Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Текст добавлен: 20 марта 2017, 22:30

Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

Жанр:

Физика

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 17 страниц)

Назад к карточке книги

§ 26. Непертурбативные эффекты в e⁺e^--аннигиляции и операторы высших твистов в процессах глубоконеупругого рассеяния

Мы рассматриваем оба эти эффекта в одном параграфе потому, что, с нашей точки зрения, они связаны друг с другом. Начнем с обсуждения непертурбативных (нетеоретиковозмущенческих) эффектов. Как уже обсуждалось в § 15, для этого необходимо рассмотреть величину Π^μν, входящую в выражение (15.4)

Рассмотрим хронологическое произведение

^μ

(x)J

^ν

(0)

с точки зрения операторного разложения. При малых x для него можно записать разложение по операторному базису, которое в импульсном пространстве с учетом обозначения Q²=-q² имеет вид

∫

𝑑x e

^iq⋅x

^μ

(x)J

^ν

(0)

(-g

^μν

q²+q

^μ

^ν

)

⎧

⎨

⎩

₀

⎡

⎣

Q²/ν²,g(ν)

⎤

⎦

⋅1+

∑

^ƒ

_ƒ

⎡

⎣

Q²/ν²,g(ν)

⎤

⎦

_ƒ

(0)q

_ƒ

(0):

⎡

⎣

Q²/ν²,g(ν)

⎤

⎦

∑

_μν

(0)G

_aμν

:+…

⎫

⎬

⎭

(21.6)

В § 15 мы рассматривали только первый член разложения C₀1. Это было сделано по двум причинам. Во-первых, основываясь только на размерном анализе, можно ожидать, что коэффициенты C_ƒ и C_G ведут себя следующим образом:

_ƒ

≈

(constant)

Q⁴

, C

≈

(constant)

Q⁴

(26.2)

Во-вторых, во всех порядках теории возмущений

⟨:

q:⟩

₀

⟨:G²:⟩

₀

=0 ,

(26.3)

Однако, как будет показано ниже (см. § 30 и последующие параграфы), физический вакуум не совпадает с вакуумом теории возмущений, а должен содержать ряд непертурбативных эффектов. Используем индекс vac для обозначения физического вакуума. Весьма вероятно, что в реальном физическом мире выполняются неравенства

⟨:

q:⟩

_vac

≠0

⟨:G²:⟩

_vac

≠0 ,

Вернемся к разложению (26.1). При Q²→∞ для любого n член [1/log (Q²/Λ²)]ⁿ убывает медленнее, чем члены вида (M²/Q²)^r, и, следовательно, превосходит их. Но могут существовать промежуточные области, где, например, члены (26.2) столь же важны, как и поправки второго порядка к коэффициенту C₀ , который является чисто пертурбативным членом. Таким образом, при практическом применении операторного разложения^40б) полезно рассмотреть все выражение (26.1) в целом.

^40б) Некоторые приложения можно найти в подобных основополагающих работах [229,230]

Результат для коэффициента C₀ нам уже известен:

₀

(Q²)/ν²;g(ν),ν

∑

^ƒ

-1

12π²

⎧

⎨

⎩

log

–q²

ν²

⋅

4C_F

β₀

log log

–q²

ν²

+…

⎫

⎬

⎭

⎧

⎪

⎩

₂

^ƒ

₂

⎫

⎪

⎭

(26.4)

Следует отметить, что в вычислениях § 15 пренебрегалось пертурбативными поправками, обусловленными массами кварков; им соответствуют члены O(m²_ƒ/Q²) в разложении (26.4). Может показаться необоснованным учет старших членов в разложении (26.2), в то время как членами вида m²_ƒ/Q² пренебрегают. Члены m²_ƒ/Q² действительно очень важны при расчетах процессов с участием тяжелых кварков c и b; их учет не представляет трудностей; пример такого расчета можно найти в § 28. Что касается легких кварков (u, d и s), то эффективная масса s-кварка m_s≈200 МэВ при Q²≥2 ГэВ². Поэтому такими поправками можно пренебречь; члены m²_ƒ/Q² при соответствующих значениях Q² много меньше других членов.

