Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 17 страниц)

Π

_μν

(q)

^l,ab

=

11C

_A

g

²

δ

_ab

(-q

²

g

^μν

+q

^μ

q

^ν

)

3×16π

²

+

{

N

_ε

–log(-q

²

)+постоянные члены

}

.

(5.18)

Видно, что это выражение поперечно. При этом нет необходимости вводить ду́хи. Интересно отметить, что пропагатор при условии (5.18) удовлетворяет трансцендентному уравнению

P

^μα

(q,u)

{

–q

²

g

_αβ

+q

_α

q

_β

}

P

^βν

(q,u)

 =

P

^μν

(q,u)

q

²

q

²

q

²

(5.19)

§ 6. Преобразования Бекши – Роуета – Стора

В предыдущем параграфе было показано, что если в лагранжиане КХД, записанном в лоренцевой калибровке, не учесть вклада ду́хов, то это приводит к нарушению унитарности S-матрицы в пространстве физических состояний. Но в силу калибровочной инвариантности теории свойство унитарности S-матрицы должно выполняться в любой калибровке. Очевидно, что данное нарушение связано с введением фиксирующего калибровку члена, который не обладает свойством калибровочной инвариантности. В таком случае можно задать вопрос: нельзя ли интерпретировать введение ду́хов как способ восстановить нарушенную калибровочную инвариантность лагранжиана? Доказательство справедливости данного утверждения составляет содержание настоящего параграфа.

Начнем с рассмотрения квантовой электродинамики^10a). Лагранжиан, записанный в ковариантной калибровке, имеет вид

^10a В изложении мы следуем работам [221, 222].

ℒ

^ξ

=

ψ

(i

D

 – m)ψ -

1

F

_μν

F

^μν

–

λ

(∂

_μ

A

^μ

)

²

,

4

2

(6.1)

где тензор F_μν и ковариантная производная D_μ определяются формулами

F

^μν

=∂

^μ

A

^ν

–∂

^ν

A

^μ

,

D

^μ

=∂

^μ

+ieA

^μ

.

Калибровочная инвариантность лагранжиана нарушается членом -(λ/2)(∂A)². Однако ее можно восстановить следующим способом. Добавим в лагранжиан (6.1) член вида

ℒ

_ω

=-½(∂

_μ

ω)∂

^μ

ω

(6.2)

соответствующий свободному безмассовому полю ω. Обобщим калибровочные преобразования таким образом, чтобы включить поля ω. Если определить параметры инфинитезимальных преобразований в виде θ(x)=εω(x), то поля, входящие в лагранжиан, преобразуются по формулам

ψ(x)→ψ(x)+ieεω(x)ψ(x),

A^μ→A^μ-ε∂^μω(x),

ω(x)→ω(x)-ελ_μA^μ(x).

(6.3)

Тогда С точностью до 4-дивергенции лагранжиан электродинамики, представляющий собой сумму лагранжианов ℒ^ξ и ℒ_ω:

ℒ

_ξ

=ℒ

_ξ

+ℒ

 

^QED

 

^ω

(6.4)

инвариантен при преобразованиях (6.3). Метод восстановления калибровочной инвариантности для рассматриваемого случая довольно прост. Благодаря тому что поля A не заряжены и не взаимодействуют между собой, поля ω можно выбрать в виде свободных действительных полей. Однако простота лагранжиана ℒ_ω не означает отсутствия глубоких физических следствий его введения. В самом деле, можно показать, что преобразования (6.3) порождают все тождества Уорда квантовой электродинамики, которые, в частности, обусловливают тот факт, что электромагнитное взаимодействие не переводит физические состояния в нефизические. Например, будет показано, как из соотношений (6.3) и (6.4) можно получить условие поперечности фотонного пропагатора. (Конечно, его можно проверить и путем прямого вычисления вакуумной поляризации.)

Рассмотрим величину ⟨ΤA_μ(x)ω(0)⟩₀. Проведя обобщенное калибровочное преобразование, в первом порядке по параметру ε получаем

λ⟨ΤA_μ(x)(∂_νA^ν(0))⟩₀ = ⟨Τ(∂_μω(x))ω(0)⟩₀.

Фурье-образ этого выражения имеет вид

∫

d

⁴

xe

^iq⋅x

ΤA

^μ

(x)∂

_ν

A

^ν

(0)⟩

⁰

=

iq

_ν

∫

d

⁴

xe

^iq⋅x

⟨ΤA

^μ

(x)A

^ν

(0)⟩

₀

=iq

_ν

D

^μν

(q)

=

-1

∫

d

⁴

xe

^iq⋅x

⟨Τ(∂

^μ

ω(x))ω(0)⟩

₀

α

=

i

q

^μ

∫

d

⁴

xe

^iq⋅x

⟨Τω(x)ω(0)⟩

₀

λ

=

1

⋅

q

^μ

λ

q

²

+i0

(6.5)

Последнее равенство справедливо в силу того, что поля ω свободные, и, следовательно, их пропагатор имеет вид пропагатора свободных полей. Таким образом, доказано, что если пропагатор D^μν записать в виде суммы поперечной и продольной составляющих

D

^μν

(q)

