Текст книги "Разыскания истины"

Автор книги: Николай Мальбранш

сообщить о нарушении

Текущая страница: 45 (всего у книги 55 страниц)

16 : 61 :: 2 : 8

64 : 144 :: 8 : 18 и т. д.

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть чертеж шестой (см. рис. 3). Ибо полукруги показывают, что А2 относится к А4, т. е. к координате 1х, ей равной, как 1х относится к А8, что А 18 относится к А 12, т. е. к координате 18х, как 18х относится к А8 и т. д.; значит,

произведения А2 на А8 и А 18, умноженное также на А8, равны квадратам 1х и 18;с и т. д., и следовательно, эти квадраты относятся, как эти прямоугольники.

Параллельные, проведенные к АД и АС и пересекающиеся в точках хх • х, также показывают наглядно путь, по которому должно идти это тело. Они показывают те точки, где оно должно быть в данное время. Они, наконец, представляют глазу действительную величину составного движения и его ускорение в известное

время.

Предположим опять-таки, что тело движется неравномерно не только от А к С, но и от А к В. Если неравномерность этого движения остается все время одинаковою, т. е. если неравномерное движение этого тела к С подобно движению его к В или если это движение усиливается в одинаковой пропорции, тогда тело описывает прямую линию.

Но предположим, что ускорение или уменьшение простых движений идет не равномерно – причем безразлично, какое неравен-

Рис. 3.

478

Рис.4.

ство мы не предположили бы – тогда стоит обозначить простые движения линиями и провести к этим линиям пересекающиеся параллельные – и мы найдем легко линию, которая представит воображению составное движение движений простых. Ибо линия, проходящая через две точки пересечения параллельных линий, представляет составное движение этих неравных движений, не в равной мере ускоряющихся или замедляющихся.

Например, предположим, что какое-нибудь тело приводится в движение двумя равными или не равными – как угодно – силами;

что одно из этих движений постоянно ускоряется или замедляется в геометрической или арифметической – какой угодно – прогрессии и что другое движение также ускоряется или замедляется в арифметической или геометрической – как угодно – прогрессии. Теперь, чтобы найти точки, через которые должна пройти линия, представляющая зрению и воображению составное движение этих простых движений, вот что нужно сделать.

Прежде всего, как было уже сказано, надо провести две линии АВ и АС (рис. 4), чтобы обозначить оба простых движения, и разделить эти линии, согласно предположенному ускорению этих движений. Если мы предположили, что движение, обозначенное линией АС, ускоряется или замедляется в арифметической прогрессии 1, 2, 3, 4, 5, тогда на этой линии надо отметить деления в указанных точках 1, 2, 3, 4, 5. Если мы предположили, что движение, обозначаемое линией АВ, увеличивается в двойной прогрессии 1, 2, 4, 8, 16 или уменьшается в прогрессии половинной 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, нужно отметить на этой линии деления 1, 2, 4, 8, 16 или 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8. Затем из этих делений следует провести параллельные к АВ и АС. Линия АЕ, которая должна обозначать искомое составное движение, необходимо пройдет через две точки, где пересекаются эти параллельные линии. Таким образом, мы увидим путь, по которому должно идти данное движущееся тело.

479

Захотим ли мы узнать с точностью, сколько времени прошло от начала движения данного тела до того момента, когда оно дошло до известной точки, нам укажут это параллельные, проведенные из этой точки к АВ и АС, ибо деления на АВ и АС указывают время. Хотим ли мы узнать точку, где это тело будет находиться в такое-то время, искомую точку нам укажут своим пересечением параллельные, проведенные из делений на линиях АВ и AC, – делений, обозначающих время. Как велико расстояние от точки, от которой тело начало свое движение, легко узнать, если провести линию от этой точки к А, ибо длину этой линии можно узнать по отношению к АВ или АС, которые нам известны. Однако нелегко узнать длину пути, пройденного телом до этой точки, потому что линия его движения АЕ кривая, а следовательно, ее нельзя сравнить ни с одной из этих прямых линий.

