Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 18 страниц)

Сокращение длины

Наклон систем отсчета помогает понять знаменитое явление сокращения длины, которое состоит в том, что объекты, двигаясь с высокой скоростью, якобы становятся короче. Но что такое «длина» объекта? Взять, например, линейку. Конечно, она имеет определенную длину, но плюс к тому еще и определенную протяженность во времени (ведь она существует какое-то время, а не исчезла, едва появившись). Если мы упростим себе жизнь и будем считать линейку одномерным пространственным объектом, в пространстве-времени она будет иметь двумерный «мировой объем». Поэтому, говоря о длине, нужно выбрать систему отсчета, которая позволит нам отличить пространственную составляющую линейки от временной. Тогда «длиной линейки» будет поперечное сечение мирового объема в этой системе отсчета. По понятным причинам обычно мы измеряем предметы в неподвижных системах координат, то есть в таких системах, в которых эти объекты не двигаются. Но чтобы определить длину движущейся линейки, нужно использовать другую систему отсчета.

Как видно из этого рисунка, пространственное сечение в подвижной системе координат действительно будет не таким, как в неподвижной. Вот только оно будет больше, а не меньше. Линейка будет растягиваться, а не сокращаться. Как же так?

Причиной тому наше интуитивное понимание того, что такое длина. Мы представляем себе пространство не совсем так, как оно выглядит на схеме пространства-времени. Формула (6.2) позволяет вычислить собственное время при движении как в пространстве, так и во времени. Но собственное время имеет смысл для временеподобных траекторий и не имеет для пространственноподобных. Действительно, на них Δx больше Δt, то есть τ2 будет отрицательным числом, что для квадрата совсем не хорошо. (Интервал в пространстве-времени не может выражаться комплексным числом.) Поэтому говорить о собственном времени на пространственноподобных траекториях нельзя.

А вот о чем говорить можно, так это, разумеется, о пространственном расстоянии, которое в данном случае мы обозначим как s. Для его вычисления мы можем использовать особый вариант уравнения (6.2): нужно лишь изменить знак на обратный. Тогда получим формулу длины на пространственноподобной траектории:

s2 = (Δx)2 – (Δt)2. (6.10)

Знак «минус» объясняет, почему длина линейки в подвижной системе отсчета на самом деле короче, чем в неподвижной. Кажущееся увеличение длины на рисунке связано с тем, что линейка движется как в пространстве, так и во времени. В двумерной системе пространственных координат (на физической плоскости), переместив один конец линии вертикально при неизменном положении другого, мы неизбежно получим более длинную линию. В пространстве-времени все по-другому: даже небольшое смещение одного конца по времени приводит к сокращению пространственной длины. При этом, хотя такое изменение и совершенно реально, не следует думать, что объект физически сжимается. Нет. Но выбор другой системы отсчета приводит к изменению численного значения.

Синхронность и ее проблемы

Сравнение этих двух систем отсчета приводит нас в суровую реальность, в которой с точки зрения тории относительности два удаленных события не могут происходить «синхронно». Этот факт очевиден уже из рисунка, ведь линии, определяющие синхронность в разных системах отсчета, не совпадают. Однако на самом деле все еще хуже.

Представим себе, что наши два наблюдателя встретились (то есть начала обеих систем отсчета совпали), и назовем это событием А. Возьмем другое событие В, которое происходит на большом отдалении от события А, но почти сразу после него, если смотреть по исходной оси t.

Тогда, глядя из будущего, мы можем заметить, что в системе координат (t, x) событие В происходит позже события А, а в системе координат (t’, x’) – раньше него.

Вот так и происходят пространственноподобно разделенные события. Нельзя сказать, что одно из них «действительно» произошло раньше либо позже другого. Все зависит от выбранной системы отсчета, а все они равноправны. Мы можем сказать лишь то, что эти события пространственноподобно разделены.

Мы привыкли думать о том, что «прямо сейчас» происходит где-то на краю света. Но если край света астрономически далек от нас, возникает загвоздка. К примеру, до ближайшей к Солнцу звезды, Проксимы Центавра, примерно четыре световых года. Поэтому любому событию на Земле соответствует восьмилетний период, в течение которого любое событие на Проксиме можно считать происходящим раньше, позже или одновременно с этим событием. Все зависит от системы отсчета.

