Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 17 страниц)

§ 23. Общие свойства структурных функций а КХД

1. Правила сумм

Как уже неоднократно утверждалось, матричные элементы операторов Aⁿ вообще говоря, вычислить не удается. Но в некоторых случаях соответствующие составные операторы оказываются связанными с генераторами той или иной группы симметрии. Тогда они представляют собой физически наблюдаемые величины, и их матричные элементы, по крайней мере в принципе, можно измерить. Как обсуждалось в § 13, такие операторы не требуют проведения перенормировок, а их аномальные размерности равны нулю. Следовательно, в пределе Q²→∞ матричные элементы оператора Aⁿ можно вычислить в модели свободных кварков – партонов³⁸⁾.

³⁸⁾ В общем случае необходимо перейти к пределу Q¹→2 для устранения имеющейся в вильсоновских коэффициентах остаточной зависимости от взаимодействия кваркое и глюонов.

Такими свойствами обладают несинглетные операторы при n=1 и синглетные операторы при n=2. Других операторов с указанными свойствами не существует, так как аномальные размерности γ_NS (и собственные значения матрицу) обращаются в нуль только для приведенных значений n. Поэтому, по крайней мере в принципе, можно вычислить абсолютные значения (а не только зависимость от переменной Q²) интегралов

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^-1

ƒ

_NS

(x,Q²),

∫

¹

 

₀

𝑑x

^⃗

ƒ(x,Q²).

(23.1)

Это оказывается практически осуществимым только в некоторых довольно редких случаях, когда интегралы (23.1) удается связать с наблюдаемыми величинами, о которых имеются экспериментальные данные. При этом возникают правила сумм, многие из которых уже были открыты с помощью партонной модели. Эти правила сумм в рамках квантовой хромодинамики получили статус точных утверждений. Здесь мы рассмотрим некоторые типичные примеры.

Начнем с рассмотрения несинглетного случая. Для структурных функций ƒ^NS_2,3 соответствующие операторы при n=1 представляют собой комбинации величин

N

_α±

^NSμ

=½i:

q

λ

^α

γ

_ν

(1±γ

₅

)q:,

которые в действительности генерируют преобразования киральной симметрии (§ 10). Как и ожидалось, аномальные размерности этих операторов равны нулю: γ⁽⁰⁾_NS(1)=γ^(1)-_NS(0). Для процессов электророждения с участием кварков трех ароматов u, d и s (в случае кварков четырех ароматов разбиение несколько изменяется), используя сокращенные обозначения, получаем

iTJ

_μ

^em

(z)J

_ν

^em

(0)

⎪

⎪

_NS

^pμpν;n=1

 

=

^z²→0

1

3

C

₁

^2NS

(z²)J

_em

(0) ,

или точнее

1

i

A

₁

^2NS

P

^μ

=⟨p|J

_μ

^em

(0)|p⟩=2(2π)

^-3

p

^ν

Q

_N

,

где Q_N – заряд мишени в долях заряда электрона. Таким образом, учитывая поправки второго порядка теории возмущений, получаем

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^-1

ƒ

_NS

²

(x,Q²)=

1

3

Q

_N

⎧

⎨

⎩

1+

13+8ζ(3)-π²

33-2n_ƒ

⋅

α_s(Q²)

3π

⎫

⎬

⎭

.

(23.2)

Аналогично в случае рассеяния нейтрино правило сумм Адлера справедливо при любых значениях квадрата 4-импульса Q² :

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^-1

{ƒ

_μp

²

–ƒ

_νp

²

}=2.

(23.3)

Соответствующим оператором здесь является оператор изоспина.

Поправок к уравнению (23.3) не возникает, так как его можно связать с одновременным коммутатором алгебры токов (см. § 10 и работу [6]). В процессах электророждения благодаря четности структурной функции ƒ₂ соответствующие поправки приводят к неравенству γ⁽¹⁾⁺_NS≠0. Обсуждение этого вопроса см. в статье [194].

Структурная функция ƒ₃ удовлетворяет правилу сумм Гросса-Лавеллин-Смита [158]

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^-1

ƒ

_νI

³

(x,Q²)=3

⎧

⎨

⎩

1+

α_s(Q²)

π

+O(α

₂

^s

)

⎫

⎬

⎭

.

(23.4)

Другие правила сумм, которым удовлетворяют несинглетные структурные функции, можно найти в обзоре [55] (см. также [27]).

Обратимся теперь к синглетным структурным функциям. В этом случае сохраняющиеся операторы отвечают значению n=2. Этот факт находит свое отражение в равенствах det γ⁽⁰⁾(2)=det γ⁽¹⁾(2)=0. Поскольку синглетные структурные функции всегда четные, нет необходимости различать величины γ⁽¹⁾⁺ и γ^(1)- , так как всюду входит только одна из них γ⁽¹⁾⁺≡γ⁽¹⁾. В самом деле [149],

γ

⁽⁰⁾

(2)

=

1

9

⎛

⎜

⎝

64

-12n

_ƒ

-64

12n

_ƒ

⎞

⎟

⎠

,

(23.5 а)

γ

⁽¹⁾

(2)

=

1

243

⎛

⎜

⎝

65[367-39n

_ƒ

]

-3666n

_ƒ

-64[367-39n

_ƒ

]

3666n

_ƒ

⎞

⎟

⎠

.

