355 500 произведений, 25 200 авторов.

Электронная библиотека книг » Франсиско Индурайн » Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов » Текст книги (страница 4)
Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
  • Текст добавлен: 20 марта 2017, 22:30

Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"


Автор книги: Франсиско Индурайн


Жанр:

   

Физика


сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 17 страниц)

(9.5 6)

получим выражения для глюонного перенормировочного множителя ZB и для комбинации ZB и Zλ. Рассмотрим пропагатор ду́хов13b)

13bВ дальнейшем везде, где это не вызвать недоразумений, индекс u мы будем опускать.

G

R

(p)=

d

4

xe

-ip⋅x

⟨Tω(x)

ω

(0)⟩

0

.

(9.6 а)

Выбирая p=p̅ и задавая величину

G

R

(p̅),

(9.6 6)

фиксируем значение перенормировочного множителя ду́хов Zω. Рассмотрение любой из вершин qqВ, ВВВ, ВВВB или ωωqВ позволяет фиксировать зарядовый перенормировочный множитель Zg. Выберем для этой цели первую из них. Если «усеченную» вершину V определить формулой

d

4

xd

4

ye

-ip1⋅x

e

-ip2⋅x

⟨q

k

(y)B

a

(0)q̅

j

(x)⟩

 

β

μ

α

0

=

D

ab

(p

2

–p

1

)S

ki

(p

2

)V

il;b,ν

(p

1

,p

2

)S

lj

(p

1

),

μν

βα'

Rξ;α'β'

β'α

V

il;b,ν

it

b

γ

ν

+…,

Rξ;α'β'

il

α'β'

(9.7 a)

то можно определить вершину V при p̅2=-μ2, μ2>0:

V

 

 

p

2

1

=p

2

2

=(p

1

–p

2

)

2

=-μ

2

(9.7 б)

Как уже отмечалось, выполнение перенормировочной процедуры в значительной мере облегчается тем, что перенормированный лагранжиан ℒξR можно подучить из «затравочного» лагранжиана ℒξuD, проводя замену фигурирующих в нем полей по формулам (8.9). Для того чтобы вычислить любую функцию Грина, запишем ее в импульсном представлении и отсечем все внешние линии. При этом получим величину Γ(p1,…pN-1;m,g,λ), определяемую формулой

Γ(p

1

,…p

N-1

;m,g,λ)δ(∑p)

=K

1

(p

1

)…K

N

(p

N

)

d

4

x

1

…d

4

x

N

e

i∑xk⋅pk

×⟨TΦ

1

(x

1

)…Φ

N

(x

N

)⟩

0

;

(9.8)

где Kk – обратные пропагаторы; для фермионных полей iK(p)=S-1R(p), для глюонных полей iK(p)=D-1R(p) и т.д.13в). Вычислим неперенормированную функцию Грина

13в Отсечение внешних линий устраняет связанные с ним полюса фейнмановских диаграмм. Так как пропагаторы SR и DR перенормированы, функция Грина содержит множитель ZΦ для каждой величины KΦ, так что каждой полевой функции Φ возникает эффективный полевой множитель Z½Φ.

ΓuD(p1,…pN-1;m,g,λ),

используя для этого лагранжиан ℒξuD,int (выражение (9.2)). Тогда перенормированная функция Грина ΓR получается из неперенормированной функции Грина ΓuD:

Γ

R

(p

1

,…p

N-1

;m,g,λ)

=Z

…Z

Γ

 

(p

 

,…,p

 

;Z

m

m,Z

g

g,Z

λ

λ).

Φ1

ΦN

uD

1

N-1

(9.9)

Это выражение приобретает более прозрачный смысл, если ввести следующие обозначения для затравочных параметров 14).

14 Массы и капибровочный параметр иногда удобно рассматривать как некоторые константы связи.

m

uqD

=Z

mq

m

q

,

λ

uD

=Z

λ

λ,

g

uD

=Z

g

;

(9.10)

тогда выражение (9.9) принимает вид

Γ

R

(p

1

,…p

N-1

;m,g,λ)

=Z

…Z

Γ

 

(p

 

,…,p

 

;m

uD

,g

uD

uD

).

