Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 14 (всего у книги 17 страниц)

Глава V ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ; РЕШЕНИЯ, НЕ ОПИСЫВАЕМЫЕ ТЕОРИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 39. Формулировка теории поля на языке интегралов по траекториям

До сих пор мы рассматривали главным образом те аспекты квантовой хромодинамики, которые описываются теорией возмущений. При этом вопрос о том, использовать ли каноническую формулировку теории поля или формулировку, основанную на применении интегралов по траекториям, является в значительной мере делом вкуса. Однако при рассмотрении аспектов КХД, не описываемых теорией возмущений, большей ясности можно достигнуть, используя язык функциональных интегралов. В этом параграфе мы рассмотрим кратко формализм фейнмановских интегралов по траекториям, в частности в применении к теории поля. Конечно, это не может заменить подробного изложения метода функциональных интегралов, которое заинтересованный читатель может найти в лекциях [112, 139] или в учебниках [114, 172, 283].

Начнем с рассмотрения нерелятивистской квантовой механики в одномерном пространстве [121]. Имеется гамильтониан Ĥ, являющийся функцией обобщенных импульсов P^̂ и координат Q^̂. Предполагается, что гамильтониан записан в «нормальной форме», т.е. все операторы импульса P^̂ расположены левее всех операторов координат Q^̂. Классический гамильтониан Ĥ можно получить из соотношения

⟨p|Ĥ|q⟩

=

e^-ipq

√2π

H(p,q),

(39.1)

Где состояния |p⟩ и |q⟩ удовлетворяют условиям P^̂|p⟩=p|p⟩, Q^̂|q⟩=q|q⟩, ⟨p|q⟩^-ipq/√2π. Оценим матричные элементы оператора эволюции

⟨q''|e

^-i(t''-t')Ĥ

|q'⟩.

(39.2)

Для этого запишем разложение оператора эволюции в ряд

e

^-itĤ

=

 

lim

^N→∞

⎧

⎪

⎩

1-

it

N

Ĥ

⎫^N

⎪

⎭

, t=t''-t',

и вставим суммы по полным наборам векторов состояний

⟨q''|e

^-i(t''-t')Ĥ

|q'⟩

=

 

lim

^N→∞

∫

∏

𝑑p_n

2π

∏

𝑑q_n

2π

⟨q''|p

_N

⟩

⟨p

_N

|1-

it

N

Ĥ|q

_N

⟩

×

⟨q

_N

|p

_N-1

⟩

⟨p

_N-1

|1-

it

N

Ĥ|q

_N-1

⟩…

⟨p

_N

|1-

it

N

Ĥ|q'⟩.

Используя соотношение (39.1), получим

⟨p

_n

|1-

it

N

Ĥ|q

_n

⟩=

exp{-ip_nq_n-(it/N)H(p_n,q_n)}

√2π

+O

⎧

⎩

1

N²

⎫

⎭

,

так что окончательный результат имеет вид

⟨q''|e

^-i(t''-t')Ĥ

|q'⟩

=

 

lim

^N

∫

∏

𝑑p_n

2π

∏

𝑑q

_n

×

exp i

⎧

⎨

⎩

p

_N

(q

''

N

–q

_N

)+…+p

₁

(q

₁

–q')

-

t

N

(H(p

_N

,q

_N

)…H(p

₁

,q'))

⎫

⎬

⎭

(39.3)

Использованный Фейнманом прием заключается во введении в рассмотрение двух функций p(t) и q(t), определяемых условиями p(t_n)=p_n и q(t_n)=q_n . Используя эти функции, можно перейти от интегралов по дискретным переменным к интегралам по непрерывным распределениям:

 

∏

ⁿ

𝑑p_n

2π

→

 

∏

^t

𝑑p(t)

2π

,

 

∏

ⁿ

𝑑q_n

2π

→

 

∏

^t

𝑑q(t)

2π

,

(39.4)

т.е. теперь интегрирование производится по всем функциям, а член в скобках в (39.3) принимает вид

∫

^t''

 

_t'

𝑑t

{p(t)q̇(t)-H(p(t),q(t))}, ƒ̇≡

𝑑ƒ

𝑑t

.

Тогда полное выражение (39.3) имеет вид

⟨q''|e

^-itĤ

|q⟩

=

∫

 

∏

^t

𝑑q(t)𝑑p(t)

2π

exp i

∫

^t'',q''

 

_t',q'

𝑑t(pq̇-H).

