Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Текст добавлен: 20 марта 2017, 22:30

Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

Жанр:

Физика

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 17 страниц)

Назад к карточке книги

(9.5 6)

получим выражения для глюонного перенормировочного множителя Z_B и для комбинации Z_B и Z_λ. Рассмотрим пропагатор ду́хов^13b)

^13bВ дальнейшем везде, где это не вызвать недоразумений, индекс u мы будем опускать.

(p)=

∫

⁴

^-ip⋅x

⟨Tω(x)

(0)⟩

₀

(9.6 а)

Выбирая p=p̅ и задавая величину

(p̅),

(9.6 6)

фиксируем значение перенормировочного множителя ду́хов Z_ω. Рассмотрение любой из вершин qqВ, ВВВ, ВВВB или ωωqВ позволяет фиксировать зарядовый перенормировочный множитель Z_g. Выберем для этой цели первую из них. Если «усеченную» вершину V определить формулой

∫

⁴

^-ip₁⋅x

^-ip₂⋅x

⟨q

(y)B

(0)q̅

(x)⟩

^β

^μ

^α

⁰

∑

_ab

₂

–p

₁

_ki

₂

_il;b,ν

₁

₂

_lj

₁

^μν

^βα'

^Rξ;α'β'

^β'α

_il;b,ν

_ν

+…,

^Rξ;α'β'

^il

^α'β'

(9.7 a)

то можно определить вершину V при p̅²=-μ², μ²>0:

^Rξ

₁

₂

=(p

₁

–p

₂

)

=-μ

(9.7 б)

Как уже отмечалось, выполнение перенормировочной процедуры в значительной мере облегчается тем, что перенормированный лагранжиан ℒ^ξ_R можно подучить из «затравочного» лагранжиана ℒ^ξ_uD, проводя замену фигурирующих в нем полей по формулам (8.9). Для того чтобы вычислить любую функцию Грина, запишем ее в импульсном представлении и отсечем все внешние линии. При этом получим величину Γ(p₁,…p_N-1;m,g,λ), определяемую формулой

Γ(p

₁

,…p

_N-1

;m,g,λ)δ(∑p)

₁

)…K

)

∫

⁴

₁

…d

⁴

^{i∑x_k⋅p_k}

×⟨TΦ

₁

)…Φ

)⟩

₀

;

(9.8)

где K_k – обратные пропагаторы; для фермионных полей iK(p)=S^-1_R(p), для глюонных полей iK(p)=D^-1_R(p) и т.д.^13в). Вычислим неперенормированную функцию Грина

^13в Отсечение внешних линий устраняет связанные с ним полюса фейнмановских диаграмм. Так как пропагаторы S_R и D_R перенормированы, функция Грина содержит множитель Z^-½_Φ для каждой величины K_Φ, так что каждой полевой функции Φ возникает эффективный полевой множитель Z^½_Φ.

Γ_uD(p₁,…p_N-1;m,g,λ),

используя для этого лагранжиан ℒ^ξ_uD,int (выражение (9.2)). Тогда перенормированная функция Грина Γ_R получается из неперенормированной функции Грина Γ_uD:

₁

,…p

_N-1

;m,g,λ)

_-½

…Z

_-½

,…,p

m,Z

g,Z

_λ

λ).

^Φ₁

^Φ_N

^uD

^N-1

(9.9)

Это выражение приобретает более прозрачный смысл, если ввести следующие обозначения для затравочных параметров ¹⁴⁾.

¹⁴ Массы и капибровочный параметр иногда удобно рассматривать как некоторые константы связи.

_uqD

_mq

_uD

_λ

λ,

_uD

;

(9.10)

тогда выражение (9.9) принимает вид

₁

,…p

_N-1

;m,g,λ)

_-½

…Z

_-½

,…,p

_uD

,λ

_uD

^Φ₁

^Φ_N

^uD

^N-1

(9.11)

Для того чтобы проиллюстрировать, как работает описанная процедура, рассмотрим пропагатор кварка. Согласно общему рецепту, с учетом обозначения α_g≡g²/(4π) можно записать следующее соотношение между перенормированным и неперенормированным пропагаторами:

(p; g

, m

, λ

) = Z

_½

(p; Z

g, Z

m, Z

_λ

λ).

