Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 18 страниц)

Мысленный эксперимент с близнецами

Есть одна красочная иллюстрация этого принципа. Обычно ее называют парадоксом близнецов, хотя, конечно, никакой это не парадокс. Это лишь нелогичная особенность физики, с которой мы не сталкиваемся в повседневной жизни, поскольку не движемся со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Нехорошо объявлять парадоксами явления, которые лишь кажутся странными, да и то поначалу, на самом же деле вполне объяснимы.

Поговорим о двух близнецах: Алисе и Бобе. Или о просто ровесниках… Близнецы в этом эксперименте нужны для красного словца, поскольку на всех людей законы физики действуют одинаково, даже совсем на чужих друг другу. Но так пример будет более ярким. Итак, Алиса остается на Земле, а Боб садится в неимоверно мощный космический корабль и уносится прочь со скоростью, близкой к скорости света. Где-то там, далеко от дома он делает разворот и летит обратно, мечтая снова увидеть Алису. Мы будем считать, что корабль ускоряется почти мгновенно, а Боб не страдает от жутких перегрузок, которые при этом возникают. Мы также не будем учитывать (медленное) движение Земли и то, что Алиса находится в гравитационном поле. При мысленных экспериментах мы можем завести сферических коров любой породы.

В этом сценарии мировые линии Алисы и Боба соединяются в одних и тех же событиях: расставании и встрече. Однако Алиса движется в пространстве-времени по прямой, а в пространстве совсем не движется. Но мировая линия Боба совсем не прямая, поскольку он совершает разворот где-то на середине пути. (Иначе он также двигался бы по прямой, но никогда не встретился бы с Алисой, и мы не узнали бы, чем все закончилось.)

При встрече близнецы обнаружат, что они больше не ровесники: для Боба прошло меньше собственного времени, чем для Алисы. Кроме того, часы брата сильно отстали от часов сестры. В численном выражении, при условии что корабль мчался вперед и назад с постоянной скоростью, равной 99 % скорости света, за каждый год, прошедший для Боба, Алиса старела примерно на семь лет (чуть позже мы подтвердим это расчетом). И если бы Боб провел в путешествии десять лет, он мог бы и не застать Алису в живых.

Мы (пока) не можем летать в космические путешествия почти со скоростью света, а значит, не можем проверить это предположение. Однако с элементарными частицами такие эксперименты уже проводились и показали: оно безоговорочно верно. Затраты времени путешественника зависят от траектории в пространстве-времени так же, как пройденный путь – от траектории в пространстве.

Поэтому, как говорилось выше, никаких парадоксов здесь нет. Есть только радикальный пересмотр наших взглядов на природу времени. Во вселенной Ньютона время одинаково для всех, включая космических путешественников. Часы у них не отстают. Но во вселенной Эйнштейна у каждого человека свое время.

Скорость времени

Мысленный эксперимент с близнецами вызвал множество не слишком-то полезных споров о «скорости времени». Если Боб постарел меньше, чем Алиса, хочется сказать, что его часы шли медленнее. Но тех, кто поддастся этому искушению, ждет несколько затруднений.

При некоторых обстоятельствах, например когда человек взволнован, скучает, сходит с ума от ожидания либо трясется от страха, он чувствует, будто течение времени изменилось. В зависимости от ситуации кажется, что оно ускорилось или, наоборот, замедлилось. Но будьте спокойны: тут в дело вступает не физика, а биология с психологией. Это обычный сбой внутренних часов, механизма до ужаса ненадежного. Время само по себе не может ни ускоряться, ни замедляться.

Опять же, что значит «время ускорилось»? Скорость показывает изменение какой-то величины со временем (производная!). Например, скорость движения показывает путь, пройденный за единицу времени, скорость заполнения бассейна – количество вливаемой в него воды (опять же за единицу времени). По этой логике скорость времени, если пытаться найти в ней смысл, должна показывать, сколько времени проходит за его единицу. Вот прямо так: количество секунд за секунду. Другого просто не может быть. Но это так же нелепо, как количество метров, пройденных на метр пути.