Если бы мы захотели определить бесчисленное множество точек, через которые должно пройти данное тело, т. е. описать точно непрерывным движением линию АЕ, мы должны были бы сделать такой циркуль, движение ножек которого отвечало бы требованиям, поставленным в приведенных выше положениях. Придумать такой циркуль очень трудно, выполнить невозможно, но оно и довольно бесполезно для того, чтобы найти отношения вещей между собою, ибо обыкновенно нам не нужны все те точки, из которых состоит эта линия, а лишь некоторые из них, помогающие руководить воображением, когда оно рассматривает подобные движения.

Этих примеров достаточно, чтобы показать, как можно обозначать линиями большинство наших идей, а следовательно, представить их воображению, и как геометрия, научая делать все необходимые сравнения, чтобы узнать отношения линий, имеет гораздо большее применение, чем это обыкновенно думают. Ибо астрономия, музыка, механика и вообще все науки, трактующие о вещах, которые могут увеличиваться и уменьшаться, а следовательно, которые можно рассматривать как протяжения, т. е. все точные науки, могут быть сведены к геометрии; ибо все умозрительные истины заключаются лишь в отношениях, существующих между этими отношениями, а потому все они могут быть сведены к линиям. Из них же геометрически можно вывести некоторые следствия, а так как эти следствия будут сделаны наглядными на линиях, представляющих их, то почти невозможно ошибиться и можно легко двигать науки вперед.

Так, например, в музыке мы ясно различаем и точно обозначаем октаву, квинту, кварту, потому что мы выражаем звуки точно разделенными струнами; мы знаем, что струна, дающая октаву, находится в двойной пропорции к той струне, с которой она образует октаву, дающая квинту – в пропорции полуторной или пропорции трех к двум и т. д. Ибо ухо одно не может судить о звуках с тою точностью и правильностью, какие необходимы в науке. У опытных музыкантов-практиков слух очень чуток и тонок, однако он не настолько чувствителен, чтобы подметить различие между известными звуками, и

480

подобные музыканты ложно убеждают себя, что этого различия не существует, ибо они судят о вещах лишь по ощущению, получаемому от них. Например, некоторые не делают никакого различия между октавою и тремя двузвучиями;' некоторые даже воображают, что нет разницы между мажорным и минорным тоном, следовательно, комма, выражающая это различие, не ощутительна для них, а тем более схизма, составляющая лишь половину коммы.

Итак, только один рассудок показывает нам с очевидностью; что по длине своей струна делится на многие части и от этого зависит различие между известными звуками, а потому возможно множество звуков, которые ухо не различает и которые будут полезны или бесполезны для музыки. Отсюда ясно, что без арифметики и геометрии правильная и точная музыка была бы нам неизвестна, и мы преуспевали бы в этой науке исключительно благодаря случайности и воображению, т. е. музыка не была бы больше наукою, основанною на неоспоримых доказательствах; хотя арии, сочиняемые с помощью воображения, красивее и приятнее для чувств, чем арии, сочиняемые по правилам.

Так точно и в механике. Вес некоторых тяжестей и расстояние от их центра тяжести до точки опоры могут увеличиваться и уменьшаться, а потому и вес, и это расстояние могут обозначаться линиями. И геометрию применяют с пользою при открытии и доказательстве множества новых изобретений, очень полезных в жизни и даже весьма приятных разуму по причине своей очевидности.

Например, нам дана тяжесть в шесть фунтов весом и мы хотим уравновесить ее тяжестью весом только в три фунта. Если эта тяжесть в шесть фунтов висит на коромысле весов на расстоянии, положим, двух футов от опоры, то, зная общее положение всякой механики:

для равновесия тяжестей отношение тяжестей к расстояниям их от точки опоры должно быть обратно пропорционально, т. е. первая тяжесть должна относиться ко второй, как расстояние между второю тяжестью и точкою опоры относится к расстоянию между первою тяжестью и точкою опоры, – мы легко можем найти посредством геометрии, на каком расстоянии должна находиться тяжесть в три фунта, чтобы было соблюдено равновесие. Для этого мы берем, согласно двенадцатой теореме шестой книги Евклида, четвертую пропорциональную, длина которой будет четыре фута. Итак, зная только основной принцип механики, можно открыть с очевидностью все истины, зависящие от него, прилагая к механике геометрию, т. е. обозначая наглядно линиями все вещи, рассматриваемые в механике.

