Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 14 (всего у книги 18 страниц)

Инерциальная и гравитационная масса

Масса и гравитация особым образом взаимосвязаны. Согласно второму закону Ньютона, воздействующая на объект сила равняется массе, умноженной на ускорение. При этом, согласно закону обратных квадратов, сила тяготения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

«Масса» фигурирует в обоих законах, но выполняет при этом совершенно разные функции. Во втором законе масса является мерой инерции – сопротивления, которое тело оказывает ускорению. Она неизменна и не зависит от силы, которая вызывает это ускорение. Однако в законе всемирного тяготения масса влияет на то, как сила воздействует на соответствующий объект. Так почему же столь разные по функциям величины равны друг другу?

Чтобы подчеркнуть это различие, обозначим инерциальную массу объекта буквой m, а гравитационную – буквой M. Второй закон Ньютона гласит, что

(8.1)

Закон всемирного тяготения (обратных квадратов) для двух объектов 1 и 2 выражается формулой

(8.2)

И все же в реальном мире получается, что обе массы – инерциальная и гравитационная – равны:

m = M. (8.3)

Для этого нет никаких очевидных причин. Рассмотрим, к примеру, закон Кулона, который определяет силу взаимодействия двух электрически заряженных частиц. Это тоже закон обратных квадратов:

(8.4)

Выражение (8.4) очень похоже на закон всемирного тяготения. Постоянная Кулона K аналогична гравитационной постоянной G, а электрические заряды Q1 и Q2 – гравитационным массам. И все-таки тут скрыто огромное отличие: электрический заряд, который является причиной появления электрической силы, никак не связан с инерциальной массой объекта. Он может быть положительным (как у протона), отрицательным (как у электрона) и даже нулевым (как у нейтрона). Разные частицы по-разному реагируют на электромагнитную силу, а некоторые не реагируют на нее вообще. При этом все частицы подчинены силам тяготения в строгом соответствии с их массой. Более того, под действием гравитации объекты всегда притягиваются друг к другу.

В своей теории Ньютон и не пытается объяснить, почему масса, из-за которой возникает сила тяготения, ничем не отличается от массы, которая вызывает инерцию и движение. Мы тоже принимаем это как особенность нашей вселенной и двигаемся дальше.

Принцип эквивалентности

Равенство инерциальной и гравитационной масс приводит к далеко идущему последствию. Рассмотрим две частицы, которые воздействуют друг на друга силой тяготения. Подумаем о том, что происходит с частицей 2 под воздействием частицы 1. Объединив выражения (8.1) и (8.2), получим:

(8.5)

Но m2 = M2, их можно сократить. Остается:

(8.6)

Из этой формулы следует, что ускорение, которое испытывает частица 2, не зависит от ее массы. Иными словами, каждый объект в гравитационном поле ускоряется одинаково, независимо от массы (или чего-то еще).

Интересно. Конечно, это утверждение не относится к другим силам, в том числе электромагнитным. В электрическом поле положительно заряженная частица движется в одном направлении, а отрицательно заряженная – в противоположном. Но гравитация движет объекты в одном направлении и с одинаковым ускорением. Ученые понимали, что это так, еще до уравнений Ньютона, во времена Галилея.

Эйнштейн же расширил эту особенность гравитации до общего принципа. В главе 3 мы говорили о том, что космонавт всегда чувствует ускорение ракеты, но не может измерить ее абсолютную скорость. Теперь давайте сравним ракету, которая неподвижно стоит на земле, с ракетой, которая летит в пространстве с ускорением g, равным ускорению свободного падения у поверхности земли.

Если уронить какой-то предмет в ускоряющейся ракете, он упадет на пол из-за того, что она движется. Более того, любые предметы будут падать одинаково. Но из-за равенства инерциальной и гравитационной масс то же самое будет происходить и в неподвижной ракете: все предметы будут испытывать одинаковое ускорение независимо от их массы.

Это навело Эйнштейна на мысль о принципе эквивалентности: в небольших областях пространства-времени воздействие гравитации эквивалентно нахождению в ускоряющейся системе отсчета. И дело тут совсем не в падении брошенных предметов: оказывается, что, находясь внутри закрытой ракеты, нельзя провести никаких опытов, позволяющих определить, ускоряется она в космосе или же неподвижно стоит на земле. Получается, что в небольших областях пространства-времени законы физики сводятся к законам (негравитационной) специальной теории относительности.