Да, иногда мы слышим о том, что согласно теории относительности время может ускоряться и замедляться. Чушь собачья. Или, если не прибегать к столь грубым словам, ошибочное описание реального явления.

Теория относительности (и в этом ее новшество) говорит о том, что два человека, которые движутся по разным траекториям в пространстве-времени, затратят на путь разное количество времени, даже если начнут и закончат движение в одних и тех же событиях. Но это не потому, что меняется скорость времени. Просто, идя по разным дорогам, они проделают разный путь. Точно так же человек, избравший прямую линию между точками в обычном пространстве, пройдет меньшее расстояние, чем тот, кто выбрал извилистую дорогу. Мы же не говорим при этом о разном количестве метров на метр?

Тот, кто уверен, что время может замедляться, на самом деле, скорее всего, хранит в глубине души учение Ньютона об абсолютном времени, как бы считает, что часы Боба показывают некое материальное время, текущее за пределами вселенной. Но никакого материального, абсолютного времени нет. Мы называем его четвертым измерением пространства-времени, не это делает время материальным. Можно придумать какую-то другую систему координат, но ничего не изменится: физические явления не зависят от нашего выбора.

Посмотрев на часы во время полета, Боб не заметил бы отклонений. Стрелка бы двигалась, как и всегда: секунда за секунду. Ведь Боб и его часы движутся вместе по одной траектории в пространстве-времени, а значит, и собственное время у них одинаково. И сердце у Боба стучало бы так же, как если бы он никуда не летел. (А если и учащалось бы – только из-за восторга от близости к звездам, что можно понять.)

Возможно, вы возразите: как бы там ни было, время замедлилось. В конце концов, к возвращению Боба Алиса стала гораздо старше, чем он. Как же так?

Чтобы понять, что часы близнецов идут по-разному, нам нужно их как-то сравнить. И в этом проблема. Если бы они лежали на столе рядом, мы бы могли смотреть на них. Но на большом расстоянии невозможно «в тот же момент» узнать, что они показывают. Потребуется время, чтобы сигнал от часов Боба дошел до нас, ведь никакой сигнал не может двигаться быстрее скорости света. К тому моменту, как мы получим такой сигнал, часы Алисы уже уйдут вперед.

Вы скажете: это же чисто техническая проблема. Мы можем как-то решить этот досадный вопрос с запаздыванием сигналов. Что же, попробуйте. Я сразу скажу: сравнивать что угодно мгновенно и с абсолютной точностью невозможно. Это противоречит самой природе.

Правильный путь – оставить в покое идею сравнения часов. Отставание по времени совершенно нормально и соответствует теории относительности. Нашим глазам и чувствам открыта лишь малая часть этого мира. Мы не имеем полной его картины, а значит, не вправе считать, что он устроен именно так, как мы его видим.

Пространство-время Минковского

Мы долго предавались словесным рассуждениям. Настало время для уравнений.

Как нам уже известно, время, измеренное движущимся в пространстве-времени хронометром, аналогично показаниям одометра, то есть расстоянию, пройденному по траектории в обычном пространстве. Нужно бы нарастить на этот скелет немного численного мясца. Поэтому мы задумаемся о том, как измеряется расстояние.

Ответ нам дают Пифагор и его теорема. В прямоугольном треугольнике один из внутренних углов равен 90°, а длинная сторона, которая лежит напротив него, называется гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат ее длины равен сумме квадратов двух других сторон: a2 + b2 = c2. Это свойство весьма интересно само по себе и приводит в восторг любителей геометрии. Крайне важно оно и для нас, определяющих положение в пространстве в декартовых координатах.

