Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 13 (всего у книги 18 страниц)

Тензоры

Метрика многообразия говорит нам о том, как вычислять расстояния. Однажды мы уже называли метрику «тензором», но не сказали, что это такое. Давайте разбираться.

Понять, что такое функция на многообразии, довольно просто: это отображение его точек на множество вещественных чисел. То есть мы присваиваем каждой точке какое-то число (значение функции), что позволяет, к примеру, определить плотность вещества в заданной точке. Мы давно уже знаем о векторах, которые имеют длину и направление. Благодаря этому мы можем с их помощью выразить, скажем, скорость частицы на указанной траектории.

Но иногда перед нами стоят более сложные вопросы, ответы на которые требуют нескольких векторов или же направлений в пространстве. К примеру, мы можем задаться целью оценить наложение векторов и друг на друга или же посмотреть, как в искривленном пространстве изменятся изначально параллельные траектории. Для этого нам пригодятся тензоры – геометрические величины, которые содержат все необходимые данные. Функции и векторы – разновидности тензоров. Однако для изучения искривленных пространств нам нужны их более сложные варианты.

Представить себе тензор можно двумя способами. Мы уже знаем один из них: это массив элементов, пронумерованных при помощи индексов. В этом плане все рассмотренные нами матрицы можно назвать тензорами. Там есть интересные правила, которые говорят, как должны изменяться элементы при изменении координат, но нас они не касаются.

Каждый элемент квадратной матрицы имеет два индекса (номер строки и номер столбца). Тензоры не обязаны быть квадратными: индексов может быть сколько угодно, но их значения связаны с размерностью конкретного многообразия[22]22
  Метрики и другие тензоры, о которых мы будем говорить, имеют определенные значения в разных точках пространства (или пространства-времени, когда мы до него дойдем). Поэтому фактически мы имеем дело с тензорными полями. Скалярное поле – это функция, которая принимает численное значение в каждой точке. Аналогичным образом можно говорить о векторных и других тензорных полях.


[Закрыть].

Вектор – это тензор с одним индексом. Мы рисуем векторы в виде куда-то направленных стрелок какой-то длины. Но выбрав систему координат, например (x, y, z), мы можем выразить вектор как сумму компонентов, направленных вдоль осей этой системы:

(7.15)

В отличие от вектора матрица – тензор с двумя индексами, а функция – тензор без индексов (с нулевым их количеством). Индексов может быть больше двух. Записать такой тензор в виде массива элементов непросто, но можно. Было бы желание. Например, можно представить трехиндексный тензор как вектор двухиндексных тензоров:

(7.16)

Не знаю, зачем это может понадобиться, но это вполне допустимо. И все же, когда число индексов больше двух, проще думать об отдельных элементах, а не о том, как выглядит какой-то гигантский массив.

Второй способ определить тензор – представить его в виде отображения одного набора тензоров на другой тензор. Замкнутый круг? Что делать, все взаимосвязано. Например, если у нас есть два вектора, νi и wj, мы можем подставить их в матрицу и вывести численное значение. Метрический тензор работает как черный ящик: на вход поступают два вектора, а на выходе получается число.

Чтобы получить это число, необходимо подставить соответствующие элементы векторов в матрицу, а затем последовательно сложить полученные значения, перебирая значения верхних и нижних индексов:

(7.17)

Это выражение широко известно, по крайней мере среди людей, кто часто сталкивается с векторами. Мы говорим о скалярном, или внутреннем, произведении двух векторов:

(7.18)

В обычном евклидовом пространстве скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Если векторы направлены в одну сторону, оно равно произведению их длин, а если в противоположные – всегда равно нулю.

Мы только что открыли маленький секрет: метрика не только позволяет вычислить длину кривой, но и определяет, что такое «перпендикуляр». Если две линии пересекаются, а скалярное произведение векторов, касательных к ним в точке пересечения, равно нулю, такие линии считаются перпендикулярными. Вот вам пример того, что метрика содержит в себе все данные о геометрии пространства.

