Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 17 (всего у книги 18 страниц)

Теорема о площади

Впервые физики задумались о черных дырах еще в 1915 году, но чтобы полностью понять эту идею, потребовалось много лет. Ученым было трудно отличить реальные особенности физики от артефактов, связанных с системами координат. Например, было ясно, что непосредственно на радиусе Шварцшильда наблюдатель будет испытывать бесконечное гравитационное замедление времени: время для него просто застынет. Поэтому сжатие материи до размеров черной дыры должно, по идее, приводить к появлению «застывшей звезды», всегда остающейся в границах этого радиуса. Но мы уже знаем, что наблюдатель, проникший за горизонт событий, будет падать в черную дыру – двигаться к сингулярности.

Полное понимание горизонта событий было достигнуто в конце пятидесятых, чем мы обязаны работе Дэвида Финкельштейна, Мартина Крускала и других ученых. В активном изучении общей теории относительности началась новая эпоха, наиболее яркими представителями которой стали Джон Уилер в США, Деннис Сиама в Великобритании, а также Яков Зельдович в СССР. Благодаря Уилеру термин «черная дыра» обрел популярность. В шестидесятых и семидесятых больших успехов в этом вопросе добились Пенроуз, Хокинг и их коллеги.

Важным успехом в те годы стала теорема о площади, доказанная Хокингом в 1971 году. Она гласит, что площадь горизонта событий одной или нескольких черных дыр со временем только увеличивается, но никогда не уменьшается. Как в любой хорошей теореме, здесь не обошлось без допущений: например, было принято, что реальные частицы имеют только положительную массу (иначе можно было бы сжать черную дыру, направив в нее частицы с отрицательной массой). И, разумеется, все рассуждения ведутся в терминах классической физики, ведь с квантовой точки зрения черная дыра должна терять энергию на излучение и все-таки сжиматься, хотя бы и очень медленно.

Чтобы оценить значение теоремы о площади, следует задуматься о слиянии двух черных дыр, когда пространство-время сотрясается от их быстрого перемещения и возникают гравитационные волны, уносящие в окружающий мир часть их общей энергии. Впрочем, теорема гарантирует, что на волны затрачивается не очень много энергии, ведь площадь горизонта событий объединенной черной дыры будет не меньше суммы площадей исходных горизонтов.

Вы можете спросить, почему мы говорим о площади горизонта событий, а не о массе черный дыры? Ведь если радиус Шварцшильда равен r = 2GM, то площадь горизонта – A = 4πr2 = 16πG2M2 – зависит от массы. Все дело в том, что масса может уменьшаться, например, у вращающихся черных дыр.

Площадь горизонта событий вращающейся черной дыры зависит как от массы, так и от частоты вращения. Как выяснилось, такую черную дыру можно использовать как источник энергии: достаточно подавать туда материю с противоположным моментом импульса, как предложил Роджер Пенроуз (процесс Пенроуза). Представьте себе, насколько могучей стала бы наша цивилизация, будь к нашим услугам огромная черная дыра! Однако согласно теореме Хокинга, постоянное увеличение площади горизонта в конечном итоге остановит вращение, источник иссякнет.

Механика черных дыр

Кое-что в теореме о площади вызывает определенное беспокойство. Ведь если площадь горизонта событий со временем только растет, мы можем разглядеть в этом свойстве стрелу времени. Как же так? Уравнение Эйнштейна не делает различий между прошлым и будущим.

Проблема здесь чисто техническая. Стрела времени заложена не в общую теорию относительности саму по себе, а в ее следствия, которые мы применяем, рассматривая черные дыры. Мы как бы подразумеваем, что в прошлом на ее месте была звезда или другой астрофизический объект, который (двигаясь в будущее) сколлапсировал в черную дыру. Путем математических рассуждений мы можем обратить время вспять и вернуться к тому моменту, когда на том же месте существовала белая дыра – противоположность черной, окруженная горизонтом событий сингулярность, источник материи, которая, покидая дыру, не может туда вернуться. Ученые не верят в существование белых дыр, но в современной космологии считается, что наша Вселенная в далеком прошлом возникла из сингулярности Большого взрыва. У этих теорий есть много общего: Вселенная в чем-то похожа на белую дыру.

