Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Текст добавлен: 20 марта 2017, 22:30

Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

Жанр:

Физика

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 17 страниц)

Назад к карточке книги

Глава III. ПРОЦЕССЫ ГЛУБОКОНЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ

§15. е⁺е^- -аннигиляция в адроны

Лагранжиан, описывающий сильное и электромагнитное взаимодействия кварков, можно представить в виде

ℒ

_QCD+em

∑

{

q-m

}

–

(D×B)

∑

_μ

^μ

–

_μν

^μν

(15.1)

где Q_q – заряд кварка q в единицах заряда протона e. В формуле (15.1) опущены члены, фиксирующие калибровку и описывающие вклад ду́хов. Электромагнитный ток кварков равен

^μ

∑

^μ

q: .

Рассмотрим некоторое адронное состояние Γ. Сечение аннигиляции неполяризованных электрона e^- и позитрона e⁺ в адроны определяется как усредненная по спинам начальных электрона и позитрона сумма по всем возможным конечным состояниям адронной системы, возникающей в результате процесса e⁺e^-→Γ. Для того чтобы вычислить эту сумму, рассмотрим матричный элемент

⟨Γ|S

_QCD+em

⁺

⟩

=⟨Γ|Τ exp i

∫

⁴

{

ℒ

_int,QCD

(x)+ℒ

_int,em

(x)

}

⁺

⟩ .

Проводя вычисления в низшем порядке теории возмущений по константе электромагнитного взаимодействия, получаем

⟨Γ|S

_QCD+em

⁺

⟩

-e²

⟨Γ|

∫

⁴

₁

⁴

₂

ℒ

₀

^int,em

₁

)ℒ

₀

^int,em

₂

)

exp i

∫

⁴

xℒ

₀

^int,QCD

(x)|e

⁺

⟩ .

Рис. 10. Диаграммы, описывающие процесс е⁺е^-→адроны.

Используя правила диаграммной техники Фейнмана для квантовой электродинамики и учитывая обозначения рис. 10, а, амплитуду интересующего нас процесса можно выразить в форме

F(e

⁺

→Γ)=

2πe²

q²

₁

,σ

₁

)γ

_μ

u(p

₂

,σ

₂

⟨Γ|J

^μ

(0)|0⟩.

Суммируя по конечным адронным состояниям, для сечения e⁺e^--аннигиляции в адроны получаем

(s)

∑

^Γ

σ(e

⁺

→Γ, s=(p

₁

₂

)

2α²

s³

4π

_μν

∑

^Γ

(2π)

⁴

δ(p

₁

₂

–p

_Γ

⟨Γ|J

^ν

(0)|0⟩⟨Γ|J

^ν

(0)|0⟩*.

(15.2)

Если пренебречь массой электрона, то тензор l_μν можно записать в виде

_μν

∑

^σ₁,σ₂

₁

,σ

₁

)γ

_μ

u(p

₂

,σ

₂

)

[

₁

,σ

₁

)γ

_μ

u(p

₂

,σ

₂

)]*

_μ

_ν

–q

_μν

–

₁

–p

₂

)

_μ

₁

–p

₂

)

_ν

Из приведенных формул видно, что нетривиальная часть выражения для сечения е⁺е^--аннигиляции в адроны связана с тензором

^μν

∑

^Γ

(2π)

⁴

δ(p

₁

₂

–p

_Γ

)

⟨0|J

^μ

(0)|Γ⟩

⟨0|J

^ν

(0)|Γ⟩.

Используя полноту адронных состояний, в силу которой справедливо соотношение Σ_Γ|Γ⟩⟨Γ|=1, выражение для тензора Δ^μν можно переписать в виде

^μν

∫

⁴

x e

^iq⋅x

⟨[J

^μ

(x),J

^ν

(0)]⟩

₀

(15.3)

При выводе этой формулы использован закон сохранения энергии-импульса, благодаря которому слагаемые, отвечающие переставленным токам J, равны нулю. Удобно определить тензор Π^μν выражением

^μν

(q)=

∫

⁴

x e

^iq⋅x

⟨ΤJ

^μ

(x)J

^ν

(0)⟩

⁰

(15.4 а)

где p₁+p₂=q; нетрудно убедиться в справедливости соотношения Δ^μν=2ImΠ^μν ²³⁾: сечение e⁺e^- -аннигиляции в адроны связано с мнимой частью фотонного поляризационного оператора.