Φ1

ΦN

uD

1

N-1

(9.11)

Для того чтобы проиллюстрировать, как работает описанная процедура, рассмотрим пропагатор кварка. Согласно общему рецепту, с учетом обозначения αg≡g2/(4π) можно записать следующее соотношение между перенормированным и неперенормированным пропагаторами:

S

R

(p; g

R

, m

R

, λ

R

) = Z

½

Z

½

S

 

(p; Z

g

g, Z

m

m, Z

λ

λ).

F

F

uD

Все вычисления будут проводиться во втором порядке теории возмущений. Поэтому множители Zg и Zλ можно заменить на единицу, так как возникающие при этом поправки будут иметь более высокий порядок малости по константе связи αg. Используя формулы {7.4), (7.5), получаем выражение для пропагатора кварка

S

R

(p; g,m,α)=Z

-1

i

 =iZ

-1

1-C

F

g

2

A

(p

2

)

.

F

(

p

– Z

m

m)

F

p

– Z

m

m{1-C

F

g

2

B

(p

2

)}

Как отмечалось выше, для того чтобы определить перенормировочный множитель Z, нужно задать значение кваркового пропагатора SR при некотором заданном 4-импульсе p=p̅.. Потребуем, чтобы в этой точке перенормированный пропагатор SR совпадал с пропагатором свободной частицы

S

 

(p̅; q,m,α) =

i

.

R

p

̅ – m

(9.12)

Таким образом, находим, что при р̅2=-μ2 перенормировочный множитель ZF имеет вид

Z

F

Z

ξ

2

,m

2

)

 

FD

=

1

 

 

C

F

α

g

{

(1-ξ)N

ε

–1-

1

dx[2(1-x)-ξ]

0

×

log

xm

2

+x(1-x)μ

2

+ξ(μ

2

+m

2

)

1

dx

x

}

,

ν

2

0

0

m

2

2

x

(9.13)

Z

m

Z

m

2

,m

2

)

=

1-C

F

α

g

{

3N

ε

–1-2

1

dx(1+x)log

xm

2

+x(1-x)μ

2

0

ν

2

0

+

ξ(μ

2

+m

2

)

1

dx

x

}

.

0

m

2

2

x

(9.14)

Нужно подчеркнуть следующий важный факт: в то время как расходящаяся часть перенормировочного множителя ZF зависит от калибровки, расходящаяся часть множителя Zm калибровочно-независима, хотя в рамках данной схемы конечная часть перенормировочного множителя Zm все еще зависит от калибровки. Калибровочная зависимость множителя ZF означает, что можно выбрать такую калибровку, в которой этот множитель конечен. Из выражения (9.13) видно, что во втором порядке теории возмущений фермионный перенормировочный множитель ZF конечен в калибровке Ландау, когда ξ=114a)

14a Калибровка Ландау удобна а теории, описывающей базмассовые частицы. В этой калибровке на только перенормировочный множитель ZF конечен, но и массовый оператор Σ(2) равен нулю.

В квантовой электродинамике существует естественная перенормировочная схема; в ней электроны и фотоны выбираются на массовой поверхности (т.е. электронный пропагатор S задается в точке р̅2=m2, а фотонный D – при q̅2=0). Поскольку в КХД, по-видимому, происходит удержание кварков и глюонов, в ней не существует столь же естественного способа выбора схемы перенормировки. Следовательно, имеется определенный произвол в выборе перенормировочной схемы который может быть использован для того, чтобы максимально упростить вычисления. Этим требованиям удовлетворяет схема минимального вычитания, к обсуждению которой мы переходим.