(23.5 б)

Нормировка функции ƒ_V априори произвольна; выберем ее таким образом, чтобы собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению матрицы γ, был в точности равен сумме. Сохраняющимся оператором является тензор энергии-импульса (см. (10.2))

Θ

^μν

=i

 

∑

^ƒ

q

_ƒ

γ

^μ

D

^ν

q

_ƒ

+

g

_αβ

G

^μα

G

^βν

–g

^μν

ℒ.

Член g^μνℒ приводит к вкладам величины O(M²/Q²), которыми в данном случае можно пренебречь. Таким образом, находим

∫

¹

 

₀

𝑑x {ƒ

_F

²

(x,Q²)+ƒ

_V

²

(x,Q²)}=δ

⎧

⎨

⎩

1+c

₂

α_s(Q²)

π

+O(α

₂

^s

)

⎫

⎬

⎭

,

(23.6)

где параметры δ и c₂ зависят от типа рассматриваемого процесса. В процессах электророждения

δ

^ep

=⟨Q

₂

^ƒ

⟩, c

₂

=-5/9,

где ⟨Q²_ƒ⟩ – средний заряд возбуждаемых кварков различных ароматов. Для процессов νI и νp-рассеяния параметр δ принимает значения

δ

^νI

=1, δ

^νp

=2/3.

В действительности в пределе Q²→∞ можно вычислить интегралы отдельно для каждой из функций ƒⁱ₂ , i=1, 2. Это обусловлено тем, что при n=2

d

₊

(2)=0, d

_-

(2)=

2

3

⋅

16+3n_ƒ

33-2n_ƒ

>0 .

Следовательно, в ведущем порядке по константе связи α_s можно написать (матрица S определена в (21.12))

^⃗

μ(2,Q²)

 

=

^Q²→∞

S

(2)

^⃗

b(2),

^⃗

b(2)=b

⎛

⎜

⎝

1

0

⎞

⎟

⎠

с некоторым коэффициентом, не зависящим от квадрата 4-импульса Q² . Таким образом,

∫

¹

 

₀

𝑑x ƒ

_F

²

(x,Q²)

 

=

^Q²→∞

δ

3n_ƒ

16+3n_ƒ

,

∫

¹

 

₀

𝑑x ƒ

_V

²

(x,Q²)

 

=

^Q²→∞

δ

16n_ƒ

16+3n_ƒ

.

(23.7)

К сожалению, поправки к (23.7) имеют вид

K[α

_s

(Q²)]

^-d_-(2)

где коэффициент K пока вычислить не удается. (Но поправки порядка O(α_s) к выражениям (23.7) известны; см., например, [194].) Выражения (23.7) принадлежат к числу тех, которые явно демонстрируют существование глюонов. Если бы глюонов не существовало, то весь импульс адрона распределялся бы между кварками и был бы справедлив результат

∫

¹

 

₀

𝑑x ƒ

_F

²

(x,Q²)≈δ ,

который, скажем, для кварков четырех ароматов n_ƒ=4 вдвое превышает экспериментальное значение. Например, для процесса νI-рассеяния [87] получено значение

∫

¹

 

₀

𝑑x ƒ

_exp

²

(x,Q²)≈0.43±0.03, (Q²≈ от 30 до 100 ГэВ²),

а теоретически вычисленное (с учетом глюонного вклада) значение равно^38а)

^38а) Заметим, что нейтрино ν или электроны (мюоны) e (μ), используемые в качестве пробных частиц, взаимодействуют только с кварками и позволяют экспериментально определить только структурную функцию ƒ^F. Для непосредственного измерения структурной функции ƒ^V необходимы пробные частицы, взаимодействующие с глюонами.

∫

¹

 

₀

𝑑x ƒ

_th

²

(x,Q²)≈

12

28

=0.43.

Анализ этих соотношений в ведущем порядке теории возмущений был выполнен в работе [162], хотя импульсные правила сумм (только на кварковом уровне) обсуждались уже в обзоре [193].

2. Поведение структурных функций в крайних точках

Начнем с рассмотрения поведения несинглетных структурных функций в пределе x→1. Предположим, что функции ƒ^NS обладают асимптотическим поведением вида

ƒ

^NS

(x,Q²)

 

≈

^x→1

A(Q²)(1-x)

^ν(α_s)

,

(23.8)

к которому могут существовать логарифмические поправки (см. ниже). В действительности соотношение (23.8) можно доказать в рамках квантовой хромодинамики, но мы не будем делать этого здесь ^38б). Исходя из общих соображений, следует ожидать, что поведение структурных функций в пределе x→1 связано с поведением моментов от структурных функций при больших значениях n. Легко убедиться, что

^38б) См. работу [54] и цитируемую там литуратуру.

d(n)

 

≈

^x→∞

-16

33-2n_ƒ

⎛

⎜

⎝

log n-

3

4

+γ

_E

+O

⎛

⎜

⎝

1

n

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

.