²³⁾ Простой, но несколько громоздкий способ убедиться в этом состоит в применении соотношений унитарности (2.8) и (2.9) к процессу рассеяния на нулевой угол e⁺e^-→e⁺e^- во втором порядке теории возмущений по константе электромагнитного взаимодействия.

Небольшие усложнения возникают из-за интерференции сильных и электромагнитных взаимодействий. Поскольку поляризационный оператор Π^μν вычисляется во втором порядке теории возмущений по константе электромагнитного взаимодействия e, необходимо учитывать перенормировку электрического заряда, описываемую двумя диаграммами рис. 10, б. Простейшее решение этого вопроса заключается в рассмотрении тесно связанной с наблюдаемыми характеристиками процесса мнимой части поляризационного оператора ImΠ^μν, для которой подобных усложнений не возникает.

Электромагнитные токи являются сохраняющимися, поэтому их аномальные размерности равны нулю. Если из выражения для поляризационного оператора Π^μν выделить тензорную структуру -q^μνq²+q^μq^ν :

^μν

(q)=(-g

^μν

^μ

^ν

)Π(q),

(15.4 б)

то в соответствии с общими положениями теории для мнимой части поляризационного оператора можно написать соотношение

ImΠ

(q;m(ν),g(ν);ν)=ImΠ

(νn;

);ν),

=-q

=s, n

=1 .

(15.5)

Таким образом, надо вычислить лишь величину ImΠ_R(q;m(ν),g(ν);ν) и произвести в ней замены q=ν, m(ν)→m(Q²), q(ν)→q(Q²). В нулевом порядке теории возмущений возникает диаграмма рис. 10, в, из которой, пренебрегая массами кварков, приводящими к поправкам порядка m²/s , получаем

ImΠ

₍₀₎

12Π

_nƒ

∑

^ƒ=1

₂

^ƒ

(15.6)

Формула (15.6) подтверждает результат старой партонной модели [58, 120], в которой кварки считались свободными. Поэтому принято рассматривать отношение сечения аннигиляции в адроны σ_h к сечению процесса е⁺е^-→μ⁺μ^-, вычисленному в низшем порядке теории возмущений по электромагнитному взаимодействию:

R(s)=

^h (s)

₍₀₎

^{е+е-→μ+μ-} (s)

(15.7)

В нулевом порядке теории возмущений это отношение равно

₍₀₎

(s)=3

_nƒ

∑

^ƒ=1

(15.8)

Поправки следующего порядка представлены диаграммами рис. 10, г. С точностью до замены фотона глюоном и учета теоретико-группового множителя Σ_a,kt^a_ikt^a_kj=C_Fδ_ij эти диаграммы аналогичны соответствующим диаграммам квантовой электродинамики, вычисленным много лет назад в работе [180]. Воспользовавшись этим результатом, получаем [18, 278]

⁽¹⁾

(s)=3

_nƒ

∑

^ƒ=1

₂

^ƒ

⎧

⎨

⎩

α_s(Q²)

⎫

⎬

⎭

(15.9)

Поправки второго порядка вычислены в работах [67, 95]. В перенормировочной схеме MS во втором порядке теории возмущений

⁽²⁾

(s)

_nƒ

∑

^ƒ=1

₂

^ƒ

⎧

⎨

⎩

α_s(Q²)

₂

⎧

⎪

⎩

α_s(Q²)

⎫²

⎪

⎭

⎫

⎬

⎭

₂

[

ζ(3)-

]

_ƒ

365

–11ζ(3)≃2.0-0.12n

_ƒ

(15.10)

Здесь ζ – дзета-функция Римана, а для константы сильных взаимодействий α_s следует использовать выражение второго порядка теории возмущений.

