Волшебный двурог

Текст добавлен: 30 марта 2017, 07:30

Текст книги "Волшебный двурог"

Автор книги: Сергей Бобров

Жанры:

Детская образовательная литература

Математика

сообщить о нарушении

Текущая страница: 15 (всего у книги 31 страниц)

Назад к карточке книги

– Совершенно верно. Теперь ты сможешь определить положение любой точки на плоскости с помощью двух чисел. Ну, а теперь подумаем, нельзя ли нам как-нибудь записать с помощью формулы то свойство биссектрисы, о котором мы только что говорили. Какую бы точку ни взять на биссектрисе, для нее длины перпендикуляров, опущенных на обе стороны угла, должны быть равны…

– 226 —

– То есть абсцисса и ордината всякой точки на биссектрисе равны между собой! – воскликнул Илюша. – Это я понимаю, но как же это записать, если абсцисса и ордината могут принимать какие угодно числовые значения? Когда, например, х равен единице, то и у должен равняться единице; когда х равен двум, то и у равен двум…

Илюша внимательно посмотрел на чертеж, потом на своего друга, немного поколебался и написал:

у = х.

– Правильно! – сказал Радикс. – Если ты будешь искать на плоскости те точки, координаты которых удовлетворяют этому условию, то ты как раз и получишь твою биссектрису.

Мы будем называть такие равенства, переводящие свойства геометрических образов на алгебраический язык, уравнениями кривых. Такие уравнения определяют положение точек по отношению к выбранным координатным осям. Кстати сказать, угол между осями необязательно нужно брать прямой. Вообще можно определять положение точки на плоскости и другими способами, то есть можно применять, как говорят, различные системы координат. Некоторые элементы такого рода системы употреблялись еще в Древней Греции, у Аполлония Пергейского (эллинистическая эпоха, время Архимеда). А у нас здесь самая простая система прямоугольных координат на плоскости. Она потому так называется, что угол между осями прямой. Их называют также декартовыми, по имени замечательного француза, крупнейшего математика и философа Ренэ Декарта, жившего в семнадцатом веке, который впервые ввел их в науку. Их называют еще картезианскими, ибо ведь в то время уче-

– 227 —

ные сочинения писали по-латыни и имена авторов тоже переделывали на латинский лад, а по-латыни Декарт называл себя Картезием. Однако надо тебе знать, что впервые метод координат был предложен тем самым удивительным математиком Пьером Ферма, с чьей замечательной теоремой ты недавно познакомился. Это было в тридцатых годах семнадцатого столетия, хотя некоторые схожие с этим методом приемы были известны еще древним. Ферма много и плодотворно занимался вопросом о значении понятия геометрического места, и вот в результате этих его размышлений и опытов родился на белый свет метод координат. В одной из своих работ великий французский геометр говорил, что он придумал этот метод специально для изучения вопроса о геометрических местах и что он уверен, что благодаря этому новому способу анализа изучение этой отрасли геометрии станет для всех доступным. Теперь мы можем хорошо оценить, какова была тонкая проницательность этого гениального ума. Действительно, Ферма, а за ним и Декарт придали учению о геометрических местах такую простоту и ясность, что этот очень мощный метод мог быть применен целым рядом ученых к труднейшим задачам с великой пользой для дела. Некоторые историки полагают, что во всем этом интереснейшем и полезнейшем перерождении математики ученым очень помогло то, что Декарт ввел в употребление метод графиков, таких, какие мы сейчас рассматривали. И этот наглядный способ очень помог ученым в их новых рассуждениях. Вслед за Декартом над той же задачей работал Исаак Ньютон, исследуя очень сложные кривые, и в его работах все основные трудности нового метода уже были преодолены. Самое замечательное следствие этих плодотворных работ Ферма, Декарта и Ньютона заключается в том, что благодаря им в математике удалось объединить и обобщить целый ряд различных сведений из геометрии, а вслед за этим привести их и в некоторую вполне стройную систему. Кстати сказать, именно Декарт стал обозначать переменные величины последними буквами латинского алфавита: х, у, z.