^uD

Все вычисления будут проводиться во втором порядке теории возмущений. Поэтому множители Z_g и Z_λ можно заменить на единицу, так как возникающие при этом поправки будут иметь более высокий порядок малости по константе связи α_g. Используя формулы {7.4), (7.5), получаем выражение для пропагатора кварка

(p; g,m,α)=Z

_-1

=iZ

_-1

1-C

_Dε

₂

)

(

– Z

m{1-C

_Dε

₂

)}

Как отмечалось выше, для того чтобы определить перенормировочный множитель Z, нужно задать значение кваркового пропагатора S_R при некотором заданном 4-импульсе p=p̅.. Потребуем, чтобы в этой точке перенормированный пропагатор S_R совпадал с пропагатором свободной частицы

(p̅; q,m,α) =

̅ – m

(9.12)

Таким образом, находим, что при р̅²=-μ² перенормировочный множитель Z_F имеет вид

≡

_ξ

(μ

)

^FD

–

{

(1-ξ)N

_ε

–1-

∫

dx[2(1-x)-ξ]

4π

₀

log

+x(1-x)μ

+ξ(μ

)

∫

}

⁰

₀

+μ

(9.13)

≡

(μ

)

1-C

{

_ε

–1-2

∫

dx(1+x)log

+x(1-x)μ

4π

₀

ξ(μ

)

∫

}

₀

+μ

(9.14)

Нужно подчеркнуть следующий важный факт: в то время как расходящаяся часть перенормировочного множителя Z_F зависит от калибровки, расходящаяся часть множителя Z_m калибровочно-независима, хотя в рамках данной схемы конечная часть перенормировочного множителя Z_m все еще зависит от калибровки. Калибровочная зависимость множителя Z_F означает, что можно выбрать такую калибровку, в которой этот множитель конечен. Из выражения (9.13) видно, что во втором порядке теории возмущений фермионный перенормировочный множитель Z_F конечен в калибровке Ландау, когда ξ=1^14a)

^14a Калибровка Ландау удобна а теории, описывающей базмассовые частицы. В этой калибровке на только перенормировочный множитель Z_F конечен, но и массовый оператор Σ⁽²⁾ равен нулю.

В квантовой электродинамике существует естественная перенормировочная схема; в ней электроны и фотоны выбираются на массовой поверхности (т.е. электронный пропагатор S задается в точке р̅²=m², а фотонный D – при q̅²=0). Поскольку в КХД, по-видимому, происходит удержание кварков и глюонов, в ней не существует столь же естественного способа выбора схемы перенормировки. Следовательно, имеется определенный произвол в выборе перенормировочной схемы который может быть использован для того, чтобы максимально упростить вычисления. Этим требованиям удовлетворяет схема минимального вычитания, к обсуждению которой мы переходим.

2. Схема минимального вычитания

Как заметил т’Хофт [249], простейший способ исключения расходимостей из функций Грина состоит в отбрасывании полюсов по параметру 1/ε, появляющихся в размерной регуляризации (минимальное вычитание MS). Впоследствии было показано [29], что эти полюса всегда появляются в комбинации

_ε

– γ

+ log4π.

(9.15)

Следовательно, если отбросить только член 2/ε, то остаются трансцендентные величины γ_E, log 4π. Напомним, что зти величины возникают в результате обобщения проводимых вычислений на случай пространства произвольной размерности D=4-ε, что находит свое отражение в членах вида

(4π)^ε/2Γ(ε/2)=N_ε+O(ε)

Кажется вполне естественным отбросить и эти трансцендентные слагаемые. Это требование приводит к модифицированной схеме минимального вычитания (в дальнейшем обозначаемой MS, в которой множитель N_ε исключается полностью¹⁵⁾. В рамках этой схемы находим следующие выражения для перенормировочных множителей:

¹⁵⁾ Схема MS может быть сведена к схеме MS заменой выражения d^Dk̂=ν^4-D₀ × d^Dk/(2π)^D на выражение d^Dk̂={ν^4-d₀/(2π)_D} / {(4π)^(4-D)/2Γ(3-D/2)}.

