Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 18 (всего у книги 18 страниц)

Экспоненты и логарифмы

Теперь рассмотрим экспоненциальную функцию, то есть основанием является постоянная, а переменная выступает в роли показателя степени: f(x) =ax. Все очень просто. График этой функции (для а = 2) будет иметь вид:

Функция, обратная к ax, называется логарифмом (по основанию а), то есть:

(A.15)

Обычно экспонента означает быстрый рост, а логарифм, напротив, медленный рост с возрастанием x. При x = 1 логарифм всегда равен нулю, тогда как loga(a) = 1. При очень малых значениях x логарифм стремится к —∞, что объяснимо, ведь loga(x) – это «основание, которое нужно возвести в степень a, чтобы получить x», а значит, чтобы получить очень маленькое значение x, нам нужно возвести его в очень большую отрицательную степень.

В мире экспонент и логарифмов есть особое число – число Эйлера:

e = 2,71828… (A.16)

В дробной части числа e бесконечное число цифр, которые никогда не образуют повторяющихся групп. Точно так же, как в числе π = 3,14159… Это так называемые иррациональные числа, которые нельзя представить как частное двух целых чисел. Есть много способов определить число e, но, пожалуй, самый лучший из них таков: функция ex – единственная непостоянная функция, которая равна собственной производной:

(A.17)

При других основаниях производная экспоненты равна:

(A.18)

Здесь снова появляется натуральный логарифм. Теперь мы можем сказать, что он равен логарифму по основанию e:

ln(x) = loge(x). (A.19)

Мы уже видели натуральный логарифм в выражении (A.14) – формуле интеграла от функции 1/x. Если посмотреть на выражение (A.18) и вспомнить, что loga(a) = 1 при любых a, можно заметить, что при a = e неудобный множитель ln(a) исчезает, и мы получаем красивую формулу (A.17). Вот почему большинство физиков по возможности используют e в качестве основания логарифма.

Формула интеграла от логарифма так же проста:

(A.20)

Производная логарифма:

(A.21)

Интеграл от него:

(A.22)

Для тренировки попробуйте посмотреть, как изменятся эти формулы при a = e, когда ln(a) = ln e = 1.

Тригонометрические функции

И наконец, мы рассмотрим еще один набор часто используемых функций: тригонометрические функции, а именно синус и косинус. Их аргументы, как правило, представляют собой углы, а не просто реальные числа, и чтобы подчеркнуть это, мы будем использовать букву θ вместо x. Кроме того, важно сказать, что все углы мы будем измерять в радианах, а не в градусах. Сто восемьдесят градусов соответствуют π радиан. Несложно выполнить и обратное преобразование.

Мы обсуждали тригонометрические функции в главе 3, поэтому здесь мы сразу перейдем к их интересным свойствам. Теорема Пифагора показывает нам знаменитое соотношение между синусом и косинусом:

(sin θ)2 + (cos θ)2 = 1. (A.23)

Также по теореме Пифагора мы можем определить модуль (длину) вектора с компонентами vi в трехмерном пространстве Евклида:

(A.24)

Тогда скалярное произведение двух векторов мы можем выразить двумя равнозначными способами: через компоненты и при помощи косинуса угла между векторами:

(A.25)

Синус и косинус, что любопытно, являются производными друг друга:

(A.26)

(A.27)

Главное, не перепутать, где ставить минус. Запомнить это несложно: график cos θ начинается с единицы и направлен вниз. Значит, его производная для небольших углов будет отрицательна, что означает – sin θ. Интегралы находятся аналогичным образом. Единственное отличие – минус появляется в другом месте (что и логично, ведь интеграл – обратное действие к взятию производной).

(A.28)

(A.29)

Приложение Б. Связность и кривизна

Обсуждая геометрию (глава 7), мы рассмотрели все понятия, нужные для понимания концепции геодезических линий и уравнения Эйнштейна, не сказав при этом ни слова о том, как вывести их из какой-то произвольной метрики. Заполним пробелы. Представим себя в четырехмерном пространстве-времени и перейдем с латинских букв на греческие. Впрочем, все формулы будут работать и в обычном пространстве, и при любом количестве измерений.