Если же говорить о больших областях пространства-времени, принцип эквивалентности не работает. Гравитационное поле может направлять объекты в разные стороны в зависимости от места их нахождения, в то время как ускоренная система отсчета всегда приводит к равномерному движению всего, что находится внутри нее. Например, рядом с Землей сила тяготения всегда направлена к ее центру. Будь ракета сравнима по размерам с планетой, неподвижные маятники, разнесенные на большое расстояние друг от друга, были бы наклонены в разные стороны. Поэтому крайне важно понимать, что принцип эквивалентности ограничен лишь небольшими областями пространства-времени.

После подобного озарения обычные люди, как вы или я, могли бы отправиться на покой с чувством безмерной гордости за себя. Эйнштейн же пошел дальше. Он заметил подозрительное сходство собственного утверждения о том, что «в небольших областях пространства-времени физика работает по законам специальной теории относительности» с выводом Римана об искривленных многообразиях, согласно которому «в небольших областях пространства геометрия работает по теоремам Евклида». Поэтому Эйнштейн решил, что нужно пересмотреть отношение к гравитации: перестать считать ее «силой», которая существует где-то в пространстве-времени, и начать думать о ней как о свойстве самого пространства, его кривизны.

Свободное падение

Вы можете сказать, что такой взгляд противоречит здравому смыслу. Ведь очевидно, что гравитация – это сила! Яблоки падают с деревьев, а неуклюжие люди – с лестниц, Земля вращается вокруг Солнца. Как можно понять гравитацию, не считая ее силой?

По правде говоря, ничто не мешает считать гравитацию силой, когда это нужно. В физике частиц, например, говорится о четырех силах природы, и гравитация входит в это число наряду с электромагнетизмом, сильными и слабыми ядерными взаимодействиями. Но гравитация – сила совсем иного рода: она универсальна и действует на все объекты одинаково, тогда как воздействие остальных трех сил зависит от заряда. Именно это и позволяет нам отказаться от представлений о силе, действующей в пространстве-времени, и говорить о свойствах самого пространства-времени.

Сначала нам нужно посмотреть на вещи с другой стороны. Например, мы привыкли считать, что уроненная человеком чашка падает на пол под действием силы тяжести. Однако согласно общей теории относительности, естественное состояние объектов – свободное падение. Падая на пол, чашка находится в естественном состоянии. А вот на человека, стоящего на земле, действует сила: Земля воздействует на него, отклоняя от траектории свободного падения. Это один и тот же набор событий, но теперь мы смотрим на них по-другому.

В специальной теории относительности не подвергающиеся воздействию сил объекты движутся по прямым линиям. Но мы уже знаем, что в более общем случае, на искривленном многообразии вместо прямых следует говорить о геодезических линиях. Поэтому, согласно общей теории относительности, пространство-время искривлено, а неускоряющиеся объекты движутся в нем по геодезическим линиям.

Вы можете возразить, что Земля движется вокруг Солнца по эллипсу, который никак нельзя назвать прямой. В обычном пространстве – именно так, но в пространстве-времени все по-другому. В неподвижной системе отсчета, центром которой является Солнце, Земля движется главным образом во времени, поскольку ее пространственная скорость очень мала (примерно в десять тысяч раз меньше скорости света). Но гравитация Солнца плавно искривляет пространство-время вокруг него, из-за чего геодезическая линия в обычном пространстве похожа на эллипс. Земля же делает все возможное, чтобы двигаться по прямой, как и чашка.

Метрика пространства-времени

В главе 6 мы говорили о пространстве-времени Минковского, а также о схожести формул собственного времени и длины пространственноподобных кривых с теоремой Пифагора. Там еще появлялся забавный знак «минус». В главе 7 мы познакомились с геометрией Римана, в основе которой лежит метрический тензор, позволяющий получить линейный элемент для вычисления длины кривых линий. Эти понятия тесно связаны между собой. Согласно теории относительности, пространство-время имеет особый вид метрики, в которой временеподобное направление характеризуется знаком «минус». Такая метрика называется метрикой Лоренца. А если бы пространство-время было плоским, мы получили бы метрику Минковского.

