Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Текст добавлен: 20 марта 2017, 22:30

Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

Жанр:

Физика

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 17 страниц)

Назад к карточке книги

₁

…

[

ℒ

₀

(x)

]

…

^int

^ij

[

ℒ

₀

(x)

]

… ℒ

₀

(x)

₀

(x)

₀

(x)

⟩

_μ

(x)

_ν

(x)

;

^int

^1μ

^1ν

здесь символ [ℒ] означает, что член, заключенный в скобки, опущен. Записывая поля φ в виде φ_iμ = ε_iμδ(x-y_i), дифференцируя по переменным ε₁ и ε₂ и полагая ε₁ = ε₁ = 0, получаем уравнение Гелл-Манна – Лоу

⟨a|TJ

_μ

(x)J

_ν

(y)|b⟩

δΦ

_1μ

(x)δΦ

_2ν

(y)

⟨a|T exp i

∫

𝑑

⁴

{

ℒ

₀

^int

(z) +

∑

ⁱ

₀

^iλ

(z)Φ

_λ

ⁱ

(z)

}

|b⟩

_∞

∑

ⁿ⁼⁰

iⁿ

⟨a|

∫

⁴

₁

…d

⁴

Tℒ

₀

int

₁

)…

×ℒ

₀

^int

_0μ

(x)J

_0ν

(y)|b⟩ .

(2.4)

Для того чтобы приравнять правую часть (2.4) матричному элементу (2.2), использована формула (доказанная Боголюбовым и Ширковым [45], см. также § 39 и 42; определение функциональной производной дано в приложении 3)

δ²S_φ

δΦ_1μ(x) δΦ_2ν(y)

_{Φ = 0}

_μ

(x)J

_ν

(x) .

(2.5)

Рассмотрим вопрос о релятивистской инвариантности и унитарности S-матрицы. Если оператор U(a,Λ) осуществляет некоторое преобразование из группы Пуанкаре, то должно выполняться соотношение

U(a,Λ)SU

^-1

(a,Λ) = S ,

(2.6)

из которого следует, что S-матрица представляет собой релятивистски инвариантный оператор. S-матрица является также унитарным оператором:

⁺

= 1 .

(2.7)

Записав выражение для S-матрицы в виде

S = iΤ ,

где матричные элементы ⟨a|Τ|b⟩ представляют собой так называемую амплитуду перехода системы из состояния |a в состояние |b, получим из (2.7) соотношение для оператора Τ

⟨

⟩ = ½

∑

⟨

⟩⟨

⟩

^{all c}

(2.8)

(При выводе соотношения (2.8) предполагалась инвариантность S-матрицы по отношению к обращению времени.) При разложении левой и правой частей (2.6) и (2.8) по степеням константы связи g в каждом порядке теории возмущений возникают определенные соотношения. В силу линейности уравнение (2.6) сохраняет свой вид в каждом порядке разложения по константе связи g. Нелинейность же уравнения (2.8) приводит к смешиванию членов разного порядка малости по константе связи. Например, если написать

_∞

∑

^{n = 0}

ⁿ

то, ограничиваясь членами второго порядка малости по g, имеем

⟨

₂

⟩ = ½

∑

^{all c}

{

⟨

₀

⟩⟨

₂

⟩

+ ⟨

₂

⟩⟨

₀

⟩

+ ⟨

₁

⟩⟨

₁

⟩

}

(2.9)

Завершим краткий обзор основных вопросов теории поля введением редукционных соотношений. Рассмотрим амплитуду рассеяния, например для процесса a + b → a' + b', где a и a' – бозоны, описываемые полями Φ_a и Φ_a'. Амплитуду рассеяния можно записать в виде

⟨

a',b'

a,b

⟩ =

lim

⟨

a',b',t'

a,b,t

⟩ .

t'→+∞

t→-∞

Если через p_i обозначить импульс частицы i и использовать формулу (подробный вывод редукционных соотношений содержится, например, в книге Бьёркена и Дрелла [ 40])

2(2π)

^3/2

∫

⁺

)

lim

^⃗

^-ip_a⋅x

^⃡

∂

₀

⁺

(x) ,

t→-∞

то посыле некоторых вычислений можно получить редукционные соотношения типа

⟨

a',b'

a,b

⟩

∫

⁴

x e

^-ip_a⋅x

(2π)

^3/2

×(

∂

+ m

₂

) ⟨

a',b'

₊

(x)

⟩ .

Мы не будем выводить редукционных соотношений или выписывать их полный набор, который можно найти в книге [40], но приведем лишь несколько типичных примеров их использования. Если кроме бозона a «редуцировать» также бозон a', то получается соотношение

⟨

a',b'

a,b

⟩

–i

∫

⁴

∫

⁴

y e

^-ip⋅x

^ip⋅y

(2π)

^3/2

(2π)

^3/2

(

∂

₂

+ m

₂

)(

∂

₂

+ m

₂

)⟨

TΦ

(y)Φ

₊

(x)

⟩ .