Когда в главе 8 мы выводили уравнение Эйнштейна, нам потребовался скаляр кривизны Риччи, который можно получить при помощи «обратной метрики». Давайте обсудим, что это такое. Для начала введем чрезвычайно полезный тензор – дельту Кронекера, у которой есть один верхний и один нижний индекс. В четырех измерениях он выглядит следующим образом:

(Б.1)

В матричном представлении дельта Кронекера представляет собой единичную матрицу – аналог единицы в стране матриц: при умножении любой матрицы на единичную мы получаем исходную матрицу.

С учетом этого можно представить обратную метрику как тензор, который нужно умножить на исходную метрику, чтобы получить дельту Кронекера. Метрический тензор gµν представляет собой симметричный тензор с двумя нижними индексами, а значит, обратная метрика будет симметричным тензором с двумя верхними и соответствовать следующему условию:

gµλgλν = δµν. (Б.2)

Какое прекрасное зрелище! Взгляните на индексы. В формулах с тензорами они бывают двух типов: немые и свободные. Немые индексы всегда встречаются дважды: один раз вверху и один раз внизу, как λ в выражении (Б.2). Сама буква значения не имеет, важно лишь, чтобы она была и в верхней, и в нижней позиции. (Суммировать только по верхним или только по нижним импульсам нельзя.) Свободные индексы, напротив, встречаются только один раз, как µ и ν в выражении (Б.2). Мы можем выбрать любые буквы, но крайне важно, чтобы они были в каждом слагаемом (то есть произведении элементов тензоров). Именно так происходит в выражении (Б.2): верхний индекс µ и нижний индекс ν – свободные индексы, которые есть и в левой, и в правой части. Попытка сложить тензоры с несовпадающими свободными индексами ни к чему хорошему не приведет.

В обычной геометрии Евклида о метриках ничего не говорится. Но это не значит, что их там нет. Например, мы можем сказать, что скалярное произведение двух трехмерных евклидовых векторов равно . Мы можем записать и саму метрику. В декартовой системе координат она будет выглядеть так:

(Б.3)

Сравнив элементы (трехмерных модификаций) матриц из выражений (Б.1) и (Б.2), получим обратную матрицу, которая будет выглядеть точно так же:

(Б.4)

Именно поэтому можно пройти полный курс геометрии в средней школе, ни разу не услышав слово «метрика». В плоском пространстве и декартовых координатах все элементы метрики, обратной метрики и дельты Кронекера одинаковы.

Однако в общем случае это не так: элементы обратной метрики обычно не совпадают с элементами обычной. Если метрика диагональна, нам повезло (чего не сказать о тех, кому досталась не диагональная): все элементы обратной метрики будут обратны по отношению к элементам обычной. Например, для плоского трехмерного евклидова пространства в сферических координатах метрика равна:

(Б.5)

Обратная метрика в этом случае будет равна:

(Б.6)

В плоском пространстве мы можем, по крайней мере, выбрать декартову систему координат, в которой обычная метрика совпадает с обратной. Но в общем случае такой возможности нет, поэтому метрики важно различать.

Наличие обычной и обратной метрик позволяет нам выполнять две любопытные операции с тензорами: опускание и поднятие индекса. Как можно заметить даже по обозначениям матриц, разница между верхними и нижними индексами принципиальна. Но мы можем опустить верхний индекс, то есть сделать его нижним. Для этого тензор нужно умножить на метрику и просуммировать по этому индексу. Аналогичным образом можно поднять нижний индекс при помощи обратной метрики. Например, если у нас имеется вектор vµ, можно сказать, что:

vμ = gμνvν. (Б.7)

И если обратная метрика соответствует условию (B.2), сначала опустив, а затем подняв индекс любого тензора, мы гарантированно получим исходный тензор (поскольку суммирование по δμν равносильно полному отсутствию каких-либо действий):

g µλvλ = g µλgλνv ν = δ µνv ν = v µ. (Б.8)

Именно эти тензорные операции были нужны нам, чтобы определить скалярную кривизну Риччи в главе 8. У тензора Римана обычно один верхний и три нижних индекса, поэтому несложно «свернуть» один из них (просуммировать по нему) и получить тензор Риччи: Rµν = Rλµλν. Но дальше мы получаем тензор с двумя нижними индексами, который уже невозможно свернуть в скаляр. Однако мы можем поднять один из них при помощи обратной матрицы: Rµν = gµλRλν, после чего приступить к свертке: R = Rλλ или, что то же самое, R = gλσRλσ. Именно этот скаляр и позволил Эйнштейну найти такой тензор, который может быть пропорционален тензору энергии-импульса без нарушения закона сохранения энергии.