– 228 —

– Меня немного удивляет, – произнес в ответ Илюша, – что ты так много говоришь о системах. Мне кажется, что самое важное в математике – это уметь решить какую-нибудь задачу или, скажем, целый ряд каких-нибудь похожих друг на друга задач. Разве это не так?

– Почему не так? – возразил Радикс. – Конечно, это так, но я говорил о том, что когда ты решаешь целый ряд схожих между собой задач, то имеет смысл собрать воедино все способы их решения, а затем рассмотреть, что в них есть общего и чем они друг с другом связаны. В других случаях ты берешь какой-нибудь один способ решения задач и рассматриваешь, какого рода задачи можно при его помощи решать. При этом ты нередко находишь связующие нити между задачами различного рода, и тем самым они объединяются. Постепенно путем таких объединений и обобщений строится общая теория. Вот что я имел в виду… А теперь посмотрим, что получится на чертеже, если мы вместо у = х напишем такое уравнение:

у = 2х.

Давай иксу различные значения, начиная с нуля, и следи, что будет происходить с игреком. А потом нарисуй, что у тебя получится.

Илюша составил табличку.

x			y
0			0
1			2
2			4
3			6
4			8
5			10

x | 0 1 2 3 4 5

y | 0 2 4 6 8 10

Когда он попробовал нанести точки на график и соединить их, то у него получилась снова прямая, но только теперь она не была уже биссектрисой, а шла гораздо ближе к вертикальной оси, как это показывает рисунок на странице 228.

– Опять прямая, – сказал Радикс, – только она наклонена по отношению к оси абсцисс под другим углом. Изменив коэффициент у икса в уравнении, ты изменил наклон прямой. Значит, этот коэффициент определяет наклон прямой. Ясно?

– Как будто ясно. Если увеличить коэффициент, то она будет еще скорее подниматься.

– И поэтому этот коэффициент называется угловым коэффициентом прямой. Ну, а теперь, – продолжал Радикс, – давай прибавим к правой части уравнения постоянную величину, например «три».

Илюша написал уравнение, а затем составил табличку:

у = 3 + 2х.

– 229 —

x		2x	y
0	3	0	3
1	3	2	5
2	3	4	7
3	3	6	9
4	3	8	11
5	3	10	13

Когда теперь он нарисовал две последние прямые, то оказалось, что вторая прямая идет параллельно первой, но всюду проходит выше ее на три деления, как на рисунке на стр. 228.

– Ну вот, – заключил Радикс, – ты получил две параллельные прямые. Значит, по уравнению прямой ты очень легко можешь судить о том, как она расположена. Коэффициент этих прямых определяет наклон прямой, а свободный член говорит о том, выше или ниже прямая расположена. Теперь продолжим оси. Ось иксов продолжим влево за нуль; там мы будем наносить, как уже ты сказал, отрицательные значения х. Ось игреков продолжим ниже нуля, и там мы будем наносить отрицательные значения у. Теперь вот что: дадим у значение нуль в уравнении

у = 2 + х.

Илюша написал:

2 + х = 0.

– Ну, чему равен икс? Это ведь уравнение первой степени.

– Икс равен минус два.

– Справедливо. А что это будет обозначать на графике?

Илюша составил табличку, потом график; взял линейку и продолжил прямую влево за ось игреков. Оказалось, что прямая пересекла ось иксов как раз в точке – 2.

– Как интересно, сказал Илюша.– Значит, этим способом можно решать уравнения?

– Да, это графический способ решения уравнений. И он чрезвычайно полезен, когда дело идет об очень кропотливом решении уравнений высших степеней. Таким образом, ты видишь, что с геометрической точки зрения корень уравнения есть не что иное, как абсцисса точки пересечения

–230—

кривой с осью абсцисс.

– Слушай-ка, – сказал Илюша, – а что получится, если мы возьмем квадратное уравнение?

– Давай попробуем. Пиши:

y = x² – x – 2

Теперь подставляй значения икса. Начнем с минус четыре и дойдем до плюс четыре.

x	x ²	—x		y
—4	+ 16	+ 4	—2	18
—3	+ 9	+ 3	—2	10
—2	+ 4	+2	—2	4
—1	+1	+1	—2	0
0	0	0	—2	—2
+ 1	+ 1	—1	—2	—2
+ 2	+ 4	—2	—2	0
+ 3	+ 9	—3	—2	—4
+ 4	+ 16	—4	—2	10

Илюша составил табличку и нанес точки на график.

