Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 18 страниц)

Интегралы

Согласно парадигме Лапласа, можно определить будущее положение объекта по его текущему положению и скорости, а также по данным о других влияющих на него объектах. Зная, какие силы воздействуют на объект, мы можем использовать второй закон Ньютона (2.1) и вычислить ускорение. Скорость определяет изменение положения с течением времени, а ускорение – изменение скорости. Собрав эти сведения воедино, мы можем построить траекторию движения объекта, то есть увидеть, как будут изменяться его положение и скорость.

Вернемся к примеру с машиной, которая движется по прямой с постоянной скоростью. Однако теперь мы рассмотрим график скорости, а не положения (допустим, что мы не знаем его). Это довольно легко, ведь скорость не изменяется.

Когда объект движется с постоянной скоростью v, пройденное им расстояние x равно произведению скорости на время движения: x = vDt. Несложно представить это геометрически: расстояние будет равно площади прямоугольника между прямыми 0 и Dt по горизонтали и 0 и v по вертикали. То есть накопленное значение какой-то величины представляет собой площадь под графиком ее функции.

Теперь возьмем более общий пример, в котором скорость не постоянна. Когда мы говорили о производных, мы увеличили масштаб настолько, что кривая стала казаться прямой. Применим эту же тактику и здесь: аппроксимируем площадь под графиком v(t). Для этого возьмем небольшой промежуток Dt и вычислим площадь прямоугольника от t = 0 до t = Dt (то есть v(0) ⋅ Dt), затем прямоугольника от t = Dt до t = 2Dt и т. д. Сложив все эти площади, мы получим величину, примерно равную площади под кривой. Для этой операции – сложения большого количества величин – используется специальное обозначение: S, то есть заглавная греческая буква сигма.

(2.10)

Волнистый знак равенства означает «приблизительно равно».

Чем меньше будет промежуток Dt, тем тоньше получатся прямоугольники (и тем больше их будет). При этом фигура, которую они составляют, будет все ближе и ближе к области под кривой. Поэтому, как и в случае с производными, в пределе Dt становится бесконечно малой величиной, которую мы обозначим dt. Если заменить символ суммы Σ на другой, напоминающий фигурную букву S, мы получим интеграл скорости по времени, то есть пройденное расстояние:

(2.11)

Аналогичным образом, вычислив интеграл ускорения, можно определить изменение скорости:

(2.12)

Это выражение не совсем точно: для простоты в нем отсутствуют сведения о начальном и конечном моментах времени, то есть о промежутке, в течение которого мы наблюдаем за изменением положения или скорости. Полный вариант формулы можно найти в приложении A.

Если производные – это способ осмыслить деление нуля на ноль, то интегралы – аналогичный способ понять умножение на ноль бесконечности (мы ищем сумму площадей бесконечно большого числа прямоугольников нулевой площади). Эти действия (которые математики называют матемическим анализом) можно выполнить довольно точно, хоть и не все ученые с этим согласны. Не удивительно, что в «Началах» Ньютон не стал активно использовать дифференциальное исчисление, которое было в те времена было новинкой. К счастью, для задач физики оно подходит как нельзя лучше.

Зная, какие силы действуют на объект, мы можем определить его ускорение по закону Ньютона – формуле F = ma. Далее, интегрируя ускорение, мы получаем скорость, а интегрируя скорость – пройденный путь. Таким образом, парадигма Лапласа верна: зная исходное положение и скорость, мы можем построить всю траекторию движения объекта.

Интегрирование и дифференцирование представляют собой противоположные операции над функциями. Взяв производную исходной функции, мы получаем новую функцию, а взяв от нее интеграл, – снова исходную. Таким образом производная отменяет интеграл и наоборот.

(2.13)

То же самое в обозначениях:

(2.14)

На практике брать производные относительно просто, интегралы – намного сложнее. Даже лучшие физики часто прибегают к численным методам и вычисляют нужные значения при помощи компьютеров.

Однако нам не придется подробно знакомиться с тем, как брать интегралы и производные (некоторые примеры можно найти в приложении A). Для нас важны не конкретные формулы, а сами эти понятия. Запомним одно простое правило: интеграл от бесконечно малой величины равен конечной величине:

(2.15)

Это означает, что суммарное количество x, накопленное за промежуток времени, есть изменение x от начала процесса до его завершения. При этом за х может быть принято что угодно: расстояние в космосе, промежуток времени, любая физическая величина, которую мы рассматриваем.

