Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 15 (всего у книги 17 страниц)

§ 42. Фейнмановские правила диаграммной техники

В § 39 утверждалось, что разложение функций Грина по степеням константы взаимодействия g, возникающее из (41.11), воспроизводит обычные фейнмановские правила диаграммной техники, которые были получены выше на основе разложения полевых операторов по операторам рождения и уничтожения и применения теоремы Вика. Правила Фейнмана можно вывести иначе, исходя из формул (41.11). Покажем это на примере трех типичных величин: глюонного пропагатора, вершины взаимодействия ду́хов и глюонов и несинглетных составных операторов, фигурирующих в формулах процессов глубоконеупругого рассеяния.

Для получения глюонного пропагатора рассмотрим соотношение

⟨TB̂

_μ

^a

(x)B̂

_ν

^a

(y)⟩

₀

|

_g=0

=(-i)²

δ²log Z

∂λ_aμ(x)δλ_bν(y)

⎪λ=0

⎪

⎪g=0

.

(42.1)

Здесь мы снова для обозначения операторов пользуемся символами с «крышками». Повторяя рассуждения § 39 и вводя для калибровочного параметра обозначение λ=a^-1, с точностью до 4-дивергенции можем написать цепочку равенств

-1

4

∑

⎡

⎣

∂

^ρ

B

_σ

^a

(x)-∂

^σ

B

_ρ

^a

(x)

⎤

⎦

⎡

⎣

∂

_ρ

B

_aσ

(x)-∂B

_aρ

(x)

⎤

⎦

–

a^-1

2

∑

⎡

⎣

∂

_τ

B

_τ

^a

(x)

⎤²

⎦

=

1

2

∑

B

_σ

^a

(x)

⎡

⎣

∂²B

_aσ

(x)-(1-a

^-1

∂

_σ

∂

^ρ

B

_aρ

(x)

⎤

⎦

+∂

_μ

ƒ

^μ

=

1

2

 

∑

^a,b

B

_aσ

(x)(K

^-1

)

_σρ

^ab

B

_bρ

(x)+∂

_μ

ƒ

^μ

,

где множитель K имеет вид

(K

^-1

)

_σρ

^ab

=

δ

_ab

⎧

⎨

⎩

g

^σρ

∂²

∂x²

–(1-a

^-1

)

∂

∂x_σ

∂

∂x_ρ

⎫

⎬

⎭

.

(42.2)

Полагая теперь источники η, η, ξ, ξ, константу взаимодействия g в формулах (41.11) равными нулю, для производящего функционала получаем

Z

=

∫

(𝑑q)(𝑑

q

)

(𝑑ω)(𝑑

ω

)

(𝑑B)

×

exp i

∫

𝑑

⁴

x

⎧

⎨

⎩

i

q

(x)

q

(x)+

1

2

∑

B

_aσ

(x)

(K

^-1

)

_σρ

^ab

B

_bρ

(x)

+

∑

λ

_aμ

(x)B

_μ

^a

(x)

⎫

⎬

⎭

.

(42.3)

Интегралы по переменным q, q, ω и ω приводят к константе, которая сокращается при вычислении логарифмической производной. Если провести замену переменной

B→B'=K

^-½

B,

то формула (42.3) примет вид

Z

=

(constant)

∫

(𝑑B')J(K)

×

exp i

∫

𝑑

⁴

x

∑

⎧

⎨

⎩

1

2

B''

_aμ

(x)B''

_μ

^a

(x)-

λ

_aμ

(x)(Kλ)

_μ

^a

(x)

⎫

⎬

⎭

.

где J(K) – якобиан преобразования. Наконец, заменим переменную интегрирования

B'→B''=B'+K

^½

λ,

так что производящий функционал теперь описывается формулой

Z

=

(constant)

∫

(𝑑B'')J(K)

×

exp i

∫

(𝑑

⁴

x

∑

⎧

⎨

⎩

1

2

B''

_aμ

(x)B''

_μ

^a

(x-)

1

2

λ

_aμ

(x)(Kλ)

_μ

^a

(x)

⎫

⎬

⎭

.

(42.4а)

Множитель K удобно представить в интегральной форме

(Kƒ)

_μ

^a

(x)=-i

∑

∫

𝑑

⁴

y D

_μν

^ab

(x-y)ƒ

_bν

(y);

(42.4б)

тогда для логарифмической производной производящего функционала получаем

δ²log Z

δλ_aμ(x)δλ_bν(y)

⎪

⎪

⎪

^sources=0

^g=0

=-D

_μν

^ab

(x-t).

Форма пропагатора D следует из его определения. Она такова, что выполняется соотношение

～

(K^-1ƒ')

_μ

(x)=

∑

δ

_ab

{g

^μν

∂²-(1-a

^-1

)∂

^μ

∂

^ν

}ƒ'

_bν

(x);

поэтому, проводя фурье-преобразование, обозначенное тильдой над соответствующей величиной, получаем

(K

^-1

ƒ')

_μ

^a

(k)=

∑

δ

_ab

{-g

^μν

k²+(1-a

^-1

)k

^μ

k

^ν

}ƒ̃'

_bν

(k);

отсюда, полагая

～

Kƒ'

=ƒ,

сразу получаем результат

～

(Kƒ)

_μ

^a

(a)=

∑

δ

_ab

–g^μν+(1-a)k^μk^ν/k²

k²

ƒ̃

_bν

(k).

Таким образом, как и ожидалось, пропагатор глюонного поля имеет вид

⟨TB̃

_μ

^a

(x)B̃

_ν

^a

(y)⟩

₀

|

_g=0

=

D

_μν

^ab

(x-y)

=

δ

_ab

i

(2π)⁴

∫

𝑑

⁴

k

e

^-ik⋅(x-y)

–g^μν+(1-a)k^μk^ν/k²

k²

a

=

λ

^-1

.