Давайте вспомним об индексах. Для нумерации измерений пространства-времени мы применяем греческие буквы (xµ), причем время считается измерением номер ноль (x0 = t), а для обычного пространства – латинские (xi = x1, x2, x3). В этих обозначениях метрика Минковского выглядит так:

(8.7)

Или в форме линейного элемента:

ds2 = —dt2 + dx2 + dy2 + dz2. (8.8)

Знак «минус» несколько затрудняет работу, но с этим можно смириться. При помощи этих формул мы можем легко найти длину любой пространственноподобной кривой. Мы уже делали это, записывая выражение (6.10). Но для временеподобных кривых, по которым как раз и движутся реальные объекты, пространственно-временной интервал ds2 оказывается отрицательным, а и вовсе комплексным числом. Странно, но совсем не страшно. Для таких траекторий нам просто следует говорить о собственном времени, для которого действует формула

dτ2 = —ds2. (8.9)

Как вариант, можно умножить правую часть выражения (8.8) на –1, то есть определить линейный элемент как отрицательное значение того, о чем мы говорили выше. Тогда для временеподобных кривых он будет давать собственное время, а результаты вычислений для пространственноподобных нам придется умножать на –1. Вполне разумный подход, который используется во многих учебниках. (Надо сказать, что большинство физиков, занимающихся теорией относительности, придерживаются варианта «—+++», тогда как в физике частиц чаще применяется +–»). Наш выбор более удобен, поскольку, если понадобится поговорить о «пространстве в какой-то момент времени», метрика пространства-времени сведется к привычной метрике Евклида («+++»).

Специальную теорию относительности можно описать одним коротким предложением: «пространство-время описывается метрикой Минковского». В выражениях (8.7) и (8.8) заключен весь объем данных, необходимых для разговора о расстояниях, времени, световых конусах, космических путешествиях близнецов и других приключениях.

Однако по мнению Эйнштейна, реальное пространство-время в нашей вселенной выглядит как пространство-время Минковского только на небольших участках, которые, соединенные друг с другом, образуют искривленное многообразие, описанное Риманом. Его геометрия также характеризуется метрикой, но гораздо более сложной, чем (8.7). Поиски этой метрики и попытки понять ее влияние на процессы во вселенной – именно этим и заняты современные физики, специалисты по общей теории относительности.

Рассмотрим простую метрику, которая не сильно отличается от метрики Минковского, – метрику расширяющейся вселенной:

(8.10)

В этой записи все нулевые элементы опущены. Но мы будем помнить о том, что они есть, и записывать, если возникнет необходимость. Та же самая метрика в форме линейного элемента:

ds2 = —dt2 + a2(t)[dx2 + dy2 + dz2]. (8.11)

Функция a(t) называется масштабным фактором. Если задуматься над происходящим с физической точки зрения, мы увидим, что время идет, как обычно. Поэтому элемент g00 метрики, то есть коэффициент при dt2, равен –1, как и в пространстве-времени Минковского. А вот пространственные элементы умножаются на масштабный фактор, то есть расстояние между двумя объектами (например, галактиками) увеличивается по мере возрастания a(t). Таким образом, мы получили математическую модель расширяющегося пространства.

Специалисты по общей теории относительности часто подходят к работе примерно следующим образом. Допустим, нам нужно построить модель физической системы с определенными свойствами. Пусть это будет, к примеру, вселенная, в которой материя (которая искривляет пространство-время) распределяется равномерно, без сгустков и пустот. Следовательно, метрика такой вселенной не будет зависеть от пространственного положения xi, а только от t. Допустим также, что пространство (не пространство-время) является плоским и подчиняется геометрии Евклида. При этих допущениях мы однозначно получим метрику, имеющую вид (8.10). Но мы не знаем, как ведет себя масштабный фактор a(t), который, по всей видимости, зависит от количества материи. Нам нужно уравнение для связи метрики с материей и энергией. Эйнштейн нашел такое уравнение.

Тензор энергии-импульса

Математики принимают аксиомы и строго доказывают теоремы на их основе. Физики действуют по-другому: они высказывают догадки (или, по-умному, гипотезы) о том, как устроен мир, а затем проверяют их на внутреннюю согласованность и соответствие данным, полученным в ходе экспериментов. Эйнштейну предстояло догадаться, какое уравнение описывает трансформации метрики пространства-времени.