^a'

В результате применения редукционных соотношений в конечном счете получаем фурье-образ от вакуумного среднего T-произведения четырех операторов полей

⟨

TΦ

(y)Φ

(z)Φ

₊

(x)Φ

₊

(w)

⟩ .

^a'

^b'

Обобщение этой процедуры на случай спинорных или векторных полей производится весьма просто. Например, заменяя скалярную частицу a на фермион с импульсом р_а и спином σ и обозначая соответствующее ему поле буквой ψ, получаем

⟨a',b'|S|(p

,σ),b⟩=

(2π)

^3/2

∫

⁴

⟨

a',b'

(x)

⟩(

^⃖

∂

+ m

)u(p,σ)

^-ip_a⋅x

Наконец, перейдем к теореме Вика. Выражения типа (2.1б) позволяют вычислить в каждом порядке теории возмущений элементы S-матрицы (или матричные элементы токов и гриновские функции). При этом используется теорема Вика. Рассмотрим хронологическое произведение двух свободных полей TΦ⁰₁ (x)₁Φ⁰₂ (x)₂. Поля Φ_i можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид

(x)

∫

^⃗

(2π)

^3/2

⁰

∑

{

^-ik⋅x

₊

(k,σ)a

₊

(k,σ) + e

^ik⋅x

(k,σ)a

₊

(k,σ)

} ,

^σ

где σ обозначает спиновое состояние, ξ_± – соответствующие волновые функции, а a_± и a⁺_± – операторы рождения и уничтожения частиц (+) и античастиц (-). Коммутационные соотношения между операторами (символ [ , ] для фермионов должен интерпретироваться как антикоммутатор) имеют вид

[

(k,σ),a

₊

(k',σ')

]

^±

2δ

_σσ'

⁰

δ(

^⃗

–

^⃗

) ,

[

₊

]

⁺

0 ;

они могут быть использованы для проверки того, что разность между хронологическим и нормальным произведениями операторов

TΦ

₀

)Φ

₀

) -

₀

)Φ

₀

)

: ≡

₀

)Φ

₀

)

представляет собой c-число, называемое сверткой. Отсюда видно, что свертка совпадает с вакуумным средним от T-произведения (пропагатором):

₀

)Φ

₀

)

⟨

TΦ

₀

)Φ

₀

)

⟩

≡

⟨

TΦ

₀

)Φ

₀

)

⟩

⁰

Повторяя эту процедуру многократно, скажем для выражения (2.1), получим, что хронологическое произведение Tℒ⁰_int…ℒ⁰_int можно записать в виде комбинации сверток, умноженных на нормально упорядоченные произведения операторов. Это утверждение и составляет содержание теоремы Вика. Матричные элементы от этих выражений легко вычисляются, и для каждого члена разложения S – матрицы по теории возмущений получается вполне определенный результат. Фейнмановские правила диаграммной техники автоматически учитывают все упомянутые выше требования и позволяют прямо по соответствующим фейнмановским графикам записать окончательный результат. Правила диаграммной техники для квантовой хромодинамики приведены в приложении Г (см. также § 42, в котором некоторые из них выводятся).

Глава II. КВАНТОВАЯ ХРОМОДИНАМИКА КАК ТЕОРИЯ ПОЛЯ

§ 3. Калибровочная инвариантность

Рассмотрим поля, введенные в гл. I при построении КХД, а именно цветовой триплет кварковых полей q¹(х) для кварка каждого аромата и октет глюонов В_а(х). Кварковые поля образуют фундаментальное представление группы SU(3), т.е. если U – унитарная унимодулярная матрица размерности 3×3, то поля q^j преобразуются по формуле

(x) →

∑

_jk

(x) .

Любую матрицу U группы SU(3) можно записать, исходя из восьми генераторов алгебры Ли t^a (матрицы t^a приведены в приложении В), в виде

exp

{

–ig

∑

}

где θ_а – параметры группы, а множитель g введен для удобства. Представляя триплет q^j в виде трехкомпонентного столбца, получаем следующую формулу преобразования:

q(x) → e^-ig∑θ_ata q(x) .