(42.5)

Доказательство того, что обход полюсов в выражении (42.5) задается добавкой +i0, требует либо рассмотрения асимптотических состояний, либо каких-нибудь других граничных условий на глюонный пропагатор. Эти условия можно найти в работе [112].

Для получения вершины взаимодействия ду́хов с глюонами требуется рассмотреть величину

⟨T

ω̂

_a

(x

₁

)ω̂

_b

(x

₂

)B̂

_μ

^c

(x

₃

)⟩

₀

⎪

⎪

⎪1-й порядок по g

=

=

iδ³log Z

δη_a(x₁)δη_b(x₂)δλ_cμ(x₃)

⎪λ=0

⎪

⎪1-й порядок по g

(42.6)

Обозначим через k оператор Клейна – Гордона, задаваемый соотношением kƒ(x)=∂²ƒ(x)^53а). Произведем замену переменных B→B'=K^-½B, ω→ω'=K^-½ω, ω→ω'=K^-½ω и проинтегрируем по кварковым полям, которые в данном рассмотрении не играют роли. Тогда для производящего функционала Z получаем

^53а) Обычно этот оператор называется оператором Даламбера. – Прим. перев.

Z

=

(constant)

∫

(𝑑ω')(𝑑

ω

')(𝑑B')J(k)J(k)

×

exp i

∫

𝑑

⁴

x

∑

⎧

⎨

⎩

g

⎡

⎣

∂

_μ

(k

^½

ω

')

_a

(x)

⎤

⎦

ƒ

_abc

(K

^½

B')

_μ

^c

(x)(k

^½

ω')

_b

(x)

+

½B'

²

–

ω

'ω+

η

(x)(k

^½

ω')

_a

(x)

+

(k

^½

ω

')

_a

(x)η

_a

(x)+λ

_μ

^a

(x)(K

^½

B')

_aμ

(x)+…

⎫

⎬

⎭

,

где многоточие обозначает члены, обращающиеся в нуль при g²=0 и нулевых значениях источников. Произведем затем преобразования переменных

B'→B''=B'-K

^½

λ,

ω→ω''=ω'+k

^½

η,

ω

→

ω

''=

ω

'+k

^½

η

.

Единственный член, дающий вклад в рассматриваемую вершину, содержит произведение всех трех источников и имеет вид

g

∑

(∂

_μ

(k

η

)

_a

(x))ƒ

_abc

(Kλ)

_μ

^c

(x)(kη)

_b

(x);

таким образом, для вершины взаимодействия ду́хов и глюонов получаем формулу

⟨T

ω

̂

_a

(x

₁

)ω̂

_b

(x

₂

)B̂

_μ

^c

(x

₃

)⟩

₀

⎪

⎪

⎪1-й порядок по g

=

∫

𝑑⁴p₁

(2π)⁴

e

^{-ix₁⋅p₁}

 

i

p

₂

¹

∫

𝑑⁴p₂

(2π)⁴

e

^{-ix₂⋅p₂}

 

i

p

₂

²

∫

𝑑⁴p₃

(2π)⁴

e

^{-ix₃⋅p₃}

×

i

-g

^μν

+(1-λ

^-1

)p

_μ

³

p

_ν

³

/p

₂

³

p

₂

³

(2π)

⁴

δ(p

₁

+p

₂

+p

₃

)gƒ

_cba

p

_1ν

снова в полном соответствии с ожидаемым результатом.

Наконец, рассмотрим вершину

⟨T

q

̂

₁

(x

₁

)N̂

_μ1…μn

^NS

(x

₂

)q̂

₂

(x

₃

)⟩

₀

(42.7)

в нулевом порядке теории возмущений по константе взаимодействия g, где операторы N (см. § 19) имеют вид

N̂

_μ1…μn

^NS

(x)

=

½i

^n-1

𝚂

:

q

̂

₂

(x)γ

^μ₁

D̂

^μ₂

…D̂

^μ_n

q̂

₁

(x):

-

члены, содержащие свертки

(42.8)

Чтобы вычислить величину (42.7), введем в выражение (41.11) новый источник

j

_μ1…μn

N

_μ1…μn

^NS

(x),

так что

⟨T

q

̂

₁

(x

₁

)N̂

_μ1…μn

^NS

(x

₂

)q̂

₂

(x

₃

)⟩

₀

=

iδ³log Z

δξ₁(x₁)δξ₂(x₃)δj_μ1…μn(x₂)

⎪

⎪

⎪

 

_g=0

_{источники=0}

(42.9)

В нулевом порядке по константе взаимодействия g глюоны или ду́хи никакой роли не играют, и по ним можно провести интегрирование. Аналогично ковариантные производные оператора N можно заменить обычными производными.

Кварковые поля рассматриваются так же, как поля глюонов или ду́хов. Используя определения

q'

_ƒ

=S

^½

q

_ƒ

,

q

'

_ƒ

q

_ƒ

S

^-½

, ƒ=1,2,

где матрица S задается соотношениями

S

^-1

q

_ƒ

(x)=

∂

q

_ƒ

(x),

q

_ƒ

(x)

S

^-1

=

q

_ƒ

(x)

∂

,

находим, что в нулевом порядке по константе связи g производящий функционал описывается выражением

Z

=

(constant)

∫

(𝑑q)(𝑑

q

)J(S)J(

S

)

×

exp i

∫

𝑑

⁴

x

⎧

⎨

⎩

q

'

₁

q'

₁

+

q

'

₂

q'

₂

+

ξ

₁

S

^½

q'

₁

+

ξ

₂

S

^½

q'

₂

+

(

q

'

₁

S

^½

)ξ+(

q

'

₂

S

^½

)ξ

₂

+(

S

^½

N

'_μ1…μn

^NS

S

^½

)j

_μ1…μn

⎫

⎬

⎭

.