– Когда будешь соединять точки, – сказал Радикс, – имей в виду, что это не ломаная кривая, она гнется очень плавно.

Илюша нарисовал кривую. Получилась дуга, открытая сверху и симметричная, как на рисунке (стр. 232).

– А ну-ка, напиши вместо игрека нуль и реши уравнение!

Илюша получил два корня: —1 и +2. Когда он взглянул на график, то убедился, что его кривая как раз и пересекает ось иксов в этих точках —1 и +2.

– Вот как хорошо! – сказал Илюша. – И как просто!

А что получится на чертеже, если под корнем будет отрицательная величина?

– То есть если квадратное уравнение имеет комплексные корни? Тогда кривая будет на графике вся находиться или ниже или выше оси иксов…

– Вот как удобно! Начертил – и готово. И все видно.

– Ясно! – отвечал, посмеиваясь, Радикс. – Ну, а теперь пойдем к моим друзьям. Это премилые старички. Они, правда, большие чудаки, но ты уж не удивляйся. Да, вот еще…

Радикс взял Илюшу за руку и остановился.

– Ты должен еще запомнить, – добавил задумчиво Радикс, – что Ренэ Декарт был одним из самых замечательных мыслителей нового времени. Его влияние на умы образованного мира было огромно и необыкновенно глубоко. Многие его мысли имели решающее значение для развития человеческого общества, а некоторые и поныне не утратили этого значения для каждого из нас. Суровый, трезвый и прямодушный мыслитель, он заставил человека размышлять над собой и своей мыслью, исследовать то, о чем ты мыслишь, и то, в чем сомне—

– 231 —

ваешься. Ведь, зная, как ты судишь о мире, можно вывести, что ты в состоянии сделать. Декарт был первым, кто тогда утверждал, что разум человеческий сам по себе способен постичь истину и овладеть ею.

Декарт придавал громадное значение методу (то есть способу либо способам) мышления, рассуждения и вообще умственной работе, а его математические труды носят глубокий отпечаток этого его убеждения. Именно потому его философия и внесла в науку и жизнь столько прямого здравомыслия, что он опирался на математический способ рассуждения. А в математике он вместе с Ферма, как мы уже говорили, создал новую, так называемую аналитическую геометрию, то есть такой метод изучения геометрических кривых, который объединил геометрию и алгебру, связал геометрические кривые с алгебраическими уравнениями. Это дало позднейшим ученым возможность построить еще более мощные математические методы, раскрывшие перед человечеством совершенно необыкновенные возможности и обеспечившие дальнейшее развитие цивилизации и технической культуры.

– Как это все интересно!

– Мало того, – продолжал Радикс, – одно из главных достоинств труда Декарта состоит в том, что до него заниматься теорией таких кривых могли только люди с исключительными дарованиями, а после него эту возможность получили многие. Так что Декарт дал в руки большому числу людей способ изучать и применять очень тонкие методы, поэтому и число ученых увеличилось. Узнай еще, что известные тебе из географии широта и долгота тоже координаты данной точки на глобусе. Исторически это самые первые координаты, которые были придуманы во времена Эратосфена (эллинистическая эпоха).

Тут Радикс огляделся и важно скомандовал:

– К прыжку приготовились!.. Полный вперед!

– 232 —

И тут они прыгнули и тотчас помчались по воздуху с необычайной быстротой. Наконец они долетели до весьма симпатичного леска, где в изобилии росли красивые деревья с темной блестящей листвой. Небо над лесом было синее-синее, а откуда-то доносился глухой ритмичный гул морского прибоя. Удивительно, как легко и привольно дышалось в этом чистом и прозрачном воздухе! Где-то довольно далеко на пригорке, едва заметное в утренней дымке, стояло очень красивое здание с колоннами. Издали доносился тоненький голос пастушьей свирели.

– Ах, как мне здесь нравится! – воскликнул мальчик.