Эта особенность специальной теории относительности создает проблемы для «Звездного пути» и других космических опер. Обычно в таких историях предполагается наличие гиперпространственных двигателей или других продвинутых технологий, которые позволяют героям летать быстрее света. Но если перемещение по пространственноподобным траекториям возможно, ничто не мешает двигаться и назад во времени, по крайней мере в некоторых системах отсчета. Точнее сказать, в любой системе, поскольку, согласно теории относительности, все пространственноподобные траектории созданы равными.

Пожалуй, путешествия во времени весьма уместны в научно-фантастических вселенных. Только бы не было логических противоречий. (В том же «Звездном пути» герои то свободно перемещаются во времени, то вдруг забывают об этой возможности.) Поэтому и для физики, и для фантастики лучше всего полностью исключить движение быстрее света.

Унификация

Теория электромагнетизма Максвелла, объединившая под одной крышей электрические и магнитные явления, стала первым значительным примером унификации в физике. (Правда, еще до этого Ньютон связал падение яблок с движением планет.) Объединение дало огромные плоды, в том числе позволило понять, что свет – это электромагнитные волны. Почерпнув вдохновение у Максвелла, Эйнштейн в теории относительности объединил друг с другом пространство и время. И нужно ли нам удивляться тому, что унификация в очередной раз привела к новым открытиям.

В трехмерном пространстве мы часто используем векторы, например говорим о векторе скорости движущегося объекта. Как мы уже знаем, скорость – это производная положения объекта по времени, . Рассматривая вектор в какой-то системе координат, удобно разлагать его на компоненты по трем направлениям:

v i = (v x, v y, v z) = (v1, v2, v3). (6.11)

В этой формуле надстрочный знак i представляет собой индекс, который указывает на один из компонентов вектора. Это не степень! Индексы могут быть численными (1, 2, 3) или буквенными (x, y, z), то есть показывать порядок следования компонентов или связывать их с конкретными направлениями. Индексы очень универсальны[18]18
  Индексы выглядят так же, как степени, но служат лишь для обозначения компонентов. Вы можете спросить: почему не использовать подстрочные знаки? Не было бы такой путаницы… Когда мы перейдем к общей теории относительности, нам потребуются и подстрочные, и надстрочные. И они будут означать разные вещи.


[Закрыть].

Переместившись из пространства в пространство-время, мы можем расширить понятие вектора, добавив к нему четвертый, временной компонент. Новая версия вектора получила логичное название: 4-вектор (пространство-время ведь четырехмерное). Аналогичным образом скорость перемещения в пространстве-времени называется 4-скоростью.

Введем еще одно любопытное обозначение, которое может на первый взгляд показаться жутким, но быстро станет привычным. Если конкретно, мы будем использовать для нумерации координат в пространстве-времени не старый латинский индекс i со значениями (1, 2, 3), а новый греческий индекс µ (мю) со значениями (0, 1, 2, 3). Иными словами, мы примем время за «нулевую» координату, t = x0. Почему не за четвертую? Такой вариант представляется логичным, однако ноль значительно упрощает жизнь при рассмотрении пространств-времен с числом измерений большим (или меньшим) четырех. Таким образом, набор координат пространства-времени выглядит следующим образом:

x µ = (t, x, y, z) = (x 0, x 1, x 2, x 3). (6.12)

4-скорость объекта будет производной его положения в пространстве-времени.

Но подождите. Мы уже много сказали о том, что «скорости времени», аналогичной скорости в пространстве, не существует. Как можно тогда говорить о скорости в пространстве-времени?

Фокус тут в том, что 4-скорость является производной не по координатному времени t, а по собственному времени τ. Мы можем записать компоненты 4-скорости так:

(6.13)

Каков физический смысл 4-скорости? Из выражения (6.8) мы знаем, что:

(6.14)

(Мы вывели это уравнение для прямолинейных траекторий, но если принять за v скорость в рассматриваемой точке, оно будет верно и для бесконечно малых величин.) Поэтому окончательно компоненты 4-скорости будут равны:

(6.15)

При очень малых значениях v коэффициент примерно равен 1 и может быть опущен. Тогда нулевой компонент 4-скорости V 0 будет равен 1, а остальные компоненты – соответствующим компонентам трехмерного вектора скорости . Поэтому иногда мы будем писать, что V μ ≈ (1, v), что верно для малых скоростей.