Такие аналогии наводят на мысли о глубокой связи черных дыр с термодинамикой (из-за которой и появляется стрела времени). В начале семидесятых физики обратили внимание на сходство теоремы Хокинга («площадь горизонта всегда увеличивается») со вторым законом термодинамики («энтропия всегда увеличивается»).

Впрочем, в ту пору на это сходство смотрели лишь как на забавное совпадение, не более. Когда Яаков Бекенштейн, аспирант Джона Уилера, предположил, что черные дыры обладают энтропией и что она пропорциональна площади горизонта событий, известные ученые высмеяли его работу. И не без оснований, ведь если объект обладает энтропией, он должен иметь и температуру. (В классической термодинамике температура системы постоянного объема равна производной энергии по энтропии.) Температура предполагает наличие теплового излучения, а если так, черные дыры не могут быть черными.

Хокинг был возмущен идеей Бекенштейна, и даже решил доказать ее ошибочность при помощи методов, которые находятся на стыке квантовой теории поля с общей теорией относительности. Однако в итоге он доказал, что Бекенштейн прав. У черных дыр действительно есть энтропия и температура, от них действительно исходит излучение, если принять во внимание квантовые эффекты. О них мы поговорим в другой раз, когда освоим квантовую механику. Пока же скажем лишь, что излучение Хокинга очень слабое. Температура черной дыры, сравнимой по массе с Солнцем, не превышает одной миллионной доли градуса Кельвина – слишком мало для измерения. У более массивных черных дыр температура еще ниже.

Реальный мир

В 2020 году, к немалому удивлению физиков, Нобелевскую премию получили Роджер Пенроуз, Рейнхард Генцель и Андреа Гез. Никто, естественно, не сомневался в важности работ этих ученых. Все дело в том, что Шведская королевская академия наук, которая и присуждает Нобелевские премии, чаще всего отмечает ими успешные эксперименты либо новые теоретические модели. В данном же случае Пенроуз использовал давно проверенную теорию (относительности), чтобы доказать реальность явления природы (черных дыр), а наблюдения Генцеля и Гез подтвердили его выводы, показав существование реальной черной дыры в центре нашей галактики.

Черные дыры перешли из разряда теоретических диковинок в авангард современной астрофизики. Несмотря на то что никто пока не видел ни одной из них (что, может быть, и к лучшему), существует множество доказательств их существования и проявления во многих астрофизических процессах.

Черные дыры весьма разнообразны и по размерам, и по происхождению. Наиболее известная их разновидность – те, что образуются на месте погасших звезд. Звезда сияет, пока легкие элементы внутри нее сливаются в массивное ядро, выделяя энергию. Но топливо со временем заканчивается. На этом этапе большинство звезд становятся белыми карликами, которые постепенно остывают, или, при большей массе, – нейтронными звездами, внутри которых протоны и электроны, объединяясь, образуют нейтроны. На месте же самых массивных звезд появляются черные дыры. Ученые считают, что большинство черных дыр, которые образовались подобным образом, имеют массу по меньшей мере в три раза больше, чем Солнце.

Но как же мы сможем обнаружить такие черные дыры? Они ведь действительно черные. Все дело в том, что они вращаются. Даже небольшое вращение исходной звезды может сильно раскрутить черную дыру при сжатии до ее размеров. Вращение же приводит к тому, что притянутая дырой материя, накапливаясь, образует на ее экваторе аккреционный диск. Такой материи может быть очень много, особенно когда черная дыра возникает на месте одной из звезд двойной звездной системы. Температура аккреционного диска очень высока, достаточна для сильного рентгеновского излучения. Именно его и могут наблюдать астрономы. К сожалению, у большинства черных дыр таких аккреционных дисков нет. Тем не менее, с учетом количества массивных звезд во Млечном Пути, ученые считают, что в нашей галактике могут быть сотни миллионов черных дыр. (На фоне ста миллиардов звезд это совсем немного.)

В центрах галактик скрываются черные дыры другого типа. Их масса очень велика: в миллионы и даже миллиарды раз больше, чем масса Солнца. Ученые считают, что такие дыры есть в большинстве крупных галактик, в том числе и в нашем Млечном Пути. (Наша черная дыра в четыре миллиона раз тяжелее Солнца.) Ученые узнали о ней, наблюдая за орбитами звезд, вращающихся вокруг компактной темной области в созвездии Стрельца. Именно за эти наблюдения Генцель и Гез и получили Нобелевскую премию.

