Текст книги "Серебряная подкова"

Автор книги: Джавад Тарджеманов

сообщить о нарушении

Текущая страница: 19 (всего у книги 27 страниц)

– Опять свое... – махнул рукой Никольский. – Ма-тее-ерия, движе-ние... К чему эти слова пустые?.. Вы же сами, Николай Иванович, сегодня в лекции толком не сказали, как это можно связать с "Началами" Евклида. Не так ли?

Наступила неловкая пауза. Признаться в своем бессилии? Лобачевский помолчал.

– Да, – наконец произнес он. – Об этом еще нужно серьезно подумать... Потому-то я и воздержался говорить об аксиомах. Но полагаю, что искомая связь должна быть найдена. Вероятно, истинность аксиомы прямой состоит именно в согласованности ее с природой.

– Та-ак-с, – протянул Кондырев. – А как же пятый постулат?

Лобачевский подумал.

– Одни геометрические истины мы познаем пз опыта, – сказал он, – а другие, при недостатке наблюдений, должны предполагать умственно.

– Ага! – воскликнул Никольский. – Вот вам и уголок для божественной мудрости.

– Ничуть! – усмехнулся Лобачевский. – Мы докажем аксиому параллельности как теорему на такой основе, которая...

– Хо-хо, дорогой коллега! – снова прервал его Никольский. – Невозможно сие человеку! Такие небылицы можете рассказывать юным студентам, а не старикам.

Лобачевский хотел было возразить, но вмешался Броннер:

– Зачем только я завел этот разговор! Для ссоры?.. Не горячитесь, дружок, – обратился он к Лобачевскому. – Трудно вас понять. Однако я верю вам и советую: подумайте, что сказали вам другие. Долю их возражений примите – они вам пригодятся.

Лобачевский понял, что разговор окончен.

– Простите, – сказал он, обращаясь ко всем.

Никольский пожал плечами.

– Да, да, не будем ссориться в такой знаменательный для вас день, государь мой, – сказал он, протягивая Лобачевскому руку.

В эту ночь он спал неспокойно. Снились ему то Никольский, то Кондырев, которые двигались по комнате весьма странно: первый – ходом ладьи, второй – ходом коня, и произносили какие-то непонятные слова. Раза два просыпался он в холодном поту и чувствовал, что вчерашний спор бессознательно продолжается и во сне.

– Что за черт! – не выдержал он и, поднявшись, распахнул окно.

Прохладные капли дождя залетали в комнату. Внизу чернели крыши города. Над ними при ярких вспышках молний возникали четкие контуры белого здания университета и снова погружались в темноту.

Вот уже второй год Лобачевский с матерью и братом жили в двухэтажном доме на косогорной Лядской улице, почти рядом с университетом. Это было удобно, тем более что с началом занятий пришлось экономить время так строго, что на сон оставалось каких-нибудь шесть часов, не больше.

Вдохнув полной грудью прохладный воздух, он закрыл окно и снова лег надо было выспаться до рассвета.

Предутренний сон самый крепкий, так что Никольский и Кондырев уже не помешают...

Но вот наступило утро. Солнечный луч, продвигаясь по комнате, озарил подушку, и Лобачевский проворно вскочил с кровати. Накинув пестрый халат, он сошел с крыльца на широкий двор. За ночь отгремевшие грозовые тучи покинули город.

Прищурив глаза, Лобачевский посмотрел в чистое небо, затем, спохватившись, резким движением сбросил халат на скамейку и сделал несколько гимнастических упражнений.

– Совсем другое самочувствие, – сказал он, улыбаясь, Алексею, выглянувшему в окно. – Тебе тоже советую.

Прекрасная штука – гимнастика. Молодцы греки!

Под конец, обливаясь холодной водой, Лобачевский невольно вспомнил вчерашний спор. То ли от воспоминания, то ли от холодной воды по телу пробежала дрожь. Он растерся жестким полотенцем и, вернувшись в комнату, решил: надо привести в порядок мысли, рожденные вчерашним спором.

