Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 18 страниц)

Планеты и силы

На пути к пониманию парадигмы Лапласа как способа описания изменений полезно подумать и о других способах. Рассмотрим, к примеру, движение планет Солнечной системы – вопрос, с давних пор волновавший и вдохновлявший физиков.

Многие знают о Птолемее и Копернике. Птолемей, астроном из Александрии, еще во II веке придумал геоцентрическую модель Солнечной системы (где центром мира является Земля). Эта модель была актуальной более тысячи лет. В XVI веке польский астроном Коперник придумал другой вариант – гелиоцентрическую модель (центр – Солнце), чем сильно расстроил многих из тех, кто с радостью считал себя жителем центра Вселенной. Обе модели строились на окружностях. Но чтобы описать орбиты, используя только окружности, и получить результат, похожий на то, что астрономы реально видели в небе, модель пришлось до ужаса усложнить. Во-первых, окружности орбит оказались смещенными относительно общего центра. Во-вторых, по этим окружностям двигались не планеты, а небольшие круги-эпициклы, точнее их центры. И вот по ним уже двигались сами планеты.

В XVII веке все стало намного проще. Немецкий астроном Иоганн Кеплер, как и Коперник, поставил в центр солнечной системы Солнце. Однако ученый знал, что помимо круга, при всех его достоинствах, есть и другие геометрические фигуры. Решительно выбрав эллипс, он полностью устранил эпициклы, а заодно и все усложнения, связанные с ними. Используя данные, по крупицам собранные его наставником Тихо Браге, Кеплер выдвинул три закона, которым подчинено движение планет:

1. Планеты движутся по эллиптическим орбитам, а Солнце находится в одном из их фокусов.

2. Двигаясь по орбите, планета проходит равные сектора за равное время. Поэтому рядом с Солнцем скорость движения выше, чем вдали от него.

3. Чем больше орбита, тем больше времени требуется на оборот вокруг Солнца. Если точнее, квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси эллипса ее орбиты. Именно так связаны друг с другом орбиты разных планет.

Законы Кеплера значительно приблизили ученых к пониманию динамики планет. Однако возник и новый вопрос: почему орбиты подчиняются этим законам? Стоит ли вообще думать об этом?

В конце XVII века, на заре Эпохи Разума, эти вопросы волновали лучших ученых нашего мира. Вдохновленные работами Галилея и Декарта, натурфилософы сосредоточились на механике – науке о движении, его причинах. Было известно, что прямолинейное движение с постоянной скоростью является естественным состоянием объекта, а его импульс всегда сохраняется. Но нужно было понять, почему тела не всегда движутся по прямой. Казалось, ответ очевиден: на них воздействуют некие силы. Но что такое сила и как она действует – оставалось неясным. По сути ученые вернулись к концепции Аристотеля о вынужденных или же неестественных движениях. Изменилось лишь мнение о том, что считать естественным состоянием: движение с постоянной скоростью пришло на смену неподвижности.

Важный шаг вперед сделал голландский физик Христиан Гюйгенс. Проведем простой опыт: привяжем к камню веревку и будем крутить его над головой. Чтобы камень не улетел, а описывал круги, придется крепко держать веревку. Гюйгенс нашел формулу для расчета «центростремительной силы», которую нам нужно приложить. (Еще он предложил волновую теорию света, изобрел маятниковые часы и открыл спутник Сатурна Титан. Бурное было время.) Конечно, веревка и камень лишь отдаленно показывают движение планет, но общее сходство имеется.

В 1660 году в Англии появилось Королевское общество, и вскоре в его состав вошли экспериментатор Роберт Гук, архитектор Кристофер Рен и молодой астроном Эдмунд Галлей, которые впоследствии стали друзьями. В одной из прочитанных обществу лекций Гук заявил, что движение планет можно объяснить силой тяготения Солнца, которая уменьшается с расстоянием и отклоняет планеты от прямолинейных траекторий. Однако Гук не был знатоком математики и не смог довести свою идею до ума. Вместе с Галлеем и Реном Гук много времени проводил в кофейнях (популярное новшество того времени) за обсуждением этих вопросов. К 1684 году друзья поняли, что третий закон Кеплера можно выразить с помощью формулы центростремительной силы Гюйгенса, если принять, что сила тяготения Солнца подчиняется закону обратных квадратов. Например, если одна планета в три раза дальше другой от Солнца, то воздействующая на нее сила будет в девять раз меньше той, что воздействует на вторую планету. Однако Гук и компания не смогли доказать, что орбиты планет под таким воздействием будут иметь форму эллипса.