Рассмотрим для простоты изложения двумерное пространство, координаты в котором мы по традиции обозначим за x и y. Мы можем четко определить расстояние d между любыми двумя точками в этом пространстве. Построим для этого прямоугольный треугольник: начнем из первой точки и будем двигаться в направлении x (по горизонтали), пока не поравняемся со второй точкой, а затем в направлении y (по вертикали), пока не дойдем до нее. В этом треугольнике длины коротких сторон будут равны Δx и Δy, а длина гипотенузы и будет нужным нам расстоянием d. (Напомню, что греческая буква дельта показывает изменение стоящей за ней переменной.) Поэтому, согласно теореме Пифагора, расстояние между двумя точками можно выразить через изменение координат:

d 2 = (Δx)2 + (Δy)2. (6.1)

Скорее всего, вам это известно. Отличная новость в том, что практически все то же самое работает и в пространстве-времени. Я говорю «практически», так как есть одно важное изменение: в пространстве-времени в теорему Пифагора прокрадывается знак «минус». Именно он и виновен в том, что на прямых вместо «минимального расстояния» мы получаем «максимальное время».

Возьмем теперь упрощенное двумерное пространство-время, в котором будет одна координата x для пространства и координата t для времени. Представим в нем прямую линию между двумя событиями (рассмотрим движение с постоянной скоростью). Обозначим собственное время, которое измеряется взятыми в путь часами, греческой буквой тау (τ). Как и в прошлый раз, обозначим изменение координат за Δx для пространства и Δt для времени.

Отличительная особенность пространства-времени Минковского – дома, в котором живет и действует специальная теория относительности, – состоит том, что собственное время можно определить по формуле, похожей на теорему Пифагора, но в которой пространственный компонент является не слагаемым, а вычитаемым:

τ 2 = (Δt)2 – (Δx)2. (6.2)

Это простое уравнение сообщает нам очень много о том, как работает пространство-время (в общем-то большего знать и не надо). Возьмем неподвижного наблюдателя. В придуманной нами системе координат он будет двигаться во времени, сохраняя свое положение в пространстве. Поэтому для него τ 2 = (Δt)2, то есть τ = Δt. Собственное время неподвижного наблюдателя строго совпадает с разностью координат по оси времени. Именно к этому мы и привыкли в обычной жизни.

Совсем по-другому идут дела у тех, кто куда-то бежит. Для них Δx не будет равно нулю, а значит, их собственное время будет меньше, чем у неподвижного наблюдателя за счет того самого знака «минус» из формулы (6.2). Так теория относительности навязывает нам сделку: чем больший путь в пространстве проходим мы, двигаясь от события к событию, тем меньше проходит для нас времени.

Пока что мы говорили лишь о прямых траекториях. На самом деле мы ими не ограничены и можем записать уравнение для любой мировой линии. Догадываетесь как? Для этого нужно записать выражение (6.2) в бесконечно малых величинах, а затем применить высшую математику. Для начала получим

dτ 2 = dt2 – dx2. (6.3)

Чтобы вычислить собственное время, затраченное на движение по траектории, нужно взять интеграл Δτ = ∫dτ.

Есть мнение, что специальная теория относительности работает только для равномерного движения, а при ускоренном не обойтись без общей. Ерунда. Общая теория относительности приобретает важность в искривленном пространстве-времени, где действует гравитация. В плоском пространстве-времени, которое предложил Минковский, а мы – рассматриваем в этой главе, действует специальная теория, но траектории могут быть любыми.

Скорость света

Время покаяться. Мы немного схитрили, изменяя теорему Пифагора и выводя уравнения (6.2) и (6.3). Вспомните про анализ размерности. Физические величины можно складывать только при том условии, что они выражаются в одних и тех же единицах измерения. Но τ2 и (Δt)2 – это квадраты времени, а Δx2 – квадрат расстояния. О чем мы думали, вычисляя их разность?

