменения разности (а – b), но так как квадрат этой разности с минусом, то ясно, что это произведение тем больше, чем меньше абсолютная величина разности (а – b). Следовательно, произведение двух чисел тогда достигает максимума, когда абсолютная величина их разности достигнет минимума. Тебе это ясно?

– Как будто ясно.

– Ну, поехали дальше! Давай назовем игреком искомое произведение. А части его – одна будет икс, а другая…

– А другая будет восемнадцать минус икс, – подсказал Илюша.

– Верно. Следовательно, игрек будет записан так:

y = x(18 – x)

– 380 —

Теперь возьмем разность наших множителей. Назовем ее игрек со штрихом, то есть игрек-штрих:

y′ = x – (18 – x)

Так как мы хотим, чтобы этот игрек-штрих стал минимальным, то поищем, чему должен равняться икс, если игрек-штрих станет нулем. И напишем:

х – (18 – х) = 0;

х – 18 + х = 0;

2х = 18;

х = 9.

Произведение достигает максимума, когда одна его часть равна девяти, а следовательно, и другая тоже равна девяти. Другими словами, максимальную площадь из всех прямоугольников с одинаковым периметром имеет квадрат. Составим табличку. В третьей графе ее стоит не самая разность, а ее абсолютная величина. Дальше девяти табличку продолжать не стоит: все будет симметрично повторяться в обратном порядке.

x			18 x		x – (18 x)		x (18 x)
1			17		16		17
2			16		14		32
3			15		12		45
4			14		10		56
5			13		8		65
6			12		6		72
7			11		4		77
8			10		2		80
9			9		0		81

Из двух последних столбцов видно, что когда множители равны, то их разность, как и полагается, равна нулю, а произведение их становится наибольшим, то есть достигает максимума.

– Так, – сказал Илюша. – Действительно, если продолжить табличку и иксу дать значение «десять», то другой множитель будет равен восьми и произведение пойдет на убыль в обратном порядке. Действительно, максимум!

– А теперь давай начертим график нашего уравнения:

у = 18х – x²

– 381 —

Ты видишь, что эта кривая (а это парабола!) как раз проходит через наивысшую точку, когда икс равен девяти. Что означает с геометрической точки зрения то обстоятельство, что для икса, равного девяти, игрек-штрих равен нулю? Дело в том, что игрек-штрих показывает, как меняется угловой коэффициент касательной к параболе. А ты, наверно, помнишь, что этот коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной по отношению к положительному направлению оси абсцисс? Ты, наверное, помнишь и то, что когда кривая достигает максимума, то касательная, естественно, располагается…

– Параллельно оси иксов, то есть горизонтально! – подхватил Илюша.

– Верно! Ну, а теперь скажи мне, какой она в таком случае образует угол с осью абсцисс?

– Никакого угла она не образует!

– Никакого?.. – переспросил Радикс. – Таким образом, если тебя кто-нибудь попросит сказать, тепло ли сегодня на улице, то ты посмотришь на градусник за окном, увидишь, нуль градусов, и скажешь, что сегодня никакой температуры не наблюдается. Так я тебя понял?

– Нет, – сказал Илюша, смутившись, – конечно, так сказать нельзя. Тут я должен сказать, что угол этот заключает в себе нуль градусов.

– Как раз! – отвечал Радикс. – А теперь ответь мне, чему равен тангенс нуля градусов?

– Нулю, конечно!

– Ну, так вот игрек-штрих и дает этот самый нуль. Вот как производится изыскание максимумов или минимумов! Это одна из самых важных задач в дифференциальном исчислении. Этим делом очень много и плодотворно занимались Ферма и Паскаль. Впрочем, задача, которую мы сейчас разбирали, была решена еще греческим математиком Никомахом во втором веке нашей эры.

– А на самом деле, когда математики ищут максимум, они тоже так поступают, как ты мне сейчас показывал, или ты это только для меня придумал?

– Так делали в старое время, во времена Ферма, например.

