Текст книги "Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной"

Автор книги: Шон Кэрролл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 16 (всего у книги 18 страниц)

Замедление времени

Внимательно глядя на метрику Шварцшильда (9.5), попробуем понять, о чем она говорит нам.

При помощи этой метрики мы можем вычислять расстояния в пространстве-времени. В том числе, мы можем найти собственное время τ, интегрируя вдоль временеподобной траектории. Рассмотрим объект, который остается неподвижным в пространственных координатах (r, θ, φ). Таким объектом может быть, к примеру, человек на Земле или сама Земля на гелиоцентрической орбите. Мы можем допустить такое приближение, поскольку скорости что человека, что Земли очень малы в сравнении со скоростью света, а значит, мы можем ими пренебречь. Классическая сферическая корова.

При движении по такой траектории пространственные координаты не изменяются, а значит, dr = dθ = dφ = 0. (Нет изменения, нет и приращений в соответствующих направлениях.) Поэтому мы можем узнать собственное время из формулы (9.6):

(9.7)

Проинтегрировать это выражение несложно. Извлечем из обеих его сторон квадратный корень. Множитель в скобках не зависит от t, то есть при разговоре о времени будет постоянным. Следовательно, для конечного интервала мы получаем:

(9.8)

Не забываем о том, что t – координатное время, придуманное нами для удобства, а τ – собственное время, которое на самом деле показывают часы. Согласно этой формуле затраты собственного времени будут пропорциональны изменению координатного времени t, а коэффициент пропорциональности зависит от радиальной координаты r.

Эту зависимость нетрудно интерпретировать. При больших значениях r коэффициент близок к 1, а собственное и координатное время совпадают. Вдали от Солнца гравитационное поле слабое, а пространство-время почти плоское. В этих условиях все часы отсчитывают время, практически равное координатному, как и предсказывал Ньютон.

Однако по мере приближения r к значению 2GM (но r все еще превышает его), 2GM/r будет стремиться к единице, а – к нулю. При этом изменение t будет все меньше и меньше собственного времени. (На время забудем о том, что r может быть меньше или равно 2GM: эта ситуация требует более тщательного осмысления.) То есть в сильном гравитационном поле часы будут идти медленнее, чем координатное время.

Это и есть гравитационное замедление времени. Именно так: мы специально не говорим, что «в гравитационных полях время течет замедленно», и можно понять почему. Часы продолжают отмерять одну секунду за секунду, а вот соотношение между секундой собственного и координатного времени изменилось. Конечно, неподвижный наблюдатель не замечает этого, поскольку ему нет дела до каких-то там искусственно придуманных координат.

Если же мы будем сравнивать две траектории между одними и теми же точками, разница начинает иметь значение. Представьте себе двух друзей, которые живут на далекой планете. Они синхронизируют часы, после чего один из них надолго улетает к Солнцу, другой же остается на месте. Когда они снова встретятся на родной планете, расхождение в собственном времени сделает свое дело: летавший к Солнцу меньше постареет. (Хотя по стандартам общей теории относительности гравитационное поле очень слабо даже вблизи поверхности Солнца, так что разница в возрасте будет не очень большой.)

Этот пример похож на приключения близнецов, о которых мы говорили раньше. Разница в собственном времени возникает в обоих случаях, но по разным причинам: в одном – из-за скорости света, в другом – из-за кривизны пространства-времени. Вспомните фильм «Интерстеллар»: там это как раз и показано.

Гравитационное замедление времени – реальное физическое явление, подтвержденное экспериментом, яркая демонстрация того, что гравитация действительно связана с геометрией. Гравитация напрямую влияет на то, как часы отмеряют временные промежутки в пространстве-времени.

