Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 16 (всего у книги 17 страниц)

⟨0|±1⟩≈(constant)exp

⎧

⎩

–

2π

α_g

⎫

⎭

.

После проведения процедуры перенормировок константу связи α_g следует заменить бегущей константой связи, так что с точностью до логарифмических поправок выражение для амплитуды перехода принимает вид

⟨0|±1⟩≈

⎧

⎪

⎩

Λ²

Q²

⎫^(33-2n_ƒ)/3

⎪

⎭

.

(45.13)

Эта формула показывает, что при больших передаваемых импульсах Q² туннельные эффекты пренебрежимо малы, и состояние |0⟩ можно рассматривать как состояние истинного вакуума; при этом ошибка, вносимая выражением (45.13), оказывается много меньше, чем, например, эффекты от операторов твиста 4 или 6. В самом деле, оценки [31] показывают, что инстантонные поправки к процессам е⁺е^—-аннигиляции или глубоконеупругого рассеяния полностью пренебрежимы при Q²≥1 ГэВ². Таким образом, в случаях, когда инстантонные эффекты важны, вычисления в рамках теории возмущений неприменимы, а в случаях, когда можно использовать теорию возмущений, эффекты, обусловленные существованием инстантонов, оказываются ненаблюдаемыми. С этой точки зрения инстантоны похожи на мифическое животное – василиска, увидев которого, как гласит предание, человек умирает.

§ 46. Вопросы, не рассмотренные в книге

1. КХД на решетке

В принципе формализм интегралов по траекториям, по-видимому, осуществляет мечту теоретиков: сводит квантовую теорию поля к квадратурам. Кажется, что достаточно перейти от непрерывного пространства-времени к дискретной решетке с некоторым расстоянием δ между соседними узлами и размером N и проинтегрировать определенный на этой решетке производящий функционал. На практике ситуация сложнее. Явно можно выполнить только гауссово интегрирование или интегрирование по фермионным полям, поэтому приходится обращаться к численным методам. Возможно, это и объясняет, почему после работы Вильсона [269], опубликованной в 1975 г., и до последнего времени почти не было получено новых результатов.

Однако за последние два года ситуация резко изменилась. Не только получено подтверждение существования явления конфайнмента, но в результате прогресса, обусловленного введением на решетку фермионов, были вычислены с хорошей точностью (~30 %) различные фундаментальные величины (включая вакуумные средние ⟨G²⟩, ⟨qq⟩ и, в частности, значения m_ρ, m_p, ƒ_π). К сожалению, мы не можем подробно обсудить это направление в теории поля и, таким образом, опустим все волнующие результаты, достигнутые на этом пути. Заинтересованному читателю следует обратиться к работам [79, 164, 188, 197], где имеются ссылки на дальнейшую литературу.

2. 1/N-разложение

В квантовой хромодинамике число цветов кварков равно трем, но теория упрощается, если число цветов N устремить к бесконечности [250, 251]. К счастью, в этом пределе основные свойства теории сохраняются, а поправки O(1/N) малы. Основная проблема состоит в том, что никто не знает, как вычислить член даже нулевого порядка теории возмущений. Однако это не означает бесполезности данного подхода; он позволяет установить связь с так называемым топологическим разложением в адронной физике [68, 224], проливает некоторый свет на проблему U(1) и, возможно, может иметь отношение к проблеме конфайнмента. Можно также использовать 1/N-разложение для получения качественных оценок различных эффектов. Например, ожидается, что масса нуклона (скажем протона) равна NΛ, поэтому эффекты, связанные с массой мишени, имеют величину O(N²Λ²), в то время как эффекты, вызванные операторами высших твистов (твиста 4), имеют величину O(NΛ²). Следовательно, в ведущем порядке по 1/N последними поправками по сравнению с поправками на массу мишени можно пренебречь. Аналогично на качественном уровне можно понять вырождение по массам ρ– и ω-мезонов или отсутствие связанных состояний в спектре ππ– системы. Обзор этой проблемы и ссылки на литературу читатель найдет в работах [274, 275].

3. Модели мешков

Можно почти с уверенностью говорить, что в настоящее время большинство физиков рассматривают модель мешков как некоторое удобное при решении частных задач приближение к квантовой хромодинамике.