(39.5)

Конечно, это выражение написано формально^51б) и имеет смысл только как предел выражения (39.3), но в этом отношении оно не очень сильно отличается от стандартного римановского определения обычного интеграла. Важная особенность выражения (39.5) состоит в том, что в него входят только классические c-числовые функции. Таким образом, сложные операторные вычисления мы свели к вычислениям функциональных интегралов.

^51б) Строгое определение функциональных интегралов типа (39.5) см. в работе [2б4]

Выражение (39.5) можно упростить. Если гамильтониан H имеет вид H=p²/(2m)+V(q), то интеграл по импульсам 𝑑p оказывается гауссовым, и его можно вычислить точно. Производя замену переменной p→p-mq̇, получаем

∫

 

∏

^t

𝑑p(t)

2π

exp i

∫

𝑑t

⎧

⎩

pq̇-

p²

2m

⎫

⎭

=

∫

 

∏

^t

𝑑p(t)

2π

exp

⎧

⎩

–i

∫

𝑑t

p²(t)

2m

⎫

⎭

exp

⎧

⎩

i

∫

𝑑t

mq̇²(t)

2

⎫

⎭

;

следовательно, выполняя интегрирование, находим

⟨q''|e

^-i(t''-t')Ĥ

|q'⟩

=N

∫

 

∏

^t

𝑑q(t) exp i

∫

^q'',t''

 

_q',t'

𝑑t L[q(t),q̇(t)].

(39.6)

При этом разность mq²-V отождествляется с лагранжианом L, и вводится нормировочный множитель N, не зависящий от динамики взаимодействий:

N=

∫

 

∏

^t

𝑑p(t)

2π

exp

⎧

⎨

⎩

–i

∫

𝑑t

p²(t)

2m

⎫

⎬

⎭

.

Обобщение выражения (39.6) на случай нескольких степеней свободы очевидно. Будем использовать обозначение q(t,k) вместо обозначения q_k(t), k=1,…,n, имея в виду применение полученных формул в теории поля, где число степеней свободы бесконечно. Лагранжиан L (плотность лагранжевой функции) определим формулой L=∑_lℒ. Используя введенные обозначения, получим

⟨q''|e

^-i(t''-t')Ĥ

|q'⟩

=

N

∫

 

∏

^t,k

𝑑q(t,k)

×

exp

⎧

⎨

⎩

i

∫

^q'',t''

 

_q',t'

𝑑t

 

∑

^k

ℒ[q(t,k);q̇(t,k)]

⎫

⎬

⎭

(39.7)

Это выражение непосредственно обобщается на случай теории поля. Рассмотрим Для простоты одно поле φ; роль переменной k здесь играет пространственная координата ⃗x. Если выбрать состояние |φ(t,⃗x)⟩ так, чтобы выполнялось условие

φ̂(x)|φ(x)⟩=φ(x)|φ(x)⟩,

то для таких состоянии справедливо соотношение

⟨φ(t'',⃗x)|e

^-i(t-t')Ĥ

|φ(t',⃗x')⟩

=

N

∫

 

∏

^x

𝑑φ(x)

×

exp

⎧

⎨

⎩

i

∫

^t''

 

_t'

𝑑

⁴

x ℒ(φ,∂φ)

⎫

⎬

⎭

.

(39.8)

Конечно, как и в случае обычной квантовой механики, функциональный интеграл следует понимать как некоторую предельную процедуру. Рассмотрим объем четырехмерного пространства V и разобьем его на конечное число n ячеек. Пусть точки x_j, j=1,…,n, лежат внутри j-й ячейки, каждая из которых имеет четырехмерный объем δ. Тогда правая часть соотношения (39.8) определяется как предел

 

lim

^V→∞

∫

𝑑φ(x

₁

)…𝑑φ(x

_n

)

e

^{iδ∑_jℒ[φ(x_j),∂φ(x_j)]}

^n→∞

^δ→0

(39.9)

(ниже мы увидим, что нормировочный множитель N из формул для амплитуд переходов выпадает). Для получения матричных элементов S-матрицы или функций Грина требуется вычислить вакуумные средние ⟨Tφ(x)…φ(z)⟩₀. Для этого рассмотрим амплитуду перехода вакуум – вакуум

⟨0|Ŝ|0⟩=

 

lim

^t'→-∞

⟨0|e

^-i(t''-t')Ĥ

|0⟩;

^t''→+∞

введя источники, получим функции Грина. Согласно формуле (39.7), справедливо равенство

⟨0|Ŝ|0⟩=N

∫

 

∏

^x

𝑑φ(x) exp i𝓐, 𝓐=

∫

𝑑

⁴

x ℒ;

(39.10)

здесь 𝓐 – действие. Добавим к лагранжиану ℒ член, содержащий источник:

ℒ

_η

=ℒ+η(x)φ(x), 𝓐

_η

=

∫

𝑑

⁴

x ℒ

_η

,

и определим производящий функционал

Z[η]=N

∫

 

∏

^x

𝑑φ(x) exp i𝓐

_η

.

