Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 12 (всего у книги 18 страниц)

Взгляд снаружи и взгляд изнутри

Впервые о неевклидовой геометрии заговорили только в начале XIX века, через две тысячи лет после Евклида. Основные идеи гиперболической геометрии независимо друг от друга высказали Николай Иванович Лобачевский в России и Янош Бойяи в Венгрии. Может показаться странным, что гиперболическая геометрия появилась раньше сферической и что на это потребовалось столько времени. Неужели так сложно нарисовать геометрические фигуры на сфере?

Обе странности частично объясняют друг друга. Конечно, все знали о сферах, рисовали на них окружности и углы. Однако никто не думал о том, что нужно изобретать для этого целую новую геометрию. Двухмерная сферическая поверхность как совокупность всех точек, удаленных от центра на расстояние R, считалась органичной частью трехмерной геометрии Евклида, которая превосходно описывала все свойства сферы.

Другое дело поверхности с отрицательной кривизной. Мы, конечно, можем представить себе седло или чипс, но при ближайшем рассмотрении окажется, что у таких объектов из реального мира кривизна хоть и отрицательна, но не постоянна. Есть центральная точка, по мере удаления от которой кривизна постепенно снижается. И как бы ни был умен математик, нельзя органично встроить двумерное пространство с постоянной отрицательной кривизной в трехмерное пространство Евклида.

Вот почему гиперболическая геометрия стала поистине впечатляющим достижением интеллекта. Мы можем записать набор аксиом, определяющих геометрические свойства двумерного пространства с постоянной отрицательной кривизной, которое иногда называют гиперболической плоскостью (в отличие от «плоской» плоскости Евклида). В рамках этой системы мы можем доказывать теоремы, выводить формулы длины окружности и площади круга, искать ответы на любые другие геометрические задачи. Но мы не можем построить такое пространство в реальном мире, где мы живем. Точная гиперболическая плоскость существует только в нашем воображении.

В истории математики гиперболическая геометрия стала огромным теоретическим шагом вперед. Освободившись от самоограничений, связанных с рассмотрением только реально существующих или возможных объектов, ученые смогли изучать любые аксиоматические системы просто ради интереса.

Что касается физиков, то перед ними открылась возможность анализировать внутренние геометрические свойства пространств, отличные от внешних свойств, которыми они обладают как части пространств более обширных. Такое разграничение впервые предложил Карл Фридрих Гаусс, один из величайших математиков всех времен. (Гаусс известен тем, что не спешил записывать результаты своих исследований. Он утверждал, что изобрел гиперболическую геометрию раньше Лобачевского и Бойяи. Даже если и так, никаких публикаций на эту тему у Гаусса нет, а за хорошие, но невысказанные идеи никто, как известно, не хвалит.)

Рассматривая фигуры, нарисованные на столе или же сфере в трехмерном пространстве, мы, разумеется, смотрим на них со стороны. С этой точки зрения «кривизна» говорит нам о том, как фигура сгибается и скручивается внутри большого пространства, в котором она находится. Такая кривизна является внешней.

Однако мы можем подумать о том, как выглядят эти фигуры в глазах воображаемых существ, живущих рядом с ними. Например, они могли бы нарисовать окружность, а затем измерить ее длину. Полученный результат не будет иметь никакого отношения к внешнему пространству, которое даже не обязано существовать. Характеристики, которые можно измерить только изнутри, определяют внутреннюю геометрию пространства.

Рассмотрим наглядный пример: представим себе двумерный цилиндр в трехмерном пространстве.

Для нас цилиндр, разумеется, выглядит круглым, но это последствие взгляда со стороны. На самом деле это двумерное пространство, по сути – плоскость. Мы можем проверить это: нарисовать параллельные прямые и посмотреть на них, построить треугольник и сложить его углы, посчитать длину окружности или площадь круга. В каждом из этих случаев внутренняя геометрия цилиндра будет такой же, как и на плоскости.

Мы обратили на это внимание, так как в конечном итоге мы подойдем к разговору о кривизне пространства-времени. Наша вселенная не является частью чего-то большего. По крайней мере, насколько об этом известно нам. Поэтому в рассуждениях о пространстве-времени мы можем опираться только на собственное, внутреннее представление о нем.

