Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 15 (всего у книги 18 страниц)

Принцип действия

В главах 3 и 4 мы рассмотрели несколько равносильных формулировок классической физики, предложенных Ньютоном, Лагранжем и Гамильтоном. Общая теория относительности – также классическая, а потому не следует удивляться тому, что ее уравнения могут быть выведены разными, но эквивалентными способами. Пойдем по пути Лагранжа и вспомним принцип наименьшего действия, который, как оказалось, очень удобен для осмысления релятивистских теорий, поскольку естественным образом уравнивает в правах пространство и время.

В прошлый раз, рассматривая этот принцип, мы говорили о частице, которая в точке x движется со скоростью v = dx/dt. Мы определили лагранжиан L как функцию, зависящую от x и ν и равную разности кинетической и потенциальной энергий. Действие – это интеграл лагранжиана по времени:

(8.19)

Из всех возможных путей из начальной точки в конечную реальная частица выберет такой, на котором действие сведется к минимуму.

Теперь ситуация немного другая. Вместо частицы, занимающей какое-то положение в пространстве, мы будем говорить о динамике метрического тензора. Общая теория относительности – это пример теории поля, поскольку тензор gµv(t, xi), в отличие от такой частицы, – поле, которое имеет значение в каждой точке пространства-времени. Рассмотрим особую функцию , которая называется плотностью Лагранжа. Чтобы найти лагранжиан, нужно проинтегрировать ее по всему пространству:

(8.20)

Обозначение d3x = dx1dx2dx3 указывает на то, что интеграл берется по всем трем измерениям пространства. Интегрируя функцию пространства-времени (плотность Лагранжа) по пространству, мы получаем функцию времени (собственно лагранжиан). Действие будет равно интегралу по времени, или, что то же самое, интегралу по пространству-времени:

(8.21)

Давайте представим себе, что еще не знаем уравнение Эйнштейна. Попробуем вывести его из принципа наименьшего действия. Задача понятна: нам нужно определить плотность Лагранжа L. Она должна состоять из метрики и ее производных (так же, как плотность Лагранжа простой частицы состоит из ее положения и его производных, а именно скорости). Хорошая новость в том, что мы ищем скалярную функцию: тензор с нулем индексов, а не с двумя, как в левой части выражения (8.14). Это существенно облегчит нашу работу.

Фактически такая функция только одна: это скаляр кривизны Риччи R. И так как других вариантов для нашей метрики, в общем-то, нет, можно записать, что . Для правильной работы сил гравитации в формулу нужно включить гравитационную постоянную G. Кроме того, нам потребуется плотность Лагранжа для материи. Мы не можем сказать, чему она равна, поскольку это зависит от типа материи. В результате получим такое выражение:

(8.22)

Вот и все. Мы определили действие, которое сводит к минимуму метрику пространства-времени. Как можно заметить, оно соответствует уравнению Эйнштейна (8.18). Правда, для простоты мы опустили одну деталь: в искривленном пространстве-времени «пространственный элемент» выглядит несколько необычно. И чтобы помнить об этом, мы записали его как

[27]27
  Если вам непременно хочется это знать, пространственный элемент , где g – определитель метрического тензора.


[Закрыть], а не просто d4x.

Вдумайтесь, насколько прекрасен этот подход. Предложить правильный вариант скалярной плотности Лагранжа гораздо проще, чем подобрать тензор для уравнения Эйнштейна, а наш любимый закон сохранения энергии соблюдается автоматически, без всяких усилий или проверок с нашей стороны. Разумеется, чтобы верно истолковать принцип наименьшего действия, а затем проделать все нужные выкладки (которые здесь мы, естественно, не приводим) и получить уравнение Эйнштейна, требуется сильный математик.

Эйнштейн, конечно же, был очень силен в математике, а его коллега Давид Гильберт – один из величайших математиков начала XX века – еще сильнее. («Пространство Гильберта» – одно из важнейших понятий общей теории относительности.) Летом 1915 года, незадолго до того, как было выведено знаменитое уравнение, Гильберт предложил Эйнштейну прочитать несколько лекций в Гёттингенском университете. Ученые много говорили об искривленном пространстве-времени. Эйнштейн даже гостил у Гильберта, а когда вернулся в Берлин, продолжил переписку с ним. В результате они практически одновременно пришли к уравнению (8.18): Эйнштейн – методом проб и ошибок, а Гильберт – посредством математических ухищрений.