– 382 —

А сейчас это делают немножко не так. Смысл действий, впрочем, один и тот же.

– А как это теперь делается?

– Ну что ж, давай попробуем одолеть и эту премудрость. Если мы возьмем ту же самую функцию да еще припомним то, как мы рассуждали по вопросу о превращении секущей в касательную в предыдущей схолии, то справиться с этим будет не так уж трудно. Для этого нам необходимо, как ты, вероятно, помнишь, исследовать параболу с точки зрения изменения… Ну-ка, скажи мне: изменения чего?

– Я думаю, – довольно бойко отвечал Илюша, – что речь пойдет об изменении скорости, с которой растет функция.

– Правильно. Итак, приступим к изучению изменения скорости изменения функции. Для этого дадим независимой переменной, то есть иксу, некое приращение, которое мы обозначим через Δх. Здесь Δ – не множитель, а заменяющая слово «приращение» прописная греческая буква «дельта», которая читается, как наше «Д». А читается формула просто: «дельта икс». Приращение это не очень большое, не очень и маленькое, но, в общем, конечное. Теперь поскольку икс, независимая переменная, получил некое приращение (ну, допустим, что икс у нас равнялся двум, а теперь будет два и нуль-нуль-три после запятой), то, так как игрек есть переменная…

– Зависимая! – подсказал проворно Илья.

– … а следовательно, и она должна тоже… Что тоже?

– Тоже получит приращение.

– Ответ достойный. И мы назовем это приращение Δу, то есть «дельта игрек». Когда мы найдем приращения, то возьмем их отношение. Если все это изобразить на чертеже, то легко заметить, что получается тот же самый замечательный характеристический Паскалев прямоугольный треугольник, который ты видел на странице… (не спутай только этот Паскалев треугольник с другим, биномиальным Паскалевым треугольником, о котором шла речь в Схолии Седьмой!

Не забудь, что это характеристический дифференциальный треугольник, введенный впервые Архимедом!). Катетами его будут Δх и Δу, а гипотенузой будет прямая, которая рассечет нашу кривую и которую за это самое люди добрые зовут…

– Секущей, – отвечал мальчик.

– А теперь скажи, каков смысл этого отношения?

– По-моему, это будет тангенс угла α, – сказал Илюша.

– Несомненно. Только я тебя спрашиваю не про то, что это будет, а что это означает.

– Мне кажется, что этот тангенс как-то, может быть, и

– 383 —

грубо, но все же измеряет ту же самую скорость. Я заключаю это из того, что если все построение сдвинуть по абсциссе вправо или влево, не изменяя размеров приращения икса, то наклон секущей по отношению к положительному направлению оси абсцисс, – а следовательно, и тангенс соответствующего угла, – изменится. И изменится в соответствии с изменением скорости роста нашей функции.

– Превосходно, молодой человек! Но это все же еще не совсем точно. Давай-ка вычислим, чему же равно это отношение. Пусть до приращения икс достиг значения, которое мы обозначим просто х, а соответственный игрек – аналогично тоже просто буквой у, и пусть переменные, получив и та и другая свои приращения, получат значения x₁ и у₁. В таком случае можно написать, что

Δх = x₁ – х;

Δy = y₁ – y = (18x₁ – x₁²) – (18x – х²),

а следовательно, отношение их будет

Δx / Δy = (18x₁ – х₁² – 18x + х²) / (x₁ – x)

Вот что представляет собой тангенс наклона секущей. Ты был прав, говоря, что он измеряет скорость изменения функции. Но вот на что следует обратить внимание: а хорошо ли он ее измеряет? Ясно, что не очень хорошо, ибо его показания зависят от размера приращения независимой переменной. Это раз. Во-вторых, ясно, что секущая может дать указания на скорость лишь в среднем, на измеряемом промежутке, то есть только в общем, а отнюдь не в тех важнейших подробностях, которые могут понадобиться в исследовании. И вот в силу этих двух особенностей это показание недостаточно. Что же следует сделать и как с ним поступить, дабы его коренным образом улучшить? Для этого мы начнем сближать х₁ и х, тогда y₁ и у также начнут сближаться. И если мы будем все уменьшать и уменьшать расстояние между х₁ и х, то при безграничном уменьшении секущая… Что сделает наша секущая?