Коэффициенты и C_ƒ и C_G можно найти, используя стандартные методы вычислений; детали для типичного случая приведены в § 36 (см. (36.4) – (36.8)). Выражения для этих коэффициентов имеют вид [229, 230]

_ƒ

^ƒ

Q⁴

=(3

∑

_ƒ

)

36πQ⁴

(26.5)

Важно понимать, что аномальные размерности комбинаций m:qq: и α_s:G²: в низшем порядке возмущений равны нулю, поэтому коэффициенты C_ƒ и C_G не зависят от параметра ν . Для величины m:qq: это можно доказать, объединяя результаты вычисления перенормировочного множителя Z_m (§ 14) с результатом вычисления множителя Z_M (§ 13). Для величины α_s:G²: соответствующее доказательство можно найти в работе [183, 243]. Исходя из сказанного, находим

^μν

⎧

⎪

⎩

∑

^ƒ

(-q²g

^μν

^μ

^ν

)

⎫

⎪

⎭

⎧

⎨

⎩

–

12π²

⎡

⎢

⎣

log

Q²

ν²

3C_F

β₀

log log

Q²

ν²

+…+O

⎧

⎪

⎩

₂

^ƒ

₂

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

⋅

m_ƒ⟨:q_ƒ(0)q_ƒ(0):⟩_vac

Q⁴

36π

⋅

α_s⟨:G²(0):⟩_vac

Q⁴

⎧

⎪

⎩

M²

Q⁶

⎫

⎪

⎭

⎫

⎬

⎭

(26.6)

Обратимся теперь к рассмотрению процессов глубоконеупругого рассеяния. При изучении процедуры операторного разложения (§19) мы рассматривали операторы только низших твистов. Что касается процесса e⁺e^- -аннигиляции, то, по-видимому, здесь существуют области значений Q², в которых поправки от операторов высших твистов оказываются сравнимыми, например, с пертурбативными поправками второго порядка. Некоторые вклады от операторов высших твистов приводят к поправкам на массу мишени, другие – к поправкам, обусловленным кварковыми массами (см. [23, 143, 202]). Кроме того, существуют поправки от операторов высших твистов, приводящие к новым динамическим эффектам, связанным с «изначальным» поперечным импульсом кварков внутри нуклона или с конечностью размера нуклона. Учет операторов высших твистов представляет собой гораздо более трудную задачу, чем вычисления с учетом операторов только низших твистов. Например, можно доказать, что смешивание полей глюонов и ду́хов (19.2) для операторов низших твистов не происходит, но для операторов высших твистов имеет место. Кроме того, вследствие смешивания операторы высших твистов приводят к появлению новых, неизвестных матричных элементов, подобных коэффициенту A в выражении (19.11), только более сложных. Все это обусловливает тот факт, что способы учета операторов высших твистов еще только развиваются и, по-видимому, будут находиться в этой фазе достаточно долго. Пока выполнены только частные теоретические вычисления (см., например, [153]) и выдвинуты эвристические аргументы [90, 91]. Последние показывают, что вклад от операторов высших твистов, вероятно, имеет вид

^(HT)

(x,Q²)=

k₁

Q²

⋅

1-x

⁽²⁾

(x,Q²)+

k₂

Q²

⁽²⁾

(x,Q²) ,

(26.7)

где ƒ⁽²⁾ – структурная функция, при вычислении которой учитываются операторы только твиста два. Коэффициенты k₁ , и k₂ являются феноменологическими параметрами, которые, по-видимому, имеют величины |k_i|≈p²_i , R^-2_N , где R_N – радиус нуклона^40в). Мы не будем углубляться в эти вопросы.

^40в) Тот же порядок величины коэффициентов k(k^½≈0,1-0,3 ГэВ) был получен в расчетах для модели мешков [178]. Подробное изучение эффектов, к которым приводят операторы высших твистов, проведено недавно в работе Ellis R.K., Furmanski W., Petronzio R., CERN preprint TH-3301, 1982 (будет опубликовано в журнале Nuclear Physics В)

§ 27. Другие процессы

1. Инклюзивные процессы: процессы гпубоконеупругого рассеяния при времениподобных передаваемых импупьсах; распады, запрещенные правилом ОЦИ; процессы Дреппа – Яна; рассеяние адронов на большие p_t

Если принять во внимание времениподобные передаваемые импульсы, то существует еще ряд процессов глубоконеупругого рассеяния. Наиболее важным из них является процесс γ^*+(πΚ,γ)→X (X– любые допустимые частицы) , который наблюдается в процессе e⁺e^-→(πΚ,γ)+X. Кроме особенностей, общих с процессами глубоконеупругого рассеяния на нуклонах при обычных пространственноподобных передаваемых импульсах, процессы с времениподобными передаваемыми импульсами обладают и рядом специфических черт. Во-первых, и мы имеем дело с аналитическим продолжением на времениподобные передаваемые импульсы (Q² отрицательно), общим для всех процессов такого типа. Во-вторых, рассеяние γ^*γ→X обладает той важной особенностью, что при x≫0 его можно рассчитать; при этом известна не только эволюция, но и абсолютная нормировка (кроме области x≈0). Это обусловлено тем, что основная часть процесса рассеяния описывается новым набором операторов, содержащих только поля фотонов, матричные элементы которых известны. Вычисления в первом порядке теории возмущений выполнены в работе [272] (см. также [181, 256], а во втором порядке – в работе [26]. Мы больше не будем рассматривать этот вопрос, подробно излагаемый в обзоре [56], а перейдем к обсуждению распадов, запрещенных правилом Окубо – Цвейга – Иизуки (ОЦИ).

