Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Текст добавлен: 20 марта 2017, 22:30

Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

Жанр:

Физика

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 17 страниц)

Назад к карточке книги

Глава IV. МАССЫ КВАРКОВ, ЧАСТИЧНОЕ СОХРАНЕНИЕ АКСИАЛЬНОГО ТОКА, КИРАЛЬНАЯ ДИНАМИКА И ВАКУУМ КХД

§ 28. Тяжелые и легкие кварки; теорема Симанзика – Аппепквиста – Каррадзоне

Схема перенормировок MS не зависит от масс кварков; следовательно, при вычислении таких величин, как ренорм групповая бета-функция β_n или аномальная размерность γ⁽ⁿ⁾, нужно учитывать кварки всех ароматов. Для простоты сосредоточимся на β-функции и будем проводить выкладки в аксиальной калибровке, так что всю зависимость от квадрата переданного 4-импульса Q² можно получить, рассмотрев только глюонный пропагатор. Кроме того, упростим обсуждение, введя в рассмотрение кварки только двух ароматов, один из которых безмассовый m̂_l=0, а другой тяжелый m̂_h≫Λ. Тогда в схеме перенормировок MS для бегущей константы связи получаем

(Q²,Λ²)

12π

(33-2n_ƒ) log Q²/Λ²

{1-…} ,

(28.1)

где n_ƒ=2. Естественно предположить, что использование значения n_ƒ=2 приводит к правильному выражению для бегущей константы связи α_s при Q ≫ m_h , но существует область значений переданного импульса m_h ≫ Q ≫ Λ для которой лучше использовать значение n_ƒ=1 в формуле (28.1). Это становится очевидным, если взять массу тяжелого кварка m_h экстремально большой, например равной 1 г. Ясно, что физика микромира едва ли может зависеть от того, существуют или нет столь массивные частицы.

Это утверждение составляет основное содержание теоремы, доказанной Симанзиком [240] и вновь открытой Аппелквистом и Каррадзоне [17]^41в), согласно которой в случае Q≪m_h существованием таких тяжелых кварков можно пренебречь с точностью до членов порядка Q²/m²_h . Формула (28.1) в приведенном выше виде справедлива только в случае Q²≪m², где m– любая подходящая масса, в частности масса тяжелого кварка m_h . Если мы хотим сохранить функциональную форму (28.1), необходимо допустить иную зависимость от переменной Q², более сложную, чем просто логарифмическая.

^41в) В действительности этот результат, по существу, содержался уже в работе [182]. Обсуждение этой теоремы с использованием функциональных методов см. в работе [262].

Так как указанная проблема возникает в результате пренебрежения массами кварков, мы должны вновь вывести формулу (28.1), но с учетом масс кварков. Напоминаем, что бегущая константа связи определялась выражением α_s=g²/4π, где g представляет собой решение уравнений (12.6):

𝑑g

𝑑 log Q/ν

β(

) ,

⎥

⎥_Q=ν

=g(ν) ,

(28.2 а)

где

ν𝑑

𝑑ν

g(ν)=g(ν)β(g(ν)) , β=-Z

_-1

ν𝑑

𝑑ν

(28.2 б)

Рассмотрим поведение поперечной части глюонного пропагатора, которую мы обозначим так же, как в выражении (6.9). Введя обозначение Q/ν=λ, из уравнений (12.1) и (12.7) получаем

_tr

(q²;g(ν),m(ν);ν²)

_tr

(ν²;

(λ),

(λ);ν²)exp

⎧

⎨

⎩

–

∫

^{log λ}

₀

𝑑 log λ'γ

[

(λ')]

⎫

⎬

⎭

(28.3)

В используемой нами физической калибровке (см. (9.18)) аномальная размерность глюонного пропагатора равна γ_D=2β₀g²/16π², а, следовательно, поперечная часть глюонного пропагатора определяется выражением

_tr

(q²;g(ν),m(ν);ν²)

Q²/ν²

_tr

(ν²;

(λ),

(λ);ν²).

(28.4)

Рассмотрев пропагатор в точке p=m, получаем следующий результат⁴²⁾:

⁴²⁾ Здесь и ниже из выражения для пропагатора исключен общий множитель 1/q² . Прим. перев.

_tr

(ν²;

(λ),

(λ);ν²)

_ν

2α_s(Q²)T_F

∫

₀

𝑑x x(1-x)log

m²+x(1-x)ν²

ν²

где K_ν – константа. Сначала выберем ν=Λ; тогда

_tr

(q²;g(ν),m(ν);ν²)

log Q²/Λ²

⎧

⎨

⎩

K+

2α_s(Q²)T_F

∫

₀

𝑑x x(1-x)log

⎡

⎢

⎣

x(1-x)+

m²(Q²)

Λ²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

(28.5)

Если m≫Λ, то справедливо приближенное равенство

_tr

q²;g(ν),m(ν);ν²)

≈

⎧

⎨

⎩

K+

α_s(Q²)T_F

log

m²(Q²)

