Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 17 страниц)

§18. Операторное разложение

Для строгого анализа произведения операторов, взятых в точках, разделенных малым или светоподобным интервалом, служит метод операторного разложения (operator product expansion – OPE)²⁹⁾. Обсуждение этого метода начнем с простейшего случая хронологического произведения двух свободных безмассовых скалярных полей Τφ(x)φ(y). В пределе x→y это произведение сингулярно. Но сингулярность представляет собой просто c-число. Ее можно выделить из Τ-произведения, записав его в виде

²⁹⁾ Метод операторного разложения был предложен Вильсоном [268], а затем развит для случая малых расстояний в работах [270, 281] и др. Случай операторов, взятых на световом конусе, рассмотрен в работах [51, 128]. Для расчетов процессов глубоконеулругого рассеяния этот метод был применен в работе [70]; использование операторного разложения в КХД обсуждается в статьях [142, 161, 162].

Τ

φ(x)φ(y)

=

Δ(x-y)1

+

:φ(x)φ(y): ,

где 1 – единичный оператор, а Δ – пропагатор скалярного поля

Δ(x)=

1

(2π)⁴

∫

d

⁴

k e

^-ik⋅x

1

k²+i0

=

1

(2π)²

⋅

1

x²+i0

.

В пределе x→y оператор :φ(x)φ(y): и, конечно, единичный оператор 1 являются регулярными величинами.

В общем случае произведение локальных (элементарных или составных) операторов A и B, взятых в точках x и y , разделенных малым интервалом, можно записать в виде вильсоновского разложения

TA(x)B(y)=

 

∑

^t

C

_t

(x-y)N

_t

(x,y)

 

,

(18.1)

где вильсоновские коэффициенты C_t в общем случае представляют собой сингулярные c-числовые функции разности x-y, a N_t(x,у) – билокальные операторы, регулярные в пределе x→y. Последние обозначены буквой N, чтобы подчеркнуть, что они являются составными нормально упорядоченными операторами. Разложение вида (18.1) является не чем иным, так обобщением разложения в случае свободных полей. Запишем T-произведение двух операторов А(х) и B(х) в виде

TA(x)B(y)=

∑

i ⁿ

n!

∫

d

z

₁

…

d

z

_n

TA

⁰

(x)B

⁰

(y)ℒ

₀

^int

(z

₁

)…ℒ

(z

_n

) .

Здесь индекс 0 означает, что соответствующие величины строятся из свободных полевых функций. Применяя к этому выражению теорему Вика, приходим к разложению (18.1). Но необходимость записи приведенного выражения в общем виде возникает довольно редко. Если нас интересует поведение произведения операторов в пределе x→y, то можно прибегнуть к более простому способу. А именно достаточно рассмотреть базис, образованный всеми операторами, обладающими теми же квантовыми числами и трансформационными свойствами, что и исходное произведение AB (в частности, если операторы A и B скалярные и калибровочно-инвариантные, то при построении базиса дрлжны быть рассмотрены только скалярные и калибровочноинвариантные операторы). В этом случае имеем операторы

1,

:

q

(x)q(y):,

:

q

(x)

D

q(y):,…,

:(

q

(x)q(y))

²

:,…,

:G(x)G(y):,…

(18.2)

т.е. бесконечную последовательность операторов. Но в пределе x→y требуются только некоторые из них (иногда для выяснения лидирующего поведения достаточно одного). Это можно показать следующим образом. Пусть размерность оператора N равна p_N; тогда среди операторов (18.2) низшей размерностью обладают операторы

1(p

₁

=0),

:

q

q:(p

_qq

=3),

:

q

D

q:(p

_qDq

=4),

и

:G

²

:(p

_G²

=4).