Непрерывность и бесконечность

Со времени Ньютона было открыто немало законов фундаментальных физических систем. Джеймс Клерк Максвелл предложил серию формул для электричества и магнетизма, Альберт Эйнштейн – уравнение кривизны пространства-времени, а Эрвин Шрёдингер – волновой функции квантово-механической системы… Все эти формулы объединяет одно: это дифференциальные уравнения, неизвестными в которых являются функции (временные или пространственные), которые описывают различные явления. По этой причине дифференциальное исчисление занимает в физике центральное место.

Но справедливо ли это? Не зная окончательных формулировок законов физики, мы должны быть открыты для любых предположений. Одно из них состоит в том, что парадигма Лапласа неверна, то есть фундаментальные законы глобальны, а не локальны, то есть не начинаются с какого-то состояния в какой-то момент времени. Следовательно, отталкиваясь от такого состояния, мы не можем судить и о будущих либо прошлых.

Другое предположение – время не непрерывно, то есть имеется некий минимальный промежуток времени, а Вселенная развивается ступенчато, с этим промежутком. Один из плюсов такого подхода в том, что непрерывность (и сестра ее бесконечность) всегда была для людей – математиков и философов – чем-то загадочным, тем, что нельзя увидеть в реальном мире. Однако идея о том, что время дискретно перечеркнет все открытия классической механики и теории относительности, заставит пересмотреть большую часть наших знаний о мире. И хоть, возможно, в конечном итоге так и придется сделать, разумно не слишком спешить со столь радикальными переменами.

Непрерывность времени (либо какой-то другой величины) означает, что между точками, разделенными, на наш взгляд, каким-то конечным расстоянием, лежит бесконечное число других, промежуточных точек. Мы можем проверить это, представив себе линию, изображающую время, которое течет из прошлого в будущее. Поставим на ней две точки и обозначим их t = 0 и t = 1.

На полпути между ними можно поставить еще одну точку: t = 1/2. Однако таким же образом можно поступить и с отрезком между t = 0 и t = 1/2: отметить его середину t = 1/4. Далее мы найдем и отметим точки t = 1/8, 1/16, 1/32… Какой бы отрезок мы ни взяли, у него всегда найдется середина (например, t = 3/4, 7/8, 15/16, 31/32 и так далее между t = 0 и t = 1). То есть между любыми двумя точками на непрерывной прямой будет бесконечно много других точек.

Примечательно то, что количество точек между 0 и 1 так же бесконечно, как и между —∞ и +∞. Это немного странно, ведь мы привыкли считать, что часть множества состоит из меньшего числа элементов, чем все множество целиком. Но бесконечность – нечто особенное. Мы можем изобразить интервал между 0 и 1 в виде следующей функции:

Здесь всем значениям x от —∞ до +∞ однозначно соответствуют значения y от 0 до 1. Построить аналогичную функцию для —∞ и +∞ по оси y нельзя, поскольку между х и y не будет точных и однозначных соответствий.

Можно решить, что все бесконечные величины каким-то непостижимым образом одинаковы. Ведь умножив бесконечность на 2 (или другое число больше 0), мы получим в результате бесконечность. Но разве количество целых чисел равно количеству четных? Нет, все немного сложнее. Георг Кантор, немецкий математик XIX века, доказал, что есть разные степени бесконечности. Согласно теореме Кантора, есть бесконечно много целых чисел и бесконечно много реальных, однако последних больше, чем первых. Открытие вызвало всеобщее неодобрение. Многие математики усомнились в представленных доводах, а современник Кантора Леопольд Кронекер даже назвал его «растлителем молодежи». Сегодня ученые в целом согласны с доказательством теоремы, но все же не склонны считаться с выводами, которые из нее следуют.

Важно ли это все для физики? Может и нет. Мы, люди, – существа ограниченные. На практике ни один из нас не заметит разницы между «бесконечным» и «очень большим» (или «нулевым» и «очень маленьким»). Так что, описывая наш мир, мы можем сами решать, что считать бесконечностью. Тем не менее не следует путать то, что может представить себе человек, и то, что на самом деле существует в природе. Возможно, когда-нибудь кто-то предложит единый, универсальный подход ко всем проблемам непрерывности и бесконечности. На данный момент такого подхода нет.

Три. Динамика

Представьте себе два дерева, растущие на некотором расстоянии друг от друга. Где-нибудь в парке, на совершенно ровном участке. Встаньте возле одного из них и нацельтесь на другое. Зажмурьте глаза и двигайтесь вперед. Если у вас хорошее чувство направления, никто не будет сбивать вас и не окажется на пути, через какое-то время вы дойдете до цели – второго дерева. Открыв глаза и посмотрев на свои следы, вы увидите, что шли по прямой.