(23.9)

Используя асимптотику (23.8), для моментов получаем выражение

μ

_NS

(n,Q²)

 

≈

^n→∞

A(Q²)

Γ(n-1)Γ[1+ν(α_s)]

Γ[n+ν(α_s)]

,

а из соотношений (23.9) и (20.6) для отношения моментов находим

μ

_NS

(n,Q

₂

 

)

μ_NS(n,Q

₂

⁰ )

 

≈

^n→∞

exp

⎧

⎨

⎩

⎡

⎢

⎣

log

α

_s

(Q

₂

 

)

α_s(Q

₂

⁰ )

⎤

⎥

⎦

16

33-2n_ƒ

⎛

⎜

⎝

log n-

3

4

+γ

_E

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

.

Приравнивая результаты, находим точный вид коэффициентов A и ν и выражения для асимптотики структурной функции в пределе x→1:

ƒ

^NS

(x,Q²)

 

≈

^x→1

A

_0NS

[α

_s

(Q²)]

^-d₀

(1-x)^ν_NS(α_s)

Γ[1+ν_NS(α_s)]

(23.10 а)

ν

_NS

(α

_s

)

=

ν

_NS0

–

16

33-2n_ƒ

log α

_s

(Q²) ,

d

₀

=

16

33-2n_ƒ

⎛

⎜

⎝

3

4

–γ

_E

⎞

⎟

⎠

.

(23.10 б)

Константы ν₀ и A_0NS теоретически рассчитать не удается, но ожидаемое значение параметра ν_0NS лежит в пределах от 2 до 3 [122].

Для синглетного случая вычисления усложняются из-за матричного характера уравнений. Было найдено, что асимптотическое поведение структурных функций для глюонов отличается от (23.8), но асимптотики структурных функций для кварков сходны с асимптотиками несинглетных структурных функций (см. работы [194, 199], в которых содержатся также вычисления во втором порядке теории возмущений). Эти асимптотики имеют вид

ƒ

^F

(x,Q²)

 

≈

^x→1

A

_0S

[α

_s

(Q²)]

^-d₀

(1-x)^ν_S(α_s)

Γ[1+ν_s(α_s)]

,

(23.11)

ƒ

^V

(x,Q²)

 

≈

^x→1

2

5

A

_0S

[α

_s

(Q²)]

^-d₀

(1-x)^ν_S(α_s)+1

Γ(2+ν_S(α_s))|log(1-x)|

.

(23.12)

Здесь d₀ определяется формулой (23.10 б), а параметр ν_S выражается такой же формулой, как ν_NS :

ν

_S

(α

_s

)=ν

_0S

–

16

33-2n_ƒ

log α

_s

(Q²) .

Коэффициенты A_0S и ν_0S в рамках теории возмущений КХД получить нельзя. Можно утверждать следующее: во-первых, глюонные структурные функции в пределе x→1 стремятся к нулю быстрее, чем синглетные структурные функции кварков, и, во-вторых, все структурные функции быстро убывают в пределе x→1 при Q²→∞. Эти выводы подтверждаются всеми экспериментальными данными.

Поправки второго порядка теории возмущений несколько изменяют функциональный вид асимптотик структурных функций в пределе x→1. Например, для несинглетных структурных функций с учетом поправок второго порядка получаем [150]

ƒ

^NS

(x,Q²)

 

≈

^x→1

A

_0NS

[α

_s

(Q

²

)]

^-d₀

e^{a(α_s)α_s(Q²)}

Γ[1+ν_1NS(α_s)]

×

(1-x)

^{ν_1NS(α_s)+2α_s[log(1-x)]/3π}

(23.13)

Здесь коэффициенты ν_NS и a имеют вид

ν

_1NS

(α

_s

)

=

ν

_NS

(α

_s

)-ψ(ν

_NS

(α

_s

)+1)

4α_s(Q²)

3π

–a

₁

α

_s

(Q²),

a(α

_s

)

=

a

₀

+a

₁

ψ(ν

_NS

(α

_s

+1)

+

2

3π

{[ψ(ν

_NS

(α

_s

)+1)]²-ψ'(ν

_NS

(α

_s

)+1)},

a

₀

≈1.18, a

₁

≈0.66 .

Интересно отметить, что благодаря члену

(1-x)

^{2α_s[log(1-x)]/3π}

(23.14)

поправки можно сделать сколь угодно большими, взяв значение переменной x достаточно близким к единице. Конечно, это означает лишь, что при x→1 как и ожидалось, теория возмущений становится неприменимой. При x=1 возникает необходимость учета связанных состояний (упругий вклад в процесс γ^*+N→all, обусловленный реакцией γ^*+N→N). В действительности существуют и другие причины, по которым рассмотрение на основе теории возмущений становится неприменимым, когда переменная x близка к единице. Из выражения (23.14) видно, что формула (23.13) применима только при промежуточных значениях переменной x :

1-x ≪ 1, но

2α_s

3π

|log(1-x)| ≪ 1.