По мнению многих физиков, первый яркий успех концепции асимптотической свободы принесло объяснение узости ψ(J)-резонансов [19, 92]. Это объяснение представляет собой пример применения квантовой хромодинамики для обоснования малости ширин так называемых ОЦИ-запрещенных распадов.

Рис. 20. Распады ψ– и η_c-мезонов.

Правило Цвейга [282], или правило ОЦИ [173, 212], гласит, что распады тяжелых резонансов, которые описываются несвязанными кварковыми диаграммами Фейнмана (т.е. диаграммами, которые могут быть связаны только глюонными линиями), подавлены. Это правило работает довольно хорошо для резонансов типа φ и ƒ'-мезонов и очень хорошо для ψ– и Y-частиц. В действительности, чем тяжелее резонанс, тем лучше для него выполняется правило ОЦИ. Рассмотрим, например, ψ-частицу, состоящую из cc-кварков. Поскольку самые легкие частицы с открытым чармом (D-мезоны) слишком тяжелы для того, чтобы ψ-частица могла распадаться на пару DD, процесс ψ– адроны по необходимости происходит через глюоны. Согласно квантовым числам ψ-мезона, его распад может проходить по меньшей мере через три глюона (рис. 20, а), поэтому адронная ширина распада Γ(ψ→адроны)≈α³_sm_ψ . Можно доказать, что соответствующей константой является бегущая константа связи, взятая при Q²=-m²_ψ ; поэтому по аналогии с формулой для ширины трехфотонного распада позитрония с точностью до замены α→α_s и введения цветового фактора C_D для ширины трехглюонного распада ψ-частицы получаем

Γ(ψ→адроны)

64C_D

(π²-9)

|³S

(0)|²

^ψ

[α

(-m

^ψ

)]³ ,

16n_c

∑

^abc

(27.1)

Здесь ³S₁(0) – волновая функция при cc при r=0, где r– расстояние между кварком и антикварком. Можно показать, что эта формула справедлива в ведущем и следующим за ним порядках теории возмущений КХД, причем поправки к ней также могут быть вычислены (см. ниже). Значение |³S₁(0)| можно получить в рамках той или иной модели; его можно найти и независимо от модели, если взять отношение адронной и лептонной ширин распадов (рис. 20,5), из которого множитель |³S₁(0)| выпадает. Для этого отношения в ведущем порядке теории возмущений получаем

_ψ

h/l

≡

Γ⁰(ψ-hadrons)

Γ⁰(ψ→e⁺e^-)

10(π²-9)α

(-m

^ψ

)

81παQ

(27.2)

Недавно были вычислены наиболее важные поправки второго порядка по константе взаимодействия α_s , которые складываются из поправок к лептонной ширине распада Γ_l [22]

=Γ

₀

⎧

⎨

⎩

⋅

^ψ

)

⎫

⎬

⎭

и поправок к адронной ширине Γ_h [195]

=Γ

₀

⎧

⎨

⎩

1+(3.8±0.5)

^ψ

)

⎫

⎬

⎭

Ошибка связана с тем, что вычисления проводились, с помощью численных методов. Кроме того, имеются еще поправки, обусловленные конечностью массы мезона (фазовый объем, поправки на скорость движения кварков и т.д.). Они велики для φ-мезона (~70%), меньше для ψ-частицы (~20%) и малы для Y-частицы (~16%). Тогда для векторного мезона V=ψ или Y можно написать следующую формулу для отношения адронной и лептонной ширин распадов с учетом поправок:

^h/l

10(π²-9)α

)

81παQ

⎧

⎨

⎩

1+(9.1±0.5)

)

–

⎫

⎬

⎭

Для сравнения с экспериментом, по-видимому, лучше всего рассматривать отношение M²_V/m²_V как ошибку, требуя, чтобы оно имело указанный выше порядок величины. Действуя так, найдем, что для распада Y-мезона параметр обрезания Λ=120⁺⁶⁰_-30 МэВ, а для распада ψ-частицы Λ=60⁺¹⁰⁰_-10 МэВ. Согласие между этими двумя результатами представляет собой нетривиальную проверку квантовой хромодинамики, так же как и тот факт, что оба этих значения параметра Λ близки к результатам, полученным из данных по глубоко неупругому рассеянию в § 24. (Чтобы получить такие значения параметра Λ, надо учесть поправки O(α).)

Распада псевдоскалярных резонансов (подобных η_c -мезону) обладают сходными свойствами: распад происходит через два глюона (рис. 20, в) и отношение адронной ширины к двухфотонной ширине распада η_c→γγ (рис. 20, г) равно

Γ(η_c→адроны)

Γ(η→γγ)

₄

⎧

⎪

⎩

₂

^η_c

)

⎫²

⎪

⎭

(27.3)

Поправки второго порядка для этого случая вычислены в работе [24]; они также оказались довольно большими. Для достаточно тяжелых кварков можно получить строгие результаты не только для отношений типа (27.2) и (27.3), но и для самих ширин эксклюзивных распадов [102].