Для полей B рассмотрим присоединенное (размерности 8) представление группы SU(3). Генераторами группы SU(3) на этом представлении будут матрицы C^a, матричные элементы которых имеют вид C^a_bc = -iƒ_abc (значения констант ƒ_abc приведены в приложении В). Поля B преобразуются по формуле

B^μ(x) → e^-g∑θ_aCaB^μ

Если параметры группы θ_a представляют собой константы, не зависящие от пространственно-временной точки x, то лагранжиан квантовой хромодинамики, выписанный в гл. I, оказывается инвариантным по отношению к глобальным преобразованиям группы SU(3)^3a), Однако, как мы знаем из квантовой электродинамики (КЭД), эти преобразования полезно обобщить на случай, когда параметры группы θ_a(x) зависят от пространственно-временной точки x. При этом (локальные) калибровочные преобразования определяются в виде

^3a Преобразования называют гпобальными, если определяющие их параметры группы представляют собой константы, независящие от пространственно-временной точки x. – Прим. перев.

q(x)

→

^{-ig∑θ_a(x)ta}

(3.1а)

Аналогично обобщаются обычные преобразования КЭД для калибровочных полей:

_μ

(x)

→

^{-ig∑θ_a(x)Ca}

^μ

(x) – ∂

^μ

θ(x)

(3.1 б)

или в случае инфинитезимальных преобразований θ

(x)

→

(x)

–

∑

(x)

^jk

(x),

^a,k

(3.1 в)

_μ

(x)→B

_μ

(x)+g

∑

(x)B

_μ

–∂

_μ

(x).

^abc

^b,c

В дальнейшем будет предполагаться инвариантность лагранжиана КХД относительно преобразований (3.1) (в действительности лагранжиан (1.11) обладает этим свойством по построению). Это требование приводит к тому, что поля в лагранжиане появляются в строго определенных комбинациях. Из последующего рассмотрения станет ясно, что лагранжиан (1.11) является фактически наиболее общим лагранжианом, инвариантным по отношению к преобразованиям (3.1) и не содержащим констант размерности массы в отрицательной степени (ср. с § 38 и следующими за ним параграфами).

Рассмотрим, как при калибровочных преобразованиях преобразуются производные от полей, например производная ∂^μq(x). Из (3.1в) вытекает следующий закон преобразования производной:

∂

_μ

(x)→∂

_μ

(x)

∑

(x)∂

_μ

(x)

^jk

∑

(∂

_μ

(x))q

(x).

^jk

Мы видим, что она преобразуется иначе, чем сами поля. Требование инвариантности лагранжиана по отношению к калибровочным преобразованиям приводит к тому, что все производные от полей должны появляться только в ковариантных комбинациях:

_μ

(x)

≡

∑

{

∂

_μ

–ig

∑

_μ

(x)t

}

(x);

^jk

(3.2)

здесь D^μ – так называемая (калибровочная) ковариантная производная. Легко доказать ковариантный характер производной D^μ. С использованием матричных обозначений преобразование для ковариантной производной D^μq(x) имеет вид

_μ

q(x)

→

∂

_μ

(x)-ig

∑

(x)∂

_μ

q(x)

∑

(∂

_μ

(x))q(x)

–g

₂

∑

_μ

(x)

(x)q(x)

∑

_μ

q(x)

–ig

₂

∑

(x)B

_μ

(x)q(x)

^abc

∑

(∂

_μ

(x))t

q(x).

(3.3 a)

Учитывая равенства

t^at^b = t^bt^a + [t^a,t^b], [t^a,t^b] = i∑ƒ^abcc^c,

правую часть выражения (3.3a) запишем в виде

_μ

q(x)

– ig

∑

(x)D

_μ

q(x),

(3.3 б)

что и доказывает ковариантный характер преобразования производной D^μq(x). Аналогично коварианмый ротор поля B имеет вид⁵⁾

⁵ Очевидна аналогия тензора G^μν_a с тензором напряженности электромагнитного поля F^μν=∂^μA^ν – ∂^νA^μ

_μ

_ν

)

≡G

_μν

=∂

_μ

_ν

∑

_μ

_ν

^abc

(3.4)

Теперь можно записать лагранжиан (1.11) в явно калибровочно-инвариантной форме. Опуская индекс КХД, для лагранжиана ℒ получаем выражение

ℒ=

∑

{

(x)

q(x)-m

(x)q(x)

}

₁

(D×B)

⁴

(3.5)

Член с (D×B)² представляет собой сокращенную запись лагранжиана калибровочных янг-миллсовских полей:

(D×B)

₂

≡G

₂

∑

_μν

;

ℒ

≡

₁

(D×B)

₂

^aμν

^YM

⁴

Важность свойства калибровочной инвариантности заключается в следующем. Во-первых, как ясно из доказательства соотношения (3.3), оно требует универсальности константы взаимодействия, т.е. одна и та же константа связи g описывает взаимодействие кварков с глюонами и самодействие последних. Во-вторых, как показал т’Хофт [248], неабелева теория перенормируема только в том случае, если она калибровочно-инвариантна. Наконец, в-третьих, Коулмен и Гросс [73] доказали, что только неабелева теория может обладать свойством асимптотической свободы.