В дальнейшем будет показана справедливость соотношения

δⁿlog Z[η]

δη(x₁)…δη(x_n)

⎪

⎪

⎪_η=0

=

iⁿ⟨Tφ̂(x₁)…φ̂(x_n)⟩₀

⟨Ŝ⟩₀

,

(39.12)

где правая часть представляет собой связанную функцию Грина, которую до сих пор мы обозначали как

⟨Tφ̂(x

₁

)…φ̂(x

_n

)⟩

₀

включая фазу ⟨Ŝ⟩₀ в определение физической Ŝ-матрицы. Мы докажем соотношение (39.12) для случая свободных полей (вывод с учетом взаимодействия приводится несколько ниже). Соответствующий лагранжиан имеет вид

ℒ=½∂

_μ

φ∂

^μ

φ-½m²φ²

=-½φ{∂²-m²}φ+4-дивергенция.

Технический прием состоит в приведении интеграла к гауссовой форме. С этой целью определим поле φ' формулой

φ'(x)=(∂²+m²)

^½

φ(x),

которая справедлива при условии

φ'(x)

=

∫

𝑑

⁴

x K

^-½

(x-y)φ(y),

K(z)

=

-1

(2π)⁴

∫

𝑑

⁴

k

e^ik⋅z

k²+m²+i0

=i

Δ

(z).

(39.13)

Правило обхода полюса, задаваемое добавкой +i0, гарантирует получение хронологических произведений. Тогда для производящего функционала получаем

Z[η]

=

N

∫

 

∏

^x

𝑑φ'(x) det(∂φ/∂φ')

×

exp i

∫

𝑑

⁴

x

⎧

⎨

⎩

-1

2

φ'(x)φ'(x)+

∫

𝑑

⁴

yη(x)K

^½

(x-y)φ'(y)

⎫

⎬

⎭

;

здесь det(∂φ/∂φ') – якобиан перехода (бесконечномерный) от переменной φ к переменной φ'. Последний шаг состоит в замене переменной интегрирования:

φ'(x)=φ''(x)+

∫

𝑑

⁴

y K

^½

(x-y)η(y).

Таким образом, окончательный результат имеет вид

Z[η]

=

⎧

⎨

⎩

N

∫

 

∏

^x

𝑑φ''(x) det(∂φ/∂φ'')

e

^{-i∫𝑑4xφ-2/2}

⎫

⎬

⎭

×

e

^{(i²/2)∫𝑑4x𝑑4y η(x)Δ(x-y)η(y)}

,

(39.14)

где Δ(x-y) – пропагатор поля:

Δ(x)=

i

(2π)⁴

∫

𝑑

⁴

k

e^-ik⋅x

k²-m²+i0

=

⟨Tφ(x)φ(0)⟩

₀

.

Член в фигурных скобках в правой части (39.14) не зависит от величины источника η; следовательно, при взятии логарифмической производной он сократится. Поэтому для производящего функционала можно написать выражение

Z[η]=

N

exp

⎧

⎨

⎩

i²

2

∫

𝑑

⁴

x𝑑

⁴

y η(x)

Δ

(x-y)η(y)

⎫

⎬

⎭

,

(39.15)

из которого непосредственно получается соотношение (39.12).

Введение в рассмотрение векторных полей не вносит каких-либо трудностей; точно так же, как и в предыдущем случае, операторные вставки связаны с введением внешних источников (пример приведен в § 42). Но включение фермионных полей требует некоторых усложнений. При этом возникает необходимость во введении на классическом уровне антикоммутрующих c -числовых величин⁵²⁾, определяемых соотношениями

⁵²⁾ В математической литературе такая структура называется грассмановой алгеброй. Подробное изложение этого вопроса можно найти в книге [37].

ψ(x)ψ(y)=-ψ(y)ψ(x), [ψ(x)]²=0.