Вдруг из-за деревьев выскочил очень странный человек. Он был голый, а ниже пояса покрыт густой серо-черной шерстью. Ноги у него были козлиные, а на лбу – маленькие рожки, как у козленка. Он хитро поглядел на наших путешественников, вытащил из-за спины странный музыкальный инструмент, составленный из дудочек разной величины, связанных ремешками, быстро провел им перед губами сперва в одну сторону, затем в другую и сыграл какую-то мелодию, которая показалась Илюше и приветливой и веселой.

– Кто это? – спросил Илюша. – Похож на лешего, правда?

– 233 —

– А это и есть такой здешний леший. Его зовут Фавном.

Фавн еще раз сыграл на своих флейтах что-то очень славное и снова исчез за деревьями. А наши друзья отправились дальше.

Наконец они прошли лесок. Едва они миновали последние деревья, как увидели громадную вывеску на двух больших столбах. Илюша остановился и прочел:

ВАЖНО ДЛЯ ЗВЕЗДОЧЕТОВ!

КУШАЙТЕ НАШ ПРЕВОСХОДНЫЙ ШОТЛАНДСКИЙ СЫР!

ПРИЯТНО! ВКУСНО! ПОЛЕЗНО!

НЕТ НИЧЕГО ВКУСНЕЕ ШОТЛАНДСКОГО СЫРА!

ПО ПОСЛЕДНИМ ДАННЫМ МЕДИЦИНСКОЙ НАУКИ НАШ

ПРЕВОСХОДНЫЙ И ОЧЕНЬ ВКУСНЫЙ

СЫР!

УВЕЛИЧИВАЕТ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ ЖИЗНИ

РОВНО В ДВА РАЗА

ВАЖНО ДЛЯ ЗВЕЗДОЧЕТОВ!

замечательный, вкуснейший, прогрессивный,

астрономический

СЫР!

– Что это? – весело спросил Илюша. – Что это за сыр, который увеличивает человеческую жизнь? Из чего он делается? Он творожный?

– Не совсем, – ответил, улыбаясь, Радикс. – Он не столько творожный, сколько двурожный.

И они пошли дальше. Вдруг над их головами что-то зашипело, захрипело, защелкало, и гнусавый голос громкоговорителя произнес совершенно оглушительно:

«Внимание! Говорит Эллада! Говорит Эллада! Внимание! Рекомендуем путешественникам наш превосходный древний козий сыр, который представляет собой истинное совершенство по форме, а следовательно и по содержанию, и имеет вкус общеизвестного голландского сыра. По желанию может

– 234 —

быть уложен пирамидальными числами! На вид очень приятен и напоминает солнце или апельсин. Внимание! Рекомендуем всем попробовать наш прелестный древний козий, совершенно голландский сыр! Не сыр, а объеденье!»

Громкоговоритель опять зашипел, защелкал и умолк. В это время веточка зацепила Илюшу за рукав, но когда он попробовал отцепиться, то, к своему крайнему удивлению, обнаружил, что его держит за рукав не ветка, а смуглая рука какой-то юной девицы. Ее черные волосы были перевиты лавровыми ветками, глаза сияли, а губы улыбались. Одета она была довольно легко. Но самое странное было в том, что эта милая девушка росла из дерева. Она еще раз улыбнулась Илюше и подала ему маленькую бумажку, свернутую в трубочку. Илюша недоуменно взял бумажку, а девушка немедленно спряталась в густых ветвях.

– Кто это? – спросил Илюша.

– А это здесь такие есть, ну… вроде русалок. В деревьях живут. Их зовут Дриады.

Илюша развернул трубочку и прочел:

Древней дубравы Дриады так говорят тебе, отрок:
Кушай себе на здоровье наш замечательный сыр!
Кушай, гуляй и резвись по нашей привольной дубраве!
Сыр называется наш «Радость Большого Кита».

– Еще сыр! – сказал Илюша. – Какие странные названия у сыров! А разве киты любят сыр? Они, кажется, планктоном питаются?

