Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 18 страниц)

Взгляд с точки зрения энергии

Определив воздействующую на шар силу и засучив рукава, мы можем точно узнать, как он будет двигаться по холмам любой формы. Для этого нужно вычислить ускорение по второму закону Ньютона и взять несколько интегралов. Звучит немного утомительно. Поэтому попробуем осмыслить движение шара, взглянув на него с точки зрения сохранения энергии.

Шар обладает не только потенциальной, но и кинетической энергией:

(3.4)

где v – скорость шара. Сложив оба вида энергии, мы получим суммарную энергию шара, которая остается постоянной на протяжении всей его траектории:

(3.5)

Уже само это уравнение позволяет узнать кое-что о движении шара. Кинетическая энергия минимальна (то есть равна нулю), когда шар неподвижен. Следовательно, потенциальная энергия, а значит и высота шара, при нулевой скорости достигает максимума. Аналогичным образом шар разовьет наибольшую скорость, когда потенциальная энергия снизится до минимума, то есть у подножия холма.

Закон сохранения энергии позволяет легко представить себе траекторию движения. Положим шар к подножию холма. Потенциальная энергия минимальна, ее производная равна нулю, а значит, на шар не будет действовать сила и он останется лежать, где лежит. Такое поведение вполне согласуется с тем, что мы понимаем чисто интуитивно: лежащий у подножия шар никуда не покатится.

Теперь поместим шар на склон холма и отпустим. Начальная скорость шара равна нулю, поэтому суммарная энергия будет равна потенциальной. Шар покатится вниз, ускоряясь, а его потенциальная энергия начнет переходить в кинетическую. Затем шар перейдет на другой холм и начнет подниматься. Его скорость будет снижаться до нуля, а потенциальная энергия – расти до максимума. Достигнув высоты, с которой он начал движение, шар полностью остановится, а затем начнет обратное движение вниз. Поэтому такая точка траектории называется точкой поворота.

В идеальном мире без трения шар станет бесконечно курсировать от одной точки поворота до другой. Не нужно думать, что рано или поздно он остановится у подножия холма, как подсказывает интуиция. Ее подсказка будет верна в реальном мире, где трение есть. Но если шар не теряет энергию, он обречен совершать колебания до скончания веков.

Простой гармонический осциллятор

Сферическая корова сферической корове рознь. Любимая сферическая корова всех физиков – самая важная, простая и четко разрешаемая физическая система с огромной областью применения: простой гармонический осциллятор.

Продолжим катать шар по холму без трения, но теперь возьмем холм весьма специфической формы. Если конкретно, рассмотрим параболическую долину с минимумом в точке x = 0. При этом потенциальная энергия будет равна:

V(x) = V0x2. (3.6)

Здесь V0 представляет собой параметр, который определяет ширину параболы: чем меньше V0, тем шире парабола.

Посмотрев на эту формулу, можно сразу сказать, как будет двигаться шар. Если поместить его куда-то на правую сторону параболы, например в точку x = x0, он покатится вниз, а затем начнет подъем по левой стороне. Так как потенциал на обеих сторонах параболы одинаков и симметричен относительно x = 0, в силу закона сохранения энергии можно сказать, что шар поднимется до точки x = —x0, где наберет первоначальную потенциальную энергию. Затем он снова покатится вниз и вернется в точку x = x0. Эти перемещения будут повторяться бесконечно.

Мы можем подумать о движении шара с точки зрения сил. Из уравнения (3.3) следует, что сила в направлении x равна отрицательному значению производной потенциала. Потенциал равен V(x) = V0x2, а из формулы (2.9) мы знаем, что d(x2)/dx = 2x. Поэтому Fx = —dV/dx = –2V0x. При отрицательных значениях x сила будет положительна и толкать шар вправо, при положительных – отрицательна и толкать его влево, то есть в обоих случаях – к минимуму параболы, точке x = 0. Такая сила называется восстанавливающей. Ее значение пропорционально расстоянию от точки равновесия x = 0.