Поднятие индексов здорово пригодилось и при определении тензора Римана. В этом процессе нам очень важно описать параллельное перемещение вектора Wµ вдоль параметризованной кривой xµ(λ). (Хотя буква λ и греческая, здесь она служит не индексом, а параметром, который показывает местоположение на траектории.) Иными словами, для каждой точки этой кривой нам нужно определить значение вектора Wµ(λ), при котором выполняется условие параллельного переноса:

(Б.9)

В этой формуле понятны все обозначения, кроме Гμσρ. Это так называемые коэффициенты связности, или же символы Кристоффеля. Внешне они похожи на элементы тензора, но на самом деле не являются ими. (Так как зависят от системы координат не по-тензорски.) Поэтому мы и называем их «коэффициентами» или «символами». Они определяют то, что на практике мы понимаем под связностью на многообразии, данные, которые нам нужны для сравнения векторов и тензоров в точках, находящихся рядом друг с другом. Связность также очень важна в калибровочных теориях в физике частиц.

Чтобы определить коэффициенты связности, нам потребуется еще одно обозначение: на этот раз не какого-то глубокомысленного понятия, а просто для экономии времени. При изучении тензорных полей на многообразиях очень часто приходится брать частные производные по координатам xµ. Настолько часто, что мы придумали для этого удобное обозначение:

(Б.10)

Поняли, в чем тут хитрость? Координата xµ имеет верхний индекс, но при взятии частной производной оказывается в знаменателе. Поэтому в обозначении ∂μ мы используем нижний индекс.

Теперь, разобравшись с обратной метрикой и новым обозначением частичной производной, можно задуматься над формулой коэффициентов связности:

(Б.11)

Пока вы читаете эти строки, где-то на белом свете живут студенты, которые изучают общую теорию относительности, а потому должны вычислять коэффициенты связности по этой формуле. Попробуйте и вы. Возьмите плоскую метрику в сферической системе координат (Б.5): эта задача достаточно сложна, но все же вполне выполнима. Поскольку у Гρμν три индекса, в трех измерениях получится 33 = 27 элементов. Но при диагональной метрике, которая зависит всего от двух координат, многие из них окажутся нулевыми. Просто помните о том, что суммировать нужно по всем индексам.

Коэффициенты связности описывают процесс параллельного переноса, а значит, с их помощью можно определить геодезические линии. Действительно, ведь они представляют собой траектории, на которых возможен параллельный перенос вектора скорости dxµ/dλ. Если подставить этот вектор в выражение (Б.9) вместо Wµ, получим уравнение геодезической линии:

(Б.12)

При помощи формулы (Б.11) мы можем вычислить коэффициенты связности для заданной метрики gµν, а затем использовать их, чтобы найти геодезические линии xµ(λ), а значит, узнать, как движутся сквозь пространство-время реальные физические объекты, от планет до фотонов.

И наконец, еще одно важное применение коэффициентов связности: они позволяют определить тензор кривизны Римана, о котором мы говорили в главе 7. Если когда-нибудь вам придет в голову посчитать его элементы, воспользуйтесь следующей замечательной формулой:

(Б.13)

Конечно, сегодня студенты в здравом уме не вычисляют такие тензоры вручную. Для этого существуют компьютерные программы, которые не делают ошибок. Не то что раньше. Сидишь, бывало, на кухне, перебираешь бумажки, густо исписанные формулами, и думаешь: «Где ж это я умудрился поставить µ вместо ν?» Хорошие были времена.

Рекомендуем прочитать

Квантовые миры и возникновение пространства-времени

Шон Кэрролл

Надеемся, что отсутствие формул в книге не отпугнет потенциальных читателей. Шон Кэрролл – физик-теоретик и один из самых известных в мире популяризаторов науки – заставляет нас по-новому взглянуть на физику. Столкновение с главной загадкой квантовой механики полностью поменяет наши представления о пространстве и времени. Большинство физиков не сознают неприятный факт: их любимая наука находится в кризисе с 1927 года. В квантовой механике с самого начала существовали бросающиеся в глаза пробелы, которые просто игнорировались. Популяризаторы постоянно твердят, что квантовая механика – это что-то странное, недоступное для понимания… Чтобы все встало на свои места, достаточно признать, что во Вселенной мы существуем не в одном экземпляре. Шонов Кэрроллов бесконечно много. Как и каждого из нас. Тысячи раз в секунду во Вселенной возникают все новые и новые наши копии. Каждый раз, когда происходит квантовое событие, мир дублируется, создавая копию, в которой квантовое событие так и не произошло. В квантовой механике нет ничего мистического или необъяснимого. Это просто физика.