Функционал (классических) фермионных полей в общем виде определяется выражением

F[ψ]

=

K

₀

+

∫

𝑑x

₁

K

₁

(x

₁

)ψ(x

₁

)+…

+

∫

𝑑x

₁

…𝑑x

₂

K

_n

(x

₁

,…,x

₂

)ψ(x

₁

)…ψ(x

_n

)+…,

где K₁ – антикоммутирующая функция, а функции K_n при n≥2 можно считать полностью антисимметричными по своим аргументам. Из определения функциональной производной

δF[ψ]

δψ(x)

=

 

lim

^ε→0

F[ψ+εδ_x]-F[ψ]

 ε 

,

где ε – антикоммутирующее c -число, удовлетворяющее условиям

εψ=-ψε, ε²=0.

следует справедливость равенства

δⁿF[ψ]

δψ(x_n)…δψ(x₁)

⎪

⎪

⎪_ψ=0

=n!K

_n

(x

₁

,…,x

_n

).

Отметим обратный порядок следования переменных x в левой части равенства. Это вызвано антикоммутативностью полей ψ в силу которой

δ²

δψ₁δψ₂

=-

δ²

δψ₂δψ₁

Интегрирование по антикоммутирующим функциям также обладает рядом особенностей. Чтобы все построения были последовательны, необходимо потребовать выполнения соотношений

∫

𝑑ψ(x)=0,

∫

𝑑ψ(x)ψ(y)=δ(x-y).

Наконец, если мы хотим получить одночастчно-неприводимые функции Грина, т.е. такие функции Грина, которые остаются связанными при рассечении их по одной внутренней линии, мы должны взять функциональную производную не по функции η, а по новому полю φ от нового производящего функционала Γ[φ]:

Γ[

φ

]

=

1

i

log Z[η]-

∫

𝑑

⁴

x η(x)

φ

(x),

(39.16а)

φ

(x)

≡

–iδlog Z[η]

δη(x)

.

(39.16б)

Отметим, что поле φ представляет собой вакуумное среднее оператора φ̂.

Доказательство того, что величина Γ порождает одночастично-неприводимые функции Грина, очевидно из тождества, к доказательству которого мы переходим. Продифференцировав дважды новый производящий функционал Γ(φ), получаем

δ²Γ

δφ(x)δφ(y)

=-

δη(x)

δφ(y)

=

⎡

⎢

⎣

–

δφ(y)

δη(x)

⎤^-1

⎥

⎦

=-i

Δ

^-1

(x-y),

откуда, в частности, следует равенство Δ{δ²Γ/[δφ(x)δφ(y)]}Δ=iΔ; с точностью до коэффициента i пропагатор Δ оказьшается равным одночастичнонеприводимой функции Грина в обкладках из пропагаторов. В более общем виде имеем соотношение

δ

δφ

=

⎡

⎢

⎣

δη

δψ

δ

δη

⎤

⎥

⎦

=-i

Δ

^-1

(x-y)

δ

δη

(39.17)

которое требовалось найти.

§ 40. Приближение ВКБ в формализме интегралов по траекториям; туннелирование

В обычной квантовой механике приближение ВКБ состоит в разложении рассматриваемых величин по степеням постоянной Планка ħ. В нулевом порядке получаются классические траектории; члены высших порядков по ħ описывают квантовые поправки к классическим решениям. В теории поля приближение ВКБ особенно удобно формулировать на языке интегралов по траекториям. Чтобы использовать метод ВКБ, мы теперь не будем полагать постоянную Планка равной единице, а сохраним ее в явном виде в выражении для производящего функционала (39.11):

Z[η]=

∫

 

∏

^x

𝑑φ(x) exp

i

ħ

𝓐

_η

[φ],

(40.1)

поля же и импульсы представим в виде рядов

φ(x)=φ

_cl

(x)+

ħ

^½

φ̃(x)+…,

π(x)=∂

₀

φ

_cl

(x)+

ħ

^½

π̃(x)+…,

(40.2)

и сравним коэффициенты при одинаковых степенях постоянной Планка ħ. Член φ_cl представляет собой решение классического уравнения движения

∂²φ

_cl

+m²φ

_cl

=

∂ℒ_int

∂φ

⎪

⎪

⎪_φ=φcl

,

(40.3а)

или, что эквивалентно, имеет вид

φ

_cl

(x)=φ

₀

(x)+i

∫

𝑑

⁴

y

Δ

(x-y)

∂ℒ_int

∂φ

⎪

⎪

⎪_φ=φcl

,

(40.3б)