Подобные системы называются осцилляторами, поскольку совершают возвратно-поступательные движения. У гармонического осциллятора потенциал строго пропорционален x2 (например, если вместо x2 взять x4, осциллятор не будет гармоническим); у простого гармонического осциллятора энергия полностью сохраняется (за отсутствием трения). Есть также гармонические осцилляторы «с затуханием», у которых трение не равно нулю, и «с возбуждением», в которые с течением времени поступает дополнительная энергия.

Можно построить график работы простого гармонического осциллятора. Для простоты изложения примем x0 = 1. Частица будет перемещаться вниз до –1, а затем возвращаться назад к 1. Колебания происходят бесконечно.

Функции такого вида могут быть знакомы тем, кто изучал тригонометрию (или вызывать у них воспоминания). Есть две очень важные тригонометрические функции: синус, график которой начинается с нуля, поднимается до +1, опускается до –1 и возвращается в ноль; и косинус, график которой начинается с +1, опускается до –1 и возвращается на +1.

Проще всего определить тригонометрические функции при помощи единичной окружности, то есть окружности с радиусом 1. Любую точку на ней можно однозначно определить при помощи угла θ относительно оси x. Мы будем измерять углы в радианах, особых единицах, в которых 360 градусам соответствует 2π радиан, где π = 3,14159… Это знаменитая константа, которую можно получить, если разделить длину любой окружности на ее диаметр (поэтому один радиан равен 180/π градусов). Есть много причин использовать радианы. Прежде всего потому, что интегралы и производные косинусов и синусов проще записывать. В радианах cos θ равен проекции точки на окружности на ось x, а sin θ – на ось y.

Как можно заметить, cos(0) = 1, а sin(0) = 0. Далее обе функции совершают колебания с периодом 2π радиан.

На вид график работы простого гармонического осциллятора очень похож на график косинуса. И это действительно так. Если осциллятор начинает работу из неподвижного состояния, действует формула:

x(t) = x0cos(ωt). (3.7)

Греческая буква ω означает угловую частоту осциллятора. При описании любых колебаний частота f показывает, как часто осциллятор возвращается в начальную точку, а угловая частота ω – как часто осциллятор делает полное колебание от 0 до 2π. Эти частоты связаны формулой ω = 2πf. У гармонического осциллятора с потенциалом (3.6) угловая частота составляет .

Теперь поговорим о скорости осциллятора. Сначала она равна нулю, поскольку работа начинается в неподвижном состоянии. Затем частица начинает движение влево, и скорость будет отрицательной. В точке поворота скорость снижается до нуля, после чего начинается обратное движение. По описанию это похоже на перевернутый синус (поскольку график sin θ начинается с нуля и идет вверх, а v(t) – начинается с нуля и идет вниз). Следовательно:

v(t) = v0sin(ωt). (3.8)

График скорости осциллятора имеет такую же угловую частоту, как и график положения. Величина ν0 зависит от массы частицы. Если подумать о сохранении энергии, можно связать x0 и V0.

Гармонические осцилляторы повсюду

Возможность получить такие же точные уравнения движения, как в случае с простым гармоническим осциллятором, приносит не только радостные чувства, но и пользу. Вот только в реальных физических системах она предоставляется очень редко. Даже ничем не примечательный осциллятор с потенциалом четвертой степени V(x) = V0 x 4 не имеет точных решений, которые можно записать простыми функциями. Поэтому простой гармонический осциллятор можно ценить уже только за это.

Еще лучше, когда точно разрешаемая система снова и снова появляется в реальном мире. И к счастью, именно так можно сказать о простом гармоническом осцилляторе.

Подумайте о разных физических системах, которые на первый взгляд никак не связаны с шаром на холме. Вот, например, груз, который подвешен на пружине. Если потянуть за него, растянуть пружину и отпустить, под ее силой груз будет двигаться вверх. Аналогичным образом (если, конечно, взять идеальный мир с безупречной пружиной, которая не перегибается и не сминается), сжатая пружина будет толкать груз вниз. Точка равновесия находится в середине, где сбалансированы все силы, и если отпустить груз, он никуда не сместится. Однако даже небольшое перемещение вверх или вниз от этой точки вызовет колебания груза.