Вы заметили, что индексы записываются то надстрочными (как у векторов и координат), то подстрочными знаками (как у метрик)? Так делается не по чьей-то странной прихоти. Верхние и нижние индексы имеют важные отличия. Сейчас нам достаточно знать лишь то, что суммирование по индексам, как в выражении (7.17), допустимо лишь при условии, что один и тот же индекс представлен и в верхнем, и в нижнем вариантах. Индексы, по которым идет суммирование, называются «немыми», а все остальные – «свободными». Свободные индексы могут иметь любые, но одинаковые во всех слагаемых значения, немые не имеют «значения», но лишь показывают, что нужно «сложить все возможные элементы с соответствующим индексом».

Суммирование по немым индексам настолько часто используется в тензорном исчислении, что Эйнштейн придумал, как упростить запись формул. Это изобретение называется правилом Эйнштейна и заключается в том, что если в формуле тензора либо произведения тензоров один и тот же индекс используется и в верхнем, и в нижнем вариантах, мы можем опустить знак суммы. Например:

(7.19)

Эйнштейн был настолько доволен своим правилом, что как-то сказал одному из друзей: «Я сделал великое математическое открытие!» Для общей теории относительности суммирование по немым индексам – чрезвычайно важная операция, поэтому правило Эйнштейна помогает нам сберечь немало времени.

Параллельный перенос

Огромная заслуга Римана в том, что предложенная им метрика многообразия действительно содержит все данные о его кривизне и геометрических свойствах. Настало время подумать о том, как извлечь эти данные. Мы начнем с разговора о том, как можно переместить вектор из одной точки в другую. На этот процесс не может не влиять кривизна. К сожалению, нам придется сильно усложнить математические формулы. Поэтому мы остановимся только на самых важных моментах, а всех интересующихся деталями я адресую за ними в приложение Б.

Представьте, что вы находитесь в какой-то точке искривленного многообразия и держите в руках вектор. Пусть, например, это будет вращающийся гироскоп, ось которого сориентирована в каком-то пространственном направлении. На некотором расстоянии от вас стоит другой человек, у которого тоже есть вектор. Нужно сравнить эти векторы: по направлению, по длине и т. д. Как это сделать?

В привычном нам плоском пространстве нет ничего проще. Нужно подойти к этому человеку, продолжая держать вектор и не меняя его направления, а затем приложить два вектора друг к другу. Но что значит «не меняя направления»? Один из вариантов – построить традиционную декартову систему координат и сохранить все компоненты вектора неизменными. Тогда мы сможем без всяких проблем таскать его с места на место.

Но вот беда: такой подход не работает в неплоских геометриях. В них нет «декартовых систем координат», в основе которых лежит плоская метрика. Но может быть, эта проблема чисто техническая, и можно найти какой-то эквивалент сохранения направления вектора при переносе?

Действительно можно. Параллельный перенос – это процесс, в ходе которого вектор, исходящий из какой-то точки, перемещается по определенной траектории, оставаясь параллельным себе самому в предыдущем положении. (Как вы, возможно, догадались, последовательные положения будут отстоять друг от друга на бесконечно малое расстояние, а значит, тянуть вектор мы будем не без помощи высшей математики.)

Какую же траекторию выбрать? В плоском пространстве не только хорошо понятно, как сохранить направление вектора, но и не важно, каким путем при этом двигаться. В произвольном искривленном пространстве это не так. Мы можем убедиться в этом, если рассмотрим параллельный перенос по двумерной сфере.

Допустим, вектор начинается в какой-то точке на экваторе и направлен на север. Направимся к северному полюсу, сохраняя вектор неподвижным. Это несложно сделать, ведь вектор будет все время направлен по касательной к траектории. Теперь представим себе другой сценарий. Сначала мы пройдем какое-то расстояние вдоль экватора, а затем повернем к полюсу.

Сравнив два принесенных на полюс вектора, мы увидим, что они направлены в разные стороны. А ведь мы так старались держать их, не изменяя направление. Такого бы никогда не случилось на плоскости, на сфере же неизбежно: параллельный перенос вектора по разным траекториям приведет к разным результатам. Но как мы увидим немного позже, этот неудачный опыт позволит нам четко определить, что понимается под словом «кривизна». (Обратите внимание: мы переносим вектор, находясь на сфере, а не глядя на нее из окружающего пространства.)