Идея модели мешков состоит в следующем: если кварки (и глюоны) удерживаются на некотором среднем расстоянии δ, то можно имитировать действие удерживающих сил, налагая граничные условия, заключающиеся в том, что кварковые q(x) и глюонные B(x) поля тождественно обращаются в нуль за пределами сферы радиуса δ. Остальные эффекты КХД можно рассматривать по теории возмущений.

Модель мешков хорошо зарекомендовала себя в различных феноменологических приложениях: не только при вычислении статических величин (масс и магнитных моментов различных адронов), но и при получении абсолютной нормировки структурных функций ƒ(x,Q²₀) [177]. Описание так называемой модели мешка MIT ссылки на дальнейшую литературу заинтересованный читатель найдет в обзоре [167].

Другой подход, связанный с моделью мешков, состоит в рассмотрении струн. В этой модели кварки и глюоны удерживаются не внутри мешка, а вдоль струны, существование которой связывается с успехами струнной динамики [144] (см. также [204]).

4. Инфракрасные свойства КХД

В то время как ультрафиолетовый предел квантовой хромодинамики, по-видимому, хорошо изучен, возможно так же хорошо (если даже не лучше), как ультрафиолетовый предел в квантовой электродинамике, очень немногое известно об инфракрасных свойствах этой теории. В рамках КХД нет ничего похожего на теорему Тирринга [245] или анализ Блоха – Нордсика [42], которые, по существу, и позволяют рассматривать в КХД эффекты, связанные с большими расстояниями, классически; результаты же, подобные теореме Ли-Ноенберга [191], обладают очень узкой применимостью^55а). Мы ограничимся ссылками лишь на работы [201, 277], где рассматриваются некоторые аспекты проблемы инфракрасных свойств КХД.

^55а) В самом депе, модели мешков или струн можно рассматривать как способы обойти проблему инфракрасных свойств КХД, тесно связанную с вопросом о конфайнменте.

5. Функциональные методы

Много лет назад Швингер и Дайсон получили систему функциональных уравнений, выражающих в замкнутом виде уравнения квантовой теории поля. (Эти уравнения можно найти в книгах [40, 45]). Хотя эти уравнения, конечно, нельзя решить точно, можно попытаться найти самосогласованные непертурбативные решения, совместимые с явлением конфайнмента. Даже после усечения уравнений это представляет собой трудную, хотя, возможно, и небезнадежную задачу [196].

6. Свободные кварки и глюоны

Доказать существование явления конфайнмента, по-видимому, очень сложно, возможно, потому, что оно не существует. Следует всегда помнить, что имеются серьезные кандидаты на роль свободных кварков [187]. Как следовало бы изменить КХД, чтобы решить этот вопрос и сохранить уже достигнутое? Схема, предложенная ранее Пати и Саламом, не согласуется с результатами современных экспериментов, главным образом вследствие целочисленного заряда кварков. Возможно, наиболее привлекательной является схема, предложенная в работе [93].

7. КХД при высокой температуре

В настоящей книге мы рассматривали квантовую хромодинамику только при нулевой температуре, т.е. мы не требовали, чтобы большое число кварков и глюонов было заключено внутри малого объема с высокой плотностью энергии. Кроме самостоятельного интереса, который представляет изучение КХД при конечной температуре, в космологии существуют ситуации (типа очень тяжелых звезд или Большого взрыва), где такое требование может оказаться необходимым. Более того, похожие ситуации, по-видимому, могут быть получены лабораторным путем в процессах столкновений тяжелых ионов. Заинтересованного читателя мы отсылаем к обзору [159].

8. Потенциальные модели

Важным вопросом, совершенно не затронутым в книге, является рассмотрение стимулированных квантовой хромодинамикой конституентных моделей адронов, хотя своих первых успехов кварковая модель добилась именно в этом направлении. Есть две причины, побудившие меня не включать в книгу такие модели. Во-первых, хотя КХД необходима для выяснения некоторых особенностей этих моделей, тем не менее при современном уровне развития теории трудно обосновать с какой-либо степенью строгости делаемые при этом допущения. Во-вторых, недавно вышла книга [123], посвященная именно этому кругу вопросов.