Млечный Путь – довольно старая галактика, и большая часть газа и пыли давно превратилась в звезды. Нечему скапливаться вокруг черной дыры, и ее плохо видно. Но в молодых галактиках часто встречаются черные дыры с огромными, ярко светящимися аккреционными дисками. Они разбросаны по всей наблюдаемой нами Вселенной и предстают перед нами в виде квазаров или (в более общем смысле) активных галактических ядер.

Вот что Кип Торн рассказывает о Первом техасском симпозиуме по релятивистской астрофизике, который состоялся в Далласе в декабре 1963 года[30]30
  Kip Thorne, «Black Holes and Time Warps. Einstein’s Outrageous Legacy» (New York: W.W. Norton, 1994), chapter 9.


[Закрыть]. Тогда астроном Мартен Шмидт впервые измерил расстояние до квазара и показал, что оно очень велико. Квазар кажется очень ярким даже при взгляде с Земли, так что едва ли мы можем представить себе его реальное свечение. Собравшиеся на симпозиум ученые были в восторге. Они увлеченно спорили о квазарах, об их изучении с помощью теории относительности. Тем временем один молодой математик из Новой Зеландии прочел небольшой, но очень мудреный доклад о новом решении уравнения Эйнштейна для вращающегося пространства-времени. Слушатели почти не заметили его, а многие даже вышли из зала, чтобы перекусить. Докладчиком был Рой Керр. Тогда почти никто не понял, что он предложил инструмент, который сыграет важнейшую роль в изучении квазаров, – метрику черной дыры.

В 2015 году появился совершенно новый способ для сбора данных о черных дырах: гравитационные волны. Если гравитация – это искривление пространства-времени, то гравитационная волна – пульсация кривизны, которая распространяется со скоростью света. Подобно тому как при быстром движении заряженных частиц возникают привычные нам электромагнитные волны, быстрое движение массивных объектов вызывает волны гравитационные.

Но гравитация – очень слабая сила, и потому обнаружить такие волны непросто. В 2015 году об их существовании впервые сообщили ученые из лазерно-интерферометрической гравитационно-волновой обсерватории (LIGO), которые работали в сотрудничестве со специалистами из обсерватории VIRGO в Европе. LIGO состоит из двух обсерваторий, в каждой из которых имеются пары вакуумных лазерных тоннелей, расположенных под прямым углом друг к другу. Длина каждого тоннеля – четыре километра. Лазерный луч испускается из одного конца тоннеля, отражается от зеркала на другом конце и возвращается к источнику. Гравитационные волны вызывают едва заметные искажения пространства-времени, что изменяет время, которое необходимо лучу на путь до зеркала и обратно. Воздействие действительно очень мало: типичная волна отклоняет зеркало не больше чем на диаметр протона. Неудивительно, что для создания столь чувствительного прибора потребовались миллионы долларов и годы проектирования. Неудивительно и то, что в 2017 году Райнер Вайс, Кип Торн и Барри Бэриш получили за эту работу Нобелевскую премию.

Обнаруженные в 2015 году гравитационные волны возникли при слиянии двух черных дыр, масса которых была в 36 и 29 раз больше массы Солнца, двух гигантов, летевших рядом друг с другом примерно в миллиарде световых лет от нас. Орбитальное движение порождало гравитационные волны, и дыры, теряя энергию, постепенно сближались. Слияние произошло почти мгновенно, и через несколько секунд вместо двух черных дыр появилась одна.

С тех пор в обсерваториях LIGO и VIRGO наблюдали десятки подобных событий, чаще всего с участием черных дыр массой от десяти до ста Солнц. И это при том, что детекторы могут улавливать не все волны: на это влияет и природа конкретных черных дыр, и длина самих волн.

Современные астрофизики полны ожиданий и надежд. Ведь перед ними открылось еще одно окно, через которое видно космос. Мы, разумеется, узнаем много нового о черных дырах и жизненных циклах звезд, структуре галактик и даже, быть может, о форме и размерах Вселенной. Настоящие ученые всегда готовы узнать что-то совершенно неожиданное.