 =

(-q

²

g

^μν

+q

^μ

q

^ν

)D

_tr

(q

²

)

 +

q

^μ

q

^ν

D

_L

(q

²

).

q

²

(6.6)

то последняя имеет вид

D

_L

 =

–1

⋅

i

λ

q

²

+i0

(6.7)

аналогичный продольной части пропагатора свободных полей. Напомним, что пропагатор свободных полей выражается в виде

D

^0μν

(q)

 =

i

–g

^μν

+(1-λ

^-1

)q

^μ

q

^ν

/(q

²

+i0)

.

q

²

+i0

Другими словами, если пропагатор D разложить в ряд по степеням константы взаимодействия

D

^μν

(q)

 =

D

^(0)μν

(q)

 +

e

²

D

^(2)μν

(q)

 + …,

4π

то все величины D^(n)μν удовлетворяют условию поперечности:

q_μD^(n)μν(q)=0, n=2,4,…,

которое эквивалентно соотношению (5.10).

Обобщением калибровочных преобразований (6.3) на случай неабелевой теории являются так называемые преобразования Бекши – Роуета – Стора (БРС) [32, 33]. При этом поля ду́хов, как и все другие поля, подвергаются калибровочным преобразованиям, в результате чего (с точностью до 4-дивергенции) полный лагранжиан квантовой хромодинамики (5.11) становится калибровочно-инвариантным. Такие преобразования приводят к тождествам Славнова [232] – Тейлора [244], представляющим собой аналог тождеств Уорда в квантовой электродинамике. Предполагается, что параметр инфинитезимальных преобразований БРС ε представляет собой не зависящую от пространственно-временной точки x c-числовую величину, антикоммутирующую (коммутирующую) с фермионными (бозонными) полями^10b). Инфинитезимальные преобразования БРС определяются в виде

^10b При этом ε²=0, εω=-ωε, εq=-qε, εB=-Bε и т.д. Следует помнить, что поля ω являются фермионными и подчиняются статистике Ферми-Дирака, так что справедливо соотношение ω_bω_c=-ω_cω_b.

B

_μ

→

B

_μ

– ε

∑{

δ

_ab

∂

^μ

–gƒ

_abc

B

_μ

}

ω

_b

,

^a

^a

^c

q→q – iεg

∑

t

^a

ω

_a

q,

ω

_a

→ω

_a

–

ε

 g

∑

ƒ

_abc

ω

_b

ω

_c

,

2

ω

_a

→

ω

_a

 + ελ

_μ

B

μ

.

a

(6.8)

Используя эти преобразования точно так же, как это делается в случае, квантовой электродинамики, легко получить результат, аналогичный формуле (6.7). Если записать пропагатор в виде суммы продольной и поперечной частей

D

μν

(q)=δ

_ab

(-g

^μν

q

²

+q

^μ

q

^ν

)D

_tr

+δ

_ab

q

^μ

q

^ν

D

_L

,

ab

q

²

(6.9)

то для продольной части имеем

D

_L

= -

1

⋅

i

λ

q

²

–i0

(6.10)

Разложим пропагатор D в ряд по степеням константы взаимодействия g²:

D

_μν

^ab

 

∑

ⁿ⁼⁰

⎧

⎩

g²

4π

⎫²

⎭

D

_(n)μν

^ab

.

Примем во внимание соотношение

D

_(2)μν

=

∑

D

_(0)μμ'

Π

₍₂₎

D

_(0)ν'ν

^ab

^aa'

^a'b'μ'ν'

^b'b

(поляризационный оператор Π⁽²⁾ взят во втором порядке теории возмущений). Из двух последних соотношений получаем следующий результат:

q

_μ

Π

_(2)μν

=0.

^ab

Справедливость этого равенства как раз и проверялась в уравнениях (5.9) и (5.10).

Необходимо отметить, что все проведенные выше выкладки выполнены чисто формальным образом. Так, например, в процессе вычислений мы намеренно закрывали глаза на то, что пропагаторы представляют собой сингулярные функции. Чтобы корректно установить равенства между величинами, необходимо проверить, что к ним можно применять процедуру перенормировок (см. § 7 – 9). В самом деле, некоторые формальные равенства при этом нарушаются; пример такого нарушения приведен в § 33. Однако даже сохраняющиеся при процедуре перенормировок равенства иногда приходится интерпретировать по-новому. Это относится, например, к уравнению (6.10), так как фигурирующий в нем калибровочный параметр заменяется на перенормированный, в результате чего смысл его несколько изменяется.