Мы столкнулись с важной и порой неочевидной особенностью искривленного пространства (или пространства-времени): не существует универсального способа, позволяющего сравнить векторы, находящиеся в разных точках. Мы можем переместить вектор, не изменяя его положения относительно траектории, но результат будет зависеть от нашего выбора: другая траектория может дать совершенно иной результат. Вот почему мы не можем, к примеру, судить о «скоростях» далеких галактик в расширяющейся Вселенной. Да, мы все пытаемся их измерить, однако непроизвольно делаем выбор в пользу какого-то определенного способа сравнения. Это нормально, но мы должны помнить о разнице между тем, что определено четко и точно, а что просто удобно для нас. Примерно о том же мы говорили в главе 6, отправляя близнеца в космос: нужно мыслить локально и сравнивать величины, измеренные в одной и той же точке, а не обманывать себя, пытаясь сопоставить происходящее где-то далеко с тем, что творится рядом с нами.

Геодезические линии

В начале главы 3 мы думали, как провести прямую линию между двумя деревьями. Можно натянуть между ними веревку, а можно просто идти от одного к другому. В обоих случаях мы получим одну и ту же прямую. Все то же самое можно проделать и на любом искривленном многообразии в геометрии Римана, хотя построенная линия вряд ли будет прямой. К примеру, на сфере мы получим большой круг или его дугу.

Линия между двумя точками, при движении по которой мы проходим минимальное расстояние (или затрачиваем максимум собственного времени, если речь идет о пространстве-времени), называется геодезической. Такие линии описываются формулами (см. приложение Б), которые можно вывести примерно так же, как делалось в главе 3 при обсуждении принципа наименьшего действия. Тогда мы говорили о пространстве путей, по которым может пройти частица, связывали с каждым из них какое-то количество действия и находили такой, на котором оно минимально (а производная действия в пространстве путей равна нулю). При поиске геодезических линий мы будем действовать точно так же, но вместо действия будем минимизировать длину кривой.

Геодезическая линия – это не только кратчайший путь: она во всех отношениях ведет себя, как прямая. Например, при движении по ней работает параллельный перенос вектора. Рассмотрим траекторию, которая представляет собой последовательность точек с параметром, позволяющим определить местоположение вдоль нее. Например, мы можем использовать формулу xi(t), где xi – координаты в соответствующем количестве измерений (сколько бы их ни было), а t – параметр, определенный вдоль траектории. (Часто таким параметром действительно служит время, но здесь буква t лишь удобное обозначение.) Тогда можно определить вектор скорости vi = dxi/dt, который направлен по касательной к траектории по ходу движения. Его длина показывает, как быстро мы перемещаемся.

А что значит «сохранять направление движения»? Это когда положение вектора скорости относительно траектории не изменяется, то есть осуществляется параллельный перенос этого вектора. Поэтому можно дать еще одно определение геодезической линии: это путь, при движении по которому вектор скорости остается параллельным начальному вектору скорости. Выходит, что параллельный перенос вектора связан с метрическим тензором: кривые, на которых возможен параллельный перенос, имеют минимальную длину.

Кривизна

Итак, к чему мы пришли? Метрический тензор – самая базовая геометрическая структура многообразия. Он позволяет определять длины траекторий, находить площади и объемы многомерных областей пространства и вычислять скалярные произведения векторов. Он говорит нам, как выполнять параллельный перенос векторов вдоль кривой: мы выяснили, что для этого нужны геодезические линии – кратчайшие пути между точками. Именно параллельный перенос позволит нам сложить последнюю часть головоломки: полностью кривизну пространства.

Сфера и гиперболическая плоскость – это самые простые искривленные многообразия, кривизна которых одинакова во всех точках и направлениях. Для более сложных случаев хотелось бы придумать способ надежно определять кривизну в любой точке многообразия. Мы уже поняли, что метрика не слишком подходит для этой цели, поскольку зависит от выбранной системы координат и при одной и той же геометрии может быть проще или сложнее. Нужная нам величина (возможно, тензор) должна однозначно показывать кривизну пространства и принимать нулевое значение при ее отсутствии.