2. Схема минимального вычитания

Как заметил т’Хофт [249], простейший способ исключения расходимостей из функций Грина состоит в отбрасывании полюсов по параметру 1/ε, появляющихся в размерной регуляризации (минимальное вычитание MS). Впоследствии было показано [29], что эти полюса всегда появляются в комбинации

N

ε

=

2

 – γ

E

+ log4π.

ε

(9.15)

Следовательно, если отбросить только член 2/ε, то остаются трансцендентные величины γE, log 4π. Напомним, что зти величины возникают в результате обобщения проводимых вычислений на случай пространства произвольной размерности D=4-ε, что находит свое отражение в членах вида

(4π)ε/2Γ(ε/2)=Nε+O(ε)

Кажется вполне естественным отбросить и эти трансцендентные слагаемые. Это требование приводит к модифицированной схеме минимального вычитания (в дальнейшем обозначаемой MS, в которой множитель Nε исключается полностью15). В рамках этой схемы находим следующие выражения для перенормировочных множителей:

15) Схема MS может быть сведена к схеме MS заменой выражения dDk̂=ν4-D0 × dDk/(2π)D на выражение dDk̂={ν4-d0/(2π)D} / {(4π)(4-D)/2Γ(3-D/2)}.

Z

 

=1 – C

 

α

g

(1-ξ)N

ε

,

F

F

(9.16)

Z

 

=1 – C

g

 N

ε

.

m

(9.17)

Мы будем пользоваться в основном схемой MS, поэтому черту над перенормировочными множителями Z, относящимися к этой схеме, в дальнейшем будем опускать. (В схеме MS множитель Zm не зависит от калибровки. В двухпетлевом приближении это проверено в работе [242], но результат, по-видимому, справедлив во всех порядках теории возмущений вследствие калибровочной независимости массового члена mqq .) Из выражений (9.16) и (9.17) видно, что, определив коэффициент с выражением C=cNε можно написать

c

(1)

= – C

F

(1-ξ) ,

F

(9.18)

c

(1)

= – 3C

F

m

(9.19)

Эти вычисления были проведены во втором порядке теории возмущений 16).

16) Вычисления были проведены Нанолулосом и Россом [208]; Таррач [242] проверил их и исправил тривиальную ошибку, допущенную в оригинальной работе [208].

Вычислим теперь в схеме MS другие перенормировочные константы. Начнем с глюонного пропагатора. Поперечная часть глюонного пропагатора записывается в виде

D

μν

(q,g

u

,m

u

u

)

utr;ab

=

i

–g

μν

+q

μ

q

ν

/q

2

δ

ab

q

2

+

–g

μμ'

+q

u

q

μ'

/q

2

δ

 

Π

a'b'

δ

 

q

2

aa'

μ'ν'

b'b

×

i

–g

ν'ν

+q

ν'

q

ν

/q

2

+ … .

2

(9.20)

В этом выражении во втором порядке теории возмущений не требуется проведения перенормировки константы связи, калибровочного параметра или массы.

Рис. 6. Глюонный пропагатор.

Часть поляризационного оператора Π, обусловленная вкладами ду́хов и глюонов (рис. 6, а), вычислена выше (выражение (5.9)16a). Часть оператора Π, возникающая от вклада кварковой петли (рис. 6, б), для кварка каждого аромата ƒ записывается в виде

16a) Выражение (5.9) получено без учета множителя ν4-D0. Если учесть его, то единственное изменение заключается в замене log(-q2) на log(-q220).

Π

μν

=

ig

2

t

a

t

b

d

D

k

ν

4-D 

Tr(

k

+m

ƒ

μ

(

k

+

q

+m

ƒ

ν

.

ƒquark;ab

ij

ij

(2π)

D

0

(k

2

–m

2

ƒ

)[(k+q)-m

2

ƒ

]

 

 

 

 

ij

Вычисление этого выражения проводится стандартными методами. За исключением множителя Tr tatb, результат совпадает с хорошо известным из КЭД выражением для фотонного поляризационного оператора. Если через nƒ обозначить полное число ароматов кварков, то результат имеет вид

Π

μν

all quarks;ab

=

δ

ab

–2T

F

g

2

(-g

μν

q

2

+q

μ

q

ν

)

16π

2

×

 

{

2

N

ε

n

ƒ

–4

1

dx⋅x(1-x)

log

m

2

ƒ

–x(1-x)q

2

}

.