Λ²

⎫

⎬

⎭

log Q²/Λ²

(28.6)

Если m²≫Q², то поправки к константе K в формуле (28.6) велики, и такое приближение становится малопригодным. Этого и следовало ожидать: схема перенормировок MS так же, как и любая другая не зависящая от масс перенормировочная схема (подобная схеме, предложенной в работе [258]), с неизбежностью разрушает сходимость в случае, если существует масса, превышающая характерный масштаб импульсов. Решение этой проблемы заключается в использовании числа кварковых ароматов n_ƒ зависящего от масштаба импульсов, например ^42а)

^42а) Возможны и другие интерполяционные формулы или процедуры (см. [76] и особенно работу [258], где можно найти подробное обсуждение этого вопроса, включая вычисление зависимости от эффективного значения n_ƒ). Какой из интерполяционных формул пользоваться, в значительной мере безразлично, так как в КХД зависимость всех величин от n_ƒ в области n_ƒ=3-6 очень слабая.

_ƒ

(Q²)=

_nƒ

∑

^ƒ=1

⎧

⎪

⎩

4m̂

₂

^ƒ

Q²

⎫½

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

2m̂

₂

^ƒ

Q²

⎫

⎪

⎭

θ(Q²-4m̂

₂

^ƒ

(28.7)

Необходимо доказать, что такая процедура последовательна. Что формула (28.7) справедлива для значений Q бо́льших, чем все массы кварков, мы уже знаем; поправки имеют величину O(m̂²_q/Q²). Завершим доказательство, показав, что эта формула справедлива и для случая Q²≪m². Рассмотрим с этой целью выражение для глюонного пропагатора. Отсюда будет ясно, как распространить доказательство на общий случай.

Поскольку вклады кварков и глюонов в выражение для глюонного пропагатора D_tr аддитивны, достаточно рассмотреть только первый из них. В ведущем порядке теории возмущений имеем

_{(кварки)}

^tr

=1-

α_g

∫

₀

𝑑x x(1-x)log

x(1-x)Q²+m̂²

ν²

(28.8)

В этом порядке необходимости учета перенормировки величин a_g или m не возникает. Для случая Q²≪m̂² получаем

_{(кварки)}

^tr

=1-

α_g

6π

log

m̂²

μ²

–

α_g

30π

⋅

Q²

m̂²

(28.9)

т.е. результат, постоянный с точностью до членов O(Q²/m̂²). Следовательно, с точностью до этих членов он совпадает с глюонным пропагатором, вычисленным для нулевого числа ароматов, но имеет другое значение параметра ν'², а именно ν'²=ν²{1+log m̂²/nu²}. Так как физические наблюдаемые не зависят от значения ν, тяжелыми кварками, приводящими только к членам O(Q²/m̂²), можно пренебречь .

Случай глюонного пропагатора особенно прост; в общем случае поправки имеют величину порядка log(m̂²/Q²)(Q²/m̂²).

Теорема "развязки" особенно наглядна в μ-схеме перенормировок. Рассмотрим снова вклад кварков в выражение для глюонного пропагатора. Проводим вычисления во втором порядке теории возмущений и, вспоминая выражение (9.21), получаем

_{(кварки)}

^{u tr}

(q²)

i+T

g²

16π²

⎧

⎨

⎩

_ε

_ƒ

–4

∫

₀

𝑑x x(1-x)

_nƒ

∑

^ƒ=1

log

₂

^ƒ

–x(1-x)q²

₂

⁰

⎫

⎬

⎭

+ … .

Напомним, что μ-схема перенормировок возникает, если потребовать выполнения условия D^{(кварки)}_{R tr}(q²=-μ²)=D_{своб. tr}(-μ²), а следовательно справедливо равенство

_{(кварки)}

^{R tr}

i+T

g²

16π²

⎧

⎨

⎩

–4

∫

₀

𝑑x x(1-x)

∑

^ƒ

₂

^ƒ

–x(1-x)q²

₂

^ƒ +x(1-x)μ²

⎫

⎬

⎭

Положим Q²=-q². В случае, когда Q², μ≫m²_ƒ, справедливо приближенное равенство

∫

₀

𝑑x x(1-x) log

₂

^ƒ

–x(1-x)Q²

₂

^ƒ +x(1-x)μ²

≃

log

Q²

μ²

⎧

⎪

⎩

₂

^ƒ

μ²

₂

^ƒ

Q²

⎫

⎪

⎭

;

для случая m²_ƒ≫μ²,Q² имеем

∫

₀

𝑑x x(1-x)

log

₂

^ƒ

–x(1-x)Q²

₂

^ƒ +x(1-x)μ²

≃

⎧

⎪

⎩

μ²

₂

^ƒ

Q²

₂

^ƒ

⎫

⎪

⎭

;

§ 29. Массовые члены и свойства инвариантности; киральная инвариантность

В § 28 мы видели, что при энергиях Q≫Λ,, когда теория возмущений по бегущей константе связи может иметь смысл, можно пренебречь существованием кварков с массами m≫Q. В этом параграфемы рассмотрим противоположный случай, когда массы кварков удовлетворяют условию m≪Λ. Поскольку единственным размерным параметром в квантовой хромодинамике, как мы полагаем, является параметр обрезания Λ^42б), можно ожидать, что в некотором приближении допустимо пренебречь массами этих легких кварков, которые могут привести к поправкам лишь порядка m²/Λ² или m²/Q².