Следовательно, геометрические линии и фигуры весьма пригодны, чтобы представить воображению отношения, существующие между величинами или вещами, различающимися по степени, каковы:

пространство, время, вес и т. д.; во-первых, потому, что они весьма просты, во-вторых, потому, что мы их воображаем с большою

I Большая терция.

481

легкостью. В пользу геометрии можно даже сказать, что линии могут представить воображению больше вещей, чем может познать разум, потому что линии могут представить отношения несоизмеримых величин между собою, т. е. величин, отношений которых нельзя узнать по той причине, что нет такой меры, посредством которой можно было бы сравнить их. При разысканиях истины это преимущество, впрочем, не особенно важно: эти наглядные обозначения несоизмеримых величин не раскрывают разуму отчетливо их действительной величины.

Итак, геометрия весьма полезна, чтобы сделать разум внимательным к вещам, отношения которых мы ищем; но должно признать, что иногда она бывает для нас поводом к заблуждению: мы так увлекаемся очевидными и приятными доказательствами этой науки, что недостаточно наблюдаем природу. Вот главная причина, почему не все изобретенные машины бывают удачны; почему не всегда музыкальные композиции, в которых строго соблюдена соразмерность созвучий, бывают приятны; почему самые точные астрономические вычисления не предсказывают хорошо продолжительности и времени затмений. Природа не абстрактна; рычаги и колеса механические не математические линии и круги; вкусы людские в музыкальных ариях не всегда одинаковы у всех людей и даже у одних и тех же людей в различное время; они меняются сообразно эмоциям жизненных духов, и ничего нет причудливее наших вкусов. Что касается, наконец, астрономии, то в движении планет нет полной правильности; носясь в громадных пространствах, они неравномерно увлекаются жидкою материей, окружающей их. Итак, заблуждения, в которые мы впадаем в астрономии, механике и музыке и во всех науках, где применяется геометрия, происходят не от геометрии, науки неоспоримой, а от ложного применения ее.

Так, например, предполагают, что планеты в своих движениях описывают совершенно правильные круги и эллипсисы; а это неверно. Это предположение необходимо для рассуждений, и оно почти верно; но мы должны всегда помнить, что принцип, на основании которого мы рассуждаем, есть только предположение. Точно так же в механике мы предполагаем, что рычаги и колеса совершенно тверды и подобны математическим линиям и кругам, не имеющим тяжести и трения; или, вернее, мы недостаточно принимаем во внимание их вес, трение, вещество, ни отношения веса, трения и вещества между собою; мы недостаточно принимаем во внимание, что плотность и величина увеличивают вес, вес увеличивает трение, трение же уменьшает силу, вследствие чего машины быстро портятся и ломаются, и поэтому то, что почти всегда удается в малом виде, почти никогда не удается в большом.

Следовательно, ничего нет удивительного, если мы ошибаемся, ибо мы хотим рассуждать на основании принципов, нам с точностью неизвестных. Не надо думать, что геометрия бесполезна, если она

^3 Разыскания истины

482

не избавляет нас от всех наших заблуждений. Раз установлены предположения, геометрия заставляет нас рассуждать последовательно. Делая нас внимательными к тому, что мы рассматриваем, она заставляет нас познавать предмет с очевидностью. Благодаря ей, мы узнаем даже, не ложны ли наши предпосылки: ибо если мы вполне убеждены, что наши рассуждения верны, а, между тем, опыт не согласуется с ними, мы открываем, что предположенные принципы были ложны. В точных науках в вопросах сложных без геометрии и арифметики ничего нельзя узнать, хотя бы наши принципы были неоспоримы и достоверны.

Итак, на геометрию следует смотреть, как на своего рода универсальную науку, которая делает разум более проницательным, понятливым и внимательным и дает ему умение управлять своим воображением и извлекать из него всю ту пользу, которую может дать воображение разуму; ибо при помощи геометрии разум управляет деятельностью воображения, а правильное воображение поддерживает внимание и прилежание разума.