3

0

ν

2

0

 

ƒ=1

(9.21)

Во втором порядке теории возмущении можно просуммировать все диаграммы рис. 6, в, где кружками обозначены петли кварков, плюонов или ду́хов. Выделяя из поляризационного оператора тензорную структуру вида

Π

μ'ν'

= -δ

a'b'

(-g

μ'ν'

q

2

+q

μ'

q

ν'

)Π,

a'b'

(9.22 а)

получаем аналог выражения (7.5)

D

μν

q = iδ

–g

μν

+q

μ

q

ν

/q

2

u tr;ab

(1-Π)q

2

(9.22 б)

Введем запись

 

div

ƒ

=

g,

которая означает, что коэффициенты при члене Nε в выражениях для величин ƒ и g равны. Тогда перенормированный глюонный пропагатор D запишется в виде

D

μν

=Z

-1

D

μν

 .

R tr;ab

B

u tr;ab

Из уравнений (5.9), (9.20). и (9.21) следует равенство

1-Π

div

=

 

1+

g

2

{

10C

A

 -

8T

F

n

ƒ

}

N

ε

.

32π

2

3

3

Следовательно, в рамках схемы MS в калибровке Ферми – Фейнмана для перенормировочного множителя получаем выражение

Z

B

=1+

 

α

g

{

10C

A

 -

8T

F

n

ƒ

}

N

ε

.

3

3

(9.23)

В произвольной калибровке перенормировочный множитель ZB был вычислен в работах [160, 218]. Соответствующий коэффициент C(1) равен

C

(1)

 =

1

{

10+3ξ-

4n

ƒ

}

.

2

3

(9.24)

Опуская вычисления, приведем лишь конечный результат для перенормировочного множителя Zλ17)

17) См., например, работу [222] и цитируемую там литературу. Тождества Славнова-Тейлора, доказанные в § 6, обеспечивают выполнение равенства ZB=Zλ во всех порядках теории возмущений

C

(1)

=C

(1)

λξ

(9.25)

Следует отметить, что в калибровке Ландау параметр ξ в однопетлевом приближении не перенормируется. В действительности, как показано в § 6, тождества Славнова – Тейлора обеспечивают справедливость этого утверждения во всех порядках теории возмущений.

Рис. 7. Вершина кварк-глюонного взаимодействия.

В заключение этого параграфа вычислим перенормировочный множитель Zg. Для этого используем вершину ggB. Выбирая обозначения 4-импульсов в соответствии с рис. 7, можно записать выражение для этой вершины во втором порядке теории возмущений в виде (ср. с (9.7))

V

μ

=igγ

μ

t

a

+iΓ

(2)μ

 ,

uij,a

 

ij

uij,a

(9.26 а)

где

Γ

(2)μ

(p,p')={Γ

(b)

(c)

}

μ

 .

uij,a

 

 

uij,a

(9.26 б)

Величины Γ(b) и Γ(c) обозначают вклады от диаграмм рис. 7, б и в соответственно. Диаграмма рис. 7, а приводит к первому члену igγt в формуле (9.26 а). Из рассмотренных выше примеров очевидно, что массы кварков не играют pоли в выражениях для перенормировочных множителей Z (за исключением, конечно, множителя Zm), поэтому можно упростить вычисления, положив m=0. При этом следует учитывать только расходящиеся части вершин Γ. Тогда в калибровке Ферми – Фейнмана для рассматриваемой вершины имеем

(b)μ

uij,a

div

=

 

ig

d

D

×

γβ[(2k-q)μgαβ-(k+q)βgμα+2(q-k)αgμβ](p+kα

[(p+k)2+i0][(k-q)2+i0](k2+i0)