На первый взгляд кажется, что выражение (3.5) можно сформулировать на квантовом языке, непосредственно интерпретируя классические поля как квантовые. Однако из квантовой электродинамики известно, что это не так. Калибровочная инвариантность приводит к тому, что поля B определены не однозначно, так как можно выполнить преобразования типа преобразований (3.1), которые меняют вид коммутационных соотношений. Это происходит потому, что частицы, соответствующие полям B, обладая нулевой массой, имеют только две степени свободы, тогда как сами поля B^μ имеют четыре независимые компоненты. Для того чтобы выполнить квантование, нужно выбрать определенные представления каждого калибровочного класса (фиксировать калибровку), что явно нарушает калибровочную инвариантность теории. По сравнению с абелевыми теориями, в которых кванты калибровочного поля не взаимодействуют между собой, самодействие глюонов приводит к дополнительным трудностям. Так, например, лоренц-ковариантные калибровки требуют введения вспомогательных нефизических полей^5a) (ду́хов), которые восстанавливают калибровочную инвариантность и унитарность. С другой стороны, можно выбрать калибровки, свободные от ду́хов (аксиальные калибровки), но при этом явно нарушается лоренц-инвариантность теории.

^5a Специфические калибровки с духами можно построить и для абелевых теорий

Прежде чем рассматривать квантовую теорию, для полноты изложения выпишем уравнения движения для классических полей, соответствующие лагранжиану (3.5). Уравнения движения Эйлера – Лагранжа для поля Φ определяются из условия стационарности действия Α=∫d⁴xℒ(x), которое записывается в виде

∂

_μ

∂ℒ

;

∂(∂

_μ

Φ)

∂Φ

и, следовательно, в случае лагранжиана (3.5) приводит к следующим уравнениям движения для полей q и В:

(x)(i

^⃖

+m)=0 ,

–

m)q(x)

_μν

(x)

≡

∂

_μ

_μν

(x) + g

∑

(x)G

_μν

(x) = 0 .

^μ

^abc

^bμ

(3.6)

§ 4. Каноническое квантование, фиксация калибровки, ковариантные калибровки

Попытаемся проквантовать свободные глюонные поля. Лагранжиан (янг-миллсовский) для свободного глюонного поля имеет вид

ℒ

₀

= -

∑

_0μν

_0a

^YM

^μν

_0μν

= ∂

_μ

_0ν

– ∂

_ν

_0μ

;

(4.1)

здесь индекс 0 обозначает свободные поля. Выражение (4.1) аналогично лагранжиану, описывающему восемь невзаимодействующих электромагнитных полей. Оно инвариантно относительно свободных калибровочных преобразований:

_0μ

→ B

_0μ

– ∂

_μ

(4.2)

Рассмотрим проблемы и преимущества, связанные с калибровочной инвариантностью. В силу того что поля B определены неоднозначно, невозможно непосредственно проквантовать лагранжиан (4.1). В самом деле, предположим, что для этого применяется стандартная процедура канонического квантования. Определим импульсы, канонически сопряженные полям B⁰_a. Опуская индексы 0, обозначающие свободные поля, для импульсов π получаем выражения

_μ

(x) =

∂ℒ

_YM

= G

_μ0

∂(∂

₀

_aμ

)

(4.3)

из которых видно, что нулевые компоненты импульсов π⁰_a(x) тождественно равны нулю. Канонические коммутационные соотношения записываются в виде

[π

_μ

(x),B

_ν

(y)]δ(x

₀

– y

₀

) = -iδ

_μν

(x – y).

^ab

(4.4)

Нулевые компоненты полей B⁰_a(x) коммутируют со всеми операторами и, таким образом, являются c -числами.

В этом случае имеются две возможности. Первая состоит в выборе такой калибровки, в которой отсутствовали бы нефизические степени свободы. Но при этом явно нарушается лоренц-инвариантность. Вторая возможность заключается в том, чтобы все компоненты полей B^μ рассматривать единообразно. Поскольку при этом сохраняются нефизические степени свободы, возникает необходимость введения пространства с индефинитной метрикой. Отложим обсуждение физических калибровок до следующего параграфа и рассмотрим ковариантные калибровки.

Как известно из электродинамики (на данном уровне изложения различий между КХД и КЭД нет), нельзя наложить лоренцеву калибровку вида ∂_μB^μ_a = 0 и сохранить при этом ковариантные коммутационные соотношения. Поэтому приходится отказаться от рассмотрения соотношения ∂B = 0 как операторного уравнения. Введем пространство Гупты—Блейлера Χ_GB, в котором соотношение (4.4) принимается в приведенном выше виде. Покажем, что это приводит к возникновению в пространстве Χ_GB индефинитной метрики. Назовем физическими векторы, удовлетворяющие условию

⟨Φ

|∂

_μ

(x)|Φ

⟩=0 .