Согласно физике Ньютона, сила пропорциональна массе объекта – источника гравитации. Но мы хотим обобщить эту идею с позиций теории относительности, в которой «масса» считается одной из форм энергии (энергией неподвижного объекта). При этом, как мы знаем из главы 6, энергия объединяется с импульсом, то есть является нулевым элементом его 4-вектора.

Хотя в той главе мы говорили об отдельном объекте, который можно рассматривать как точку, нам не всегда будет так везти: придется когда-нибудь обсудить источники энергии и материи, распределенные по всему пространству (например, внутреннюю часть звезды или темную материю вокруг галактики). В теории относительности такую распределенную в пространстве материю принято называть жидкостью[24]24
  Или флюидом (fluid). – Примеч. ред.


[Закрыть]. Не самый удачный термин, надо сказать, поскольку мы часто говорим о материи, нисколько не похожей на жидкость. Но мы все равно называем то, что находится внутри планеты, жидкостью, какой бы твердой она ни была. Разлетающиеся во все стороны фотоны – это тоже жидкость. Иными словами, для специалиста по общей теории относительности «жидкость» – это любая форма материи, которая не сосредоточена в одной точке, а распределена в пространстве.

Описывая жидкость, удобнее говорить не о массе либо энергии, но о плотности энергии, которая обозначается греческой буквой «ро» (ρ) и представляет собой количество энергии на кубический сантиметр (или какую-то другую единицу объема). Плотность энергии может меняться в пространстве и времени, а потому является в общем случае функцией от xµ. Для локализованного объекта, например звезды или планеты, полная энергия равна интегралу плотности энергии по пространству.

Помимо плотности энергии жидкость характеризуется давлением, которое показывает, как сильно она давит на стенки контейнера. (Конечно же, в реальности нет никаких контейнеров, поэтому мы думаем о воздействии на гипотетические стенки.) Жидкость может каким-то образом перемещаться (представьте себе поток воздуха или воды), а значит, в общем случае из каждой точки жидкости исходит вектор скорости. Наконец, если жидкость как-то искривлена либо деформирована относительно состояния равновесия, в ней появляются напряжения. Как и плотность энергии, все эти величины в общем случае зависят от рассматриваемой точки пространства-времени.

В теории относительности все эти понятия объединены в тензор энергии-импульса (также известный как тензор напряжения-энергии), который обычно обозначается как Tµν. Он содержит в себе все данные о массе, энергии, импульсе, давлении, напряжении и других энергетических характеристиках совокупности материи (излучения или любых других жидкостей).

Как можно догадаться, в привычных нам величинах формула Tµν будет ужасно сложной. Но мы можем хотя бы представить, на что она похожа, если рассмотрим простой случай с идеальной жидкостью, которая в неподвижной системе отсчета равномерно распределена во всех направлениях. В этом случае тензор энергии-импульса будет зависеть только от плотности энергии ρ и давления p. В плоском пространстве-времени и неподвижной системе отсчета тензор энергии-импульса идеальной жидкости имеет вид:

(8.12)

Будь жидкость неидеальной, а система отсчета подвижной, мы бы намучились с этим тензором. Из-за напряжений ненулевые внедиагональные элементы перестали бы быть нулевыми, да и диагональ усложнилась бы, так как давление в разные стороны может быть разным. Но мы и без этого хорошо напрягаем себе мозги. Поэтому остановимся на простой и понятной формуле (8.12), в которой плотность энергии значится в левом верхнем углу, а давление (одинаковое во всех направлениях) – на диагонали. Как ρ, так и p могут зависеть от xµ, так что у нас достаточно данных. А с помощью идеальной жидкости можно описать планеты, звезды и даже темную материю, заполняющую пространство.

Уравнение Эйнштейна

Чтобы обобщить гравитацию Ньютона с точки зрения теории относительности, нам нужно придумать уравнение, которое свяжет метрику пространства-времени с тензором энергии-импульса. Мы должны сделать новый шаг в деле унификации, о которой мы говорили, связывая энергию частицы с ее импульсом. В общей теории относительности гравитация создается не только массой, но и различными формами энергии, давлением, напряжением и другими величинами.