Если предположить, что размерность каждого из операторов A и B равна 3, то простой подсчет размерностей позволяет заключить, что размерность вильсоновского коэффициента C₁ равна 6, коэффициент C_qq имеет размерность 3, а размерность коэффициентов C_qDq и C_G² равна 2. Следовательно, явно выделяя массу из коэффициента C_qq , получаем

C

₁

(x-y)≈(x-y)

^-6

,

C

_qq

(x-y)≈m(x-y)

^-2

,

C

_qDq

(x-y)≈(x-y)

^-2

,

C

_G²

(x-y)≈(x-y)

^-2

,

(18.3)

где х⁶ означает (х⋅х)³, х^-2 означает 1/х² и т.д. Очевидно, что эти соотношения точно выполняются лишь в случае свободных полей. Асимптотическая свобода КХД гарантирует, что поправки к соотношениям (18.3) могут быть только логарифмическими. Эти поправки не вносят существенных изменений во все проводимые рассуждения.

Коэффициенты при других операторах в пределе x→0 оказываются конечными. Если теперь взять какой-нибудь матричный элемент от разложения (18.1):

⟨Φ|TA(x)B(0)|Ψ⟩

 

=

^x→0

C

₁

(x)⟨Φ|Ψ⟩+

C

_qq

(x)

⟨Φ|:

q

(0)q(0):|Ψ⟩

+

C

_qDq

(x)

⟨Φ|:

q

(0)

D

q(0):|Ψ⟩

+

C

_G²

(x)

⟨Φ|:G

²

(0):|Ψ⟩+…

(18.4)

то из регулярности операторов N_t следует, что в пределе x→0 поведение левой части (18.4) определяется вильсоновскими коэффициентами, умноженными на конечные константы ⟨Φ|N_t|Ψ⟩. Таким образом, в пределе x→0 лидирующее поведение хронологического произведения операторов TA(x)B(0) определяется коэффициентом C₁(x), а старшие поправки контролируются коэффициентами C_qq, C_qDq и C_G² .

Вернемся к разложению (18.1). Так как операторы N_t(x,y) регулярны, их можно разложить по степеням разности x-y. При у = 0 получаем

N

_t

(x,0)=

 

∑

ⁿ

 

x

_μ1

…x

_μn

N

_(n)μ1…μn

_t

(0,0) .

Например, для полей q(x) и q(x) имеем

:

q

(0)q(-x):=

 

∑

ⁿ

 

x

_μ1

…x

_μn

(-1)ⁿ

n!

:

q

(0)∂

^μ₁

…∂

^μ_n

q(0):.

(18.5)

В случае калибровочной теории, такой как КХД, обычные производные, фигурирующие в (18.5), следует заменить ковариантными производными^29а). Тогда получаем

^29а) Интуитивно это ясно. Формальное доказательство можно получить, заметив, что оператор q(0)q(-1) не является калибровочно-инвариантным. Калибровочная инвариантность восстанавливается при введении экспоненциального множителя P exp∫⁰_-1dy_μ∑_t^aB^μ_a . См. , например, работу [269] и приложение И.

TA(x)B(0)

≃

x→0

C

₁

(x)1+C

_qq

(x)

 

∑

ⁿ

x

_μ1

…x

_μn

(-1)ⁿ

n!

×

:

q

(0)D

^μ₁

…

D

^μ_n

q(0):+… .

(18.6)

В пределе x→0 члены, содержащие производные, в (18.6) в общем случае представляют собой малые поправки, так как они содержат дополнительные степени x. Но такое утверждение неверно для разложения на световом конусе. В этом случае нас интересует поведение в пределе x²→0, который отнюдь не означает, что каждая из компонент x→0. Поэтому при разложении на световом конусе все производные в правой части (18.6) дают одинаковые вклады.

Применим теперь операторное разложение к хронологическому произведению адронных токов, появлявшихся в формулах для процессов глубоконеупругого рассеяния. Поведение этих токов на световом конусе определяет в бьеркеновском пределе структурные функции кварков. Прежде чем приступить к расчетам, введем некоторые обозначения. Вначале рассмотрим векторные и аксиальные токи, описанные в § 17. Их можно записать в виде комбинаций из восемнадцати токов:

V

_μ

^a

(x)

=

 

∑

^ƒƒ'

:

q

_ƒ

(x)λ

_a

^ƒƒ'

γ

^μ

q

_ƒ'

(x): ,

A

_μ

^a

(x)

=

 

∑

^ƒƒ'

:

q

_ƒ

(x)λ

_a

^ƒƒ'

γ

^μ

γ

₅

q

_ƒ'

(x): ,

V

_μ

⁰

(x)

=

 

∑

^ƒ

:

q

_ƒ

(x)γ

^μ

q

_ƒ

(x): ,

A

_μ

⁰

(x)

=

 

∑

^ƒ

:

q

_ƒ

(x)γ

^μ

γ

₅

q

_ƒ

(x): .

