Текст книги "Битва при черной дыре. Мое сражение со Стивеном Хокингом за мир, безопасный для квантовой механики"
Автор книги: Леонард Сасскинд
сообщить о нарушении
Текущая страница: 3 (всего у книги 28 страниц)
Всякий, кто пытается описать современную физику без математических формул, знает, насколько полезными бывают аналогии. Например, очень удобно думать, что атом – это миниатюрная планетная система, а использование обычной ньютоновской механики для описания тёмных звёзд помогает тем, кто не готов погружаться в высшую математику общей теории относительности. Но аналогии имеют свои ограничения, и тёмная звезда в качестве аналога чёрной дыры перестаёт работать, если зайти достаточно глубоко. Существует другая, более удачная аналогия. Я узнал о ней от одного из пионеров квантовой механики чёрных дыр Билла Унру. Возможно, она мне особенно нравится потому, что по своей первой специальности я – водопроводчик.
Представьте себе бесконечное мелководное озеро. Его глубина всего несколько футов, но оно неограниченно простирается в горизонтальной плоскости. По всему озеру обитают слепые головастики, они проводят здесь всю жизнь, не видя света, но отлично пользуются звуком для локации предметов и общения. Есть одно нерушимое правило: ничто не может двигаться в воде быстрее, чем со скоростью звука. Для большинства задач это ограничение скорости несущественно, поскольку головастики движутся гораздо медленнее.
Но в озере есть опасность. Многие головастики обнаруживают её слишком поздно, чтобы спастись, и никто ещё не возвращался назад, чтобы рассказать, что с ним случилось. В центре озера находится сточное отверстие. Вода через него попадает в подземную пещеру, где разбивается о смертельно острые скалы.
Если взглянуть на озеро сверху, то видно, что вода движется к стоку. Вдали от него скорость воды необнаружимо мала, но чем ближе, тем она становится больше. Предположим, что сток отводит воду так быстро, что на некотором расстоянии её скорость достигает скорости звука. Ещё ближе к стоку течение становится сверхзвуковым. Это действительно очень опасный сток.
Плавающие в воде головастики, знакомые только со своей жидкой средой обитания, никогда не знают, насколько быстро они в действительности движутся; всё вокруг них утягивается водой с одной и той же скоростью. Большая опасность состоит в том, что их может затянуть в сток и они погибнут на острых камнях. В действительности, как только один из них пересёк радиус, на котором скорость течения превышает звуковую, он обречён. Пройдя эту точку невозврата, он не сможет ни преодолеть течение, ни даже послать предупреждение другим, кто ещё находится в безопасной области (никакой акустический сигнал не может двигаться в воде быстрее звука). Унру называет такое сточное отверстие и его точку невозврата глухой дырой – глухой в смысле молчащей, поскольку никакой звук выйти из неё не может.
Одно из самых интересных свойств точки невозврата состоит в том, что неосторожный наблюдатель, проплывая через неё, поначалу не заметит ничего необычного. Нет никаких предупреждающих указателей или сирен, нет препятствий, которые могли бы остановить его, ничто не подскажет ему о надвигающейся опасности. В какой-то момент кажется, что всё замечательно, и в следующий момент – тоже. Прохождение точки невозврата – это не-событие.
И вот свободно дрейфующий головастик по имени Алиса плывёт к стоку, напевая песенку для своего приятеля Боба, оставшегося на отдалении. Как и у всех её слепых сородичей, у Алисы, довольно бедный репертуар. Единственная нота, которую она может петь, – это «до» средней октавы с частотой 262 колебания в секунду, или, на техническом языке, 262 герца (Гц)[25]25
Единица частоты герц названа в честь немецкого физика Генриха Герца. Один герц – это то же самое, что одно колебание в секунду.
[Закрыть]. Пока Алиса находится вдали от стока, её движение почти неощутимо. Боб прислушивается к звуку Алисиного голоса и слышит «до» первой октавы. Но когда Алиса набирает скорость, звук становится ниже, по крайней мере в восприятии Боба; «до» сменяется на «си», потом на «ля». Вызвано это так называемым доплеровским сдвигом, его можно заметить, когда мимо вас проходит скорый поезд со включённым свистком. Пока поезд приближается, звук свистка кажется вам более высоким, чем машинисту в кабине. Когда же свисток проходит мимо вас и начинает удаляться, звук понижается. Каждое последующее колебание вынуждено проходить немного больший путь, чем предыдущее, и оно достигает вашего уха с небольшой задержкой. Время между последовательными звуковыми колебаниями увеличивается, и вы слышите более низкую частоту. Более того, если поезд, удаляясь от вас, набирает скорость, то воспринимаемая частота будет становиться всё ниже и ниже.