– Питаться – это одно, – возразил Радикс, – а любить – это совсем другое. Один мой приятель любил папу с мамой, а питался преимущественно двойками…

Илюша совсем было уже ответил, что он понятия не имеет, о ком повел речь его спутник, но в это время из-за густой зелени, приплясывая и ловко перебирая своими тоненькими копытцами, снова выскочил козлоногий человечек. Он быстро сыграл на своих флейточках что-то веселенькое, а потом подбежал к Илюше и шепнул ему на ухо:

– Не верь! Не верь! Выдумывают! Самый замечательный сыр – это тот, из которого делаются морские камушки. Вот это сыр!

Снова засвистали и запели флейточки, и музыкант быстро исчез между деревьями.

– Из сыра камушки? – повторил в недоумении Илюша. – Совсем запутаешься!

Тут наши друзья вышли на светлую полянку. В глубине

– 235 —

между деревьями стоял маленький домик. На ном внесла огромная вывеска, а на ней настоящими греческими буквами было изображено:

СЫРОВАРНЯ АПОЛЛОНИЯ ПЕРГЕЙСКОГО

И ПАППА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО

НЕТ ЛУЧШЕ НАШИХ СЫРОВ!

– Ну вот, мы и пришли! – заявил Радикс.

Они теперь приблизились к тому самому домику с колоннами, который Илюша заметил еще издалека. Вместо двери у этого домика висела пурпуровая занавесь. Радикс откинул ее, и они вошли.

В большой светлой комнате, у которой не было потолка и свет лился прямо с неба, у самого входа бил маленький фонтанчик, от которого очень вкусно пахло – то полежалыми яблоками, то вином, то лимоном, то айвой, а то еще чем-то вроде оливкового масла. Подальше сидели по-турецки два сморщенных бородатых старичка в длинных белых мантиях, подпоясанных красивыми золотыми шнурами. Они что-то уплетали за обе щеки. А сзади них на громадной тарелке возвышался большой, метра в два ростом, конус. На тарелке по краешку было написано: «Вот вам и сыр!»

Илюша хотел было спросить про это у Радикса, но в это время один из старичков произнес:

– Приятно пожевать хорошенького сырку! Дай-ка мне, Асимптотос, друг дорогой…

Но когда Асимптотос обернулся к своему приятелю, он вдруг весело воскликнул:

– Смотри, Коникос, гости! Сторона ль моя, сторонушка! Кого я вижу!

– Привет! – отвечал Радикс.

– А что это ты привел? – спросил, прищурившись, Коникос. – Что-то микроантропоидное?

– 236 —

– По-видимому, сыроежка, – заметил Асимптотос.

Илюша с трудом перевел дух и огляделся.

– Может быть, это просто шутка? – спросил он сам себя, но невольно произнес эти слова шепотом.

– А может быть, и не просто? – укоризненно отозвался Коникос.

– И даже не совсем! – ворчливо откликнулся Асимптотос.

– А возможно, что именно так! – раздался чей-то сердитый голос сбоку, и Илюша поморщился, увидав доктора У. У. Уникурсальяна, гордо скрестившего руки на своей могучей груди и состроившего одну из самых своих замысловатых и невероятных гримас.

– 237 —

Схолия Тринадцатая,

из которой читатель легко мог бы узнать, как высоко стояло в древнее время искусство резать сыр и к каким удивительным последствиям мирового значения ведет то или иное положение сырного ножа при этой церемонии, если бы в эту схолию не ворвался несносный К. Т. Н. доктор Уникурсальян и не воспретил все сие. Зато тут говорится о том, как сотни разноцветных парабол улетели в небо, приветствуя свою прародительницу и угрожая врагам серьезнейшими неприятностями. Далее излагается, почему невозможно понять, что такое восход солнца, если ты предварительно не покушал сырку, что ведет к ряду очень грустных воспоминаний о древних царях и калифах, из коих некоторые просто не хотели учиться, а другие поступали более решительно и сажали педагогов в очень сырые и темные места, дабы те к ним поменьше приставали. Затем читатель узнает, как считать планеты, начиная с собственных ушей, и как опасно соглашаться со специалистами по подобным подсчетам. Вслед за этим читатель знакомится с тремя инженерами, которые ехали с запада на юг в очень скором поезде.