Многообразия

Гаусс не только понял различие между внутренней и внешней кривизной, но и впервые изучил случаи, когда она не является постоянной, то есть различна по форме и величине в разных точках пространства. Но когда дело дошло до разработки полноценной теории таких произвольных геометрий, он поручил эту работу своему ученику Бернхарду Риману.

В 1853 году Риман готовился к защите докторской диссертации[20]20
  Как и в России, в Германии принята двухступенчатая система ученых степеней. Молодые ученые сначала получают степень доктора наук, которая примерно соответствует российской степени кандидата, а затем проходят так называемую хабилитацию, аналог обучения в докторантуре. В тексте исходные «немецкие» термины заменены более понятными читателю «российскими». – Примеч. пер.


[Закрыть]. Звание доктора наук в Германии необходимо для получения права преподавать в университете. (В своей кандидатской работе Риман впервые использовал комплексные числа для изучения двумерных поверхностей, в докторантуре же много времени посвятил обоснованию интегрального исчисления. Он был амбициозным и продуктивным юношей.)

Говорят, что Риман показал список возможных тем для диссертации Гауссу, и тот, к его удивлению, выбрал из них ту, которая самому Риману казалась наименее интересной: основы геометрии. Получив такое задание, Риман крепко задумался о том, что мы на самом деле понимаем под «геометрией» пространства и о каком «пространстве» мы вообще говорим, учитывая, что сами находимся внутри него. (Перед докладом он скромно сообщил, что «не практиковался в подобных философских изысканиях», хотя доложить-то получилось как нельзя лучше.) В итоге написанная им работа оказала огромное влияние на развитие математики, а сделанные в ней выводы до сих пор лежат в основе общей теории относительности и современного представления о пространстве-времени. К сожалению, ранняя смерть от туберкулеза не позволила Риману продолжить научную деятельность. Кто знает, какие еще открытия он мог бы сделать.

Риман начал свои рассуждения с определения понятия многообразия – бесконечного множества точек, плавно соединяющихся в пространство какой-то определенной размерности. Помните, что при близком рассмотрении любая кривая линия кажется прямой? Множества работают по такому же принципу, но в нескольких измерениях. При достаточном сильном увеличении масштаба любые объекты в искривленном пространстве подчиняются законам геометрии Евклида. Кривизна, которая проявляется на отдалении, определяется тем, как бесконечно малые кусочки плоского пространства соединяются друг с другом в пространстве, окружающем многообразие.

Важнейшая особенность многообразий заключается в том, что они не обязаны находиться внутри какого-то другого пространства, даже если в нашем представлении это именно так. Изображая двумерное многообразие, например сферу или тор, мы думаем именно о двумерной поверхности, а не о трехмерном теле, форму которого оно принимают. Такое представление – лишь артефакт того, как мы, трехмерные существа, представляем себе окружающие нас вещи. Многообразия имеют четко определенную топологию и геометрию сами по себе. Их следует рассматривать изнутри, а не снаружи.

Обобщая Пифагора

Теперь нам нужно понять, как определить геометрию многообразия, оперируя только внутренними понятиями, которые мы можем измерить с позиции внутреннего же наблюдателя. Как это сделать? Вариантов может быть очень много. Главное – получить такие базовые геометрические величины, на основании которых мы можем вывести любые другие, какие лишь захотим.

Риман предусмотрел способы для определения длин кривых. Не просто каких-то конкретных – любых, какие нам придет в голову нарисовать. А зная длину любой возможной кривой, можно узнать все, что таит в себе геометрия.

Определить длину любой кривой… От постановки такой задачи немудрено опустить руки. Даже простые многообразия вроде сферы и плоскости позволяют построить огромное число разных кривых. К счастью, у нас есть ключ от этого зоопарка: высшая математика. Нам нет нужды выводить формулу для каждой отдельной кривой. Вместо этого мы найдем выражение для длины бесконечно малого ее участка, а затем возьмем от него интеграл.