Вселенная. Происхождение жизни, смысл нашего существования и огромный космос

Шон Кэрролл

Знаменитый физик Шон Кэрролл в свойственной ему увлекательной манере объясняет принципы, которые лежат в основах научных революций от Дарвина до Эйнштейна, и показывает, как невероятные научные открытия последнего столетия изменили наш мир. Что есть жизнь и смерть, каково наше место в этой Вселенной, как устроен мир на квантовом, космическом и человеческом уровне, как общечеловеческие ценности связаны с наукой? Четырнадцать миллиардов лет минуло с момента Большого взрыва, наблюдаемая область пространства заполнена несколькими сотнями миллиардов галактик, каждая галактика в среднем содержит сто миллиардов звезд. Человек – крошечное, незаметное существо. По сравнению со Вселенной человек еще мельче, чем атом по сравнению с Землей. Мы малы, Вселенная велика, и у нас нет инструкции для ее познания. Тем не менее мы удивительно много узнали о том, как именно устроено все вокруг.

Квантовые миры и возникновение пространства-времени

Ш. Кэрролл

Надеемся, что отсутствие формул в книге не отпугнет потенциальных читателей. Шон Кэрролл – физик-теоретик и один из самых известных в мире популяризаторов науки – заставляет нас по-новому взглянуть на физику. Столкновение с главной загадкой квантовой механики полностью поменяет наши представления о пространстве и времени. Большинство физиков не сознают неприятный факт: их любимая наука находится в кризисе с 1927 года. В квантовой механике с самого начала существовали бросающиеся в глаза пробелы, которые просто игнорировались. Популяризаторы постоянно твердят, что квантовая механика – это что-то странное, недоступное для понимания… Чтобы все встало на свои места, достаточно признать, что во Вселенной мы существуем не в одном экземпляре. Шонов Кэрроллов бесконечно много. Как и каждого из нас. Тысячи раз в секунду во Вселенной возникают все новые и новые наши копии. Каждый раз, когда происходит квантовое событие, мир дублируется, создавая копию, в которой квантовое событие так и не произошло. В квантовой механике нет ничего мистического или необъяснимого. Это просто физика.

История всего. 14 миллиардов лет космической эволюции. 3-е межд. издание

Нил Деграсс Тайсон, Дональд Голдсмит

«В начале всех начал была физика». 14 миллиардов лет. Полет нормальный. А ведь когда-то, сразу после Большого взрыва, Вселенная увеличилась настолько, что достигла размеров грейпфрута. За эти 10(-33) секунды в ее истории прошла целая эпоха. Когда-то во Вселенной было настолько жарко, что в ней еще не могли образоваться звезды, а потом все стало гораздо интереснее. Выйдите ясной ночью на улицу, полюбуйтесь просторами Млечного Пути, а потом прочтите эту книгу и осознайте, что история всего на свете только начинается. У вас в руках увлекательная и завораживающая книга для всех, кто любит смотреть в небо и хочет понимать, что же он там видит. Добро пожаловать во Вселенную (кстати, полотенце не забудьте)! Что же изменилось с момента выхода предыдущего издания книги? Обнаружено более пяти тысяч экзопланет. Появились новые детекторы, способные улавливать гравитационные волны от источников, удаленных на миллиарды световых лет от Земли. Мы по новому взглянули на пять небесных тел, включая Марс, которые считали неинтересными, слишком холодными и маленькими. Построили новые наземные и космические обсерватории. Невозможно в несколько строк вместить все открытия в биологии, астрономии и астрофизике, совершенные в последнее время. Так что база научных знаний, на которой строится наше восприятие Вселенной, обновилась. “Тайсон и Голдсмит – лучших гидов по космическим путешествиям и пожелать нельзя.” – Митио Каку.