– Ну что же, друг, – сказал он самому себе, – зафиксируем все, что сказали другие, и поразмыслим...

Раскрыв тетрадь и обмакнув гусиное перо в чернила, начал он торопливо записывать:

1. "Пятый постулат – пятно геометрии" (Бартельс).

2. "Истинность аксиомы параллельности зависит, пожалуй, от понятия о прямой линии, полученного из опыта"

(Симонов).

3. "Аксиома прямой характеризует коренное свойство того пространства, в котором находится такая линия"

(Броннер).

– Интересная мысль! – пробормотал он, записывая.

4. "Геометрия является наукой, определяющей свойства пространства" (Кант).

5. "Пространство – это безграничная, по всем направлениям однообразная пустота" (Кант и Бартельс).

– Кажется, и Ньютон придерживается такого же мнения. Проверить!

6. "Пятый постулат есть необходимое следствие наших понятий о пространстве" (Бартелъс).

7. "Геометрия, подобно шахматам, пустая игра по совершенно произвольным правилам с придуманными аксиомами" (Кондырев и Никольский)...

Лобачевский отложил тетрадь в сторону и долго сидел неподвижно, погруженный в размышления. От вопроса к вопросу он все больше углублялся в корни геометрии, хранившей для него столько загадок. Не раз уже казалось ему, что близок он к цели. Еще сделать шаг и... Но шаг этот каждый раз не приближал его к заветной цели.

Вот ж сейчас. Вчерашний снор столкнул его с проблемой, с которой он, как геометр, неизбежно должен был встретиться. Пятый постулат, много веков занимающий умы ученых, доставивший лучшим геометрам столько тревог, остается по-прежнему загадкой. Простой и... неразрешимый вопрос.

– Неразрешимый ли? – поднялся Лобачевский и возбужденно заходил по комнате. – Надо разрешить. Непременно! Доказать, что геометрия не произвольное творение математиков, не игра ума! – Он подошел к шкафу и достал нужную книгу.

Евклид. На ходу перелистывая страницы, Лобачевский вернулся к столу. Вот они – пять предложений, составляющих теорию параллельных линий [Определение самого Евклида: параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются]. Он знал их наизусть и даже, закрыв глаза, видел перед собой знакомые строчки. Но все же каждый раз, открывая книгу, надеялся найти в них что-то новое... намек... разгадку...

Делая пометки в тетради, не раз он возвращался к прямым теоремам параллельных.

(Lobach01.gif)

"Предложение 27. Если прямая EF, пересекая две (другие) прямые Л В и CD, образует с ними равные накрестлежащже углы (например, с и е), то эти прямые А В и CD параллельны".

"Предложение 28. Если прямая EF, пересекая две (другие) прямые АВ и CZ), образует внешний угол (например, а), равный внутреннему противолежащему с той же стороны (то есть соответственному углу е), или если внутренние односторонние углы (например, d и е) составляют вместе два прямых угла (то есть 180°), то эти прямые АВ и CD параллельны".

Лобачевский, отложив перо, задумался. Нет, ни к чему тут не придерешься. Доказательство прямой теоремы параллельных Евклид выполнил безупречно, четко, на солидной основе первых двух постулатов и общих логических положений. Из этого, однако, еще не следует, что непременно должна быть справедливой и обратная теорема.

Если мы, например, знаем, что человек работает в Казанском университете, преподает или учится, то, конечно, живет он в Казанской губернии. Но можно ли утверждать: если человек живет в Казанской губернии, то работает он в Казанском университете? Нет, разумеется, это уже под вопросом. В геометрии то же самое: истинность какой-либо теоремы еще ничего не говорит об истинности обратного суждения. Поэтому необходимо проверить:

справедливо ли утверждение, обратное предложениям 27 и 28? Так появилась в "Началах" Евклида следующая, 29 теорема [Прямая теорема о параллельных прямых: если при пересечении двух прямых третьей оказалось, что "te+"Cd = 180° (или выполняется любое из 12 подобных равенств), прямые параллельны.