Но, чтобы уметь пользоваться геометрией, надо помнить, что не все вещи, доступные воображению, мы представляем с одинаковою легкостью; ибо не все образы одинаково занимают способность разума. Тело труднее себе представить, чем плоскость, а плоскость труднее, чем простую линию; ибо в ясном представлении тела больше мышления, чем в ясном представлении плоскости или линий. То же самое можно сказать про различные линии; нужно больше размышления, т. е. нужна ббльшая способность разума, чтобы представить себе параболическую или эллиптическую или какую-нибудь иную сложную линию, чем для того, чтобы представить себе окружность круга, а для того, чтобы представить себе окружность круга, нужна ббльшая способность, чем для представления простой линии. Труднее представить себе, конечно, линию, описываемую сложными движениями и имеющую многие отношения, чем линии, описываемые весьма простыми движениями и имеющими немного отношений. Ибо ясно представляемы могут быть отношения лишь при условии, что разум внимателен ко многим вещам, а следовательно, чем больше отношений, тем больше требуется размышления для представления их. Есть такие сложные фигуры, что разум по своей ограниченности не может представить себе их, но есть и такие, которые разум представляет с большою легкостью.

Из трех видов прямолинейных углов: острого, прямого и тупого – только прямой угол вызывает в разуме отчетливую и вполне определенную идею. Углов острых, разнящихся между собою, бесчисленное множество; бесчисленное множество также различных тупых углов. Так что воображая острый или тупой угол, мы не представляем себе нечто точное и отчетливое. Когда же мы представляем угол прямой, нам невозможно ошибиться: идея о нем вполне определенна и самый образ, составляющийся о нем в мозгу, обыкновенно довольно правилен.

483

Правда, смутную идею об остром угле можно определить посредством частной идеи об угле в тридцать градусов, и идея об угле в тридцать градусов будет так же точна, как идея об угле в девяносто градусов, т. е. об угле прямом. Но образ, который мы стараемся составить о нем в мозгу, в значительной степени не будет так правилен, как образ прямого угла. Мы не привыкли представлять этот образ, и мы можем начертить его, лишь мысля о круге или об определенной части круга, разделенного на равные части. Для того же, чтобы представить себе прямой угол, не нужно мыслить о подобном делении круга; чтобы начертать образ прямого угла, воображению достаточно одной идеи перпендикуляра, а мы не ощущаем никакого затруднения при представлении перпендикуляров, потому что привыкли видеть все вещи стоймя.

Теперь легко сделать вывод: для того, чтобы объект был прост, отчетлив, вполне определен, чтобы его можно было легко представить, т. е. для того, чтобы сделать разум внимательным и сохранить для него очевидность в искомых истинах, нужно все рассматриваемые нами величины сводить к простым поверхностям, ограниченным прямыми линиями и углами, каковы правильные квадраты и другие прямоугольные фигуры, или же к простым прямым линиям, ибо природу этих фигур мы познаем всего легче.

Помощь, которую геометрия оказывает разуму в поддержании его внимания, я мог бы приписать чувствам; но мне думается, геометрия скорее подлежит воображению, чем чувствам, хотя линии суть нечто осязательное. Приводить здесь основания, которые я имею к этому, довольно бесполезно, ибо они были бы нужны лишь для объяснения, почему я держался именно такого, а не иного порядка в вышеизложенном, а это не существенно. Я не говорил также об арифметике и алгебре, потому что цифры и буквы алфавита, которыми мы пользуемся в этих науках, нужны не столько для усиления внимания разума, сколько для того, чтобы увеличить широту его, что мы объясним в следующей главе.

Вот и все общие вспомогательные средства, которые могут сделать разум внимательнее. Мы не знаем иных, разве желание быть внимательным; о нем мы не говорим, так как предполагается, что всякий, кто хочет заниматься наукою, хочет быть внимательным к тому, что он изучает.

Однако есть еще некоторые особые средства, пригодные для отдельных лиц, как например известные напитки, известные кушанья, известные местности, известное положение тела и др., которые каждый должен узнать по своему личному опыту. Нужно наблюдать за состоянием своего воображения после еды и замечать. какие вещи поддерживают и какие рассеивают внимание нашего разума. Но можно сказать вообще, что умеренное употребление пищи, доставляющей большое количество жизненных духов, весьма пригодно для того, чтобы поддерживать внимание разума и силу воображения в людях с воображением слабым и вялым.