§ 7. Размерная регуляризация

Как мы видели в примере, приведенном в § 5, некоторые из амплитуд рассеяния оказываются расходящимися. Это происходит из-за сингулярного характера полевых операторов. Легко найти, что расходимость интеграла по dk в (5-46) при больших импульсах k обусловлена тем, что в координатном пространстве в него входят произведения полевых операторов, взятых в одной пространственно-временной точке. Поэтому, чтобы обсуждать квантовую хромодинамику (или любую другую локальную релятивистскую теорию поля), необходимо появляющимся при вычислении фейнмановских диаграмм интегралам придать математически строгий смысл. Эта процедура носит название регуляризации и сводится к замене лагранжиана ℒ регуляризованным лагранжианом ℒ^ε, приводящим при вычислении фейнмановских диаграмм к конечным ответам и в пределе ε→0 переходящим в некотором смысле в исходный лагранжиан ℒ, т.е. ℒ^ε→ℒ. Из классических работ Бора и Розенфельда [46, 47] известно, что полевые операторы по своей природе сингулярны, и, следовательно, любая процедура регуляризации с неизбежностью нарушает некоторые физические особенности теории. Например, регуляризация Паули – Вилларса в случае неабелевой теории нарушает свойства эрмитовости и калибровочной инвариантности, решеточная регуляризация нарушает инвариантность по отношению к преобразованиям Пуанкаре и т.д. Конечно, в пределе ε→0 эти свойства восстанавливаются (если мы были достаточно осторожны!). Свойства калибровочной и лоренц-инвариантности особенно важны в случае КХД, поэтому в дальнейшем мы будем использовать размерную регуляризацию, нарушающую лишь масштабную инвариантность. Этот метод, подробно развитый в работах т’Хофта и Велтмана [253] (см. также [48]), связан с так называемой аналитической регуляризацией [49, 233]. Он состоит в том, что все вычисления проводят в пространстве размерности D=4-ε, в конечном же ответе переходят к физическому пределу при ε→0. При этом расходимости проявляются в виде полюсов по 1/ε. Насколько известно автору, математически строгого определения объекта в пространстве произвольной размерности D не существует, кроме случая, когда она равна положительному целому числу. Но этому не следует придавать слишком большого значения; нам необходимы лишь интерполяционные формулы, обладающие свойством калибровочной и пуанкаре-инвариантности и пригодные для вычисления фейнмановских интегралов. Такие интерполяционные формулы можно получить поэтапно. Рассмотрим сначала сходящийся интеграл вида (2π)^D∫d^Dkƒ(k²), где функция ƒ, как правило, имеет вид ƒ(k²)=(k²)^r(k²-a²)^-m с целочисленными значениями параметров r и m, а величины d^Dk и k² определяются выражениями d^Dk=dk⁰dk¹…dk^D-1, k²=(k⁰)²-(k¹)²-…-(k^D-1)². Так как функция ƒ аналитична в плоскости комплексного переменного k⁰, контур интегрирования можно повернуть на 90° и перейти от контура (-∞,+∞), к контуру (-i∞,+i∞), т.е. совершить так называемый виковский поворот. Затем можно восстановить интегрирование по прямой (-∞,+∞), определив новую переменную k⁰→k^D=ik⁰. Таким образом, получаем обычный евклидов интеграл в пространстве размерности D

i

∫

^+∞

dk

¹

…

∫

^+∞

dk

^D

ƒ(-k

₂

),

 k

₂

≡

(k

¹

)

₂

+…+

(k

^D

)

₂

≡

|k

_E

|

²

.

_-∞

2π

_-∞

2π

^E

^E

Если элемент объема в D-мерном пространстве обозначить через d^Dk_E=dk¹…dk^D, то, вводя полярные координаты, его можно записать в виде d^Dk_E=d|k_E|⋅|k_E|^D-1dΩ_D . Используя формулу ∫dΩ_D=2π^D/2/Γ(D/2), получаем наконец

∫

d

^D

k

ƒ=

i

∫

^∞

d|k

_E

|⋅|k

_E

|

^D-1

ƒ(-|k

_E

|

²

).

(2π)

^D

(2π)

^D/2

Γ(D/2)

₀

Все приведенные выше выкладки справедливы только для целых положительных значений размерности D. Но последнюю формулу можно использовать для определения интеграла по пространству произвольной (даже комплексной) размерности D и произвольных значений параметров r и m.

Рассмотрим далее интеграл от полиномиального по компонентам импульса k^μ выражения, умноженного на функцию ƒ(k²); этот интеграл можно свести к ранее изученному случаю, записывая его, например, в виде

∫

d

^D

kƒ(k

²

)k

^μ

k

^ν

 =

g

^μν

∫

d

^D

kƒ(k

²

)k

²

.

D

Наконец, интеграл общего вида сводится к только что изученным интегралам разложением подынтегрального выражения в ряд по степеням аргумента k^μ. Таким способом можно вычислить интегралы, приведенные в приложении Б (а также многие другие), в пространстве произвольной размерности D. Например, нетрудно убедиться в справедливости результата

∫

d

^D

k

 -

(k

²

)

^r

 =

i

(-1)

^r-m

⋅

Γ(r+D/2)Γ(m-r-D/2)

(2π)

^D

(k

²

–a

²

)

^m

(4π)

^D/2

Γ(D/2)Γ(m)(a

²

)

^m-r-D/2

Если левая часть этого равенства расходится, скажем в физическом случае D=4, что и происходит при m-r-D/2≤0, это отражается в появ.лении полюсов в правой части равенства, связанных с полюсами гамма-функции Γ(m-r-D/2). Очевидно, что этот метод содержит в себе некоторый произвол, а именно правую часть равенства можно умножить на любую функцию φ(D) при условии, что она аналитична по D и удовлетворяет условию φ(4)=1. Такая свобода в выборе функции φ(D) оказывается весьма полезной (см. следующий параграф).