Обратная теорема о параллельных прямых: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей окажется, что – L"f:d = 180° (или выполняется любое из 12 подобных равенств).].

"Предложение 29. Прямая, пересекая две параллельные прямые, образует с ними равные накрестлежащие углы, внешний угол равен соответственному внутреннему, а внутренние односторонние углы составляют вместе два прямых".

Доказательство этой обратной теоремы параллельных нужно было выполнить теми же средствами, какими доказаны предыдущие двадцать восемь утверждений "Начал", то есть ссылкой на ранее выведенные предложения, и в конечном итоге ссылкой на первые четыре постулата и общие логические положения. Но тут Евклид неожиданно изменил своему принципу. Он прибег к новому постулату, который – что казалось таким странным – был просто-напросто перефразировкой доказываемой теоремы:

"Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d".

Это и есть пятый постулат Евклида [В настоящее время вместо Евклидовой формулировки принимают ей эквивалентную, принадлежащую английскому математику XVIII столетия Плейферу: через точку, взятую вне прямой, в ее плоскости можно провести только одну прямую, не встречающую данную]. И каждый, кто приступает к изучению геометрии, должен принять ево суть на веру, без доказательств, рассматривая как одну из исходных истин, на которых строится вся геометрия.

Но разве предыдущее предложение менее очевидно, чем это? На каком же основании возводить его в ранг аксиомы? Оно скорее производит впечатление теоремы – по своему содержанию значительно сложнее других постулатов и для понимания требует уже ряд предварительных сведений. Более того, в "Началах" оно используется довольно поздно, лишь в доказательстве двадцать девятого предложения, тогда как ко всем остальным аксиомам и постулатам Евклид прибегает в первых же своих теоремах.

Да, это произвольное допущение действительно является "темным пятном" геометрии, нарушающим всю ее гармонию. Оно помещено среди постулатов не потому, что его нельзя доказать, вывести умозаключением из других, более очевидных истин, а только потому, что Евклид не смог отыскать удовлетворительного решения. Геометрию нужно очистить от этого пятна, следует найти доказательство и свести пятый постулат в ранг теоремы.

Рассуждая, Лобачевский запустил пальцы в густые волосы.

– Но как приступить к решению этой задачи? – прикусил он кончик гусиного пера. – Будем исходить из аксиомы прямой: через две точки можно провести только одну прямую. Так? – Перо теперь заскрипело по шершавой бумаге. – Однако существует ли геометрическая связь между этой аксиомой и пятым постулатом?

Лобачевский тщетно пытался ухватить какую-нибудь наводящую нить, но та не давалась, ее пока не было.

В кабинет вошла Прасковья Александровна.

– Кушать пора, сынок.

– Разве... – очнулся он. – Какой тут завтрак... Я пока не хочу.

– Не завтрак, – напомнила мать. – Подошел обед... Не останови тебя, так ты не вспомнишь и до вечера. Ну, как хочешь, а я принесу.

Когда на столе появилось первое блюдо, в комнату, распахнув дверь, неожиданно ворвался Броннер. Полы его длинного незастегнутого сюртука развевались, шляпу он держал в руке.

– Нашел, Николай! Нашел! – крикнул он еще с порога. – Не зря называли меня иллюминаты Аристотелем. Целый день искал и все-таки нашел.

Николай удивленно смотрел на физика: его крупное лицо с широким лбом, обрамленное длинными волосами, которые он то и дело закладывал за уши, было бледным. Он всегда бледнел, когда был чем-нибудь взволнован.

– Добрый день, учитель! – обратился к нему Николай по-немецки. Садитесь, пожалуйста!

Броннер бережно достал из бумажного свертка старую, потрепанную книжку и, протянув ее Лобачевскому, сказал:

– Откройте сорок восьмую страницу... Нашли? Обратите внимание вот на эти строчки!