9. Поправки КХД к эпектрослабым процессам

Помимо того, что можно назвать "чистой" адронной физикой, КХД позволяет оценить поправки к электрослабым процессам, обусловленные сильными взаимодействиями. В известном смысле так же можно интерпретировать поправки КХД к чисто партонной картине е⁺е^--аннигиляции или глубоконеупругому рассеянию. Но теперь мы имеем в виду поправки к процессам типа нелептонных или полулеотонных распадов тяжелых кварков, включая (частичное) объяснение правила отбора ΔI=1/2, чистого механизма ГИМ или распада протона. Заинтересованный этим кругом вопросов читетель найдет дальнейшие сведения и соответствующие ссылки на литературу в обзорах [11,132].

Приложение А. Алгебра γ-матриц в D-мерном пространстве

Матрицы γ выбираются в виде квадратных матриц размерности 4. В D-мерном пространстве мы имеем набор γ-матриц

γ

⁰

,γ

¹

,…,γ

^D-1

и матрицу γ₅^55б). Они удовлетворяют антикоммутационным соотношениям

^55б) Дополнительные сведения о матрице γ₅ можно найти в § 7 и 33.

{γ

^μ

,γ

^ν

}=2g

^μν

, γ

₂

⁵

=1,

где

g

^μν

=0, μ≠ν, g

⁰⁰

=0, g

ⁱⁱ

=-1 for i=1,…,D-1.

_μν

=g

^μν

.

S

_μναβ

=g

_μν

g

_αβ

+

g

_μβgνα

–g

_μα

g

_νβ

, A

_μ

=g

_μν

A

^ν

,

A

=γ

_μ

A

^μ

.

Имеют место следующие полезные соотношения:

Tr γ

^μ

γ

^ν

=4g

^μν

,

Tr γ

₅

γ

^μ

γ

^ν

=0,

Tr γ

^μ

_(odd)

…

 

γ

^τ

=0,

Tr γ

₅

γ

^μ

_(odd)

…

 

γ

^τ

=0,

Tr γ

^μ

γ

^ν

γ

^α

γ

^β

=4

^μναβ

=4{g

^νν

g

^αβ

+g

^μβ

g

^να

–g

^μα

g

^νβ

};

a

a

=a²;

aba

=-a²

b

+2(a⋅b)

a

,

γ

_μ

γ

^μ

=D,

γ

_μ

γ

^α

γ

^μ

=(2-D)γ

^α

;

γ

_μ

γ

^α

γ

^μ

=-Dγ

₅

;

γ

^μ

γ

^α

γ

^β

γ

_μ

=4g

^αβ

+(D-4)γ

^α

γ

^β

,

γ

^μ

γ

^α

γ

^β

γ

^δ

γ

_μ

=-2γ

^δ

γ

^β

γ

^α

+(4-D)γ

^α

γ

^β

γ

^δ

,

где S_μναβ = g_μνg_αβ + g_μβg_να – g_μαg_νβ, A_μ=g_μνA^ν, A=γ_μA^μ. Для случая четырехмерного пространства D=4 матрица γ₅ определяется в виде γ₅=iγ⁰γ¹γ²γ³. Введя полностью антисимметричный тензор ε^μνρσ так, что

ε

⁰¹²³

=-1,

⎪

⎪

ε

₀₁₂₃

=+1,

а остальные компоненты получаются циклической перестановкой индексов, можно записать следующие соотношения:

γ

^μ

γ

^α

γ

^ν

=S

^μανβ

γ

_β

–iε

^μανβ

γ

_β

γ

₅

;

γ

₅

γ

^ν

γ

^ν

+γ

₅

g

^μν

+

1

2i

ε

^μναβ

γ

_α

γ

_β

.

Tr γ

₅

γ

^μ

γ

^ν

γ

^λ

γ

^σ

=iε

^μνλσ;

g

_αβ

ε

^αμρσ

ε

^βντλ

=-g

^μν

(g

^ρτ

g

^σλ

–g

^ρλ

g

^στ

)

–g

^μλ

(g

^ρν

g

^στ

–g

^ρτ

g

^σν

)

+g

^μτ

(g

^ρν

g

^σλ

–g

^ρλ

g

^ρλ

g

^σν

);

ε

^μναβ

ε

_ρσ

^αβ

=2(g

^νρ

g

^μσ

–g

^μρ

g

^νσ

).