А теперь в дело вступает магия. В дорелятивистской механике Ньютона импульс представляет собой трехмерный вектор, равный произведению вектора скорости на массу: . В мире относительности можно определить 4-импульс, по аналогии равный произведению массы на 4-скорость:

pµ = (p0, px, py, pz) = mVµ. (6.16)

Сравнивая эту формулу с выражением (6.15), можно заметить, что пространственные компоненты 4-импульса аналогичны ньютоновскому определению импульса, но с добавлением коэффициента . А что с временным компонентом? Мы получаем:

(6.17)

Иными словами, временной компонент 4-импульса равен массе объекта, деленной на коэффициент, зависящий от скорости.

Как обычно, мы можем сделать несколько выводов для малых скоростей (взять «нерелятивистский предел»). Но в этот раз мы используем мощный математический прием: любое выражение типа (1 + х)n, в котором x очень мало, а n – постоянное число, можно довольно точно аппроксимировать суммой:

(6.18)

Точки в конце означают, что количество слагаемых больше (при положительных n их будет бесконечно много). Они пропорциональны квадрату, кубу и более высоким степеням x, то есть при малых x и сами пренебрежимо малы. Поэтому их можно опустить.

Наш вездесущий коэффициент имеет именно такой вид: в данном случае x = —ν2, а n = –1/2. (Квадратный корень из любого числа равен этому числу в степени 1/2, а единица, деленная на любое число, равна этому числу в степени –1.) Поэтому для малых скоростей имеем:

(6.19)

Подставив это выражение в формулу (6.17), получим:

(6.20)

Второе слагаемое выглядит знакомо: это кинетическая энергия. Оказывается, что нулевой компонент 4-импульса представляет собой нечто энергоподобное и равен сумме массы и кинетической энергии.

А почему бы нам не определить энергию релятивистского объекта как нулевой компонент его 4-импульса? Мы можем записать:

(6.21)

В качестве побочного эффекта из этой формулы понятно, почему ракеты не могут летать со скоростью выше скорости света. Чем ближе v к 1, тем ближе к нулю, а – к бесконечности. Чтобы разогнать ракету до скорости света, а тем более превысить ее, потребуется бесконечное количество энергии. Это невозможно.

Если же скорость намного меньше скорости света, то в силу выражения (6.20) получим:

(6.22)

Мы говорим, что кинетическая энергия – это «энергия объекта, связанная с его движением». Другое слагаемое, которое равно просто массе m, можно понять как «энергию, которую объект имеет в состоянии покоя». Назовем ее энергией покоя, Eпокоя = m.

В этом выражении не все в порядке с единицами измерения. Возможно, это связано с тем, что мы принимаем c = 1 и опускаем. Мы знаем, что энергия измеряется в единицах массы, умноженных на квадрат единицы скорости. Поэтому мы можем устранить проблему, домножив массу на c2. Так мы приходим к знаменитой формуле:

Eпокоя = mc2. (6.23)

Чаще всего слово «покоя» в этой формуле опускается. Это неправильно и может вводить в заблуждение. На самом деле смысл ее в том, что объекты обладают энергией, даже когда находятся в полном покое, и эта энергия равна массе, умноженной на квадрат скорости света. (Кроме того, можно сказать, что масса объекта равна «значению 4-импульса объекта в неподвижной системе отсчета». Оба варианта верны.)

То, что мы рассмотрели – самый известный пример концептуальной унификации, которую дает нам специальная теория относительности. Энергия и импульс – не независимые понятия: энергия лишь временеподобная версия импульса. В этом и состоит одна из замечательных особенностей физики: разрозненные понятия могут быть собраны вместе силой одной хорошей теории.

Семь. Геометрия

Когда в 1907 году Минковский предположил, что лучше всего рассматривать специальную теорию относительности в терминах единого четырехмерного пространства-времени, Эйнштейн отнесся к этому скептически. В печати он жаловался, что подход Минковского «предъявляет к читателю довольно высокие математические требования».