(18.7)

Этим токам можно придать единообразный вид, полагая λ⁰_ƒƒ'=δ_ƒƒ' и считая, что индекс a пробегает значения 0, 1, …, 8. Например, электромагнитный ток кварков записывается в виде

J

_μ

^em

=

1

2

⎧

⎨

⎩

V

_μ

³

+

1

√3

V

_μ

⁸

⎫

⎬

⎭

.

(18.8)

Отметим, что матрицы λ действуют в пространстве ароматов. Мы включаем в рассмотрение кварки трех сортов: q₁=u, q₂=d, q₃=s; учет остальных сортов кварков не представляет трудности. Естественно, во всех формулах подразумевается суммирование по цветовым индексам.

Начнем с рассмотрения свободных полей. Используя теорему Вика, T-произведение двух векторных токов можно записать в виде

TV

_μ

^a

(x)V

_ν

^a

(y)

=

∑

T:

q

^iα

(x)λ

_a

^ik

γ

_μ

^αβ

q

_kβ

(x):

:

q

_jδ

(y)λ

_b

^jl

γ

_ν

^δρ

q

_lρ

(y):

 

=

^z2→0

2n_cδ_ab(g^μνz²-2z^μz^ν)

π⁴(z²-i0)⁴

⋅1

+

∑

(iƒ

_abc

+d

_abc

)γ

_μ

^αβ

S

_βδ

(x-y)γ

_ν

^δρ

:

q

_α

(x)λ

^c

q

_ρ

(y):

+

∑

(-iƒ

_abc

+d

_abc

)γ

_ν

^αβ

S

_βδ

(y-x)δ

_μ

^δρ

:

q

_α

(y)λ

^c

q

_ρ

(x):

+

… ,

(18.9)

где z=x-y, n_c – число цветов (равное 3), а многоточие обозначает четырехкварковые операторы : :qqqq:. Как объяснялось выше, в случае разложения на световом конусе такие операторы дают поправки к основным членам. Мы пока ограничимся рассмотрением только основных эффектов. При получении формулы (18.9) использованы соотношение

Tq

_β

(x)

q

_δ

(y)=

–:

q

_δ

(y)q

_β

(x):

+S

_βδ

(x-y) ,

и свойства матриц λ и γ (приложения А и В). Заменим пропагатор S выражением, определяющим его поведение на световом конусе:

S(z)

 

≃

^z2→0

i z

(2π)²(z-i0)²

 ,

которое легко получить из формулы для пропагатора

S(z)=

i

(2π)⁴

∫

d

⁴

p e

^-ip⋅z

p+m

p²-m²+d0

(приложение Е). После некоторых вычислений с γ-матрицами (приложение А) формулу (18.9) можно привести к виду

TV

_μ

^a

(x)V

_ν

^b

(y)

 

=

^z2→0

2i

∑

(iƒ

_abc

+d

_abc

)

×

⎧

⎨

⎩

S

^μανβ

z_α

(2π)²(z²-i0)²

:

q

(x)λ

^c

γ

_β

q(y):

+

iε

^μανβ

z_α

(2π)²(z²-i0)²

:

q

(x)λ

^c

γ

_β

γ

₅

q(y):

⎫

⎬

⎭

+

(x↔y, a↔b, μ↔ν) + постоянный член

(18.10)

Постоянный член

6δ_ab(g^μνz²-2z^μz^ν)

π²(z²-i0)⁴

1

не выписан в явном виде, так как он не дает, вклада в коммутатор, фигурирующий в выражении для адронного тензора W^μν (в других случаях, например при вычислении ⟨TV^aV^b⟩₀ , этот член может оказаться лидирующим). Полагая затем y=0 и разлагая регулярные операторы :q…q: в ряды по степеням переменной z, получаем следующее разложение хронологического произведения TV^μ_a(z)V^ν_b(0) на световом конусе:

TV

_μ

^a

(z)V

_ν

^b

(0)

 

=

^z2→0

-i

 

∑

^{n нечетн}

d

_abc

S

^μανβ

z_α

π²(z²-i0)²

⋅

z_μ1…z_μn

n!