=1 – C

(1-ξ)N

_ε

4π

(9.16)

=1 – C

3α

_ε

4π

(9.17)

Мы будем пользоваться в основном схемой MS, поэтому черту над перенормировочными множителями Z, относящимися к этой схеме, в дальнейшем будем опускать. (В схеме MS множитель Z_m не зависит от калибровки. В двухпетлевом приближении это проверено в работе [242], но результат, по-видимому, справедлив во всех порядках теории возмущений вследствие калибровочной независимости массового члена mqq .) Из выражений (9.16) и (9.17) видно, что, определив коэффициент с выражением C=cN_ε можно написать

₍₁₎

= – C

(1-ξ) ,

(9.18)

₍₁₎

= – 3C

(9.19)

Эти вычисления были проведены во втором порядке теории возмущений ¹⁶⁾.

¹⁶⁾ Вычисления были проведены Нанолулосом и Россом [208]; Таррач [242] проверил их и исправил тривиальную ошибку, допущенную в оригинальной работе [208].

Вычислим теперь в схеме MS другие перенормировочные константы. Начнем с глюонного пропагатора. Поперечная часть глюонного пропагатора записывается в виде

_μν

(q,g

,λ

)

^utr;ab

–g

^μν

^μ

^ν

_ab

∑

–g

^μμ'

^μ'

_a'b'

^aa'

^μ'ν'

^b'b

–g

^ν'ν

^ν'

^ν

+ … .

(9.20)

В этом выражении во втором порядке теории возмущений не требуется проведения перенормировки константы связи, калибровочного параметра или массы.

Рис. 6. Глюонный пропагатор.

Часть поляризационного оператора Π, обусловленная вкладами ду́хов и глюонов (рис. 6, а), вычислена выше (выражение (5.9)^16a). Часть оператора Π, возникающая от вклада кварковой петли (рис. 6, б), для кварка каждого аромата ƒ записывается в виде

^16a) Выражение (5.9) получено без учета множителя ν^4-D₀. Если учесть его, то единственное изменение заключается в замене log(-q²) на log(-q²/ν²₀).

_μν

∑

∫

_4-D

Tr(

_ƒ

)γ

^μ

(

_ƒ

)γ

^ν

^ƒquark;ab

^ij

(2π)

⁰

–m

_ƒ

)[(k+q)-m

_ƒ

]

^ij

Вычисление этого выражения проводится стандартными методами. За исключением множителя Tr t^at^b, результат совпадает с хорошо известным из КЭД выражением для фотонного поляризационного оператора. Если через n_ƒ обозначить полное число ароматов кварков, то результат имеет вид

_μν

^{all quarks;ab}

_ab

–2T

(-g

^μν

^μ

^ν

)

16π

_nƒ

{

_ε

_ƒ

–4

∫

dx⋅x(1-x)

∑

log

_ƒ

–x(1-x)q

}

₀

^ƒ=1

(9.21)

Во втором порядке теории возмущении можно просуммировать все диаграммы рис. 6, в, где кружками обозначены петли кварков, плюонов или ду́хов. Выделяя из поляризационного оператора тензорную структуру вида

_μ'ν'

= -δ

_a'b'

(-g

^μ'ν'

^μ'

^ν'

)Π,

^a'b'

(9.22 а)

получаем аналог выражения (7.5)

_μν

q = iδ

–g

^μν

^μ

^ν

^{u tr;ab}

(1-Π)q

(9.22 б)

Введем запись

_div

которая означает, что коэффициенты при члене N_ε в выражениях для величин ƒ и g равны. Тогда перенормированный глюонный пропагатор D запишется в виде

_μν

_-1

_μν

^{R tr;ab}

^{u tr;ab}

Из уравнений (5.9), (9.20). и (9.21) следует равенство

1-Π

_div

{

10C

_ƒ

}

_ε

32π

Следовательно, в рамках схемы MS в калибровке Ферми – Фейнмана для перенормировочного множителя получаем выражение

=1+

{

10C

_ƒ

}

_ε

8π

(9.23)

В произвольной калибровке перенормировочный множитель Z_B был вычислен в работах [160, 218]. Соответствующий коэффициент C⁽¹⁾_Bξ равен

₍₁₎

{

10+3ξ-

_ƒ

}

^Bξ

(9.24)

Опуская вычисления, приведем лишь конечный результат для перенормировочного множителя Z_λ¹⁷⁾

¹⁷⁾ См., например, работу [222] и цитируемую там литературу. Тождества Славнова-Тейлора, доказанные в § 6, обеспечивают выполнение равенства Z_B=Z_λ во всех порядках теории возмущений

₍₁₎

^λξ

^Bξ

(9.25)

Следует отметить, что в калибровке Ландау параметр ξ в однопетлевом приближении не перенормируется. В действительности, как показано в § 6, тождества Славнова – Тейлора обеспечивают справедливость этого утверждения во всех порядках теории возмущений.