Рис. 21. Механизм Дрелла – Яна.

Перейдем к механизму Дрелла – Яна [100]. В рамках этого механизма кварк из одного адрона и антикварк из другого, сталкивающегося с первым адрона аннигилируют в виртуальный фотон с большой инвариантной массой – Q², который затем превращается в пару e⁺e^- или μ⁺μ^- (рис. 21). Применяя формализм Алтарелли – Паризи, можно показать, что по крайней мере в ведущем логарифмическом приближении сечение рассеяния можно записать в виде (см. [108, 2351])

𝑑σ

𝑑Q²

4πα²

9Q²

∑

^ƒ

∫

₀

𝑑x

₁

∫

₀

𝑑x

₂

₁

₂

δ(x

₁

₂

–Q²/s)

_ƒ,h1

₁

,Q²)

_ƒ,h2

₂

,Q²)

_ƒ,h1

₁

,Q²)

_ƒ,h2

₂

,Q²)},

(27.4)

где qq – функции распределения, введенные в § 22, a s=(p_h1+p_h2)² – полная энергия сталкивающихся адронов в системе центра масс. В этом процессе очень важны недавно вычисленные поправки второго порядка^40г); они включают эффекты продолжения на времениподобные импульсы фотона. Вычисления чрезвычайно осложняются взаимосвязанностью массовых сингулярностей. Указанные поправки изменяют формулу (27.4), в частности приводят к появлению в ней множителя

^40г) См. работы [13, 14, 124, 170, 184].Это вычисление было завершено в работах [166] и Ellis, Martinetli, Petronzio, CERN preprint TH-3186, 1982 (будет опубликовано).

α_s(Q²)

4π

⋅

⎧

⎪

⎩

4π²

⎫

⎪

⎭

(27.5)

где π² возникает в результате аналитического продолжения. Поэтому поправки очень велики (порядка единицы), так что, по-видимому, при современных энергиях КХД позволяет дать только качественные оценки. Но положение может быть не столь удручающим, если верно предположение, что члены ~π² суммируются в экспоненту и множитель (27.5) можно заменить выражением

^{8πα_s(Q²)/3}

⎧

⎨

⎩

⋅

α_s(Q²)

4π

⎫

⎬

⎭

(27.6)

в котором экспоненциальный множитель точен во всех порядках теории возмущений. Если это действительно так, то возникает хорошее количественное согласие с экспериментом.

Рис. 22. Рассеяние адронов на большие p_t

Еще в меньшей степени непосредственно применимы методы квантовой хромодинамики к процессам рассеяния адронов на большие p_t (рис. 22). Экспериментальная ситуация изображена на рис. 22, 6: рассеиваются два адрона h₁ и h₂ и регистрируется адрон h₃ , который имеет большой поперечный импульс относительно оси соударения. Можно доказать, что этот процесс имеет механизм, представленный диаграммой рис. 22, а. Сечение рассеяния для этого процесса в низшем порядке теории возмущений имеет вид

𝑑σ(h₁+h₂→h₃+all)

𝑑

₃

^p_h3

_h3

∫

₀

𝑑x

∫

₀

𝑑x

∫

₀

𝑑x

_b'

_a,h1

_b,h2

_b;h3

_b'

)

s'δ(s'+t'+u')

₂

^b'

⋅

𝑑σ(a+b→a'+b')

𝑑t'

(27.7)

где использованы обозначения

s'=x

t'=x

t/x

u'=x

u/x

_b'

s=(p

_h1

_h2

)²,

t=(p

_h1

–p

_h3

)²,

u=(p

_h1

_h3

)².

Элементарное сечение рассеяния dσ/dt' следует вычислять в низшем порядке теории возмущений. В формуле (27.7) функция распределения обозначена как q(x), а не q(x,Q²), так как не ясно (по крайней мере нам), какое нужно использовать значение Q² и какова область применимости выражения (27.7). Рассмотрению таких процессов посвящены, например, работы [109, 155, 176, 226].

2. Струи

Рис. 23. Струи.

Обратимся к изучению струй. Струи представляют собой предмет самостоятельного изучения, поэтому мы дадим лишь самый краткий обзор сложившейся ситуации. Основное замечание состоит в том, что, например, для процесса e⁺e^- -аннигиляции ведущей диаграммой является абсорбционная часть диаграммы рис– 23, а, а именно квадрат диаграммы рис. 23, б. Если бы кварки являлись реальными частицами, отсюда следовало бы, что сечение рассеяния имеет вид

𝑑σ(e⁺e^-→qq)

𝑑Ω

≈(1+cos²θ){1+O(α

)}.