Теперь попробуйте действовать по-другому. Возьмите веревку и привяжите один конец к первому дереву, а другой – ко второму. Натяните веревку и посмотрите на результат: получится прямая, проходящая ровно над следами из прошлого опыта.

Это и очевидно, и примечательно. Мы хорошо понимаем, что означает «прямая», но можем построить ее разными способами. Один из них – двигаться, не меняя направления, другой – найти кратчайший путь между начальной и конечной точками. Первый способ соответствует локальной философии в духе парадигмы Лапласа, о которой мы говорили в прошлой главе. Действительно, в каждый момент времени мы делаем что-то, что в конце концов приводит нас к определенному результату. Второй способ глобален, как законы Кеплера: из многих способов расположить веревку между деревьями выбран самый короткий. Оба способа, хоть и разные, дают в итоге одинаковый результат.

Физика работает точно так же. Мы уже говорили про идею Лапласа: данные о состоянии системы на какой-то момент времени позволяют нам шаг за шагом проследить за ее развитием в будущем. Но тот же результат можно получить совсем по-другому, исходя из совсем иного набора фундаментальных понятий. Поэтому возникает вопрос: какой из способов лучше, более эффективен? Если результат все равно один, возможно, нет разницы, как его получить. Мы не знаем окончательных формулировок законов физики, а потому одна из дорог может оказаться менее петляющей. Как однажды сказал Ричард Фейнман, одну и ту же мысль можно выразить по-разному, но «на пути в неизвестность все способы будут идентичны с психологической точки зрения».

В прошлой главе мы говорили об «изменении» в целом как исключительно общем понятии. В этой главе мы обсудим динамику, то есть изменения, подчиняющиеся формулам физики. Мы рассмотрим свойства некоторых физических систем и что говорит о них классическая механика. Размышляя о кинетической и потенциальной энергии, мы сделаем интересные выводы о динамике разных объектов. В итоге мы заново сформулируем законы механики, посмотрим на них более глобально, с учетом истории системы в целом, сквозь призму того, что сейчас называется «принципом наименьшего действия».

Важные сведения о движении

Рассмотрим парадигму Лапласа чуть более систематично. Чтобы не усложнять, представим себе частицу, которая движется в трехмерном пространстве. Состояние такой системы определяется положением (вектором ) и скоростью, которая представляет собой производную положения по времени, . Таким образом, мы получаем шесть чисел: три для положения и три для скорости.

Порядок действий таков. Мы говорим о какой-то конкретной системе, к примеру, о «шаре, катящемся с холма» или «планете, вращающейся вокруг Солнца». У нас есть данные об этой системе, известные на момент времени t0. Анализируя ситуацию, мы можем определить результирующую силу , которая действует на объект, например силу тяготения, с которой Солнце притягивает планету. Далее по второму закону Ньютона находим ускорение и узнаем в результате не только исходные данные , но и как быстро они изменяются:

Теперь при помощи дифференциального исчисления мы в состоянии построить траекторию движения объекта .

Это на удивление гибкий алгоритм. Мы много говорим о частицах, но классическая механика – наука значительно более общая. Возьмем некий пространственный объект: твердое, жидкое или газообразное тело, и поглядим на него макроскопически, как на единое целое, а не набор атомов. Мы можем сказать, что любой бесконечно малый кусок, «элемент объема» этого тела dV находится под действием внешних сил: гравитационных, электрических или каких-то иных. Но это не всё. На этот элемент объема будут воздействовать и другие такие же элементы, которые находятся рядом с ним. Если мы знаем положение и скорость рассматриваемого элемента, а также действующие на него силы, законы Ньютона подскажут нам траекторию его движения. Тогда благодаря дифференциальному исчислению мы сможем вывести уравнения для системы в целом, то есть сложить воедино все элементы объема.

Чтобы построить траекторию, нам важно знать входные данные: положение и скорость объекта. Не менее важно, что никакие другие сведения для этого не требуются. Например, ускорение мы получим при помощи закона Ньютона, исходя из строения системы. При этом скорость – производная положения, а ускорение – производная скорости, или, как говорят, вторая производная положения:

(3.1)

Вспомните: говоря об обозначениях, мы отметили, что d – это не переменная, а часть оператора. Запись d/dt означает производную по времени. Чтобы взять вторую производную, то есть производную производной, мы должны использовать оператор d/dt дважды. Поэтому в формулах мы будем писать d2/dt2.