(42.10)

Проведем замену переменных

q''

_ƒ

=q'

_'ƒ

+s

^½

ξ

_ƒ

,

Единственный член, содержащий все три источника ξ₁, ξ₂ и j имеет вид

S

N

_μ1…μ1

^NS

Sj

_μ1…μ1

≡

½i

^i-1

⎧

⎨

⎩

𝚂(

ξ

₁

S

^-1

(x)γ

^μ₁

^⃗

∂

^μ₁

…

^⃗

∂

^μ_n

(S

^-1

ξ

₁

)(x)-свертки

⎫

⎬

⎭

j

_μ1

…μ

_n

(x)

так что, используя явное выражение для матрицы S, получаем

⟨T

q

̂

₁

(x

₁

)N̂

_μ1…μn

^NS

(x

₂

)q̂

₂

(x

₃

)⟩

₀

=

∫

𝑑⁴p₂

(2π)⁴

e

^{-ip₂⋅x₂}

∫

𝑑⁴p₁

(2π)⁴

e

^{-ip₁⋅x₁}

i

p ₁

1

2

⎧

⎨

⎩

𝚂γ

^μ₁

p

μ₂

³

…p

μ_n

³

–свертки

⎫

⎬

⎭

×

∫

𝑑⁴p₃

(2π)⁴

e

^{-ip₃⋅x₃}

i

p₃

(2π)

⁴

δ(p

₁

+p

₂

–p

₃

).

Полученную формулу можно упростить, введя вектор Δ^μ, удовлетворяющий условию Δ²=0, и свернув его с выражением (42.11):

Δ

_μ1

…

Δ

_μn

⟨T

q

̂

₁

(x

₁

)N̂

_μ1…μn

^NS

(x

₂

)q̂

₂

(x

₃

)⟩

₀

=

∫

𝑑⁴p₂

(2π)⁴

e

^{-ip₂⋅x₂}

∫

𝑑⁴p₁

(2π)⁴

e

^{-ip₁⋅x₁}

i

p ₁

Δ

(

Δ

⋅

₃

)

^n-1

∫

𝑑⁴p₃

(2π)⁴

e

^{-ip₃⋅x₃}

i

p ₃

×

(2π)

⁴

δ(p

₁

+p

₂

–p

₃

).

(42.12)

Результат автоматически оказывается симметричным по индексам; члены, содержащие следы от произведений векторов Δ^μ (члены вида g^μμ'Δ_μΔ_μ'), обращаются в нуль. Конечно, вершину можно восстановить дифференцированием полученного результата по компонентам векторов Δ(∂/∂Δ_μ1)…(∂/∂Δ_μn). Уравнение (42.12) приводит к фейнмановским правилам диаграммной техники, приведенным в приложении Д и используемым в § 20.

§43. Евклидова формулировка квантовой хромодинамики

Рассмотрим тензор энергии-импульса для чисто янг-миллсовской КХД, описываемый выражением (10.2). Вклад кварковых полей в этот тензор не включается; вообще кварки не имеют отношения к вопросам, рассматриваемым в этом и следующих двух параграфах. Выражение для чисто янг-миллсовского тензора энергии-импульса можно записать в виде

Θ

^μν

=-

1

2

g

_αβ

 

∑

^a

G

_μα

^a

G

_νβ

^a

–

1

2

g

_αβ

 

∑

^a

G

^̃

_μα

^a

G

^̃

_νβ

^a

.

(43.1)

Отсюда следует, что нулевая компонента Θ⁰⁰ для реальных глюонных полей положительна:

Θ

⁰⁰

=

1

2

 

∑

^k,a

⎧

⎨

⎩

(G

_0k

^a

)²+(G

^̃

_0k

^a

)²

⎫

⎬

⎭

.

(43.2)

Таким образом, условие Θ^μν=0 выполняется только в том случае, когда G≡0 и, следовательно, с вакуумом можно отождествить только состояние, в котором отсутствуют глюонные поля. Но выражение (43.2) не обладает определенным знаком, если допустить, что тензор глюонного поля G^μν может принимать комплексные значения. Особенно важен случай, когда комплексный тензор G^μν определенный в пространстве Минковского, соответствует вещественному тензору глюонных полей G^μν, определенному в евклидовом пространстве-времени. Как обсуждалось в конце § 40, такая ситуация свидетельствует о возможном туннельном переходе. Это является основанием для того, чтобы искать решения уравнений КХД в евклидовом пространстве^53б).

^53б) Такая процедура обычно называется евклидовой формулировкой КХД или евклидовой формулировкой теории поля. Величины, определяемые в евклидовом пространстве-времени, мы будем отличать от соответствующих величин, определенных в пространстве Минковского, подчеркивая их снизу. Кроме того, суммы по повторяющимся пространственно-временным индексам мы будем выписывать в явном виде.

Другая причина заключается в том, что в пространстве Минковского

_∼

^∼

G

_μν

^a

=-G

_μν

^a

,

поэтому дуальными

G

^̃

=±G.

(43.3)

могут быть только тривиальные полевые конфигурации G=0. (Если в правой части равенства (43.3) стоит знак +, то говорят, что тензор G самодуален, если знак -, то тензор G антидуален.) В евклидовом же пространстве справедливо равенство

_∼

^∼

G

=±G

.

так что могут существовать и в действительности существуют нетривиальные дуальные полевые конфигурации G. Кроме того, дуальные евклидовы поля G автоматически удовлетворяют уравнениям движения. Это происходит по следующим причинам: уравнения движения для глюонных полей имеют вид (вспомним уравнение (3.6))

D

_μ

G

_μν

^a

≡

∂

_ν

G

_μν

^a

g

∑

ƒ

_abc

B

_bμ

G

_μν

^c

=0;

(43.4)

условие

D

_μ

G

^̃

_μν

^a

=0

(43.5)

представляет собой не что иное, как тождество Бьянки, которому удовлетворяет любой тензор G=D×B, независимо от того, является или нет поле B решением уравнений движения. Но если тензор G дуален, то, как показано в работе [ 219], из (43.5) следует соотношение (43.4).