То же самое происходит с музыкальной нотой Алисы по мере приближения к точке невозврата. Сначала Боб слышит частоту 262 Гц. Потом она снижается до 200 Гц, затем до 100 Гц, до 50 Гц и т. д.
Звуку, испущенному совсем рядом с точкой невозврата, понадобится очень много времени, чтобы уйти прочь; движение воды почти полностью гасит направленную наружу скорость звука, замедляя его почти до полной остановки. Вскоре звук становится таким низким, что без специального оборудования Боб уже не может его расслышать.
У Боба может быть специальное оборудование, позволяющее фокусировать звуковые волны и получать изображения Алисы по мере её приближения к точке невозврата. Но последовательным звуковым волнам требуется всё больше и больше времени, чтобы дойти до Боба, из-за чего всё, что касается Алисы, выглядит замедленным. Её голос становится ниже; движения её лапок замедляются почти до полной остановки. Самый последний взмах, замеченный Бобом, растягивается до бесконечности. Фактически Бобу кажется, что для достижения точки невозврата Алисе понадобится вечность.
Между тем Алиса не замечает ничего необычного. Она безмятежно дрейфует за точку невозврата, не чувствуя никакого замедления или ускорения. Опасность она осознает только потом, уже падая на смертоносные скалы. Здесь мы видим одну из ключевых особенностей чёрных дыр: разные наблюдатели парадоксальным образом совершенно по-разному воспринимают одни и те же события. Бобу, судя по приходящим звукам, кажется, что Алисе потребуется вечность, чтобы достичь точки невозврата, но для Алисы это может случиться в мгновение ока.
Вы уже наверняка догадались, что точка невозврата – это аналог горизонта чёрной дыры. Замените звук светом (напоминаю, ничто не может двигаться быстрее света), и получится очень точная иллюстрация свойств шварцшильдовской чёрной дыры. Как и в случае сточного отверстия, всё, что пересекло горизонт, уже не может вырваться назад или даже оставаться в покое. Опасность же в чёрной дыре – это не острые скалы, а находящаяся в центре сингулярность. Вся материя внутри горизонта стягивается к сингулярности, где её сожмёт до бесконечного давления и плотности.
Вооружившись аналогией глухой дыры, можно прояснить для себя многие парадоксальные свойства чёрных дыр. Пусть, например, Боб уже не головастик, а астронавт на космической станции, обращающейся на безопасном расстоянии вокруг чёрной дыры. Алиса же, падая к горизонту, не поёт – в открытом космосе нет воздуха, чтобы донести её голос, – а подаёт сигналы голубым фонариком. По мере её падения Боб видит, как свет смещается по частоте от голубого к красному, затем к инфракрасному, микроволновому излучению и, наконец, становится низкочастотными радиоволнами. Сама же Алиса выглядит всё более вялой, замедляясь почти до полной остановки. Боб никогда не увидит, как она пересекает горизонт; с его точки зрения, на то, чтобы достичь точки невозврата, Алисе понадобится бесконечное время. Но Алиса в своей системе отсчёта спокойно проваливается сквозь горизонт и начинает чувствовать что-то странное, лишь приближаясь к сингулярности.
Горизонт шварцшильдовской чёрной дыры располагается на радиусе Шварцшильда. Хотя Алиса и обречена после его пересечения, тем не менее у неё остаётся, как и у головастиков, немного времени, прежде чем она погибнет в сингулярности. Но сколько именно? Это зависит от размера, то есть от массы, чёрной дыры. Чем больше масса, тем больше шварцшильдовский радиус и тем больше времени в запасе у Алисы. В чёрной дыре с массой Солнца у неё будет всего лишь десять микросекунд. В чёрной дыре, которая располагается в центре галактики и может иметь массу в миллиард раз больше, у Алисы будет миллиард микросекунд, то есть примерно полчаса. Можно вообразить ещё более крупную чёрную дыру, в которой Алиса сможет прожить целую жизнь и, возможно, даже несколько поколений её потомков успеют состариться и умереть, прежде чем их уничтожит сингулярность.