Посмотрим теперь, какие усложнения возникают в случае, когда взаимодействующие частицы обладают отличным от нуля спином. Внешние и внутренние линии фейнмановских диаграмм следует различать. Ниже будет показано, что после перенормировки функции Грина с отброшенными внешними линиями в рамках теории возмущений оказываются конечными в пределе D→4. Поскольку спиновые множители на внешних линиях (т.е. множители u, v, u, v, ε^μ; см. приложение Г) конечны в пространстве размерности D=4, их можно сразу записывать в пространстве физической размерности. Что же касается спиновых множителей на внутренних линиях, то нужно доопределить тензор g^αβ в пространстве размерности D таким образом, чтобы, например, выполнилось соотношение g^αβ=g_αβ=D и т.д. Аналогично необходимо рассматривать D матриц Дирака γ⁰, γ¹,…, γ^D-1. Если действовать последовательно, то приходится допустить, что матрицы γ^μ представляют собой матрицы размерности 2^D/2×2^D/2 (равной размерности соответствующей алгебры Клиффорда). Но это не обязательно. Калибровочная инвариантность вполне совместима со случаем, когда матрицы γ_μ имеют размерность 4×4, так что Τ_rγ^μγ^ν=4g^μν; именно эта ситуация рассматривается здесь. (Метод, связанный с размерной регуляризацией, называется размерной редукцией; дополнительную информацию о ней читатель может найти в работе [231].)

Таким образом, обобщение интегралов и алгебры матриц Дирака на случай произвольной размерности пространства D производится весьма просто. Сводка формул, встречающихся при практических вычислениях, приводится в приложениях А и Б. Несколько более сложным оказывается только введение матрицы γ₅ в D-мерном пространстве. Например, если матрицу γ₅ определить в виде γ₅=iγ⁰γ¹γ²γ³, то очевидно, что это выражение не определено в пространстве размерности D<4. Можно показать, что определение матрицы γ₅ в виде γ₅=iγ⁰…γ^D-1 не совместимо с калибровочной инвариантностью (см. § 33, в частности текст между уравнениями (33.17) и (33.20)). Подходящим является, по-видимому, следующее определение:

γ

₅

=

i

ε

_D

γ

^μ

γ

^ν

γ

^ρ

γ

^σ

,

4!

^μνρσ

где тензор ε^D совпадает с обычным антисимметричным тензором только в Случае D=4. На тензор ε^D не накладывается каких-либо дальнейших ограничений, кроме требования выполнения для любой размерности D условий

γ

₂

=1, Τ

_r

γ

₅

γ

^α

γ

^β

=0.

⁵

(см– приложение А). Таким образом, процедура размерной регуляризации полностью определена. До тех пор, пока размерность пространства, в котором проводится вычисление фейнмановских графиков, не равна целому числу, все возникающие при вычислениях интегралы оказываются конечными. В таком подходе сохраняется калибровочная и пуанкаре-инвариантность теории, но нарушается масштабная инвариантность.

Самый простой способ проследить за нарушением масштабной инвариантности состоит в следующем. При размерной регуляризации фейнмановский интеграл типа (5.4б) изменяется:

∫

d

⁴

k

 →

∫

d

^D

k

⋅

(2π)

⁴

(2π)

^D

При этом размерности полей и констант связи, входящих в подынтегральное выражение, отличаются от канонических. Но их можно сохранить каноническими, если воспользоваться следующим рецептом:

∫

d

⁴

k

 →

∫

d

⁴

k̂

≡

∫

d

^D

kν

_4-D

⁰

, D=4-ε,

(2π)

⁴

(2π)

^D

(7.1а)

где

k̂

^μ

=ν

_4/D-1

k

^μ

/2π.

⁰

(7.1б)

При этом вводится нарушающий масштабную инвариантность произвольный параметр ν₀, имеющий размерность массы.

В качестве первого примера применения этого метода вычислим пропагатор кварка в импульсном пространстве во втором порядке теории возмущений:

S

_ij

(p)=

∫

 

d

⁴

xe

^ip⋅x

⟨Τq

ⁱ

(x)

q

^j

(0)⟩

₀

.

^ξ

(7.2)

Соответствующие диаграммы приведены на рис. 4. В произвольной калибровке в пространстве размерности D = 4 – ε для пропагатора S имеем выражение вида

S

_ij

(p)

^Dξ

=

δ

^ij

i

 -

1

p

–m+i0

p

–m+i0

×

 

 

g

²

∑

t

_a

t

_a

Σ

₍₂₎

(p)

i

^il

^lj

^Dξ

p

–m+i0

 

^l,a

+

члены высших порядков,

(7.3а)

где введено обозначение

Σ

₍₂₎

(p)=-i

∫

d

^D

k̂

γ

_μ

(

p

+

k

+m)γ

_ν

⋅

–g

^μν

+ξk

^μ

k

^ν

/k

²

.