Кроме того, справедливо равенство {γ^ν,γ₅}=0. В представлении Паули или Вейля для γ-матриц справедливы соотношения γ₂γ_μγ₂=-γ^*_μ и γ₀γ⁺_μγ₀=γ_μ, γ₀(iγ₅)⁰=iγ₅. Наконец, если w₁ и w₂ – спиноры, а Γ₁,…,Γ_n – любые матрицы из набора γ_μ, iγ₅ , то выполняется равенство

(

w

₁

Γ

₁

…Γ

_n

w

₂

)

^*

=

w

₂

Γ

_n

…Γ

₁

w

₁

.

Приложение Б. НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В пространстве размерности D справедливы формулы

∫

𝑑^Dk

(2π)^D

⋅

(k²)^r

(k²-R²)^m

=i

(-1)^r-m

(16π²)^D/4

⋅

Γ(r+D/2)Γ(m-r-D/2)

Γ(D/2)Γ(m)(R²)^m-r-D/2

;

∫

𝑑

^D

k

1

k²+i0

=0;

∫

𝑑

^D

k

δ(1-|

k

|)=

2π^D/2

Γ(D/2)

.

При интегрировании симметричных по индексам выражений следует воспользоваться равенствами

∫

𝑑

^D

k k

^μ

k

^ν

ƒ(k²)=

g^μν

D

∫

𝑑

^D

k k²ƒ(k²);

∫

𝑑

⁴

k k

^μ

k

^ν

k

^λ

k

^σ

ƒ(k²)=

g^μνg^λσ+g^μλg^νσ+g^μσg^νλ

D²+2D

∫

𝑑

^D

k k

⁴

ƒ(k²);

∫

𝑑

⁴

k k

^μ₁

…k

^μ_2n+1

ƒ(k²)≡0.

В пределе ε→0 справедливы разложения

Γ(1+ε)=1-γ

_E

ε+

_∞

∑

ⁿ⁼²

(-ε)ⁿ

n!

ζ(n), (R²)

^ε/2

=1+

ε

2

log R²+O(ε²);

здесь Γ – функции Эйлера, ζ – функция Римана, а константа Эйлера γ_E=0,5772. Формулы фейнмановской параметризации имеют вид

1

A^αB^β

=

Γ(α+β)

Γ(α)Γ(β)

∫

¹

 

₀

𝑑x

x^α-1(1-x)^β-1

{xA+(1-x)B}^α+β

,

1

A^αB^βC^γ

=

Γ(α+β+γ)

Γ(α)Γ(β)Γ(γ)

∫

¹

 

₀

𝑑x⋅

∫

¹

 

₀

𝑑y

u

_α-1

¹

u

_β-1

²

u

_γ-1

³

{u

₁

A+u

₂

B+u

₃

C}

_α+β+γ

 

,

u

₁

=xy, u

₂

=x(1-y), u

₃

=1-x.

1

A^αB^βC^γD^δ

=

Γ(α+β+γ+δ

Γ(α)Γ(β)Γ(γ)Γ(γ)

∫

¹

 

₀

𝑑x⋅²

∫

¹

 

₀

𝑑y⋅y

×

∫

¹

 

₀

𝑑z

u

_α-1

¹ u

_β-1

² u

_γ-1

³ u

_δ-1

⁴

u

₁

A+u

₂

B+u

₃

C+u

₄

D

_α+β+γ+δ

 

,

u

₁

=1-x, u

₂

=xyz, u

₃

=x(1-y), u

₄

=xy(1-z) и т.д.

В общем случае справедлива формула

1

A₁…A_n

=(n-1)!

∫

¹

 

₀

𝑑x

₁

…

∫

¹

 

₀

𝑑x

_n

δ

⎧

⎪

⎩

_n

∑

¹

x

_i

–1

⎫

⎪

⎭

1

(x₁A₁+…+x_nA_n)ⁿ

.

Более подробную сводку формул можно найти в обзоре [209].

Приведем значения некоторых определенных интегралов

∫

¹

 

₀

𝑑x log(1+x)=2log2-1

∫

¹

 

₀

𝑑x

log(1+x)

2

=

π²

12

.

Многие часто встречающиеся в приложениях интегралы можно вычислить, используя формулу Эйлера

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

(1-x)

^β

=

Γ(1+α)Γ(1+β)

Γ(2+α+β)

.