Ньютон и его законы

Рен хорошо потрудился, проектируя собор Святого Павла и ряд других зданий, и был, возможно, самым богатым из трех друзей. Он предложил награду тому, кто сможет вывести формулу орбиты с учетом закона обратных квадратов. Уже в то время все знали, что самый умный на земле – Исаак Ньютон, который жил тогда в Кембридже и сторонился больших компаний. Однажды Галлей набрался смелости и приехал к нему. Ньютон принял Галлея любезно, и тот завел разговор об орбитах и гравитации. Ньютон сразу же заявил, что получится эллипс. Несколько ошеломленный Галлей спросил, почему он так в этом уверен. Ньютон ответил: «Я его вычислил».

Увы, мы не знаем, как именно он это сделал. Известно лишь, что Галлей попросил Ньютона изложить расчет на бумаге, после чего написал небольшую статью и представил ее Королевскому обществу. Однако статья оказалась не слишком подробной, и Галлей вновь обратился к великому физику с просьбой расширить ее. Ньютон с энтузиазмом начал работу. Восемнадцать месяцев спустя он создал «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), сокращенно – «Начала», книгу, что оказала, быть может, самое большое влияние на развитие современной науки.

В «Началах» описывалась новая система классической механики, которая считалась неоспоримой в течение трех веков. Помимо этого автор предложил закон всемирного тяготения, вывел законы Кеплера из базовых принципов, а также представил первые азы того, что сейчас известно как дифференциальное исчисление. Ньютон далеко продвинулся в этом вопросе, но опасался, что новые методы еще недостаточно совершенны и вызовут возражения. Поэтому он не решился в полную силу использовать их в «Началах». Независимо от него к похожим идеям пришел Лейбниц. Именно его обозначения используются в современной математике. Ньютон много и горячо спорил с Лейбницем по этому поводу, а с Гуком о законе обратных квадратов – Ньютон вообще любил много и горячо спорить.

Классическая механика – это не просто теория о каком-то определенном физическом явлении. Это система, всестороннее описание устройства нашего мира, которое до прихода квантовой физики принимали за истину практически все ученые. Мы говорили о том, как множество очень умных людей веками пытались понять, что такое импульс, сила и движение. Ньютон, тщательно все осмыслив, показал то, что представлялось в ту пору верным ответом. Как сказал знаменитый космолог Рокки Колб (Rocky Kolb): «Чтобы сравниться с Ньютоном, братьям Райт пришлось бы не просто построить первый в мире самолет, а сделать что-то похожее на современный лайнер и полететь на нем из Калифорнии прямо в Нью-Йорк».[5]5
  Рокки Колб. «Blind watchers of the sky. The people and Ideas That Shaped Our View of the Universe» (Basic Books, 1997), с. 134.


[Закрыть]

Так что же на самом деле сказал Ньютон? Погружение в классическую механику ждет нас в следующей главе. Пока же добавим к движению планет еще два важных понятия.

Первое из них – ускорение. Если объект в своем естественном состоянии движется по прямой с постоянной скоростью, ускорение служит мерой отклонения от этого состояния, то есть показывает, как изменяется скорость объекта. Как и скорость, ускорение представляет собой вектор, так как имеет определенное направление. Согласно второму закону Ньютона, самой известной формуле классической механики, ускорение пропорционально результирующей действующих на объект сил. Коэффициентом пропорциональности служит масса объекта:

(2.1)

Первый закон Ньютона утверждает, что в отсутствие внешних сил скорость объекта остается неизменной, а третий – что тела воздействуют друг на друга с равными силами, которые направлены в противоположные стороны. Чаще всего на объект действует сразу несколько сил, поэтому мы можем сложить их и получить единую, равнодействующую силу, которая и определяет ускорение. (Поскольку вектор – это длина и направление, две большие, но действующие друг против друга силы в сумме дадут очень маленькую.) Разделив обе части уравнения (2.1) на m, получим формулу для расчета ускорения: .

Второе понятие – закон всемирного тяготения – не что иное, как окончательный вариант закона обратных квадратов, о котором говорили Гук и его друзья. Заслуга Ньютона в том, что новый закон полностью универсален: он объясняет и движение планет, и падение яблок на землю. Для нас эти вещи кажутся очевидными, но в те времена отыскать связь между космосом и фруктовым садом было огромным шагом вперед.