Чтобы немного облегчить работу воображению, представим себе плоскую двумерную поверхность с декартовыми координатами (x, y). Кто-то нарисовал на ней кривую (как повела рука), нам же необходимо измерить ее бесконечно малый участок ds, выразив его длину через бесконечно малые приращения координат dx и dy. Формулу для такого расчета мы уже знаем: это теорема Пифагора. (Если эти обозначения напомнят вам формулу (6.10), при помощи которой мы находили длину сегмента пространственноподобной траектории в пространстве-времени, не беспокойтесь: буквы просто кочуют из формулы в формулу.)

ds2 = dx2 + dy2. (7.1)

Пока что все просто. Но у декартовых координат есть одна особенность: при постоянном x линии всегда идеально прямые и параллельны друг другу. При постоянном y все то же самое. Если аксиома параллельности не выполняется (то есть многообразие не является евклидовым), определить координаты получится не во всех точках. К примеру, на сфере декартовых координат вообще быть не может.

Но даже на плоском многообразии мы не обязаны использовать декартову систему координат. Возьмем вместо нее полярную систему, в которой положение точки на плоскости определяется расстоянием r до центра системы и углом θ относительно горизонтальной оси. Вычислим длину бесконечно малого сегмента кривой в этих координатах.

Физическая длина, соответствующая изменению угла dθ, не постоянна, но возрастает с увеличением r. При постоянном r она, очевидно, будет равна rdθ. Поэтому формула для произвольного бесконечно малого сегмента будет иметь вид:

ds2 = dr 2 + r 2dθ2. (7.2)

Это почти теорема Пифагора, но с множителем r2 перед dθ2, который как раз и выражает мысль о том, что приращение dθ возрастает с увеличением длины r. Мы сохраняем дух теоремы Пифагора, но как бы обобщаем ее, вносим в нее влияние физических расстояний на приращение координат.

Линейный элемент

Вдохновляясь этим примером, попробуем понять, что такое линейный элемент – универсальная формула, которая позволяет определить длину произвольного бесконечно малого сегмента ds, выраженного через бесконечно малые приращения координат. Для простоты начнем с двумерного многообразия.

Допустим, что у нас есть две координаты (x1, x2). В данном случае надстрочные цифры – индексы, а не степени (так же, как при разговоре о компонентах вектора). Нам нужно связать расстояние ds с приращениями координат dxi. Не забывая теорему Пифагора, мы можем ожидать, что квадрат расстояния ds2 будет связан с квадратами приращений координат, к примеру (dx1)2. (Это квадрат dx1, так что теперь надстрочные цифры – и индексы, и степени. Не путайте!) Чтобы получить формулу в как можно более общем виде, нам нужно учесть наличие «перекрестных членов», произведений координат (dx1dx2). Кроме того, у нас могут быть множители, которые сами по себе зависят от координат, как, например, в полярной системе.

В самом общем виде формула двумерного линейного элемента имеет вид:

(7.3)

Тут очень много скобок и надстрочных символов. Вдохнем поглубже и попытаемся в них разобраться. Три величины, A, B и C, – это числа, значения которых зависят от конкретной точки многообразия. Поэтому мы записали их в виде функций от координат (x1, x2). Каждое из них умножается на произведение приращений координат dx1 и dx2 в трех возможных сочетаниях: (dx1)2, (dx2)2 и dx1dx2. Последнее произведение важно, когда оси координат не перпендикулярны друг к другу.

Формула (7.3) имеет огромное значение, ведь если три функции, A(x1, x2), B(x1, x2) и C(x1, x2), известны, то с ее помощью можно найти длину любой произвольной кривой. Риман утверждает, что этих данных достаточно, чтобы полностью определить геометрию многообразия. Эти функции хранят в себе сведения обо всем: углах, площадях, кривизне, обо всем, что мы захотим узнать. Этот принцип будет работать при любом количестве измерений, но с той лишь разницей, что станет больше и функций. В d-мерном пространстве для полного определения линейного элемента потребуется d(d + 1)/2 функций.

Извлечь геометрические данные из этих функций не очень-то просто. Проблема в том, что в разных системах координат линейный элемент может иметь разное выражение, хотя геометрия от этого никак не зависит. Мы уже видели это на примере плоской поверхности. В декартовых координатах линейный элемент (7.1) принимает вид (7.3) при следующих функциях:

A(x, y) = 1, B(x, y) = 0, C(x, y) = 1. (7.4)

Если же взять полярную систему координат и формулу (7.2), понадобятся другие функции:

A(r, θ) = 1, B(r, θ) = 0, C(r, θ) = r 2. (7.5)

Одна и та же геометрия, но разные варианты линейного элемента для разных систем координат. Но геометрии нет дела до них, плодов человеческой изобретательности, не имеющих никакого отношения к внутренним свойствам многообразия. Чтобы выдавить из линейных элементов сведения о кривизне, придется нажать на них посильнее.