Рис. 7. Вершина кварк-глюонного взаимодействия.

В заключение этого параграфа вычислим перенормировочный множитель Z_g. Для этого используем вершину ggB. Выбирая обозначения 4-импульсов в соответствии с рис. 7, можно записать выражение для этой вершины во втором порядке теории возмущений в виде (ср. с (9.7))

_μ

=igγ

_μ

+iΓ

_(2)μ

^uij,a

^ij

^uij,a

(9.26 а)

где

_(2)μ

(p,p')={Γ

_(b)

+Γ

_(c)

}

_μ

^uij,a

(9.26 б)

Величины Γ^(b) и Γ^(c) обозначают вклады от диаграмм рис. 7, б и в соответственно. Диаграмма рис. 7, а приводит к первому члену igγt в формуле (9.26 а). Из рассмотренных выше примеров очевидно, что массы кварков не играют pоли в выражениях для перенормировочных множителей Z (за исключением, конечно, множителя Z_m), поэтому можно упростить вычисления, положив m=0. При этом следует учитывать только расходящиеся части вершин Γ. Тогда в калибровке Ферми – Фейнмана для рассматриваемой вершины имеем

iΓ

_(b)μ

^uij,a

_div

∫

k̂

γ^β[(2k-q)^μg_αβ-(k+q)_βg^μ_α+2(q-k)_αg^μ_β](p+k)γ^α

[(p+k)²+i0][(k-q)²+i0](k²+i0)

^ij

_div

igC

_μ

lim

^η→0

∫

k̂

2(2-D)/D-2

^ij

–iη)

_div

_ε

_ij

16π

(9.27 а)

Здесь использованы обозначения

k̂

≡

_4-D

(2π)

⁰

^ij

≡

-g

∑

_abc

]

_ij

^bca

^jl

^li

^ij

При выводе последнего выражения использовано свойство антисимметрии константы ƒ по отношению к перестановке индексов, благодаря которому можно заменить t^bt^c на коммутатор ½[t^b, t^с]. Аналогично получаем выражение для вклада, возникающего от диаграммы рис. 7, в:

iΓ

_(c)μ

^uij,a

_div

-i

∫

k̂

_β

(

)γ

^μ

(

)γ

_α

^αβ

_'a

[(p+k)

+i0][(p'+k)

+i0](k

+i0)

^ij

_div

_ε

^μ

_'a

16π

^ij

(9.27 б)

Здесь

_'a

^ij

∑

)

_ij

= g

∑

([t

)

_ij

+ g

(

∑

)

_ij

{

–

}

^ij

(9.27 в)

При выводе этого выражения использованы формулы приложения В. Таким образом, окончательное выражение для вершины Γ имеет вид

_(2)μ

^uij,a

_div

_ε

{

}

_μ

16π

^ij

(9.28)

В перенормировке вершины участвуют множители Z_g, Z_F и Z_B:

_μ

_-1

_-½

_μ

^Rij,a

^uij,a

(9.29)

Используя полученные выше выражения для перенормировочных множителей Z_F и Z_B и только что вычисленное значение расходящейся части вершины Γ⁽²⁾_u, получаем следующий результат для зарядового перенормировочного множителя:

=1-

{

11C

_ƒ

}

_ε

4π

(9.30)

Таким образом,

₍₁₎

= -

{

_ƒ

}

Интересно проследить за сокращением членов, пропорциональных множителю C_F. Такое сокращение обязательно должно иметь место в силу того, что зарядовый перенормировочный множитель Z_g можно вычислить в рамках чистой глюодинамики, не содержащей фермионов (см. ниже). Очевидно, что такое сокращение происходит благодаря калибровочной структуре теории, см. выражение (9.27в). В следующем порядке теории возмущений функция β вычислена в работах [64, 179]. Вычисления коэффициента c⁽¹⁾_g были проведены Гроссом и Вильчеком [160] и Полицером [218], которые вместо кварк-глюонной вершины q̅qB использовали трехглюонную вершину. Такое вычисление связано с рассмотрением диаграмм рис. 8. Для этих же целей можно использовать вершину взаимодействия глюонов и ду́хов ωωB. Конечно, все способы рассмотрения приводят к одному и тому же результату, что является следствием калибровочной инвариантности теории.