Сингулярности

Теперь посмотрим на то, что случится, когда радиальная координата примет значение

r = 2GM. (9.9)

Это число настолько важно, что получило собственное имя: радиус Шварцшильда. Но прежде чем обсуждать его достоинства, стоит признать, что все происходящее при таких r никак не связано с тем, о чем мы говорили до этого, то есть с пространством за пределами звезды или планеты. Все потому, что радиус Шварцшильда очень мал: к примеру, у Солнца он составляет около трех километров, а у Земли и вовсе не более сантиметра. При этом радиус самого Солнца – около 700 000 километров, а радиус Земли – чуть больше 6000. Так что в любом случае радиус Шварцшильда скрыт глубоко внутри источника гравитации. Мы больше не находимся в пустом пространстве.

Решение Шварцшильда действует только в вакууме, за пределами обладающего гравитацией тела. Внутри него метрика пространства-времени будет какой-то другой, и ничего страшного при r = 2GM не случится. Казалось бы, это математический курьез, который возникает из-за того, что конкретное решение уравнения Эйнштейна неосторожно применяется совершенно к другим условиям.

И все же мы можем подумать о том, что может произойти, если пространство на радиусе Шварцшильда или даже меньшем расстоянии окажется пустым. Например, если случится какая-то катастрофа, из-за которой вся масса Солнца сожмется в шар размером в несколько километров, или же масса Земли соберется в комочек менее сантиметра. Конечно, при этом плотность материи достигнет неимоверно высокого значения, но это неважно: в астрофизике бывает и не такое. В таких местах возникают черные дыры – области пространства-времени, в которых искривление так велико, что даже свет не может выйти за их пределы. В черной дыре, где материя не препятствует приближению к радиусу Шварцшильда, появляется горизонт событий – условная граница, перейдя которую невозможно вернуться обратно во внешний мир.

Едва появившись, работа Шварцшильда завладела умами ученых. Вопрос о том, что творится при r = 2GM, взволновал всех. Действительно, если подставить эту величину в метрику (9.5), значение 1–2GM/r станет равно нулю, а элемент gtt исчезнет. С физической точки зрения это значит, что для тех, кто застыл неподвижно на радиусе Шварцшильда, ход собственного времени прекращается, хотя часы продолжают идти, как обычно. Это, конечно, странно, но вполне сносно. Именно так происходит на светоподобных траекториях, а свет по ним движется постоянно.

Гораздо больше проблем с элементом grr, который равен 1/(1–2GM/r), а значит, при r = 2GM устремляется в бесконечность. Когда величина становится бесконечной, мы говорим, что имеем дело с сингулярностью.

Вот это уже неприятно. Или все-таки нет? Элементы метрики зависят от системы координат. Важна кривизна, а не элементы. Возможно, мы просто выбрали неудобную систему координат.

Лишь через несколько лет физики догадались, что все так и есть. Очевидный дефект метрики при радиусе Шварцшильда – это лишь координатная сингулярность: лишь неудачный выбор системы координат, а не физическая неопределенность. Любая инвариантная к координатам функция, которую можно вывести из тензора Римана, при r = 2GM будет конечной, какими большими бы ни были значения элементов метрики. На радиусе Шварцшильда, несомненно, происходит что-то интересное, ведь это горизонт событий черной дыры, как мы уже скоро увидим. И все же пространство-время ведет себя там предсказуемым образом.

Дальнейший анализ метрики приводит к еще большим проблемам в другой точке, где r = 0, а 2GM/r = ∞. Там gtt стремится к бесконечности, а grr – к нулю. Можно предположить, что и здесь во всем виновата система координат.

Но нет. В точке r = 0 находится настоящая сингулярность кривизны, где кривизна самого пространства-времени, как кажется, становится бесконечно большой. И это действительно очень плохо. Можно было надеяться, что сингулярность возникла здесь потому, что мы слишком упростили условия, взяв точную сферическую симметрию, которой в реальности не бывает. И все-таки серия теорем о сингулярности, доказанных Роджером Пенроузом и Стивеном Хокингом в 1960-х годах, разрушила эту надежду. Ученые показали, что сингулярности кривизны предсказуемо возникают при самых разных физически реалистичных условиях.