×

:

q

(0)λ

^c

γ

_β

D

^μ₁

…D

^μ_n

q(0):

+

-i

 

∑

^{n нечетн}

ƒ

_abc

ε

^μανβ

z_α

π²(z²-i0)²

⋅

z_μ1…z_μn

n!

×

:

q

(0)λ

^c

γ

_β

γ

₅

D

^μ₁

…D

^μ_n

q(0):

+ постоянный член + градиентные члены

+ нечетные по перестановкам (μ↔ν, a↔b) члены

(18.11)

Выражение (18.11) приведено к такому виду, что все фигурирующие в нем производные действуют на функции, стоящие справа от них. Чтобы добиться этого, в случае необходимости добавлены градиентные члены. Нечетные относительно перестановок (ν↔ν , a↔b) члены явно не выписаны. При подстановке их в выражение для W^μν все они обращаются в нуль, так как мы рассматриваем диагональные матричные элементы ⟨p|TJJ|p⟩^29б).

^29б) Для процессов, в расчетах которых фигурируют недиагональные матричные элементы, необходимо учитывать градиентные члены. Пример такой ситуации приведен в§ 27, п. 3.

В выражении (18.11) полезно произвести некоторую перегруппировку членов. Мы не будем рассматривать здесь общий случай, а просто продемонстрируем этот метод на примере произведения двух электромагнитных токов. В этом случае (18.8) и (18.11) приводят к следующему выражению (здесь опущены градиентные, постоянные и нечетные по перестановке μ↔ν члены, а также индекс em):

TJ

^μ

(z)J

^ν

(0)

 

=

^z2→0

i

 

∑

^{n нечетн}

S

^μανβ

–z_α

π²(z²-i0)²

⋅

z_μ1…z_μn

n!

×

:

q

(0)Q

₂

^e

γ

_β

D

^μ₁

…D

^μ_n

q(0): ,

где Q_e – оператор электрического заряда, действующий в пространстве ароматов:

Q

_e

=

⎧

⎪

⎪

⎪

⎩

2/3

0

-1/3

0

–1/3

⎫

⎪

⎪

⎪

⎭

=

1

2

⎛

⎜

⎝

λ

³

+

1

√3

λ

⁸

⎞

⎟

⎠

.

Далее разобьем это выражение на два члена, один из которых пропорционален тензору g^μν (в дальнейшем он будет отождествлен со структурной функцией ƒ₁, а другой не зависит от него (он приводят к функции ƒ₂). Это легко сделать, используя явный вид тензоров S^μανβ. После некоторых переобозначений индексов получаем

TJ

^μ

(z)J

^ν

(0)

 

=

^z2→0

i

⎧

⎨

⎩

g

^μν

1

π²(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

z

_μ1

…z

_μn

1

(n-1)!

×

:

q

(0)Q

₂

^e

γ

^μ₁

D

^μ₂

…D

^μ₂

q(0):

+

-1

2π²(z²-i0)

 

∑

^{n четн}

z

_μ1

…z

_μn

1

n!

×

[:

q

(0)Q

₂

^e

γ

^μ

D

^ν

D

^μ₁

…D

^μ_n

q(0):+(μ↔ν)]

⎫

⎬

⎭

(18.12)

где (во втором члене в правой части) использовано равенство z_α/(z²-i0)²=-½∂_α(z²-0)^-1, при помощи которого действие производной ∂_α переносится на переменную z_μ1. Наконец, разобьем тензор Q²_e на компоненту, пропорциональную единичной матрице (являющуюся синглетом по отношению к преобразованиям группы аромата SU_F(3)), и компоненту, пропорциональную оператору Q_e и, следовательно, несинглетную по отношению к преобразованиям группы аромата:

Q

₂

^e =c_eNSQ_e+c_eF=

1

6 λ³+

1

6√3 λ⁸+

2

9 ;

c_eNS=1/3, c_eF=2/9.