^Dξ

(p+k)

²

–m

²

k

²

(7.3 б)

Рйс. 4. Кварковый пропагатор (а) и итерация (б)

Используя тождество

k(p+k+m) = (p+k)²-m²-(p²-m²)-(p-m)-k,

для массового оператора получаем выражение

Σ

₍₂₎

(p)

^Dξ

=

-i

∫

d

^D

k̂

{

(D-2)(

p

+

k

)-Dm-ξ(

p

–m)

k

²

[(p+k)

²

–m

²

]

-

ξ(p

²

–m

²

)

 

k

}

.

k

⁴

[(p+k)

²

–m

²

]

После стандартных преобразований (пренебрегая членами, исчезающими в пределе ε→0) приходим к окончательному ответу

Σ

₍₂₎

(p)=(

p

–m)A

_Dξ

(p

²

) +

mB

_Dε

(p

²

);

^Dξ

(7.4 а)

A

_Dε

=

1

{

(1-ξ)N

_ε

–1-

∫

¹

dx[2(1-x)-ξ]log

xm

²

–x(1

 

–x)p

²

16π

²

₀

ν

²

₀

-

ξ(p

²

–m

²

)

∫

¹

dx

x

}

;

₀

m

²

–xp

²

(7.4 б)

B

_Dξ

=

1

{

–3N

_ε

+1+2

∫

¹

dx(1+x)log

xm

²

–x(1

 

–x)p

²

16π

²

₀

v

²

₀

-

ξ(p

²

–m

²

)

∫

¹

dx

x

₀

m

²

–xp

²

(7.4 в)

Здесь введено обозначение N_ε=2/ε-γ_E+log4π.

В размерной регуляризации все полосы появляются именно в такой комбинации. Используя равенство

∑

t

_a

t

_a

=C

_F

δ

_ij

=

4

δ

_ij

^il

^lj

3

(см. приложение В), выражения (7.4) можно подставить в формулу (7.3) и получить кварковый пропагатор в виде

S

_Dε

(p)=i

{

p

–m+g

²

C

_F

Σ

⁽²⁾

}

^-1

;

(7.5 а)

S

_Dε

=

i

1-C

_F

g

²

A

_Dε

(p

²

)

 +члены высших порядков.

p

–m{1-C

_F

g

²

B

_Dε

(p

²

)}

(7.5 б)

В действительности нетрудно убедиться, что формула (7.5а) точно учитывает вклад всех диаграмм рис. 4 и при замене Σ⁽²⁾ на Σ^exact представляет собой наиболее общее выражение для пропагатора S. Из выражения (7.56) видно, что расходимости возникают от следующих членов:

1-C

_F

g

²

(1-ξ)N

_ε

(содержится в A

_Dε

)

16π

²

(7.6)

(на него умножается свободный пропагатор S) и

1+3C

_F

g

²

N

_ε

(содержится в B

_Dξ

)

16π

²

(7.7)

(на него умножается масса кварка m). Но оба эти множителя конечны при условии ε≠0.

Завершим данный параграф замечанием об инфракрасных расходимостях. В этой книге мы рассматриваем главным образом ультрафиолетовые расходимости, появляющиеся в пределе k→∞ и дающие особенности в виде полюсов гамма-функции Γ(ε/2). Но процедура размерной регуляризации позволяет также выделять полюсы, отвечающие инфракрасной расходимости и связанные с областью малых значений импульса k→0. Инфракрасные расходимости проявляются в вычислениях как особенности гамма-функции -Γ(ε/2). Детальное обсуждение этого вопроса можно найти в работе [134].

§ 8. Общие сведения о процедуре перенормировок

Рис. 5. Процесс рассеяния γ+u→νe⁺d и глюонные поправки к нему.

Рассмотрим следующий процесс. Фотон соударяется с u-кварком протона, а затем u-кварк за счет слабого взаимодействия распадается по схеме u→d+e⁺+ν (рис. 5). В низшем порядке по константам связи электромагнитного и слабого взаимодействий и в нулевом порядке по константе сильных взаимодействий g в рассматриваемый процесс дает вклад только диаграмма рис. 5,а. Возможные глюонные поправки описываются диаграммами рис. 5,б-г. Аргументом кваркового пропагатора S(р), фигурирующего в выражении для амплитуды рассеяния, является комбинация p=p_y+p_u (обозначения очевидны); следовательно, выражение для амплитуды рассеяния оказывается расходящимся, и никаких выводов о ее поведении, по крайней мере в рамках теории возмущений, сделать нельзя.

В действительности это не так. При построении теории была допущена некоторая неточность. Рассмотрим для простоты скалярное взаимодействие вида ψψφ, где поле φ безмассовое. Лагранжиан, описывающий систему взаимодействующих полей, имеет вид

ℒ=

ψ

(i

∂

–m)ψ + ½∂

_μ

φ∂

^μ

φ + g

ψ

ψφ .

(8.1)

Как уже говорилось выше, S -матрица определяется выражением

S

=

T exp i

∫

d

⁴

xℒ

₀

(x)

^int

=

 

_∞

1+

∑

i

ⁿ

∫

d

⁴

x

¹

…d

⁴

x

_n

Tℒ

₀

(x)

₁

…ℒ

₀

(x)

_n

,

n!