^ph

^μ

^ph

(4.5)

Если теперь приравнять друг другу векторы, различающиеся на вектор с нулевой нормой, т. е. принять

|Φ

_ph

⟩∼|Φ'

_ph

= |Φ

_ph

⟩+|Φ

⁽⁰⁾

⟩ ,

(4.6)

где ⟨Φ⁰|Φ⁰⟩ = 0, то мы получим пространство физических векторов ℒ.

Чтобы сохранить соотношение (4.4), необходимо модифицировать лагранжиан (4.1), добавив к нему член -(λ/2)∑_a(∂_μB^μ_a)² (фиксирующий калибровку). Теперь выражение для лагранжиана принимает вид

ℒ

∑

_μν

∑

(∂

_μ

)

^λYM

^aμν

^μ

(4.7)

Такая модификация не приведет к физическим следствиям, по крайней мере в случае свободных полей, так как матричные элементы добавленного члена по физическим векторам в силу условия (4.5) обращаются в нуль. Импульсы, канонически-сопряженные полям B, теперь имеют вид

_μ

(x) = G

_μ0

(x) – λg

_μ0

∂

_ν

(x) ,

^λa

^ν

(4.8)

и ни одна из их компонент не обращается в нуль. Следовательно, можно сохранить соотношение (4.4) без изменений. Но при этом возникает индефинитная метрика. Рассмотрим, например, соотношение (4.4) при μ = 0:

λ[∂

_μ

(x),B

_ν

(y)]δ(x

– y

)=iδ

(x-y) .

^μ

⁰

^ab

^0ν

⁴

(4.9)

Это соотношение оказывается знаконеопределенным. Чтобы убедиться в этом, перейдем в импульсное пространство. Положим калибровочный параметр λ = 1 и введем канонические тетрады ε^(p)(k), связанные с некоторым светоподобным вектором k:

₍₀₎

^μ

=δ

_μ0

;

_(i)

⁰

=0,

^⃗

⁽ⁱ⁾

⋅

^⃗

k=0,

i=1,2,

₍₃₎

^μ

⁰

_μ

–δ

_μ0

;

_(i)

_(j)μ

= -δ

, i,j = 1,2,3.

^μ

^ij

(4.10)

Компоненты ε⁽ⁱ⁾(i=1,2) соответствуют физическим частицам с нулевой массой, ε³ представляет собой продольную компоненту, а компонента ε⁰ соответствует объекту со спином нуль. Поля B можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид

_μ

(x)

(2π)

^3/2

∫

^⃗

⁰

∑

{

^-ik⋅x

^(ρ)μ

(k)a

_ρ

(b,k)

_ik⋅x

_(p)μ

(k)

₊

(b,k)

}

(4.11)

Используя соотношения (4.4), получаем следующие коммутационные соотношения для операторов a и a⁺:

(b,k),a

₊

(b',k')] = -g

₀

δ(

^⃗

k'),

^μ

^ν

^μν

^bb'

(4.12)

из которых видно, что вакуумное среднее ⟨0|a₀(k)a⁺₀(k)|0⟩ в рассматриваемой нами калибровке отрицательно.

Исходя из соотношений (4.12), можно вычислить пропагатор калибровочного поля B. Введя обозначение

⟨TB

_μ

(x)B

_ν

⟩

= D

_μν

(x),

⁰

^ab

глюонный пропагатор при произвольном значении параметра λ можно записать в виде

_μν

(x) = δ

∫

⁴

^-ik⋅x

–g

^μν

+(1-λ

^-1

^μ

^ν

/(k

+i0)

^ab

(2π)

⁴

+i0

(4.13 a)

Для вакуумного матричного элемента использовано сокращенное обозначение

⟨fg…h⟩

₀

≡⟨0|fg…h|0⟩,

которое будет неоднократно встречаться и в дальнейшем. Выражение для пропагатора D можно упростить, введя обозначение 1-1/λ=ξ. В импульсном пространстве выражение для пропагатора глюонного поля имеет вид

_μν

(k) = iδ

_ab

–g

^μν

+ξk

^μ

^ν

/(k

+i0)

^ab

+i0

(4.13 б)

Особенно простой является калибровка Ферми – Фейнмана, которая соответствует значению параметра ξ=0. Иногда оказывается удобной поперечная калибровка, или калибровка Ландау, отвечающая значению ξ=1.