Рис. 8. Трехглюонная вершина.

Следует отметить, что во всех порядках теории возмущений коэффициенты c⁽ⁿ⁾_g, вычисленные в схеме MS , калибровочно-инвариантны [65].

§10. Глобальные симметрии лагранжиана КХД; сохраняющиеся токи

В этом параграфе мы рассмотрим глобальные симметрии лагранжиана КХД. Поскольку процедура перенормировок не меняет структуры лагранжиана, можно пренебречь различием между затравочным и перенормированным лагранжианами.

Очевидно, что лагранжиан инвариантен по отношению к преобразованиям из группы Пуанкаре x→Λx+a. Токи, соответствующие лоренцевым преобразованиям Λ (являющимся генераторами полного спина системы), для нас не представляют большого интереса. Согласно теореме Нётер, инвариантность лагранжиана относительно пространственно-временных сдвигов приводит к следующему выражению для тензора энергии-импульса:

^μν

∑

ⁱ

∂ℒ

∂(∂

_μ

)

∂

^ν

–g

^μν

ℒ ,

(10.1)

где суммирование по i проводится по всем полям, фигурирующим в лагранжиане КХД. Из тензора энергии-импульса можно построить токи, удовлетворяющие условию сохранения

∂_νΘ^μν = 0,

и соответствующие этим токам сохраняющиеся "заряды", представляющие собой компоненты 4-импульса

^μ

∫

^⃗

xΘ

^0μ

(x)

Явное выражение для тензора энергии-импульса в квантовой хромодинамике имеет вид^17a)

^17a) При квантовании теории произведение классических полей следует заменить на нормально упорядоченное произведение. Обсуждение вопроса о неоднозначности определения тензора энергии-импульса см. в работах [60, 74].

Тензор энергии-импульса определяется неоднозначно. В действительности из выражения (10.1) калибровочно-инвариантного выражения для тензора энергии-импульса получить не удается. Выражение же (10.2) возникает при замене обычных производных на ковариантные. Или, иначе, калибровочно-инвариантное выражение для тензора энергии-импульса можно получить из выражения (10.1), производя калибровочные преобразования одновременно с пространственно-временными трансляциями x^μ→x^μ+ε^μ. Например, если записать преобразование трансляции для глюонного поля B в виде B^μ_a→B^μ_a + (ε_α∂^αB^μ_a ≡ D^με_αB^α_a + ε_αG^αμ_a), то первое слагаемое в скобках можно устранить калибровочным преобразованием, так что мы получим B^μ_a→B^μ_a + G^αμ_a .

^μν

∑

^μ

^ν

q – g

^μν

∑

q + g

^μν

∑

_αβ

^μα

^νβ

+ ¼g

^μνG2

члены, фиксирующие калибровку + вклад ду́хов.

(10.2)

Далее, существуют токи и заряды, связанные с вращениями в цветовом пространстве. Вывод формул для сохраняющихся токов, отвечающих глобальной внутренней симметрии лагранжиана КХД, мы оставляем читателю в качестве упражнения. Этот вывод представляет собой частный случай цветовых калибровочных преобразований (с постоянными калибровочными параметрами) и приводит к набору токов, не связанных с взаимодействием кварков и глюонов.

Если массы всех кварков равны нулю, то лагранжиан ℒ инвариантен относительно преобразований вида

_ƒ

→

_nƒ

∑

^f'=1

_ƒƒ'

_ƒ'

_ƒ

→

_nƒ

∑

^f'=1

_ƒƒ'

₅

_ƒ'

(10.3)

при условии, что матрицы U и V представляют собой унитарные матрицы размерности n_ƒ×n_ƒ. Отсюда следует, что токи

_μ

^qq'

(x)=q̅(x)γ

^μ

q'(x) ,

_μ

^qq'

(x)=q̅(x)γ

^μ

₅

q'(x)

(10.4)

сохраняются каждый в отдельности. Если теперь в лагранжиане ℒ учесть массовые члены, то сохраняется только диагональный ток V^μ_qq; остальные токи при этом являются квазисохраняющимися, т.е. их дивергенции пропорциональны массам кварков. Вычисление дивергенций этих токов не представляет большой сложности; поскольку преобразования (10.3) коммутируют с членами лагранжиана ℒ, описывающими взаимодействие кварков и глюонов, вычисления можно проводить в терминах свободных полей. В этом случае использование уравнения Дирака idq=m_qq приводит к следующим выражениям:

∂

_μ

^qq'

=i(m

–m

_q'

)

q' ;

∂

_μ

^qq'

=i(m

–m

_q'

)

₅

q' .