Необходимо рассмотреть еще вопрос о том, сколько ароматов кварков следует учитывать. Этот вопрос тесно связан с проблемой кварковых масс. Если масса кварка m_q удовлетворяет условию s≫m²_q , то возникают поправки типа O(m²_q/s). В пределе s→∞ они пренебрежимо малы по сравнению с поправками любого порядка по параметру α_s . Совершенно иная ситуация возникает, когда m²_q≫s и передаваемой энергии недостаточно для рождения дополнительных кварк-антикварковых пар. Этот вопрос будет подробно рассмотрен несколько ниже; здесь же мы примем эвристический рецепт, состоящий в том, что суммы по ароматам кварков следует распространять на ароматы только тех кварков, массы которых удовлетворяют условию m²_q≪s. При этом порог рождения нового аромата 4m²_q≈s , в окрестности которого могут возникать сложные эффекты, рассматриваться не будет. Можно показать, что в этой области теория возмущений КХД непосредственно не применима.

Рис. 11. Зависимость величины R от s. Штриховой линией показано (ведущее) предсказание КХД для R [265].

С учетом этих замечаний теоретические предсказания хорошо согласуются с экспериментальными данными, как видно на рис. 11, где приведены результаты первой экспериментальной проверки КХД²⁵. Однако из-за больших систематических ошибок экспериментальных данных при такой проверке трудно выйти за рамки ведущего порядка теории возмущений КХД.

²⁵ Более строгое рассмотрение этого вопроса дано в статье [ 29] и а цитированных там работах.

§16. Зависимость параметров теории и вычислений от выбора перенормировочной схемы

В квантовой электродинамике существует естественная перенормировочная схема, задаваемая тем фактом, что фотон и электрон находятся на массовой поверхности. Преимущество такой схемы следует из теоремы Тирринга [245], согласно которой при нулевой энергии фотона амплитуда комптоновского рассеяния (во всех порядках по константе α) точно дается классической формулой. Таким образом, для определения фундаментальных параметров теории α и m_e можно пользоваться классическими выражениями. В квантовой хромодинамике такой выделенной схемы, основывающейся на физических соображениях, нет. Таким образом, необходимо обсудить вопрос об изменениях, возникающих при переходе от одной перенормировочной схемы к другой. Пренебрежем массами кварков и калибровочными параметрами; их введение не внесет каких-либо дополнительных проблем, отличных от обсуждаемых здесь.

Рассмотрим некоторую физически наблюдаемую величину P. Очевидно, она не должна зависеть от перенормировочной схемы, использованной в процессе вычислений. Однако если эту величину представить в виде ряда по степеням константы связи

∑

ⁿ

(R)[α

(R)]

ⁿ

(16.1)

то коэффициенты C_n и константа связи α_s будут зависеть от используемой схемы перенормировки R. Если перейти к новой перенормировочной схеме R' то связь между старой и новой схемами можно найти следующим образом. Разложим величину P, вычисленную в рамках новой перенормировочной схемы, в ряд по степеням константы связи α_s(R') :

∑

ⁿ

(R')[α

(R')]

ⁿ

(16.2)

Подставляя в формулу (16.2) выражение для α_s(R'), записанное в виде ряда по константе α_s(R), и приравнивая члены одинакового порядка в (16.2) и (16.1), найдем связь между коэффициентами, вычисленными в исходной и в новой перенормировочных схемах. Разложение константы α_s(R') по степеням константы α_s(R) можно записать в виде

(R')=α

(R)

{1+a

₁

(R',R)α(R)+…}.

Очевидно, что первым членом разложения является единица, так как в нулевом порядке теории возмущений α_s=g²₂/(4π) не зависит от выбора схемы. Это означает, что C_0,1(R)=C_0,1(R'). Но все остальные коэффициенты при переходе от одной перенормировочной схемы в другой изменяются:

₂

(R)=C

₂

(R')+a

₁

(R',R)C

₁

(R')

и т.д.