Рассмотрим два небесных объекта с массами m1 и m2, удаленные друг от друга на расстояние r. Примем за «единичный вектор» длиной 1 (неважно, в каких единицах), направленный от объекта 2 к объекту 1. Ньютон говорит, что сила притяжения объекта 1, воздействующая на объект 2, будет равна

(2.2)

Число G – гравитационная постоянная, которая определяет величину силы тяготения. С точки зрения объекта 2 объект 1 является источником гравитации – физического свойства, создающего силу, – и наоборот.

Это уравнение немного сложнее предыдущих, но если сесть и подумать о нем, мы снова увидим пропорциональность двух векторов: силы , с которой объект 1 воздействует на объект 2, и единичного вектора , который направлен от объекта 2 к объекту 1. Сложный вид уравнения объясняется тем, что коэффициент пропорциональности представляет собой произведение гравитационной постоянной, двух масс и обратного квадрата расстояния. В результате мы можем точно определить, как сильно Солнце воздействует на планеты: чем ближе к нему, тем сильнее.

При помощи двух простых правил – второго закона (2.1) и закона всемирного тяготения (2.2) – Ньютону удалось воспроизвести все законы Кеплера. Более того, он показал, что сила тяготения сферического объекта в точности равна силе тяготения точки, обладающей такой же массой и расположенной в его центре. Поэтому, если мы принимаем модель, в которой планеты и Солнце – большие шары, мы с тем же успехом можем считать их точками. Кроме того, можно усложнить эту модель: рассматривать не обособленные пары из Солнца и одной планеты, а целиком всю Солнечную систему. Благодаря законам Ньютона мы можем понять, как на движение других планет влияет, к примеру, Юпитер (самая большая планета). Именно так небесная механика стала столь точной наукой, что позволяет нам отправлять на Луну ракеты.

Локальный подход

Мы не будем подробно рассматривать законы Кеплера в интерпретации Ньютона, лишь подчеркнем философские различия между двумя подходами к динамике планет (а значит, и к физике в целом). Кеплер говорит, что планеты движутся по эллипсам, делает предположения о скорости движения. Это глобальное утверждение, которое описывает орбиту в целом. Чтобы проверить его, нужно дождаться, когда планета сделает оборот вокруг Солнца, а затем проанализировать собранные данные.

Делая те же выводы, что и Кеплер, Ньютон идет совершенно иным путем. Он принимает за отправную точку какой-то конкретный, локальный момент времени и данные о планете, известные на этот момент: скорость, местоположение, действующие силы. Посредством второго закона он вычисляет ускорение, а затем экстраполирует результаты, чтобы понять, что будет с планетой в будущем.

Парадигма Лапласа в действии. Впервые предложенная Ньютоном, получившая философское осмысление в трудах Лапласа и развитая в дальнейшем другими учеными, в том числе Гамильтоном, она утверждает, что весь объем данных, необходимых, чтобы понять дальнейшее либо прошлое развитие системы, содержится в любом произвольно выбранном ее состоянии. В простой системе (как, например, планеты и Солнце) состояние можно описать положением и скоростью каждого из ее элементов. Вы можете возразить: нужны еще силы, которые воздействуют на планеты. Это действительно так. Но силы определяются скоростью и положением других элементов системы. И если у нас эти данные есть, мы готовы к работе.

Чтобы справиться с этой задачей, нужно решить два важных вопроса. Во-первых, мы говорим о скорости изменения различных величин. Скорость движения показывает, как быстро меняется положение в пространстве, ускорение – как быстро меняется скорость. Как выразить эти понятия в числах? Когда объект движется из одной точки в другую, мы можем определить его среднюю скорость: достаточно разделить пройденное расстояние на проведенное в пути время. Чтобы узнать мгновенную скорость в какой-то точке пути, этого недостаточно. Тут нужно действовать более умно.

Во-вторых, мы хотим воссоздать проделанный путь, то есть определить суммарно пройденное расстояние по известным начальным данным о положении, скорости и ускорении. В самом простом случае, когда объект движется строго с постоянной скоростью, нужно умножить скорость на время движения. Но если во время пути объект ускоряется или же замедляется, делает повороты, этого недостаточно. Здесь также нужно крепко подумать.

Дифференциальное исчисление как раз и дает ответ на вопрос о том, как найти мгновенную скорость и расстояние, пройденное за промежуток времени. Для этого нам нужны производные и интегралы, как называют их математики. Что же, пора засучить рукава.

Функции

Представим себе машину, которая мчится по прямому шоссе. Ее скорость и ускорение представлены векторами, но так как движение прямолинейно, оба они будут направлены в одну сторону, а значит, мы можем представить их числами (положительными либо отрицательными). Также представим себе, что в машине имеется точный одометр, которые отслеживает и регистрирует ее положение в каждый момент времени.