(10.5)

Однако имеется одна тонкость, касающаяся расходимости аксиальных токов. Выражение (10.5) справедливо в случае недиагональных переходов (q≠q'); если же начальный и конечный кварки совпадают (q=q' ), то его следует заменить следующим выражением для дивергенции аксиального тока:

∂

_μ

^qq

=i(m

)q̅(x)γ

₅

q(x)+

16π

^μνρσ

_μν

(x)G

_ρσ

(x).

(10.6)

Это так называемая треугольная аномалия Адлера – Белла – Джакива, которая будет рассмотрена в § 33, 37 и 38.

Также легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для аксиальных A или векторных V токов и полей. Используя преобразования (10.3), для свободных полей получаем

δ(x

⁰

–y

⁰

)

[

₀

^qq'

(x),q''(y)]=-δ(x-y)δ

_qq''

q'(x)

δ(x

⁰

–y

⁰

)

[

₀

^qq'

(x),q''(y)]=-δ(x-y)δ

_qq''

₅

q'(x)

и т.д.

(10.7)

Векторные и аксиальные токи коммутируют с полями глюонов и ду́хов. Одновременные коммутационные соотношения между аксиальными и векторными токами, построенными из свободных полей, проще всего записать, введя матрицы Гелл-Манна λ^α, действующие в цветовом пространстве (см. приложение В). Если рассматривать кварки трех ароматов (ƒ= 1,2,3) и определить векторные и аксиальные токи в виде

_μ

^α

(x)=

∑

^ƒƒ'

_ƒ

(x)

_α

^ƒƒ'

^μ

_f'

(x) ,

_μ

^α

(x)=

∑

^ƒƒ'

_ƒ

(x)

_α

^ƒƒ'

^μ

₅

_f'

(x) ,

(10.8)

то возникают следующие коммутационные соотношения:

δ(x

⁰

–y

⁰

)[V

₀

^α

(x),V

_μ

^β

(y)]=2iδ(x-y)Σƒ

_αβδ

_δ

^δ

(x) ,

δ(x

⁰

–y

⁰

)[V

₀

^α

(x),A

_μ

^β

(y)]=2iδ(x-y)Σƒ

_αβδ

_δ

^δ

(x) ,

δ(x

⁰

–y

⁰

)[A

₀

^α

(x),A

_μ

^β

(y)]=2iδ(x-y)Σƒ

_αβδ

_δ

^δ

(x) и т.д.

(10.9)

Соотношения (10.7) и (10.9) получены для токов, составленных из свободных кварковых полей. Однако благодаря наличию δ-функции в правых частях (10.7) и (10.9) они эффективны только для малых расстояний; следовательно, в квантовой хромодинамике из-за свойства асимптотической свободы они остаются справедливыми в таком виде даже при учете взаимодействий между полями кварков и глюонов.

Также, легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для сохраняющихся или квазисохраняющихся токов с гамильтонианом (или лагранжианом). Если ток J^μ сохраняется, то соответствующий ему заряд Q_J имеет вид

∫

^⃗

⁰

(t,

^⃗

t=x

⁰

Он является интегралом движения и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом:

(t),ℋ(t,

^⃗

y)]=0.

Здесь ℋ – гамильтониан (плотность функции Гамильтона системы); он связан с тензором энергии-импульса соотношением ℋ=Θ⁰⁰. Обозначим массовый член, входящий в гамильтониан ℋ, через ℋ':

ℋ'=

∑

Тогда, если ток J является квазисохраняющимся, то справедливо соотношение

(t),ℋ'(t,

^⃗

y)]=i∂

_μ

^μ

(t,

^⃗

y).

Конечно, заряд Q_J по-прежнему коммутирует с остальными членами гамильтониана ℋ.