C

a

ij

div

=

 

igC

a

γ

μ

 

lim

η→0

d

D

2(2-D)/D-2

ij

 

(k

2

–iη)

2

div

=

 

g

3N

ε

C

a

ij

γ

2

16π

2

(9.27 а)

Здесь использованы обозначения

d

D

d

D

k

 ν

4-D

,

(2π)

D

0

C

a

ij

-g

2

t

b

t

c

ƒ

abc

=

1

g

2

[t

b

,t

c

]

ij

ƒ

bca

jl

li

 

2

=

g

2

i

 

C

A

t

a

 =

3

 it

a

g

2

.

2

ij

2

ij

При выводе последнего выражения использовано свойство антисимметрии константы ƒ по отношению к перестановке индексов, благодаря которому можно заменить tbtc на коммутатор ½[tb, tс]. Аналогично получаем выражение для вклада, возникающего от диаграммы рис. 7, в:

(c)μ

uij,a

div

=

 

-i

2

g

d

D

γ

β

(

p

+

k

μ

(

p

+

k

α

g

αβ

C

'a

[(p+k)

2

+i0][(p'+k)

2

+i0](k

2

+i0)

ij

div

=

 

ig

N

ε

γ

μ

C

'a

.

16π

2

ij

(9.27 б)

Здесь

C

'a

ij

=

g

2

 

c

(t

c

t

a

t

c

)

ij

= g

2

 

c

([t

c

,t

a

]t

c

)

ij

+ g

2

(

t

a

 

c

t

c

t

c

)

ij

=

g

2

t

a

{

1

C

A

+C

F

}

.

ij

2

(9.27 в)

При выводе этого выражения использованы формулы приложения В. Таким образом, окончательное выражение для вершины Γ имеет вид

Γ

(2)μ

uij,a

div

=

 

N

ε

g

3

{

C

A

+C

F

}

it

a

γ

μ

.

16π

2

ij

(9.28)

В перенормировке вершины участвуют множители Zg, ZF и ZB:

V

μ

=Z

-1

Z

Z

 

V

μ

.

Rij,a

F

B

g

uij,a

(9.29)

Используя полученные выше выражения для перенормировочных множителей ZF и ZB и только что вычисленное значение расходящейся части вершины Γ(2)u, получаем следующий результат для зарядового перенормировочного множителя:

Z

g

=1-

α

g

{

11C

A

 -

2

T

F

n

ƒ

}

N

ε

.

6

3

(9.30)

Таким образом,

c

(1)

= -

{

11

 -

n

ƒ

}

.

g

2

3

Интересно проследить за сокращением членов, пропорциональных множителю CF. Такое сокращение обязательно должно иметь место в силу того, что зарядовый перенормировочный множитель Zg можно вычислить в рамках чистой глюодинамики, не содержащей фермионов (см. ниже). Очевидно, что такое сокращение происходит благодаря калибровочной структуре теории, см. выражение (9.27в). В следующем порядке теории возмущений функция β вычислена в работах [64, 179]. Вычисления коэффициента c(1)g были проведены Гроссом и Вильчеком [160] и Полицером [218], которые вместо кварк-глюонной вершины q̅qB использовали трехглюонную вершину. Такое вычисление связано с рассмотрением диаграмм рис. 8. Для этих же целей можно использовать вершину взаимодействия глюонов и ду́хов ωωB. Конечно, все способы рассмотрения приводят к одному и тому же результату, что является следствием калибровочной инвариантности теории.

Рис. 8. Трехглюонная вершина.

Следует отметить, что во всех порядках теории возмущений коэффициенты c(n)g, вычисленные в схеме MS , калибровочно-инвариантны [65].

§10. Глобальные симметрии лагранжиана КХД; сохраняющиеся токи

В этом параграфе мы рассмотрим глобальные симметрии лагранжиана КХД. Поскольку процедура перенормировок не меняет структуры лагранжиана, можно пренебречь различием между затравочным и перенормированным лагранжианами.