Так как же нам быть? И gµν, и Tµν – тензоры с двумя нижними индексами, да еще и симметричные (gµν = gνµ и Tµν = Tνµ). Поэтому в качестве первой догадки представим себе, что они пропорциональны друг другу:

gµν = αTµν. (8.13)

Здесь α – некий коэффициент пропорциональности. В любых выражениях с тензорами с обеих сторон должны быть одинаковые свободные индексы, иначе мы не сможем говорить о равенстве.

На самом деле эта идея довольно глупая. Но мы хотим посмотреть на то, как работает физик-теоретик. В его голове постоянно крутятся мысли: глупые тоже приходят, но не задерживаются надолго. Мы можем сразу сказать, что наше предположение не может быть верным, поскольку в пустом пространстве Tµν = 0 (так сокращенно записываются тензоры, все элементы которых равны 0), но метрика gµν не может быть нулевой. В пустом пространстве, а точнее при отсутствии гравитации, мы должны получить метрику Минковского.

Давайте подумаем. Выражение (8.13) законно с математической точки зрения, так как оно уравнивает два симметричных двухиндексных тензора. Однако оно не имеет физического смысла, ведь из него следует, что тензор энергии-импульса каким-то образом создает метрику, то есть пространство-время, а мы хотим, чтобы он его искривлял. В отсутствие источников гравитации (Tµν = 0) пространство-время может быть плоским, но стоит в нем появиться планете или звезде, оно должно искривиться[25]25
  При отсутствии источников гравитации пространство-время не обязано быть плоским: например, его могут искривлять гравитационные волны. Но если пространство-время плоское, в нем точно нет никаких источников гравитации.


[Закрыть].

Когда производная функции отлична от нуля, ее график искривляется. Следовательно, тензор энергии-импульса должен влиять не на саму метрику, а на ее производные. В главе 4 мы обсуждали гравитационные поля, которые Лаплас использовал для осмысления механики Ньютона. В этом контексте сила тяготения зависит не от потенциала поля, но от его производной. Поэтому в новом, релятивистском контексте следует считать метрический тензор грубым аналогом гравитационного потенциала: силы должны определяться не самим тензором, а его производными.

Таким образом, мы ищем величину, которая представляет собой симметричный тензор с двумя нижними индексами (так что мы можем считать его пропорциональным Tµν), который мы можем вывести из метрики и ее производных.

(8.14)

Но у нас уже есть почти то, что нам нужно: тензор кривизны Римана, который строится на основе производных метрики. Проблема в том, что у него слишком много индексов (которые теперь мы обозначаем греческими буквами, так как исследуем пространство-время). Но есть и другой тензор – тензор Риччи, который можно получить, суммируя тензор Римана по первому и третьему индексам. Тензор Риччи получил название в честь итальянского математика Грегорио Риччи-Курбастро, который заложил основы тензорного исчисления, а также создал большую часть математического аппарата современной геометрии Римана. В 1900 году Риччи вместе со своим бывшим учеником Туллио Леви-Чевитой написал очень важную статью, из которой Эйнштейн почерпнул много знаний о тензорах. По неизвестной причине под этой статьей он поставил имя Дж. Риччи (без Курбастро), и это странно, поскольку все остальные статьи он подписывал полным именем. Может быть, Риччи подозревал, что этот тензор заслуживает краткого и запоминающегося названия.

Если использовать правило Эйнштейна, тензор Риччи можно записать так:

Rµν = Rλµλν = R0µ0ν = R1µ1ν = R2µ2ν = R3µ3ν. (8.15)

Мы поменяли местами греческие буквы, но это не страшно: в конце концов, мы можем выбрать, какие хотим. Главное, чтобы соблюдалось общее правило: в обеих частях выражения должен быть один и тот же набор свободных индексов. Тензор Риччи также является симметричным: Rµν = Rνµ.

Теперь похоже, что мы близки к цели. Вновь обозначив коэффициент пропорциональности как α, запишем следующее уравнение:

Rµν = αTµν. (8.16)

Это выражение намного более разумно, чем (8.13). Оно соответствует общей форме (8.14) и приравнивает симметричный двухиндексный тензор, составленный из метрики и ее производных, к тензору энергии-импульса. В пустом пространстве при Tµν = 0 оно дает Rµν = 0, что определенно соответствует плоскому пространству-времени Минковского (в котором все элементы тензора Римана, а значит, и тензора Риччи равны нулю).