– А как ты будешь уменьшать? – спросил в свою очередь Илья, глянув на чертеж.

– Я буду придвигать х₁ к х справа налево.

– В таком случае

– 384 —

секущая станет поворачиваться около точки A^{15}. И в конце концов она станет не секущей, а касательной.

– Я бы только сказал не «в конце концов», а в пределе. Так! Ну, а теперь посмотрим, что получится с этим уменьшением приращений не на чертеже, а в нашей формуле отношения приращений:

Δx / Δy = (18x₁ – х₁² – 18x + х²) / (x₁ – x)

Дальнейшие преобразования уже несложны:

Δx / Δy = (18x₁ – х₁² – 18x + х²) / (x₁ – x) = [18(x₁ – x) – (х₁² – х²)] / (x₁ – x) =

= [18(x₁ – x) – (х₁ – х)(х₁ + х)] / (x₁ – x) = 18 – (х₁ + х)

Теперь, если х₁ безгранично приближается к х, а у₁ тем же порядком приближается к у, то, очевидно, мы уже получаем полное право в пределе не делать отличия между х₁ и х, а просто положить их равными друг другу. Тогда правая часть последней формулы превратится в

18 – 2х.

Это и будет искомая производная. А чтобы найти максимум, мы должны приравнять ее нулю, решить получившееся уравнение относительно икса – и все. Отмечу еще, что предел отношения обозначается теперь уже не через отношение дельт, а через отношение латинских d; пишется

dy / dx = 18 – 2х ,

а читается «дэ игрек по дэ икс». Но, конечно, для более сложных функций все это сделать труднее. Дифференциальное исчисление и занимается установлением формул и правил, с помощью которых можно, зная выражение у через х, найти закон «изменения скорости изменения» у, то есть найти выражение для производной dy / dx. Интегральное исчисление, как мы выяснили, занимается обратной задачей.

– Очень хорошо! – воскликнул Илюша. – Теперь еще только один вопрос. Ты обещал рассказать про гору Пюи-де-Дом и Паскаля.

– 385 —

– Хорошо! Это происходило в то самое время, когда европейские мыслители нового времени начали деятельно и успешно бороться со схоластическим (только не путан с нашими схолиями!) мировоззрением. Схоласты старались все доказывать не опытным путем, а при помощи ссылок на авторитеты. Дело доходило до очень смешных, с нашей точки зрения, разговоров. Одни из очень видных схоластических мудрецов, например, утверждал, что чудеса, о которых рассказывают монахи, вещь вполне возможная, и ссылался при этом всерьез на поэмы римского стихотворца Овидия, который просто писал очень красивые и замысловатые сказки в стихах о волшебных превращениях[30]30
  Замечательный римский поэт Публий Овидий Назон жил в Риме на самом рубеже древней и нашей эры.
Имел он песен дивный дарИ голос, шуму вод подобный…  Так сказал о нем наш дорогой Пушкин в «Цыганах». А в «Евгении Онегине» Пушкин вспоминает о том, как Овидий умер изгнанником:
В Молдавии, в глуши степей,Вдали Италии своей.