Общая теория относительности играет с нами в игры. Согласно принципу космической цензуры, который предложил в 1969 году Пенроуз, любая сингулярность, предсказанная общей теорией относительности, будет скрыта за горизонтом событий. В мире нет голых сингулярностей, не закрытых горизонтами и доступных для прямого изучения. Уже в наши дни путем численного моделирования удалось показать, что космическая цензура действует не всегда и можно придумать такие начальные условия, при которых появится голая сингулярность. Однако эти условия должны быть бесконечно точны, так как любое отклонение приводит к появлению горизонта событий. Поиск голых сингулярностей в реальном мире не кажется перспективной программой для исследований.

Большинство физиков сходится во мнении, что в природе нет сингулярностей: ни голых, ни каких-то иных. Мы живем в квантово-механическом мире, а значит, классическая по сути своей теория Эйнштейна перестает работать при некоторых условиях и не может все объяснить. Поэтому не нужно так рьяно цепляться за нее, а двигаться дальше, к новым теориям, которые сгладят сингулярности или, по крайней мере, снимут с повестки дня связанные с ними концептуальные вопросы. Что ж, будем надеяться на квантовую теорию гравитации. На сегодняшний день проблема сингулярностей еще актуальна.

Черные дыры

Радиус Шварцшильда определяет поверхность – так называемый горизонт событий, внутри которого находится особая область пространства-времени: черная дыра. Давайте подумаем о них. Представим себе пространство-время, которое во всех точках описывается метрикой Шварцшильда, а протяженные объекты, вроде звезд и планет, отсутствуют.

Держа в руках метрику, мы можем построить световые конусы. Ведь именно они, а не системы координат или любимое многими разграничение на время и пространство показывают реальную структуру пространства-времени. Посмотрим, как будут выглядеть световые конусы на диаграмме пространства-времени с геометрией Шварцшильда, как бы его глазами.

В такой сферически симметричной геометрии в угловых направлениях θ и φ ничего интересного не происходит. Нам нужно говорить о координатах (t, r), и в них мы имеем нечто, похожее на этот рисунок. Давайте сначала рассмотрим его. Итак, мы нарисовали лучи света, проходящие через несколько точек, а также направленные в будущее световые конусы. Странная картина, скажете вы? Не удивительно: многие очень умные люди, включая Эйнштейна, десятки лет ломали над ней голову. Скоро мы поменяем систему координат, и все немного прояснится.

Да, здесь есть о чем поразмыслить. Справа, при больших значениях r, мы видим привычное нам пространство-время Минковского: нулевые траектории наклонены под углом 45°, а световые конусы направлены вверх. И это имеет физический смысл, поскольку вдали от черной дыры нет заметных гравитационных полей.

По мере приближения к горизонту событий (r = 2GM) световые конусы начинают складываться. Возникает странное впечатление, что мы не можем пересечь радиус Шварцшильда, ведь двигаться можно только в пределах световых конусов. Все дело в системе координат, которая перестает работать на этом участке, и скоро мы убедимся в этом.

За горизонтом событий творится нечто безумное. Сначала световые конусы очень широки, но по мере уменьшения r сужаются. При этом, что поразительно, они направлены влево, а не вверх. И мы по-прежнему обязаны оставаться в их пределах. Следовательно, перемещаясь в сторону уменьшения r за горизонтом событий черной дыры, мы движемся вперед по времени.

Становится ясно, что мы ошибались при размышлениях об r = 0. Интуитивно представляя себе плоское пространство-время, мы принимали эту точку как некое место, начало координат в центре черной дыры. Но это не так. На самом деле r = 0 – не точка в пространстве, а момент во времени. Более того, этот момент неизбежно настанет для всех, кто находится в черной дыре. Как бы мы ни старались, пройти мимо сингулярности не удастся: это не проще, чем обойти стороной завтрашний день.