Связь с проблемой вакуума возникает в силу того, что в евклидовом пространстве формула (43.1) для тензора энергии-импульса янг-миллсовских полей заменяется выражением вида

Θ

_μν

=-

1

2

∑

^a,λ

⎧

⎨

⎩

G

_a

^μλ

G

_a

^νλ

–

G

^̃

_a

^μλ

G

^̃

_a

^νλ

⎫

⎬

⎭

,

(43.6)

которое в случае дуальных полевых конфигураций обращается в нуль: μν=0. Таким образом, дуальные поля G могут соответствовать нетривиальным вакуумным состояниям.

Другое свойство дуальных полей состоит в том, что они должны удовлетворять условию минимума евклидова действия, для которого можно написать

𝓐

=

1

4

∫

𝑑

⁴

x

∑

G

_a

^μν

G

_a

^μν

=

1

4

∑

∫

𝑑

⁴

x

⎧

⎨

⎩

1

2

(

G

_a

^μν

±

G

^̃

_a

^μν

)²±

G

_a

^μν

G

^̃

_a

^μν

⎫

⎬

⎭

≥

1

4

⎪

⎪

⎪

∫

𝑑

⁴

x

∑

GG

^̃

⎪

⎪

⎪

.

(43.7)

Таким образом, действие является положительно определенной величиной, достигающей минимума в случае дуальных полей, когда справедливо равенство

𝓐

=

1

4

⎪

⎪

⎪

∫

𝑑

⁴

x

∑

G

_a

^μν

G

^̃

_a

^μν

⎪

⎪

⎪

=

1

4

∫

𝑑

⁴

x

 

∑

^μ,ν,a

(

G

_a

^μν

)².

(43.8)

Но по крайней мере в условиях, когда справедливо квазиклассическое ВКБ-приближение, известно, что амплитуда туннелирования определяется величиной exp(-𝓐), поэтому в ведущем порядке эффект туннелирования, если он существует, определяется дуальными полевыми конфигурациями.

Мы уже упоминали о "нетривиальных вакуумных состояниях". Нетрудно убедиться, что существуют такие ненулевые значения глюонных полей B, для которых G=0. В самом деле, поля общего вида, удовлетворяющие этому условию, называются чистой калибровкой; их можно получить из тривиальных полевых конфигураций B=0 калибровочными преобразованиями. Чтобы убедиться в этом, запишем конечное калибровочное преобразование в виде

B

_μ

^a

(x)

→

B'

_μ

^a

(x)=2Tr t

^a

U

^-1

(x)t

^b

U(x)B

_μ

^b

(x)

-

2

ig

Tr t

^a

U

^-1

(x)∂

^μ

U(x)

(43.9)

(ср. с формулой (3.1)). Здесь U(x) – любая зависящая от пространственно-временной точки x матрица, удовлетворяющая условиям U⁺(x)=U^-1(x), det U(x)=1. Но если B=0, то преобразованное поле B' имеет вид

B'

_μ

^a

(x)=-

2

ig

Tr t

^a

U

^-1

(x)∂

^μ

U(x).

(43.10)

Калибровочная инвариантность тензора напряженности глюонных полей G^μν_a обеспечивает равенство G'^μν=G^μν=0. Нетривиальными будут решения, для которых G≠0.

§ 44. Инстантоны

Будем искать евклидовы полевые конфигурации, ведущие к дуальному тензору напряженностей G. Для упрощения обозначений предполагаем суммирование по повторяющимся или опущенным цветовым индексам.

Нас интересуют поля, приводящие к конечному значению действия. Это означает, что мы требуем, в частности, выполнения условия

 

lim

^x→∞

|x|²

G

_μν

(x)=0,

(44.1)

где евклидова длина определяется формулой

|x|≡+

⎧

⎨

⎩

₄

∑

^μ=1

(x

_μ

)

²

⎫½

⎬

⎭

.

Пусть матрица U(x) осуществляет калибровочное преобразование, т.е. является матрицей размерности Зх3, для которой det U=1 и det U^-1=U⁺. Условие (44.1) будет выполнено, если при больших значениях x глюонное поле B представляет собой результат калибровочного преобразования, проведенного над нулевым полем, т.е. асимптотически является чистой калибровкой. Таким образом,

B

_μ

^a

 

→

^|x|→∞

-2

ig

Tr t

^a

U

^-1

(x)∂

^μ

U(x)

B

_μν

^a

 

→

^|x|→∞

0,

(44.2)

Попробуем рассмотреть анзац

B

_a

^μ

=φ(|x|²)

B

^́

_a

^μ

,

B

^́

_a

^μ

=

–2

ig

Tr t

^a

U

^-1

∂

_μ

U, φ

 

→

^|x|→∞

1.

(44.3)

Поучительно проверить, что тензор напряженностей G^́, соответствующий полям B^́, равен нулю. С этой целью определим матрицы

ℬ

_μ

≡t

^a

B

_a

^μ

,

𝒢

_μν

≡t

^a

G

_a

^μν

.

(44.4а)

Очевидно, справедливы соотношения

B

_a

^μ

=2Tr t

^a

ℬ

_μ

,

G

_a

^μν

=2Tr t

^a

𝒢

_μν

,

(44.4б)

𝒢

_μν

=∂

_μ

ℬ

_ν

–∂

_ν

ℬ

_μ

–ig[

ℬ

_μ

,

ℬ

_ν

].

(44.4в)

Соотношения (44.4) справедливы, конечно, и в пространстве Минковского. Но если поле B описывается формулами (44.3), то оно имеет асимптотику

ℬ

_μ

 

≃

^|x|→∞

–

1

ig

U

^-1

∂

_μ

U,

(44.5)

так что

𝒢

_μν

 

≃

^x→∞

1

–ig

{∂

_μ

(U

^-1

∂

_ν

U)-∂

_ν

(U

^-1

∂

_μ

U)}

-

-ig

⎧

⎩

1

–ig

⎫²

⎭

[U

^-1

∂

_μ

U,U

^-1

∂

_ν

U]

=

1

–ig

{-U

^-1

(∂

_μ

U)U

^-1

(∂

^ν

U)

+U

^-1

(∂

_ν

U)U

^-1

(∂

_μ

U)

+

1

–ig

[U

^-1

∂

_μ

U,U

^-1

∂

_ν

U]=0 .