С математической точки зрения мы получили функцию, которая определяет положение машины x в зависимости от времени t. Функция устанавливает соответствие между двумя величинами. Мы можем взять одну из них, пропустить ее через функцию и получить другую. При этом величины могут быть выражены числами, множествами чисел или чем-нибудь более сложным. Входная величина называется аргументом функции, а выходное значение соответствует этому аргументу.

Функция: аргумент → значение

f: t → x.

Функцию, которая показывает зависимость х от t, можно записать как х = f(t) или, для краткости, просто х(t). Мы можем использовать любые буквы, главное – не забыть, что они означают. Если мы примем за x и y координаты на местности, мы можем выразить высоту рельефа в любой его точке как функцию h(x, y). То есть величина x в каких-то случаях может быть входным значением функции (аргументом), а в других – выходным.

В случае с машиной аргументом будет время t, а функция х(t) – возвращать координату x в соответствующий момент времени. Мы можем нарисовать ее график. Возможно, вам уже знакомы некоторые типовые функции вроде t2 или sin(t). Идея тут в том, что что функция устанавливает однозначное соответствие между значениями t и x, даже если его нельзя записать какой-то простой формулой.

Под «однозначным соответствием» мы понимаем, что каждому значению аргумента противопоставлено одно и только одно выходное значение. Значения могут повторяться: машина может несколько раз проехать какое-то место на дороге, однако в каждый момент времени t она будет только в какой-то одной точке x. График функции может изгибаться вверх и вниз, но не петлять влево или вправо.

Производные

Имея функцию x(t), то есть зависимость положения от времени, мы можем задаться вопросом, какова скорость машины в тот или иной момент. Мы знаем, что скорость показывает, насколько быстро меняется положение. Но как ее вычислить, зная x(t)? Для этого нам недостаточно знать, где машина сейчас: нужно учесть, где она была в другие моменты времени.

Посмотрев на график функции, можно интуитивно понять, что скорость машины связана с наклоном кривой в каждой ее точке: чем круче она изогнута вверх или вниз, тем выше скорость. Почти горизонтальный участок графика показывает, что с течением времени положение машины изменяется медленно, то есть скорость очень мала. Крутой участок, напротив, говорит о быстром перемещении, то есть высокой скорости.

Представим себе прямую линию, которая касается кривой x(t) в какой-то момент времени t0. Она называется касательной линией в этой точке. Скорость машины в момент t0 будет равна углу наклона такой касательной. Нам нужно предложить систематический подход к определению и вычислению угла наклона касательной в зависимости от времени.

Это довольно просто, когда машина едет с постоянной скоростью, то есть график функции представляет собой прямую, как на следующем рисунке. Ее наклон, а значит, и скорость вычислить очень легко: достаточно разделить изменение положения на время, в течение которого оно менялось. Обозначим изменение положения за Dx, а промежуток времени – за Dt. Заглавная греческая буква дельта (D) часто используется, чтобы показать изменение какой-то величины. (При этом обозначение Dx представляет собой цифру, изменение x, а не произведение какой-то величины D на x.) Соответственно, скорость составит:

(2.3)

Настало время поговорить об одном из базовых понятий дифференциального исчисления. Если функция относительно плавная, то есть не скачет как попало от значения к значению, на очень коротких отрезках она будет похожа на прямую. Чем больше мы будем увеличивать масштаб, тем более прямолинейной она будет казаться.

И это подсказывает нам, что делать. Возьмем какой-то момент времени t, в который мы хотим посчитать скорость, а также промежуток Dt, конечным моментом которого будет t + Dt. Используя нашу функцию, мы можем определить два положения машины: начальное x(t) и конечное x(t + Dt), а значит, изменение положения за Dt:

(2.4)

Если график функции криволинеен, деление суммарного изменения положения на промежуток времени даст нам среднюю скорость за это время:

(2.5)

Это выражение похоже на (2.3), но, в отличие от него, дает не скорость равномерного движения, а среднюю скорость за некоторый промежуток времени:

Но это не совсем то, что мы ищем: нам нужно вычислить скорость в каждый момент времени. Возможно, вы уже поняли, к чему я веду. Рассмотренный нами промежуток Dt взят совершенно произвольным образом. Мы можем выбрать любой. Давайте его уменьшим. Чем меньше будет Dt, тем меньше получится Dx. По мере того как Dx и Dt будут стремиться к нулю, их частное Dx/Dt будет стремиться к некому числу, отличному от нуля, а фактически – именно к тому, что мы ищем: углу наклона касательной к графику функции в начальный момент времени.