(23.15)

Асимптотическое поведение структурных функций в пределе x→1 (или n→∞) вычислено во всех порядках по доминирующим членам вида (α_slog n)ⁿ [15, 71]. С точностью до замены A_0NS→A_0S, ν_1NS→_1S синглетная функция распределения кварков имеет вид, аналогичный (23.13).

Обратимся к рассмотрению поведения структурных функций при x≈0. При изучении поведения структурных функций в пределе x→0 квадрату 4-импульса Q² необходимо приписывать большое фиксированное значение, при котором оправданно применение теории возмущений, и положить ν→∞. В этих условиях имеет место предел Редже³⁹⁾  и так как структурные функции можно интерпретировать как сечения рассеяния виртуального гамма-кванта γ (или векторных бозонов W, Z) с квадратом инвариантной массы, равным -Q², то можно предположить [2] следующее асимптотическое поведение:

³⁹⁾ Сведения о теории Редже можно нвйти, например, в монографии [28].

ƒ(x,Q²)

 

≈

^x→0

b(Q²)ν

^α_R(0)

, x=

Q²

2ν

,

(23.16)

где R– соответствующая траектория Редже. В отличие от асимптотик структурных функций в пределе x→1 доказать асимптотические формулы (23.16) в рамках квантовой хромодинамики на современном этапе развития теории не удается.

Перепишем (23.16) в более удобном виде

ƒ

_NS

(x,Q²)

 

≈

^x→0

B

_NS

(Q²)x

^λ

,

(23.17 а)

ƒ

_i

(x,Q²)

 

≈

^x→0

B

_i

(Q²)x

^λ

, i=F,V .

(23.17 б)

В принципе можно допустить зависимость параметров λ от Q², но КХД и теория Редже показывают, что они имеют постоянные значения с точностью до членов O(M²/Q²).

Поведение структурных функций ƒ в пределе x→0 связано с сингулярностями моментов μ(n,Q²)^39а). Установление этой связи требует аналитического продолжения формул для μ(n,Q²) по переменной n. Поскольку моменты выражаются в виде μ(n,Q²)=AⁿCⁿ соответствующие сингулярности обусловливаются особенностями величин Aⁿ или Cⁿ в зависимости от того, какая из них расположена правее на комплексной плоскости. Можно показать, что асимптотические формулы (23.16) и (23.17) возможны только в том случае, когда крайняя правая сингулярная точка величины Aⁿ расположена правее соответствующей точки коэффициентной функции Cⁿ. Кроме того, если n₀ – такая крайняя правая сингулярная точка A , то она удовлетворяет равенствам

^39а) Детали приводимого доказательства можно найти для иесингпетного случая в работе [ 199] и для обоих случаев в первом и втором порядках теории возмущений в работе [194]. В этих работах обсуждаются также другие асимптотики структурных функций в пределе x→0, отличные от реджевских.

n

₀

=1-λ

(NS)

n

₀

1+λ

_s

(singlet),

и с необходимостью выполняется соотношение λ_F=λ_V≡λ_s.

Так как сингулярности коэффициентных функций Cⁿ совпадают с сингулярностями функций d(n) или D(n), параметры λ и λ_s удовлетворяют неравенствам

λ < 1, λ

_s

> 0.

В случае рассеяния частиц, лежащих вне массовой поверхности, второе неравенство обеспечивает существование особенности выше померонного полюса. В пользу этого свидетельствуют результаты расчетов, выполненных Грибовым и Редже (см., например, обзор [ 30] и цитируемую там литературу)

Рассмотрим, теперь синглетный случай. Из выражения (20.7) следует, что величина

[α

_s

(Q²)]

^D(n)

^⃗

μ(n,Q²)

не зависит от значения Q². Пусть матрица S(n) диагонализует матрицу D(n). Запишем матрицу S(n) в виде, аналогичном (21.12), и примем, что она удовлетворяет соотношению

S

–1

(n)

D

(n)

S

(n)

=

D

^̂

(n)=

⎛

⎜

⎝

d

₊

(n)

0

0

d

_-

(n)

⎞

⎟

⎠

.

(23.18)

Используя асимптотические формулы (23.17) и полагая n=1+λ_s+ε, находим

^⃗

μ(1+λ

_s

+ε)=

^⃗B(Q²)

ε

(23.19)

Таким образом, величина

[α

_s

(Q²)]

^D(1+λ_s+ε)

^⃗

B(Q²)

≡

^⃗

b

не зависит от квадрата 4-импульса Q². Применяя матрицу S(1+λ_s+ε) и полагая ε→0, получаем

^⃗

B

(Q²)=

S

(1+λ

_s

)

⎛

⎜

⎜

⎝

α

_-d+(1+λs)

^s

0

0

α

_-d-(1+λs)

^s

⎞

⎟

⎟

⎠

^⃗

b.