Но этого быть не может, поскольку, как мы видели, процессы с коллинеарными частицами (рис. 23, в) приводят к расходимостям. Однако инклюзивные сечения рассеяния, по-видимому, конечны даже в КХД⁴¹⁾. Технический прием состоит в том, что рассматривают не сами процессы, в которых кварки и (или) глюоны имеют определенные импульсы ^⃗p₁,…,⃗p_n и которые, вообще говоря, приводят к расходящимся результатам, а интегрируют сечения рассеяния с некоторыми гладкими функциями φ(^⃗p₁,…,⃗p_n), т.е. рассматривают сечения рассеяния в интервале конечных состояний. Как правило, изучают величину

⁴¹⁾ В квантовой электродинамике это утверждение известно как теорема Блоха – Нордсика [42]. В КХД подобные результаты следуют из обобщений [191] теоремы Киношиты [182].

σ(⟨

^⃗

₁

⟩,…,⟨

^⃗

⟩)

∫

𝑑^⃗p₁

₀

…

𝑑^⃗p_n

₀

ⁿ

φ(

^⃗

₁

,…,

^⃗

)

σ(i→

^⃗

₁

,…,

^⃗

где функция φ(^⃗p) имеет острый максимум в окрестности среднего значения импульса ⟨^⃗p⟩.

Поскольку кварки и глюоны, конечно, непосредственно не детектируются, необходимо развить метод, позволяющий установить струйный характер сечений такого рода процессов. Этот метод заключается в основном в измерении наблюдаемых величин, конечных в инфракрасном пределе [236], которые отражают отклонения от сферической симметрии распределения по импульсам в конечных состояниях. Такой характеристикой является, например, "траст" (thrust) T [115]:

max

^⃗v

∑|^⃗p_i⋅^⃗v|

∑|^⃗p_i|

;

для двухструйного события T=1, а для сферически-симметричного события T=1/2. Тогда можно ожидать, что в процессе e⁺e^--аннигиляции T≈1-O(α_s).

Мы не будем углубляться в изучение струй, а отсылаем читателя к работе [881, содержащей всесторонее рассмотрение двух– и главным образом трехструйных событий (как в распадах Y-мезонов; рис. 23, г), к работе [200], посвященной струям в процессах глубоконеупругого рассеяния, или к обзору [109]. Добавим только, что двух– и трехструйные события наблюдались в экспериментах; при этом трехструйные события дают прямое доказательство существования глюонов и кварк-глюонного взаимодействия. Полученные для этих процессов [10] значения константы взаимодействия α_s(Q²≈(35 ГэВ)²)≈0,125±0,01 и параметра обрезания Λ=110⁺⁷⁰_-50МэВ находятся во впечатляющем согласии с полученными ранее значениями.

3. Эксклюзивные процессы

Рассмотрим в несколько упрощенном виде вопрос о пионном формфакторе; мы надеемся, что этого окажется достаточно, чтобы распространить данный подход на изучение других процессов, для которых будут приведены лишь окончательные результаты.

Пионный формфактор F_π определим следующим соотношением:

^μ

₁

₂

)

(2π)³⟨π(p

₂

)|J

_μ

^em

(0)|π(p

₁

)⟩

_μ

_π

(q²) , q=p

₂

–p

₁

(27.8)

где функция F_π нормирована на единицу: F_π(0)=1. Опуская индекс em для тока J^μ , перепишем это соотношение в виде

^μ

₁

₂

)=(π)³

⟨π(p

₂

|TJ

_μ

⁰

(0)e

^{i∫d4xℒ0_int(x)}

|π(p

₁

)⟩.

Во втором порядке теории возмущений отсюда следует соотношение как обычно,

₀

≡q

₀

, B

₀

≡B

₀

, … – свободные поля)

^μ

₁

₂

)

-(2π)³

g²

∑

^ƒ=u,d

_ƒ

∫

𝑑

⁴

x 𝑑

⁴

⟨π(p

₂

)|T

_ƒ0

(0)γ

^μ

_ƒ0

(0)

∑

^a,b

{

₀

(x)γ

^ρ

₀

(x)

₀

(y)γ

^σ

₀

(x)

+(x↔y)}

^0ρ

^0σ

(y)|π(p

₁

)⟩.

(27.9)

Рис. 24. Диаграммы, описывающие эксклюзивные процессы (а – г – пионный формфактор).