[Закрыть]. А наш мудрец все это принял за чистую монету. Если так рассуждали в то время ученые-философы, то можешь себе представить, что делали люди менее образованные! Так вот, в то время единственным авторитетом в области физики признавался Аристотель. И мнения этого «великого стагирита», то есть уроженца города Стагиры, нельзя было оспаривать. Аристотель объяснял явление всасывания, которое наблюдается в насосе, тем, что «природа боится пустоты». Эта странная черта характера природы никого не удивляла, никто и не подумал найти ее причину, и дальше этого объяснения не шли. Но в семнадцатом веке, когда техника уже значительно ушла вперед и, в частности, в связи с развитием горного дела развилась техника водоотливных средств, Торичелли под влиянием Галилея произвел замечательные опыты и неожиданно для всех мудрецов нашел свою знаменитую «торичеллиеву пустоту». Паскаль повторил опыты Торичелли, но с очень важным усложнением; он делал их на разной высоте над уровнем моря, дабы обнаружить различия в давлении атмосферы на разных высотах, вполне объясняющие боязнь пустоты. Это ему удалось в полной мере. По просьбе Паскаля его шурин проделал опыты на горе Пюи-де-Дом, на сравнительно большой высоте. Паскаль так ценил эти опыты на горе Пюи-де-Дом, что придумал себе даже особенный псевдоним «Луи де Монтальт», что обозначает «Луи с Высокой Горы». Это был великий бой ученых с невежеством, и высота Пюи-де-Дом, этот Монтальт Паскаля, осталась в этой битве за нами!

– 386 —

– Ура! – закричал Илюша. – Наша взяла! А отбить они ее уже больше не могли?

– Нет! Шалишь! – отвечал Радикс. – Противник предпринимал неоднократные контратаки, но был отбит с тяжелыми потерями.

– Так им и надо! А теперь расскажи мне подробней о Галилее.

– Видишь ли, – не сразу ответил Радикс, – дело не столько в самой математике у Галилея, сколько в его прогрессивных научных стремлениях и в распространении его убеждений. Вместо схоластических разглагольствований и бесконечных ссылок на древних, он пытался находить законы природы, определить их и математически сформулировать. Он сам говорил: «Геометрия учит нас изобретательности», то есть геометрия учит ставить физический опыт так, чтобы его результат можно было бы изложить просто, кратко и ясно при помощи математической формулы. Галилей исследовал законы падения тел. И помогли ему в этом Архимед, Аполлоний, а также и древние вавилоняне.

– Хорошо! Но ты все-таки расскажи мне пояснее об этой математической формулировке…

– Видишь ли, существует понятие о «математическом естествознании», которое в общем сводится к разысканию тех математических законов, которые и есть законы природы. Их изучение началось очень давно. Нет сомнения, что вавилонские астрономы были зачинателями этого. Правда, у них сюда еще запутывается лженаука астрология, гадание по звездам, но мы на это можем не обращать внимания. Вернемся к тому дельному и трезвому, что у них было. Это были, например, попытки с помощью некоторых математических правил выразить движение небесных тел Солнечной системы. Так как календарь для человеческого общества вещь немаловажная, то эта тема никогда от внимания ученых не ускользала. Важные попытки были сделаны и в Древней Греции. В начале нашей эры (в эллинистическую эпоху) была уже создана вполне пригодная для практики и по-своему превосходная Птолемеева система. Древнегреческая геометрия развивалась бурно, успехи у нее были необыкновенные, но приложений ее на практике было чрезвычайно мало. Ал-Хорезми, ученый-араб, даже относился к ней надменно, ибо не видел от нее практической пользы. И только ко времени эпохи Возрождения, на почве совершенно нового мира, вплотную ознакомившись с наукой древности, такие ученые, как Галилей и Коперник, смогли заново начать математическое естествознание, применив высшие завоевания древней науки к астрономии и механике. Это и определило расцвет нашей цивилизации.