При этом собственные значения диагональной матрицы обозначены так, что выполняется условие d+>d-; следовательно, в ведущем порядке теории возмущений можно пренебречь членом α-d-s по сравнению с членом α-d+s и мы получаем окончательные соотношения

ƒ

_i

(x,Q²)

 

≈

^x→0

B

_0i

[α

_s

(Q²)]

^{-d₊(1+λ_s)}

x

^-λ_s

,

(23.20 а)

B_0V

B_0F

=

d₊(1+λ_s)-D₁₁(1+λ_s)

D₁₂(1+λ_s)

(23.20 б)

Константы B_0F , λ_s в рамках КХД вычислить не удается, хотя ожидается, что λ_s≈ 0,1 – 0,6.

Для несинглетных структурных функций имеем

ƒ

_NS

(x,Q²)

 

≈

^x→0

B

_0NS

[α

_s

(Q²)]

^-d(1-λ)

x

^λ

(23.21)

Величина коэффициента B_0NS неизвестна; в силу того что параметр λ связан с точкой пересечения траектории Редже с осью координат, для него можно ожидать значения

λ=1-α

_p

(0)≈0.5 .

Следует отметить три важные особенности. Во-первых, в отличие от асимптотических формул в пределе x→1 поправки высших порядков не искажают результатов, полученных при x≈0; они сводятся просто к умножению формул (23.20) и (23.21) на 1+b₁α_s , где коэффициент известен. Во-вторых, так как ожидаемые значения параметров λ , λ_s и комбинаций d(1-λ), d₊(1+λ_s) положительны, при малых значениях x все структурные функции возрастают с увеличением квадрата 4-импульса Q² . Это свойство структурных функций также подтверждается экспериментом. Наконец, в-третьих, в отличие от случая x→1 при x≈0 глюонные функции распределения превышают синглетные функции распределения кварков. Действительно, правая часть (23.20 б) для ожидаемых значений параметра λ_s имеет величину в пределах 4 – 8.

§ 24. Сравнение с экспериментом; параметризации, согласующиеся с КХД, и точечноподобная эволюция структурных функций

Поскольку теоретические предсказания для моментов оказываются проще, чем для самих структурных функций, может показаться, что с экспериментом следует сравнивать предсказания КХД именно для моментов. Но это неудобно по следующим причинам. Во-первых, чтобы экспериментально получить значения моментов структурных функций в широком интервале значений 4-импульса Q² , необходимо провести детальные измерения структурных функций для целой последовательности близколежащих значений переменной x. Экспериментально это не всегда выполнимо. Но даже при наличии хороших экспериментальных данных возникают проблемы с вычислением высших моментов. Фактически вычисление высших моментов сводится к взятию интегралов от структурной функции ƒ с весом x^n-2. Основной вклад в такие интегралы дает область x≈1. Так как в этой области значения структурных функций очень малы, экспериментальные ошибки возрастают и даже в самых благоприятных случаях становятся неконтролируемыми при n≥6. Таким образом, теряется огромное количество экспериментальной информации. Указанные трудности послужили причиной для разработки других методов сравнения.

Можно также написать разумную параметризацию для структурной функции ƒ, которая содержала бы результаты квантовой хромодинамики и которую можно было бы согласовать с экспериментальными данными. Это не очень строгий метод, но он очень прост и приводит к явным аналитическим выражениям для структурных функций, которые затем можно использовать для описания других процессов (Дрелла – Яна, адрон-адронного рассеяния на больших p_t или рассеяния виртуальных адронов).

Такая параметризация впервые была введена в рассмотрение Фейнманом и Филдом [122] и имела вид

ƒ

_a

(x,Q²)=C

_a

x

^λ_a

(1-x)

^ν_a

(24.1 а)

или с учетом полюсов Редже

ƒ

_a

(x,Q²)=(C

_a

x

^λ_a

+C

_'

^a

x

^μ_a

)

(1-x)

^ν_a

(24.1 б)

Полагая параметры C, λ и ν постоянными, получим бьеркеновский скейлинг.

В работе [57] было отмечено, что, введя зависимость параметров λ и ν от константы связи α_s в виде

λ=λ

₀

+λ

₁

log α

_s

,

ν=ν

₀

+ν

₁

log α

_s

,

можно вычислить коэффициент C (используя правила сумм, изложенные в § 23) как известную функцию параметров λ₀ , λ₁ , ν₀ , ν₁ , α_s . Затем нужно потребовать, чтобы рассматриваемая параметризация удовлетворяла, с одной стороны, уравнениям КХД для моментов, а с другой – экспериментально измеренным значениям структурных функций ƒ. Эти требования позволяют фиксировать значения параметров λ и ν .