^int

^int

 

ⁿ⁼¹

(8.2)

где входящие в лагранжиан ℒ⁰_int(x) поля рассматриваются как свободные и записываются в нормально упорядоченной форме. Член ℒ⁰_int совпадает с трилинейным членом выражения (8.1) после замены ψ→ψ⁰, φ→φ⁰:

ℒ

₀

=

g:

ψ

⁰

ψ

⁰

:φ

⁰

.

^int

(8.3)

Но эта процедура некорректна. Очевидно, что поля, фигурирующие в выражении (8.1) не являются свободными, а их масса m не совпадает с массой, которую имеет поле ψ в отсутствие взаимодействий. Это видно из выражения (7.5) для кваркового пропагатора, в котором масса кварка заменена на комбинацию вида

m{1-

4

g

²

B

_D

},

3

а числитель умножен на выражение

1 -

4

g

²

A

_D

3

В силу свойства инвариантности теории по отношению к преобразованиям групп внутренней и пространственной симметрии допустимы лишь следующие изменения полей и параметров, фигурирующих в лагранжиане: изменения мультипликативного типа

ψ→Z

_-½

ψ

_u

, φ→Z

_-½

φ

_u

, g→Z

 

g , m→Z

 

m ,

^ψ

^φ

^g

^m

(8.4)

и изменения, вызванные добавлением в лагранжиан некоторых дополнительных членов. Можно показать, что в рассматриваемом случае скалярного взаимодействия необходимо еще добавить в лагранжиан член вида λ(φ)⁴. Но мы пока этим членом пренебрежем. Таким образом, принимая во внимание только (8.4), из формулы (8.1) получаем выражение для так называемого «перенормированного» лагранжиана

ℒ

_R

 

=

Z

_-1

ψ

 

i

∂

ψ

 

–Z

_-1

Z

 

m

ψ

 

ψ

 

+Z

_-1

∂

 

φ

 

∂

_μ

φ

^ψ

^u

^u

^ψ

^m

^u

^u

^φ

^μ

^u

 

^u

+

Z

 

Z

_-1

Z

_-½

g

ψ

 

ψ

 

φ

 

,

^g

^ψ

^φ

^u

^u

^u

(8.5)

откуда заключаем, что .лагранжиан взаимодействия, определяемый как разность ℒ_int=ℒ-ℒ_free в действительности имеет вид

ℒ

_R0

^int

=

:g

ψ

₀

ψ

₀

φ

₀

+(Z

_½

Z

_-1

Z

_-½

–1)g

ψ

₀

ψ

₀

φ

₀

^u

^u

^u

^g

^ψ

^φ

^u

^u

^u

+

(Z

_-1

–1)

ψ

₀

i

∂

ψ

₀

–(Z

_-1

Z

 

–1)m

ψ

₀

ψ

₀

^ψ

^u

^u

^ψ

^m

^u

^u

+

(Z

_-1

–1)∂

 

φ

₀

∂

_μ

φ

₀

:,

^φ

^μ

^u

 

^u

(8.6)

где ψ⁰_u и φ⁰_u – свободные поля, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям. Члены, содержащие множители (Z … – 1), называются контрчленами. Очевидно, что разложение этих членов в ряд по степеням константы связи g должно начинаться с единицы, так как при значении g=0 все перенормировочные множители Z равны единице. Поэтому перенормировочные множители можно представить в виде ряда

 

 

_∞

Z

_j

=1+

∑

C

_(n)

(

g

²

)

ⁿ

,

^j

16π

²

 

 

ⁿ⁼¹

(8.7)

где коэффициенты C⁽ⁿ⁾_j имеют конечное разложение в ряд Лорана в окрестности точки ε=0 (т.е. имеют вид ∑ⁿ_k=0 a⁽ⁿ⁾_k ε^-k +O(ε)). Существует и другой способ проследить за возникновением контрчленов [45]. Из выражения (8.2) для S-матрицы видно, что вследствие сингулярного характера входящих в него полей хронологическое произведение

ℒ

₀

(x)

₁

… ℒ

₀

(x

_n

)

^int

^int

(8.8 а)

не определено при совпадающих аргументах x_i=x_j. Следовательно, к каждому члену разложения (8.2), имеющему вид (8.8а), можно добавить произвольное слагаемое вида

p(∂)δ(x

₁

–x

₂

) … δ(x

_i

–x

_j

) … δ(x

_n-1

–x

_n

) ,

(8.8 б)

где символ p обозначает выражение, полиномиальное по оператору дифференцирования. Отсюда видно, что члены (8.8 6) соответствуют контрчленам.

Насколько произвольны значения коэффициентов Z? Одно из условий, определяющих их величину, состоит в требовании, чтобы лагранжиан ℒ^R приводил к конечным ответам даже в пределе ε→0. Но это не полностью фиксирует коэффициенты C⁽ⁿ⁾_j в выражении (8.6 б). Чтобы однозначным образом конкретизировать все перенормировочные множители Z, фигурирующие в теории, необходимо рассмотреть столько независимых амплитуд, сколько параметров должно быть определено.