Например, дифференцированием получаем отсюда следующие результаты:

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

log x=

1

(α+1)²

;

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

(1-x)

^β

log x=[S

₁

(a)-S

₁

(1+α+β)]

Γ(1+α)Γ(1+β)

Γ(2+α+β)

,

∫

¹

 

₀

𝑑x

x^α-1

1-x

=-S

₁

(α),

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

log x log(1-x)=

s₁(1+α)

(1+α)²

+

S₂(1+α)

1+α

–

π²

6

⋅

1

1+α

;

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

log²x

1-x

=2ζ(3)-2s

₃

(α),

∫

¹

 

₀

𝑑x

x^α

1-x

log x log(1-x)=

π²

6

S

₁

(α)-S

₁

(α)S

₂

(α)-S

₃

(α)+ζ(3),

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

(1-x)

^β

log x log(1-x)

=

Γ(1+α)Γ(1+β)

Γ(2+α+β)

⎧

⎨

⎩

S

₂

(1+α+β)-

π²

6

+[S

₁

(α)-S

₁

(α+β+1)]

×

[S

₁

(β)-S

₁

(α+β+1)]

⎫

⎬

⎭

,

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

(1-x)

^β

log²x

=

Γ(1+α)Γ(1+β)

Γ(2+α+β)

{[S

₁

(α)-S

₁

(α+β+1)]²+S

₂

(α+β+1)-S

₂

(α)}

и т.д.

Здесь использованы обозначения

S

_l

(α)=ζ(l)-

_∞

∑

^k=1

[1/(k+α)

^l

], l>1; S

_l

(α)=

_α

∑

^j=1

(1/j

^l

),

где α – положительное целое число, а l может принимать любые значения. Заметим, что S₂(∞)=π²/6, S_l(∞)=ζ(l), где ζ – функция Римана. В случае l=1 приведенное выше выражение для функции можно представить в виде ряда

S

₁

(α)=α

_∞

∑

^k=1

[1/(k+α)k]=

_α

∑

^j=1

(1/j),

где α – целое положительное число. Функция S₁(α) представима в виде S₁(α)=ψ(α+1)+γ_E, где ψ(z)=𝑑log(Γ(z))/𝑑z. Сведения о специальных функциях Γ, ψ, ζ см. в книге [5].

Приложение В. Теоретико-групповые соотношения

Для группы SU(3) генераторы t^α определяются по формуле t^α=λ^α/2, где матрицы λ^α имеют вид

λ

^j

=

⎧

⎩

σ

^j

0

0

0

⎫

⎭

, j=1,2,3; λ

⁴

=

⎧

⎪

⎩

0

0

1

0

0

0

1

0

0

⎫

⎪

⎭

; λ

⁵

=

⎧

⎪

⎩

0

0

–i

0

0

0

i

0

0

⎫

⎪

⎭

;

λ

⁶

=

⎧

⎪

⎩

0

0

0

0

0

1

0

1

0

⎫

⎪

⎭

; λ

⁷

=

⎧

⎪

⎩

0

0

0

0

0

–i

0

i

0

⎫

⎪

⎭

; λ

⁸

=

1

√3

⎧

⎪

⎩

1

0

1

0

–2

⎫

⎪

⎭

;

σ

¹

=

⎧

⎩

0

1

1

0

⎫

⎭

, σ

²

=

⎧

⎩

0

–i

i

0

⎫

⎭

, σ

³

=

⎧

⎩

1

0

0

–1

⎫

⎭

.

Можно ввести матрицы C^a, матричными элементами которых являются структурные константы группы C^a_bc=-iƒ_abc=-iƒ^abc. Коммутационные соотношения для матриц C^a и t^a имеют вид

[t

^a

,t

^b

]=i

∑

ƒ

^abc

t

^c

, [C

^a

,C

^b

]=i

∑

ƒ

^abc

C

^c

,

а антикоммутатор генераторов t^a и t^b имеет вид

{t

^a

,t

^b

}=

∑

d

^abc

t

^c

+

1

3

δ

^ab

.

Структурные константы группы ƒ полностью антисимметричны по всем индексам, а структурные константы d_abc≡d^abc полностью симметричны по всем индексам. Ниже приводятся все отличные от нуля значения структурных констант ƒ и d:

1=ƒ

₁₂₃

=2ƒ

₁₄₇

=2ƒ

₂₄₆

=2ƒ

₂₅₇

=2ƒ

₃₄₅

–2ƒ

₁₅₆

=-2ƒ

₁₅₆

=-2ƒ

₃₆₇

=

2

√3

ƒ

₄₅₈

=

2

√3

ƒ

₆₇₈

;

1

√3

=d

₁₁₈

=d

₂₂₈

=d

₃₃₈

=-d

₈₈₈

,

-1

2√3

=d

₄₄₈

=d

₅₅₈

=d

₆₆₈

=d

₇₇₈

,

1

2

=d

₁₄₆

=d

₁₅₇

=d

₂₄₇

=d

₂₅₆

=d

₃₄₄

=d

₃₅₅

=-d

₃₆₆

=-d

₃₇₇

.