^42б) Неясно, конечно, какой из параметров: Λ или параметр Λ₀ , определяемый формулой α_s(Λ²₀)≈1, является основным. Смысл неравенства m≪Λ также неоднозначен. Очевидно, что Λ≈Λ₀ , поэтому в действительности, помимо эвристических соображений, нет никаких указаний, которые помогли бы решить, какие кварки считать легкими в промежуточных случаях. Почти нет сомнений в том, что кварки u и d следует отнести к типу «легких»; в отношении кварка s ситуация менее ясна.

Вернемся к вопросам, обсуждавшимся в § 10. Рассмотрим лагранжиан КХД

ℒ

∑

^l=1

∑

^l=1

–

(D×B)²

члены, фиксирующие калибровку,

ду́хи.

(29.1)

Суммирование проводится только по легким кваркам, массы которых удовлетворяют неравенству m̂²≪Λ². Возможное существование тяжелых кварков никак не сказывается на дальнейших рассуждениях. Рассмотрим совокупность преобразований W⁺ в группе U_L(n)×U_R(n) (произведение левых и правых преобразований)

1±γ₅

→

∑

^l'

_±

^ll'

1±γ₅

_l'

(29.2)

где W^±– унитарные матрицы. Очевидно, что единственным членом лагранжиана, неинвариантным относительно преобразований (29.2), является массовый член

ℳ=

∑

^l=1

(29.3)

Записанный в таком виде, массовый член инвариантен относительно совокупности преобразований [U(1)]ⁿ:

→e

^iθ_i

(29.4)

но он не инвариантен, если допустить существование в массовой матрице недиагональных членов. Чтобы решить вопрос о том, какими общими инвариантными свойствами обладает массовый член общего вида, докажем две теоремы.

Теорема 1. Любую массовую матрицу общею вида можно записать в виде (29.3), проведя подходящее переопределение кварковых полей. Кроме того, можно допустить, что m≥0. Поэтому выражение (29.3) фактически является массовым членом самого общего вида.

Доказательство. Пусть левые и правые кварковые поля определяются формулами

(1-γ

₅

)q , q

(1+γ

₅

)q .

Наиболее общий массовый член, совместимый с условием эрмитовости лагранжиана, имеет вид

ℳ'=

∑

^ll'

⎧

⎨

⎩

_iL

_ll'

_l'R

_iR

_ll'

_lL

⎫

⎬

⎭

(29.5)

Пусть матрица M имеет компоненты M_ll' . На основании хорошо известного полярного разбиения матриц можно написать

M=mU

где матрица m положительно определена, поэтому все ее собственные значения больше нуля, а матрица U унитарна. Тогда выражение (29.5) принимает вид

ℳ'=

∑

⎧

⎨

⎩

_iL

_ll

_l'R

_iR

_ll'

_l'L

⎫

⎬

⎭

, q'

_lR

∑

^l'

_ll'

_l'R

(29.6)

где использовано свойство самосопряженности матрицы m. Переопределим поля по формуле q'=q'_R+q_L ; тогда выражение (29.6) в терминах полей q' примет вид

ℳ'=

∑

_ll'

где использовано равенство q_Rq_R=q_Lq_L=0. Теперь для того, чтобы получить формулу (29.3), достаточно преобразовать поля q', используя для этого матрицу V, диагонализующую матрицу m. Положительность значений величин m_l следует из того, что они являются собственными значениями матрицы m. (Отметим, что член qDq в лагранжиане инвариантен относительно преобразований такого вида.)

Теорема 2. Если все массы m_l имеют различные ненулевые зиачения, то единственными преобразованиями, оставляющими массовых член инвариантным, являются преобразования [U(1)]ⁿ вида (29.4).

Предположим, что W₊=W_-=W; проверку этого равенства оставляем читателю в качестве упражнения. Условие инвариантности массовой матрицы приводит к соотношению

W⁺mW=m

, т.е

mW=Wm

(29.7)

Известно, что любую диагональную матрицу можно записать в виде ∑^n-1_k=0c_km^k если все собственные значения матрицы m различны и не равны нулю, как это имеет место в нашем случае. Из соотношения (29.7) следует, что матрица W коммутирует со всеми диагональными матрицами, а следовательно, она сама должна быть тоже диагональной. Поскольку эта матрица является еще и унитарной, она может быть записана в виде произведения преобразований (29.4), что и требовалось доказать. Проверку того, что сохраняющейся величиной, соответствующей преобразованию U(1), действующему на поле кварка q_ƒ, является соответствующее квантовое число аромата, оставляем читателю в качестве упражнения.

При доказательстве приведенных теорем мы не беспокоились о том, являются ли массы m голыми, бегущими или инвариантными. Это обусловлено тем, что в перенормировочной схеме MS массовая матрица перенормируется как одно целое по формуле

_-1

где коэффициент Z_m – число. Доказательство очень простое. Фактически для этого нужно только повторить рассуждения § 7 – 9 и 14, учитывая матричный характер величин M и Z_m . В произвольной ковариантной калибровке для расходящейся части кваркового пропагатора получим

_ξ

(p)

p-M

⎧

⎨

⎩

–[

(

–

)+(

–

)

₊

]-δ

(1-ξ)(

–

_ε

g²

16π²

+3N

_ε

g²

16π²

⎫

⎬

⎭

p-M

где введены обозначения

+δ

=1+

Условия перенормировки приводят тогда к соотношениям

₊

=-(1-ξ)N

_ε

g²

16π²

диагональна,

MΔ

=(δ

)M ,

=3N

_ε

g²

16π²

Таким образом, совокупность фермионных полей и массовая матрица преобразуются как одно целое, а перенормировочные множители имеют вид

_-1

1+N

_ε

g²

16π²

1-N

_ε

g²

16π²

(29.8 а)

т. e.

⋅

(29.8б)

Этот результат доказан в низшем порядке теории возмущений, но уравнения ренормгруппы обеспечивают его справедливость и в ведущем порядке по константе связи α_s .

Этот результат можно объяснить и другим способом. Инвариантность лагранжиана относительно преобразований (29.4) подразумевает, что контрчлены всегда можно выбрать так, чтобы они обладали инвариантностью относительно этих преобразований; поэтому массовая матрица после перенормировки по-прежнему останется диагональной. Фактически это доказательство свидетельствует о том, что в не зависящей от масс перенормировочной схеме (подобной схеме MS) уравнения (29.86) в действительности справедливы во всех порядках теории возмущений.

Полученные нами результаты показывают, что, если все массы m̂_l различны и не равны нулю^42в), единственная глобальная симметрия, которой обладает лагранжиан, связана с сохранением такого квантового числа, как аромат, и описывается преобразованиями (29.4). Однако, как утверждалось выше, пренебрежение массами кварков m_l может представлять собой достаточно хорошую аппроксимацию. В таком случае все преобразования, представленные соотношениями (29.2), оказываются преобразованиями симметрии лагранжиана. Степень нарушения симметрии определяется, например, дивергенциями соответствующих генераторов. Хотя этот вопрос уже рассмотрен в § 10, мы приведем некоторые дополнительные подробности.

^42в) По-видимому, это действительно так. Как мы увидим ниже (см. § 31), ожидается, что массы кварков удовлетворяют соотношениям m̂_d/m̂_u≈2, m̂_s/m̂_d≈20, m̂_u≈6 МэВ.

Параметрируем преобразование W в виде exp{(i/2)∑θ_aΛ^a}, где Λ – матрицы Гелл-Манна^42г). Операторы, выполняющие преобразования (29.2), обозначим U_±(θ):

^42г)Мы рассматриваем случай трех ароматов n_ƒ=3. В случае двух ароматов n_ƒ=2 матрицы Гелл-Манна λ следует заменить матрицами Паули σ.

_±

(θ)

1±γ₅

_-1

(θ)=

∑

^l'

^{(i/2)∑θ_aλa}

)

_ll'

1±γ₅

_l'

(29.9)

Для бесконечно малых значений параметра θ запишем эти операторы в виде

_±

(θ)≈1-

∑

^±

, (L

^±

)

⁺

^±

так что из (29.9) следуют уравнения

^±

_l±

(x)]=-

∑

^l'

^ll'

_l'±

(x) , q

_l±

≡

1±γ₅

(29.10)

Поскольку операторы U оставляют инвариантным член лагранжиана, описывающий взаимодействие, уравнения (29.10) можно решить для случая свободных полей. Результат имеет вид^42д)

^42д) Для проверки решения (29.11) можно воспользоваться коммутационными соотношениями для свободных полей (приложение Е); это оправдано тем, что на малых расстояниях КХД переходит в свободную квантовопетлевевую теорию

^±

(t)=:

∫

₀

𝑑⃗x

∑

^ll'

_l±

(x)γ

⁰

^ll'

_l'±

(x): , t=x

⁰

(29.11)

В этих операторах можно узнать заряды, соответствующие токам

_aμ

^±

(x)=:

∑

^ll'

(x)λ

^ll'

^μ

1±γ₅

_l'

(x): .

(29.12)

Если рассматриваемая симметрия точная, то ∂_μJ^aμ_±=0; тогда легко видеть, что величины L^a_±(t) в действительности не зависят от времени. Иначе, нужно определить одновременные преобразования и модифицировать уравнения (29.9) и (29.10), например, так:

^±

(t),q

_l±

(x)]=-

∑

^l'

^ll'

_l'±

(x) , t=x

⁰

(29.13)

Совокупность преобразований

_±

(θ,t)=exp

⎧

⎨

⎩

-i

∑

^±

(t)θ

⎫

⎬

⎭

образует так называемую группу киральных преобразований, генерируемых токами (29.12). В рассматриваемом случае кварков трех ароматов n=3, мы приходим к группе киральных преобразований SU⁺_F(3)×SU^-_F(3). Ее генераторы можно выразить, исходя из набора векторных и аксиальных токов⁴³⁾ V^μ_ll' и A^μ_ll' , введенных в § 10. Важной подгруппой группы SU⁺_F(3)×SU^-_F(3) является генерируемая векторным током подгруппа, представляющая собой просто группу аромата SU_F(3), введенную Гелл-Манном и Нееманом.

⁴³⁾ Не все диагональные элементы принадлежат группе SU_F(3)×SU_F(3), но они принадлежат группе U_F(3)×U_F(3).

Точность соблюдения симметрии связана с независимостью от времени зарядов L_± , которые в свою очередь связаны с дивергенциями токов. Кроме диагональных аксиальных токов, эти дивергенции пропорциональны разностям кварковых масс m_l-m_l' для векторных токов и суммам кварковых масс m_l+m_l' для аксиальных токов (см. (10.5)). Таким образом, можно заключить, что группа симметрии SU_F(3) достаточно точна до тех пор, пока выполнено неравенство |m_l-m_l'|²≪Λ², а группа киральной симметрии SU⁺_F(3)×SU^-_F(3) до тех пор, пока выполнено условие m²_l≪Λ². По-видимому, разность масс имеет тот же порядок величины, что и сами массы, поэтому ожидается, что киральная симметрия выполняется почти с той же степенью точности, что и симметрия по ароматам. Кажется, это действительно так⁴⁴⁾.

⁴⁴⁾ Киральная симметрия и киральная динамика представляют собой предмет специального изучения. Здесь мы касаемся только тех аспектов, которые имеют отношение к КХД. При этом многие важные применения опускаются. Заинтересованный читатель может обратиться к работам [213, 228] и цитируемой там литературе.

§ 30. Симметрии Вигнера – Вейля и Намбу – Голдстоуна

Из того, что киральная симметрия SU(3) и симметрия по ароматам кварков SU_F(3) обладают одинаковой степенью точности, не следует, что эти симметрии реализуются одинаково. В действительности, как будет показано, существуют веские теоретические и экспериментальные причины, обуславливающие значительную разницу между ними.

Начнем с введения зарядов, обладающих определенной четностью:

⁺

, Q

⁵

⁺

–L

(30.1)

Одновременные коммутационные соотношения для них имеют вид

(t),Q

(t)]

∑

^abc

(t) ,

⁵

(t),Q

⁵

(t)]

∑

^abc

⁵

(t) ,

(t),Q

⁵

(t)]

∑

^abc

(t) .

(30.2)

Набор операторов Q^a образует группу SU_F(3). В пределе m_l→0 все генераторы Q и Q₅ не зависят от времени t и коммутируют с лагранжианом:

,ℒ]=[Q

⁵

,ℒ]=0 .

(30.3)

Однако различие между ними состоит в том, как эти операторы действуют на вакуумное состояние. В общем случае, если имеется совокупность генераторов L^j преобразований симметрии лагранжиана, мы имеем два возможных результата их действия на вакуумное состояние:

|0⟩=0

(30.4)

|0⟩≠0

(30.5)

Первый случай соответствует реализации симметрии Витера – Вейля, а второй – реализации симметрии Намбу – Голдсмоуна. Конечно, в общем случае оба эти типа реализации симметрии могут присутствовать одновременно; часть генераторов Lⁱ, i=1,…,r , удовлетворяет равенству (30.4), а остальные генераторы L^k, k=r+1,…,n , удовлетворяют равенству (30.5). Очевидно, что если операторы L¹ и L² удовлетворяют равенству (30.4), то этому же равенству удовлетворяет и их коммутатор. Следовательно, совокупность преобразований симметрий Вигнера – Вейля представляет собой подгруппу.

При рассмотрении данного круга вопросов важны две теоремы. Первая из них, установленная Коулменом [72], гласит, что "инвариантность вакуума означает инвариантность мира", или, более строго, что физические состояния (включая и связанные состояния) инвариантны по отношению к преобразованиям из группы симметрии Вигнера – Вейля. Если предположить, что киральная симметрия принадлежит к симметриям Вигнера – Вейля, то отсюда можно заключить, что массы мезонов должны быть вырождены с точностью до поправок порядка m²/m_h , где m_h – адронные массы. Это справедливо для таких мезонов, как ω, ρ, K^*, φ или ƒ', A₂ , ƒ⁰; но если рассмотреть дублеты по четности, то вырождения, очевидно, нет. Это обстоятельство убедительно свидетельствует о том, что группа симметрии SU_F(3) принадлежит к симметрии Вигнера – Вейля, а киральная группа симметрии SU⁺_F×SU^-_F содержит генераторы типа Намбу – Голдстоуна. Поэтому мы примем, что генераторы Q и Q_s удовлетворяют соотношениям

(t)|0⟩=0 , Q

⁵

(t)|0⟩≠0 .

(30.6)

Второй важной теоремой является теорема Голдстоуна [148]. Она утверждает, что для каждого генератора, результат действия которого на вакуумное состояние не равен нулю, должен существовать безмассовый бозон, обладающий теми же квантовыми числами, что и соответствующий ему генератор. Таким образом, малость масс мезонов π и K^44а) мы «объясняем» тем, что в пределе m_u, m_d, m_s→0 мы получили бы m_π→0 и m_K→0. Действительно, несколько ниже будет показано, что⁴⁶⁾

^44а) При рассмотрении частиц, имеющих равное нулю квантовое число аромата, возникнет своя проблема (так называемая (U(1)-проблема). мы обсудим ее несколько ниже.

⁴⁶⁾ Правые части соотношений (30.7) должны быть умножены на константу размерности массы. – Прим. перев.

₂

^π

≈

, m

₂

≈

_u,d

(30.7)

Мы не будем доказывать здесь этих теорем, а отметим, что соотношения (30.7) дают более количественный критерий выполнения киралыюй симметрии и симметрии по ароматам; они справедливы с точностью до поправок порядка m²_π/m²_ρ для группы SU_F(2) и с точностью до поправок порядка m²_K/m²_K^* в случае группы SU_F(3).

Отметим также, что симметрия Намбу – Голдстоуна [203, 205, 206] не может быть реализована в рамках теории возмущений, так как во всех порядках теории возмущений Q^a₅(t)|0⟩=0. Это означает, что физический вакуум отличается от вакуума теории возмущений в пределе m→0. Там, где есть опасность ошибиться, мы будем подчеркивать этот факт, используя для вакуума теории возмущений обозначение |0⟩ , а для физического вакуума обозначение |vac⟩. Поэтому соотношения (30.6) мы запишем в виде

(t)|vac⟩=0 , Q

⁵

(t)|vac⟩≠0 .

(30.8)

Нетрудно видеть, как это происходит. Пусть a⁺_mG(⃗p) – оператор рождения частицы, масса которой может быть равной нулю. Состояния

₊

^m_G

(⃗0)

⁽ⁿ⁾

…a

₊

^m_G

(⃗0)|(0)⟩=|n⟩

вырождены в пределе m_G→0. Таким образом, в этом пределе физический вакуум имеет вид

|vac⟩=

∑

|n⟩.

Ожидается, что подобное явление происходит в квантовой хромодинамике, в частности в пределе m_q→0.

§ 31. Частичное сохранение аксиального тока и отношения масс кварков

Теперь мы можем получить количественные результаты для масс легких кварков. С этой целью рассмотрим ток

_μ

^ud

(x)=

(x)γ

^μ

₅

d(x) ,

и его дивергенцию

∂

_μ

^ud

(x)=i(m

)

(x)γ

₅

d(x) .

Последняя величина имеет квантовые числа π⁺-мезона, и ее можно использовать как (составное) пионное поле. Поэтому напишем

∂

_μ

^ud

(x)=√

_π

₂

^π

_π

(x) .

(31.1)

Коэффициенты в формуле (31.1) выбраны такими по историческим причинам. Пионное поле φ_π(x) нормировано следующим образом:

⟨0|φ

_π

(x)|π(p)⟩

(2π)^3/2

(31.2а)

где |π(p)⟩ – однопионное состояние с импульсом p. Константа ƒ_π может быть получена экспериментально. Действительно, рассмотрим слабый распад π→μν. Эффективный лагранжиан Ферми, описывающий слабые взаимодействия, имеет вид

ℒ

^int

=(G

/√

)

_λ

(1-γ

₅

)ν

_μ

^λ

(1-γ

₅

)d+… .

Используя его, мы получаем

F(π→μν)

2πG_F

√2

_(ν)

₂

)γ

_λ

(1-γ

₅

)

_ν

₁

,σ)

⟨0|A

_λ

^ud

(0)|π(p)⟩ .

Исходя из соображений инвариантности, можно написать равенство

⟨0|A

_λ

^ud

(0)|π(p)⟩=ip

^λ

_π

(31.2б)

свернув которое с компонентой импульса p_μ , получим результат C_π=ƒ_π√2/(2π)^3/2:

₂

^π

_π

⟨0|∂

_λ

^ud

(0)|π(p)⟩=√

_π

₂

^π

(2π)^3/2

;

(31.2в)

следовательно,

r(π→μν)

4π

(1-m

₂

^μ /m

₂

^π )² G

₂

^F ƒ

₂

^π m_πm

₂

^μ .

Таким образом, константа ƒ_π непосредственно связана со скоростью распада π→μν . Экспериментально получено значение ƒ_π≈93,3 МэВ. Замечательный факт состоит в том, что, повторив тот же анализ для каонов и используя равенство

_μ

^us

(x)

√

₂

(x) ,

(31.3)

мы получим экспериментальное значение ƒ_K≈110 МэВ , которое с точностью 20% согласуется со значением величины ƒ_π . В действительности этого и следовало ожидать, так как в пределе m_{u, d, s}→0 разницы между пионами и каонами нет и должно выполняться строгое равенство. Тот факт, что значения ƒ_π и ƒ_K реальном мире оказываются такими близкими, является веским аргументом в пользу киральной симметрии SU_F(3).

Соотношения (31.1) и (31.3) иногда называют частичным сохранением аксиального тока (ЧСАТ)⁴⁷⁾, что не имеет большого смысла, так как эти соотношения на самом деле являются тождествами. Можно использовать любое желаемое пионное поле, в частности поле (31.1) при условии, что оно имеет правильные квантовые числа и его матричный элемент между вакуумным и однопионным состояниями не равен нулю. Нетривиальная часть явления частичного сохранения аксиального тока описана ниже.

⁴⁷⁾ Действительно, в пределе m²_π→0 правая часть равенства (31.1) обращается в нуль.

Следующий шаг состоит в рассмотрении двухточечных функций (индекс ud в обозначении A_ud мы опускаем)

^μν

(q)

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

⟨TA

^μ

(x)A

^ν

(0)

⁺

⟩

_vac

и их сверток с компонентами импульса q_μ и q_ν

_ν

_μ

^μν

(q)

-q

_ν

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

∂

_ν

⟨TA

^μ

(x)A

^ν

(0)

⁺

⟩

_vac

-q

_ν

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

δ(x

⁰

)

⟨[A

⁰

(x),A

^ν

(0)

⁺

]⟩

_vac

-q

_ν

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

⟨T∂A(x)A

^ν

(0)+⟩

_vac

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

δ(x

⁰

)

⟨[A

⁰

(x)∂A(0)

⁺

]⟩

_vac

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

⟨T∂A(x)∂A(0)

⁺

⟩

_vac

Используя равенство (31.1) и вычислив коммутатор, получаем

_ν

_μ

^μν

(q)

2(m

)

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

δ(x)

⟨

(x)u(x)+

(x)d(x)⟩

_vac

2iƒ

₂

^π

₄

^π

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

⟨Tφ

_π

(x)φ

_π

(0)

⁺

⟩

_vac

или в пределе q→0

2(m

)

⟨

(0)u(0)+

(0)d(0)⟩

_vac

-2iƒ

₂

^π

₄

^π

∫

𝑑x e

^iq⋅x

⟨Tφ

_π

(x)φ

_π

(0)

⁺

⟩

_vac

⎪

_q→0

В правую часть этого равенства дают вклады пионный полюс и континуум, которые можно записать в виде

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

⟨Tφ

_π

(x)φ

_π

(0)

⁺

⟩

_vac

⎪

_q→0

⎧

⎨

⎩

₂

^π -q²

∫

𝑑t'

Im Π

t'-q²

⎫

⎬

⎭_q→0

₂

^π

∫

𝑑t'

Im Π

;

∫

𝑑

⁴

x e

^id⋅x

⟨Tφ

(x)φ

_π

(0)

⁺

⟩

_vac

Порядок выполнения предельных переходов в данном случае существен; вначале следует устремить импульс q к нулю, а затем перейти к киральному пределу. В этом пределеле^47а) m²_π→0 первый член в правой части записанного равенства расходится, а второй остается конечным. Следовательно, мы получаем окончательный результат

^47а) Это собственно и есть предел ЧСАТ, так как в этом пределе аксиальный ток сохраняется и его дивергенция равна нулю: ∂_μA^μ=0.

)

⟨

d⟩

_vac

–ƒ

₂

^π

₂

^π

⎧

⎨

⎩

1+O(m

₂

^π

)

⎫

⎬

⎭

(31.4)

Это соотношение отражает тот факт, что вакуумное среднее ⟨qq⟩_vac не равно нулю, ибо в противном случае мы должны потребовать равенства ƒ_π=0. Отметим также, что до сих пор не проводилось различий между «голыми» и перенормированными массами и операторами. Этого и не нужно делать, так как известно, что масса m и составной оператор qq обладают противоположным перенормировочным поведением, и справедливо равенство m_R(qq)_R = m_u(qq)_u .

Можно повторить вывод формулы (34.1) для каонов. Пренебрегая членами O(m²_π) или O(m²_K), получим

)

⟨

s⟩

_vac

–ƒ

₂

^K+

)

⟨

s⟩

_vac

–ƒ

₂

^K0

(31.5)

Если предположить, что вакуумное среднее ⟨qq⟩ одинаково для кварков всех ароматов, то для масс легких кварков можно получить

m_s+m_u

m_d+m_u

≈

₂

^K+

₂

^π m

₂

^π

m_d-m_u

m_d+m_u

≈

₂

^π

⋅

₂

^K0

–m

₂

^K+

₂

^π

Более строгие оценки требуют рассмотрения обусловленных электромагнитным взаимодействием вкладов в наблюдаемые массы π и K-мезонов. Учитывая их, получаем⁴⁸⁾

⁴⁸⁾ См. работы [99, 260, 280]. Этот метод возник в работах [141, 147, 192]

m_s

m^d

=18±4 ,

m_d

m^u

=2.0±0.3

(31.6)

Если теперь объединить эти результаты с феноменологическими оценками (из спектроскопии мезонов и барионов) масс кварков m_s-m_d≈100 – 200 МэВ m_d-m_u≈4 МэВ, то мы получим следующие значения масс в мегаэлектронвольтах:

(q∼m

)≈6,

(Q∼m

)≈10,

(Q∼m

)≈200,

(31.7)

где приближенное равенство означает, что возможна ошибка в 2 раза.

Такой способ получения масс кварков весьма неточен, поэтому в следующем параграфе будет описан другой, более изощренный метод.

§ 32. Ограничения на массы легких кварков и оценки для них

В этом параграфе описан метод получения ограничений на массы кварков и оценок для них. Этот метод впервые был использован в работе [254] и развит в работе [34]. Отправной точкой метода является функция

₅

^ij

(q²)

i(m

)²

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

⟨TJ

₅

^ij

(x)J

₅

^ij

(0)

⁺

⟩

_vac

(32.1)

где ток J⁵ имеет вид

₅

^ij

₅

Во всех порядках теорий возмущений функция

_ij

(Q²)

∂²

∂(q²)²

₅

^ij

(q²) ,

Q²=-q² ,

в пределе Q²→∞ обращается в нуль. Следовательно, можно записать без каких-либо вычитаний следующее дисперсионное соотношение:

_ij

(Q²)

∫

^∞

₀

𝑑t

Im Ψ

₅

^ij

(t)

(t+Q²)³

(32.2)

Левую часть этого равенства при больших значениях Q² можно вычислить в рамках квантовой хромодинамики. Но при этом необходимо соблюдать осторожность: недостаточно сохранить только ведущий член операторного разложения для произведения токов TJ⁵J⁵⁺, вклад операторов qq, x^αq∂_αq и G²=∑_aG_aμνG^μν_a также оказывается важным. Проводя вычисления в двухпетлевом приближении и помня о том, что операторы α_sG² и mqq в рассматриваемом порядке теории возмущений являются ренорминвариантными величинами, получаем

_ij

(Q²)

8π²

⋅

[m_i(Q²)+m_j(Q²)]²

Q²

⎧

⎨

⎩

1+O

⎧

⎪

⎩

m²

Q²

⎫

⎪

⎭

⋅

α_s(Q²)

2π

⋅

α_s⟨G²⟩

Q⁴

16π²

3Q⁴

⎡

⎢

⎣

⎧

⎪

⎩

–

m_i

⎫

⎪

⎭

⟨

⟩

⎧

⎪

⎩

–

m_j

⎫

⎪

⎭

⟨

⟩

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

Вклады операторов ⟨qq⟩ и ⟨G²⟩ оцениваются с учетом непертурбативных частей кваркового и глюонного пропагаторов (см. § 35, 36, где подробно рассмотрен пример вычислений). Вклады оператора m⟨qq⟩ можно оценить, используя формулы (31.4) и (31.5); по-видимому, эти вклады имеют величину O(m²/Q²) и оказываются пренебрежимо малыми. Таким образом, получаем

_ij

(Q²)

8π²

⋅

[m_i(Q²)+m_j(Q²)]²

Q²

⎧

⎨

⎩

⋅

α_s(Q²)

2π

3Q⁴

⟨G²⟩

⎫

⎬

⎭

(32.3)

Обратимся теперь к правой части равенства (32.2). Вклад пионного (для ij=ud) или каонного (для ij=us,sd) резонанса можно получить непосредственно; в случае пионов находим

∫

^∞

₀

𝑑t

Im Ψ⁵(t)

(t+Q²)³

4ƒ

₂

^π

₄

_π

₂

^π +Q²)³

∫

_9m²π

𝑑t

Im Ψ⁵(t)

(t+Q²)³

(32.4)

Здесь важно, что Im Ψ⁵(t)≥0; отсюда немедленно следует неравенство, связывающее величины m_u+m_d и m_π,ƒ_π,⟨α_sG²⟩ :

[

(Q²)+

(Q²)]²

≥

32π²ƒ

₂

^π

₄

^π

3(m

₂

^π +Q²)³

⎧

⎨

⎩

⋅

α_s(Q²)

2π

3Q⁴

⟨G²⟩

⎫^-1

⎬

⎭

(32.5)

Это ограничение не слишком хорошее, так как мы теряем значительную часть информации. Его можно улучшить, рассмотрев N-ю производную от величины F(Q²) и оптимизируя ее по переменным N и Q². Детальное изложение можно найти в работе [34]. В результате получаем

Назад к карточке книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"