Заметим, что члены второго и четвертого порядка по матрице U сокращают друг друга; множитель 1/g оказывается существенным в силу нелинейности тензора G. Это отражает непертурбативный характер решений.

Если U представляет собой элемент группы, который можно непрерывным образом связать с тождественным преобразованием, то тензор 𝒢 обращается в нуль не только асимптотически: 𝒢=0. Поэтому необходимо рассмотреть такую матрицу U, которую нельзя представить в простой форме exp[itθ(x)]. Единственная возможность состоит в объединении пространственно-временны́х и цветовых индексов. Это оказывается допустимым только благодаря тому, что размерность пространства-времени равна четырем. Соответствующей группой инвариантности является группа SO(4), алгебра Ли которой (ее комплексная алгебра Ли) изоморфна произведению двух алгебр Ли группы SU(2). Таким образом, группу SO(4) можно связать с подгруппой SU(2) цветовой группы SU(3). Поэтому будем искать матрицу U в виде

U=

⎧

⎩

u

0

0

1

⎫

⎭

,

где u – матрица SU(2) размерности 2x2. Пусть

σ

₄

=

⎧

⎩

1

0

0

1

⎫

⎭

,

– единичная матрица, а σ_i – матрицы Паули. Любую матрицу размерности 2x2 можно записать в виде суммы A=∑a_μσ_μ. Если ввести обозначения â_i=-a_i, â₄=â₄, то легко убедиться в справедливости равенств

⎧

⎩

∑

a

_μ

σ

_μ

⎫

⎭

⎧

⎩

∑

â

_μ

σ

_μ

⎫

⎭

=

∑

a

_μ

â

_μ

и

det A=

∑

a

_μ

â

_μ

;

таким образом, мы получаем, что матрицу общего вида u можно записать в виде

u

_ƒ

=

1

|ƒ(x)|

{σ

₄

ƒ

₄

(x)+i

^⃗

σ

^⃗

ƒ(x)}, ƒ

_(x)

вещественно.

(44.6)

Полагая ƒ_μ(x)=x_μ, получаем простейшее решение

u(x)=

1

|x|

(σ

₄

x

₄

+i

^⃗

σ

^⃗

x).

(44.7а)

Пространственно-временные и цветовые индексы нетривиальным образом связаны друг с другом, поэтому для матрицы u нельзя использовать представление u(x)=exp[(i/2)^⃗σ^⃗θ(x)]. Как отмечалось выше, попытаемся представить глюонные поля в виде^53в)

^53в) Анзацы общего вида предложены в работах [78,266].

ℬ

_μ

(x)

=

φ(|x|²)

ℬ

^̂

_μ

(x),

ℬ

^̂

_μ

(x)

=

1

–ig

U

^-1

(x)∂

_μ

U(x),

U

=

⎧

⎩

u

0

0

1

⎫

⎭

.

(44.7б)

Полезно вспомнить, что, так как поле ℬ^̂ является чистой калибровкой, отвечающее ему значение тензора напряженностей глюонных полей 𝒢^̂ равно нулю, поэтому

𝒢

_μν

=

∂

_μ

ℬ

_ν

–∂

_ν

ℬ

_μ

–ig[

ℬ

_μ

,

ℬ

_ν

]

=

(∂

_μ

φ)

ℬ

^̂

_ν

–(∂

_ν

φ)

ℬ

^̂

_μ

+φ(∂

_μ

ℬ

^̂

_ν

–∂

_ν

ℬ

^̂

_μ

)

–igφ²[

ℬ

^̂

_μ

,

ℬ

^̂

_ν

]

=

2φ'{x

_μ

ℬ

^̂

_ν

–x

_ν

ℬ

^̂

_μ

}

+(φ-φ²)

{∂

_μ

ℬ

^̂

_ν

–∂

_ν

ℬ

^̂

_μ

};

φ'

=

𝑑φ(|x|²)

𝑑|x|²

.

Проще всего его получить, если заметить, что

B

^̂

_a

^μ

=-(2/g|x|²)

∑

η

_a

^ρμ

x

_ρ

,

где тензор η приведен ниже. Тогда

G

_a

^μν

=

4i²

|x|²g

⎧

⎪

⎩

φ'-

φ-φ²

|x|²

⎫

⎪

⎭

 

∑

^ρ

(η

_a

^ρν

x

_ρ

x

_μ

–η

_a

^ρμ

x

_ρ

x

_ν

)

+

4i²

|x|²g

(φ-φ²)η

_a

^μν

.

Смешанный тензор η определяется выражением

η

_a

^αβ

=

⎧

⎨

⎩

ε_aαβ4+δ_α4δ_aβ-δ_β4δ_aα ,

0,

a=1,2,3

a=4,…,8.

(44.8)

Отметим, что этот тензор самодуален: η_αβ=η^̃_αβ; следовательно, условие самодуальности тензора G выполняется в том случае, если функпия φ удовлетворяет уравнению

φ'-

φ-φ²

|x|²

=0,

т.е. глюонное поле ℬ_μ(x) имеет вид

ℬ

_μ

(x)

=

|x|²

|x|²+λ²

⋅

1

–ig

U

^-1

(x)∂

_μ

U(x), λ произвольно.

(44.9)

Это и есть инстатонное решение, найденное в работе [35]. Отметим, что оно локализовано в окрестности x≈0, т.е. в пространстве и во времени (отсюда и название «инстантон» – мгновенный). Из выражения (44.9) заменой x→x-γ можно получить решения, локализованные в окрестности произвольной пространственно-временной точки x≈y. В дальнейшем это окажется полезным. Выражению (44.9) можно придать большую наглядность, подставив в него выражение для матрицы U при этом мы найдем, что поле B вещественно:

B

_a

^μ

=

1

g

⋅

–2

|x|²+λ²

 

∑

^ρ

η

_a

^ρμ

x

_ρ

.

