Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (МЕ)"

Мера множества

Ме'ра мно'жества, математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение меры Лебега (введённой А. Лебегом в 1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения. При этом и способ сравнения напоминает обычный процесс измерения площади. Меру Лебега m (D) любого квадрата D полагают равной его площади. Затем рассматриваемое множество А покрывают конечным или бесконечным числом квадратов D₁ , D₂ ,..., D_n ,...; нижнюю грань чисел

  взятую по всевозможным покрытиям множества А , называют верхней (внешней) мерой m^* (А ) множества А . Нижняя (внутренняя) мера m^* (А ) множества А определяется как разность

где D – какой-либо квадрат, содержащий множество А , и  – множество всех точек этого квадрата, не содержащихся в А . Множества, для которых верхняя мера равна нижней, называют измеримыми по Лебегу, а общее значение m (А ) верхней и нижней мер – мерой Лебега множества А . Геометрические фигуры, имеющие площадь в элементарном смысле (см. Квадрируемая область ), измеримы, и их мера Лебега совпадает с их площадью. Однако существуют и неквадрируемые измеримые множества. Аналогично можно определить меру Лебега на прямой. При этом верхнюю меру определяют, рассматривая покрытия множества интервалами.

  Основные свойства меры Лебега: 1) мера любого множества неотрицательна: m (A )D '³ '0; 2) мера суммы

конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств A₁ , A₂ ..., A_n ... равна сумме их мер:

3) при перемещении множества как твёрдого тела его мера не меняется.

  Своеобразие понятия «М. м.» можно пояснить следующим примером: множество А рациональных точек интервала (0, 1) и множество В иррациональных точек того же интервала сходны в том смысле, что каждое из них плотно на интервале (0, 1), т. е., что между любыми двумя точками указанного интервала найдутся как точки множества А , так и точки множества В ; в то же время они резко различаются по мере: m (А ) = 0, а m (В ) = 1.

  Для более узких классов множеств мера, совпадающая с лебеговской, была ранее определена М. Э. К. Жорданом (1893) и Э. Борелем (1898). О других вопросах, связанных с мерой Лебега, см. Интеграл .

  Развитие ряда отделов современной математики привело к дальнейшим обобщениям – созданию т. н. абстрактной теории меры. При этом М. м. определяют аксиоматически. Пусть U – произвольное множество и  – некоторое семейство его подмножеств. Неотрицательную функцию μ(A ), определённую для всех А , входящих в

и если, кроме того, система  удовлетворяет определённым дополнительным условиям. Множества, входящие в , называют измеримыми (по отношению к мере m). После того как определена мера m, вводят понятие измеримых (по отношению к m) функций и операцию интегрирования.

  Многие основные утверждения из теории меры Лебега, теории измеримых функций и интеграла Лебега сохраняются с соответствующими видоизменениями и в абстрактной теории меры и интеграла. Последняя составляет математическое основание современной теории вероятностей, данное в 1933 А. Н. Колмогоровым . Специальный интерес для ряда областей математики представляют меры, инвариантные по отношению к той или иной группе преобразований множества U в себя.

  Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М. – Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Халмош П. Р., Теория меры, пер. с англ., М., 1953.

  Ю. В. Прохоров.

Мера пресечения

Ме'ра пресече'ния, в уголовно-процессуальном праве мера временного ограничения личной свободы обвиняемого . В СССР устанавливается в целях предупреждения попыток скрыться от дознания, следствия или суда, препятствовать установлению истины или продолжать преступную деятельность, а также для обеспечения исполнения приговора. Назначается лицом, производящим дознание, следователем, прокурором и судом при наличии предусмотренных законом оснований. М. п. являются: подписка о невыезде , личное поручительство или поручительство общественных организаций, залог, заключение под стражу (арест) и др. В исключительных случаях М. п. могут применяться в отношении подозреваемого . См. также Предварительное заключение .

Мера (река)

Ме'ра, река в Костромской и Ивановской области РСФСР, левый приток Волги. Длина 152 км, площадь бассейна 2380 км² . Впадает в Горьковское водохранилище против г. Кинешма. Питание смешанное, с преобладанием снегового. Средний расход в 51 км от устья 6,5 м³ /сек. Замерзает в ноябре, вскрывается в апреле.

Мера стоимости

Ме'ра сто'имости, см. в ст. Деньги .

Мера точности

Ме'ра то'чности, характеристика рассеяния значений случайной величины. М. т. h связана с квадратичным отклонением s формулой

  Этот способ измерения рассеяния объясняется тем, что в случае нормального распределения плотность вероятности случайной величины с М. т. h и математическим ожиданием а записывается формулой

 

М. т. пользуются как характеристикой рассеяния главным образом в теории стрельбы и теории ошибок (см. Ошибок теория ).

Мера (философ.)

Ме'ра, философская категория, выражающая диалектическое единство качественных и количественных характеристик объекта. Качество любого объекта органически связано с определённым количеством (свойств, сторон, признаков, размеров, числа компонентов данной системы и т.п.). В рамках данной М. количественной характеристики могут меняться за счёт изменения числа, размеров, порядка связи элементов, скорости движения, степени развития и т.п. М. указывает предел, за которым изменение количества влечёт за собой изменение качества объекта и наоборот. Следовательно, М. – это своего рода зона, в пределах которой данное качество может модифицироваться, сохраняя при этом свои существенные характеристики. М. выступает и как соразмерность; например, грация – как соразмерность, гармония в движении тела. Соблюдение М. лежит в основе ритма, гармонии, мелодии в музыке, ансамбля в архитектуре и т.п. М. употребляется также при измерении как определённая единица, с которой соотносят, сравнивают измеряемый объект.

  Категория М. имеет существенное теоретическое и практическое значение: нахождение М. в любой форме деятельности служит предпосылкой её успеха. Нельзя познать предмет, не выявив его качественных и количественных характеристик в их единстве.

Мера Хуан Леон

Ме'ра (Mera) Хуан Леон (28.6.1832, Амбато, – 13.12.1894, там же), экуадорский писатель и литературный критик. Один из идейных вождей экуадорского консерватизма, председатель сената и министр в годы клерикально-реакционной диктатуры Гарсиа Морено (1869—75). Автор национального гимна. В поэме «Дева солнца» (1861), сборниках стихов «Туземные мелодии» (1858), «Масорра» (1875) М. использовал мотивы индейского фольклора. Роман «Куманда» (1879), написанный в духе европейского романтизма, в идиллических тонах повествует о прошлом индейских племён. Книга М. «Историко-критический обзор экуадорской поэзии» (1868) содержит идею национально-самобытного развития литературы. Автор повестей и очерков нравоописательного характера (см. Костумбризм ).

  Соч.: Obras, Barcelona, 1887; Novelas cortas, Ambato, 1952.

  Лит.: Мамонтов С. П., Литература Эквадора, в сборнике Эквадор, М., 1963; Guevara Dario С., Juan León Mera о el hombre de cimas, Quito, 1944; Arias A., Panorama de la literatura ecuatoriana, Quito, 1961.

  С. П. Мамонтов.

Мераге

Мераге', Марага, город на С.-З. Ирана, в остане Восточный Азербайджан. 56 тыс. жителей (1971). Ж.-д. станция. Центр района виноградарства и садоводства. Производство сухих фруктов (главным образом изюма для экспорта). Деревообработка. Близ М. – добыча каменного угля и мрамора.

  М. – древний город (время основания не установлено). В 1221 был разрушен монголами. При первых Хулагуидах – их резиденция. В М. во 2-й половине 13 в. под руководством Насирэддина Туси была построена Марагинская обсерватория. В М. сохранились: башенные мавзолеи – безымянный (1168), Гомбеде-Сорх (1148), Гомбеде-Кебуд (или Геок-Гюмбез; 1197), Гомбеде-Шараффия (1328); остатки обсерватории (1260). М. издавна славится выделкой сафьяна и ковров.

  Лит.: Godard A., Les monuments de Marägha, «Publications de la Société des études iraniennes et de l'art persan», P., 1934, № 9.

Меране

Ме'ране (Meerane), город в ГДР, в округе Карл-Маркс-Штадт. 25 тыс. жителей (1972). Текстильная (особенно ткацкая), обувная промышленность, а также котлостроение, производство шасси.

Мерано

Мера'но (Merano), город в Северной Италии, в провинции Больцано (область Трентино-Альто-Адидже), в верховьях р. Адидже. 32,5 тыс. жителей (1965). Свыше ¹ /₂ экономически активного населения занято в сфере обслуживания. Производство пива, фруктовых консервов и вина, химическая, керамическая промышленность. Вблизи М. – ГЭС.

  М. – климато-бальнеологический курорт в предгорьях Альп. Климат морского типа, с мягкой, солнечной зимой (средняя температура января 0—2 °С) и тёплым летом (средняя температура июля 21 °С). Основные лечебные средства: холодные (13 °С) радиоактивные (150—250 ед. Махе ) источники, воду которых используют для питья, ванн, ингаляций и орошений; климатотерапия, виноградолечение. Лечение больных с заболеваниями органов дыхания, желудочно-кишечного тракта, суставов, нарушениями обмена веществ, женскими и кожными болезнями. Бальнео-физиолечебницы, пансионаты, отели.

Мератус

Мера'тус (Meratus), горный хребет на Ю.-В. о. Калимантан, в Индонезии. Длина около 350 км, высота до 1892 м (гора Бесар). Преобладают среднегорья с округлыми вершинами и сильно расчленёнными склонами, сложен гранитами, известняками, кристаллическими сланцами. На склонах – влажные вечнозелёные экваториальные леса на горных латеритных почвах.

Мератх

Ме'ратх, Мирут, город в Индии, в междуречье Ганга и Джамны, в штате Уттар-Прадеш. 367,8 тыс. жителей (1971, в агломерации). Транспортный узел. Сахарная, хлопчато-бумажная, кожевенно-обувная промышленность; художественные промыслы.

Мерв (древнейший город Ср. Азии)

Мерв, один из древнейших городов Средней Азии, существовавший на берегу р. Мургаб (близ современного г. Байрам-Али в Туркменской ССР). Наименование «М.» носила также историческая область по р. Мургаб (древнеперс. – Мургаш, греко-рим. – Маргиана). Руины М. изучаются с 80-х гг. 19 в., особенно интенсивно – с 1946 археологической экспедицией под руководством советского археолога М. Е. Массона. Древнейшую часть М. составляет городище Эрк-Кала, существовавшее уже в середине 1-го тыс. до н. э. (площадь 12 га, окружено сырцовой стеной, в центре – здание на монолитной платформе). Расцвет М. в древности относится ко 2 в. до н. э. – 3 в. н. э., когда М. занимал площадь около 60 км² и имел 3-частную структуру, типичную для северо-парфянских городов: цитадель (Эрк-Кала); собственно город (современное городище Гяур-Кала) с планировкой, определяемой 2 главными улицами, с нерегулярной внутриквартальной застройкой и оборонительными стенами; пригород, также окруженный стеной. С 3 в. М. входил в государство Сасанидов , а в 7 в. был завоёван арабами. В этот период внутри Гяур-Кала и в пригороде возникли культовые сооружения (2 буддийских и христианский монастыри) и замки феодалов – большей частью 2-этажные, с «гофрированными» стенами. Наибольшего расцвета М. достиг в 11 – 1-й пол. 12 вв., когда он стал столицей Сельджуков . В это время территория города, сместившегося к З., была обнесена новой стеной [т. н. городище Султан-Кала, неправильный 4-угольник в плане, с цитаделью Шахрияр-арк (11 – 12 вв., 4-айванный дворец правителя, казармы и монументальное административное здание) и с мавзолеем султана Санджара]. На территории пригорода – мавзолей Мухаммеда ибн 3ейда (1112/13), квартал керамистов и др. В конце 12 – начале 13 вв. М. был крупным центром государства Хорезмшахов. В 1222 разрушен монголами. После этого город частично возродился (т. н. городище Абдулла-хан-Кала к Ю. от Султан-Кала, с регулярной планировкой; остатки дворца, мечети, медресе и несколько мавзолеев), но значит. роли больше не играл. В 1510 – 24 и 1601 – 1747 М. находился под властью персов, к 19 в. окончательно пришёл в упадок, а центр области переместился в г. Мары, в 30 км к В.

  Лит.: Труды Южно-туркменской археологической комплексной экспедиции, М., 1958, т. 11 – 14, Аш., 1962 – 69; Жуковский В. А., Древности Закаспийского края. Развалины старого Мерва, СПБ, 1894.

План Мерва. 11—12 вв.

Назад к карточке книги "Большая Советская Энциклопедия (МЕ)"