Очевидно, что лагранжиан инвариантен по отношению к преобразованиям из группы Пуанкаре x→Λx+a. Токи, соответствующие лоренцевым преобразованиям Λ (являющимся генераторами полного спина системы), для нас не представляют большого интереса. Согласно теореме Нётер, инвариантность лагранжиана относительно пространственно-временных сдвигов приводит к следующему выражению для тензора энергии-импульса:

Θ

μν

=

 

i

∂ℒ

∂(∂

μ

Φ

i

)

ν

Φ

i

–g

μν

ℒ ,

(10.1)

где суммирование по i проводится по всем полям, фигурирующим в лагранжиане КХД. Из тензора энергии-импульса можно построить токи, удовлетворяющие условию сохранения

νΘμν = 0,

и соответствующие этим токам сохраняющиеся "заряды", представляющие собой компоненты 4-импульса

P

μ

 

=

d

(x)

 

.

Явное выражение для тензора энергии-импульса в квантовой хромодинамике имеет вид17a)

17a) При квантовании теории произведение классических полей следует заменить на нормально упорядоченное произведение. Обсуждение вопроса о неоднозначности определения тензора энергии-импульса см. в работах [60, 74].

Тензор энергии-импульса определяется неоднозначно. В действительности из выражения (10.1) калибровочно-инвариантного выражения для тензора энергии-импульса получить не удается. Выражение же (10.2) возникает при замене обычных производных на ковариантные. Или, иначе, калибровочно-инвариантное выражение для тензора энергии-импульса можно получить из выражения (10.1), производя калибровочные преобразования одновременно с пространственно-временными трансляциями xμ→xμμ. Например, если записать преобразование трансляции для глюонного поля B в виде Bμa→Bμa + (εααBμa ≡ DμεαBαa + εαGαμa), то первое слагаемое в скобках можно устранить калибровочным преобразованием, так что мы получим Bμa→Bμa + Gαμa .

Θ

μν

=

i

 

q

q

γ

μ

D

ν

q – g

μν

i

 

q

q

D

q + g

μν

 

q

m

q

q

q

-

g

αβ

G

μα

G

νβ

+ ¼g

μνG2

+

члены, фиксирующие калибровку + вклад ду́хов.

(10.2)

Далее, существуют токи и заряды, связанные с вращениями в цветовом пространстве. Вывод формул для сохраняющихся токов, отвечающих глобальной внутренней симметрии лагранжиана КХД, мы оставляем читателю в качестве упражнения. Этот вывод представляет собой частный случай цветовых калибровочных преобразований (с постоянными калибровочными параметрами) и приводит к набору токов, не связанных с взаимодействием кварков и глюонов.

Если массы всех кварков равны нулю, то лагранжиан ℒ инвариантен относительно преобразований вида

q

ƒ

f'=1

U

ƒƒ'

q

ƒ'

,

q

ƒ

f'=1

V

ƒƒ'

γ

5

q

ƒ'

(10.3)

при условии, что матрицы U и V представляют собой унитарные матрицы размерности nƒ×nƒ. Отсюда следует, что токи

V

μ

qq'

(x)=q̅(x)γ

μ

q'(x) ,

A

μ

qq'

(x)=q̅(x)γ

μ

γ

5

q'(x)

(10.4)

сохраняются каждый в отдельности. Если теперь в лагранжиане ℒ учесть массовые члены, то сохраняется только диагональный ток Vμqq; остальные токи при этом являются квазисохраняющимися, т.е. их дивергенции пропорциональны массам кварков. Вычисление дивергенций этих токов не представляет большой сложности; поскольку преобразования (10.3) коммутируют с членами лагранжиана ℒ, описывающими взаимодействие кварков и глюонов, вычисления можно проводить в терминах свободных полей. В этом случае использование уравнения Дирака idq=mqq приводит к следующим выражениям:

μ

V

μ

qq'

=i(m

q

–m

q'

)

q

q' ;

μ

A

μ

qq'

=i(m

q

–m

q'

)

q

γ

5

q' .