Илюшу не очень-то обрадовал такой прием. Однако он поклонился старичкам. «Микроантропоидное? – подумал он. – Как будто это должно значить нечто ничтожно человекоподобное?.. Хм… А сыроежка?» Это было, конечно, обидно, но тут

– 238 —

Илюша подумал, что, может быть, это просто обозначает, что он, Илюша, хотел покушать сырку, и больше ничего?..

А когда он обернулся, то увидел знаменитого Командора Ордена Семи Мостов, который смотрел на всех собравшихся с величайшим презрением.

– Страшно подумать! – шепнул на ухо Илюше Радикс. – Ей-ей, мне кажется, что он сейчас речь произнесет.

Однако Доктор Четных и Нечетных лишь надменно покосился на Радикса, хотя было ясно, что он отлично понял, о чем тот перешептывается с мальчиком.

– Отменить! – воскликнул неожиданно командор. – Какой такой сыр? Что это за баловство? Не разрешается! Воспрещается!

Легкое и странное посвистывание в воздухе привлекло внимание всех присутствующих.

И невозможно описать всеобщее смущение, когда наши друзья заметили, что над зловеще скрестившим руки Уникурсалом Уникурсалычем вьется в полной боевой готовности

– 239 —

бесконечно сердитый и неограниченно длинный язычок прелестной Розамунды.

– Эге! – промолвил, почесывая затылок, Коникос. – Да тут что-то действительно не того!..

И, грустно ковыляя, он ушел в глубину своих апартаментов. Он недолго повозился там с чем-то, и вдруг громадная тарелка с его сыром покачнулась, внезапно куда-то провалилась и исчезла. Он позвал себе на помощь Асимптотоса, и вместе они выволокли вперед престранный аппарат, состоявший из большой круглой подставки с прямым тонким стержнем в середине.

Уникурсал Уникурсалыч осмотрел аппарат очень внимательно, обошел со всех сторон, потрогал стержень и, не без огорчения сообразив, что больше ему сердиться не на что, медленно растворился в воздухе, а за ним, посвистывая, исчез и язык Розамунды.

– Сей аппарат, – грустной скороговоркой, как заученный наизусть урок, забормотал Коникос, – есть наша неутомимая Центрифуга. В высшей степени полезное изобретение сие представляет собой механический станочек для получения поверхностей вращения. Так-с… Начнем с начала, как в таких случаях и полагается. Знаешь ли ты, дружок, как делается конус?

Асимптотос приволок откуда-то огромный прямоугольный треугольник, прикрепил его большой катет к стержню Центрифуги и подобострастно сказал станочку:

– Будьте добры, матушка-кормилица, не откажите!

Стержень Центрифуги начал вращаться, и при этом все скорее и скорее. Вместе с ним вращался и прямоугольный треугольник, пока наконец быстро мчащаяся по кругу гипотенуза треугольника не обратилась в серенький туман, действительно напоминавший конус. Тут Асимптотос подмигнул Центрифуге, и аппарат немедленно остановился. А конус остался стоять. В этом, по всей видимости, и заключалось волшебство. Тут Асимптотос поднял конус и поставил его на пол. Конус был красивый, отменно тонкий, внутри пустой, и высота его была два метра.

Коникос принес громадный, широченный нож, нерешительно посмотрел на собравшихся и сказал, опасливо покосившись в ту сторону, где исчез доктор Уникурсальян:

– 240 —

– Это у нас будет как бы секущая плоскость.

Тут Коникос стал на табуретку и срезал самую верхушку конуса, причем его широкий нож двигался в точности параллельно основанию конуса.

Затем он показал Илюше, что получилось на месте среза, и спросил:

– Круг?

– Круг, – отвечал Илюша.

И тут мальчик вспомнил, что ему как будто не зря толковал громкоговоритель про голландский сыр. Так как доктор Уникурсальян У. У. запретил поминать о сыре, то он молча поглядел на Асимптотоса, потом на Коникоса, потом на Радикса, потом на то самое место на полу, куда бесследно провалился конический сыр. Тогда Коникос знаками пояснил ему, что голландский сыр обычно имеет форму шара и, значит, как его ни режь, в сечении обязательно получится круг – фигура, которая у древних мудрецов символизировала нечто совершенное.