Для произвольной группы SU(N) инварианты C_A, C_F и T_F определяются формулами

δ

_ab

C

_A

=

Tr C

^a

C

^b

=

 

∑

^cc'

ƒ

^acc'

ƒ

^bcc'

,

δ

_ik

C

_F

=

⎧

⎪

⎩

 

∑

^a

t

^a

t

^a

⎫

⎪

⎭_ik

=

 

∑

^a,l

t

_a

^il

t

_a

^lk

,

δ

_ab

T

_F

=

Tr t

^a

t

^b

=

 

∑

^k,i

t

_a

^ik

t

_b

^ki

.

При этом

C

_A

=N, C

_F

=

N²-1

2N

, T

_F

=

1

2

.

В приложениях часто встречаются соотношение

Tr t

^a

t

^b

t

^c

=

i

4

ƒ

^abc

+

i

4

d

^abc

,

а также инварианты

 

∑

^abc

d

₂

^abc

=

40

3

,

 

∑

^abc

ƒ

₂

^abc

=24 ,

 

∑

^rka

ε

_irk

t

_a

^jr

t

_a

^kl

=-

2

3

ε

_ijl

.

Приложение Г. Фейнмановские правила диаграммной техники для КХД

Имеются следующие фейнмановские правила:

igγ

_μ

t

_a

^kj

-gƒ

^abc

[(p-q)

_ν

g

_λμ

+(q-k)

_λ

+(k-p)

_μ

g

_νλ

]

-igƒ²

 

∑

^e

{ƒ

^abe

ƒ

^cde

(g

_λν

g

_νσ

–g

_λσ

g

_μν

)

+

ƒ

^ace

ƒ

^bde

(g

_λμ

g

_νσ

–g

_λσ

g

_μν

)

+

ƒ

^ade

ƒ

^cbe

(g

_λν

g

_μσ

–g

_λμ

g

_σν

)}

-gƒ

^acb

p

_μ

i

p-m_j+i0

δ

_jk

i

–g^μν+ξk^μk^ν/(k²+i0)

k²+i0

δ

_ab

(лоренцева калибровка)

i

–g^μν+(n^μk^ν+n^νk^μ)/n⋅k-n²(k^μk^ν/n⋅k)

k²+i0

δ

_ab

(аксиальная калибровка)

i

k²+i0

δ

_ab

.

При вычислении диаграмм следует добавлять общий множитель (2π)⁴δ(P_i-P_ƒ), описывающий сохранение полного 4-импульса, и коэффициент (– 1) на каждую замкнутую фермионную петлю или петлю ду́хов. Статистические множители таковы:

1

2!

 для

1

3!

 для

Каждое интегрирование по петле содержит комбинацию

ν

_4-D

⁰

∫

𝑑

^D

k/(2π)

^D

≡

∫

𝑑

^d

k̂ .

Диаграммы с несвязанными графиками не рассматриваются. Читать диаграммы следует против направлений стрелок на ориентированных линиях. Для получения матричных элементов S-матрицы нужно добавить линии, отвечающие начальным и конечным частицам:

(2π)

^-3/2

u(p,σ)

(2π)

^-3/2

v

(p,σ)

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

^*

(2π)

^-3/2

u

(p,σ)

(2π)

^-3/2

v(p,σ)

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

^*

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

Спиноры и векторы поляризации предполагаются нормированными следующим образом:

 

∑

^σ

u(p,σ)

u

=

p

+m ,

 

∑

^λ

ε

^μ

(k,λ)

^*

ε

ν

(k,λ)=-g

^μν

(фейнмановская калибровка).