По мнению некоторых историков, Гильберт вывел уравнение поля за несколько дней до Эйнштейна, а тот в своей работе во многом полагался на материал, полученный от Гильберта в ходе переписки. Достоверных сведений об этом нет: часть писем утрачена, документы искажены правками. Ясно лишь то, что именно Эйнштейн впервые предложил рассмотреть гравитацию в терминах кривизны пространства-времени и он же впервые публично представил свое уравнение в окончательном виде, четко обосновав с точки зрения физики. Поэтому выражение (8.18) принято называть «уравнением Эйнштейна», а формулу (8.22) – «действием Эйнштейна – Гильберта». Эти названия довольно точно передают исторический контекст, а так бывает далеко не всегда.

Эмпирические последствия

В отличие от большинства физических теорий, целью создания общей теории относительности было не объяснение каких-то загадочных аномалий, найденных в ходе экспериментов, а устранение нестыковок между другими теориями. Эйнштейн пытался согласовать давно известные представления о гравитации, прежде всего закон обратных квадратов и принцип эквивалентности, со специальной теорией относительности. В итоге он смог это сделать, стоило лишь представить, что гравитация – следствие кривизны пространства-времени.

Когда же все было сделано и появилось уравнение поля, настало время вернуться к экспериментам, проверить новую теорию на практике.

Одной из таких проверок стал вопрос о прецессии орбиты Меркурия, что было немного нечестно, поскольку ученые уже неплохо изучили эту проблему. Кеплер утверждал, что планеты движутся по идеальным эллипсам, а Ньютон уточнил, что так может быть лишь тогда, когда вокруг идеально сферического Солнца вращается только одна планета, которая не испытывает при этом каких-то иных воздействий. В реальном мире планеты взаимодействуют друг с другом, и их орбиты немного смещаются. Подсчеты показали, что ось орбиты Меркурия поворачивается на 0,148° за сто лет.

В начале XIX века астрономы измерили прецессию Меркурия и выяснили, что ее скорость составляет 0,160° за сто лет. Расхождение между теорией и практикой – всего в 0,012 – довольно мало, но не может считаться случайной ошибкой. Французский астроном Урбен Леверье объяснил схожую аномалию орбиты Урана, предположив, что в Солнечной системе есть еще одна планета – Нептун. Аналогичные рассуждения привели ученого к мысли о том, что неизвестная пока планета есть и рядом с Меркурием. Она даже получила имя: Вулкан, но, несмотря на все усилия, астрономы не смогли ее обнаружить. В конце концов было решено, что такой планеты не существует.

Эйнштейн знал, что его теория хорошо коррелирует с механикой Ньютона, но при расчете дает немного иные результаты. В сильных гравитационных полях расхождения становятся существенными. Предположив, что именно так происходит с Меркурием, самой близкой к Солнцу планетой, Эйнштейн попытался вычислить вызванную этим дополнительную прецессию и получил в результате 0,012° за сто лет, то есть сумел объяснить известное расхождение. Можно представить себе, какой восторг (и облегчение) испытал Эйнштейн, когда после долгих лет тензорного анализа и других математических абстракций понял, что его теория дает идеальное объяснение давней научной проблемы.

Найти ответ на давно поставленный вопрос – отличное достижение. Но все же в научных кругах считается более ценным, когда теория позволяет предугадать что-то еще неизведанное, но что удастся впоследствии обнаружить. Так было с отклонением света, или гравитационным линзированием, которое Эйнштейн предсказал еще до того, как вывел полное уравнение поля из общей теории относительности. На самом деле это явление – следствие принципа эквивалентности. Если смотреть из ускоряющейся ракеты, луч света покажется искривленным, что объясняется изменением ее скорости. Но то же самое должно быть верным и для ракеты, которая неподвижно стоит на планете с гравитационным полем.