Рассмотрим, например, величну R, введенную в предыдущем параграфе²⁶. Если ее вычислить в схеме минимального вычитания (в которой устраняются только полюса 2/ε, а не вся комбинация N_ε=2/ε-γ_E+log4π), то вместо формулы (15.10) получим

²⁶Подробное обсуждение этого вопроса для процессов глубоконеупругого рассеяния можно найти в статье [27]

₍₂₎

^ms

(s)

_nƒ

∑

^ƒ=1

₂

^ƒ

⎧

⎨

⎩

α_s,ms(Q²)

_2,ms

⎧

⎪

⎩

α_s,ms(Q²)

⎫²

⎪

⎭

⎫

⎬

⎭

_2,ms

₂

(log4π-γ

)

33-2n_ƒ

(16.3)

Выражение для константы связи α_s,ms также отличается от формулы (14.4в). Оно имеет вид

_s,ms

)

12π

(33-2n_ƒ)log Q²/Λ²

⎧

⎨

⎩

1-3

153-19n_ƒ

(33-2n_ƒ)²

⋅

loglog Q²/Λ²

½log Q²/Λ²

–

log4π-γ_E

log Q²/Λ²

⎫

⎬

⎭

(16.4)

Можно сохранить формулу (14.4в) для константы связи α_s, если определить новый параметр обрезания Λ_ms следующим образом:

₂

^ms

^{γ_E-log 4π}

(16.5)

Тогда выражение (16.4) запишется в виде

_s,ms

)

12π

(33-2n_ƒ)log Q²/Λ

₂

^ms

⎧

⎨

⎩

1-3

153-19n_ƒ

(33-2n_ƒ)²

⋅

loglog Q²/Λ

₂

^ms

½log Q²/Λ

₂

^ms

⎫

⎬

⎭

(16.6)

с точностью до членов порядка O([α_s]³).

К сожалению, часто забывают об этом простом факте: параметры теории можно получить только во втором порядке теории возмущений; в низшем же порядке параметры Λ и Λ_ms взаимозаменяемы, так как возникающая при этом ошибка второго порядка малости. Кроме того, когда приводят значение, например величины Λ (то же справедливо и для эффективной массы m̂), надо указывать, в рамках какой перенормировочной схемы получено это значение. Как параметр обрезания Λ , так и эффективная масса m̂ являются ренормин-вариантными величинами, но они меняются при переходе от одной схемы к другой. В этой книге в основном используется перенормировочная схема MS вследствие ее простоты. В ней не возникает трансцендентных выражений (типа -γ_E+log4π). К тому же эта схема, вообще говоря, приводит к малым поправкам во втором порядке теории возмущений. Например, в схеме минимального вычитания для величины r_2,ms имеем

r_2,ms≈7,4 – 0,44n_ƒ

в то время как в перенормировочной схеме MS эта величина имеет значение 2,0 – 0,12n_f.

В этой схеме предпочтительное экспериментальное значение параметра обрезания равно

Λ≈0,13

_+0,07

^-0,05

ГэВ.

Это соответствует значению Λ_ms = 0,05 ГэВ. Значения эффективных кварковых масс равны

10≳m̂

≳5МэВ,

20≳m̂

≳10МэВ,

400≳m̂

≳200МэВ.

Численное значение параметра обрезания Λ можно было бы найти, сравнивая вычисленное теоретически значение величны R с измеренным значением, но точность экспериментальных данных довольно мала (рис. 11). Для этой цели можно использовать другие процессы, например процессы глубоконеупругого рассеяния электронов или нейтрино или распады кваркониев Ψ и Y. Определение эффективных масс кварков рассматривается в § 32.