В действительности для случая λ≠1 выражение (4.13) должно быть подучено несколько иным способом, так как для физических безмассовых глюонов член k^μk^ν/k² обращается в бесконечность. Эту трудность можно обойти, приписывая глюонам некоторую фиктивную массу M. Тогда в импульсном пространстве пропагатор описывается выражением

_μν

(k,M) =

–g

^μν

+(1-λ

^-1

^μ

^ν

/(k

–λ

^-1

+i0)

iδ

_ab

^ab

–M

+i0

из которого в пределе M→0 следует выражение (4.13).

В квантовой электродинамике фотоны не испытывают самодействия, поэтому в рамках этой теории использование ковариантных калибровок не сопряжено с дополнительными трудностями и проводится на описанном выше уровне. Но в случае квантовой хромодинамики самодействие глюонов приводит к дальнейшим усложнениям. Этому вопросу посвящен следующий параграф.

§ 5. Унитарность, лоренцевы калибровки, духи, физические калибровки

1. Ковариантные калибровки

Следует помнить, что присутствие в пространстве состояний, в котором определены поля, нефизических векторов может привести к нарушению соотношения унитарности. Условие (2.7) или (2.8), выражающее унитарность S-матрицы, справедливо только в пространстве физических состояний. Определяя проекторы на физические состояния P соотношениями

_GB

⁺

=P ,

(5.1)

Условия унитарности (2.7) или (2.8) можно записать во всем пространстве в виде

(PSP)(PSP)

⁺

= P.

(5.2)

Если лагранжиан эрмитов, то S-матрица унитарна в пространстве Χ_GB, поэтому условие (5.2) будет выполнено только в том случае, когда S-матрица коммутирует с оператором P. В описанных в предыдущем параграфе калибровках это соотношение справедливо для квантовой электродинамики и не справедливо для КХД, так как, за исключением случая g = 0, калибровочные преобразования в КХД приводят к самодействию глюонов. Это означает, что лагранжиан

ℒ

^ξ

∑

q – m

q} -

(D×B)

–

(∂B)

, ξ=1-1/λ ,

(5.3)

полученный добавлением к выражению (3.5) члена, фиксирующего калибровку, не полон, и его следует изменить.

Для того чтобы понять, какие члены необходимо еще ввести в лагранжиан (5.3), проследим, как нарушается соотношение (5.2) в частном случае калибровки Ферми – Фейнмана. Рассмотрим процесс рассеяния кварка и антикварка во втором порядке теории возмущений.

Фейнмановские диаграммы, дающие вклад в этот процесс, приведены на рис. 1. Вычисление диаграмм рис. 1, 6 и в несложно; трудности возникают лишь при обработке диаграммы рис. 1, а. Вычислим диаграмму рис. 1, а в пространстве размерности D (см. § 7), а затем перейдем к физическому пределу D→4. Соответствующая амплитуда (см. направления импульсов на рис. 1, а) имеет вид⁶⁾

⁶Диаграмма рис. 1, д, часто называемая глюонным «головастиком», не дает вклада в амплитуду рассеяния, так как в размерной регуляризации ∫d^Dk(k²+i0)^-1≡0 (см § 7).

Рис. 1. Диаграммы qq-рассеяния (а– в), глюонная петпя (г) и глюонный "головастик" (д).

₄

–g

∑

_μ

–ig

^μ'μ

_aa'μν

–ig

^ν'ν

_k'

_ν

_i'

_a'

δ(P

–P

(2π)

^tr

(5.4 а)

где

_μν

(q)

-ig

∑

^abc

^a'bc

∫

⋅

(2π)

(k+q)

^aa'

{[

–(2k+q)

_μ

+(k-q)

_μ

+(2q+k)

_μ

]

_aβ

_β

[

–(2k+q)

_ν

_aβ

+(k-q)

_β

_νa

+(2q+k)

_νβ

]}

(5.4 б)

Используя соотношение ∑ƒƒ=δ^aa'C_A (см. приложение В) и произведя стандартные выкладки, получаем для тензора Π^μν_aa' следующее выражение:

_μν

_aa'

32π

^aa'

{[

_ε

–

∫

₁

dx(11x

–11x+5)log(-x(1-x)q

)

]

^μν

⁰

[

_ε

∫

₁

dx(-10x

+10x+2)

⁰

log(-x(1-x)q

)

]

^μ

^ν

}

;

_ε

≡

+log 4π ,

ε = 4-D → 0 .

(5.5)

Оно расходится в пределе ε→0, но нас сейчас беспокоит не эта расходимость. Соотношение унитарности требует выполнения равенства Im Τ=(1/2)ΤΤ⁺. Но Im Τ получается из выражения (5.4) заменой тензора ∏ на его мнимую часть Im ∏, которая, согласно (5.5), имеет вид

Im Π

_μν

(q) =

_aa'

θ(q

)

{

–

^μν

^μ

^ν

}

^aa'

32π

(5.6)

и конечна даже при D = 4. Она должна быть равна величине

∑

⟨

|c,phys.⟩⟨c,phys.|

⁺

⟩ ,

^c,phys.