Разумеется, по наблюдениям Боба, Алиса никогда не доберётся до горизонта. Так кто же прав? Достигнет она горизонта или нет? Что реально происходит? И реально ли это? В конце концов, физика – это наблюдательная и экспериментальная наука, так что можно было бы отдать предпочтение надёжным наблюдениям Боба, пусть они и находятся в очевидном противоречии с Алисиным описанием событий. (Мы ещё вернёмся к Алисе и Бобу после того, как обсудим удивительные квантовые свойства чёрных дыр, открытые Якобом Бекенштейном и Стивеном Хокингом.)
Аналогия со стоком хороша для многих целей, но, как и все аналогии, имеет свои границы. Например, когда объект проваливается сквозь горизонт, его масса добавляется к массе чёрной дыры. Рост массы означает расширение горизонта. Это, несомненно, можно смоделировать в аналогии со сточным отверстием, скажем, установив в нём насос для управления потоком. Каждый раз, когда в сток что-то падает, насос должен немного повышать мощность, ускоряя поток и отодвигая точку невозврата немного дальше. Но такая модель быстро теряет свою простоту[26]26
Профессор Джордж Эллис напомнил мне об одной тонкости, связанной с переменным потоком. В этом случае точка невозврата не совпадает в точности с тем местом, где скорость воды совпадает со скоростью звука. В случае чёрных дыр существует аналогичная тонкая разница между видимым горизонтом видимости и истинным.
[Закрыть].
Ещё одно свойство чёрных дыр заключается в том, что они сами способны двигаться. Если поместить чёрную дыру в гравитационное поле другой массы, она будет ускоряться, как и любой другой массивный объект. Она даже может упасть в более крупную чёрную дыру. Если попытаться отразить все эти свойства реальных чёрных дыр в аналогии со сточным отверстием, она станет сложнее той математики, применения которой она позволяет избежать. Но, несмотря на эти ограничения, сток – это очень полезное представление, позволяющее понять основные свойства чёрных дыр без овладения уравнениями общей теории относительности.
Несколько формул для тех, кто их любитЯ написал эту книгу для читателей, не склонных к математике, однако для тех, кому по душе немного математических выкладок, здесь приведено несколько формул и пояснён их смысл. Если вам это неинтересно, просто переходите к следующей главе. Это же не экзамен.
Согласно ньютоновскому закону тяготения, каждый объект во Вселенной притягивает все другие объекты, причём сила гравитации пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
Это одно из самых знаменитых физических уравнений, оно почти так же широко известно, как и E=m∙c2 (это прославленное уравнение связывает энергию E с массой m и скоростью света c).
В левой части стоит сила F, действующая между двумя массами, такими как Луна и Земля или Земля и Солнце. С правой стороны большая масса M и меньшая масса m. Например, масса Земли 6∙1024 кг, а масса Луны – 7∙1022 кг. Расстояние между массами обозначено D. Расстояние от Земли до Луны составляет около 4∙108 м.
Последнее обозначение в уравнении, G, – это числовая константа, называемая ньютоновой гравитационной постоянной. Эту величину нельзя вывести чисто математически. Чтобы найти её значение, необходимо измерить силу притяжения между двумя известными массами, находящимися на некотором известном расстоянии. Как только это сделано, можно вычислить силу, действующую между любыми двумя массами на любом расстоянии. По иронии судьбы, Ньютон так никогда и не узнал величину своей собственной постоянной. Дело в том, что гравитация так слаба, а величина G, соответственно, так мала, что измерить её не удавалось до конца XIX столетия. К тому времени английский физик Генри Кавендиш разработал хитроумный способ измерения чрезвычайно малых сил. Кавендиш обнаружил, что сила, действующая между парой килограммовых масс, разнесённых на один метр, составляет примерно 6,7∙10−11 ньютона. (Ньютон – это единица силы в метрической системе СИ. Она составляет примерно десятую долю веса одного килограмма.) Таким образом, значение гравитационной постоянной в системе СИ составляет:
G=6,7∙10−11
Изучая следствия из своей теории, Ньютон совершил одно важное открытие, касающееся особых свойств закона обратных квадратов. Когда вы измеряете собственный вес, часть гравитационной силы, тянущей вас к Земле, вызвана массой, находящейся прямо у вас под ногами, ещё часть связана с массой глубоко внутри Земли, а часть составляет вклад масс на противоположной стороне Земли на расстоянии в 12,5 тысячи километров. Но благодаря математическому чуду можно считать, будто вся масса сосредоточена в одной точке непосредственно в геометрическом центре планеты.