Вы спросите: как же мы догадались об этом? Но разве мы не хозяева собственных координат, не можем определять их по своему усмотрению? Конечно хозяева. Но здесь мы уже сделали выбор, определили r как радиус сферы, которая окружает источник гравитации. И эта система координат прекрасно работала, давала понятные результаты вне горизонта событий. Но в черной дыре она дает сбой, и мы имеем то, что имеем, а именно превращение r из пространственной координаты во временну́ю.

Попробуем разобраться в причудливых трансформациях r и убедиться в том, что все еще остаемся в реальном мире: поговорим о формулах, определяющих световые конусы.

Что значит «построить световой конус»? Мы выбираем точку и проводим линии, движение по которым не изменяет пространственно-временного положения: ds2 = 0. Вернувшись к линейному элементу (9.6) и вычеркнув из него θ и φ (так как движения в этих направлениях нет), получим:

(9.10)

Поупражняемся в математике. Перенесем второе слагаемое в правую часть, умножим обе части на –1, чтобы убрать неудобные минусы, а затем разделим на (1–2GM/r). Запишем:

(9.11)

Сплошные квадраты. Давайте извлечем из них корень (не забывая добавить знак «±», чтобы учесть, что до возведения в степень числа могли быть и отрицательными), а затем разделим все на dr:

(9.12)

Мы получили то, что нам нужно: dt/dr, уклон небольшого сегмента линии, которая ограничивает световой конус. (Не забываем о том, что мы говорим о светоподобных, а не о каких-то произвольных траекториях.) Знак «±» показывает, что таких линий две, и они расходятся от центра в разные стороны.

Теперь посмотрим, какие конусы мы получим. При больших r выходит, что 2GM/r ≈ 0, а dt/dr ≈ ±1, то есть светоподобные траектории наклонены под углом около 45°, как в пространстве-времени Минковского. Это мы видим и на рисунке.

Когда r стремится к 2GM, 1–2GM/r стремится к нулю, а dt/dr – к ±∞. Конусы начинают сужаться и схлопываться: уклон светоподобных траекторий растет, они приближаются друг к другу. Можно было бы ожидать, что на горизонте событий они сольются в одну линию.

Строго в точке r = 2GM, то есть на радиусе Шварцшильда, элементы метрики утрачивают значение. Пропустим пока эту точку. А дальше, если мы как-то пройдем за горизонт событий, начинаются чудеса. При r < 2GM значение 2GM/r превышает единицу, а число 1–2GM/r становится отрицательным. Поэтому слагаемые gtt (в которое входит dt2) и grr (в которое входит dr2) в формуле (9.6) меняют знак.

За пределами черной дыры слагаемое gtt отрицательно, а grr положительно, как и в пространстве-времени Минковского. Поэтому t является временеподобной, а r – пространственноподобной координатой. За горизонтом событий знаки меняются местами, что приводит к грандиозным последствиям: координата t становится пространственноподобной, а r – временеподобной. Физически это выражается тем, что смещаясь в сторону меньших r, мы движемся не к центру черной дыры, а вперед в будущее. Именно так ведут себя реальные физические частицы. Именно поэтому нельзя уклониться от сингулярности в точке r = 0.

Рассказывая об этом, люди (включая тех, кто должен бы хорошо разбираться в вопросе) часто говорят, будто «в черной дыре пространство и время меняются местами». Это совсем не так. Местами меняются координаты t и r – придуманные человеком величины, а их не следует путать с реальными характеристиками нашего мира. Где бы мы ни были, в какой бы системе ни измеряли координаты, время всегда остается временем, а пространство – пространством. Попавший в черную дыру человек не заметил бы ничего необычного. Его часы не стали бы измерять расстояние вместо времени.