– 387 —

Надо понимать, что математика формировалась за долгие тысячелетия из многовековых наблюдений законов природы (раньше всего астрономии), из успешных и многообразных опытов человеческой трудовой жизни (навигация, строительство, различные ремесла, определение границ земельных участков, художества и многое другое в том же роде). Наблюдаемые или, так сказать, угаданные закономерности затем стараются привести в систему, причем довольно скоро обнаруживается, что для построения научной системы, опирающейся на одно дело (например, на землемерие), требуется одна математическая и логическая система (или дисциплина), а для другого дела (скажем, для живописи и декораций) совершенно иная, хотя обе они как бы намертво скреплены незыблемой логикой, трезвым суждением, а кроме того, постоянно, почти ежеминутно проверяются на практике. Далее стараются все, так сказать, здание некоторой логико-математической системы превратить в безукоризненно-стройное построение, опирающееся на небольшой ряд неоспоримых (нередко и недоказуемых) положений, причем зачастую различные системы (или дисциплины) понемногу врастают одна в другую и роднятся друг с другом. Затем постепенно возникают очень широкие обобщения, которые позволяют довольно сложным способом объединять эти разные дисциплины, но, разумеется, это уж такие хитрые отвлеченности, что нам с тобой пока можно о них только повздыхать!.. Так вот как оно происходит и развивается, мой юный друг. Все это совсем не так просто, но все же это дело человеческого рассудка, и постепенно со всеми этими роскошными чудесами нашей мысли можно понемногу ознакомиться и освоиться.

– А что ты скажешь о противниках Галилея?

– Ученые средних веков очень любили в своих длинных рассуждениях пускаться в разного рода сравнения (аналогии).

Им казалось, что если они сумеют удачно сравнить одно малоизвестное людям явление с другим хорошо известным, то суть первого явления станет тем самым совершенно ясной. И если они знали по какому-нибудь поводу несколько таких сравнений, особенно из высказанных древними авторами, им казалось, что они уже одолели этот вопрос целиком. Но когда надо было выяснить, как летит пуля, выпущенная из ружья, то ведь эти побасенки ничем помочь не могли. Был в Италии в старые времена такой замечательный скульптор и золотых дел мастер Бенвенуто Челлини[31]31
  В Московском музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина есть его произведения.


[Закрыть]. Он участвовал в одной из тогдашних войн. В своих воспоминаниях он касается своих военных

– 388 —

подвигов и рассказывает, как однажды успешно обстрелял из пищали неприятельских солдат навесным огнем, добавляя при этом, что достиг успеха, исключительно будучи прекрасным практиком, потому что, уверяет он, «по науке» обстрелять противника на таком расстоянии было нельзя. Почему нельзя? Потому что тогда твердо верили, что, во-первых, пуля летит горизонтально, а во-вторых, что сила снаряда убывает по мере удаления от дула орудия. Поэтому, когда великий самоучка Тарталья, переводчик Евклида и Архимеда, составитель первой таблицы удельных весов, стал объяснять артиллеристам, какова траектория нули (он ее определял только приблизительно), то удивлению их не было границ. Простые и очевидные вещи проходили мимо внимания «книжников» и практиков, а всякие затейливые фантазии влекли их к себе. Тебе это понятно?

– Какие фантазии?

– Взять, например, хоть так называемые дружественные числа. Такими были, скажем, числа 220 и 284, так как каждое из них равняется сумме делителей другого. Действительно:

284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110;

220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142

Чтобы поболтать о том, что такое очень крепкая дружба и какие именно люди могут подружиться, эти числа просто незаменимы. Вот, например, какую я слышал на эту тему притчу.

Некий мудрец спрошен был, что есть дружба, и отвечал на это так: «Если бы взял я два целых числа, 284 и 220, то мне сказали бы, что они мало чем друг на друга похожи. А я бы на то ответствовал: так кажется тому, кто не хочет проникнуть вглубь своей мыслью. А мудрец через тайны счета познает, что если найти все делители, на которые делится одно из чисел без остатка, и тем путем узнать, на какие его части разъять можно, то, стожив затем все делители, я получу второе из названных чисел. А если тем же порядком разъять на части второе, то, сложив, получу первое. Вот что есть дружба! Она тогда крепка бывает, если качества одного друга в сердце другого по-иному соединяются». А вот и другая легенда о тех же числах. Жили-были два друга, и крепко они друг друга любили.