Приложения

Приложение A. Функции, интегралы и производные

На случай, если вы вдруг преисполнитесь сил заняться решением уравнений, которые мы обсуждали, в этом приложении мы рассмотрим наиболее часто встречащиеся функции и операции с ними.

Несколько слов об обозначениях. Мы часто используем буквы из конца алфавита (например, x, y и z) в качестве переменных – величин, которые нам неизвестны и которые нужно найти. Начальные буквы алфавита (например, a, b и c) обычно обозначают константы – некоторые определенные значения. Буквы f, g и им подобные традиционно используются для функций, отображающих одну переменную на другую. Едва ли не в каждой книге встречаются формулы типа f(x) = ax + b, где x – переменная, a и b – константы, а f(x) – функция от x. При этом переменная x может принимать любые, совершенно произвольные значения, тогда как константы a и b неизменны, даже когда их точные значения нам неизвестны или непринципиальны. Это различие очень важно.

Все это, конечно, просто традиция. Никто не запрещает использовать любые буквы. К тому же мы скоро исчерпаем латинский алфавит и будем вынуждены прибегнуть к греческому.

Определенные и неопределенные интегралы

Во время знакомства с интегралами в главе 2 мы упустили одну важную деталь: интеграл представляет собой площадь под кривой. Но это имеет смысл только в том случае, если мы указываем начало и конец области, площадь которой мы ищем. Поэтому различают определенные интегралы, для которых начальная и конечная точки заданы, и неопределенные, для которых они не указываются.

Пусть F(x) – интеграл некоей функции f(x), то есть:

(A.1)

Это и есть неопределенный интеграл. На самом деле мы упускаем здесь одну важную вещь. Поскольку начальная и конечная точки не указаны, мы не можем получить точное значение интеграла. Поэтому, строго говоря, мы должны были бы добавить к этому выражению произвольную постоянную С (то есть написать «F(x) + C»)[31]31
  Пришел как-то математик в бар для физиков и встретил там старого друга, физика-теоретика. Взяли по пиву, разговорились.
  – У нас тут все знатоки математики, – похвастался физик, – даже официантки.
  – Не может такого быть, – засомневался математик и подозвал ближайшую. – Скажите, девушка, чему равняется интеграл от икс-квадрат по дэ-икс?
  – Одна треть икс-куб, – сообщила та, не задумываясь.
  – Вот видите, коллега, – обрадовался физик, – а вы сомневались.
  – Ступайте, девушка, вам незачет, – грустно сказал математик. – Как же можно было забыть про плюс це?


[Закрыть]. Однако часто этот факт считается очевидным для читателя, и произвольная постоянная опускается. В большинстве случаев в этой книге под словами «интеграл функции» понимается именно неопределенный интеграл.

Для определенных интегралов начальная и конечная точки указываются начальная под знаком, а конечная – над ним:

(A.2)

Таким образом, определенный интеграл – это разность между значениями неопределенного интеграла в конечной и начальной точках. Давайте посмотрим, как это работает.

Постоянные функции

Рассмотрим очень простую функцию, а именно постоянную: f(x) = c. Тут особенно не о чем говорить, но с чего-то же надо начать. У постоянной функции наклон отсутствует, а значит, производная, без всяких сомнений, равна нулю:

(A.3)

Неопределенный интеграл будет пропорционален x:

(A.4)

Это означает, что определенный интеграл будет пропорционален расстоянию между начальной и конечной точками:

(A.5)

В этом легко убедиться, посмотрев на следующий рисунок. Здесь c = 2, a = 1, а b = 3. Площадь под кривой составляет 2 × (3–1) = 4, чего и следовало ожидать.

В формуле (A.5) скобки показывают, что число c умножается на разность b – a, а не то, что b – a – аргумент функции с, как x в выражении f(x). Обозначения одинаковы, но смысл разный. Предполагается, что читатель понимает его из контекста.

Линейные комбинации

В математике суммы, похожие на af(x) + bg(x), где a и b – константы, называются линейными комбинациями функций f(x) и g(x). При этом слово «линейная» означает, что каждая из функций входит в выражение только один раз и только в первой степени. Умножение и возведение в другие степени – операции нелинейные.