Следующий шаг сделали Лопец и Индурайн [194] (они учли ведущий и следующий порядки теории возмущений), отметившие, что для вычисления параметров λ₁, (который оказывается равным нулю) и ν₁ можно использовать результаты § 23, п. 2. Таким способом получают исключительно простые параметризации для структурных функций. Они точно удовлетворяют интегральным соотношениям известных правил сумм. Уравнениям же эволюции КХД эти параметризации точно удовлетворяют только в конечных точках x=0 и x=1, а при промежуточных значениях x погрешность составляет менее 1%. В ведущем порядке теории возмущений искомые параметризации имеют вид

ƒ

_NS

²

(x,Q²)

=

⎧

⎨

⎩

B

_0NS

[α

_s

(Q²)]

^-d(1-λ)

(x

^λ

–x

^μ_NS(α_s)

)

+

A

_0NS

[α

_s

(Q²)]

^-d₀

Γ(ν_0NS+1)

Γ(ν_NS(α_s)+1)

x

^μ_NS(α_s)

⎫

⎬

⎭

(1-x)

^ν_NS(α_s)

,

(24.2 а)

ƒ

_F

²

(x,Q²)

=

⎧

⎨

⎩

B

_0F

[α

_s

(Q²)]

^{-d₊(1+λ_s)}

(x

^-λ_s

–x

^μ_F(α_s)

)

+

A

_0S

[α

_s

(Q²)]

^-d₀

Γ(ν_NS+1)

Γ(ν_s(α_s)+1)

x

^μ_F(α_s)

⎫

⎬

⎭

(1-x)

^ν_s(α_s)

,

(24.2 б)

ƒ

_V

²

(x;Q²)

=

⎧

⎨

⎩

B

_0F

d₊(1+λ_s)-D_FF(1+λ_s)

D_FV(1+λ_s)

[α

_s

(Q²)]

^{-d₊(1+λ_s)}

×

(x

^-λ_s

–x

^μ_V(α_s)

)+

2

5

A

_0S

[α

_s

(Q²)]

^-d₀

x

^-μ_ν(α_s)

Γ(ν_NS+1)

Γ(ν_S(α_s)+2)

⎫

⎬

⎭

×

(1-x)^ν_S(α_s)+1

1+|log(1-x)|

,

(24.2 в)

где

ν

_i

(α

_s

)=ν

_0i

–

16

33-2n_ƒ

log α

_s

(Q²) , i=S,NS ,

(24.2 г)

а параметр λ связан с траекторией Редже ρ соотношением λ≈1-α_ρ(0)≈0.5; величину μ можно выразить через другие константы, используя для этого правила сумм, изложенные в § 23. Таким образом, мы получили набор простых выражений, параметризующих три структурные функции: ƒ^NS₂ , ƒ^F₂ , ƒ^V₂ , исходя из семи параметров: ν_0NS , ν_0S , A_0S , A_0NS , B_0NS , B_0F , λ_s (кроме параметра обрезания Λ). Их следует выбрать так, чтобы вопроизвести экспериментальные результаты. На самом деле, даже не увеличивая числа параметров, можно вычислить и продольную структурную функцию ƒ_L . Поэтому тот факт, что удается добиться согласия с экспериментальными данными, является важной проверкой КХД⁴⁰⁾. Сравнение экспериментальных данных с теоретическими параметризациями представлено на рис. 19 а.

⁴⁰⁾ В частности, потому, что при этом можно утверждать, что значения параметров ν_0NS≈ν_0S≈2-2.5, 0<λ_S<1 согласуются с ожидаемыми.

Рис. 19а. Согласование структурной функции ƒ₂(x,Q²) с экспериментальными данными по μp-рассеянию [ 20] и величины s_l/s₁ с данными работ [16, 43]. Использованы параметризации (24.2), вкпючающие поправки второго порядка. Параметр обрезания Λ равен 100 МэВ. То же значение параметра Λ получено прямым вычислением в работе [20]. (Графики из неопубпикованной работы В. Escoubes, М.J. Herrero, С. Lopez, F.J. Yndurain.)

Обратимся теперь к методу точного восстановления структурных функций. Рассмотрим несинглетный случай и выполним замену переменной log x=-ξ. Тогда уравнения эволюции можно записать в виде

μ

_NS

(n,Q²)

=

∫

^∞

 

₀

𝑑ξ e

^-(n-1)ξ

ƒ

_NS

(e

^ξ

,Q²),

μ

_NS

(n,Q²)

=

⎡

⎢

⎣

α

_s

(Q

₂

⁰

)

α_s(Q

₂

  )

⎤^d(n)

⎥

⎦

μ

_NS

(n,Q

₂

⁰

),

(24.3)

и использовать известную теорему о свертках для преобразований Лапласа, чтобы обратить (24.3) и получить формулу

ƒ

_NS

(n,Q²)

=

∫

¹

 

_x

𝑑y b(x,y;Q²,Q

₂

⁰

)ƒ

_NS

(y,Q²),

где ядро уравнения b можно выразить через параметры γ и C^N. В ведущем порядке теории возмущений результат имеет вид [156]

b=b

⁽⁰⁾

(x,y;Q²,Q)

₂

⁰

)=

_∞

∑

^j=0

G

_j

(r)b

₀

(x,y;r+j),

r=

16

3β₀

log

α

_s

(Q

₂

⁰

)

α_s(Q

₂

  )

,

где

G

₀

(r)=1, G

₁

(r)=-

r

2

, G

₂

(r)=r

3r+14

24

, …,

Во втором, порядке теории возмущений получаем [150]

b=b

⁰

+

α

_s

(Q

₂

 

)-α

_s

(Q

₂

⁰

)

4π

b

⁽¹⁾

,

где

b

⁽¹⁾

(x,y;Q²,Q

₂

⁰

)=

₂

∑

^p=0

_∞

∑

^j=0

a

_pj

(r)b

_p

(x,y;r+j),

b

₁

=

⎧

⎨

⎩

ψ(r+j)-log log

y

x

⎫

⎬

⎭

b

₀

,

b

₂

=

⎧

⎨

⎩

⎡

⎢

⎣

ψ(r+j)-log log

y

x

⎤²

⎥

⎦

–ψ'(r+j)

⎫

⎬

⎭

b

₀

.