Вот одного из них и спросили: «Ценишь ли ты своего друга?» Тот отвечал на это: «Ценю, ибо знаю ему цену». – «Во что же ты его ценишь?» И на это спрошенный ответил так: «Если бы я собрал воедино все, на что я готов поделиться для друга моего, то это как раз и была бы цена другу моему, и тем бо-

– 389 —

лее она справедлива, что и он меня в ту же цену ценит». Имя первого друга есть число, которое мы можем изобразить так:

23 · 19 · 41,

а имя второго – это другое число:

25 · 199.

Вот какова вторая легенда. Получаются такие занимательные арифметические басенки о дружбе, но математическое содержание их ничтожно, а именно такими-то вещами и любили заниматься схоласты. Вот тебе еще две пары дружественных чисел:

I) 2620 и 2924;

II) 5020 и 5564.

– Это смешно, – ответил Илюша, – но разве такие сравнения или аналогии совсем уже никуда не годятся?

– Почему же! – отвечал Радикс. – Иные аналогии очень даже полезны, когда они что-нибудь объясняют нам. Один физик утверждал, например, что мир (то есть Вселенная) безграничен, но конечен. Чтобы не путаться, мы не станем обсуждать, прав он или нет, а разберем только одно остроумное сравнение, благодаря которому ему удалось сделать свою мысль понятной. Он начал с такого образа. Возьмем прозрачную сферу, положим ее на плоскость, которая простирается повсюду безгранично. Пусть сфера касается этой плоскости в точке S. Тогда в противоположной точке N я помещу светящуюся точку, источник света. Теперь, если я возьму маленький непрозрачный кружок и помещу его на поверхность сферы, то он будет отбрасывать, разумеется, тень на плоскость. Чем ближе я буду подвигать кружок к точке S, тем меньше будет становиться его тень. Чем ближе, наоборот, он будет подвигаться к точке N, тем быстрее и быстрее будет расти его тень на плоскости и при этом быстро удаляться от сферы, так что, когда кружок будет у самой точки N, тень уйдет в бесконечность и станет бесконечно большой. Далее: поверхность сферы ограничена, и на ней можно расположить только конечное число кружков. А если теперь изучать геометрию этих теней на плоскости, то нужно заключить, что по отношению к теням кружков эта бесконечная плоскость конечна, ибо этих теней на ней помещается ограниченное число, а именно ровно столько, сколько может поместиться кружков на сфере. Если мне возразят, что все это неверно, ибо тени по мере удаления от точки все растут и растут, тогда я предложу измерять тени при помощи тени какого-нибудь масштаба, который я буду пере-

– 390 —

–двигать опять-таки по сфере, а не по плоскости. В таком случае моему собеседнику придется согласиться со мной, что тени (этот род проекции известен был еще Клавдию Птолемею) ведут себя точь-в-точь как твердые кружки на поверхности шара. Мало этого, мы можем на основании этой модели утверждать, что легко представить себе мир, при этом трехмерный мир, построенный в этом роде, который будет безграничен, но конечен.

– Как же это так?

– Ну уж в эти подробности мы пускаться не будем, а то это нас далеко заведет. Попробуй поверить мне на слово.

– Что ж! – отвечал мальчик. – Я готов поверить…

– Вот и хорошо. Придет время, будешь учиться дальше, все постепенно одолеешь и узнаешь. Торопиться некуда. Но из приведенного примера – этот род проекции называется стереографическим – ты легко можешь понять, что если аналогия строится осторожно и обдуманно, она многое может пояснить и навести на очень дельные мысли. Но если аналогия сводится просто к сравнению, как это нередко с большим успехом делается в произведениях художественной литературы (вспомни у Лермонтова: «Терек прыгает, как львица»), то для научного познания это не только не годится, но даже в некоторой мере и опасно, потому что это может завести наше размышление в тупик, если не в заблуждение. Научная аналогия должна быть построена очень обдуманно, и все выводы из нее должны быть рассмотрены подробно.