т.е. квадрату амплитуды процесса qq→BB с физическими глюонами BB (рис. 2). Используя правила Фейнмана, легко видеть, что выражение для такой амплитуды аналогично выражению для Im Τ c заменой мнимой части поляризационного оператора Im Π^aa_μν(q) на комбинацию

_aa'

∑

_μ

₁

₂

;η

₁

₂

)

_ν

₁

₂

;η

₁

₂

)

^η₁,η₂

^k₁+k₂=2

(5.7 a)

Рис. 2. Мнимая часть величины Τ.

где параметр η=± 1 обозначает физические значения спиральностей глюонов, а функции Α_μ имеют вид

^μ

[(k

+q)

_μ

–(q+k

)

_μ

+(k

–k

)

_μ

]

^β

^α

^β

^αβ

_α

,η

)ε

_β

,η

) .

(5.7 б)

Здесь ε_p – вектор поляризации испущенного физического глюона, заданный выражением

_α

(k,η)=

{ε

_(1)α

(k) + iηε

_(2)α

(k)} ,

√

содержащим тетрады ε⁽ⁱ⁾, определяемые аналогично выражениям (4.10). Для физического глюона выполняется условие поперечности k_αε^α_p(k,η) = 0, k² = 0, поэтому выражение (5.7б) можно записать в виде (напомним, что q = k₁ + k₂)

_μ

=[2k

_μ

–2k

+(k

–k

)

_μ

]ε

_α

,η

)ε

_β

,η

^1β

^α

^1α

^αβ

^β

Легко убедиться в справедливости равенства q_μΑ^μ = 0. Очевидно, что условию унитарности в пространстве состояний физических глюонов удовлетворить нельзя. В самом деле, из формулы (5.6) следует

_μν

(q) ≠ 0.

^μ

^aa'

Конечно, противоречие возникло из-за того, что лагранжиан переводит физические состояния в нефизические. На это впервые обратили внимание Де Витт [94] и Фейнман, решение проблемы для некоторых частных случаев было предложено Фейнманом [118], а для общего случая – Фаддеевым и Поповым [113]. Идея заключается в следующем. Нужно ввести дополнительные нефизические частицы (ду́хи), обращающие в нуль нефизические состояния, порождаемые лагранжианом ℒ^ξ_int. Таким образом, мы модифицируем лагранжиан ℒ^ξ, добавляя в него члены, отвечающие ду́хам, в результате чего полный лагранжиан ℒ^ξ_all принимает вид

ℒ

_ξ

=ℒ

_ξ

∑

(∂

(x))(δ

∂

_μ

–gƒ

_μ

(x))ω

(x) ,

^all

^μ

^ab

^abc

(5.8)

где лагранжиан ℒ^ξ определен формулой (5.3). Поля ω и ω, обладая нулевым спином, подчиняются статистике Ферми – Дирака^6a). Эти поля не появляются в начальных или конечных состояниях (по предположению они нефизические), поэтому несоответствие их спина и статистики не должно вызывать беспокойства.

^6a Иногда удобно, хотя и не обязательно, считать поля ω и ω взаимно сопряженными. Более подробно вопрос о ду́хах обсуждается в § 41, 42.

Рис. 3. Петля ду́хов.

Продолжим рассмотрение свойства унитарности S-матрицы, введя в лагранжиан член, описывающий вклад духов. Так как духи взаимодействуют лишь с глюонами, они изменяют только диаграмму рис. 1, а, которая приводила к нарушению унитарности. Выражение для тензора Π приобретает возникающую за счет ду́хов добавку, для которой после простых вычислений (рис. 3) получаем следующий результат:

_μν

^(Ghost)aa'

_aa'

∫

⋅

^μ

(k+q)

^ν

(2π)

(k+q)

_aa'

{[

_ε

–

∫

dx⋅x(1-x)log(-x(1-x)q

)

]

^μν

32π

₀

[

–

_ε

∫

dx⋅x(1-x)log(-x(1-x)q

)

]

^μ

^ν

}

₀

Суммируя вклады глюонов и духов и используя формулы интегрирования, приведенные в приложении Б, находим для поляризационного оператора Π окончательное выражение

_μν

=δ

_aa'

(-g

^μν

^μ

^ν

)

{

–

_ε

–

log(q

)

}

^(all)aa'

32π

(5.9)

которое, очевидно, удовлетворяет условию поперечности

_μ

μν

_ν

μν

= 0.