Но вскоре Эйнштейн оценил труды Минковского. Это случилось, когда вдруг стало понятно, что гравитацию можно рассматривать как проявление кривизны пространства-времени, а значит, расширить теорию относительности. Однако какая же физическая теория без уравнений? И в данном случае на помощь приходит геометрия, особенно геометрия Римана, которая позволяет произвольно искривлять пространства и изучать их изнутри, а не встраивать их в какое-то более многомерное пространство.

Увы, Эйнштейн ничего не знал о геометрии Римана. В то время она была почти никому не известна, поскольку появилась лишь в середине XIX века и к 1910-м годам не нашла какого-то особого применения в физике. Но к счастью, Марсель Гроссман, старый одноклассник Эйнштейна, работал профессором математики и неплохо владел этой темой. С помощью Гроссмана Эйнштейн довольно хорошо освоил геометрию Римана и сформулировал общую теорию относительности – собственный взгляд на теорию гравитации.

Теперь пришла наша очередь. Если сам Эйнштейн, отложив собственные труды, выучил геометрию Римана, можно ли нам оставаться в стороне? Поэтому мы посвятим ей целую главу (ведь, несомненно, Риман предложил одну из «величайших идей»), а в следующей главе мы используем ее во благо физики.

Геометрия Евклида

С удовольствием или отвращением, но все мы помним школьные уроки геометрии. Все эти треугольники, окружности и другие фигуры. То, что мы изучали тогда, неразрывно связано с Евклидом, античным математиком, который жил в Александрии, примерно тогда же, когда Аристотель писал свои философские трактаты. Геометрию Евклида можно назвать «настольной», поскольку все фигуры и линии можно изобразить на плоской, двумерной поверхности (хотя достаточно легко перенести в трехмерное или многомерное пространство).

Влияние Евклида заключается не столько в конкретных результатах – теоремах о свойствах геометрических фигур, – сколько в самом подходе, который он предложил. На самом деле многое из того, что вошло в геометрию Евклида, было известно и до его работ:

• Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

• Сумма углов треугольника равна 180° (π радиан).

• Длина окружности равна 2πr, где r – ее радиус.

• Площадь круга равна πr2.

Отличительной особенностью геометрии Евклида является система аксиом. Мы принимаем набор постулатов – аксиом, – которые служат логической основой для доказательства теорем, то есть утверждений типа «если эти аксиомы верны, то верен и вот этот вывод». Соглашаясь с такой логической основой (хотя, разумеется, это не обязательно; например, у философов есть к ней вопросы), мы считаем теоремы доказанными.

Такой подход сильно отличается от принятого в других науках, эмпиричных и склонных к фальсификациям, в которых любая теория может оказаться неверной, сколько бы доказательств не было приведено в ее подтверждение. Ученые выдвигают гипотезы о свойствах нашего мира и проверяют их по фактическим данным. От результатов проверки зависит то, как принимаются эти гипотезы. Нельзя быть до конца уверенными в том, что они верны, поскольку в будущем могут быть собраны новые данные, которые все опровергнут. Но в геометрии, да и в целом во всей математике и логике, все очень четко: если верны аксиомы, будут верны и теоремы[19]19
  Те, кто следит за научными дискуссиями, может заметить некую «иерархию», в которой понятия ранжируются по степени достоверности. На первой ступени идут «гипотезы» (которые не сильно надежнее догадок), затем «модели», «теории» и, наконец, «законы». Однако в обиходе настоящих ученых все эти термины пересекаются настолько, что пропадает всякий полезный смысл отличать один от другого. С другой стороны, существует важное и четкое различие между «теориями» – научными моделями устройства мира – и «теоремами» – хитроумно доказанными математическими утверждениями.


[Закрыть].

По большей части аксиомы Евклида – это разумно звучащие утверждения, которые имеют смысл как основы для геометрии. Взять, например, «между любыми двумя точками можно провести прямую» или «все прямые углы равны». Но есть одна, которая всегда выделялась на фоне других. Это так называемый пятый постулат Евклида – аксиома параллельности. Если построить на плоскости две изначально параллельные прямые, например проведя их через концы какого-то отрезка под прямым углом к нему, эти прямые всегда будут отстоять друг от друга на одинаковое расстояние. (На самом деле Евклид сформулировал свой постулат так: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых [углов], то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».)

