Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 18 страниц)

Механика Гамильтона

Гамильтон предложил довольно элегантное решение этой проблемы. Мы вновь начинаем с фазового пространства, множества всех положений и импульсов системы. Однако теперь мы говорим о векторе импульса, а не о скорости. Мы не определяем импульс как произведение массы на скорость, а принимаем его за понятие, независимое, по статусу равное положению. Поэтому у частицы (или более сложной системы) в любой момент времени есть два независимых свойства: положение и вектор импульса. Независимость импульса от чего бы то ни было позволяет нам определить состояние системы в текущий момент времени, не глядя на нее мгновение спустя.

Механика Гамильтона работает так. У нас есть фазовое пространство, множество всех импульсов p и координат x. (Для простоты изложения мы не будем обозначать векторы стрелочками, а также нумеровать части системы при помощи индексов. Мы примем это за очевидные вещи.) Мы можем определить функцию H(x, p) – гамильтониан, – которая, вообще говоря, представляет собой энергию системы, выраженную через импульс и положение.

Мы знаем, что потенциальная энергия системы зависит только от ее положения. Примем ее равной V(x). В механике Ньютона кинетическая энергия равна , но нам нужна зависимость от импульса, а не от скорости. Импульс и скорость связаны формулой p = mν. Выразим скорость через импульс (v = p/m) и подставим в уравнение кинетической энергии. Получим K = p2/(2m). Теперь мы можем записать, что

Гамильтониан = Кинетическая энергия + Потенциальная энергия:

(4.1)

Пока что мы просто выразили энергию через импульс (не скорость) и положение. Но это не все. Самое интересное в том, что мы можем вывести уравнения движения системы, начав только с выражения (4.1). Чуть позже мы выясним, как это делается. Сейчас же сразу перейдем к результатам, чтобы понять, какие выводы можно сделать.

Механика Ньютона сосредоточена вокруг одной переменной – положения x(t) как функции времени. В зависимости от нее определяются скорость и ускорение (первая и вторая производные соответственно). Поэтому для работы с любой системой достаточно одного уравнения F = ma. В механике Гамильтона переменных две: x(t) и p(t), а значит, потребуются и два уравнения. Они у нас есть: это производные импульса и положения:

(4.2)

(4.3)

Первое уравнение нам знакомо. Это второй закон Ньютона F = ma, который записан несколько непривычно. Вспомните выражение (3.13), где мы заменили ma на dp/dt, а также (3.3), которое говорит, что сила равна отрицательному значению производной потенциала по положению. Знакомо нам и второе уравнение, (4.3): это определение импульса (масса на скорость, p = mν), но совершенно в иной трактовке. Тот, кто поймет, в чем отличие, полюбит механику Гамильтона всем сердцем.

С точки зрения Ньютона, основополагающей переменной является x(t), то есть траектория движения рассматривается как зависимость положения от времени. Отсюда следует все остальное: берем производную и получаем скорость, умножаем на массу и получаем импульс. В механике Гамильтона импульс не выражается через скорость, но является независимой величиной. Поэтому выражение (4.3) представляет собой уравнение движения, которое описывает реальные, физически возможные траектории, а не просто дает определение какой-то производной величины. Несмотря на это, в обеих механиках это выражение выглядит одинаково.

В чем же различие между определением импульса и уравнением движения? Определение всегда верно. В механике Ньютона импульс равен массе, умноженной на скорость, просто потому, что так его определили. Уравнение движения, напротив, дает «правильный» результат, который основан на (пусть даже не всегда корректных) значениях переменных.

Две траектории в фазовом пространстве, которые показывают координату в обычном пространстве x(t) и импульс p(t) в каждый момент времени t. У левой траектории импульс не пропорционален скорости: не бывает импульсов, направленных не по касательной к траектории. Такая траектория не соответствует уравнению движения. А вот правая – соответствует.

В механике Гамильтона импульс существует независимо от скорости. В пространстве всех мыслимых вариантов положения x(t) и импульса p(t) не существует обязательных жестких связей между ними. Поэтому мы можем представить себе любые траектории, в том числе те, на которых импульс никак не связан со скоростью. Но если траектория подчиняется уравнению движения (а такие непременно существуют), импульс на них всегда равен mv.