484

ГЛАВА V

О средствах дать разуму большую широту и способность. Арифметика и алгебра безусловно для того необходимы.

Прежде всего, не следует думать, что действительно возможно увеличивать способность и объем своего разума. Человеческая душа есть, так сказать, определенное количество мышления или доля мышления, имеющая границы, которых она не может перейти; душа не может стать больше или обширнее, чем она есть; она не расширяется и не разливается, как это делают, по-видимому, металлы и жидкости; словом, хотя мне это и кажется, однако никогда она не сознает в один момент больше, чем в другой.

Правда, это как будто противоречит опыту. Часто мы думаем о многих предметах; часто думаем только об одном; а часто даже говорим, что не думаем ни о чем. Но если принять во внимание, что мышление для души составляет то же, что протяжение для тела, то станет ясно, что как тело не может быть в один момент протяженнее, чем в другой, так точно душа никак не может мыслить больше в один момент, чем в другой, – представляет ли она несколько предметов, представляет ли один, – ни даже в то время, когда мы говорим, что не думаем ни о чем.

Причина, почему мы воображаем, что мыслим в один момент больше, чем в другой, лежит в том, что мы не делаем достаточного различия между представлением смутным и представлением отчетливым. Несомненно, когда мы представляем несколько вещей отчетливо, то для того нужно гораздо больше мышления или нужно, чтобы способность мышления была более занята, чем когда мы представляем только одну вещь; но когда мы смутно представляем несколько вещей разом, то для того вовсе не нужно мышления больше, чем для отчетливого представления одной вещи. Итак, когда душа мыслит о нескольких предметах, в ней мышления не больше, чем в тот момент, когда она мыслит только об одном предмете, ибо, когда она мыслит только об одном предмете, она всегда представляет его себе гораздо яснее, чем если прилежит к нескольким.

Мы должны заметить, что иногда одна простая перцепция содержит столько же размышления, т. е. требует такой же способности мышления со стороны разума, -как суждение и даже сложное умозаключение; ибо опыт показывает, что простое, но живое, ясное и очевидное представление одной вещи нас занимает и заставляет прилежать к нему столько же, как сложное умозаключение или смутное и темное представление нескольких отношений между несколькими вещами.

Когда я держу предмет совсем близко перед глазами и тщательно рассматриваю его, то в этом чувственном созерцании его будет

485

столько же или больше ощущения, чем в созерцании целой деревни, на которую я смотрю небрежно и без внимания; так что отчетливость ощущения, которое я получаю от предмета, находящегося совсем близко перед моими глазами, возмещает обширность смутного ощущения, получаемого от нескольких вещей в деревне, на которые я смотрю без внимания, – точно так же представление разумом одного предмета бывает иногда так живо и отчетливо, что оно содержит столько же или даже больше мышления, чем представление отношений между несколькими вещами.

Правда, случается, что нам кажется, что мы думаем только об одной вещи, и тем не менее нам трудно вполне понять ее; в другое же время мы понимаем и эту вещь, и еще несколько других с большою легкостью. На основании этого мы воображаем, что иногда душа обладает большею обширностью или большею способностью мышления, иногда меньшею. Но, очевидно, мы ошибаемся. Причина, почему нам бывает в известное время трудно постичь самые простые вещи, заключается не в том, что процесс мышления души или ее' способность мыслить уменьшились, но в том, что эта способность поглощена каким-нибудь живым ощущением страдания, или удовольствия, или многочисленными слабыми и смутными ощущениями, которые производят своего рода притупление мышления, каковое притупление бывает по большей части лишь смутным ощущением весьма многих вещей.

Кусок воска -может принять одну весьма определенную форму:

он не может принять двух форм так, чтобы одна не смешивалась с другой, ибо он не может быть одновременно и совершенно круглым, и совершенно четырехугольным; словом, если он получит миллион форм, у него не будет ни одной отчетливой формы. Если бы этот кусок воска мог познавать свои собственные формы, он все же не мог бы знать, какая форма его определяет в том случае, когда число их велико. То же бывает и с нашею душою: когда слишком много модификаций занимают ее способность, она не может представить их отчетливо, потому что она не ощущает их раздельно. И она думает, что она ничего не ощущает. Она не может сказать, что ощущает страдание, удовольствие, свет, звук, вкус: это ни то, ни другое, ни третье, а между тем таково именно то, что она ощущает.