С учетом наших представлений о плоскостях все это кажется очень разумным. (Математики видят плоскости, уходящие в бесконечность во всех направлениях, обычные люди могут вообразить себе стол или лист бумаги.) Однако нельзя отрицать, что эта аксиома выглядит несколько неуклюже по сравнению с другими. В течение многих лет геометры думали, что можно доказать аксиому параллельности, используя другие постулаты Евклида, то есть перевести ее в разряд теорем. Когда я проходил геометрию в старших классах, учитель шутил над нами, предлагая дополнительные баллы тем, кто справится с этой задачей. Однако никто из нас так и не преуспел.

Неевклидова геометрия

Я не хочу так шутить. Доказать аксиому о параллельности другими аксиомами Евклида не представляется возможным. Мы знаем это, поскольку заменив этот постулат другим и добавив его к остальным аксиомам, можно получить новый, альтернативный, но полностью состоятельный вариант геометрии.

Такие геометрии по понятным причинам логично названы неевклидовыми.

Легко представить себе этот «другой» постулат. Если Евклид утверждает, что две изначально параллельные прямые не пересекаются, значит, нам нужно сказать, что это не так. И здесь есть два варианта: прямые могут сходиться или же расходиться.

Не беспокойтесь о том, что настоящие параллельные прямые линии ведут себя по-другому. Мы слишком сильно привыкли к учению Евклида о геометрии плоскостей и аналогичных объектов. Плоскости плоские, у них нет кривизны. Альтернативные аксиомы будут работать в иных двумерных пространствах, где кривизна есть.

Это совсем не означает, что неевклидовы геометрии полностью абстрактны и гипотетичны. Ведь существуют двумерные формы, отличные от плоскостей. Например, можно задаться вопросом: что будет с параллельными прямыми на сфере? (При этом нас интересует только поверхность сферы, а не то, что у нее внутри.)

Возможно, вы спросите о том, как можно нарисовать прямую на сфере? Ведь то, что на сфере можно провести, не будет прямой. Пока что просто подумайте о больших кругах или их фрагментах. Большой круг – это замкнутая кривая, которая образуется при пересечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр. Например, это экватор или меридианы (но не параллели!). Однако мы можем представить себе большие круги, наклоненные под любым углом.

Итак, рассмотрим отрезок экватора и две прямые, идущие из его концов на север под прямым углом. Пусть они будут как можно более прямыми, то есть большими кругами. Как к этому ни относись, они встретятся: в данном случае на северном полюсе.

При переходе от плоскости к сфере меняются и другие любимые нами свойства геометрии Евклида. Рассмотрим окружность с радиусом r и центром на северном полюсе. Как видно из рисунка, длина этой окружности будет меньше 2πr, а площадь круга, который она ограничивает, – больше πr2. (Если радиус дойдет до южного полюса, то периметр будет равен нулю.) К тому же сумма внутренних углов треугольника, как правило, больше 180°. Например, можно построить треугольник с тремя прямыми углами, соединив отрезки длиной по четверти длины трех больших кругов. Евклид, должно быть, переворачивается в могиле.

Бывают ли расходящиеся параллельные прямые? Конечно. Нарисовать их немного сложнее. Для этого нужно взять поверхность в форме седла или картофельного чипса.

На таких поверхностях свойства окружностей и треугольников снова меняются, но в противоположную сторону: длина окружности радиусом r будет меньше 2πr, площадь круга – больше πr2, а сумма углов треугольника – меньше 180°.

В обоих случаях можно заметить важное правило, которое упрощает нам жизнь: любые геометрические свойства двумерного пространства одинаковы во всех его точках и направлениях. Если мы проведем параллельные прямые из концов отрезка определенной длины, они будут сходиться либо расходиться со скоростью, независимой от его местоположения и ориентации. Технически это связано с тем, что мы рассматриваем геометрию постоянной, а не переменной кривизны. Но, разумеется, мы скоро откажемся от таких упрощений – удобной посадочной площадки на карусель, которая начнет кружить нас с бешеной скоростью.

При постоянной кривизне поверхности возможно всего три варианта геометрии двумерного пространства – в них параллельные прямые остаются параллельными, сходятся или расходятся:

• Остаются параллельными: геометрия Евклида, нулевая кривизна.

• Сходятся: сферическая (или эллиптическая) геометрия, положительная кривизна.

• Расходятся: гиперболическая геометрия, отрицательная кривизна.