Различные комбинации порождают диаграммы рис. 24, а и б. Члены, соответствующие диаграммам рис. 24, а, опущены, так как они не дают вклада в конечный результат. Используя для обозначения цветовых индексов символы i, j, k, а в качестве дираковских индексов символы α, β и δ и опуская индекс 0, обозначающий свободные поля, вклад диаграммы рис. 24, б можно записать в виде

^μ

₁

₂

)

-(2π)³g

∑∫

𝑑

⁴

x 𝑑

⁴

⟨π(p

₂

^α

(0)

_k'

^δ'

(y)γ

_μ

^αα'

_α'β

(-x)t

^ii'

^kk'

_ρ

^ββ'

_σ

^δδ'

_ρσ

(x-y)δ

_ab

_i'

^β'

(x)

^δ

(y)|π(p

₁

)⟩

«кросс»-член,

где «кросс» обозначает свертку с другой комбинацией индексов. Можно произвести пространственно-временной сдвиг на величину y. Тогда получаем z=x-y

^μ

₁

₂

)

(2π)³g²

∑∫

𝑑⁴z

(2π)⁴

∫

𝑑⁴y

(2π)⁴

∫

𝑑

⁴

∫

𝑑

⁴

^iz⋅(p-k)

^{iy⋅(p+p₂-p₁)}

⟨π(p

₂

^α

(-y)d

_k'

^δ

(0)

∑

|F⟩

⟨F|u

^β'

(z)

^δ

(0)|π(p

₂

)⟩γ

_μ

^αα'

-p_α'β

p²k²

_ρ

^ββ'

_σ

^δδ'

_ρσ

^ii'

^kk'

+(p

₁

↔p

₂

где (p₁↔p₂) возникает из «кросс»-члена. Вклад калибровочных членов явно не выписан, так как в ведущем порядке теории возмущений он обращается в нуль. При получении последнего выражения введен полный набор состояний; в ведущем порядке вносят вклад только вакуумные состояния:

∑

|F⟩⟨F|≃|0⟩⟨|+O(α

Глюонный пропагатор D_ρσ использован в калибровке Ферми – Фейнмана, но результат (после добавления члена p₁↔p₂), конечно, является калибровочно-инвариантным. Далее в случае трех цветов (число цветов n_c=3)

^β'

(z)

^δ

(0)

δ_ik

4n_c

(γ

^λ

₅

)

_β'δ

(0)γ

_λ

₅

δ_ik

4n_c

(γ

₅

)

_β'δ

(0)γ

₅

u(z)+…;

(27.10)

другие члены не дают вклада, так как пион представляет собой синглетное по цвету псевдоскалярное состояние. В самом деле, оператор dγ₅u является оператором твиста 3 и, следовательно, в ведущем порядке теории возмущений может быть опущен. Таким образом, получаем

^μ

₁

)

(2π)³

C_Fg²

∫

𝑑⁴z

(2π)⁴

∫

𝑑⁴y

(2π)⁴

∫

𝑑

⁴

∫

𝑑

⁴

^iz⋅(p-k)

^{-iy⋅(p+p₂-p₁)}

Tr γ^μpγ^ργ^λγ₅γ_ργ^τγ₅

p²k²

⟨0|

(0)γ

_λ

₅

u(z)|π(p

₁

)⟩

⟨π(p

₂

(y)γ

_τ

₅

d(0)|0⟩+(p

₁

↔p

₂

(27.11)

Сосредоточим внимание на вычислении членов ⟨0|…|π⟩. Их можно разложить в ряд по степеням переменных z и y: например,

⟨0|

(0)γ

_λ

₅

u(z)|π(p

₁

)⟩

∑

ⁿ

z^μ₁…z^μ_n

𝚂⟨0|

(0)γ

_λ

₅

_μ1

…D

_μn

u(0)|π(p

₁

)⟩;

(27.12 а)

если пренебречь членами, пропорциональными массе пиона, то получаем

(2π)

^2/3

⟨0

(0)γ

_λ

₅

_μ1

…D

_μn

u(0)|π(p

₁

)⟩

≡

ⁿ⁺¹

_1λ

_1μ1

…p

_1μn

(27.12 б)

Все выкладки были выполнены формально. После перенормировки надо заменить константу связи g на бегущую константу g(ν²) и учесть, что множитель Α_n приобретает зависимость от ν : Α_n=Α_n(ν²). Чтобы избежать появления логарифмических членов log(Q²/ν²), выберем параметр ν²=Q²=-(p₂-p₂)². Если теперь «партонную волновую функцию» Ψ определить в виде

∫

₀

𝑑ξξ

ⁿ

Ψ=Α

(27.12 в)

то выражение (27.11) можно представить в физически очень наглядном виде

(2π)

^2/3

⟨0|

(0)γ

_λ

₅

u(z)|π(p

₁

)⟩

_1λ

∫

₀

𝑑ξ Ψ(ξ,ν²)e

^iξp₁⋅z

(27.13)

и, проведя в (27.11) интегрирование по переменным z,y;k,p , получить следующий результат:

^μ

₁

₂

)

C_Fg²(ν)

∫

₀

𝑑ξΨ(ξ,ν²)

∫

₀

𝑑ηΨ

(η,ν²)