где φ₀ – свободное классическое поле, удовлетворяющее однородному уравнению (∂²+m²)φ₀=0. Поскольку поле φ_cl удовлетворяет уравнению движения, действие 𝓐[φ_cl] достигает на этом поле экстремума: мы разлагаем выражение (40.1) в ряд в окрестности этой стационарной фазы. Нулевой порядок теории возмущений по константе ħ соответствует древесному приближению; поправки старших порядков описывают вклады различных петлевых диаграмм. Применимость этого метода основана на том, что в каждом порядке теории возмущений возникающие интегралы имеют гауссову форму и, следовательно, могут быть вычислены аналитически. Покажем это на примерю вычисления поправки первого порядка. В первом порядке по константе ħ действие 𝓐 имеет вид

𝓐=𝓐[φ

_cl

]-

1

2

∫

𝑑

⁴

x

⎧

⎨

⎩

φ̃(x)(∂²+m²)φ̃(x)-

∂²ℒ_int(φ)

φ²

⎪

⎪

⎪_φ=φcl

φ̃(x)φ̃(x)

⎫

⎬

⎭

.

Проведем замену переменной

φ̃(x)→φ'(x)=

⎧

⎨

⎩

∂²+m²-

∂²ℒ_int

∂φ²

⎫^½

⎬

⎭

φ̃(x),

и для производящего функционала получим следующий результат:

Z=(constant) exp

⎧

⎨

⎩

–

1

2

Tr log

⎡

⎢

⎣

1-

(∂²+m²)

^-1

∂²ℒ_int

∂φ²

⎪

⎪

⎪_φ=φcl

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

Z

_tree

,

(40.4а)

где, используя (40.3) и соотношение i(∂²+m)Δ(x)=δ(x), производящий функционал древесного приближения Z_tree можно записать в виде

Z

_tree

=

N exp

i

ħ

⎧

⎨

⎩

∫

𝑑

⁴

x ℒ

_int

(φ

_cl

)-

i

2

∫

𝑑

⁴

x𝑑

⁴

y

∂ℒ_int

∂φ(x)

⎪

⎪

⎪_φ=φcl

×

Δ

(x-y)

∂ℒ_int

∂φ(y)

⎪

⎪

⎪_φ=φcl

⎫

⎬

⎭

.

(40.4б)

Константа в формуле (40.4а) содержит член

∫

∏

𝑑φ'(x) e

^-(i/2)∫

𝑑x φ²(x)

det(∂²+m²)

^½

,

где использовано обозначение

det(A

^-½

)=exp

⎧

⎨

⎩

-1

2

Tr log A

⎫

⎬

⎭

.

Известно, что существуют такие квантовомеханические состояния системы, для которых классических траекторий не существует. Такая ситуация имеет место, например, при туннелировании через потенциальный барьер. Но метод приближения ВКБ можно распространить и на этот случай. Продемонстрируем это на типичном примере частицы, совершающей в одномерном пространстве движение в потенциале V(x). Волновая функция такой частицы в Приближении ВКБ имеет вид (см., например, [186])

ψ(x)=Ce

^i𝓐(x)

,

(40.5)

гдe 𝓐– действие, вычисленное вдоль классической траектории, определяемой уравнением

½mẍ+V(x)=E.

Рис. 30. Потенциалы с несколькими минимумами: а – потенциал с двумя минимумами ; б – периодический потенциал.

Выберем потенциал, имеющий два минимума в точках x=x₀ и x₁ и обращающийся в этих точках в нуль (рис. 30, а). Если выполняется условие E>max V, движение из точки x₀ в точку x₁ разрешено, и, исходя из выражения (40.5), для волновой функции ψ можно вычислить амплитуду «рассеяния». Но если выполняется условие E

⟨x

₁

|x

₀

⟩=Ce

^i𝓐(x1,x0)

(40.7)

должна быть заменена амплитудой туннелирования

⟨x

₁

|x

₀

⟩=Ce

^-𝓐(x2,x0)

(40.8)

где действие 𝓐 вычисляется не вдоль траекторий, определяемых уравнением (40.6), а вдоль траекторий, удовлетворяющих уравнению

-½mẍ+V(x)=E.

(40.9)

Мы видим, что для получения амплитуды туннелирования можно использовать ту же формулу, что и для амплитуды перехода, производя лишь формальную замену переменной t на it как в выражении для действия

𝓐=

∫

^t(x₁)

 

_t(x0)

𝑑t L→i

𝓐

так и в уравнениях движения (40.6) – (40.9).