При параллельном переносе вектора по двум разным траекториям итоговый вектор не совпадает с исходным. Мы уже видели это на примере сферы, когда переносили вектор с экватора на полюс. Аналогичным образом, если начать движение с полюса, дойти до экватора, переместиться вдоль него, а затем вернуться на полюс, направление вектора также изменится. Это очень важный момент: параллельный перенос по замкнутому контуру, как правило, не позволяет сохранить исходный вектор. По крайней мере в искривленных пространствах.

Мы можем использовать это наблюдение для оценки кривизны: на плоских множествах при параллельном переносе по замкнутому контуру вектор сохраняет направление, на искривленных – отклоняется на какой-то угол.

Однако проблема в том, что замкнутых контуров очень много и описать поведение векторов на них едва ли реально. Поэтому мы должны выбрать какой-то ограниченный набор характерных контуров, которые несложно описать в численном виде.

И здесь нам на помощь придет уже ставший привычным прием: мы будем мыслить бесконечно малыми величинами и применять высшую математику. Такой подход к изучению пространств с произвольной кривизной называется дифференциальной геометрией.

Представим себе два вектора, и , исходящие из одной точки p. Начиная из этой точки, сместимся на бесконечно малое расстояние в направлении , а затем на бесконечно малое расстояние в направлении . (Технически мы перемещаемся на расстояние, пропорциональное длине этих векторов.) После этого мы вернемся в исходную точку, сначала сместившись в направлении, обратном , а затем в направлении, обратном . Таким образом мы получили бесконечно малый замкнутый контур, который имеет форму параллелограмма[23]23
  Если вам кажется, что из-за кривизны пространства мы можем не попасть в исходную точку, вы правы: это действительно так. Но так как наш контур очень мал, расхождение будет пренебрежимо мало по сравнению с величинами, которые мы хотим измерить.


[Закрыть].

Чтобы определить такой контур, не требуется много данных: нужны всего два вектора и точка. Чтобы измерить кривизну, возьмем еще один, третий вектор , который также исходит из начальной точки. В результате параллельного переноса по контуру мы получим новый вектор . На плоском многообразии старый и новый векторы совпадут: , на искривленном же будут немного отличаться друг от друга. Поэтому мы можем найти их разность:

(7.20)

Именно так мы будем определять кривизну в любой точке произвольного многообразия. Построив контур при помощи двух векторов и выполнив параллельный перенос третьего вектора, мы получим итоговый вектор, который покажет нам, как сильно искривлено пространство. На почти плоских множествах он будет очень мал, на сильно искривленных – относительно велик.

Иными словами, мы получили отображение множества из трех векторов на четвертый вектор, . Мы уже знаем, что такие отображения называются тензорами. В данном случае перед нами тензор кривизны Римана: на его вход поступают два вектора, определяющие контур, и вектор для параллельного переноса, на выходе образуется четвертый вектор, который показывает кривизну на этом контуре.

Можно подумать, что вычислять изменение вектора, циркулирующего по контуру в каждой точке пространства, – громоздкая и сложная задача. Но нам на помощь приходит «магия» тензоров. Представим все вектора в виде их компонентов: Ui, Vi и т. д. Число компонентов i равно размерности исследуемого многообразия.

Тогда мы можем записать тензор кривизны Римана Rijkl (порядок и расположение индексов имеет важное значение). Подобно тому как элементы метрического тензора gij описывают линейный элемент, элементы тензора кривизны Римана говорят о том, как исходные векторы превращаются в вектор кривизны :

Xi = RijklWjUkVl. (7.21)

В этой формуле мы применили правило Эйнштейна: на самом деле в правой части вычисляется сумма значений, полученных путем перебора индексов j, k и l.

Понятно, что тензор Rijkl состоит из большого количества элементов. У нас четыре индекса, каждый из которых принимает на d-мерном многообразии d значений. Итого d4 элементов: 81 при трех измерениях, 256 при четырех, а дальше еще много больше.