– "Необходимость в математических польожелинх и необходимость в вещах, возникающих согласно природе, – прочел Николай на греческом языке, – в известном отношении очень сходны, именно, если прямая линия есть вот это (то есть установленное аксиомой прямой), то необходимо, чтобы треугольник имел (внутренние) углы, равные двум прямым..." Послушайте, ведь это же интересно! – прервал чтение Лобачевский. – Чьи слова?

– То-то же, – с некоторой гордостью отозвался Броннер. – Дальше читайте.

– "Однако нельзя еще сказать, что если последнее положение правильно, то правильно и первое, а только:

если оно (то есть утверждение, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°) неправильно, не будет и прямой... не будет начал, если треугольник не будет иметь два прямых угла".

Лобачевский посмотрел на Броннера.

– Это же Аристотель! – воскликнул он. – Спи огненные слова мне врезались в память еще в гимназии.

– А вы читайте, читайте! – улыбнулся физик. – Вот здесь.

– "Говоря правильно относительно некоторых вещей, – пробежал Николай отмеченные строки, – нельзя утверждать, что это относится ко всему. Ведь и треугольник всегда имеет (внутренние) углы, равные двум прямым, однако причина сей вечности лежит в другом, для начал же, которые существуют вечно, такой другой причины нет..."

Гм... В одном предложении столько мудрых мыслей, что и голова не вмещает. Я немедленно перепишу.

Он раскрыл титульный лист книги:

– "Физика"?

– Да, – сказал Броннер, – та самая, которую мы когда-то с вами купили в книжной лавке. Изучил я это сочинение от корки до корки еще в студенческие годы, в Эйхштадтском университете.– Мне запомнилась тогда крылатая фраза, которую искал я сегодня в этой книге... Догадались какая?

Лобачевский ответил:

– "Если прямая линия есть вот это, то есть предписанное аксиомой прямой, то необходимо, чтобы треугольник имел внутренние углы, равные двум прямым". Не та ли?

– Та, – улыбнулся физик. – Когда вчера на банкете завели разговор о том, что истинность пятого постулата вытекает из определенных свойств прямой линии, мне сразу же показалось, что у кого-то я читал об втжж вещах. А дома вспомнил Аристотеля...

Тут Броннер заметил, что Лобачевский уже не слушает его.

– Теорема о сумме внутренних углов треугольника опирается на постулат о параллельных линиях, – рассуждал он вслух, – и если бы удалось независимо от постулата Евклида установить, что сумма углов треугольника равна двум прямым, то, опираясь на это предложение, можно было бы легко доказать и самый постулат... Кажется, гдето я читал об этом...

– Вот именно, – прервал его размышления Броннер, – из аксиомы прямой вывести теорему о сумме внутренних углов треугольника, а из нее утверждение, содержащееся в постулате Евклида. Оно без всякого сомнения может быть вполне доказано. Так предполагали еще древние мыслители. Вот что писал, например, знаменитый Прокл.

Я прочту вам перевод с английского текста, изданного в Лондоне в 1792 году. – Броннер достал из свертка другую книгу в кожаном переплете и, полистав ее, нашел подчеркнутые строчки: – "Это утверждение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что оно – теорема, вызывающая много сомнений... и сам Евклид дает обращение этого предложения в качестве теоремы".

Броннер на минуту задержался. Лобачевский спросил его:

– Все?

– Нет, еще не все. Дальше идут знаменательные строки. Послушайте: "Конечно, совершенно необходимо признать, что прямые линии наклоняются одна к другой, когда прямые углы заменяются острыми [(lobach02.gif)То есть когда перпендикуляры к секущей заменяются наклонными, образующими с ней острые внутренние односторонние углы]. Однако то, что эти наклонные при продолжении сойдутся, остается не достоверным, а лишь вероятным до тех пор, покуда этому не дано будет логическое доказательство, ибо существуют бесконечные наклонные линии, которые никогда не сходятся... [(lobach02.gif) Например, две гиперболические ветки АА' и BE' могут асимптотически приближаться одна к другой, образуя острые углы из концов секущей АВ] Но то, что бывает при других линиях, почему же не может быть при прямых? До тех пор, пока мы этого не обнаружим путем доказательства, свойства, которые могут проявиться при неограниченном продолжении других линий, тяготеют над нашим воображением... Совершенно ясно: должно быть найдено доказательство настоящей теоремы, а такое требование природе постулатов совершенно чуждо..." Что вы скажете на это?