Я могу дать хороший совет. Оказавшись в черной дыре, смиритесь с судьбой: избежать сингулярности все равно не удастся. Более того, встреча с ней наступит довольно быстро: в дыре массой в миллиард Солнц – всего через пару часов. Но это при свободном падении, если вы будете двигаться по геодезической линии – самому долгому пути. Любые попытки ускориться, пытаясь вернуться за горизонт событий, только приблизят печальный конец.

Горизонт событий

Координатная сингулярность на радиусе Шварцшильда портит всю нарисованную нами картину. Как мы уже говорили, при взгляде на диаграмму пространства-времени на ум приходит вопрос: можно ли в принципе подлететь к горизонту событий? Ведь световые конусы там смыкаются, а временеподобная траектория направлена прямо вверх по координате t, не пересекая радиус Шварцшильда.

С другой стороны, из разговора о растяжении времени мы поняли: затраты собственного времени τ на любое неизменное перемещение по t при приближении к горизонту будут уменьшаться. Мы можем посмотреть на это утверждение с другой стороны: за любое неизменное собственное время τ при приближении к горизонту перемещение объекта по t будет увеличиваться. То есть мы снова приходим к мысли о том, что имеем дело с координатной, а не физической величиной. Даже если в расчетах выходит, что t → +∞, реальный объект спокойно преодолеет этот путь за конечное собственное время. Что же произойдет с ним мгновение спустя?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужна система координат, при которой на радиусе Шварцшильда отсутствует сингулярность. К счастью, такие системы существуют. Одна из них называется системой Эддингтона – Финкельштейна (по имени ее создателей – уже известного нам Артура Эддингтона и Дэвида Финкельштейна). В ней применяются те же пространственные координаты (r, θ, φ), что и у Шварцшильда, но введена новая временна́я координата t*, которая равна:

(9.13)

Таким образом, новая временная координата представляет собой сумму старой временной координаты, радиальной координаты и логарифма функции, которая от нее зависит. Столь странный выбор может показаться произвольным, однако на самом деле вполне обоснован. Дело в том, что вблизи горизонта событий логарифм стремится к —∞, что компенсирует увеличение t до +∞, а значит, мы сможем долететь дотуда при конечном значении t*.

Пропуская скучные математические выкладки, запишем метрику в координатах (t*, r, θ, φ) и посмотрим на световые конусы. Метрика будет выглядеть так:

(9.14)

То же самое в форме линейного элемента:

(9.15)

Формула несколько изменились: теперь в ней нет элемента grr, но есть внедиагональные элементы gt*r и grt*. Но если мы не меняли r, куда подевался grr? Дело в том, что функции этой координаты, как видно из (9.13), частично перешли к t*.

В системе Эддингтона – Финкельштейна координатная сингулярность при радиусе Шварцшильда r = 2GM не возникает, все элементы метрики (9.14) остаются конечными. (Элемент gt*t* становится равным нулю, но это конечное число.) Поэтому мы получим немного другие световые конусы (для красоты на следующем рисунке мы сохраним одно из угловых измерений).

В новой системе координат световые конусы больше не схлопываются, а только наклоняются с уменьшением r. При этом, как и прежде, пройдя горизонт, мы вынужденно двигаемся к сингулярности при r = 0, которая ждет нас в будущем.

Улучшенная система координат помогает понять, что происходит на радиусе Шварцшильда. Со стороны черная дыра кажется темной областью пространства-времени с неизменными размерами, а горизонт представляет собой поверхность постоянного радиуса r = 2GM. Расположенные на нем световые конусы наклоняются так, что становятся касательными к этой поверхности. При этом вертикальное движение по t* осуществляется фактически по световой, а не по временеподобной траектории.

В этом и состоит особенность горизонта событий. Чтобы остаться на нем, то есть при r = 2GM, необходимо двигаться в строго определенном направлении, причем со скоростью света. Любая временеподобная траектория приведет вас внутрь черной дыры. Кроме того, можно сказать, что временеподобные траектории ведут через горизонт только в одну сторону. И дело совсем не в том, что для спасения потребуется сверхмощный двигатель. Вернуться в обычное пространство в принципе невозможно, так как для этого нужно лететь быстрее света.