§17. Кинематика процессов глубоконеупругого рассеяния; партонная модель

Рассмотрим процесс l+h→l'+all, где l и l' —лептоны, h -адронная мишень, а символ all обозначает суммирование по всем возможным конечным состояниям Γ (рис. 12, а). Если начальный и конечный лептоны совпадают, т.е. l=l'=e (электрон) или μ (мюон), (рис. 12, 6) то этот процесс представляет собой исследование адрона h в низшем порядке теории возмущений по электромагнитному взаимодействию, а соответствующим оператором является электромагнитный ток

_μ

^em

∑

^μ

ℒ

_int,em

=eJ

_μ

^em

_μ

Рис. 12. Диаграммы, описывающие процесс глубоконеупругого рассеяния.

Если l=ν_μ (нейтрино), a l'=μ (мезон) (рис. 12, в ), то процесс обусловлен слабым заряженным током

_μ

^μ

(1-γ

₅

_θ

^μ

(1-γ

₅

+… ,

ℒ

_int,w

2√2

_μ

;

константа слабого взаимодействия g_w удовлетворяет соотношению g²_w/M²^w=4√2G_F, где G_F = 1,027^-1_протон, М_w – масса векторного бозона, а

_θ

=d cosθ

+ s sinθ

_θ

= – d sinθ

+ s cosθ

Если l=l'=ν_μ (нейтрино), то процесс вызван слабым нейтральным током (рис. 12, г); тогда в стандартной теории электрослабых взаимодействий имеем

_μ

⎧

⎪

⎩

–

4sin²θ_w

⎫

⎪

⎭

^μ

⎧

⎪

⎩

–

2sin²θ_w

⎫

⎪

⎭

^μ

₅

–

^μ

₅

ℒ

_int,Z

2cosθ_wsinθ_w

_μ

где sin²θ_ω = 0,22.

Введем бьеркеновские переменные

=-q

ν=p⋅q ,

x=Q

/2ν ;

заметим, что ведачину s в бьеркеновских переменных можно записать в виде

s=p

₂

^Γ

=-Q

₂

+2ν=2ν{1+m

₂

/2ν-x} .

Предел глубоконеупругого рассеяния, или бьеркеновский предел, соответствует значениям Q² , ν≫Λ² при фиксированном х = Q²/2ν. Используя стандартные правила диаграммной техники, амплитуду рассеяния, например, для случая e/μ можно записать в виде

_e+h→e+Γ

2α

q²

(k',σ')γ

^μ

u(k,σ)

(2π)

δ(p+q-p

_Γ

)

⟨Γ|J

_μ

(0)|p,τ⟩ .

(17.1)

Здесь σ (σ') – спины падающего (рассеянного) электрона, а τ – спин адрона-мишени h. Отметим ковариантный характер нормировки векторов состояний (см – приложение Ж):

⟨p',τ'|p,τ⟩

⁰

_ττ'

δ(

^⃗

p').

Для неполяризованных частиц сечение процесса e+h→e+all выражается через лептонный L^μν и адронный W^μν тензоры (массами лептонов мы всюду пренебрегаем)^26а)

^26а Множители 1/2 в формулах (17.2) возникают в результате усреднения по спину исходного нуклона и «спиральности» виртуального фотона.

^μν

∑

^σσ'

(k',σ')γ

u(k,σ)

[

(k',σ')γ

u(k,σ)]

2(k

^μ

^ν

^μ

–k⋅k'g

^μν

) ,

^μν

(p,q)

∑

^τ

∑

^Γ

(2π)

⁶

δ(p+q-p

_Γ

)

⟨p,τ|J

^μ

(0)

⁺

|Γ⟩

⟨Γ|J

^ν

(0)|p,τ⟩.

(17.2 а)

Конечно, эрмитово-сопряженный электромагнитный ток J^ν+ удовлетворяет равенству J^ν+=J^ν, но мы записали выражение (17.2а) в общем виде, справедливом и для процессов, обусловленных слабыми токами. Выражение (17.2а) можно записать в другом виде ^26б

^26б) В эквивалентности такой записи можно убедиться, вставив в формулу (17.2 б) сумму по полному набору состояний Σ_Γ|Γ⟩⟨Γ| и заметив, что в силу закона сохранения энергии-импульса вклад второго слагаемого равен нулю.