Лобачевский крепко пожал его руку.

– Спасибо вам, герр профессор! – поблагодарил он учителя. – Разрешите выписать прочитанные вами фразы.

В них я нашел подтверждение собственной мысли.

– Тем паче вы должны разрубить этот гордиев узел.

И я благословляю вас! – улыбнулся Броннер. – Как бывший священник, хотя и отрекшийся.

Подумав, он добавил:

– Мне кажется, что главная цель молодого ученого – это приучить себя думать... Думать – значит неустанно направлять мысли на предмет исследования, иметь его в виду и ныне и завтра; говорить, писать, спорить о нем; подходить к нему с одной и с другой стороны, собрать все доводы в пользу того или другого мнения и справедливо их взвесить. Во-вторых, загляните в "Начала геометрии"

Лежандра. Не включает он в число аксиом постулата о параллельных линиях и в каждом новом издании дает вместо него то или другое доказательство, которое, однако, всякий раз оказывается неудовлетворительным. У вас, Николай Иванович, получится. Верю в это. Я с начала поиска на вашей стороне, потому что мне самому часто приходится размышлять о параллельных. Мы, физики, весьма заинтересованы в том, чтобы этот пятый постулат был доказан, ибо до сих пор некоторые наши теории висят в воздухе... Ну, как говорит ваша русская пословица, – ни пуха ни пера!

После ухода Броннера Лобачевский долго не мог успокоиться.

Да, предстоят упорные поиски! Не мог не прислушаться оп к грозному предостережению Бартельса. Хотя и сам знал, что лучшие математики мира издавна ломали голову над неуловимым доказательством пятого постулата. И не имели успеха. Но, может, именно здесь найдется ключ к познанию сокровенной тайны аксиом, в которую так упорно стремился проникнуть? Рассуждая таким образом, Лобачевский вспомнил магистерский труд Симонова "Об определении суточного движения Солнца через наблюдение пятен, на оном находящихся".

Темные пятна! Их наблюдали еще в глубокой древности, когда и телескопа не было. Казались они временными островами в огненном, бушующем на Солнце море.

Сущность пятен этих оставалась неизвестной, и тем не менее Галилей благодаря им открыл, что Солнце вращается вокруг своей оси.

Чем черт не шутит! Может, и пятый постулат, "пятно геометрии", позволит проникнуть в ее тайну? Не зря же с древних времен взоры всех мыслителей прикованы к этому "пятну".

И снова Лобачевский вернулся к загадочным словам:

"Не будет начал, если треугольник не будет иметь два прямых угла... причина сей вечности лежит в другом..."

"А в чем же именно, в чем коренится такая причинная связь? – Аристотель ответа не дает. Как доказать, не пользуясь постулатом о параллельных, теорему о равенстве суммы внутренних углов треугольника двум прямым?" спрашивает себя Лобачевский.

В памяти всплывают знакомые слова: "Сумма трех углов треугольника не может быть больше двух прямых".

Так писал в своей книге Лежандр.

Николай поспешно разыскал в шкафу старое издание "Начал геометрии", которым пользовался еще в гимназии.

Лежандр ставил задачу прийти к теореме о сумме углов треугольника строгим рассуждением, исходя из предложений "Начал" Евклида, вывод которых не опирается на пятый постулат. С такой целью он прежде всего устанавливает ряд теорем, которыми исключается возможность, что сумма внутренних углов треугольника может быть больше двух прямых, и отделяет друг от друга две другие гипотезы: 1) что сумма равна 180° или 2) что меньше она двух прямых углов.