Гравитация массивного шара точно такая же, как если бы вся масса была сосредоточена в его центральной точке
Этот удобный факт позволил Ньютону вычислять скорость убегания от крупного объекта, заменяя его протяжённую массу крошечной массивной точкой. И вот результат:
Эта формула чётко показывает, что чем больше масса и меньше радиус R, тем выше становится скорость убегания.
Теперь уже легко вычислить радиус Шварцшильда. Всё, что нужно для этого сделать, – это подставить скорость света в качестве скорости убегания и затем разрешить полученное уравнение относительно радиуса:
Отметим тот важный факт, что радиус Шварцшильда прямо пропорционален массе.
Вот и всё, что касается тёмных звёзд, по крайней мере на том уровне, который был доступен Лапласу и Митчелу.
3
Недедовская геометрия
В далёком прошлом, когда такие математики, как Гаусс, Бойяи, Лобачевский и Риман[27]27
Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), Янош Бойяи (1802–1860), Николай Лобачевский (1792–1856) и Георг Фридрих Бернхард Риман (1826–1866).
[Закрыть], ещё не успели всё запутать, геометрия означала евклидову геометрию – ту самую, которую все мы учили в школе. Всё начиналось с планиметрии – геометрии идеально плоской двумерной поверхности. Первичными понятиями были точки, прямые линии и углы. Мы учили, что три точки задают треугольник, если они не лежат на одной прямой, параллельные прямые никогда не пересекаются, а сумма углов любого треугольника равна 180°.
Потом, если курс обучения был таким же, как у меня, вы расширяли свои представления на три измерения. Что-то оставалось таким же, как и в двух измерениях, но что-то менялось, иначе между двумя и тремя измерениями не было бы никакой разницы. Например, в трёх измерениях есть прямые линии, которые нигде не пересекаются, но при этом не параллельны; они называются скрещивающимися.
Как в двух, так и в трёх измерениях законы геометрии остаются теми, что сформулировал Евклид около 300 года до нашей эры. Однако геометрии другого типа – с другими аксиомами – возможны даже в двумерном случае.
Буквальное значение слова «геометрия» – измерение Земли. Ирония в том, что если бы Евклид реально озаботился измерением треугольников на земной поверхности, он бы обнаружил, что евклидова геометрия не работает. Дело в том, что земная поверхность является сферой[28]28
Я, конечно, имею в виду идеализированную, совершенно круглую Землю.
[Закрыть], а не плоскостью. В сферической геометрии, конечно, есть точки и углы, но далеко не очевидно, что в ней есть нечто подобное прямым линиям. Посмотрим, удастся ли придать какой-то смысл словам «прямая линия на сфере».
Привычный способ описания прямой линии в евклидовой геометрии состоит в том, что это кратчайший путь между двумя точками. Если я захочу построить прямую линию на футбольном поле, то вобью в землю два колышка, соединю их леской и натяну её как можно сильнее. Натягивание лески гарантирует, что линия будет самой короткой из возможных.
Этот принцип кратчайшего пути между двумя точками можно легко распространить на сферу. Допустим, надо найти кратчайший путь между Москвой и Рио-де-Жанейро. Нам понадобится глобус, две кнопки и упругая нить. Воткнув кнопки в Москву и Рио, можно натянуть нить вдоль поверхности глобуса и определить кратчайший маршрут. Такие кратчайшие маршруты, подобные экватору и меридианам, называют большими кругами. Есть ли смысл называть их прямыми линиями в сферической геометрии? Да неважно, как мы их назовём. Важно то, как логически соотносятся между собой точки, углы и линии.
Будучи кратчайшим путём между двумя точками, такие линии являются в некотором смысле наиболее прямыми из возможных линий на сфере. Корректное математическое название для таких путей – геодезические. Если на обычной плоскости геодезические являются обычными прямыми линиями, то на сфере геодезические – это большие круги.
Большие круги на сфере
Получив эту сферическую замену прямых линий, мы можем перейти к конструированию треугольников. Отметим на сфере три точки, скажем Москву, Рио и Сидней. Затем нарисуем геодезические, попарно соединяющие эти точки: геодезическую Москва-Рио, геодезическую Рио-Сидней и, наконец, геодезическую Сидней-Москва. В результате получится сферический треугольник.