Еще больше свет отклоняется, если проходит мимо объекта с высокой гравитацией, например Солнца. Но чтобы проверить эту гипотезу, нужно смотреть на звезды на его фоне, а этого сделать нельзя из-за слишком яркого света. Пришлось дождаться полного солнечного затмения, которое как нельзя кстати случилось в 1919 году. Эддингтон организовал экспедицию, в ходе которой удалось сделать снимки звезд на фоне Солнца и подтвердить гипотезу Эйнштейна об отклонении света.

Именно после этого (а не тогда, когда он только сделал свои теоретические предположения) Эйнштейн стал международной знаменитостью. Полученные Эддингтоном результаты попали на первые полосы газет. Например, в «Нью-Йорк таймс» приводили слова Оливера Джорджа, который сказал, что общая теория относительности «все победит, а математиков ждут трудные времена». Это неправда: математики были в восторге.

Как, впрочем, и физики с астрономами. Сегодня наблюдения за гравитационными линзами превратились в высокоточную науку и стали важнейшим инструментом в арсенале современных космологов. Посмотрев на галактики в глубинах Вселенной и отыскав статистические закономерности гравитационного линзирования, мы смогли сделать вывод о том, что в космосе существуют скопления материи, «темной» по большей части. Общая теория относительности однозначно утверждает, что энергия во всех формах вызывает искривление пространства-времени, а значит, мы можем использовать отклонение света, чтобы составить карту распределения материи в пространстве.

После этих классических испытаний, которые были проведены до или вскоре после появления общей теории относительности, ученые стали применять ее для описания многих других явлений. Свет, исходящий от обладающего гравитацией тела, теряет энергию, а длина его волны постепенно возрастает (гравитационное красное смещение). Движение материи вызывает пульсации кривизны пространства-времени, которые распространяются со скоростью света (гравитационные волны). Плотные скопления материи сжимаются (коллапсируют) под действием силы тяготения, в результате чего в пространстве возникают области, из которых не может вырваться даже свет (черные дыры). Да и сама Вселенная не находится в покое: заполненное материей пространство должно либо расширяться, либо сжиматься. И точно: в 1920-х годах Эдвин Хаббл установил, что Вселенная расширяется. Все эти впечатляющие открытия были сделаны под влиянием общей теории относительности и подтверждаются с исключительной точностью.

Сегодня общая теория относительности активно используется для решения важнейших физических проблем. Жаль, что Эйнштейн не дожил до этих времен. Он умер в 1955 году, так и не получив за свой научный прорыв Нобелевскую премию. Как, впрочем, и Хаббл за открытие расширяющейся Вселенной. В те годы ученые относились к астрофизикам с предубеждением. А те в большинстве случаев просто не имели возможности наблюдать за явлениями, в которых относительность проявляет себя.

Но времена изменились. Вот, например, полный (на 2021 год) список Нобелевских премий, присвоенных за открытие таких явлений:

1978 год – фоновое космическое излучение;

1993 год – двойной пульсар, косвенное подтверждение существования гравитационных волн;

2006 год – флюктуации и спектр космического микроволнового фона;

2011 год – ускорение расширения Вселенной;

2017 год – непосредственное наблюдение гравитационных волн;

2019 год – эволюция галактик и Вселенной;

2020 год – теория и наблюдение черных дыр.

Как можно заметить, темп ускоряется. Общая теория относительности, долгое время считавшаяся интеллектуальным триумфом, но далеко не основным инструментом практикующего физика, все чаще оказывается в центре захватывающих современных исследований. Мне кажется, что Эйнштейн был бы доволен этим.

Девять. Черные дыры

Уравнение Эйнштейна для общей теории относительности вмещает в себя огромное количество информации. Спасибо хитроумным обозначениям. Уравнение призвано определить метрику пространства-времени, gµv(x), но записано в терминах тензора Риччи, построенного на базе тензора кривизны Римана. Все эти тензоры, конечно, определяются в терминах метрики, но если бы мы записали эту зависимость во всей ее красе, мы получили бы кучу слагаемых: формула заняла бы целую страницу.

Сам Эйнштейн был так впечатлен или даже напуган сложностью своего детища, что делал прогнозы о результатах экспериментов при помощи различных аппроксимаций, прежде всего ньютоновского предела. Даже в упрощенных ситуациях уравнение было слишком сложным для точного решения.