Фокус здесь в том, что теория относительности вводит универсальный коэффициент преобразования между пространством и временем (двумя направлениями в пространстве-времени), который обозначается буквой c и всегда равен одной величине:

c = 299 792 458 метров в секунду. (6.4)

Возможно, это число известно вам под названием «скорость света». Но дело здесь совсем не в том, что свет движется настолько быстро. Это число – универсальная постоянная, скорость, которая вплетена в саму ткань мироздания, а нам позволяет преобразовывать время в пространство и наоборот. Световые (как, впрочем, и гравитационные) волны действительно распространяются с этой скоростью, но это можно считать обычным совпадением.

С учетом огромной важности этой константы именно для нее придумали новую единицу измерения: световую секунду. Она гораздо удобнее, чем старомодные метры. По определению световая секунда равна расстоянию, которое свет проходит за одну секунду, то есть 299 792 458 метров. Это число можно выразить точно, поскольку не составляет труда определить одну секунду как некоторое количество колебаний атома, после чего сказать, что метр – это расстояние, которое свет проходит за 1/299 792 458 секунды.

Несмотря на точность, число получается странное. Если же вместо метров использовать световые секунды, все будет просто:

c = 1 световая секунда в секунду. (6.5)

Примечательно, что такие единицы измерения делают с равной 1, а значит, мы можем просто не учитывать скорость света в уравнениях: деление и умножение на 1 все равно ничего не меняет. Именно так мы и поступили, когда записывали выражение (6.2). В правой части, где стоит Δx, на самом деле имелось в виду Δx/c. Выбрав единицы измерения, в которых c = 1, мы можем как бы опустить скорость света, приняв ее за нечто само собой разумеющееся. Ведь так и формула проще, и понимание того, что расстояние и время – лишь показатели перемещения в пространстве-времени, глубже.

Теперь мы можем посмотреть на мысленный эксперимент с близнецами с численной стороны. Рассмотрим путь Боба со взлета до точки разворота. (Вторая половина пути по сути повторяет первую, разница лишь в направлении. Поэтому нет нужды повторять один и тот же расчет дважды.) При этом мы будем предполагать, что корабль Боба летит с постоянной скоростью:

(6.6)

Мы знаем, что Δx = vΔt. Подставив это в выражение (6.2), получим:

(6.7)

или

(6.8)

Алиса и Боб начинают и заканчивают путь в одних и тех же событиях, преодолевая его за Δt. Алиса неподвижна, поэтому ее собственное время равно изменению координат по оси времени. Но Боб затрачивает в раз меньше собственного времени (в тех единицах, в которых с = 1, не забываем об этом). Если ν = 0,99, получим , а 1/0,14 – это около 7. Вот почему Алиса будет проживать семь лет за один год Боба.

Этот же расчет объясняет, почему нам потребовалось так много времени, чтобы прийти к теории относительности. Ньютон был очень умен. Зачем же он собрал все собственные времена в одну кучу, которую назвал абсолютным временем? Все очень просто. Мы всю свою жизнь почти неподвижны по сравнению со светом. Автомобиль едет со скоростью 100 км/ч, но это лишь 10–7 в единицах, где c = 1. А значит, коэффициент в выражении (6.8) равен 0,999999999999995. Это настолько близко к 1, что никто никогда не заметит разницы. В нашей обыденной жизни собственное время, проведенное в пути, по сути неотличимо от фонового координатного времени.

Световые конусы

Знак «минус» в формуле собственного времени (6.2) открывает интересную возможность. Рассмотрев прямую траекторию, при движении по которой изменение пространства и времени одинаково, то есть (Δx)2 = (Δt)2, мы получим, что τ = 0. Объект перемещается в пространстве, но не затрачивает собственного времени. Такое возможно только при движении со скоростью света:

(6.9)

(Знак «минус» тут означает, что объект может двигаться и налево, и направо, что сейчас для нас не имеет значения.)