Заряженные и вращающиеся черные дыры

Земля очень похожа на шар, но все же имеет немного сплюснутую форму: расстояние между полюсами примерно на 0,3 % меньше диаметра по экватору. На ней есть и глубокие моря, и высокие горы, а значит, поверхность планеты совсем не ровная. Все это вызывает неравномерность гравитационного поля Земли. При помощи орбитальных спутников ученым удалось составить точные карты его распределения, узнать, где оно сильнее или слабее, чем в среднем. Подобные особенности есть у всех планет, а их гравитационные поля не похожи друг на друга.

Черные дыры – не сгустки материи посреди космоса, у них все работает по-другому. Об этом говорит теорема об отсутствии волос (хотя за отсутствием строгого доказательства математики склонны считать ее гипотезой): любая черная дыра принимает состояние, которое полностью характеризуется ее массой, электрическим зарядом и направлением вращения. Поэтому гравитационные поля двух черных дыр с одинаковыми значениями этих величин будут идентичны. Теорема верна независимо от того, из чего образовалась черная дыра, будь то останки массивной звезды, огромная груда книг или гора из арахисового масла (хотя едва ли такое бывает). Как бы там ни было, глядя на дыру, невозможно сказать, чем она была до почернения.

Вокруг невращающихся черных дыр с электрическим зарядом, как и вокруг заряженных частиц, образуются сферически симметричные электрические поля. Они обладают энергией, которую нужно учитывать при решении уравнения Эйнштейна. Метрику таких черных дыр называют решением Рейснера – Нордстрёма. Эти ученые пришли к нему независимо друг от друга вскоре после выхода работы Шварцшильда, что и не удивительно: ведь все по-прежнему сферически симметрично, а значит, нет и серьезных отличий.

По крайней мере, при взгляде снаружи. В доведенном до апогея буквальном понимании решение Рейснера – Нордстрёма рассказывает о том, что за горизонтом событий скрыт бесконечный ряд черных дыр, соединяющих независимые друг от друга вселенные.

Вот почему не следует искать точные решения уравнений и толковать их буквально, особенно вне физических условий, для описания которых они находились. Даже решение Шварцшильда при определенном толковании говорит о двух вселенных, которые связаны друг с другом кротовой норой. Еще в 1916 году об этом любопытном следствии работы Шварцшильда впервые сообщил Людвиг Фламм. В 1935 году кротовая нора была подробно изучена Эйнштейном и его коллегой Натаном Розеном, после чего получила красочное название моста Эйнштейна – Розена[29]29
  В 2011 году мне довелось быть научным консультантом при съемках фильма «Тор». Если помните, в нем Натали Портман в роли Джейн Фостер упоминает об этом мосте. Это моя идея.


[Закрыть]. На практике в переходы между мирами мало кто верит. Реальные черные дыры в нашей галактике – это не вакуум, не электрические поля: в них скапливается поступающая извне материя, которая особым образом влияет на метрику пространства-времени. В черных дырах есть сингулярности, но нет кротовых нор.

Если черная дыра вращается, сферическая симметрия вокруг нее нарушается, появляется предпочтительное направление в пространстве – ось вращения. Поэтому поиск метрики для таких случаев потребовал много времени. Только в 1963 году справиться с этой задачей удалось Рою Керру. Его работа, которую мы называем решением Керра, – не просто математический шедевр. Ее практическое значение огромно. Ведь вряд ли реальная черная дыра будет сильно заряжена: притягивая и поглощая частицы с противоположным зарядом, она очень быстро утратит любой заряд. Зато реальные черные дыры вращаются, причем очень быстро. Практически все черные дыры во вселенной точно определяются метрикой Керра.