Это не остановило Карла Шварцшильда, опытного физика и астронома, который в 1915 году, во время Первой мировой войны, служил в немецкой армии. Он побывал на французском и русском фронтах, рассчитывая траектории снарядов. Как-то во время отпуска ему удалось посетить одну из лекций Эйнштейна в Прусской академии, и он увлекся общей теорией относительности. Вернувшись в воинскую часть в конце декабря 1915 года, Шварцшильд написал Эйнштейну письмо, в котором привел первое точное решение его уравнения: метрику пространства-времени вне сферической планеты или звезды. К сожалению, на фронте Шварцшильд заразился редким кожным заболеванием, от которого и умер спустя полгода в возрасте сорока двух лет. Физикам потребовались десятилетия, чтобы смириться с ошеломляющим непредвиденным следствием его открытия: черными дырами, которые должны существовать, если верить общей теории относительности.

Решение Шварцшильда

Шварцшильд пытался найти аналог закона обратных квадратов Ньютона, который действует в Солнечной системе. В общей теории относительности этот процесс сводится к решению уравнения Эйнштейна для метрики пустого пространства вокруг изолированного сферического тела, такого как Солнце. Именно геодезические метрики позволяют нам судить о планетных орбитах, отклонении света и других следствиях общей теории относительности. Возможно, было бы достаточно лишь показать решение Шварцшильда во всей его красе, после чего приступить к обсуждению выводов, которые можно сделать на его основе. И все-таки гораздо интереснее пройти весь путь вслед за Шварцшильдом, проследить его основные вехи, продемонстрировать, как физики-теоретики решают схожие проблемы.

Мы знаем, что метрика плоского пространства-времени Минковского в декартовых координатах (t, x, y, z) имеет вид:

(9.1)

Как и раньше, мы опускаем нулевые внедиагональные элементы, но помним о них.

В метрике искривленного пространства-времени некоторые (или, возможно, все) элементы gµν будут функциями некоторых (или, возможно, всех) координат. Похоже, что скоро все станет ужасно сложным. Но нам поможет тот факт, что интересная нам физическая система (пространство вне сферического тела) должна быть сферически симметричной. В практическом смысле нам следует ожидать, что метрика будет зависеть от расстояния от начала координат, , а не от x, y или z по отдельности.

Поэтому прежде всего нам следует перейти из декартовой системы координат (x, y, z) к сферической (r, θ, φ). Мы уже знаем метрику плоского пространства Евклида в этих координатах: выражение (7.12). Несложно перейти от него к метрике пространства-времени Минковского с координатами (t, r, θ, φ):

(9.2)

Мы просто заменили пространственную часть метрики новой, зависящей от сферических координат. Обратите внимание: мы все еще говорим о плоском пространстве-времени Минковского, в котором нет гравитации. Мы просто привели метрику к виду, с которого нам удобно начать решение задачи.

В сферической системе координат нам нужно выяснить лишь то, как метрика зависит от радиальной координаты r, так как зависимость от угловых координат (θ, φ) четко определяется сферической симметрией. Выходит, что метрика вообще не будет зависеть от φ, а θ будет влиять на нее через множитель (sin θ)2 в правом нижнем элементе gφφ. Есть и другие упрощения. Одно из них заключается в том, что мы ищем статическое решение, то есть считаем пространство-время полностью неизменным во времени. Поэтому элементы метрики не будут зависеть от t. Также для простоты мы пока что не будем использовать внедиагональные элементы: пусть они остаются нулевыми.

Вас могут озадачить все эти догадки. Такой подход действительно кажется ненаучным, но речь ведь идет о решении уравнения, так что попытка предугадать результат вполне законна. Мы стремимся найти не все решения уравнения Эйнштейна, а лишь одно из них, описывающее конкретный случай. В конце концов, если догадки позволят нам отыскать подходящие тензоры Римана и Риччи, любые ухищрения, к которым мы прибегнем для этого, перестанут иметь значение.