^μν

(p,q)=

(2π)

∫

⁴

^iq⋅z

⟨p|[J

^μ

(z)

⁺

^ν

(0)]|p⟩,

(17.2 б)

где подразумевается усреднение по спину адрона-мишени τ .

Рассмотрим общий случай слабых или электромагнитных токов. Общее выражение для тензора W^μν, записанное в терминах инвариантов, характеризующих процесс рассеяния, имеет вид

^μν

(p,q)

(-g

^μν

^μ

^ν

₁

₂

^μ

–νp

^μ

)(p

^ν

–νq

^ν

₂

^μναβ

p_αq_β

₂

₃

(17.3)

Другие возможные члены при свертке с лептонным тензором L^μν обращаются в нуль. Соответствующие сечения рассеяния в лабораторной системе отсчета (в которой адрон h покоится) имеют вид^26в)

^26в) Все формулы относятся к процессам рассеяния электронов. Формулы для рассеяния μ-мезонов аналогичны. Для случая рассеяния нейтрино мы будем рассматривать только процессы, вызванные заряженными токами.

dσ^e

dΩdk'₀

₂

4m_hk

₂

⁰ sin⁴(θ/2)

⎧

⎨

⎩

cos

+2W

sin

⎫

⎬

⎭

(17.4 а)

dσ^ν/ν

dΩdk'₀

₂

^F k'

₂

⁰

2π²m

⎧

⎨

⎩

_ν±

cos

+2W

_ν±

sin

k⁰+k'⁰

2m_h

_ν±

⎫

⎬

⎭

(17.4 б)

где θ – угол между векторами ^⃗k и ^⃗k' , dΩ= d cos θdφ, в формуле (17.4 б) знаки +(—) относятся к рассеянию ν(ν), G_F – постоянная Ферми, которую можно выразить через константу связи и массу W-бозона:

=√

₂

/8M

₂

Функции Wi являются инвариантами и зависят от переменных Q² и ν. Удобно определить структурные функции ²⁷⁾

²⁷⁾ Определенные таким образом функции ƒi несколько отличаются от стандартных функций F, а именно ƒ₁=2xF₁, ƒ₂=F₂, ƒ₃=F₃. Такой способ введения структурных функций упрощает уравнения КХД, которые будут выписаны ниже. (Функции ƒ называются структурными, так как в системе бесконечного импупьса они описывают вероятность обнаружения в адроне партона с долей импупьса x . – Прим. перев.)

(x,Q

)=2xW

(x,Q

₂

(x,Q

Q²

2m_h

(17.5)

где индекс а обозначает процессы ( e/μh, νh, νh. Иногда вместо структурной функции ƒ^a₁ используется продольная структурная функция

Формулу (17.3) удобно переписать в терминах структурных функций ƒ^a_i, небрегая импульсами q^μ и q^ν (которые при свертке с лептонным тензором L_μν обращаются в нуль)^27а):

^27а) В этом параграфе 4-вектор в координатном пространстве обозначен буквой z в отличие от бьеркеновской переменной x .

2 (2π)² ∫ d⁴z e^iq⋅z ⟨p|[J

_μ

^a (z)⁺,J

_ν

^a (0)]|p⟩

q² g^μνƒ

¹ +

p^μp^ν

ν ƒ

² +iε^μναβ

q_αp_β

q² ƒ

νg^μν

q² ƒ

^L +

⎧

⎪

⎩

q² g^μν+

p^μp^ν

⎫

⎪

⎭ ƒ

² +iε^μναβ

q_αp_β

q² ƒ

³ .

(17.7)

В случае e⁺e^- -аннигиляции удобно рассматривать хронологичесжое произведение адронных токов

_μν

(p,q)=

(2π)

∫

z e

^iq⋅z

⟨p|

_μ

(z)

⁺

_ν

(0)|p⟩.