Вернемся к лагранжиану КХД. Квантовая хромодинамика является калибровочной теорией поля, и, как мы видели, калибровочная инвариантность представляет собой необходимое условие того, чтобы эта теория имела смысл. Условие калибровочной инвариантности накладывает жесткие ограничения на допустимую структуру контрчленов: они должны быть калибровочно-инвариантными. Из выражения для лагранжиана ℒ^ε_QCD и выражения (5.11) видно, что единственными допустимыми изменениями являются замены¹¹⁾

¹¹ Отметим, что не все множители Z независимы. Например, из тождеств Славнова – Тейлора следует равенство Z_λ=Z_B (см. § 9).

q

_i

(x)→Z

_-½

q

_i

(x),

 

^F

^u

B

_μ

(x)→Z

_-½

B

_μ

(x),

^a

^B

^ua

ω

 

(x)→Z

_-½

ω

 

(x),

^a

^ω

^ua

ω

 

(x)→Z

_-½

ω

 

(x),

^a

^ω

^ua

g→Z

_g

g,

m

_q

→Z

_m,q

m

_q

,

λ→Z

_λ

λ.

(8.9)

Калибровочная инвариантность приводит к тому, что все кварковые перенормировочные множители Z равны одной и той же величине Z_F. Аналогичное утверждение справедливо и для глюонных перенормировочных множителей, каждый из которых равен Z_B. Кроме того, перенормировочные множители для вершин qqB, BBB, BBBB и ωωB, которые, вообще говоря, могли бы быть разными, следует заменить одним перенормировочным множителем Z_g. Такого специфического набора перенормировочных множителей оказывается вполне достаточно, чтобы обеспечить конечность функций Грина. Это является следствием тождеств (в случае абелевых калибровочных теорий называемых тождествами Уорда, а в случае неабелевых теорий – тождествами Славнова – Тейлора), которым в силу калибровочной инвариантности должны удовлетворять функции Грина. Как уже отмечалось, эти тождества¹²⁾ возникают в результате преобразований БРС. Ниже будут приведены некоторые из наиболее важных тождеств Славнова – Тейлора.

¹²⁾ Детальное исследование тождеств Уорда и Славнова – Тейлора можно найти в книгах [114, 189]

В заключение этого параграфа введем некоторые обозначения. Если в исходном лагранжиане провести замены (8.9), то мы получим выражение для перенормированного лагранжиана

ℒ

_ξ

^R

=

 

 

∑

{

i

q

̃

D

̃q̃ – m̃

_q

q

̃q̃

}

 -

1

(D̃×B̃)

²

–

λ

(∂⋅B̃)

²

4

2

^q

+

∑

(∂

_μ

ω

̃)D̃

^μ

ω̃

(8.10 а)

где тильда над символом означает, что данная величина содержит соответствующий множитель Z, например

q̃=Z

_-½

q

_u

,

^F

m̃=Z

_m

m,…,

D̃q̃=

∂

–ig̃tB̃)q̃,

… и т.д.

(8.10 б)

Таким образом, лагранжиан ℒ^ξ_R формально совпадает с неперенормированным лагранжианом ℒ^ξ при замене всех входящих в него неперенормированных величин на перенормированные. Перенормированный лагранжиан ℒ^ξ_R можно представить в виде суммы

ℒ

_ξ

=ℒ

_ξ

+ℒ

_ξ

^R

^uD

^ctD

(8.11 а)

где член

ℒ

_ξ

^uD

 

=

 

∑

{

–

q

_u

D

q

_u

– m

q

_u

q

_u

}

 -

1

(D

_u

×D

_u

)

²

–

λ

(∂B

_u

)

²

4

2

^q

+

(∂

_μ

ω

_u

)D

^μ

ω

_u

,

(8.11 б)

содержит неперенормированные, или «голые», поля, заряды и массы, а член

ℒ

_ξ

^ctD

=

ℒ

_ξ

–ℒ

_ξ

^R

^uD

=

 

(Z

_-1

–1)i

∑

q

∂

q

_u

^F

 

 

 

^q

+

(Z

_-1

Z

_-½

Z

 

–1)g

∑

q

_u

γ

_μ

t

^a

q

_u

B

_μ

+…

^F

^B

^g

^ua

(8.11 в)

описывает вклад контрчленов.

Мы видим, что в рамках теории возмущений взаимодействие описывается не только членами g∑q̅⁰_uγ_utq⁰_uB^0μ_u,…, но и членами i(Z^-1_F-1)×∑q̅⁰_u∂q⁰_u и и.д. При этом поля q⁰_u, B⁰_u, ω⁰_u удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям для свободных полей и порождают набор фейнмановских правил диаграммной техники, которые приведены в приложении Г. Следует отметить, что оба члена лагранжиана ℒ^ξ_uD и ℒ^ξ_ctD требуют регуляризации; возникающие при этом бесконечности должны сокращаться так, чтобы лагранжиан ℒ^ξ_R при переходе к физическому пределу D→4 приводил к конечным выражениям. Далеко не очевидно, что существуют перенормировочные множители Z, удовлетворяющие этому требованию, и действительно (по крайней мере в рамках теории возмущений) далеко не все теории поля обладают свойством перенормируемости. Доказательство перенормируемости неабелевых калибровочных теорий, в частности квантовой хромодинамики, впервые было проведено т’ Хофтом [248]¹³⁾. В этой книге перенормируемость КХД не доказывается; мы лишь убедимся, что лагранжиан в низших порядках теории возмущений приводит к конечным результатам.