Эта сводка правил диаграммной техники отличается от правил, приведенных в книге [40], нормировкой спиноров

 

∑

^σ

u

_BD

u

_BD

=

p+m

2m

,

а также множителями (2π)^-3/2 вследствие разного определения амплитуд 𝓣 и 𝓣_BD

Приложение Д. Фейнмановские правила диаграммной техники для составных операторов

Введем обозначения: γ₊=1, γ_-=γ₅ и Δ – произвольный 4-вектор, удовлетворяющий условию Δ=0. Тогда фейнмановские правила диаграммной техники для составных операторов имеют вид

N=q(0)γ^μ₁…∂^μ_nγ_±q(0)

Δ(Δ⋅k)^k-1γ_±

N=G^μμ₁∂^μ₂…∂^μG

g_μν(Δ⋅k)ⁿk²Δ_μΔ_ν(Δ⋅k)^n-2

–(k_μΔ_ν+Δ_μk_ν)(Δ⋅k)^n-1

N=g

q

_j

(0)γ

^μ₁

…B

_μ

^a

t

_a

^jk

…γ

^μ_n

γ

_±

q

_k

(0)

gt

_a

^ij

Δ

^μ

Δ

_n-2

∑

^j=0

(Δ⋅p

₁

)

^j

(

Δ

⋅p

₂

)

^n-j-2

γ

_±

N=gG^μν₁∂^μ₂…B^μ_i…G

ig

3! ƒ_abc

⎧

⎨

⎩ Δ_ν

⎡

⎣ Δ_λk_μ(Δ⋅p)+p_λΔ_p(Δ⋅k) -g_μλ(Δ⋅p)(Δ⋅k)-Δ_kΔ_λ(p⋅k)

⎤

⎦ +

_n-2

∑

^j=1 (-1)^j(Δ⋅p)^j-1(Δ⋅k)^n-j-2 +

⎡

⎣ (g_μλΔ_ν-Δ_μg_νλ)(Δ⋅k) +Δ_λ(Δ_μk_ν-Δ_νk_μ)

⎤

⎦ (Δ⋅k)^n-2

⎫

⎬

⎭ + перестановки.

См. также работы [125,126].

Приложение Е. Некоторые сингулярные функции

Причинные функции Грина в координатном пространстве задаются формулами

Δ(x;m²)

=

∫

𝑑⁴k

(2π)⁴

e

^-ik⋅x

i

k²-m²+i0

,

D

_μν

^ξ

(x)

=

i

∫

𝑑⁴k

(2π)⁴

e

^-ik⋅x

–g^μν+ξk^μk^ν/(k²+i0)

k²+i0

,

S(x;m)

=

∫

𝑑⁴k

(2π)⁴

e

^-ik⋅x

k+m

k²-m²+i0

.

Иногда мы опускаем аргумент m из обозначений функций Δ и S. Эти же функции можно выразить через вакуумные средние от хронологических произведений:

⟨Tφ(x)φ(0)⟩

₀

Δ

(x;m);

⟨Tq

^j

(x)

q

k

(0)⟩

₀

=δ

^jk

S(x,m),

⟨TB

_μ

^a

(x)B

_ν

^b

(0)⟩

₀

=δ

_ab

D

_μν

^ξ

(x).

Характер функций Грина ясно представлен уравнениями (∂²_x+m²)iΔ(x-y)=δ(x-y) и т.д. Кроме того, справедливо соотношение

S(x,m)=(i∂+m)Δ(x,m)

На световом конусе справедливы разложения

Δ(x,m)²

 

≃

^x²→0

-1

4π²

⋅

1

x²-i0

+

im²θ(x²)

16π

+

m²

8π²

log

m|x²|^½

2

+…

S(x)

 

≃

^x²→0

2ix_μγ^μ

(2π)²(x²-i0)²

+…

и т.д. Дополнительные соотношения для функций Грина можно найти в книге [40]⁵⁶⁾. Формулы фурье-преобразований распределений приведены в книге [135]. В тексте использованы формулы

⁵⁶⁾Наши причинные функции отличаются от причинных функций, введенных в книге [40], множителем i: S=iS_BD, D=iD_BD и т.д.

∫

𝑑

⁴

x e

^-ik⋅x

1

x²±i0

=-4π²

i

k²i0

,

∫

𝑑

⁴

x e

^-ik⋅x

1

(x²±i0)²

=-π²i log(k²±i0)+ .