Метрика

Для начала подумаем о более удобных обозначениях. Чем больше измерений, тем больше функций придется ввести для линейного элемента, а значит, хорошие обозначения – уже огромное подспорье.

Ввести такое обозначение несложно: воспользуемся схемой, которую дает выражение (7.3). Мы будем рассматривать пары приращений dxi и dxj, где i и j – индексы, значения которых определяются количеством измерений. Индексы могут иметь как разные, так и одинаковые значения. Для каждой пары определим функцию пространства-времени gij(x), причем в данном случае буква x обозначает все координаты сразу. Буквы i и j сами по себе не несут никакого конкретного смысла, мы можем использовать любые. Таким образом, на (dx1)2 мы будем умножать функцию g11, на dx1dx2 – функцию g12 и т. д.

Все эти функции можно записать в виде матрицы[21]21
  Матрицей математики называют массив величин. В этой книге мы не будем гадать, живем ли мы в компьютерной симуляции.


[Закрыть]. Например, для трехмерного пространства:

(7.6)

Мы получили знаменитый метрический тензор, объект, который окажется в центре внимания при разговоре об общей теории относительности. Каждое значение в матрице (элемент метрики) является функцией координат. Знание всех элементов метрики позволяет получить все данные о геометрии рассматриваемого многообразия. Обычно, когда перед физиком стоит какая-то исследовательская задача из общей теории относительности, он пытается либо найти метрику с нуля (например, если энергия и материя распределены каким-то определенным образом), либо вывести ее из уже существующих метрик. (Несмотря на то что в теории относительности метрики описывают пространство-время, а не обычное пространство, это на удивление мало влияет на математические формулы. Мы просто используем греческие буквы для обозначения элементов.)

Метрика – точный эквивалент линейного элемента. Связь между ними очень проста:

(7.7)

Таким образом, зная все элементы метрики, мы можем вычислить длину любой кривой. А значит, хоть это может быть не слишком очевидно, мы также можем находить углы между линиями, площади, объемы и многое другое.

Наш двумерный линейный элемент (7.3), как и следовало ожидать, вписывается в эту схему. Мы можем записать, что:

(7.8)

Как можно заметить, значение B появляется в этой метрике дважды, но оба раза делится пополам. Это связано с тем, что при буквальном применении формула (7.7) дает отдельные множители для математически равных произведений dx1dx2 и dx2dx1. Поэтому мы должны потребовать, чтобы метрика была симметричной, то есть для любых пар i и j соблюдалось равенство gij = gji. В матричной форме это означает, что элементы в правом верхнем и левом нижнем углах равны.

Пора спуститься с небес на землю и рассмотреть несколько примеров. Начнем с хорошо известных нам берегов: трехмерного евклидова пространства с декартовой системой координат (x, y, z). Мы знаем линейный элемент этого пространства – теорему Пифагора:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2. (7.9)

Нет ничего проще, чем записать метрический тензор в матричной форме:

(7.10)

(Вы уже знаете, что левый верхний элемент матрицы – это g11, элемент справа от него – g12 и т. д. Поэтому в дальнейшем мы больше не будем писать индексы в явном виде.) Это метрика Евклида. Можно расширить ее на любое количество измерений, добавив новые столбцы и строки, в которых на диагонали будет стоять 1, а в остальных позициях – 0. Сам Евклид неявно использовал эту метрику, хотя и не знал такого термина. Метрика определяет геометрию.

Метрики можно записать и для других систем координат. Например, для полярной системы (r, θ), исходя из выражения (7.2), получим:

(7.11)

Нужно четко понимать, что элементы метрики всегда жестко связаны с какой-то системой координат. Так, выражение (7.11) имеет смысл только в полярной системе (r, θ), то есть когда x1 = r, а x2 = θ.