Оказывается, вертикальное перемещение груза на пружине, как и движение шара на параболическом холме, можно описать синусоидой (так часто называют график синуса, косинуса и их смещенных вариантов). Стоит немного остановиться на этом. Физически две системы (шар и груз) совсем непохожи. Но их описывают одинаковые уравнения, так что на взгляд абстрактного физика-теоретика это одна и та же система. (Экспериментатор, которому придется создать такую систему, может с этим утверждением не согласиться.)

Есть и еще одна, более глубокая причина популярности гармонического осциллятора среди физиков: огромное количество систем, вплоть до вибрирующих квантовых полей в стандартной модели физики частиц, в некотором приближении можно считать простыми гармоническими осцилляторами. Нетрудно понять почему.

Рассмотрим некоторую физическую систему, которая совершает колебания взад и вперед относительно определенной точки равновесия (или остается неподвижной, если ее работа начнется в этой точке). Трение отсутствует, так что энергия полностью сохраняется. Обозначим за x расстояние между текущим положением системы и точкой равновесия. Потенциальная энергия изменяется по функции V(x), и в этот раз мы будем считать ее совершенно произвольной.

Применим важное математическое свойство: любую непрерывную функцию (то есть такую, в которой нет разрывов – скачков от одного значения к другому) можно выразить как бесконечный ряд, сумму слагаемых, в каждом из которых x стоит в какой-то степени.

V(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4 + … (3.9)

Главное – правильно подобрать коэффициенты {a, b, c…}. Давайте задумаемся о них. Первый член ряда, a – просто постоянное число. Он не влияет на форму графика, но сдвигает его вверх или вниз. Однако на силу влияет именно форма, уклон, а не конкретное численное значение. Из формулы (3.3) мы знаем, что сила – это производная потенциала, поэтому можно поставить любое a, например написать, что a = 0. Это никак не скажется на работе системы.

Посмотрим на другие члены ряда. Мы приняли x = 0 за точку равновесия, в которой система может находиться без движения. Что будет, если немного сдвинуть ее с этой точки? Значение x будет очень мало (много меньше единицы). Но если умножить такое число на само себя, результат получится еще меньше. Поэтому значения слагаемых в формуле (3.9) будут тем меньше, чем больше степень x. При достаточно малых x влияние будет иметь только самое первое из них, bx. Это, конечно, аппроксимация, но она работает при х, стремящемся к нулю. Какие коэффициенты ни выбрать, всегда найдутся значения x, при которых важным будет лишь первый член ряда.

Но подождите. Если x = 0 – это точка равновесия, потенциал V(0) в ней должен быть минимальным: ведь это подножие холма, где уклон нулевой, а сила не действует. Но при малых значениях x можно сказать, что V(x) ≈ bx, то есть уклон графика V при x = 0 – это просто b. Он будет нулевым только при условии, что b = 0. Поэтому с учетом сделанных предположений мы можем принять b = 0 так же, как ранее приняли a = 0. В противном случае при x = 0 потенциал не окажется минимальным. Таким образом, формула принимает такой вид:

V(x) = cx2 + dx3 + ex4 + … (3.10)

Теперь, исходя из тех же соображений, мы можем сказать, что при достаточно малых значениях x все степени высокого порядка будут пренебрежимо малы. Другими словами, в довольно грубом приближении мы видим, что потенциал колебательной системы вблизи точки равновесия выражается формулой

V(x) ≈ cx2. (3.11)

А это просто парабола, то есть мы получаем простой гармонический осциллятор. Это удивительный результат: в отсутствие трения, при малых отклонениях от точки равновесия почти любую колебательную систему можно аппроксимировать простым гармоническим осциллятором[7]7
  Вы понимаете, почему «почти любую»? Допустим, что нам, к несчастью, досталась система, в которой c = d = 0 (ее потенциал в точности равен V(x) = ex4). Такую систему нельзя аппроксимировать гармоническим осциллятором даже при малых значениях x.