Довольно интересный результат. Все, что движется со скоростью света, в том числе и сам свет, не ощущает хода времени. Так и хочется спросить: а что если бы мы могли летать с такой скоростью? (Видимо, Эйнштейн задавался таким вопросом, когда был студентом.) Короткий ответ: ничего бы не было. Если бы мы могли лететь со скоростью света, мы бы не ощущали течение времени. Оно бы для нас замерло. Ни ощущений, ни мыслей.

Пространственно-временные траектории, по которым объект движется со скоростью света, называются нулевыми (поскольку время равно нулю) или светоподобными (по очевидным причинам). В единицах измерения, при которых c = 1, на схеме пространства-времени нулевые траектории будут диагоналями, наклоненными на угол 45°. Именно при таком условии изменение пространственных координат и времени будет одинаковым. Движение со скоростью меньше скорости света будет происходить больше во времени, нежели чем в пространстве. Такие траектории называются временеподобными и располагаются более вертикально по сравнению со светоподобными. Мы также можем подумать и о пространственноподобных траекториях, которые располагаются более горизонтально, так как движение происходит не столько во времени, сколько в пространстве. Физические объекты не могут двигаться по ним (так как нельзя лететь быстрее света), но рисовать их никто запретить нам не может.

Возьмем какое-то событие и обозначим его А. Изобразим чертеж, на котором светоподобные лучи будут начинаться с этого события и направляться в будущее. Как будто кто-то включил и тут же выключил лампочку, а мы отследили траектории всех разлетающихся фотонов. (Примерно так круги расходятся по воде, если бросить в озеро камень. Но только фотоны летят со скоростью света.) Все вместе эти лучи образуют световой конус события А. Гипотетической лампочки может и не быть: такой конус есть у любого события, даже если оно не сопровождается вспышкой света. Фактически конусов даже два: один направлен в будущее, а другой в прошлое, то есть состоит из светоподобных траекторий, которые начинаются где-то в прошлом и заканчиваются событием А.

Связанное со скоростью света ограничение означает, что все исходящие от события физически допустимые траектории должны оставаться внутри его светового конуса. Это касается любых событий. В каждой точке пространства-времени можно построить световые конусы для будущего и прошлого, и все траектории, на которых лежит эта точка, будут располагаться внутри этих конусов.

Световой конус заменяет собой винтажное представление Ньютона об абсолютном пространстве и времени. Стараясь изобразить его на рисунке, мы бы разрезали пространство-время на горизонтальные «моменты времени». При этом события, разделенные в пространстве, но происходящие одновременно, мы бы назвали «синхронными».

Но перейдя к теории относительности, мы потеряли право так делать: синхронных событий больше не бывает. Теперь мы говорим о «временеподобно разделенных» событиях, если одно из них находится в световом конусе другого, либо о событиях «пространственно разделенных» в противоположном случае. Именно с такими определениями согласится любой наблюдатель во вселенной.

Еще раз. Разделение пространства-времени на слои, соответствующие горизонтальным перемещениям, кажется нам естественным, потому что в жизни мы движемся очень медленно по сравнению со светом. Для наших целей метры гораздо удобнее световых секунд. (За всю историю человечества лишь несколько космонавтов – экипаж «Аполлона» – были на расстоянии более световой секунды от родной Земли. И добирались они туда намного дольше одной секунды.) Если рисовать световой конус в метрах и секундах, нулевые траектории не будут наклонены под углом 45°, но станут почти горизонтальными, ведь за секунду свет пролетает огромное количество метров. На таких конусах трудно заметить разницу между временеподобным и пространственноподобным разделением событий, но все-таки она существует.

Стремление делить пространство-время на несоответствующие в реальности слои синхронных событий преодолеть очень сложно. Но тем, кто всерьез занялся теорией относительности, нужно стараться забыть о них, думать только о световых конусах, объективных и универсальных.