Французский геометр стремится отвергнуть последнее предположение. Всего-навсего! И пятый постулат будет им доказан, ибо справедлив он, если сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым. Цепь изящных и тонких рассуждений Лежандра кажется безупречной.

В таком случае, почему же решил он отказаться в новом издании своего учебника от найденного доказательства?

В чем тут загвоздка?

Проверяя весь ход рассуждений Лежандра, Лобачевский наконец обнаружил: тот незаметно для себя ввел новое допущение, по существу равносильное пятому постулату, и тем самым свое доказательство свел на нет.

"Итак, мы весьма приблизились к цели, но не достигли ее совершенно, сознался Лежандр, – потому что наше доказательство зависело от предварительного допущения, которое могло быть в строгом смысле отвергнуто. Вот это соображение и заставило меня возвратиться в девятом издании к ходу доказательства Евклида".

Когда же удалось, не пользуясь постулатом о параллельных линиях, установить, что сумма внутренних углов треугольника не может превышать двух прямых, то, чтобы доказать, что эта сумма непременно равна 180°, оставалось лишь обнаружить, что не может опа быть и меньше двух прямых, отступиться от своей цели и опять принять позицию Евклида?.. Нет, Лобачевский мириться не мог с таким половинчатым решением!

И почему все до единого треугольники: тупоносвхе и острокрылые, равнобедренные и разнобокие, прямые и косые, малюсенькие и великаны должны иметь внутренние углы, равные в сумме точь-в-точь двум прямым? Или она меньше 2d, если существует хотя бы один треугольник, в котором сумма углов меньше 2d? Ни в "Началах" Евклида, ни в каком-либо ином руководстве по геометрии об этом не говорится ни слова.

– Ну что же? Попробуем, – Лобачевский присел к столу, но, почувствовав, что не сможет сейчас работать, снова поднялся.

Голова горела – надо было успокоиться. Он вышел на улицу и вскоре был уже на берегу Казанки. Высоко в небе клубились тучи. Сквозь них проглядывало солнце и золотило верхушки старых тополей на бывшей даче Яковкиных. У знакомой калитки Николай невольно замедлил шаги. А вдруг распахнется дверь и он увидит Анну! Только нет, не появится. Вспомнились горькие слова из ее последнего короткого письма, написанного перед свадьбой:

"Умоляю забыть обо мне..."

– Забудем, – сказал Николай, расстегнув тугой воротник сюртука.

Да, в его неудачной любви к Анне виноват он сам.

"Ну что ж. Ты мечтал полюбить науку, так люби ее. Твое желание сбылось. Радуйся!" – говорил он себе с горечью.

Затем по деревянному настилу перешел на другой берег Казанки, где когда-то Ибрагимов с ними – гимназистами – занимался практическим землемерием. Но сейчас и эти воспоминания, такие дорогие сердцу, не отвлекали от мыслей об Анне в Подлужной.

"Неужели так и пройдет моя жизнь в одиночестве?.."

Поздно вечером, вернувшись домой, Лобачевский почувствовал себя настолько усталым и разбитым, что сразу же лег в постель.

Время шло. А дело не подвигалось. Не зная, как изложить теорию параллельных линий, Лобачевский был вынужден прекратить лекции по геометрии. А чтобы совсем не сорвать занятий, срочно переключился на логарифмы.

Одновременно проводил метеорологические наблюдения, исследования земного магнетизма. И много читал. Заноем – и дома, и в библиотеке. В голове рождались всевозможные комбинации доказательств пятого постулата. След этих мучительных поисков первой глубокой морщинкой прорезался между бровей.

Студенты уже заметили тревожные перемены: лекции Лобачевского стали сухими, логически не стройными. Профессор обрывал речь на полуслове и, точно забыв о слушателях, молча прохаживался у кафедры. Затем, очнувшись, продолжал свою лекцию. Выражение озабоченности не сходило с его лица. Собеседников слушал рассеянно и часто прерывал их:

– Простите, я что-то не дослышал.