(10.5)

Однако имеется одна тонкость, касающаяся расходимости аксиальных токов. Выражение (10.5) справедливо в случае недиагональных переходов (q≠q'); если же начальный и конечный кварки совпадают (q=q' ), то его следует заменить следующим выражением для дивергенции аксиального тока:

μ

A

μ

qq

=i(m

q

+m

q

)q̅(x)γ

5

q(x)+

 

T

F

g

2

16π

2

ε

μνρσ

G

μν

(x)G

ρσ

(x).

(10.6)

Это так называемая треугольная аномалия Адлера – Белла – Джакива, которая будет рассмотрена в § 33, 37 и 38.

Также легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для аксиальных A или векторных V токов и полей. Используя преобразования (10.3), для свободных полей получаем

δ(x

0

–y

0

)

 

[

V

0

qq'

(x),q''(y)]=-δ(x-y)δ

qq''

q'(x)

 

,

δ(x

0

–y

0

)

 

[

A

0

qq'

(x),q''(y)]=-δ(x-y)δ

qq''

γ

5

q'(x)

 

и т.д.

(10.7)

Векторные и аксиальные токи коммутируют с полями глюонов и ду́хов. Одновременные коммутационные соотношения между аксиальными и векторными токами, построенными из свободных полей, проще всего записать, введя матрицы Гелл-Манна λα, действующие в цветовом пространстве (см. приложение В). Если рассматривать кварки трех ароматов (ƒ= 1,2,3) и определить векторные и аксиальные токи в виде

V

μ

α

(x)=

 

ƒƒ'

q

ƒ

(x)

λ

α

ƒƒ'

γ

μ

q

f'

(x) ,

A

μ

α

(x)=

 

ƒƒ'

q

ƒ

(x)

λ

α

ƒƒ'

γ

μ

γ

5

q

f'

(x) ,

(10.8)

то возникают следующие коммутационные соотношения:

δ(x

0

–y

0

)[V

0

α

(x),V

μ

β

(y)]=2iδ(x-y)Σƒ

αβδ

V

δ

δ

(x) ,

δ(x

0

–y

0

)[V

0

α

(x),A

μ

β

(y)]=2iδ(x-y)Σƒ

αβδ

A

δ

δ

(x) ,

δ(x

0

–y

0

)[A

0

α

(x),A

μ

β

(y)]=2iδ(x-y)Σƒ

αβδ

V

δ

δ

(x) и т.д.

(10.9)

Соотношения (10.7) и (10.9) получены для токов, составленных из свободных кварковых полей. Однако благодаря наличию δ-функции в правых частях (10.7) и (10.9) они эффективны только для малых расстояний; следовательно, в квантовой хромодинамике из-за свойства асимптотической свободы они остаются справедливыми в таком виде даже при учете взаимодействий между полями кварков и глюонов.

Также, легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для сохраняющихся или квазисохраняющихся токов с гамильтонианом (или лагранжианом). Если ток Jμ сохраняется, то соответствующий ему заряд QJ имеет вид

Q

J

=

d

xJ

0

(t,

x)

 

,

t=x

0

 

.

Он является интегралом движения и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом:

[Q

J

(t),ℋ(t,

y)]=0.

Здесь ℋ – гамильтониан (плотность функции Гамильтона системы); он связан с тензором энергии-импульса соотношением ℋ=Θ00. Обозначим массовый член, входящий в гамильтониан ℋ, через ℋ':

ℋ'=

 

q

m

q

q

q.

Тогда, если ток J является квазисохраняющимся, то справедливо соотношение

[Q

J

(t),ℋ'(t,

y)]=i∂

μ

J

μ

(t,

y).

Конечно, заряд QJ по-прежнему коммутирует с остальными членами гамильтониана ℋ.


    Ваша оценка произведения:

Популярные книги за неделю