(44.10)

Из вида тензора η ц следует связь между пространственно-временными и цветовыми преобразованиями. Соответствующий тензор напряженностей имеет вид

G

_a

^μν

(x)=

1

g

⋅

-4λ²η

_a

^μν

(|x|²+λ²)

₂

 

.

(44.11)

Как и следовало ожидать, глюонные поля B и тензор напряженностей G при продолжении их в пространство Минковского оказываются сингулярными (и комплексными!) величинами, так как интервал x² не является уже положительно определенным, а следовательно, знаменатель x²+λ² может обращаться в нуль. Замечательная особенность инстантонных решений состоит в том, что если глюонное поле B при больших x имеет асимптотику B≈1/|x|, то вследствие сокращения большого числа различных членов, входящих в выражение для тензора напряженностей G, последний обладает поведением G≈1/|x|⁴ и, таким образом, удовлетворяет требованию (44.1).

В дальнейшем мы будем использовать только решение (44.9); но имеются и другие решения^53г), найденные в работах [35, 66, 86]. Оказалось, что существует точная симметрия между самодуальными и антидуальными решениями: в антидуальных решениях, соответствующих (44.10), используется тензор

^53г) Решения с конечным значением действия, определенного в пространстве Минковского, и с бесконечными в эвклидовом пространстве.

η

_a

^αβ

=η

_a

^αβ

, α,β=1,2,3,

η

_a

^αβ

=-η

_a

^αβ

α или β=4.

(44.12)

Такие решения называют антинстантонами.

Вычислим теперь действие, соответствующее инстантонному решению. Используя соотношение ∑η^a_μνη^a_μν и формулы, приведенные в приложении Б, получаем результат

𝓐

=

1

4

∫

𝑑

⁴

x

_∑

G

_a

^μν

G

_a

^μν

=

48λ²

g²

∫

𝑑

⁴

x

1

(|x|²+λ²)⁴

=

8π²

g²

.

(44.13)

В § 45 показано, что туннелирование из состояния |n_±⟩ в состояние |n_±+ν⟩, где ν – целое число, осуществляется через инстантонные решения. В этом смысле они доказывают существование нетривиальной структуры вакуума КХД которое обсуждалось в § 38. Может показаться странной необходимость подробного обсуждения этой проблемы, поскольку точные решения уже найдены. Ответ на этот вопрос состоит в требовании конечности действия, при котором такие решения искались. Как обсуждалось в § 40, наблюдаемая амплитуда туннельного перехода между двумя состояниями |a⟩ и |b⟩ определяется формулой

⟨a|b⟩

_phys

=⟨a|e

^-𝓐

|b⟩/⟨b|e

^-𝓐

|b⟩

(44.14)

так что даже полевые конфигурации, приводящие к бесконечному значению действия (при условии что бесконечности в числителе и в знаменателе (44.14) взаимно сокращаются), могут давать конечное значение амплитуды туннельного перехода. Можно накладывать требование конечности действия, но оно не является строго обязательным. В действительности, как будет показано в § 45, инстантоны приводят к целочисленным значениям параметра ν, тогда как, согласно работе [82], обсуждавшейся в § 38, при некоторых значениях масс кварков параметр ν оказывается нецелочисленным⁵⁴⁾. Важность инстантонных решений состоит в том, что они обеспечивают явные эффекты туннелирования и дают возможность оценить их. Но, по-видимому, инстантоны не исчерпывают всех возможных непертурбативных решений в квантовой хромодинамике. Помня об этих оговорках, продолжим изучение инстантонных решений и требования конечности действия.

⁵⁴⁾«Полуинстантоны» с конечным эвклидовым действием и полуцелым топологическим зарядом, по-видимому, недавно теоретически получены в работе [127].

§ 45. Связь инстантонных решений с вакуумом КХД и топологическим квантовым числом

Рассмотрим величину (см. выражение (38.3))

Q

_K

=

g²

32π²

∫

𝑑

⁴

x

∑

G

^̃

_a

^μν

G

_a

^μν

.

(45.1)

Как обсуждалось выше, глюонные поля, стремящиеся на бесконечности к нулю, имеют вид

ℬ

_μ

 

≃

^x→∞

_-1

ig

T

_-1

^B

(x)∂

_μ

T

_B

(x),

(45.2)

где T_B – произвольная матрица из группы SU(3). Рассмотрим переменную x, лежащую на поверхности четырехмерной сферы ∂S₄. Калибровочное поле ставит в соответствие каждой пространственно-временной точке x величину T_B(x) из калибровочной группы. Таким образом, мы имеем отображение поверхности ∂S₄ в группу SU(3). Можно сказать, что две полевые конфигурации гомотопны, и выполняется соотношение ℬ≈ℬ', если они могут быть переведены одна в другую непрерывным преобразованием. Очевидно, что это соотношение является соотношением эквивалентности; таким образом, все калибровочные поля можно разбить на гомотопические классы. Число гомотопических классов бесконечно, но счетно⁵⁵⁾, так что поля можно нумеровать целым числом n в соответствии с номером гомотопического класса, к которому они принадлежат. Наша очередная задача состоит в том, чтобы показать, что число n совпадает с величиной Q_K определяемой выражением (45.1). Величина Q_K называется квантовым числом Понтрягина, или топологическим (спиральным) квантовым числом. Название в скобках связано с кратностью отображения четырехмерной сферы на группу.

⁵⁵⁾ Эго справедливо для любой простой калибровочной группы, содержащей в себе подгруппу SU(2).