Интегрирование и дифференцирование – линейные операции, то есть производная линейной комбинации равна линейной комбинации производных. То же самое касается и интегралов. Для производных имеем:

(A.6)

Для интегралов:

(A.7)

То же самое (разумеется) происходит и в случаях, когда второго слагаемого нет, то есть мы ищем производную либо интеграл от af(x). В таких случаях мы «выносим константу за знак производной (или интеграла)». А так как мы интегрируем по x (на что указывает обозначение dx), мы можем считать константой все, что не зависит от x, даже если речь идет о функциях других переменных: ∫f(x)g(y)dx = g(y)∫f(x)dx.

Произведения

Поговорим о произведении двух функций, f(x)g(x). Мы будем опускать (x) и писать fg: так будет понятней. В таких случаях используется простая, но не слишком интуитивная формула:

(A.8)

То есть у нас «сумма произведения первой функции на производную второй и произведения второй функции на производную первой». Это так называемое правило Лейбница (про которого мы уже не раз говорили).

Именно потому, что есть вот такая симпатичная формула, математики и считают взятие производных «легким» процессом. Почти все интересующие нас функции можно представить (может быть, рекурсивно) в виде суммы или произведения других функций. Правило Лейбница подразумевает, что производные большинства функций могут быть в явном виде выражены через другие функции (или, как мы говорим, «в замкнутой форме»).

Казалось бы, по аналогии с производными должна существовать столь же красивая формула для интегралов. Но, к сожалению, это не так. Интегрировать трудно и в теории, и на практике.

Степени

Переходя от общих принципов к конкретным функциям, мы часто сталкиваемся с переменной x, возведенной в степень a: xa. При этом переменная называется основанием, а число а – показателем степени. (Эти функции следует отличать от экспонент, где какая-то постоянная возводится в степень переменной. Мы поговорим о них позже.) Если a – целое положительное число, то xa равно x, умноженному само на себя а раз. Но есть математические правила, при помощи которых можно возвести x в любую степень: хоть в дробную, хоть в отрицательную, хоть в комплексную.

Два полезных свойства степеней: при перемножении степеней одной и той же переменной показатели степени складываются, при возведении переменной в какой-то в степени в другую степень – перемножаются.

x ax b = x a+b, (x a)b = x ab. (A.9)

Рассмотрим несколько простых (и, вероятно, знакомых) примеров. Функция x2 называется параболой.

Эта функция никогда не принимает отрицательных значений, поскольку при умножении двух отрицательных чисел (в данному случае двух – x) получается положительное число. То же самое происходит при возведении x в любую четную степень. Графики таких функций будут похожи на параболу. Если же возводить x в нечетную степень, отрицательная сторона функции будет отрицательная, как на графике функции x3.

Переменную можно возвести и в дробную степень, хотя при этом мы ограничены только неотрицательными значениями x. Можно сказать, что возведение в степень 1/a отменяет его возведение в степень a, так как при этом показатели степени складываются:

(A.10)

В результате график функции – это лежащая на боку парабола.

Чтобы понять, что происходит с числом при возведении в отрицательную степень, рассмотрим произведение числа в первой и минус первой степенях.

x · x –1 = x 1–1 = x 0 = 1. (A.11)

Тогда понятно, что x–1 = 1/x. Такая функция называется обратной. Ее график имеет разрыв при x = 0, но мы не должны этого бояться. Мы говорим, что в этой точке функция 1/x не определена.

Производная степени – сама простота: показатель степени без изменений опускается вниз, а из исходного показателя вычитается единица:

(A.12)

При интегрировании, как можно представить, показатель увеличивается на единицу:

(A.13)

Забавы ради можно убедиться в этом: сначала взять производную, а потом найти от нее интеграл. Получится исходная функция.

Но есть здесь одна проблема: при a = –1 в выражении (A.13) появляется деление на ноль. Действительно, для этого случая предусмотрена отдельная формула:

(A.14)

Вертикальные черточки – это знак модуля: если значение x положительно, оно остается как есть, если же отрицательно – умножается на –1, то есть становится положительным. Функция ln x – натуральный логарифм. О них мы поговорим в следующем разделе.