В эти дни в журнале инспектора студентов профессора Броннера появилась такая запись:

"31 окт. 1816 г. Являются студенты Иконников и Еврейнов с жалобою на то, что не могут понимать проф. Лобачевского, так как он объясняет не применение логарифмов, а их происхождение. Они просят отослать их к проф. Никольскому, изъясняющему вторую часть алгебры. Не упоминая имен, я известил об этом профессора. Студентам же рекомендовал вести себя спокойно и, если пожелают, ходить на лекции к обоим профессорам".

...Как-то в конце февраля, закончив лекцию, Лобачевский задержался в аудитории. Стирая тряпкой на доске написанные формулы, он вдруг остановился, точно пораженный:

– Да ведь нашел!

Голос его в пустой аудитории прокатился по углам гулким эхом. Лобачевский оглянулся: нет, никто не слышал.

И снова посмотрел на доску: она была чистой. Взяв мел, начал он торопливо чертить линии только что пришедшего решения. Тряпки не было куда-то подевалась. Не останавливаясь, он стирал написанное ладонью.

Три основные части рассуждения: сперва – доказательство новой теоремы "Если сумма углов в каком-либо треугольнике равна двум прямым, то во всяком другом треугольнике будет то же".

– Посмотрим теперь, что из этого получится! Будем полагать, что сумма углов во всяком треугольнике равна двум прямым или меньше двух прямых, записывал он торопливо.

Дальше, введя лемму о ломаной с прямыми углами (то есть постулат о невозможности самопересечения в многоугольнике) и опираясь на нее, Лобачевский пришел к теореме, что сумма углов произвольного треугольника равна двум прямым углам.

Отсюда перешел он к давно желанному окончательному доказательству Евклидова постулата параллельности. Это было выполнено в один прием на основе последнего предложения.

Теперь только, поставив точку, Лобачевский ощутил в ногах страшную слабость. Но в груди у него все ликовало. Ну да ведь он доказал недоказуемое!

Через несколько дней Лобачевский с полной уверенностью в разрешении многовековой проблемы пришел в математическую аудиторию, чтобы доложить об этом своим слушателям.

Он поднялся на кафедру и, волнуясь, начал излагать новое введение к теории параллельных, изредка поглядывая на лучших учеников, сидящих в первом ряду. Вон, склонившись над своей тетрадью из голубоватой бумаги, торопливо пишет Михаил Темников [В геометрическом кабинете Казанского университета хранятся подробные записи студента М. Темникова "Лекции господина профессора Лобачевского от 1816 – 1817 гг.", в которых особый интерес представляет попытка Лобачевского доказать Евклидов постулат параллельности на основании введенной им леммы.]. Рядом с ним сидит Семен Мухачев. Чуть подальше за ними – Эдуард Бартельс, младший сын декана.

Раздался звонок. Положив мел и тряпку, Лобачевский направился к выходу. Лицо его светилось, щеки горели, губы еще продолжали шевелиться, будто самому себе торопился он досказать недосказанное.

В коридоре остановил его Бартельс:

– Ого, вы сегодня совсем другой человек! Очень рад.

Ну, рассказывайте, что это за перелом? Причины?

Лобачевский остановился и вдруг обнял профессора.

– Мартин Федорович, ведь я доказал! – вырвалось у него.

– Постулатум?! – воскликнул Бартельс, схватив Николая за плечи. – Не может быть! Кто найдет, говорил мой Гаусс, доказательство аксиомы о параллельных, тот заслужит бриллиант, равный по величине земному шару!.. Вы пошутить изволили, дорогой друг?

– Что вы... Я действительно нашел и хотел бы теперь с вами поделиться...

– Только не сейчас, – прервал Бартельс. – Я вас жду сегодня к ужину. Там не помешают нам. Дай бог удачи!