Системы отсчета

Если деление плоского пространства-времени специальной теории относительности на горизонтальные срезы синхронных событий – напрасная забава, резать искривленное пространство-время общей теории относительности, пожалуй, просто невозможно. Но все же нужно признать: люди, как им ни объясняй, не перестанут мыслить в таких категориях. Нам тоже стоит подумать об этих срезах, ведь именно они способны пролить свет на такие вещи, как «сокращение длины». Поняв это, мы сможем наладить общение с коллегами-энтузиастами специальной теории относительности.

Итак, мы называем горизонтальные срезы «системами отсчета» или даже «глобальными системами отсчета», чтобы подчеркнуть их распространение на все пространство. Начнем как обычно: припомним, как все работает именно в пространстве. На плоскости (двумерном плоском пространстве) удобно использовать декартову систему координат с осями x и y, которые перпендикулярны друг другу. При этом никто не сомневается: первична именно плоскость, система же координат – лишь средство для поиска точек на ней. Мы можем выбрать другую систему, x′ и y′, например, повернув исходную на некоторый угол. Новые координаты будут не менее полезны, чем старые. Физически же измеримые величины, такие как расстояния между точками, от поворота не изменятся.

Можно проделать все те же действия и в пространстве-времени. Возьмем наблюдателя, который движется без ускорения, и поместим его в начало системы координат. Примем за ось t собственное время наблюдателя, которое показывают его часы. Проявив немного воображения, представим себе, что раз в секунду от наблюдателя исходят «бесконечно быстрые» лучи, которые расходятся во всех направлениях. Просто полет фантазии, не более: мы знаем, что бесконечных скоростей не бывает. Такие лучи представляют собой пространственноподобные линии, «перпендикулярные» мировой линии наблюдателя. Мы будем откладывать по ним координату x. У нас получилась система координат, инерциальная система отсчета, которая распространяется на все пространство-время. (Мы называем ее «инерциальной», поскольку наблюдатель движется без ускорения.)

Вы догадались, что будет дальше? Мы сделаем то же самое, что и раньше, но на этот раз возьмем другого наблюдателя, который движется также без ускорения (то есть с постоянной скоростью) относительно первого. Определим еще одну систему координат, используя собственное время наблюдателя t’ и исходящие от него пространственноподобные лучи x’. Получим некую аналогию поворота декартовой системы координат в обычном пространстве. Переход между ними называется преобразованием Лоренца[17]17
  Работы Лоренца настолько важны для специальной теории относительности, что поначалу ее порой называли «теорией Лоренца – Эйнштейна». Однако сам Лоренц не отказался от идеи о светоносном эфире и связанной с ним неподвижной системе отсчета.


[Закрыть].

Но вот сюрприз! Если нанести бесконечно быстрые лучи на уже привычный нам график пространства-времени, они не покажутся нам нормальными к траектории наблюдателя. Новые оси времени и пространства (t’, x’) будут располагаться под острым углом, образуя своеобразные ножницы. Однако фактически угол между ними прямой. Во всем этом виноват знак «минус» в формуле (6.2).

С физической точки зрения такое превращение в ножницы можно понять как следствие постоянства скорости света. Можно заметить, что относительно светового конуса новые оси времени и пространства наклонены на одинаковый угол. А это и говорит о том, что для любого наблюдателя скорость света неизменна независимо от применяемой системы отсчета.

Здесь уместно упомянуть, что «теория относительности» – название неправильное. Основное значение слова «относительность» в данном контексте состоит в том, что во Вселенной не существует объективной, предпочтительной системы отсчета. Мы можем измерять скорость объекта только относительно других объектов, но не в абсолютном смысле. Но это было верно и в механике Ньютона, основанной на относительности Галилея. «Теория относительности» в современном понимании представляет собой сочетание принципа относительности и постоянства скорости света для всех наблюдателей. Можно сказать и более элегантно: мы живем в пространстве-времени Минковского, где собственное время определяется формулой (6.2).