Чтобы убедиться в этом, отметим прежде всего, что, как можно проверить прямыми вычислениями, выражение (45.1) инвариантно относительно непрерывных калибровочных преобразований. Далее заметим, что подынтегральное выражение в (45.1) в действительности представляет собой 4-дивергенцию. В самом деле, как показано в § 38,

g²

32π²

∑

G

_a

^μν

G

^̃

_a

^μν

=

∑

∂

_μ

K

_μ

,

(45.3)

где K – «киральный ток»:

K

_μ

=

g²

16π²

∑

ε

_μνρσ

⎧

⎨

⎩

(∂

_ρ

B

_a

^σ

)B

_a

^ν

+

1

3

gƒ

_abc

B

_a

^ρ

B

_b

^σ

B

_c

^ν

⎫

⎬

⎭

.

(45.4)

Используя теорему Гаусса, находим

Q

_K

=

g²

32π²

∫

𝑑

⁴

x

∑

G

_a

^μν

G

^̃

_a

^μν

=

∫

 

 

_∂S4

∑

𝑑σ

_μ

K

_μ

,

где 𝑑σ_μ – элемент поверхности четырехмерной сферы ∂S₄. Используя формулу (45.4), получаем выражение

Q

_K

=

g³

48π²

∑

ε

_μνρσ

ƒ

_abc

∫

 

 

_∂S4

𝑑σ

₄

B

_a

^ρ

B

_b

^σ

B

_c

^ν

.

Вычисления упрощаются, если принять, что B_a=0 для всех значений a, кроме a=1,2,3. Это оказывается возможным благодаря тому, что гомотопические соотношения зависят только от подгруппы SU(2). В этом случае можно принять

ℬ

_μ

=

1

2

∑

σ

_k

B

_k

^μ

,

и представление (45.2) остается справедливым, если входящая в него матрица T принадлежит группе SU(2). Тогда получаем следующее выражение для величины Q_K:

Q

_K

=

1

12π²

∑

ε

_μνρσ

∫

 

 

_∂S4

𝑑σ

_μ

Tr

⎧

⎨

⎩

(T

^-1

∂

_ρ

T)

(T

^-1

∂

_σ

T)

(T

^-1

∂

_ν

T)

⎫

⎬

⎭

.

(45.5)

Предположим, что мы параметризовали элементы группы SU(2) тремя углами Эйлера ξ_i ; тогда инвариантную по группе меру можно записать в виде

𝑑μ=Tr

⎧

⎨

⎩

T

^-1

∂T

∂ξ₁

T

^-1

∂T

∂ξ₂

T

^-1

∂T

∂ξ₃

⎫

⎬

⎭

𝑑ξ

₁

𝑑ξ

₂

𝑑ξ

₃

,

∫

 

 

_SU(2)

𝑑μ=12π².

Мы видим, что выражение (45.5) в точности определяет кратность, с которой поверхность четырехмерной сферы обернута вокруг группы SU(2). Таким образом, как это очевидно из формулы (44.13) и свойств самодуальных (анти-дуальных) полевых конфигураций, инстантонное (антиинстантонное) решение имеет топологическое квантовое число Q_K=±1. Нетрудно построить решение, отвечающее любому значению топологического заряда ν. Предположим, что параметр ν положителен. Рассмотрим разреженный газ ν инстантонов, описываемый полем

B

_a(ν)

^μ

(x)=

_ν

∑

^k=1

B

_a

^μ

(x-y

_k

).

(45.6а)

Пусть поле B имеет величину (44.10), и пусть выполняются условия |γ_j-γ_k|→∞. При вычислении тензора напряженностей G^ν или его квадрата G^νG^ν перекрытие между двумя различными членами в формуле (45.6) при |γ_j-γ_k|→∞, очевидно, стремится к нулю; следовательно, в этом пределе справедливо равенство

g²

32π²

∫

𝑑

⁴

xG

^(ν)

G

^̃

^(ν)

=ν.

(45.6б)

Таким образом, мы успешно справились с задачей поиска решений из каждого гомотопического класса. Более интересным оказывается тот факт, что многоинстантонные полевые конфигурации дуальны, а следовательно, соответствующий тензор энергии-импульса обращается в нуль: Θ^ν=0. Это означает, что в квантовой хромодинамике (по крайней мере в ее евклидовой версии) нет единственного вакуума, а есть бесконечное число вакуумных полевых конфигураций |ν⟩, ν=…,-1,0,1,2,…, которые топологически эквивалентны друг другу. Эта ситуация похожа на случай, представленный на рис. 30, б.

Рис. 31. Области интегрирования в выражениях для топологического заряда инстантонов.

Чтобы исследовать это явление более детально, введем в рассмотрение другую гиперповерхность, а именно возьмем цилиндр с осью вдоль оси времени, как показано на рис. 31, а. Выберем кулоноподобную калибровку, так что выполняется асимптотическое условие

B

₄

 

=

^x→∞

0.

Тогда остаются интегралы только вдоль оснований цилиндров:

ν=

⎧

⎨

⎩

∫

 

 

_t''

–

∫

 

 

_t'

⎫

⎬

⎭

𝑑x

₁

𝑑x

₂

𝑑x

₃

K

_(ν)

⁴

.

Поскольку поле на бесконечности обращается в нуль, пространственно бесконечно удаленные точки, лежащие на основаниях цилиндра, можно отождествить, так что возникают интегралы по большим трехмерным сферам, одна из которых расположена при t=-∞, а другая при t=+∞. Калибровку выберем таким образом, чтобы выполнялось условие

∫

 

 

_t'→-∞

𝑑x

₁

𝑑x

₂

𝑑x

₂

K

_(ν)

⁴

=n(-∞)=целое число.

Доказательство существования калибровки, непрерывным образом связанной с тождественным преобразованием и удовлетворяющей этому условию, можно найти в лекциях [227]. Принимая во внимание формулу (45.66), получаем равенство

∫

 

 

_t''

𝑑x

₁

𝑑x

₂

𝑑x

₃

K

_(ν)

⁴

=n(t''), n(+∞)-n(-∞)=ν.