И наконец, внимательно глядя на выражение (9.2), подумаем о том, что говорят нам коэффициенты r2. Они показывают, что физические расстояния в угловых направлениях пропорциональны квадрату радиуса. И в этом скрыта хитрая особенность общей теории относительности: выбор системы координат и поиск метрики в ней – не две задачи, которые мы решаем одну за другой, а два параллельных процесса. Координаты не имеют никакого смысла, пока его не придаст им метрика, тогда как ее элементы имеют смысл лишь в какой-то системе координат.

Следовательно, мы можем просто заявить, что «r2» есть, по определению, «величина, входящая в состав угловых элементов gθθ и gφφ метрического тензора», а r, в свою очередь, есть такое число, при котором площадь произвольной сферы равна A = 4πr2, а длина произвольной окружности – C = 2πr. При этом нам не потребуется решать задачу в общем виде, то есть считать элементы метрики какими-то произвольными функциями. Мы сразу будем полагать, что gθθ = r2, а gφφ = r2(sinθ)2, как уже и значится в выражении (9.2). Кроме того, в статических, сферически симметричных условиях r будет иметь какое-то фиксированное значение[28]28
  Такой выбор означает, что r не обязательно (или, как выясняется, фактически) будет расстоянием от начала координат. Это какая-то другая физическая величина, и мы не знаем наперед, как она связана с расстоянием, измеренным относительно сферы того или иного радиуса. Мы можем взять сначала какое-то одно значение, а после посмотреть, что будет при другом. Площадь же сферы и длина окружности определяются чисто геометрически, так как мы в принципе говорим о сферах.


[Закрыть].

В итоге мы получаем метрику следующей формы:

(9.3)

Неплохо. Хитроумные, но чисто интуитивные догадки привели нас к довольно простой метрике, в которой неизвестны всего две функции одной переменной: A(r) и B(r).

Увы, хитроумие нам больше ничем не поможет. С этого момента нам, а фактически Шварцшильду, придется смириться с судьбой и вычислить сначала тензор Римана, а затем тензор Риччи. Здесь мы опустим всю эту математику, направив интересующихся к приложению Б, в котором описаны все нужные инструменты. Всем остальным просто сообщаю, что найти все члены левой части уравнения Эйнштейна возможно. Полученные выражения будут зависеть от A(r) и B(r), а также их производных по r.

Теперь нужно определить, что происходит в правой части уравнения Эйнштейна, то есть подумать о тензоре энергии-импульса. И здесь нас ждет хорошая новость: мы ищем метрику пространства-времени вне обладающего гравитацией тела, а это значит, что пространство пусто, а Tµν = 0. По-настоящему сложные вещи творятся внутри этого тела, но в нашем случае пространство-время лишь искривляется рядом с ним.

Шварцшильд проделал все эти расчеты, которые показались ему несложными (что и неудивительно для человека с таким высоким уровнем интеллекта). И вот как в итоге выглядят функции A(r) и B(r):

(9.4)

Другими словами, полная метрика Шварцшильда имеет вид:

(9.5)

Или в форме линейного элемента:

(9.6)

Великолепно, не правда ли? Мы получили точное решение уравнения Эйнштейна для пустого сферически симметричного пространства. Более того, путем искусных математических построений можно показать, что то, к чему мы пришли наполовину путем догадок, на самом деле единственно возможная метрика, при которой уравнение Эйнштейна выполняется в данных условиях. Вы можете возразить: а как же метрика Минковского? Ведь это еще одно возможное решение. Действительно, это так. Но метрика Минковского лишь частный случай решения Шварцшильда: достаточно подставить M = 0 в выражение (9.5) или (9.6).

Несколько слов о константах в формуле Шварцшильда. G – это, конечно же, гравитационная постоянная Ньютона, а M – масса объекта, гравитацию которого мы рассматриваем. Но если подойти к вопросу педантично, можно увидеть, что М не обязано быть массой, поскольку метрика (9.5) соответствует уравнению Эйнштейна при любых М. Но понимая это, мы можем решить, что M будет массой, и подтвердить свой выбор путем сравнения с ньютоновским пределом или аналогичными вещами. И в данном случае все действительно так. Однако нам следует помнить о том, что решения, принятые в силу их очевидности, обычно зависят от наших теоретических предпосылок и могут измениться при обновлении теорий, положенных в их основу.