Сферический треугольник
В планиметрии, если сложить углы любого треугольника, получится ровно 180 градусов. Но если внимательно присмотреться к сферическому треугольнику, то видно, что его стороны выпячиваются наружу, что делает углы бо́льшими, чем они были бы на плоскости. В результате сумма углов сферического треугольника всегда больше 180 градусов. Про поверхность, на которой треугольники обладают таким свойством, говорят, что она имеет положительную кривизну.
Могут ли существовать поверхности противоположного свойства, а именно чтобы сумма углов треугольника была меньше 180 градусов? Пример такой поверхности – седло. Седловидные поверхности имеют отрицательную кривизну; геодезические, образующие треугольник на поверхности отрицательной кривизны, не выпячиваются, а, наоборот, втягиваются.
Итак, независимо от того, способен наш ограниченный мозг визуализировать искривлённое трёхмерное пространство или нет, мы знаем, как экспериментально проверить его на кривизну. Ключом служат треугольники. Выберите любые три точки в пространстве, как можно туже натяните между ними нити, чтобы образовался трёхмерный треугольник. Если сумма углов составляет 180° для любого такого треугольника, то пространство плоское, если нет – искривлённое.
Могут существовать геометрии намного более сложные, чем сферы и сёдла, – геометрии с беспорядочными холмами и долинами, имеющие области как с положительной, так и с отрицательной кривизной. Но правило для построения геодезических всегда остаётся простым. Представьте, что вы ползёте по такой поверхности и всё время держите нос прямо, никогда не поворачивая головы. Не оглядывайтесь; не заботьтесь, откуда вы пришли и куда направляетесь; просто тупо ползите вперёд. Ваш путь окажется геодезической.
Представьте себе человека в инвалидном кресле, пытающегося сориентироваться в пустыне среди песчаных дюн. Имея ограниченный запас воды, он должен выбраться оттуда как можно быстрее. Округлые холмы, седловидные перевалы и глубокие долины образуют участки ландшафта с положительной и отрицательной кривизной, и в целом совершенно не очевидно, куда лучше всего направить кресло. Человек считает, что высокие холмы и глубокие долины будут замедлять его движение, так что поначалу решает объезжать их. Механизм управления креслом прост: если замедлить одно колесо относительно другого, то кресло поворачивает в этом направлении.
Однако через несколько часов человек начинает подозревать, что проезжает мимо тех же элементов рельефа, где уже был ранее. Попытки управления креслом привели к опасному случайному блужданию. Теперь он понимает, что лучшей стратегией было движение абсолютно прямо вперёд, не поворачивая ни влево, ни вправо. «Езжай прямо, куда глаза глядят», – говорит он себе. Но как убедиться, что не сбился с курса?
Ответ скоро становится очевидным. У кресла есть механизм, который фиксирует два колеса друг относительно друга, так что они крутятся как единая гантель. Зафиксировав колёса таким образом, он отправляется кратчайшим путём к краю пустыни.
В каждой точке траектории путешественник движется по прямой линии, но в целом его путь выглядит сложной вьющейся кривой. Тем не менее она настолько пряма и коротка, насколько это возможно.
Вплоть до девятнадцатого столетия математики не приступали к изучению новых типов геометрии с альтернативными аксиомами. Лишь немногие, такие как Георг Фридрих Бернхард Риман, задумывались над той возможностью, что «реальная» геометрия – геометрия реального пространства – может быть не строго евклидовой. Но только Эйнштейн первым отнёсся к этой идее серьёзно. В общей теории относительности геометрия пространства (или, более корректно, пространства-времени) становится вопросом для экспериментаторов, а не для философов или даже математиков. Математики могут сказать, какие типы геометрии возможны, но только измерения могут определить «истинную» геометрию пространства.
Разрабатывая общую теорию относительности, Эйнштейн опирался на математические работы Римана, который рассматривал геометрии, выходящие за рамки сферических и седловидных поверхностей: пространства с ямами и буераками, в одних местах искривлённые положительно, в других отрицательно; с геодезическими, проходящими по этим особенностям и между ними по кривым неправильным маршрутам. Риман рассматривал только трёхмерное пространство, но Эйнштейн и его современник Герман Минковский ввели нечто совершенно новое: время как четвёртое измерение. (Попробуйте это визуализировать. Если получится, значит, у вас очень необычный мозг.)