Тем, кому сложно представить, что импульс – это не обязательно масса, умноженная на скорость, я предлагаю заменить слово «импульс» в рассуждениях выше, к примеру, на слово «пушистость». Гамильтон говорит, что состояние системы в любой момент времени определяется ее положением и вектором пушистости. На физических траекториях, которые соответствуют уравнениям движения, пушистость равна произведению массы на скорость. Однако существуют и другие траектории, на которых это не так. Но так уж вышло, что мы используем одно и то же слово, «импульс», для разных величин: независимой переменной фазового пространства в механике Гамильтона и произведению массы на скорость в механике Ньютона. Если объект перемещается по законам движения, эти величины равны. Однако с концептуальной точки зрения это разные величины.

Уравнения Гамильтона

Такова философия механики Гамильтона. Мы считаем импульс и положение двумя концептуально разными переменными и выводим уравнения движения для каждой из них. При этом гамильтониан – это просто энергия системы, выраженная как функция импульса и положения (но не скорости или других производных). Идея состоит в том, что из формулы гамильтониана (4.1) можно вывести уравнения движения для импульса (4.2) и положения (4.3). Но как же это сделать?

Подумаем об уравнении движения для импульса (4.2). Из него следует, что скорость изменения импульса равна отрицательному значению наклона функции потенциальной энергии. По сути это второй закон Ньютона, F = ma, так как наклон потенциала и есть (отрицательное значение) силы, воздействующей на объект. Можно сказать, что скорость изменения импульса зависит от скорости изменения потенциальной энергии при изменении положения. Это имеет физический смыл: при неизменной потенциальной энергии (шар катится по ровному столу) импульс не изменяется.

Как мы помним, потенциальная энергия – одно из слагаемых гамильтониана. Другое слагаемое – кинетическая энергия, p2/2m. Возникает вопрос: если импульс меняется вместе с потенциальной энергией, не будет ли положение меняться вместе с кинетической? Не возникает ли здесь приятная глазу симметрия? Именно так все и есть.

Помните выражение (2.7): производная функции x2 по x равна 2x? Оно работает для любых переменных: к примеру, производная p2 по p равна 2p. Поэтому производная кинетической энергии по импульсу будет равна:

(4.4)

(Когда мы берем производную функции, постоянные типа 2m просто выносятся за знак дифференциала. В данном случае при этом мы можем сократить две двойки.)

Интересный факт! Как и предполагалось, производная кинетической энергии по импульсу совпала с правой частью выражения (4.3) – уравнения движения для положения. Несмотря на то что в одном из уравнений есть странный знак «минус», а в другом его нет, мы хорошо видим, что импульс изменяется за счет изменения потенциальной энергии, а положение – за счет изменения кинетической. В итоге:

Скорость изменения импульса с течением времени = Отрицательное значение наклона графика потенциальной энергии относительно положения;

Скорость изменения положения с течением времени = Положительное значение наклона графика кинетической энергии относительно импульса.

Вместе эти два выражения известны как уравнения Гамильтона.

Красиво. Но есть небольшая техническая проблема, которая требует осмысления. Пока что для простоты изложения мы представляли себе частицу, которая движется в одномерном пространстве. Стандартная, очень наглядная игрушечная модель, для которой гамильтониан будет суммой двух энергий, как в выражении (4.1).

Однако механика Гамильтона имеет значительно более общий характер. Гамильтониан любой системы всегда будет функцией некоторого набора координат и соответствующих им импульсов, но при этом может иметь совершенно произвольный вид. Мы можем иметь любое количество импульсов и положений. В теории поля их будет бесконечно много. Встречаются гамильтонианы, в которых переменные смешиваются так, что нельзя отделить потенциальную энергию от кинетической. Большую часть времени современные физики проводят в поисках гамильтониана для изучаемой системы. Найдя его, можно получить все данные о ней. Поэтому нужно рассмотреть этот вопрос с более общей точки зрения.

Частные производные

Хотелось бы вывести уравнения Гамильтона, которые подходили бы для любых гамильтонианов. Для этого нам потребуется еще кое-что из высшей математики: частные производные.

Это связано с тем, что уравнения движения должны следовать из единой формулы – гамильтониана, а не отдельных выражений для кинетической и потенциальной энергий. Но если первая зависит только от p, а вторая – только от x, гамильтониан зависит от p и x одновременно. Необходимо понять, как брать производную функции нескольких переменных.

Производная функции представляет собой угол наклона кривой, ее графика. Но для функции двух переменных такую кривую построить нельзя: график будет трехмерным, напоминать холмистую местность, идти по которой можно в любую сторону. В зависимости от того, в каком направлении мы пойдем, мы можем спуститься или подняться, а может быть, и остаться на прежней высоте. Поэтому нужно придумать что-то посложнее, чем «угол наклона».