Но предположим, что душа не подчинена беспорядочному и неправильному движению жизненных духов, что она до такой степени отрешилась от своего тела, что ее мысли совершенно не зависят от того, что в нем происходит, – даже тогда мы понимали бы известные вещи легче в одно время, чем в другое, хотя способность нашей души от этого не уменьшилась и не увеличилась бы, ибо мы думали бы тогда о других вещах в частности или о бытии неопределенном, бытии вообще. Объясним это.

Общая идея бесконечного неотъемлема от разума; она всецело поглощает способность его, когда он не мыслит о какой-нибудь вещи в отдельности. Ибо когда мы говорим, что не думаем ни о

486

чем, это не значит, чтобы мы не думали об этой общей идее, это значит лишь, что мы не думаем о какой-нибудь вещи в отдельности.

Несомненно, если бы эта идея не была присуща нашему разуму, мы не могли бы мыслить о всевозможных вещах, как мы это делаем, ибо нельзя думать о вещах, о которых не имеешь никакого познания. И если бы эта идея не занимала разум сильнее именно тогда, когда нам кажется, что мы не думаем ни о чем, чем тогда, когда мы думаем о какой-нибудь вещи в частности, нам было бы одинаково легко думать о чем угодно как в том случае, когда мы обращаем усиленное внимание на какую-нибудь частную истину, так и в том, когда мы не прилежим ни к чему, а это противоречит опыту. Например, когда мы сильно заняты какою-нибудь геометрическою задачею, тогда думать о разных вещах нам труднее, чем в то время, когда мы не заняты никакою частною мыслью. Итак, чем менее мы думаем о бытии частном и конечном, тем более мы думаем о бытии общем и бесконечном, и мы мыслим всегда столько же в одно

время, сколько в другое.

Следовательно, увеличивать обширность и способность разума, расширяя его, так сказать, и давая ему большую реальность, чем он имеет от природы, невозможно; можно лишь умело пользоваться его способностью, что достигается в совершенстве арифметикой и алгеброй, ибо эти науки научают так сокращать идеи и рассматривать их в таком порядке, что разум, несмотря на свою ограниченность, способен с помощью этих наук открыть истины весьма сложные и кажущиеся сначала непостижимыми. Но должно брать вещи в самом основании их, чтобы объяснить их с большею основательностью и

ясностью.

Истина есть не что иное, как действительное отношение равенства или неравенства. Ошибочность есть лишь отрицание истины или ложное и мнимое отношение. Истина – это то, что есть. Ошибочность не существует или, если хотите, это то, что не есть. Мы не ошибаемся никогда, когда видим отношения существующие, потому что мы не ошибаемся никогда, когда видим истину. Мы всегда ошибаемся, когда решаем, что видим известные отношения, а этих отношений не существует; ибо тогда мы видим ошибочность;

мы видим то, чего нет, или, вернее, мы вовсе не видим, ибо не сущее невидимо, а ложное – это отношение, которое не существует. Кто, например, видит отношение равенства между дважды двумя и четырьмя, видит истину, потому что он видит отношение равенства, которое именно таково, каким он его видит. Точно так же, кто видит отношение неравенства между дважды двумя и пятью, видит истину, потому что он видит отношение неравенства, которое существует. Кто же решает, что видит отношение равенства между дважды двумя и пятью, ошибается, потому что видит, или, вернее, он думает, что видит отношение равенства, которого не существует. Итак, истины суть лишь отношения, и познание истины есть познание отношений. Ошибочности же не существуют, и познание

487

их или познание ложное есть, если можно так сказать, познание того, чего нет; то, что не существует, может быть познано лишь по отношению к тому, что есть, а потому заблуждение познается лишь по истине.