Это выражение настолько разумно, что в октябре 1915 года Эйнштейн предложил его в качестве возможной основы общей теории относительности. Оно почти работает. Почти, но все-таки не совсем.

Проблема возникла с одним хорошо известным нам свойством энергии: она сохраняется. В общей теории относительности это довольно трудный вопрос, поскольку энергия может передаваться от материи к кривизне пространства-времени и обратно. Такие трансформации накладывают жесткие ограничения на изменение тензора энергии-импульса во времени. А тензор Риччи таким ограничениям не соответствует. Поэтому, если считать выражение (8.16) верным, следует признать, что энергия не сохраняется. В противном случае едва ли удастся найти такую метрику, при которой оно будет выполняться.

Решение этой проблемы само по себе несложно, но, к сожалению, требует более глубоких познаний в области тензоров и кривизны. Их обсуждение вынесено в приложение Б. Основная хитрость тут в том, что нужно использовать обратную метрику, gµν, которая связана с метрикой обычной, но имеет верхние индексы вместо нижних. (Если вы знаете о матрицах, то это не что иное, как матрица, обратная метрике.) При помощи обратной метрики можно определить функцию пространства-времени – скаляр кривизны Риччи:

R = gµνRµν. (8.17)

Суммирование по µ и ν в правой части полностью устраняет свободные импульсы. Поэтому при умножении на метрику gµν можно получить отдельный симметричный двухиндексный тензор, построенный на основе метрики и ее производных. Затем, как это сделал Эйнштейн в ноябре 1915 года, можно попробовать отыскать сочетание Rµν и Rgµν, которое обладает нужными свойствами, то есть остается пропорциональным Tµν без нарушения закона сохранения энергии. Существует единственно верный ответ, который сегодня называется уравнением Эйнштейна:

(8.18)

В левой части находится тензор Эйнштейна. Можно придумать для него новый символ, но выражение и само по себе несложно: это тензор Риччи и скаляр кривизны. Это окончательная форма уравнения поля в общей теории относительности, в котором представил его Эйнштейн на докладе Прусской академии наук 25 ноября 1915 года.[26]26
  Можно сделать еще кое-что: добавить слагаемое, пропорциональное самой метрике Λgµν, где Λ (иногда называемая лямбда-член) – константа. Эйнштейн додумался до этого в 1917 году и назвал Λ космологической постоянной. Существование ненулевой космологической постоянной было окончательно подтверждено в 1998 году, когда астрономы открыли ускорение вселенной. Однако измеренное значение Λ настолько мало, что им можно пренебречь. Если, конечно, вы не занимаетесь космологией.


[Закрыть]

Физик Джон Уилер сформулировал общую теорию относительности так: «Пространство говорит материи, как двигаться, материя же говорит пространству, как искривляться». Первая половина этой фразы означает, что свободные частицы движутся по геодезическим линиям, а несвободные частицы (на которые действует отличная от гравитации сила) отклоняются от них примерно так же, как в механике Ньютона они отклоняются от прямых, двигаясь с ускорением. Вторую половину фразы обеспечивает уравнение Эйнштейна: решив его, можно узнать, какой будет метрика пространства-времени в любой интересующей нас ситуации. В итоге это уравнение правильно предсказало эволюцию Вселенной, существование черных дыр, распространение гравитационных волн и другие явления, о которых Эйнштейн в свое время даже и не догадывался. В этом и заключается сила хорошей научной теории: она знает гораздо больше, чем те, кто ее придумал.

В записанное нами уравнение Эйнштейна входит не просто какой-то странный коэффициент пропорциональности, а 8πG, где G – гравитационная постоянная, как и в законе всемирного тяготения Ньютона. Эту величину нельзя найти путем умозаключений или согласования с законами сохранения: нужны данные экспериментов. Для этого Эйнштейн рассмотрел «предел слабого поля», в котором гравитация почти не проявляется, а пространство-время почти, но все-таки не совсем плоское. В этих условиях хорошо сформулированная теория гравитации должна воспроизводить закон обратных квадратов Ньютона, для чего константа в выражении (8.18) должна быть равна 8πG. Удивительно, что уравнение, константа в котором получена путем наблюдений за падением яблок и движением планет, блестящим образом показывает, что было в первые минуты после Большого взрыва.