Частные производные – выход из этого положения. Поговорим о простой функции двух переменных, x и y: произведении x, y2 и константы a:

F(x, y) = axy2. (4.5)

Идея состоит в том, что функцию нескольких переменных мы можем рассматривать, поочередно перебирая их и считая все остальные константами. При этом мы получим несколько функций одной переменной, для каждой из которых мы можем взять производную. И чтобы всем было понятно, о какой производной идет речь, вместо буквы d пишут другую: ∂. (Ее иногда также называют «дэ». Поэтому, чтобы не было путаницы, при чтении вслух лучше всего говорить «частная производная».)

У функции f(x, y) можно взять две частные производные: по x и по y. В первом случае мы дифференцируем ее по x, считая y и а константами. При этом получаем:

(4.6)

Во втором случае, наоборот, дифференцируем по y, а постоянными считаем x и a:

(4.7)

Функция двух переменных, f(x, y) = xy2. Мы можем взять частную производную по x, приняв y за постоянную, либо наоборот – частную производную по y, приняв за постоянную x.

Вот, в принципе, и все. Чтобы взять частную производную, находим обычную производную по выбранной переменной, считая все остальные константами (и вынося за знак производной). В реальности эта задача бывает ужасно сложной: иногда люди тратят целую жизнь, чтобы найти более удачное решение, чем было получено ранее. Мы же не будем столь пристально их рассматривать. Все, что нам нужно, – понять, откуда взялись уравнения Гамильтона.

Объединим полученные знания. Мы поняли, что уравнения движения для импульса и положения можно получить, продифференцировав соответственно потенциальную и кинетическую энергию. Суммарная энергия, гамильтониан (в данном простом примере) – сумма двух энергий. Взяв частные производные этой суммы, то есть обычные производные по каждой из переменной, мы получим уравнения Гамильтона в самом общем их виде:

(4.8)

Здесь нет опечаток, честное слово! Знак «минус» действительно должен быть в первом выражении, не во втором. На это есть ряд причин, но они покрыты столь толстым слоем математики, что лучше туда не лезть. (Почитайте про «симплектическую геометрию», если интересно.) В левых частях выражений стоят обычные производные (со знаком «d»), а в правых – частные (со знаком «∂»). И это правильно: импульс и положение – функции одной переменной: времени, а гамильтониан – функция двух переменных: импульса и положения. Поэтому нам и нужны частные производные.

Элегантный подход. По философии Ньютона, для каждой части системы будет свое уравнение движения с описанием действующих на нее сил. И рассмотрев их, мы сможем констатировать, что некая величина – «энергия» – сохраняется. По философии Гамильтона, мы поступаем наоборот: берем единственную формулу – гамильтониан, который связывает энергию с импульсом и положением, – а затем выводим из нее все нужные уравнения движения. Все это работает и в более сложных системах, части которых взаимодействуют друг с другом каким-то хитрым образом. В любом случае найдется гамильтониан, единый на всю систему и содержащий в себе все знания по ее динамике.

Механики Ньютона, Лагранжа и Гамильтона – равноценные физические теории, в основу которых положены разные подходы. Поэтому иногда правильный выбор одной из них может весьма облегчить жизнь физика.

Я говорил, что домашних заданий у нас не будет. И все-таки, если вдруг возникает желание потрудиться, попробуйте вывести уравнения Гамильтона для простого гармонического осциллятора, потенциальная энергия которого . Или даже составить собственный гамильтониан, например для двух осцилляторов, каким-то образом взаимодействующих друг с другом, и посмотреть на то, что из этого выйдет.

Локальное взаимодействие

Кому все это надо? Мы тут страдаем от производных, лезем из кожи вон только ради того, чтобы однажды вывести несколько уравнений, снова переписать законы Ньютона еще одним, более хитрым способом?

Есть множество причин успокоиться на точке зрения Гамильтона, его механике. Она к тому же незаменима при переходе к механике квантовой. А нам она поможет понять, что же такого особенного в пространстве.

Механика Ньютона построена вокруг «пространства положений», то есть множества из всех возможных положений. И мы хорошо понимаем, что в нем особенного. Если, допустим, и можно представить себе «пространство импульсов», то очень абстрактно, совсем не так, как «пространство положений». Ведь мы живем именно в нем.