Tr γ^μpγ^ρp₁γ₅γ_ρp₂γ₅

p²k²

₁

↔p

₂

) ,

(27.14 а)

где

p=p

₁

–(1-η)p

₂

k=(1-η)p

₂

–(1-ξ)p

₂

(27.14 б)

Таким образом, нам удалось разбить вершину на «мягкую часть», описываемую волновыми функциями Ψ и Ψ^*, и на «жесткую часть» Ε^μ (рис. 24, в и г). Переменные ξ и η описывают долю импульса, приходящуюся на каждый кварк. Вычислив след в формуле (27.14), приходим к окончательному результату

_π

(q²)

4πC_Fα_s(Q²)

6Q²

⎪

∫

₀

𝑑ξ

Ψ(ξ,Q²)

1-ξ

⎪²

⎪

⎧

⎪

⎩

₂

^π

₂

⎫

⎪

⎭

+O(α

₂

Q²

≡

–q²

(27.15)

Последняя задача состоит в вычислении зависимости волновой функции Ψ от Q². Операторы, которые определяют функцию Ψ с помощью уравнений (27.12), аналогичны операторам, определяющим несинглетную часть структурных функций в процессах глубоконеупругого рассеяния (§ 19, 20). Но есть и некоторые дополнительные трудности: ввиду недиагонального характера матричных элементов суммарные расходимости приводят к ненулевому вкладу. Операторы N^{λμ₁…μ_n}_A,n,k, k=0,…,n ,

_λμ1…μn

A,n,k

∂

^μ_n

(0)γ

^λ

₅

^μ₁

…D

^μ_k

u(0)

(27.16)

при проведении перенормировок преобразуются друг через друга по формуле

_A,n,k

→

∑

^k'

_n+1,k'

_A,n,k

(27.17 а)

При k=n элементы матрицы Z_n+1,n совпадают с элементами, вычисленными в § 20:

_n+1,n

=1+

g²N_ε

16π²

⎧

⎨

⎩

_μ

(n+1)-3-

(n+1)(n+2)

⎫

⎬

⎭

;

(27.17 б)

при k≤n-1 они имеют значения

_n+1,n

g²N_ε

16π²

⎧

⎨

⎩

n+2

–

n-k

⎫

⎬

⎭

(27.17 в)

Чтобы получить операторы, обладающие определенным поведением в пределе Q²→∞ ^41а), нужно диагонализовать матрицу Z. Пусть этого можно достигнуть при помощи матрицы S ; тогда, обозначив через Â_k диагональные матрицы, получаем соотношение

^41а) Красивый альтернативный метод, основанной на свойствах конформной инвариантности, приведен в работе [117].

(Q²)

∑

^k=0

_nk

(Q²).

(27.18)

Аномальные размерности матриц Â_k представляют собой собственные значения матрицы Z. Но из треугольного характера матрицы Z следует, что ее собственные значения являются просто ее диагональными элементами. Следовательно, в пределе Q²→∞ имеем

(Q²)

≈

Q²→∞

[α

(Q²)]

^d_NS(k+1)

_k0

В ведущем порядке теории возмущений, учитывая неравенство d_NS(k+1) > d_NS(1)=0, нужно сохранить только один член в (27.18), так что получаем результат

(Q²)

→

^Q²→∞

_n0

₀₀

откуда следует предельное соотношение

∫

₀

𝑑ξ

Ψ(ξ,Q²)

1-ξ

→

^Q²→∞

₀₀

∑

ⁿ⁼⁰

_n0

Легко убедиться, что элементы S_n0 матрицы S имеет вид

_n0

n+2

–

n+3

Кроме того, известен также элемент Â₀₀ . Из уравнений, основанных на гипотезе о частичном сохранении аксиального тока (см. § 31, в частности (31.26)), следует равенство

(2π)

^3/2

⟨0|

(0)γ

^λ

₅

u(0)|π(p)⟩

=ip

^λ

√

_π

, ƒ

_{π≈93 МэВ}

поэтому величина

₀

∫

₀

𝑑ξΨ(ξ,Q²)=√

_π

не зависит от Q² . Отсюда получаем Â₀₀=6√2ƒ_π .

Окончательный результат имеет вид^41б)

^41б) В своем изложении мы следуем работам [53, 105, 116]. Тот же результат можно получить, используя так называемую теорию возмущений на световом конусе [54].

_π

(t)

≈

Q²→∞

12πC

₂

^π

(-t)

-t

(27.19)

Поправки к этой формула имеют величину O(α^d_NS(3)_s=α^0,6_s); в действительности для четных значений n в силу зарядового сопряжения результат оказывается равным нулю.