Выражения (40.5) и (40.8) не нормированы. Но их легко нормировать, разделив на амплитуду ⟨x₀|x₀⟩. Таким образом, можно заключить, что в квантовой теории поля амплитуда туннелирования в ведущем приближении выражается в виде

⟨Ψ

₁

,t=+∞|Ψ

₀

,t=-∞⟩

≈

C exp

⎧

⎨

⎩

–

∫

𝑑

⁴

x

ℒ

(

φ

_cl

)

⎫

⎬

⎭

(40.10)

где φ_cl классическое решение евклидовых уравнений движения, т.е. уравнений движения, в которых проведена замена x₀→ix₄, где переменная x₄ вещественна

Согласно обсуждению, проведенному в начале данного параграфа, выражение (40.10) можно рассматривать как ведущий член разложения точного выражения

⟨Ψ

₁

,t=+∞|Ψ

₀

,t=-∞⟩

=

N exp

⎧

⎨

⎩

–

∫

𝑑

⁴

x

ℒ

(

φ

_cl

)

⎫

⎬

⎭

(40.11)

по степеням постоянной Планка ħ в окрестности классической траектории φ_cl.

Важное свойство состояний системы, находящейся в условиях, когда возможно туннелирование, заключается в следующем. В стационарных состояниях (в частности, в основном состоянии, которое должно быть отождествлено с вакуумом теории поля) система не локализована в одном из минимумов потенциала V, а распределяется между всеми минимумами. В случае КХД это будет показано на примере периодического потенциала, подобного потенциалу рис. 30, б.

§ 41. Формализм функциональных интегралов в квантовой хромодинамике; калибровочная инвариантность

Формализм, развитый в предыдущих параграфах, можно непосредственно применить к квантовой хромодинамике, если сначала рассмотреть вопрос о калибровочной инвариантности. Одна из возможностей состоит в том, чтобы выбрать физическую калибровку

u⋅B

_a

(x)=0, u²≥0,

(41.1)

так что интегрирование в функциональном интеграле производится по полям B, удовлетворяющим условию (41.1). Теперь производящий функционал с точностью до произвольного нормировочного множителя N определяется в виде

Z=N

∫

(𝑑q)(𝑑

q

)(𝑑B)

 

∏

^a,x

δ(u⋅B

_a

(x)) exp i

∫

𝑑

⁴

x ℒ

_u

,

(41.2)

где введены часто употребляемые в дальнейшем обозначения (𝑑q)≡Π_x,ƒ,i,α𝑑qⁱ_ƒα(x), (𝑑B)≡Π_x,μa𝑑B^μ_a(x) и т.д., a ℒ_u – лагранжиан КХД, не содержащий членов, фиксирующих калибровку. Это все, что требуется, если мы хотим работать в физической калибровке. Но хотелось бы также распространить формализм функциональных интегралов и на другие типы калибровок, в частности на ковариантные калибровки. Калибровочные условия можно записать в виде

K

_a

[B(x)]=0,

(41.3)

где K – функционал, фиксирующий калибровку. Например, лоренцева калибровка имеет вид

K

_a

[B(x)]=∂

_μ

B

^μ

_a

–φ

_a

(x),

(41.4)

где поле φ представляет собой заданную функцию (в частности, можно взять φ=0).

Пусть T(θ) – калибровочное преобразование, задаваемое параметрами θ(x), а B_T – поля, возникающие из полей B под действием этого калибровочного преобразования:

B

_μ

^Ta

(x)=B

_μ

^a

(x)+g

∑

ƒ

_abc

θ

_b

(x)B

_μ

^c

(x)-∂

^μ

θ

_a

(x)

(ср. с § 3). Величина

Δ

_-1

^K

[B]=

∫

 

∏

^x,a

𝑑θ

_a

(x)

 

∏

^x,a

δ(K

_a

[B

_T

(x)])

(41.5)

при калибровочных преобразованиях не изменяется:

Δ

_-1

^K

[B

_T

]=

Δ

_-1

^K

[B

_T

].

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что элемент интегрирования Π_x,a𝑑θ_a является калибровочно-инвариантной величиной. В случае инфинитезимальных преобразований (которые только и нужны) это очевидно, так как

T(θ)T(θ')=T(θ+θ')

Забудем на время о существовании кварков, роль которых при калибровочных преобразованиях вполне ясна. Выражение (41.2) можно переписать в виде

Z=N

∫

(𝑑B)(𝑑θ)

∏

δ(u⋅B

_a

(x))

∏

δ(K

_b

[B

_T

)

Δ

_K

[B

_T

]e

^i𝓐_YM

,

(41.6)

где чисто янг-миллсовское действие

𝓐

_YM

=-

1

4

∫

𝑑

⁴

x

∑

G

_aμν

(x)G

_μν

^a

(x).