– Спасибо! Непременно приду, – заверил его Лобачевский.

До вечера было далеко, а время тянулось нестерпимо долго. И, не дождавшись назначенного часа, Лобачевский поспешил к Бартельсу.

Мартовский ветер гнал по улице мокрые хлопья снега, бросая их на землю, где они медленно таяли. Но Лобачевский шагал по Театральной, обгоняя прохожих, не чувствуя ни ветра, ни снега. Он торопился к учителю, знания которого были так велики. Тот мог сказать ему, не ошибся ли он, как все предшественники.

Профессор жил теперь в собственном особняке на Поповой горе. У подъезда Николай уверенно дернул бронзовую ручку звонка. За тяжелой дверью в передней послышались мягкие шаги.

Отдав горничной пальто, Лобачевский направился к раскрытой двери кабинета, в которой уже стоял приветливо улыбающийся хозяин. Пропустив гостя вперед, он взволнованно сказал ему:

– Жду, никак не могу дождаться. Вот кресло, на столике возьмите карандаш и бумагу. Я слушаю.

Лобачевский опустился в кресло.

– Вот, – слегка задыхаясь, проговорил он, – доказательство Евклидова постулата. Пожалуйста, следите!

Бартельс, кивнув головой, пристально смотрел на быстро двигающийся карандаш.

Наконец Лобачевский протянул ему исписанный лист.

Карандаш упал на пол, но его не подняли.

Бартельс, не отрываясь от листка, задумался. Восхищение профессора сменилось недоумением и глубокой печалью.

Лобачевский следил за ним с тревогой. Почему же он молчит?

Но вот хозяин медленно встал из-за стола, молча прошелся по комнате. Затем, раскурив свою трубку, заговорил:

– Однажды, когда я учился в Геттингенском университете, попала мне в руки диссертация Клюгеля под скучным названием "Обзор важнейших попыток доказательства теоремы о параллельных линиях". Попала ко мне случайно. И оказалась для меня роковой. Мое воображение заколдовали такие строки... Бартельс достал с этажерки небольшую книжку и, отыскав нужную страницу, прочитал ее: – "Все науки хранят в себе загадочные вещи. Неудивительно, что наш ум, заключенный в определенные пределы, многого не постигает и не в состоянии раскрыть источники и причины многих фактов. При всем этом я не знаю, коренится ли больше в слабости нашего ума или в характере самых истин вины того, что в пределах геометрии существуют препятствия, которые не дают возможности овладеть подступами к пей в такой степени, как это было бы желательно. Немногочисленны истины, которые в геометрии могут быть доказаны без пособия теоремы о параллельных линиях; но еще малочисленное те истины, которые можно использовать для ее доказательства"...

Бартельс посмотрел на Лобачевского.

– Вот с тех пор безжалостный бесенок в течение долгих лет не переставал надо мною издеваться и нашептывать: "Попробуй-ка найти сие доказательство, ключ к загадкам геометрии". Бесенок этот будил меня среди ночи, сбивал с толку во время чтения лекций... – Бартельс бросил книгу на кресло. – А ведь кажется само собой разумеющимся, что перпендикуляр и наклонная, проведенные на плоскости к одной и той же прямой, обязательно пересекутся. Но где же доказательство?.. Доказательство истины сей не могли сыскать ни греческий ученый Прокл, – начал он отсчитывать на пальцах, – ни азербайджанский математик Насирэддин Туей, ни великий итальянский иезуит Иероним Саккери, ни английский ученый Джон Вэллис, ни швейцарец Луи Бертрану, ни французский геометр Лежандр, ни сам король математиков, мой геттингенский колосе – Карл Гаусс!

– Не мучайте меня, профессор, – взмолился Лобачевский. Он видел перемену Бартельса, который стал теперь так холоден и логичен. Это не обещало добра. – Скажите прямо, не щадите: доказал я или нет?

Но Бартельс был неумолим.

– Вы не торопитесь, а выслушайте, коли пришли советоваться.