Пример вычисления пионного формфактора полезен в нескольких отношениях. Из сравнения выражения (27.19) с экспериментальными результатами видно, что теоретическое значение слишком мало. Это, конечно, можно отнести на счет следующих за ведущими пертурбативных поправок. Однако, по-видимому, происходит нечто иное, а именно поправки, связанные с операторами высших твистов, вследствие малости масс кварков u и d становятся чрезвычайно существенными. Действительно, рассмотрим вклад псевдоскалярного члена в выражение (27.10). Смешанный член дает вклады, подавленные по сравнению с выражением (27.19) множителем m²_π/t , и им можно пренебречь; но псевдоскалярно-псевдоскалярный вклад содержит квадрат матричного элемента ⟨0|dγ₅u|π⟩, который, как легко убедиться, используя уравнение движения, пропорционален величине ƒ_πm²_π(m_u+m_d). Повторяя проведенный выше анализ; получаем результат

_π

(t)

12πC

₂

^π

(-t)

-t

⎧

⎨

⎩

₄

^π

log(-t/m

₂

^π

)

-(m_u+m_d)²t

⎫

⎬

⎭

(27.20)

Хотя выражение (27.20) при разумном выборе кварковых масс можно привести в согласие с экспериментальными данными, но этот результат трудно принимать всерьез, так как вклады от операторов высших твистов в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (фактически мы здесь имеем массовую сингулярность); простая факторизация, использованная при выводе (27.20), здесь не применима. Таким образом, коэффициент перед поправкой пока неизвестен.

"Жесткая" часть пионного формфактора, очевидно, расходится в инфракрасном пределе (член 1/(1-ξ) в выражении (27.15). Но, к счастью, в ведущем порядке теории возмущений выполняется соотношение

∫

₀

𝑑ξΨ(ξ,Q²)ξ

ⁿ

→

Q²→∞

_n0

₀₀

откуда следует предельное соотношение

Ψ(ξQ²)

→

^Q²→∞

ξ(1-ξ)Â

₀₀

и возможные расходимости сокращаются. Поэтому некоторые эксклюзивные процессы в конечном счете все же поддаются расчетам в рамках простой теории возмущений. Однако, как видно из члена, описывающего в (27.20) вклад операторов твистов, следующих за ведущим, это не всегда справедливо. В действительности для некоторых процессов инфракрасные расходимости появляются уже на уровне операторов ведущего твиста. Например, можно рассмотреть скалярный формфактор

D(t)=(2π)

^-3

⟨π|σ

_us

(0)|K

⁰

, σ

_us

i∂

_μu(x)

^μ

s(x),

(27.21 а)

Вычисления этой величины аналогичны вычислениям пионного формфактора. Единственное отличие связано с присутствием смешанного псевдоскалярно-аксиальновекторного вклада (номинально высшего твиста), который в действительности является ведущим. Используя соотношения, основанные на частичном сохранении аксиального тока (§ 31), находим

D(t)

≈

12πC_Fα_s(-t)ƒ_πƒ_K

–t

{(

₂

–

₂

)+(m

₂

–m

₂

^π

)}log

^M²

(27.21 б)

Здесь первый член имеет аксиально-аксиальный характер, второй описывает вклад смешанных операторов; но оба они в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (если использовать простую факторизацию). Эти два примера (вклад операторов следующего за ведущим твиста в пионный формфактор и скалярный формфактор (27.21)) показывают, что в отличие от инклюзивных процессов эксклюзивные процессы чрезвычайно чувствительны к инфракрасным расходимостям, и для каждого конкретного процесса следует проверять, применима ли непосредственно теория возмущений КХД или нет. Учитывая эти замечания, завершим настоящий параграф очень короткой сводкой результатов для некоторых эксклюзивных процессов.

Из примера рассмотрения пионного формфактора можно вывести общее правило: амплитуда эксклюзивного процесса имеет вид (рис. 24, д)

𝓐

∫

⁺

Kφ ,

где φ – волновая функция связанного состояния B:

φ≈⟨0|Tq

₁

)…q

)|B⟩ ,

ядро уравнения K определяется формулой

≈

⎡

⎢

⎣

α_sQ²

Q²

⎤^n-1

⎥

⎦

Отсюда возникают правила счета [52], согласно которым, например, для нуклонного формфактора получаем знаменитое дипольное поведение

≈

⎡

⎢

⎣

α_s(-t)

–t

⎤²

⎥

⎦

а для дейтона формфактор определяется формулой

≈

⎡

⎢

⎣

α_s(-t)

–t

⎤⁵

⎥

⎦

которая совпадает с экспериментально полученными результатами. Сечение рассеяния на заданный угол имеет вид

𝑑σ(A+B→C+D)

𝑑t

⎥

⎥_{θ fixed}

≈

₂

(t)

-t

(t)F

(t)ƒ(θ) .

Дальнейшие подробности и ссылки на литературу можно найти в работе [54]. Многие из этих результатов сформулированы с большей степенью строгости, исходя из ренормгруппового анализа [103] (см. также обзор [101] и цитируемую там литературу).

Назад к карточке книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"