Предположим, что в выражении (41.6) производится замена переменной, вызванная калибровочным преобразованием вида

B(x)→B

_T0

(x),

где преобразование T₀ выбрано равным T^-1. При такой замене переменных получаем

Z=N

∫

(𝑑B)(𝑑θ)

Δ

_K

[B]

∏

δ(u⋅B

_T0a

(y))

∏

δ(K[B(y)]) e

^i𝓐_YM

.

Пусть поля B_u являются глюонными полями, удовлетворяющими условию (41.1). Поле B_T0 можно найти, производя калибровочное преобразование U(θ_u). Тогда имеем

δ(u⋅B

_T0

)=δ(u⋅B

_uU

),

и, таким образом, выполняется соотношение

∫

(𝑑θ)

∏

δ(u⋅B

_T0a

(y))=

∫

(𝑑θ)

∏

δ(-u⋅∂

^μ

θ

_ua

(y)),

которое не зависит от значений полей B и, следовательно, может быть включено в нормировочный множитель N. Для производящего функционала получаем

Z=N'

∫

(𝑑B)

Δ

_K

[B]

∏

δ(K[B]) e

^i𝓐_YM

.

(41.7)

Теперь необходимо устранить δ-функцию и вычислить множитель Δ_K. Для Устранения δ-функции выберем, например, лоренцеву калибровку (41.4); интегрируя выражение (41.7) по 𝑑φ с весом

exp

⎧

⎨

⎩

-iλ

2

∫

𝑑

⁴

x [φ

_a

(x)]

²

⎫

⎬

⎭

,

в левой части получаем производящий функционал Z, умноженный на не зависящий от полей B фактор

∫

(𝑑φ) exp

⎧

⎨

⎩

-iλ

2

∫

𝑑

⁴

x [φ

_a

(x)]

²

⎫

⎬

⎭

,

который снова можно включить в нормировочный множитель N', а в правой части интегрирование по полям 𝑑φ тривиально выполняется с помощью δ-функции. Таким образом, для производящего функционала получаем

Z=N''

∫

(𝑑B)

Δ

_K

[B] e

^{i(𝓐_YM+𝓐_GF)}

,

(41.8)

где фиксирующее калибровку действие имеет вид

𝓐

_GF

=

–λ

2

∫

𝑑

⁴

x [∂

_μ

B

_μ

^a

(x)]².

Обратимся к множителю Δ_K. Благодаря формуле (41.7) нам необходимы только такие функции B, описывающие глюонные поля, которые удовлетворяют условию (41.3). Для инфинитезимальных значений параметров θ калибровочного преобразования имеем K[B_T]=K[B]+(δK/δB)δB∼(δK/δB)δB, δB=B_T-B, так что

Δ

_-1

^K

[B]=

∫

(𝑑θ)

∏

δ

⎧

⎪

⎩

δ(∂B_a)

δB

_μ

^b

(∂

^μ

θ

_b

–g∑ƒ

_bcd

B

_μ

^a

θ

_c

)

⎫

⎪

⎭

.

Этой формуле можно придать более удобный вид, вводя ду́хи Фаддеева – Попова, представленные актикоммутирующими c -числовыми функциями ω и ω. Тогда, выделяя не зависящий от полей B и ω нормировочный множитель N, величину Δ_K можно представить в виде

Δ

_K

[B]

=

N

∫

(𝑑ω)(𝑑

ω

)

×

exp

⎧

⎨

⎩

–i

∫

𝑑

⁴

x𝑑

⁴

y

ω

_a

(y)

δ(∂B_a)

δB

_μ

^b

×

⎡

⎢

⎣

∂

^μ

ω

_b

(x)-g∑ƒ

_bcd

B

_μ

^d

ω

_c

(x)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

.

41.9

Доказательство этого выражения основано на формуле

∫

 

∏

ⁱ

𝑑c

_i

 

∏

^j

𝑑

c

_j

e

^{∑c_kA_kk'c_k'}

=(constant)det A,

которая справедлива^52а) для антикоммутирующих c-чисел c_j, и на том факте, что вследствие равенства

^52а) Для доказательства используем соотношение ∫

_N0

∏

ⁱ⁼¹ 𝑑c_i

_N0

∏

^j=1 𝑑c_j e^{∑c_kA_kk'c_k} = ∫

_N0

∏

ⁱ⁼¹ 𝑑c_i

_N0

∏

^j=1 𝑑c_j

_∞

∑

^N=0

⎧

⎨

⎩ ∑c_kc_k'A_kk'