(17.8 а)

Если тензор Τ^μν записать в виде

_μν

q²

^μν

(x,Q

p^μp^ν

(x,Q

)

^μναβ

q_αp_β

q²

(x,Q

(17.8 б)

то, как показано на рис. 12, д, е,

ⁱ

2π

ⁱ

(17.8 в)

Рассмотрим бьеркеновский предел в так называемой системе бесконечного импульса:

p=(p

⁰

,0,0,p

⁰

);

q=(ν/2p

⁰

,√

,0,ν/2p

⁰

);

⁰

≈ν

^½

→∞ .

(17.9)

Записав произведение q⋅z в виде

q⋅x=

⁰

–q

)(z

⁰

)(z

⁰

–z

мы видим, что случай z⋅q=0 в бьеркеновском пределе соответствует приближенным соотношениям

⁰

±z

≈1/ν

^½

≈1/ν

^½

Иными словами z²→0 ²⁸⁾.

²⁸⁾ В действительности компоненту z₂ можно сделать сколь угодно большой. Однако этому соответствует z₂<0. При этом в силу локального характера теории коммутатор [J(z),J(0)] равен нулю; ненулевой вклад возникает только в случае z²,₂∼z²,₀, т.е. при z²∼0.

Из хорошо известного свойства фурье-преобразования следует, что при фиксированном значении переменной x поведение фурье-образа коммутатора токов в (17.2 б) или хронологического произведения в (17.8 а) при больших значениях переменной q определяется областью z²≈O(1/q²), иными словами, поведением коммутатора или хронологического произведения адронных токов

^μ

(z)+,J

^ν

(0)]

или

^μ

(z)J

^ν

(0)

(17.10)

на световом конусе.

Рис. 13. Партонная модель.

Учитывая явление асимптотической свободы, следует ожидать, что эти коммутаторы и хронологические произведения можно вычислить с точностью до логарифмических поправок, пренебрегая взаимодействием кварков и рассматривая адронную мишень как совокупность свободных кварков. Такая модель, названная партонной моделью, была предложена Фейнманом [119]. Чтобы понять некоторые следствия этой модели, рассмотрим процесс глубоконеупругого ep-рассеяния. Обозначим через q_ƒ(x) вероятность обнаружения в адроне кварка аромата ƒ, обладающего долей импульса x . Тогда полное сечение реакции e+p→e+all получается некогерентным суммированием (кварки считаются свободными) взвешенных множителем q_ƒ(x) сечений, процессов e+ƒ→e+ƒ (рис. 13), вычисление которых не представляет трудностей. Отсюда немедленно находим ƒ^ep₂(x,Q²)= ƒ^ep₁(x,Q²) и

_ep

(x,Q

)

^Q2→∞

∑

^ƒ

₂

^ƒ

_ƒ

(x).

(17.11)

Следует заметить, что сумма по индексу ƒ распространяется также на антикварки, так как ожидается, что вероятность обнаружения внутри протона антикварка не равна нулю. Несколько ниже мы перепишем выражение (17.11) в более подробной форме, конкретизируя некоторые свойства различных плотностей распределения кварков q_ƒ(х).

Замечательной особенностью выражения (17.11) является скейлинг. Скейлинг был предсказан Бьеркеном [39] еще до возникновения партонной модели, которая, по существу, была введена для его объяснения. Скейлинг означает, что в пределе Q²→∞ структурные функции ƒ^a_i(x,Q²) становятся не зависящими от переменной Q² :

ⁱ

(x,Q

)

→ƒ

ⁱ

(x)

(17.12)

при Q²→∞ и фиксированном x .

Как будет показано ниже, КХД подтверждает наличие скейлинга в том смысле, что в рамках квантовой хромодинамики предсказывается его существование с точностью до логарифмических поправок (log Q²/Λ²)². Более того, эти поправки можно вычислить, и полученные результаты подтверждаются экспериментальными измерениями нарушения скейлинга.

Назад к карточке книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"