(45.7)

Многоинстаитонные полевые конфигурации B^(ν) связывают вакуумные состояния на -∞ и +∞, топологические квантовые числа которых различаются на ν единиц. Поэтому в квантовом случае в соответствии с обсуждением в § 40 можно ожидать, что эти два вакуумных состояния могут быть связаны туннельным переходом, амплитуда которого в ведущем порядке описывается формулой

⟨n(+∞)|n(-∞)⟩=(constatnt) exp(-

𝓐

^(ν)

).

Как обсуждалось выше, минимум действия достигается на само дуальных (антидуальных) решениях, т.е. для инстантонов или антиинстантонов (если |n(+∞)-n(-∞)|=1). Таким образом, в ведущем порядке амплитуда перехода имеет вид

⟨n(+∞)|n(-∞)⟩≈(constatnt) exp

⎧

⎨

⎩

-8π²|ν|

g²

⎫

⎬

⎭

.

(45.8)

Поправки высших порядков можно вычислить [252], разлагая в ряд поля не вблизи классических траекторий B_cl=0, а вблизи траекторий B_cl=B^(ν)_cl=B^(ν). Они оказываются важными, так как дают константу в формуле (45.8). Действительно,

exp

⎧

⎨

⎩

-8π²|ν|

g²

⎧

⎪

⎩

1+a

g²

16π²

⎫

⎪

⎭

⎫

⎬

⎭

=e

^-a/2

exp

⎧

⎨

⎩

-8π²|ν|

g²

⎫

⎬

⎭

,

но эти члены не меняют качественно результат. Чтобы убедиться в справедливости выражения (45.8), необходимо рассмотреть случай, когда константа связи g мала и член exp(-2π/α_g) подавляет любую константу.

Обратимся теперь к рассмотрению вакуумных состояний. Определение производящего функционала дано в § 39 и 41. Если в лагранжиане пренебречь членами, описывающими вклад ду́хов и фиксирующими калибровку, то он (в евклидовой формулировке КХД) имеет вид

_+⟨0|0⟩-

=

Z

=

∫

(𝑑

B

) exp

⎧

⎨

⎩

–

∫

𝑑

⁴

x

ℒ

(

B

)

⎫

⎬

⎭

.

(45.9а)

Но теперь необходимо решить, по каким гомотопическим классам проводить интегрирование. Напомним, что левая часть соотношения (45.9а) представляла собой амплитуду ⟨0,t=+∞|0,t=-∞⟩; поэтому равенство (45.9а) следует переопределить в виде

⟨n(+∞)|m(-∞)⟩=

∫

(𝑑

B

_n-m

) exp

⎧

⎨

⎩

–

∫

𝑑

⁴

x

ℒ

(

B

)

⎫

⎬

⎭

.

(45.9б)

В рамках теории возмущений рассматривается лишь вакуумное состояние |n=0⟩, но очевидно, что благодаря возможности туннелирования все вакуумные состояния |n⟩ связаны между собой [61,174,252], так что ни одно из них не является стационарным и не может отвечать истинному вакуумному состоянию. Стационарные состояния, так же как блоховские состояния в теории твердого тела, получаются из суперпозиций

 

∑

ⁿ

e

^inθ

|n⟩≡|θ⟩.

Это выражение инвариантно относительно изменений топологического заряда. В самом деле, пусть Γ_k – оператор, изменяющий топологический заряд на k единиц; тогда

Γ

_k

|θ⟩=

 

∑

ⁿ

e

^inθ

|n+k⟩=

 

∑

^m

e

^i(m-k)θ

|m⟩=e

^-ikθ

|θ,

откуда следует, что под действием этого оператора вакуумное состояние изменяет только свою фазу. Производящий функционал в терминах θ-вакуума можно записать в виде

⟨θ(+∞)|θ'(-∞)⟩=Nδ(θ-θ')

 

∑

^ν

e

^-iνθ

∫

(𝑑

B

^(ν)

)e

^{-∫𝑑4xB(B(ν))}

.

(45.10)

Здесь можно опустить функцию δ(θ-θ'), которая отражает лишь тот факт, что физические миры, соответствующие различным значениям параметра θ, не связаны друг с другом. Кроме того, интегрирование по полям B в формуле (45.10) можно распространить на все полевые конфигурации, введя множитель

δ

⎡

⎣

ν-(g²/32π²)

∫

𝑑

⁴

x

∑

GG

^̃

⎤

⎦

;

но тогда суммирование по индексу ν выполняется тривиально, и мы получаем

Z=N

∫

(𝑑

B

)e

^{-∫𝑑4xℒ_θ}

(45.11а)

ℒ

_θ

=-

1

4

∑

GG

+

ig²θ

32π²

∑

GG

^̃

.

(45.11б)

Наконец, можно вернуться в пространство Минковского и сделать заключение, что из существования инстантонов следует, что истинный лагранжиан квантовой хромодинамики имеет вид

ℒ

_θ

=-

1

4

 

∑

^a

G

_μν

^a

G

_aμν

–

θg²

32π²

 

∑

^a

G

_μν

^a

G

^̃

_aμν

,

(45.12)

подтверждая, таким образом, необходимость введения в общем случае члена ℒ_1θ (вспомним рассмотрение в начале § 38).

Можно задаться вопросом, в какой мере явления, рассмотренные в настоящем параграфе, изменяют результаты, полученные в параграфах книги, предшествующих § 37. Во-первых, ограничения, полученные для параметра θ (§ 38), требуют, чтобы его значение было настолько малым, что член лагранжиана ℒ_1θ сам по себе практически не оказывает влияния. Во-вторых, инстантонное решение и связанные с ним явления представляют собой дальнодействующие эффекты; полевые конфигурации, достаточно быстро убывающие при x→∞, обладают нулевым топологическим зарядом Q_K=0. До сих пор мы обсуждали лишь эффекты, связанные с малыми расстояниями (для распада π⁰→2γ, глубоконеупругого рассеяния и т.д.); возможно, что режим теории возмущений по-прежнему применим и здесь. В этом можно убедиться, рассмотрев амплитуду туннелирования, обусловленного одноинстантонной полевой конфигурацией: