Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 18 страниц)

Наименьшее действие

Но в данный момент нам интересна не длина кривой. Если подбросить камень, он полетит по какой-то определенной траектории, которая, очевидно, не будет прямолинейной, то есть кратчайшим путем. Так происходит потому, что на этом пути к минимуму сводится не расстояние, а действие. Давайте посмотрим, что это значит.

В каждой точке траектории движущаяся частица имеет положение x и скорость v, то есть соответственно кинетическую энергию и потенциальную энергию V(x). Разность между ними называется лагранжианом L(x, v) (по имени французского математика Жозефа-Луи Лагранжа):

Лагранжиан = Кинетическая энергия – Потенциальная энергия,

(3.14)

Действие S для любой траектории [x(t), v(t)] равно интегралу лагранжиана по времени:

(3.15)

В каждой точке траектории, то есть в каждый момент времени, лагранжиан имеет некоторое числовое значение. Но действие не зависит от того, в какой точке пути мы находимся: оно зависит от траектории в целом. Между начальной и конечной точкой частица будет двигаться по пути, который требует минимального действия среди всех траекторий, которые можно проложить между этими точками. Такую формулировку классической механики часто называют механикой Лагранжа, поскольку лагранжиан является в ней центральной величиной. Действие – это интеграл лагранжиана по времени, а реальные физические перемещения всегда таковы, что действие сводится к минимуму.

Рассмотрим принцип наименьшего действия на примере шара (частицы) на холме. В момент времени t1 шар находится в точке x1, в момент t2 – в точке x2.

Как будет действовать человек, который застрял в парадигме Лапласа? Найдет ускорение с помощью F = ma, а затем будет его интегрировать. Но это неверно. Нам неизвестна скорость шара в точке x1, и мы не можем принять ее равной нулю, так как иначе он может не достичь точки x2 в указанное время. Мы также не можем считать, что точка x2 является точкой поворота: известно лишь, что шар находится там в момент t2. Тем не менее мы знаем достаточно, чтобы понять, как движется шар между этими точками. Быть может, из точки x1 он покатится по холму вверх, а затем развернется и устремится к точке x2. В любом случае действие на его траектории будет наименьшим, а в конечный момент времени он достигнет конечной точки, имея нужную для этого скорость.

Что значит наименьшее действие? Действие – это интеграл от лагранжиана, разности между кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия не может быть отрицательной, а значит, она должна быть как можно меньше. Однако она не может быть нулевой, поскольку неподвижный шар никогда не достигнет конечной точки. Шар должен двигаться достаточно быстро, чтобы пройти нужное расстояние за нужное время, но не более того.

Кажется, что свести к минимуму «отрицательный потенциал» несложно. Найти точку с очень большим значением V(x), и тогда – V(x) будет иметь очень малое значение (в этой задаче мы будем считать отрицательные числа малыми). Но здесь возникает противоречие с предыдущим абзацем. Если из точки x1 шар сначала движется в точку с большим потенциалом, чтобы вовремя успеть к точке x2, придется развить большую скорость, а это требует большой кинетической энергии. Мы же стремимся свести ее к минимуму.

Нужно найти такой компромисс между большой потенциальной и малой кинетической энергией, чтобы в указанные моменты времени шар находился в указанных точках. В результате этой работы будет построена траектория, которая полностью соответствует классическим уравнениям движения. Математически принцип наименьшего действия эквивалентен принципам, установленным Ньютоном.

Удивительно: второй закон Ньютона – главный принцип, основа классической механики, – утверждает, что сила, воздействующая на объект, равна его массе, умноженной на ускорение. В формулировке принципа наименьшего действия слово «сила» вообще отсутствует. Но несмотря на различия, оба принципа приводят к одним и тем же результатам.

Какой же из принципов более правилен? Природа движется из начального положения, проходя точку за точкой, момент за моментом, как говорил нам Лаплас? Или из множества возможных путей, соединяющих две точки, природа делает выбор в пользу того, где действие минимально?

Ни то ни другое. Природа – это природа, и делает то, что делает. Мы, люди, изо всех сил стремимся ее понять и осмыслить в придуманных нами терминах. Одно и то же явление может быть описано по-разному, и по большому счету нам нет нужды выбирать, решать, какой из способов «более верный». Мы просто должны быть готовы мыслить в терминах, которые дают наилучшее понимание.

Четыре. Пространство

До сих пор мы говорили о событиях, то есть о чем-то, что происходит. Шары катятся с холмов, грузы колеблются на пружинах, планеты вращаются вокруг Солнца. Вся эта жизнь имеет место не в пустоте, а в пространстве, совокупности всех возможных мест, где что-то может находиться. Пространство упоминалось уже не раз, с первых абзацев главы 1, но мы пока не задумывались о нем, ведь очевидно, что каждый человек в какой-то степени знаком с этим понятием. Теперь настало время копнуть поглубже. Какими свойствами обладает пространство и почему? Зачем вообще необходимо нечто, называемое пространством?

Точно ответить на все эти вопросы нельзя. Но можно подумать о свойствах пространства, об их взаимосвязи с другими особенностями нашего мира. Что такое пространство: вещество или свойство каких-то объектов? Что значит трехмерность? Какие физические характеристики позволяют нам мыслить в терминах пространства? Эти вопросы приведут нас к изучению еще одной формулировки классической механики: после механик Ньютона и Лагранжа мы познакомимся с точкой зрения Гамильтона. В отличие от других предшественников, Гамильтон вообще не считает пространство чем-то особенным, а значит, такой подход будет очень полезен при разговоре о нем.

Вещество или взаимосвязь?

В начале XVIII века, когда классическая механика только зарождалась, ученые задавались вопросом, верно ли, что пространство «существует»? По мнению одних, оно является веществом, то есть мир состоит из объектов и пространства, внутри которого они находятся. Пространство служит для них своего рода контейнером и существует независимо от них. Такое мнение кажется вполне естественным.

Но есть и другая точка зрения: пространство – не материальный предмет, а просто удобный способ представить себе, что все объекты связаны друг с другом некоей величиной – «расстоянием между ними», то есть пространство представляет собой взаимосвязь. Но если мы соглашаемся с тем, что все объекты в мире связаны между собой расстояниями, потребность в чем-то дополнительном под названием «пространство» отпадает. Мы продолжаем говорить о нем исключительно ради удобства.

Два эти взгляда на природу пространства – «субстанциализм» и «реляционизм» – активно обсуждались в переписке между Сэмюелем Кларком из Англии и Лейбницем. С ним мы уже знакомы: он придумал дифференциальное исчисление и был во многих отношениях непримиримым соперником Ньютона. Ученые часто спорили друг с другом. Ньютон, правда, любил обращаться к Лейбницу через посредников вроде Кларка.

На этот спор Кларка и Лейбница сподвигла Каролина Ансбахская, прусская дворянка, одним из воспитателей которой как раз и был Лейбниц. Позже она переехала в Англию, где ее муж Георг Август стал сначала принцем Уэльским, а затем – королем. Каролина любила науку и философию. Имея иммунитет к оспе, она активно продвигала вариоляцию (которая в те времена заменяла вакцинацию).

Однажды, когда Каролина уже жила при британском дворе, Лейбниц прислал ей письмо, в котором критиковал взгляды английских философов, прежде всего Джона Локка и Ньютона, за недостатки с теологической точки зрения. Принцесса же, то ли в шутку, то ли с умыслом, показала письмо Кларку – другу Ньютона и по совместительству англиканскому священнику. Кларк, разумеется, написал Лейбницу ответ. Так начался этот спор: Кларк говорил, что пространство абсолютно, а Лейбниц отстаивал релятивистскую точку зрения, которая возникла под большим влиянием Декарта. При этом известно, что Ньютон по меньшей мере советовал Кларку, что написать, хотя кое-кто из исследователей считает, что он чуть ли не сам писал эти письма.

Переписка оборвалась со смертью Лейбница в 1716 году. Дошедшие до наших дней письма – блестящий образец ранней научной философии: помимо природы пространства в них обсуждаются и другие вопросы, к примеру о сущности бога и свободе воли. Сегодня большинство физиков согласны с Ньютоном и считают пространство «вещью в себе». На это есть две причины. Во-первых, пространство между объектами не пусто: оно наполнено различными полями. Во-вторых, пространство (как часть пространства-времени) живет собственной жизнью. Эйнштейн показал, что его геометрия может меняться со временем под действием энергии. Мы будем говорить об этом в главе 8.

Но окончательного ответа у физиков нет. Вопрос, который когда-то был критически важным для развития науки, не решен до сих пор и отложен на будущее. Так иногда бывает. Развитие науки – не только в познании нового, но и в оценке того, что является злободневным на данный момент, а что можно отложить или проигнорировать. Не все вопросы остаются интересными в процессе изучения. И не на все вопросы можно дать ответ. Сейчас популярно мнение, что пространство возникает из квантовой запутанности, а не является самостоятельной субстанцией. Так что, возможно, в каком-то смысле реляционизм однажды восторжествует.

Измерения

Поговорим о свойствах пространства, отталкиваясь от наших более-менее интуитивных представлений о нем. Самое важное свойство пространства – его размерность. Пространство, в котором мы существуем в реальной жизни, трехмерно. Однако физики часто рассматривают пространства с меньшим или большим количеством измерений. Одномерные и двумерные пространства подходят для упрощенных моделей, многомерные применяются, например, в теории струн. Существуют и другие абстрактные математические «пространства» – множества с некоторой дополнительной структурой. Мы уже говорили, к примеру, о конфигурационных и фазовых пространствах, у которых может быть огромное число измерений. В этой главе мы рассмотрим старое доброе пространство, окружающее нас.

Представьте себе две длинные тонкие палки. Мы можем связать их друг с другом так, что угол между ними будет прямым. Мы можем взять и еще одну палку и привязать ее к первым двум в том же месте и с тем же условием. Все палки будут перпендикулярны друг другу. Возьмем еще одну, четвертую палку и попытаемся привязать ее под прямым углом к остальным.

Ничего не выйдет. В нашем мире три прямые могут быть перпендикулярны друг другу, четыре не могут. Это доказывает, что наше пространство трехмерно.

(Возможно, вы знаете, что для устойчивости стулу достаточно трех ножек. А если бы пространство было двумерным? Четырехмерным? С любым количеством измерений?)

Итак, измерение – это, по сути, «независимое направление, в котором могут перемещаться объекты». Если не считать разными направлениями движение в противоположные стороны, мы обнаружим, что их всего три: вперед и назад, вправо и влево, вверх и вниз. Все эти направления независимы, тогда как любые другие можно рассматривать как их сочетания. Три измерения.

Есть и еще один способ выразить эту идею. Можно заметить, что положение точки в пространстве можно определить тремя числами, которые называются координатами. Представьте себе некую точку – начало координат, – через которую проходят три перпендикулярные прямые – оси. Получится нечто похожее на пример с тремя связанными палками. Тогда координаты любой точки (x, y, z) можно получить, измерив расстояние между ней и началом координат вдоль каждой из трех осей.

В этих рассуждениях важно именно то, что точка в пространстве имеет три координаты. В зависимости от выбранной системы координат их значения будут разными, но по количеству их всегда будет три. Система координат с тремя перпендикулярными осями называется декартовой (в честь Рене Декарта). Можно использовать, например, сферическую систему координат. В ней положение точки характеризуется радиусом r, то есть длиной отрезка между точкой и началом координат, полярным углом θ (греческая буква тета) между этим отрезком и осью z и азимутальным углом φ (греческая буква фи) между осью x и проекцией точки на плоскость xy. Эта система называется сферической, так как множество точек, имеющих одинаковый радиус r, представляет собой сферу.

Координаты не являются объективными свойствами нашего мира. Это придуманные людьми ярлыки, метки, которые мы прикрепляем к различным точкам пространства. Основное правило – принцип инвариантности координат – состоит в том, что физические величины не должны зависеть от выбранной системы (так же, как, например, физическая длина объекта не зависит от единиц измерения – сантиметров или дюймов). Несмотря на кажущуюся простоту, для серьезного осмысления этого принципа приходится говорить о симметриях, калибровочных теориях и других важнейших понятиях современной фундаментальной физики.

Если пространство трехмерно, в нем можно выделить подпространства с меньшим количеством измерений. По крайней мере, с некоторыми допущениями. Возьмем, например, длинный провод. Каким бы тонким он ни был, его толщина не равна нулю. Фактически провод – трехмерное тело. Но если смотреть издали, можно пренебречь толщиной и считать его одномерным. Когда по проводу течет ток, электроны легко и быстро перемещаются в осевом направлении, но почти не двигаются в поперечных. Физики с радостью пользуются этим фактом и изучают токи в одномерных проводах. Бывают случаи, когда явления ограничены двумерными объектами: тонкими пленками, поверхностями трехмерных тел. Удобно рассматривать их так, как будто мы и сами живем в двумерном мире. Философия сферической коровы в действии! При упрощении сложной системы из нее исчезают целые измерения.

Измерения и силы

Не будь пространство трехмерным, жизнь наша была бы совсем другой. Возможно, ее просто бы не было. Возьмем, к примеру, одну из наших любимых физических сил: силу тяжести. Согласно закону всемирного тяготения, сила тяготения между двумя объектами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Но почему именно квадрату? Почему не просто расстоянию или его восемнадцатой степени?

Понять это можно при помощи рисунка. Представьте себе, что во все стороны от Солнца в бесконечность расходятся прямые лучи – силовые линии. Они называются так потому, что вдоль этих линий действует исходящая от Солнца сила, которая притягивает к нему объекты. Конечно, на самом деле никаких линий не существует. Они лишь графическое представление того, как действует сила тяготения, которое разъясняет смысл закона обратных квадратов.

Если нарисовать сферу, в центр которой поместить Солнце, все силовые линии пройдут через нее. То же самое будет с любой другой такой сферой. Однако чем больше радиус, тем дальше будут разнесены проходящие через нее линии. Если мы будем рассматривать на каждой из сфер участки одинаковой площади, количество проходящих через них линий с увеличением радиуса будет уменьшаться.

Общая площадь сферы А связана с ее радиусом r следующим образом: A = 4πr2. В данном случае 4π – это просто коэффициент, который нужно запомнить, а вот r2 можно объяснить при помощи анализа размерности. Физические величины всегда выражаются в каких-то единицах измерения: длины, времени, массы или же их сочетаниях. Когда величины складываются либо сравниваются, они должны быть выражены в одних и тех же единицах.

Площадь (как двумерная величина), как правило, выражается в «квадратных» единицах длины. Сфера, площадь которой мы вычисляем, имеет только одно свойство, которое показывает длину: радиус. Поэтому площадь должна быть пропорциональна квадрату радиуса, иначе никак. Аналогичным образом длина окружности, которая, разумеется, выражается в единицах длины, будет пропорциональна радиусу без квадрата (и равна 2πr).

Силовые линии не начинаются и не заканчиваются на пустом месте: они берут начало на объектах с большой массой – источниках гравитации, в нашем случае на Солнце. Рассуждая о сферах с ним в центре, мы видим, что количество линий неизменно, а площадь поверхности сфер возрастает. Поэтому если у Солнца линии располагались плотно друг к другу, по мере удаления от него их плотность уменьшается (если конкретно, то пропорционально 1/r2). А плотность силовых линий определяет величину силы тяжести: чем выше плотность, тем больше сила.

Мы объяснили закон обратных квадратов. Действующая на объект сила пропорциональна плотности проходящих через него силовых линий, которая снижается по мере отдаления от источника гравитации, поскольку растет квадрат радиуса и, соответственно, площадь поверхности сферы, через которую они проходят. (По той же причине по мере удаления от нас объекты становятся менее яркими. Просто замените «силовые линии» на «лучи света».)

В пространствах с иным количеством измерений закон всемирного тяготения будет другим. Например, в двумерном пространстве источник гравитации находится в центре одномерной окружности, а не двумерной сферы. Поэтому плотность силовых линий и, соответственно, сила тяготения будут уменьшаться пропорционально расстоянию, а не его квадрату. В четырехмерном пространстве нам бы пришлось иметь дело с трехмерными гиперсферами. Их сложно нарисовать, а потому, полагаясь на чистую математику, можно сказать, что там будет действовать закон обратных кубов. В общем случае, то есть в d-мерном пространстве, сила притяжения будет пропорциональна 1/r d–1.

Подобные рассуждения могут навести на мысль о том, что закону обратных квадратов так или иначе подчинены все силы в природе. Но это не так, по крайней мере – не всегда. На уровне элементарных частиц существуют «сильные» и «слабые» ядерные взаимодействия, которые действуют на очень малых расстояниях, а затем быстро снижаются почти до нуля. Причины разные. В случае сильных взаимодействий силовые линии переплетаются друг с другом, а не тянутся в бесконечность, в случае слабых – они как будто постепенно затухают (а на самом деле поглощаются полем Хиггса, которое проходит сквозь все пространство). Что же, никто и не говорил о том, что в природе все и везде одинаково.

Еще один классический пример закона обратных квадратов – закон Кулона. Электрическое поле заряженной частицы создает силовые линии, которые уходят в бесконечность (если только не проходят вблизи других заряженных частиц, что случается часто). Поэтому сила электрического поля подчиняется закону обратных квадратов. По крайней мере в трехмерном пространстве.

Эксперименты с электрическим полем и навели ученых на мысли о силовых линиях. Впервые эту идею высказал Майкл Фарадей в середине XIX века. Фарадей был сыном бедного деревенского кузнеца, но подростком стал подмастерьем местного книготорговца и получил возможность учиться, читая книги. Потом Фарадей работал в Королевском институте в Лондоне, где занимался сначала химией (открыл бензол, изобрел первый вариант горелки Бунзена), а затем увлекся электричеством и магнетизмом и далеко продвинулся в этой области. В последствии Максвелл, который был сильным математиком, привел открытия Фарадея к системе строгих уравнений. Он же объединил электричество и магнетизм в единый раздел физики – электромагнетизм.

Новый взгляд на импульс и скорость

Что делает пространство пространством? То есть какие свойства этого мира позволяют нам описать его как «нечто, распределенное в пространстве»? (И развивающееся во времени, но об этом в следующей главе.)

Чтобы ответить на этот вопрос, займемся любимым делом: посмотрим на классическую механику свежим взглядом. Мы уже смотрели на нее глазами Ньютона и Лагранжа. Первый из них определял развитие системы из начального состояния (положения и скорости) при помощи своих законов, второй использовал принцип наименьшего действия, чтобы найти траекторию между начальным и конечным состояниями.

Теперь мы поговорим о том, как видел классическую механику Гамильтон. Он предложил считать, что импульс существует сам по себе, не зависит от скорости. Такой подход может показаться странным и мало чем отличным от строгих формул Ньютона. На самом деле отличие есть и довольно большое. Оно помогает понять, почему пространство – настолько важное понятие.

В предыдущей главе мы говорили о фазовом пространстве: множестве всех возможных положений и импульсов, которые может иметь система. Согласно парадигме Лапласа, достаточно указать одну точку в фазовом пространстве, чтобы определить всю траекторию системы (по крайней мере участок, на котором она не подвергалась внешним воздействиям). При этом, хоть мы и сделали импульс частью фазового пространства, мы знаем: в механике Ньютона импульс и скорость связаны друг с другом формулой .

Красивая картина. Но есть в ней один изъян, совсем небольшой, так что его очень трудно заметить. Вся суть парадигмы Лапласа состоит в том, что состояние системы в будущем определяется положением и скоростью в какой-то момент времени. Но скорость есть производная положения. Чтобы ее найти, следует заглянуть в будущее, посмотреть на систему мгновение спустя. Даже если такое мгновение – бесконечно малая величина, мы все равно используем не одно, а несколько разнесенных по времени состояний системы. И это немного противоречит философии Лапласа.