Только что описанные действия называются взятием предела при стремящемся к нулю Dt. Ноль, деленный на ноль, – это не какое-то число. Математически говоря, это значение не определено. Однако если мы возьмем предел (lim) стремящихся к нулю Dt и Dx, их частное даст нам скорость v – определенное значение. Такой предел называется производной функции x(t) и записывается следующим образом:

Вот и все. Мы разобрались с тем, что такое производная: это угол наклона кривой в некоторой точке, которую мы получаем как предел последовательности линий, постепенно приближающихся к касательной в этой точке. Мы рассмотрели пример зависимости x от t, и в данном случае производная представляет собой скорость. Однако понятие производной универсально. К примеру, ускорение – это производная скорости по времени:

(2.7)

Скорость измеряется в метрах в секунду, а ускорение – в метрах в секунду за секунду, то есть показывает, как быстро изменяется скорость. Ускорение объекта, свободно падающего на землю под действием силы тяжести, составляет примерно 9,8 метра в секунду за секунду (сокращенно – м/c2).

Если рассматривать некую функцию, зависимость от t, то есть f(t), ее производной будет df/dt. Мы всегда можем найти производную функции по переменной, зависимость от которой она определяет. При этом не важно, как именно обозначена переменная: мы можем выбрать любую удобную и понятную нам букву. Традиционно время обозначается буквой t, а расстояние буквой x, но этот выбор всегда остается за нами.

Значения dx и dt называются бесконечно малыми величинами. Мы как бы делим их друг на друга и получаем v. Но все не так просто. Будь они числами, мы бы фактически делили ноль на ноль, а это запрещено. Поэтому dx и dt следует понимать как обозначения, показывающие бесконечное приближение к нулю величин Dx и Dt. Их частное будет вполне определенным числом. Что тут можно сказать? Математики приложили немало усилий, чтобы придать этому смысл. Физики, со своей стороны, подходят к вопросу практически: работает – и отлично, можно переходить к следующей проблеме.

Сейчас вас, скорее всего, беспокоят два вопроса. Во-первых, мы пока что не сделали ничего сложного: порассуждали об углах наклона касательных линий и дали определение производной. А где же сложности высшей математики, которыми всех так часто пугают? Во-вторых, непонятно, что делать с этим определением. Оно довольно абстрактно. Как применять его в жизни: к реальным функциям или же показаниям одометра? Нам снова придется маяться с приращениями и пределами?

Два эти вопроса связаны и, в общем-то, исключают друг друга. Серьезно взявшись за дифференциальное исчисление, мы погрузились бы в мир утомительных, но достаточно четких правил дифференцирования, которые позволяют найти производную любой функции. Рассмотрим, к примеру, простую функцию f(x) = ax + b, где a и b – постоянные параметры (обычно называемые константами)[6]6
  В данном случае аргументом функции является x, а f(x) – ее значение. Знак равенства не говорит о присвоении значений, хотя мы можем записать, к примеру, что y = f(x). При построении графика функции x будет откладываться по горизонтальной оси, а f(x) – по вертикальной.


[Закрыть]. Такая функция называется линейной, поскольку ее график представляет собой прямую.

Чтобы найти производную этой функции, достаточно просто подумать. Константа b не влияет на наклон прямой, а значит, мы можем ее не учитывать. Константа a, напротив, и есть этот уклон, ведь если x изменится на Dx, f(x) изменится на aDx, то есть Df(x)/Dx = a, какое значение x мы бы ни взяли. Поэтому

(2.8)

Производная линейной функции – константа, равная множителю при x в исходном уравнении.

Увы, наклон большинства функций не постоянен, а изменяется от точки к точке. Поэтому их производные будут сложнее. К примеру, производная параболической функции f(x) = x2 такова:

(2.9)

На следующем рисунке мы видим график функции f(x) = x2, а также углы наклона касательных в точках x = –2, –1, 0, 1, 2. При отрицательных x уклон параболы отрицательный, при положительных x – положительный.

Аналогичные формулы имеются для многих других случаев: любых степеней и корней x, логарифмов, синусов и косинусов, произведений функций и т. д. Некоторые примеры приведены в приложении A.

Множество формул и правил, которые нужно понять и запомнить, делают высшую математику скучной и сложной для изучения. Она приносит огромную пользу ученым, но наша цель – понять, как устроен мир. Тем, кто не метит в академики, достаточно взять от физики только самое интересное. Дифференцирование позволяет определить наклон кривой, то есть, к примеру, узнать скорость машины по ее перемещению с течением времени. Этого нам достаточно, чтобы двигаться дальше.