Но с точки зрения Гамильтона, импульс и положение равноправны, по крайней мере на первый взгляд. Уравнения Гамильтона (4.8) говорят нам, что импульс и положение – две координаты в фазовом пространстве – почти симметричны (если не считать знака «минус»). Гамильтониан зависит как от x, так и от p и может быть совершенно любой функцией H(x, p). Формально в такой системе нельзя отличить пространство положений от пространства импульсов и сказать, что мы в нем живем.

И в этой ситуации мы можем задать вопрос, который даже не пришел бы в голову Ньютону или его ближайшим преемникам. Что есть такого особенного в пространстве? Почему на практике импульс и положение кажутся нам такими разными, если в законах физики Гамильтона они выглядят очень похоже? Почему мы живем в пространстве положений, а не в пространстве импульсов?

Особенность пространства в том, что взаимодействия локальны по положению. Объекты взаимодействуют друг с другом, когда они находятся в одном и том же месте, а не когда у них одинаковый импульс (или что-то еще). Но разве сила притяжения Солнца не действует на планеты через пространство? Нам нужно подумать об этом.

Ученые с удовольствием обсуждают работу отдельно взятых физических систем. Хотя какой от этого толк, если такие системы представить себе нельзя? Нужно говорить о множестве систем, которые взаимодействуют между собой и влияют друг на друга. Особенность нашей Вселенной в том, что системы взаимодействуют, только когда находятся в непосредственной близости. Именно это физики называют «локальным взаимодействием»: если в какой-то точке что-то случилось, последствия проявляются только в соседних точках. А чтобы они проявились где-то на отдалении, нужно время.

Подумайте о бильярдном шаре. После удара кием он катится по прямой (если, конечно, это обычный удар, без подкрутки), пока не дойдет до борта или не столкнется с другим шаром. В этот момент два шара оказываются в одной и той же точке пространства. Во всех остальных случаях импульс значения не имеет: даже если два шара имеют равные (противоположные или любые другие) импульсы, они не будут влиять друг на друга.

Взаимодействие объектов в реальном мире описывает гамильтониан. В теории он может быть любой функцией, зависящей от x и p, на практике же выглядит как выражение (4.1), то есть представляет собой сумму кинетической энергии, пропорциональной p2, и потенциальной энергии, которая зависит только от x (хотя зависимость может быть довольно сложной).

Бильярдный шар взаимодействует с бортом или другим шаром, когда оказывается с ними в одной точке пространства. Два шара с одинаковыми импульсами никак не взаимодействуют друг с другом.

Тот же принцип действует и в системах, которые состоят из нескольких движущихся частей. Допустим, что есть два объекта, первый из которых имеет импульс p1 и занимает положение x1, а второй – импульс p2 и положение x2. Почти все время гамильтониан такой системы будет равен

(4.9)

Первые два слагаемых в этой формуле – кинетические энергии двух объектов. Потенциальная энергия V(x1, x2) каким-то образом зависит от их положения. У бильярдных шаров она будет равна нулю до тех пор, пока они не столкнутся. У двух планет, которые действуют друг на друга силой тяготения, потенциальная энергия равна нулю, пока они далеки, но возрастает по мере сближения. Важно напомнить, что расстояние в пространстве определяет интенсивность взаимодействия.

Эти правила действуют для любых типовых систем из реального мира (хотя исключения все же имеются). В теории мы можем придумывать любые, самые безумные гамильтонианы, в реальной жизни такой свободы нет. Каждый объект имеет собственную кинетическую энергию и взаимодействует с другими объектами посредством потенциальной, которая зависит от расстояния между ними.

Именно поэтому положения отличаются от импульсов, а мы уверены, что живем в пространстве положений, а не в пространстве импульсов. В реальных гамильтонианах положение – это переменная, относительно которой взаимодействия локальны.

Дальнодействие

Здесь есть один важный нюанс. Взаимодействие бильярдных шаров полностью локально, то есть отсутствует до тех пор, пока они не столкнутся. А вот планеты воздействуют друг на друга силой тяготения, то есть на расстоянии. Можно ли считать такое воздействие локальным?

Хороший вопрос. Ньютон и его современники много над ним размышляли. Многие полагали, что сила тяготения передается от одного объекта к другому через какое-то вещество, то есть считали взаимодействие планет локальным. Считалось, кроме того, что в хорошей научной теории не место таким понятиям, как «дальнодействие». Ньютон и сам называл его «жуткой нелепицей, какая не может прийти на ум человеку, хоть сколько-нибудь понимающему в вопросах философии». И все же проблема оставалась, и Ньютон, как человек практичный, в итоге «оставил ее на рассмотрение читателей»[8]8
  Письмо Исаака Ньютона Ричарду Бентли, 25 февраля 1692 г. The Newton Project, http://www.newtonproject.ox.ac.uk/view/texts/normalized/THEM00258/.


[Закрыть].

Именно так и поступили ученые следующих поколений. Тщательно все рассмотрев, они нашли решение. Идея состоит в том, что пространство не пусто: оно заполнено полями, одно из которых как раз и ответственно за гравитацию.

По сути поле – это функция самого пространства. В каждой точке оно принимает какое-то значение, которое зависит от природы поля и может быть числом, вектором или чем-то более сложным. Существуют электрические, магнитные, гравитационные и другие поля. В современной физике поля считаются основными строительными блоками нашей реальности (насколько нам это известно).

Солнце не действует на планеты, каким-то волшебным образом дотягиваясь до них через космос. Оно создает в пространстве гравитационное поле, и именно оно влияет на все попавшие в него объекты. Итоговое воздействие – сила тяготения – определяется суммой всех гравитационных полей, имеющихся в конкретной точке.

Поле и частица – понятия взаимодополняющие. Для частицы характерно местоположение в пространстве: она находится в определенной точке и больше нигде. Поле, напротив, находится везде, имеет значение во всех точках пространства и взаимодействует с другими полями, которые действуют в этих точках (их значения, а значит и производные, складываются). Однако значение поля в точке А не влияет на то, что происходит в точке В напрямую, но может влиять косвенно, за счет изменений поля между этими точками.

Первым до заполняющих пространство гравитационных полей додумался наш старый приятель Лаплас. Потенциал поля связан с силой тяготения Ньютона таким же образом, как потенциальная энергия холма связана с силой, которая действует на шар. Сила является производной потенциала.

Лаплас предложил два уравнения: одно определяет, как массивные объекты изменяют значения поля, другое же – как поле воздействует на объекты в своих пределах. По мнению Лапласа, Солнце создает в гравитационном потенциале напряжение, которое постепенно ослабевает по мере удаления от светила. Ослабевающее напряжение определяет наклон поля (подобно холму), который планеты ощущают как силу тяготения. Уравнения Лапласа строго локальны: происходящее в какой-то точке пространства определяется лишь тем, что происходит в непосредственной близости от нее.

Теория Лапласа полностью эквивалентна теории Ньютона и лишь описана другими терминами. Но с точки зрения современного физика тут есть один спорный момент: выходит, что любые изменения гравитационного поля мгновенно распространяются по всей Вселенной. То есть кто-то на другом конце галактики при помощи какого-то сверхчувствительного прибора может заметить, что здесь, на Земле, кто-то перекатил шар для боулинга. Сразу, как только это произошло. Если, конечно, Ньютон и Лаплас правы.

Теория относительности Эйнштейна учит нас, что мгновенная передача информации невозможна. Сигналы не могут распространяться быстрее скорости света. Поэтому Эйнштейн заменил теорию гравитации Ньютона и Лапласа своей собственной – общей теорией относительности, немного более сложной с математической точки зрения. В ее основу также положены поля, которые существуют в пространстве-времени и объясняют силу гравитации. Эта теория настолько локальна, насколько это возможно: на поле влияет только происходящее рядом с рассматриваемой точкой, а изменения поля распространяются в пространстве, но не быстрее скорости света.

Еще пара слов о локальном взаимодействии. В современной физике слово «дальнодействие» часто соседствует с определением «жуткое» (по памятной фразе Эйнштейна). К началу XX века локальный подход настолько укоренился в мировоззрении физиков, что дальнодействие стало вызывать отвращение. Общая теория относительности очистила гравитацию от подозрений в дальнодействии. Однако она относится к классической механике, а не квантовой. Эйнштейн понимал, что квантовая механика вновь поднимает вопрос о дальнодействии, которое можно наблюдать при измерении запутанных квантовых частиц. Это явление реально и доказано экспериментами. И все же хитрая природа не допускает, чтобы ценные сведения распространялись быстрее скорости света. Поэтому квантовая механика оставляет нас в странной ситуации: мы вынуждены использовать нелокальные концепции для объяснения того, что наблюдаем, но не имеем возможности использовать их для передачи сигналов через пространство.