(all)aa'

(5.10)

Проверку унитарности мы оставляем читателю в качестве простого упражнения. Далее в тексте индекс all мы опускаем и рассматриваем лагранжиан КХД, записанный в ковариантной (лоренцевой) калибровке, т.е.

ℒ

_ξ

∑

{

q-m

}

(D×B)

₂

(∂B)

^QCD

∑

(∂

)(δ

∂

_μ

– gƒ

_μ

)ω

^μ

^ab

^abc

1-1/λ

(5.11)

Начиная со следующего раздела, в обозначении лагранжиана ℒ индекс КХД мы также будем опускать.

2. Физические калибровки

Появление ду́хов вызвано тем, что оператор проекции на физические состояния P не коммутирует с лагранжианом КХД, записанным в лоренцевой калибровке. Может оказаться, что такой проблемы не возникнет, если выбрать калибровку, в которой все глюонные состояния соответствуют физическим, так что все гильбертово пространство полей является физическим. Известно, что уже на уровне квантовой электродинамики невозможно одновременно удовлетворить условиям положительной энергии, локальности и явной лоренц-инвариантности. Поэтому возникает необходимость использования нековариантной калибровки. Одной из нековариантных калибровок является кулоновская калибровка⁸⁾, однако она тоже не свободна от ду́хов. Необходимость введения ду́хов исчезает, если потребовать выполнения соотношений

⁸ Более того, кулоновская калибровка вносит дополнительные усложнения. Формулировка КХД в кулоновской калибровке изложена в статье [69].

n⋅B=0,

≤0.

(5.12)

Случай пространственноподобного вектора n(n²<0) соответствует аксиальным калибровкам⁹⁾, а случай светоподобного вектора n(n²=0) – светоподобной калибровке¹⁰⁾. Так как вектор n является по отношению к задаче внешним его введение нарушает явную лоренц-инвариантность промежуточных вычислений, хотя, конечно, калибровочная инвариантность обеспечивает независимость окончательных результатов для физических величин от вектора n, а следовательно, и их лоренц-инвариантность.

⁹ Аксиальные калибровки обсуждаются в работе [185]. См. также цитируемую там литературу.

¹⁰ См., например, работу [247] и цитируемую там литературу.

Начнем с рассмотрения аксиальной калибровки. Лагранжиан, записанный в аксиальной калибровке, имеет вид

ℒ

∑

{

q – m

}

(D×B)

₂

–

(n⋅B)

₂

ⁿ

2β

(5.13)

В дальнейшем по параметру β подразумевается предельный переход β→0, так что условие (5.12) представляет собой операторное соотношение, выполненное на всем гильбертовом пространстве. Пропагатор, соответствующий лагранжиану (5.13), записывается в виде

–g

^μν

–k

^μ

^ν

+βk

)/(k⋅n)

+ (n

^μ

^ν

^μ

)(n⋅k)

^-1

;

+i0

(5.14)

в пределе β→0 он принимает вид

–g

^μν

–n

^μ

^ν

/(k⋅k)

) + (n

^μ

^ν

^μ

)/(k⋅n)

+i0

(5.15)

Обобщение теории на аксиальные калибровки нетривиально; детальное изложение этой процедуры заинтересованный читатель найдет в работе [185]. Все вычисления в аксиальных калибровках мы будем проводить только на однопетлевом уровне, на котором трудностей не возникает.

При рассмотрении светоподобных калибровок удобно ввести так называемые "нулевые" координаты, определяемые для любого вектора v в виде

^±

⁰

±v

⎧

⎩

v¹

v²

⎫

⎭

; v

^±

или v

ⁱ

(i=1,2).

Метрика определяется следующим образом:

_+-

_-+

=1,

₊₊

_–

=0,

_ij

=-δ

_ij

i,j=1,2.

Отметим, что выполняются соотношения

v⋅w=v

₊

–

Для светоподобного вектора u «нулевые» координаты можно выбрать в виде u=0, u_-=0, u₊=1. Тогда дополнительное условие u⋅B=0 можно записать в виде

(x)=0.

(5.16)

Пропагатор в светоподобной калибровке определяется соотношением

^μν

(k,u)

= i

–g

^μν

+(u

^μ

^ν

^μ

)/(u⋅k)

+i0

(5.17)

которое представляет собой частный случай формулы (5.15) с вектором n=u, u²=0. В нулевых координатах выражение (5.17) можно переписать в следующем виде:

^aβ

–g

^aβ

+(δ

^β

+ δ

^β

)/k

+i0

В качестве примера использования светоподобной калибровки рассмотрим глюонный пропагатор во втором порядке теории возмущений. В названной калибровке он имеет вид

_μν

l,ab

-ig

_ab

∫

⋅

(2π)

^2(k+q)2

[

–(2k+q)

^μ

^αβ