⎫^N

⎬

⎭

1

N! . В силу правил интегрирования по фермионным переменным отличен от нуля только член с N=N₀ , поэтому получаем

(-1)^N₀

N₀! ∑sign(k₁,…,k_N0) sign(k'₁,…,k'_N0) A_k1k'1…A_kN0A_k'N0, где производится суммирование no всем возможным перестановкам индексов k₁,…,k_N0; k'₁,…,k'_N0, каждый из которых пробегает значения 1, 2,…, N₀. Это не что иное, как (-1)^N₀det(A/N₀!). Дополнительный множитель (-i) в экспоненте выражения (41.9) дает вклад только в коэффициент перед формулой; это означает, что фаза фермионного члена произвольна. Мы выберем ее так, чтобы она совладала с фазой члена, соответствующего обычным скалярным полям.

∫

𝑑x

₁

…𝑑x

_k

_k

∏

ⁱ⁼¹

δ(ƒ

_i

(x

₁

,…,x

_k

))

=

1

det(∂ƒ_i/∂x_j)

,

величина Δ_K представляет собой просто определитель (бесконечномерной) матрицы

∂

∂θ

⎧

⎨

⎩

δ(∂B

 

^a

)

δB

_μ

^b

⎧

⎩

∂

^μ

θ

_b

–g

∑

ƒ

_bcd

B

_μ

^d

θ

_c

⎫

⎭

⎫

⎬

⎭

Осталось сделать последний шаг, чтобы завершить наше рассмотрение. Функциональная производная, входящая в (41.9), имеет вид (см. приложение 3)

δ(∂B

 

^a

(x))

δB

_μ

^b

(y)

=δ

_ab

∂δ(x-y),

поэтому оператор дифференцирования ∂_μ можно перенести в левую часть уравнения и провести интегрирование по 𝑑⁴y. В итоге для производящего функционала получаем

Z=

N

∫

(𝑑B)(𝑑ω)(𝑑

ω

)

e

^{i(𝓐_YM+𝓐_GF}

+𝓐

_FP

),

(41.10а)

где действие, соответствующее ду́хам Фаддеева – Попова, имеет вид

𝓐

_FP

=

∫

𝑑

⁴

x

∑

(∂

_μ

ω

_a

(x))

⎡

⎣

δ

_ab

∂

^μ

–gƒ

_abc

B

_μ

^c

(x)

⎤

⎦

ω

_b

(x),

(41.10б)

что согласуется с результатом, полученным в § 5.

Чтобы получить функции Грина, необходимо ввести антикоммутирующие источники η_a,η_a; ξ_iƒ,ξ_iƒ для ду́хов ω_a,ω_a и кварков qⁱ_ƒ,qⁱ_ƒ соответственно и коммутирующие источники λ^μ_a для глюонных полей B^μ_a. Таким образом, нашей отправной точкой является функционал

Z[η,

η

;ξ,

ξ

;λ]

=

∫

(𝑑q)(𝑑

q

)

(𝑑ω)(𝑑

ω

)

(𝑑B)

×

exp i

∫

𝑑

⁴

x

⎧

⎨

⎩

ℒ

_ξ

^QCD

+ℒ

_λ

⎫

⎬

⎭

,

(41.11а)

где лагранжиан ℒ^ξ_QCD описывается формулой (5.11), а

ℒ

_λ

=

∑

⎧

⎨

⎩

η

_a

ω

_a

+

ω

_a

η

_a

+

ξ

_iƒ

q

_i

^ƒ

+

q

_i

^ƒ

ξ

_iƒ

+λ

_aμ

B

_μ

^a

⎫

⎬

⎭

.

(41.11б)

Формализм функциональных интегралов позволяет ввести чрезвычайно красивый метод, так называемый метод фоновых полей⁵³⁾, который обладает тем преимуществом, что эффективное действие, фигурирующее в этом методе (см. § 39), калибровочно-инвариантно . Это равносильно рассмотрению фиксирующего калибровку условия

⁵³⁾ Этот метод впервые был введен де Виттом и обобщен (в частности, на калибровочные теории) т’Хофтом.

K[B]=

∑

⎧

⎪

⎩

∂

_μ

B

_μ

^a

+g∑ƒ

_adc

b

_μ

^d

B

_cμ

⎫²

⎪

⎭

,

где b – классические «фоновые» поля, сдвигающие глюонные поля B→B+b, и вычислению функциональных производных по полям b. Подробное изложение и ссылки на литературу можно найти в работе [3].