– Теперь, – сказал, Асимптотос, – следующий разрез. Тоже предмет, достойный внимания!

И он начал резать конус, который уже опять был целый, поставив свой широченный нож параллельно образующей конуса. Затем он поднес Илюше отрезанный кусок. Теперь срез имел форму дуги и показался Илюше знакомым.

С большой опаской и поминутно оглядываясь туда, где расплылся и исчез свирепый и неумолимый Доктор Четных и Нечетных, Асимптотос при помощи мимики и жестов дал понять Илюше, что именно об этом-то срезе – то есть об этом-то сечении конуса! – ему и говорила лесная девица Дриада, поминая какую-то «Радость Кита». Когда же Илюша шепотом спросил его, при чем же здесь, собственно, сыр, Асимптотос, весь дрожа от страха, снова знаками пояснил ему, что если бы У. У. Уникурсальян, К. T. Н., Д. Ч. и Н. У. и проч., не был таким сердитым, то они бы ему показали, что их сыр (тот, который провалился) менял свой дивный вкус в зависимости

– 241 —

от того, как его резали, и что, разрезанный параллельно образующей, он и есть «Радость Кита», которая смертельна для врагов. Не успел Илюша спросить, при чем тут враги и киты, как Радикс уже состроил кислую мину и сказал:

– Слушай! Ну… не надо. Ну, зачем так делать? Ведь нехорошо!..

Асимптотос густо покраснел и подал кусок конуса Илюше.

Как только Илюша взял в руки этот кусок, откуда-то раздался громкий треск и в воздух полетели сотни разноцветных ракет.

– Это в честь нашего сечения! – сказал Асимптотос. – Как ты видишь, ракеты летят в воздух по кривым, которые очень похожи на форму нашего среза. Когда снаряд летит из пушки, то он тоже двигается по этой кривой. Вот почему наш сыр так страшен врагам. Когда бьет фонтан, его струя летит вверх и падает так же, как ракета. Вот почему этот сыр так любят киты – это ведь они выдумали фонтан! Когда твои современники строят прожектор, то его отражательное зеркало тоже делается по этой кривой.

– Я ее где-то недавно видел! -воскликнул Илюша.

– Все может быть, – отвечал Коникос. – Может быть, ты видел большой бетонный железнодорожный мост? Может быть, ты видел кривую квадратов натурального ряда? Может быть, ты видел, как льется вода из бочки?

– Не-ет, – сказал Илюша. – Постой-ка! Радикс! А вот та кривая, которую мы рисовали в Схолии Двенадцатой?

– 242 —

– Мы их много рисовали…

– Вот та, которая получается из квадратного уравнения.

– Ах, эта! – воскликнул Асимптотос. – Она самая! Она называется параболой.

Однако Илюша успел уже сообразить, что сыр (тот самый, запрещенный, который провалился!), будучи параболически разрезан, приобретал особый, необыкновенный вкус и об этом-то и вспоминал милый Асимптотос.

– Итак, – продолжал Асимптотос, – срез помер третий! Внимание!

Теперь, когда Илюша взглянул на конус, то он увидел, что тот удвоился. Из вершины конуса вырос на той же самой оси еще один конус, стоящий вверх дном. Асимптотос снова начал резать. Теперь широкое лезвие ножа двигалось сверху вниз параллельно высоте нижнего конуса, то есть общей оси двух конусов. Как и следовало ожидать, Асимптотос отрезал сразу два кусочка от конусов.

– Необычайной формы! – заявил Асимптотос. – Идет главным образом на подтверждение закона Бойля-Мариотта, потому что объем газа обратно пропорционален давлению. В самом простом виде это сечение дает нам кривую обратных величин чисел. Если же эту кривую подвергнуть таинственной обработке[17]17
Об этом мы еще потолкуем в Схолии Семнадцатой.

[Закрыть] при помощи Знаменитого и Всемогущего Змия, то получается нечто совершенно неожиданное: продолжительность жизни астронома увеличивается ровно в два раза, так как новая кривая дает ему в руки логарифмы, а они очень сокращают длиннейшие астрономические вычисления. Кривая эта называется гиперболой. И если ты вспомнишь синьориту Одну Энную, то есть возьмешь за ординаты числа, обратные абсциссам, то эту кривую и получишь.