Наконец, коэффициенты a можно выразить через величины G:

a

_ij

=

_j

∑

^l=0

H

_pl

G

_j-l

(r);

таблицу значений H можно найти в работе [150].

Рис. 19 б. Согласование теоретических значений с экспериментальными данными по ν-рассеянию [87] с учетом поправок второго порядка теории возмущений КХД. Значение параметра Λ снижается с 400 ± 250 до 180 ± 130 МэВ при использовании заново проанализированных данных (см. Н. Abramowicz el al. CERN print EP/8l-168, 1981; будет опубликовано в Zs. Phys. С ).

Распространение на синглетный случай оказывается нетривиальным [149]. Степень согласия теоретических и экспериментальных результатов определяется единственным затравочным параметром ƒ(x,Q²₀), задаваемым при некотором фиксированном значении Q²₀ (лежащем, как правило, в интервале 2-3 ГэВ²). Результат представлен на рис. 19 б.

Другой метод состоит в прямом использовании уравнений эволюции Алтарелли—Паризи. С ним можно ознакомиться в работе [4].

§ 25. Поправки на массу мишени

Рассмотрим момент от несинглетной части структурной функции ƒ. В принципе ν_NS зависит не только от параметров n и a_s, но и от различных масс: массы мишени m_N, масс кварков m_q и, наконец, от непертурбативных масс, которыми пока будем пренебрегать. Массы кварков и мишени приводят к поправкам O(m²_q/Q²) и O(m²_N/Q²) соответственно. Как будет показано в § 32, массы кварков u, d и s малы; наибольшую массу имеет s-кварк: m̂_s≈0,3 ГэВ. С найденными значениями параметра обрезания Λ теория возмущений КХД едва ли будет иметь смысл при передачах импульса Q² < 1,5 ГэВ²; таким образом, даже на нижнем пределе поправки за счет массы s-кварка не будут превышать 5%. Тяжелые кварки приводят к поправкам иного порядка, так как их массы заметно больше: m_c≈1,5 ГэВ, а m_b≈5 ГэВ; но мы пока поправками за счет тяжелых кварков будем пренебрегать. Поправки, обусловленные массой мишени, порядка m²_N/Q², т.е. велики. В этом параграфе будет показано, каким образом можно учесть такие поправки.

Влияние поправок, обусловленных массой мишени, было оценено в работе [202]; это рассмотрение приводит к так называемому ξ-скейлингу. В своем изложении мы будем следовать методу, предложенному в статье [143]. Вспомним разложения (19.3) и (19.11). В общем случае они содержат члены еще двух типов; это члены, соответствующие операторам

g

^μν

q∂

D

^μ₁

…q и g

^μν

q

∂²γ

^ν₁

D

^μ₂

…q.

В случае свободных полей ∂q=im_qq ; следовательно, они приводят к поправкам порядка m²_q/Q², которыми мы сейчас пренебрегаем. Но члены

⟨p|N

_{μνμ1…μn}

^NS

(0)|p⟩=g

^μ_iμ_j

…g

^μ_lμ_m

p

^μ_k'n-m

(p²)

^m

A

'

_n

^NS

,

как мы вскоре убедимся, дают поправки ∼m²_N/Q². Раньше мы пренебрегали и этими поправками; сейчас же мы сосредоточим на них внимание. Рассмотрим оператор N^μ₁…μ_n ; ниже будет проведена замена индексов n→n+2 и μ_n+1→μ , μ_n+2→ν. Благодаря симметрии по индексам оператора N его матричные элементы можно записать в следующем общем виде ( n – четное число):

i⟨p|

_μ1…μn

^NS

(0)|p⟩

=

_n/2

∑

^j=0

(-1)

^j

(n-j)!

2^jn!

×

⎧

⎨

⎩

 

∑

^{по перестановкам}

g

^μ_i1μ_i'1

…

g

^μ_ijμ_i'j

⎫

⎬

⎭

(p²)

^j

×

 

∑

^{по перестановкам}

p

^μ_k1

…

p

^μ_kn-2j

A

_(TMC)n-2

^NS,j

,

N

_μ1…μn

^NS

=

𝚂

q

γ

^μ₁

D

^{μ₂…Dμ_n}

q

⎪

⎪

 

_NS

(25.1)

(индекс TMC означает, что учтена поправка на массу мишени). Так как выполняется равенство g^μ_ig^μ_j⟨p|N_NSμ1…μn|p⟩=0, мы получаем набор соотношений, разрешив которые можно выразить величины Aⁿ_j через Aⁿ₀ . Тогда

T

_(TMC)

^2NS

(x,Q²)

=

1

2

 

∑

ⁿ

x

^-n-1

_∞

∑

^j=0

⎛

⎜

⎝

p²

Q²

⎞^j

⎟

⎠

(n+j+2)!(n+2j)!

j!n!(n+2j+2)!