¹³ См. также работу [190]. Изложение современного состояния проблемы перенормировок а КХД можно найти а работе [114].

В рамках излагаемой здесь теории перенормировок, основывающейся главным образом на монографии Боголюбова и Ширкова [45], конечные (перенормированные) функции Грина выражаются через вакуумные средние вида

⟨0|Tq_u(x₁)…B_u(y₁)…ω_u(z₁)…|0⟩,

для вычисления которых по теории возмущений используется полный (содержащий и контрчлены) лагранжиан взаимодействий (8.11). Однако мультипликативный характер перенормировок допускает иной подход к рассматриваемой проблеме. Можно пренебречь контрчленами и просто переопределить поля и константы связи, фигурирующие в функциях Грина в соответствии с формулами (8.9). Более подробно это изложено в последующих параграфах. Следует также отметить, что проводимые здесь процедуры перенормировок выполняются в рамках теории возмущений. Это означает, что все вычисления должны проводиться самосогласованно в одном и том же порядке по константе взаимодействия как в первоначальных членах взаимодействия, так и в контрчленах.

§ 9. Перенормировка в КХД (однопетпевое приближение)

1. μ-перенормировка

Рассмотрим перенормированный лагранжиан квантовой хромодинамики. Для этого необходимо задать значения перенормировочных множителей Z. Начнем с определения неперенормированных функций Грина

G_uD(x₁,…,x_N),

которые вычисляются по неперенормированному лагранжиану ℒ^ξ_u. Функция G представляет собой вакуумное среднее от произведения полей

⟨TΦ

₁

(x

₁

)…Φ

_N

(x

_N

)⟩

₀

= G

_uD

(x

₁

,…,x

_N

),

(9.1)

где символы Φ_k соответствуют полям кварков q_u , ду́хов ω_u , глюонов B_u или в общем случае содержащим их локальным операторам. Используя теорию возмущений, функции Грина можно представить в виде следующего ряда:

G

_uD

(x

₁

,…,x

_N

)

=

_∞

∑

i

ⁿ

∫

d

⁴

z

₁

…d

⁴

_n

n!

ⁿ⁼⁰

×

⟨TΦ

₀

(x

₁

)…Φ

₀

(x

_N

)ℒ

_ξ

(z

₁

)…ℒ

_ξ

(z

₀

)⟩

₀

.

¹

^N

^uD,int

^uD,int

(9.2)

Вообще говоря, неперенормированные функции Грина G_uD расходятся в физическом пределе D→4. Перенормированные функции Грина определяются в виде

G

_R

(x

₁

,…,x

_N

)

=

_∞

∑

i

ⁿ

∫

d

⁴

z

₁

…d

⁴

_n

n!

ⁿ⁼⁰

×

⟨TΦ

₀

(x

₁

)…Φ

₀

(x

_N

)ℒ

_ξ

(z

₁

)…ℒ

_ξ

(z

₀

)⟩

₀

.

¹

^N

^R,int

^R,int

(9.3)

Потребуем, чтобы перенормированная функция G_R была конечной, т.е. чтобы контрчлены, содержащиеся в выражении (9.3), сокращали сингулярности, присутствующие в формуле (9.2). В случае квантовой хромодинамики имеется шесть различных перенормировочных множителей. Для их однозначного определения достаточно рассмотреть шесть независимых функций Грина. Независимость результата от выбора конкретных функций Грина, по которым фиксируются перенормировочные множители, является следствием тождеств Уорда – Славнова – Тейлора, которым эти функции подчиняются. Данное утверждение представляет собой нетривиальную часть перенормировочной процедуры. Здесь мы для определенности выберем конкретный набор функций Грина, необходимых для фиксации перенормировочных множителей. Все вычисления будем проводить в импульсном пространстве. Начнем с пропагатора кварков

S

_Rξ

(p)=i{

p

–m+Σ(p)}

^-1

,

Σ(p)=(p-m)A(p

²

)+mB(p

²

).

(9.4 а)

Выберем пространственноподобный импульс p̅, удовлетворяющий условию p̅²<0 ^13a). Тогда можно определить значения величин

^13aЭто позволяет избежать расходимостей функций Грина, возникающих при времениподобных импульсах p, удовлетворяющих условию p²≥m².

A

_ξR

(p̅

²

),B

_R

(p̅

²

),

(9.4 б)

первая из которых позволяет фиксировать множитель Z_F, а вторая – комбинацию из множителей Z_F, Z_m и Z_λ. Затем обратимся к рассмотрению глюонного пропагатора

D

_μν

^Rξ

(q)=(-q

²

g

^μν

+q

^μ

q

^ν

)D

_Rtr

(q)

+q

^μν

D

_RL

(q).

(9.5 а)

Для простоты рассмотрим случай q=p̅. Фиксируя значения

D

_Rtr

(p̅), D

_RL

(p̅),