Кривая квадратов натурального ряда.

Затем Асимптотос улыбнулся и произнес:

– Срез номер четвертый!

Он снова подошел к конусу, который опять принял свой прежний вид, и начал

– 243 —

его резать наклонно к основанию, но не настолько, чтобы сечение прошло через основание конуса.

– Кривая этого поразительного сечения, – произнес Асимптотос торжественно, – называется эллипсом. Она имеет самое непосредственное отношение ко Вселенной, потому что Земля ходит вокруг Солнца именно по эллиптической орбите! И мы еще поговорим об этом, когда угостим тебя тем прелестным напитком, который бьет у нас из фонтана. Кривая эта долго занимала самые просвещенные умы, ибо длину ее страшно трудно было вычислить. Как вычисляется длина окружности, ты знаешь. Длину дуги параболы вычислить тоже не так уж трудно, если ты, конечно, заручишься помощью Величайшего Змия. Совсем другое дело с этой эллиптической дугой.

Еще Бонавентура Кавальери пытался вычислить ее длину, но ошибся и признался, что это ему не удалось. Тут даже сам Многомощный Змий был некоторое время в недоумении. Ты, наверно, знаешь, что на свете есть тригонометрические функции?

– Синус, косинус, тангенс… – начал Илюша.

– Вот именно. Скажу тебе под большим секретом, что у нашей приятельницы гиперболы тоже есть свои «синусы», и «косинусы». Они так и называются – гиперболический синус, гиперболический косинус. А у эллипса есть свои эллиптические функции. Штука это довольно-таки хитрая…

– Один из основателей нашего дивного домика, – продолжал Коникос, – великий Аполлоний Пергейский, как и все его современники, называл эти кривые коническими сечениями, ибо ты сам видел, что мы их все получили, рассекая конус.

– 244 —

– Эллипс, впрочем, – добавил Асимптотос, – ты можешь получить и из цилиндра, рассекая его наклонно к основанию.

Наверное, ты уж это не раз и делал, когда отрезал себе ломтик вкусной колбаски. Надо тебе кстати сказать, что ко времени возрождения наук и искусств в Европе – примерно в шестнадцатом веке – интерес к этим замечательным кривым возник раньше всего у зодчих, которым приходилось при проектировании и возведении колонн иметь дело с цилиндрическими сечениями. Но Папп Александрит в свое время излагал учение об этих кривых как об особых геометрических местах.

Тут Асимптотос поднял свой корявый указательный палец, чтобы Илюша оценил по достоинству все значение этого важного открытия. А Илюша мгновенно вспомнил, что ему рассказывал Радикс в Схолии Двенадцатой насчет геометрических мест.

– Так вот слушай, что он придумал! Первое коническое сечение – круг – есть известное тебе геометрическое место точек, лежащих на равном расстоянии от одной точки, которая является его центром. Возьмем теперь на плоскости прямую АС и точку F, лежащую вне этой прямой. Опустим из точки С перпендикуляр, возьмем на нем некоторый отрезок, а конец этого отрезка Е соединим с данной точкой F, и если теперь линии EF и СЕ будут равны, то тогда точка Е лежит на параболе. Другими словами, парабола есть геометрическое место точек, равноотстоящих от данной прямой АС, которая называется директрисой, и данной точки F, которая называется фокусом.

Если ты спросишь, почему точка F носит такое странное наименование, то я тебе открою, что слово «фокус» по-латыни обозначает «очаг» (а поэт Вергилий употреблял его даже в смысле «костер»), то есть место, где раскладывают огонь и откуда исходит свет. А при этом знай, что парабола имеет еще одно чудесное свойство. Если ты поместишь в точку F источник света, то каждый луч, дойдя до параболы и отразившись от нее, будет двигаться в направлении, параллельном оси симметрии параболы.

Вот почему луч прожектора такой узкий и длинный. Конечно, он в небе, как ты, наверное, замечал, тоже немного расширяется, уходя от прожектора, но это оттого, что источник света – не точка и, кроме того, изготовить математически точное параболическое зеркало слишком трудно. И Аполлоний и великий