Существует трехмерная версия полярной системы координат – сферическая система (r, θ, φ). Мы говорили о ней в главе 4. Метрика плоского пространства в этой системе имеет вид:

(7.12)

Поскольку угол θ изменяется в пределах от 0° на северном полюсе до 90° на экваторе, а затем до 180° на южном полюсе, sin θ изменяется от 0 до 1, а затем снова до 0. Появление этой функции в элементе g33 в нижнем правом углу матрицы (7.12) показывает, что физическое расстояние, соответствующее одинаковому приращению координаты x3 = φ, у полюсов будет меньше, чем на экваторе.

Не будет лишним напомнить, что выражения (7.10) и (7.12) соответствуют одной и той же геометрии. Оба описывают «метрику Евклида», но в разных системах координат: декартовой и сферической соответственно.

Метрика в искривленном пространстве

Рассмотрим несложное многообразие с некоторой кривизной, например двумерную сферу. К счастью, метрику для нее достаточно легко получить на основе выражения (7.12) для плоского пространства и сферической системы координат. Сфера – это подмножество плоского пространства, которое можно получить, приняв координату r постоянной и равной некоторому числу R. Это приведет к тому, что верхняя строка и левый столбец утратят физический смысл, так как описывают изменения координаты r, невозможные на сфере. Поэтому, удалив лишнее из выражения (7.12), получим метрику для сферы и системы координат (x1, x2) = (θ, φ):

(7.13)

Это выражение похоже на формулу (7.12) – трехмерную метрику Евклида в сферических координатах – только с виду. На самом деле они не родственники. Здесь R – не координата, а неизменный параметр, который определяет размеры сферы. Но самое главное, эта метрика не является плоской. По внешнему виду отличить плоскую метрику от искривленной непросто. Выбранная система координат может скрыть от нас важную геометрию.

Вернемся к метрике двумерной гиперболической плоскости, которую изучали Лобачевский и Бойяи (хотя они применяли термин «плоскость» не чаще, чем Евклид). Как и всегда, сначала определимся с системой координат. Самая удобная из них получила название диска Пуанкаре. (Впервые ее использовал Эудженио Бельтрами, а лишь затем Анри Пуанкаре. Но он был знаменит, а знаменитости любят давать понятиям свои имена.)

В этой системе координаты обозначаются как (x1, x2) = (x, y), совсем как в плоской декартовой. Однако при этом вводится дополнительное ограничение: r < 1, где r – радиальная координата, расстояние от точки до начала координат. В такой системе двумерное гиперболическое пространство имеет метрику:

(7.14)

Здесь важно отметить несколько моментов. Во второй части выражения мы заменили фактические координаты – x и y – на . Имеем право так сделать. Главное – помнить о том, что r – это функция, которая зависит от координат. Также нам нужно иметь в виду, что гиперболическая плоскость не имеет границ: это седло, которое во всех направлениях простирается далеко в бесконечность. А вот координаты на ней имеют значения только в пределах r. И это вполне допустимо. Вспомните, как в главе 2 мы говорили о том, что можно преобразовать бесконечную длину в конечный интервал и наоборот. Именно так происходит и здесь: диск Пуанкаре бесконечен, но выбранная нами система координат охватывает только вполне конечную его часть.

Чтобы понять, что пространство бесконечно велико, достаточно посмотреть на метрику (7.14). Подумайте, что происходит при приближении к кромке диска, когда r → 1? Оба ненулевых элемента метрики содержат коэффициент 1/(1 – r2)2. Чем ближе r к 1, тем 1 – r2 ближе к 0, а 1/(1 – r2)2 – к бесконечности. Физически это означает, что любое приращение координат dx и dy у кромки диска будет соответствовать очень большим расстояниям. Несмотря на конечность координат, физические размеры многообразия бесконечно велики. В этом и состоит магия метрики.

На этом рисунке гиперболическое пространство с диском Пуанкаре в качестве системы координат представлено в виде треугольников. Кажется, что чем ближе к кромке диска, тем меньше треугольники, но это оптическая иллюзия, которая возникает из-за особенностей системы координат. В метрике (7.14) все они имеют одинаковые размеры и форму. Однако чем ближе к кромке, тем больше треугольников. Вдохновившись этим рисунком, знаменитый голландский художник М.К. Эшер создал серию гравюр под названием «Предел круга».