Мы можем взять производные и других, более высоких порядков. У них даже есть свои, несколько экзотические названия:

• Скорость = первая производная положения (по времени).

• Ускорение = производная скорости = вторая производная положения.

• Рывок = производная ускорения = третья производная положения.

• Скачок = производная рывка = четвертая производная положения.

• Прыжок = производная скачка = пятая производная положения.

• Толчок = производная прыжка = шестая производная положения.

Эти термины иногда применяются в инженерном деле (хотя гораздо чаще – в спорте), но физики редко используют их. В большинстве случаев они просто не нужны: если известны скорость и положение, можно найти ускорение, и все.

Относительность Галилея

Теперь мы можем сделать один очень важный вывод. Тот факт, что нам нужно знать скорость и положение объекта, говорит о том, что во вселенной нет предпочтительной скорости или положения, то есть состояния, которое можно считать каким-то особенным, отличным от всех иных. По крайней мере с точки зрения законов физики. Они работают везде, независимо от положения, и это легко проверить: достаточно провести один и тот же опыт, к примеру, в Англии и Германии. Результат будет одинаков. Некоторые величины зависят от условий на месте измерения: например, скорость звука зависит от атмосферного давления, а гравитационное ускорение – от высоты над уровнем моря. Поэтому, измеряя их, мы можем получить разные значения. Но сами законы физики – второй закон Ньютона, закон всемирного тяготения и другие – справедливы в любой стране. Они не считают, что где-то в пределах вселенной есть место, где можно сделать из них исключение.

Немного сложнее обстоит дело со скоростью. Строго говоря, скорость любого объекта всегда измеряется относительно других объектов. Если у нас есть два тела, а расстояние между ними известно, их скорость относительно друг друга равна производной этого расстояния по времени. Нельзя говорить о скорости (или состоянии покоя) какого-то обособленного объекта. В обычной жизни эта особенность мира скрыта от нас, поскольку мы никогда не отдаляемся от привычного нам ориентира: земли, относительно которой мы измеряем скорости окружающих нас объектов. Однако любой пилот подтвердит, что скорости относительно земли и воздуха не совпадают.

Представьте себя на космическом корабле, который летит с выключенным двигателем, то есть без ускорения. Глядя в иллюминатор (или через какой-то наблюдательный прибор), вам не удастся определить, как быстро вы движетесь, поскольку скорость нельзя измерить саму по себе, без какого-то ориентира. Поэтому во вселенной нет никаких предпочтительных скоростей или положений.

Отсутствие предпочтительного состояния покоя с точки зрения законов физики впервые отметил Галилей (который, конечно, не помышлял о космических кораблях, но многое знал о морских). В то время он отстаивал теорию о том, что Земля вращается. Его противники (считавшие, что Солнце вращается вокруг Земли) говорили, что непременно заметили бы вращение, ведь скорость поверхности планеты добавлялась бы к скоростям любых объектов на ней. Галилей отвечал, что важно лишь относительное движение. Например, если сбросить с верхушки мачты пушечное ядро, то с точки зрения матроса оно упадет вертикально, с какой бы скоростью ни шел корабль относительно моря.

Термин «относительное движение» напоминает нам о теории относительности, и это неспроста. Отсутствие предпочтительного положения или состояния известно как принцип относительности, который Галилей предложил задолго до рождения Эйнштейна. Механика Ньютона основана на относительности Галилея, которая допускает, что два объекта могут двигаться друг относительно друга с любой скоростью. В современной физике используется относительность Лоренца (по имени голландского физика Хенрика Антона Лоренца), которая вводит верхний предел относительной скорости, равный скорости света.

Обратите внимание: мы отрицаем существование предпочтительных положений и скоростей, но не ускорений. Это связано с тем, что предпочтительное ускорение существует и равно нулю. При полном отсутствии ускорения объект движется по особой траектории, которая называется инерциальной. Человек на космическом корабле не чувствует его скорость, но может ощутить ускорение: разгоняясь, корабль будет подталкивать человека в определенную сторону.

Шар на холме

Согласно философии сферической коровы, в физике нет ничего полезнее, чем построение простых идеализированных моделей (которые ученые любят называть «игрушечными»), приблизительно отражающих реальные сложные системы. Анализируя такие модели, можно углубить и расширить интуитивные представления о порядке вещей, добиться его понимания.