К счастью, тензор Римана обладает симметрией, которая несколько облегчает жизнь физиков. Некоторые элементы довольно просто связаны друг с другом. К примеру, если поменять местами последние два индекса, получится то же самое число, но со знаком «минус»: Rijkl = – Rijlk. Благодаря таким соотношениям общее количество независимых элементов тензора при d измерениях составит . В четырехмерном пространстве потребуется двадцать независимых элементов: многовато, но преодолимо. Зато при двух измерениях в тензоре будет всего один независимый элемент, то есть кривизна в каждой точке двумерного многообразия характеризуется обычным числом (положительным или отрицательным). А в одномерном пространстве в тензоре Римана вообще нет независимых элементов! Мы можем нарисовать одномерную кривую и объявить, что она изогнута. Но это ошибка: мы видим ее глазами внешнего наблюдателя. В самом же одномерном мире понятие кривизны в принципе отсутствует.

Кривизна вполне определенным образом зависит от метрики, но эта зависимость сложна, а потому я снова направляю вас к подробным выкладкам из приложения Б. Сейчас вам важно уяснить основные понятия: метрика, параллельный перенос, геодезические линии, кривизна. Эти математические инструменты понадобятся для понимания общей теории относительности Эйнштейна.

Восемь. Гравитация

Классическая механика, какое бы впечатление ни сложилось у вас при чтении предыдущих глав, не является теорией физики. Это, скорее, каркас, на котором могут строиться полноценные теории. Согласно классической механике, «физическая система описывается импульсами и положениями либо их соответствующими обобщениями, и эти переменные подчиняются уравнениям Ньютона, Гамильтона или принципа наименьшего действия». При этом остается неясным, какие силы действуют, какой вид имеет гамильтониан или что это за действие. Гравитация Ньютона, напротив, является полноценной теорией, так как дает точное определение силы (закон обратного квадрата), на основе которого можно предсказывать движение реальных объектов. Существует множество полноценных теорий, входящих в широкую структуру классической механики.

Квантовая механика – тоже каркас, альтернатива механике классической, и на нем также основаны настоящие теории, в том числе специальная теория классического простого гармонического осциллятора и отдельная теория квантового простого гармонического осциллятора. Практически все теории, о которых задумываются современные физики, построены либо на классическом, либо на квантовом каркасе.

Теория относительности – еще один каркас. Конкретные теории могут быть «нерелятивистскими» (как, например, гравитация Ньютона) или «релятивистскими» (как электромагнетизм Максвелла). Различие сводится к точке зрения на пространство-время: нерелятивистские теории оперируют абсолютным пространством и временем, допускают мгновенное дальнодействие, в то время как в релятивистских используются световые конусы, а скорость жестко ограниченна. Нерелятивистские/релятивистские категории пересекаются с классическими/квантовыми, и существуют модели, которые подходят к любой из этих категорий.

Классическая

Квантовая

Нерелятивистская

Гравитация Ньютона

Квантовый гармонический осциллятор

Релятивистская

Электромагнетизм Максвелла

Квантовая электродинамика

В физике многие явления сначала изучаются в классическом или нерелятивистском ключе, а затем, после небольших усилий, выстраивается их понимание в квантовом или релятивистском.

Теория относительности в значительной степени вдохновлена электромагнетизмом Максвелла – парадигматически классической релятивистской теории. Появившись, теория относительности вдохновила ученых на пересмотр старых теорий о силах природы и приведение их в новые рамки. Естественно, что дело дошло и до гравитации, которую Ньютон так успешно описал при создании нерелятивистской классической механики.

Однако предложить правдоподобную релятивистскую теорию гравитации оказалось непросто. Эйнштейну на это потребовалось десять лет: он выдвинул специальную теорию относительности в 1905 году, а общую, окончательную – только в 1915-м. Не он один работал над этой проблемой: финский физик Гуннар Нордстрём разработал альтернативную теорию, переписываясь с Эйнштейном по ходу работы. Однако непревзойденная физическая проницательность Эйнштейна и его дар к мыслительным экспериментам в конце концов победили. Специальная теория относительности была огромным шагом вперед. Фундаментальная работа по квантовой механике (также опубликованная в 1905 году) удостоилась Нобелевской премии, но именно общая теория относительности – учение об искривленном пространстве-времени – сделала Эйнштейна самым знаменитым ученым XX века.