Можно различить столько же родов заблуждений, сколько есть истин. Существуют троякого рода отношения: отношение одной идеи к другой идее, отношение вещи к своей идее или идеи к своей вещи и отношение одной вещи к другой вещи, – а потому есть три рода истин и заблуждений. Они имеют место между идеями, между вещами и их идеями, и только между вещами. Верно, что дважды 2 будет 4; ложно, что дважды 2 будет 5, – вот истина и заблуждение между двумя идеями. Верно, что есть одно солнце, ложно, что их два; вот истина и заблуждение между вещью и ее идеею. Наконец, верно, что земля больше луны, и ложно, что солнце меньше земли; вот истина и заблуждение только между вещами.

Из этих трех родов истин, истины, существующие между идеями, вечны и неизменны, и по причине своей неизменности они служат также правилами и мерилами для всех остальных; ибо всякое правило или мерило должно быть неизменным. В арифметике, алгебре и геометрии рассматриваются лишь этого рода истины, ибо эти общие науки управляют всеми частными науками и содержат их в себе. Все отношения, или истины, существующие между сотворенными вещами или между идеями и сотворенными вещами, подвержены изменению, которое свойственно всякому творению. Одни лишь истины, существующие между нашими идеями и внешним существом, неизменны, подобно истинам между одними идеями, потому что Богу не свойственно изменение, как и идеям, которые он содержит.

Истины, существующие между идеями, мы можем открыть усилиями одного лишь разума; чтобы открыть другие истины, мы почти всегда пользуемся своими чувствами. Мы пользуемся своими глазами и руками, чтобы убедиться в существовании вещей и чтобы узнать отношение равенства или неравенства между ними. Одни лишь отношения между идеями разум может познавать безошибочно сам собою и не пользуясь чувствами. Но существуют не только отношения между идеями, есть отношения между отношениями, существующими между идеями, между отношениями отношений идей и, наконец, между совокупностями нескольких отношений, между отношениями подобных совокупностей отношений – и так далее до бесконечности, т. е. существуют до бесконечности сложные истины. В геометрии простая истина, т. е. отношение одной идеи, взятой в целом, к другой, как например отношение 4 к 2 или дважды двум, называется геометрической пропорцией или просто пропорцией; ибо разность между одною идеею и другою или, говоря обыкновенным языком, разность между одною величиною и другою не будет собственно пропорцией; и равные разности величин не будут равными пропорциями. Когда идеи или величины равны, это будет пропорция равенства; когда они не равны – пропорция неравенства.

488

Отношение, существующее между отношениями величин, т. е. между пропорциями, называется сложною пропорцией, потому что это сложное отношение; отношение, представляющее собою отношение 6 к 4 и 3 к 2, есть сложная пропорция. Когда входящие пропорции равны, эта сложная пропорция называется пропорциональностью, или двойною пропорцией. Отношение, существующее между отношением 8 к 4 и отношением 6 к 3, будет пропорциональностью, потому что эти оба отношения равны.

Должно заметить, что все отношения или все пропорции, как простые, так и сложные, суть действительные величины, а самый термин «величина» – термин относительный, необходимо указывающий на некоторое отношение, ибо нет ничего большого самого по себе вне отношения к другому, кроме бесконечного или единицы. Даже целые числа будут такими же несомненными отношениями, как числа дробные, т. е. числа, сравниваемые с другим числом или разделенные на другое число, хотя это может и не прийти в голову, так как целые числа могут быть выражены одной цифрой. Например, 4 или 8/2 будет таким же несомненным отношением, как 1/4 или 2/8. Единица, к которой 4 имеет отношение, не выражена, но она подразумевается; ибо 4 есть отношение, как и 4/1 или 8/2, потому что 4 равно 4/1 или 8/2. Если же всякая величина есть отношение или всякое отношение – величина, то очевидно, все отношения могут быть выражены цифрами и их можно представить воображению посредством линий.

Итак, все истины не что иное, как отношения, а следовательно, чтобы знать с точностью все истины, как простые, так и сложные, достаточно знать с точностью все отношения, как простые, так и сложные. Как было выше сказано, существуют двоякие отношения:

отношения равенства и отношения неравенства. Очевидно, что все отношения равенства подобны; если нам известно, что одна вещь равна другой нам известной вещи, мы знаем с точностью и отношение ее. Не то с неравенством: известно, например, что башня больше сажени и меньше тысячи саженей, но мы не знаем наверное ее величины и отношения ее к сажени.