Одна из самых распространенных и полезных игрушечных моделей – шар, катящийся по холмистой местности. В главе 1 мы уже рассматривали ее, рассуждая о кинетической и потенциальной энергии. Сложно переоценить полезность этой модели, ведь все, что мы можем понять о шарах на холме, можно применить к квантовым полям и стандартной модели из физики частиц.

Увидеть катящийся с холма шар можно и в реальной жизни. Но то, о чем мы будем говорить, – лишь идеализированная модель. В большинстве случаев в ней нет ни сопротивления воздуха, ни трения, ни других явлений, из-за которых рассеивается энергия. Учесть все это не так уж трудно, однако нам важно начать с простых случаев, чтобы понять суть, а уже затем вносить усложнения. Помимо потенциальной и кинетической энергии реальный шар имеет также энергию вращения, но мы ею также пренебрежем. Наш шар будет идеально ровной частицей, при движении которой сумма потенциальной и кинетической энергий полностью сохраняется.

По правилам классической механики нам нужно задать положение и скорость шара, вычислить равнодействующую сил, воздействующих на него, и определить ускорение. Мы будем думать, что шар всегда остается на поверхности холма, не подпрыгивает над ней и не погружается в нее. Для простоты мы также договоримся о том, что движение происходит только в одном направлении x. На самом деле шар перемещается и во втором направлении: по высоте, однако она определяется рельефом местности, h(x) (поскольку шар не отрывается от земли).

Равнодействующая сила является суммой двух сил: направленной вниз силы тяжести и силы реакции земли – нормальной силы. Такое название она получила не потому, что ее воздействие – норма, а потому, что направлена строго по нормали к поверхности, то есть всегда перпендикулярна ей.

Рассмотрим простейший случай из всех, что можно представить: шар находится на ровной земле, то есть высота h(x) для всех значений x одинакова. Сила тяжести направлена вниз, а нормальная сила – по нормали к поверхности, то есть вверх. Поэтому равнодействующая этих сил также будет вертикальна. Более того, понятно, что она равна нулю, поскольку шар не взлетает с поверхности и не погружается в нее. Другими словами, сила тяжести и нормальная сила равны и противоположно направлены, их сумма равна нулю, а значит, ускорение отсутствует. Поэтому с какой бы начальной скоростью ни двигался шар, он будет сохранять ее и не изменит направление движения.

Если поверхность имеет наклон, модель становится интереснее. Сила тяжести, как и раньше, направлена вниз, но нормальная сила не будет вертикальной. Поэтому и сумма двух сил не будет нулевой: она, а значит и ускорение, будет направлена «вниз с холма». Если в начале эксперимента шар не двигался, он покатится к подножию. Если же он уже двигался вниз, скорость его увеличится, а если вверх – уменьшится.

Движущийся шар обладает потенциальной и кинетической энергией. Потенциальная энергия равна

(3.2)

где m – масса шара, d ≈ 9,8 метра в секунду за секунду – ускорение свободного падения, а h(x) – высота холма в точке x. Такая запись может немного смутить тех, кто привык всегда писать знак умножения. И все же m и g здесь константы, а h(x) – функция, которая для каждого значения x дает определенное значение h. Мы просто перемножаем эти три числа и получаем потенциальную энергию. В данном случае мы обозначим ее за V, хотя иногда применяются и другие буквы. Поскольку нас интересует энергия, а не высота холма, часто используют термин «потенциал» V(x).

Обычно, чтобы определить, как будет двигаться шар, мы применяем второй закон Ньютона, . Однако формула потенциальной энергии дает нам возможность взглянуть на шар чуть по-иному. Реальный шар движется в вертикальном и горизонтальном направлениях, повторяя рельеф поверхности, так что, как мы уже говорили, нам нужно сложить векторы сил и найти равнодействующую. Но так как наш шар не отрывается от земли, достаточно определить лишь горизонтальное перемещение: положение по вертикали и так известно.

Итак, нам нужно подумать об ускорении в направлении x. Оно вызвано силой, которая действует в этом же направлении. Понятно, что эта сила связана с углом наклона поверхности, то есть толкает шар вниз тем интенсивнее, чем круче склон. С точки зрения дифференциального исчисления, сила в направлении x равна отрицательному значению производной потенциала по положению:

(3.3)

Буква x в обозначении силы напоминает о том, что она действует горизонтально. Наличие знака «минус» легко объясняется тем, что когда высота холма при движении вправо увеличивается (производная dV/dx имеет положительное значение), сила будет побуждать шар двигаться влево, то есть в отрицательном направлении по x.