Одновременные коммутационные соотношения и коммутационные соотношения на световом конусе для фермионных операторов имеют вид

{q

_i

^α

(x),q

_k

^β

(x)}=0; δ(x

⁰

–y

⁰

){q

_i

^α

(x),

_k

^β

(y)

⁺

}=δ

_αβ

δ

_ik

δ(x-y),

{q

_α

(x),

q

_β

(0)}

 

≃

^x²→0

(

∂

–im)

_αβ

⎧

⎨

⎩

1

2π

ε(x

⁰

)δ(x

²

)

-

m

4π√x²

θ(x²)ε(x

²

)+…

⎫

⎬

⎭

.

Приложение Ж. Кинематика, сечения рассеяния и скорости распадов

Векторы состояния, описывающие частицу со спиральностью λ и импульсом p, нормированы следующим образом⁵⁷⁾:

⁵⁷⁾ При этом трансформационные свойства произвольного поля таковы: U(a)Φ(x)U^-1(a)=Φ(x+a), U(a)=e^iPa

⟨p',λ'|p,λ⟩=2p

⁰

δ

_λλ

δ(p

^⃗

–p

^⃗

'),

P

^μ

|p,λ⟩=p

^μ

|p,λ⟩.

Это соответствует плотности частиц на единицу объема

ρ(p)=

2p⁰

(2π)³

.

Амплитуда рассеяния 𝓣 связана с S-матрицей соотношением

S=1+i𝓣, ⟨ƒ|𝓣|i⟩=δ(P

_ƒ

–P

_i

)F(i→ƒ).

В случае, когда в начальном состоянии присутствуют две частицы с массами m₁ и m₁, сечение рассеяния имеет вид

𝑑σ(i→ƒ)=

2π

₂

 

λ

^½

(s,m

₂

¹

,m

₂

²

δ(P

_ƒ

–P

_i

)|F(i→ƒ)|²

𝑑

^⃗

p

 

^ƒ1

2p

₀

^ƒ1

…

𝑑

^⃗

p

 

^ƒn

2p

₀

^ƒn

где введены обозначения

λ(a,b,c)=a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc, s=P

₂

ⁱ

.

В случае p₁+p₂→p'₁+p'₂ приведенная выше формула принимает вид

𝑑σ(i→ƒ)

𝑑t

=

π

₃

 

λ(s,m

₂

¹

,m

₂

²

)

|F(i→ƒ)|²,

𝑑σ

𝑑Ω

⎪

⎪

⎪_em

=

_π²

^4s

⋅

_q'

^q

|F(i-ƒ)|²,

σ(i-all)

=

[4π²/λ

^½

(s,m

₂

¹

,m

₂

²

)]Im F(i→i).

Здесь использованы обозначения

t=(p

₂

–p'

₂

)², q=|⃗p

_{1 em}

|=

λ

^½

(s,m

₂

¹

,m

₂

²

)

2s

_½

 

,

q'=|⃗p'

_{1 em}

|=

λ

^½

(s,m'

₂

¹

,m'

₂

²

)

2s

_½

 

,

Ω

_em

≈(θ

_em

,φ

_em

), 𝑑

Ω

=𝑑cosθ𝑑φ

Аналогично скорость распада можно выразить в виде⁵⁸⁾

⁵⁸⁾ Все формулы справедливы как дпя нетождественных, так и для тождественных частиц. Но при вычислении полных ширин полученное выражение необходимо разделить на число тождественных перестановок. Например, если мы интегрируем по импульсам j тождественных бозонов или фермионов, то полученное выражение нужно разделить на j!.

𝑑Γ(i→ƒ)=

1

4πm₁

δ(P

_i

–P

_ƒ

)|F(i→ƒ)|²

𝑑⃗p

 

^ƒ1

2p

₀

^ƒ1

…

𝑑⃗p

 

^ƒn

2p

₀

^ƒn

, P

_i

=

⎧

⎪

⎩

m_i

⃗0

⎫

⎪

⎭

.

Всюду используются единицы, в которых ℏ=c=1. Приведем некоторые полезные формулы перехода к другим системам единиц:

1 МэВ^-1=1,973⋅10^-11см=6,582⋅10^-22с.

1 ГэВ^-2=0,3894 мбарн.

1 МэВ=1,783⋅10^-27 г= 1,602⋅10^-6эрг.

1 см=5,068⋅10¹⁰МэВ^-1, 1 с – 1,519⋅10²¹ МэВ^-1.

1 мбарн = 2,568 ГэВ^-2.

1 г = 5,610⋅10²⁶МэВ, 1 эрг = 6,242⋅10⁵ МэВ.