×

A

_(0)n+2j

^NS

C

_n+2j

^NS

,

A

_(0)n

^NS

≡

A

_(TMC)n

^NS,j

.

(25.2)

Окончательный результат имеет вид

μ

_(TMC)

^NS

(x,Q²)

=

_∞

∑

^j=0

⎛

⎜

⎜

⎝

m

²

^N

Q

²

 

⎞^j

⎟

⎟

⎠

(n+j)!

j!(n-2)!

C

_n+2j

^NS

(n+2j)

 

  (n+2j-1)

A

_(0)n+2j

^NS

,

(25.3 а)

μ

_(TMC)

^NS

(x,Q²)

=

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^n-2

ƒ

_(TMC)

²

(x,Q²) .

(23.5 б)

Функцию ƒ₂ удобно определить как предел структурной функции ƒ^(TMC)₂ при m²_N→0, а момент μ задать в виде

μ

_NS

(n,Q²)

=

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^n-2

ƒ

₂

(x,Q²) .

(25.4)

Полученные в § 24 уравнения применимы как раз к этим величинам μ и ƒ₂ . Чтобы вычислить моменты с учетом поправок на массу мишени, используем выражение (25.3а) и получим

μ

_(TMC)

^NS

(n,Q²)

=

_∞

∑

^j=0

⎛

⎜

⎜

⎝

m

²

^N

Q

²

 

⎞^j

⎟

⎟

⎠

(n+j)!

j!(n-2)!

×

1

(n+2j)(n+2j-1)

μ

_NS

(n,Q²);

(25.5)

однако вычислять моменты нет необходимости. После несложных выкладок можно найти, что выражение (25.5) эквивалентно следующему выражению (ξ-скейлингу):

ƒ

_(TMC)

²

(n,Q²)

=

x

²

 

/ξ

²

 

(1+4x²m

²

^N /Q²)^3/2

ƒ

₂

(ξ,Q²)

+

6m

²

^N

Q

²

 

⋅

x

³

 

(1+4x²m

²

^N /Q²)²

∫

¹

 

_ξ

𝑑ξ'

ξ'²

ƒ

₂

(ξ',Q²)

+

12m

₄

^N

Q

₄

 

⋅

x

₄

 

(1+4x²m

²

^N /Q²)^5/2

∫

¹

 

_ξ

𝑑ξ'

×

∫

¹

 

_ξ

𝑑ξ''

ξ''²

ƒ

₂

(ξ'',Q²),

(25.6)

где ξ – так называемая переменная Нахтмана:

ξ=

2x

1+(1+4x²m

²

_N /Q²)^½

(25.7)

Следует отметить некоторые особенности полученных формул. Во-первых, при малых значениях переменных x, поскольку поправки на массу мишени ведут себя как x²m²_N/Q², ими можно полностью пренебречь. Эти поправки важны только при больших (но не слишком больших) значениях переменной x . В самом деле, если эти формулы применить к случаю x→1, то возникают неустойчивости. Это происходит по двум причинам. Во-первых, вклад операторов высших твистов (которые рассматриваются ниже) возрастает в пределе x→1. Хотя и ожидается, что обусловленные этими операторами поправки имеют вид 3M²/Q² , где M≈Λ, т.е. на половину порядка величины меньше, чем поправки на массу мишени, но могут происходить (и, вероятно, происходят) разного рода сокращения^40а). Во-вторых, как было показано в § 23, в пределе x→1 теория возмущений неприменима.

^40а) Обсуждение этого вопроса можно найти в работах [90,91]

Поэтому более последовательным, по-видимому, было бы разложить 25.6) в ряд по степеням величины m²_N/Q² и сохранить только ведущий член. Выражение для поправок на массу мишени в этом случае упрощается и принимает вид

ƒ

^TMC

(x,Q²)

=

ƒ(x,Q²)

+

x

²

^N

Q

²

 

⎧

⎨

⎩

6x

∫

¹

 

_x

𝑑y

ƒ(y,Q²)

y²

–x

∂

∂x

ƒ(x,Q²)-4ƒ(x,Q²)

⎫

⎬

⎭

.

(25.8)

При этом КХД становится неприменимой, когда поправки второго порядка

∼

⎧

⎪

⎪

⎩

x³ν(α

_s

)n

₂

^N

(1-x)Q

₂

 

⎫²

⎪

⎪

⎭

велики. Другими словами, мы принимаем эту величину в качестве параметра, характеризующего допустимую ошибку вычислений: трудно утверждать, что следует учитывать поправки порядка m⁴_N/Q⁴ и в то же время пренебрегать поправками порядка M²/Q².