[Закрыть]. Шар у подножия холма, груз на пружине, маятник или атом, смещающийся внутри молекулы, амплитуда звуковой волны или электрического тока, даже значение поля бозона Хиггса – если систему можно описать в терминах кинетической и потенциальной энергии, рядом с точкой, где она минимальна, потенциал можно аппроксимировать параболой, а значит, физически эта система будет вести себя как гармонический осциллятор. Такое соответствие не будет точным, поскольку вдали от точки равновесия члены (3.10) с большими степенями будут иметь значение. Однако такие усложнения можно добавить к модели позже.

Итак, мы видим, как сферические коровы становятся реалистичными и философия обретает практический смысл. Мы не просто рассматриваем донельзя упрощенные системы и надеемся на лучшее.

Идея взять сложное выражение и записать его в виде бесконечного ряда слагаемых, как в уравнении (3.9), применима к широкому кругу задач. И нам очень часто везет: последующие члены ряда меньше, чем несколько первых. Поэтому появился систематический метод, известный как теория возмущений: мы записываем формулу, которая показывает работу системы как сумму из двух частей: несложной основы и небольшого возмущения. Затем мы находим решение для основной части и начинаем постепенно накладывать все остальное. Иногда (не всегда) Вселенная помогает нам понимать ее.

Фазовое пространство

Согласно парадигме Лапласа, траектория системы определяется скоростью и положением всех ее частей в какой-то момент времени. Мы уже знаем, что импульс объекта равен произведению его массы на скорость, . Поскольку обычно мы рассматриваем системы с постоянной массой, то для предсказания поведения системы указание «позиции и импульса» эквивалентно указанию «позиции и скорости». Когда мы перейдем к более сложным вопросам физики (то есть уже в следующей главе), мы сможем понять, что с определенной точки зрения импульс значительно более важен, чем скорость, и будем использовать именно его.

Множество всех возможных импульсов и положений системы называется ее фазовым пространством:

(Фигурные скобки {} обычно обозначают множество.) Чтобы проследить движение системы в соответствии с механикой Ньютона, достаточно указать, в какой точке фазового пространства она находилась в тот или иной момент времени. Другими словами, фазовое пространство – это множество всех возможных состояний, в которых может находиться система.

Рассмотрим один довод в пользу того, что импульс более важен, чем скорость. Ускорение представляет собой производную скорости по времени. Второй закон Ньютона неявным образом предполагает, что масса объекта всегда постоянна. Поскольку константа может быть вынесена за знак производной, можно представить себе эту формулу не как произведение массы на производную скорости, но как производную произведения массы на скорость:

(3.12)

Поэтому можно переписать второй закон Ньютона, выразив силу через импульс:

(3.13)

В таком виде уравнение становится не только более компактным, но и более общим, поскольку остается в силе даже для объектов с переменной массой (например, для ракеты, которая постепенно становится легче, сжигая топливо). Сила показывает изменение импульса с течением времени.

В мире, который мы знаем, объекты находятся в трехмерном пространстве. Но математики, а следом за ними и физики, понимают слово «пространство» в более общем смысле: как некое множество с какой-то дополнительной структурой. Поэтому «множество всех возможных положений отдельного объекта» – это не что иное, как старое доброе трехмерное пространство. В отличие от него фазовое пространство является шестимерным: три измерения определяют положение, три других – импульс (который представляет собой трехмерный вектор).

Если система состоит из N частиц, расположенных в трехмерном пространстве, можно говорить о ее конфигурационном пространстве, которое имеет размерность 3N и показывает трехмерное положение каждой из частиц. Поскольку каждая частица обладает также трехмерным импульсом, существует и соответствующее 6N-мерное фазовое пространство. Система «Земля и Луна» – это два объекта, которые движутся в трехмерном пространстве. Поэтому фазовое пространство этой системы будет иметь размерность 12. И это если не принимать в расчет, что планеты – совсем не частицы, и надо бы учесть их ориентацию и моменты инерции.

В общем случае фазовое пространство – это математическая конструкция с очень большой размерностью, которая зависит от конкретной системы. Впервые эта идея нашла применение в работах Людвига Больцмана, Джеймса Клерка Максвелла и других ученых XIX века, которые занимались статической механикой и регулярно рассматривали системы из большого числа частиц. При этом под «большим числом» традиционно понимается число Авогадро, 6 × 1023, которому примерно равно количество атомов в одном грамме атомарного водорода.

Один грамм – немного, но все же заметно для человека, поэтому все, что имеет такой или больший размер, можно смело назвать макроскопическим. Множество, состоящее из числа Авогадро частиц, можно описать фазовым пространством с размерностью 3,6 × 1024. И это очень много.

Однако размерность фазового пространства может быть совсем не большой. Например, простой гармонический осциллятор имеет одномерное конфигурационное пространство (положение x), поэтому фазовое пространство будет двумерным: {x, p}. Его несложно и полезно нарисовать.

На этом рисунке показаны три возможные траектории какого-то простого гармонического осциллятора в фазовом пространстве. Импульс и положение изменяются циклически, но из разных начальных точек. Когда положение равно нулю, импульс достигает максимума и наоборот. Поэтому эти траектории будут эллипсами, размеры которых определяются начальным условиями. (Обратите внимание: речь идет об эллипсах в фазовом пространстве. В реальном пространстве осциллятор перемещается вперед и назад. Фазовое пространство устроено совсем по-иному. Нам нет нужды говорить о «скорости в фазовом пространстве», поскольку вся траектория определяется только начальной точкой.) Частота колебаний не зависит от начальной амплитуды. Поэтому один оборот по эллипсу система будет совершать за одно и то же время, каких бы размеров он ни был.

Чтобы немного развлечься, давайте посмотрим, что будет, если в системе появится трение, то есть возьмем осциллятор с затуханием, а не простой. Интуитивно мы знаем ответ: начнутся колебательные движения, но потеря энергии приведет к постепенному уменьшению амплитуды. Траектория такой системы в фазовом пространстве будет иметь форму спирали, сходящейся к центру.

Пространство путей

Мы много говорили о шарах, катящихся с холмов, и осцилляторах, которые движутся вперед и назад. Порадуем же себя чем-нибудь сногсшибательным.

Знакомясь с классической механикой, мы сделали акцент на парадигме Лапласа, согласно которой по заданному состоянию системы (точке в ее фазовом пространстве, то есть импульсу и положению) в какой-то момент времени можно определить всю ее траекторию. Возвращаясь к началу этой главы, можно сказать, что это все равно что закрыть глаза и идти по прямой. Мы знаем, что делаем в данный момент, и можем двигаться вперед во времени от одного момента к другому. Физики полагают, что такой подход связан с так называемой проблемой начального значения, так как расчет должен начаться с какого-то определенного состояния.

Однако прямую линию можно построить и по-другому, например натянув веревку между деревьями. Для этого нам не нужно думать о «начальном состоянии», достаточно двух деревьев, а веревка автоматически даст нам прямую, проложенную в нужном направлении. Этот подход решает проблему начального значения, но добавляет другую – проблему граничных значений: нам нужно знать начальную и конечную точки, то есть два дерева.

Веревку между деревьями можно описать глобальными, а не локальными свойствами (вспомним различие в описаниях орбит, сделанных Кеплером и Ньютоном). «Движение в одном и том же направлении» – главным образом локальный процесс: в каждый момент времени выполняются какие-то определенные действия. «Движение по кратчайшему пути» – глобальный процесс: нужно сравнить длину натянутой веревки с длиной ослабленной, а потому непрямолинейной.

Мы как бы представляем себе огромное математическое пространство: пространство всех возможных путей, вдоль которых мы можем протянуть веревку от одной точки к другой. Большинство из них будут совсем не прямыми, поскольку существует лишь один прямой путь. Извилистых же будет бесконечно много. В этом гигантском множестве возможностей прямой путь отличается тем, что имеет наименьшую длину.

Примечательно, что вся классическая механика может быть изложена на таком глобальном языке, который совсем не похож на локальный, на котором мы говорили до сих пор. Вместо того чтобы указывать импульс и положение частицы в какой-то момент времени, мы можем указать только положение, но в два момента, например x1 в какой-то начальный момент t1 и положение x2 в какой-то более поздний момент t2. Любая линия в пространстве имеет определенную длину. Аналогичным образом все возможные траектории между (x1, t1) и (x2, t2) можно (как мы увидим) охарактеризовать некоей величиной, которую называют действием и которая зависит от изменения кинетической и потенциальной энергии во время движения. Из всех возможных траекторий частица движется по той, что подчиняется законам Ньютона и, как оказывается, имеет минимальное значение действия.

Эта идея развивалась в период с XVII по XIX век и, как легко догадаться, получила название «принцип наименьшего действия». Она достаточно далека от привычного нам мышления, поэтому сделаем паузу, чтобы поговорить о положенной в ее основу математической философии.

Значительная часть математической науки посвящена изучению пространств и их отображению друг на друга. Простая функция f(x), можно сказать, отображает на себя множество действительных чисел. Мы, сами того не зная, видели уже и другие примеры. Когда мы говорим «положение частицы», мы чаще всего видим точку в пространстве, а математик – отображение этой точки на трехмерное пространство.

Аналогичным образом траектория частицы, которая движется в пространстве сквозь время, является отображением какого-то промежутка на это пространство.

Что примечательно, понятие длины кривой можно определить при помощи отображения пространства всех кривых (скажем, между двумя конкретными точками) на множество неотрицательных чисел, в котором каждой из них соответствует длина L.

Нужно признать, довольно сложно изобразить «пространство всех кривых между двумя конкретными точками». Обычно рисуют несколько показательных примеров в надежде, что всю остальную работу возьмет на себя воображение.

Точка, линия и плоскость – это пространство с нулем, одним и двумя измерениями соответственно: по одному измерению на каждую единицу данных, необходимых, чтобы определить положение в пространстве. Поэтому пространство всех кривых будет иметь бесконечно много измерений, ведь каждая кривая проходит через бесконечное число промежуточных точек. Конечно, все это несколько усложняет математику, необходимые для работы инструменты. Однако примечательно, что многое из того, чем мы обычно пользуемся, работает в бесконечномерных пространствах без особых изменений.

Например, существует вариационное исчисление – вариант дифференциального исчисления, приспособленный для бесконечномерных пространств. Это довольно забавная штука, но мы не будем туда погружаться. Жизнь коротка, а нас впереди ждет еще столько всего интересного. Я говорю о нем лишь затем, чтобы подчеркнуть его важность для «нахождения кривой минимальной длины».

Возьмем обычную функцию одной переменной, f(x). Производная df/dx показывает наклон графика этой функции в каждой из точек. Но просто взглянув на график, мы можем заметить важное свойство: везде, где функция имеет локальный максимум (вершина холма) или минимум (дно долины), производная равна нулю.

Именно это свойство и есть главный секрет того, как математики ищут минимальные длины или другие параметры. Вернемся ко множеству всех возможных кривых. На нем можно определить функцию, которая будет отображать каждую из кривых на определенное число – ее длину. Найдем производную этой функции, учтя все возможные способы бесконечно малой деформации кривой. И там, где функция имеет минимальное значение, производная будет равна нулю. Это позволит нам перейти от словосочетания «кратчайший путь» к набору математических формул, показывающих, где «производная функции длины в пространстве путей становится равной нулю».