(18.13)

Окончательно получаем выражение для хронологического произведения двух электромагнитных токов в виде

TJ

^μ

(z)J

^ν

(0)

=

-g

^μν

i

π²(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

z

_μ1

…z

_μn

i^n-1

n-1

×

⎧

⎨

⎩

1

6

N

_(e)μ1…μn

^NS,3

(0)+

1

6√3

N

_(e)μ1…μn

^NS,8

(0)+

2

9

N

_(e)μ1…μn

^F

(0)

⎫

⎬

⎭

+

i

2π²(z²-i0)

 

∑

^{n четн}

z

_μ1

…z

_μn

i

^n-1

×

⎧

⎨

⎩

1

6

N

_(e)μ1…μn

^NS,3

(0)+

1

6√3

N

_(e)μ1…μn

^NS,8

(0)

+

2

9

N

_(e)μ1…μn

^F

(0)+(μ↔ν)

⎫

⎬

⎭

(18.14 а)

где введены обозначения

N

_(e)μ1…μn

^NS,a

=

i^n-1

(n-2)!

:

 

∑

^ƒƒ'

q

(0)γ

^μ₁

D

^μ₂

…D

^μ_n

λ

_a

^ƒƒ'

q

_ƒ'

(0):,

N

_(e)μ1…μn

^F

=

i^n-1

(n-2)!

:

 

∑

^ƒ

q

(0)γ

^μ₁

D

^μ₂

…D

^μ_n

q

_ƒ

(0):,

a

=

1,…,8.

(18.14 б)

В завершение этого параграфа мы выведем вновь явление скейлинга, используя операторное разложение на световом конусе в случае свободных полей (партонную модель), а именно, выражения (18.12) и (18.14). Рассмотрим тензор Τ^μν_em (ср. с (17.18))

Τ

_μν

^em

(p,q)

_Bj

=

 

(2π)³

⎧

⎨

⎩

-g^μν

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

 

∑

^{n четн}

iz_μ1…iz_μn

(z²-i0)²(n-1)

×

Α

_μ1…μn

ⁿ

(p)-

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

 

∑

ⁿ

iz_μ1…iz_μn

z²-i0

×

[

Α

_μνμ1…μ_n

ⁿ

(p)+(μ↔ν)]

⎫

⎬

⎭

,

(18.15 а)

где индекс B_j означает, что данное равенство справедливо в бьеркеновском пределе, а

Α

_μ1…μn

ⁿ

(p)=i

ⁿ

⟨p|

1

(n-2)!

:

q

(0)Q

₂

^e

γ

^μ₁

D

^μ₂

…D

^μ_n

q(0):|p⟩

(18.15 б)

Величины Α можно записать, исходя из инвариантов, характеризующих изучаемый процесс:

Α

_μ1…μn

ⁿ

(p)=-ip

^μ₁

…p

^μ_n

a

_n

+ члены со свертками.

Члены со свертками по двум импульсным индексам (содержащие тензоры g^μ_iμ_j) дают вклады, пропорциональные p², и, следовательно, здесь могут не учитываться. При этом тензор Τ^μν_em принимает вид

Τ

_μν

^em

(p,q)

_Bj

=

 

i(2π)³

⎧

⎨

⎩

g^μν

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

(iz⋅p)

ⁿ

a

_n

1

n-1

+

p^μp^ν

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

(iz⋅p)

ⁿ

a

_n+2

⎫

⎬

⎭

.

Сравнивая это выражение с (17.8 б), получаем

Τ

_em

¹

(x,Q²)

_Bj

=

 

i

q²

ν

⋅

(2π)³

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

(iz⋅p)

ⁿ

a_n

n-1

,

Τ

_em

²

(x,Q²)

_Bj

=

 

iν

(2π)³

π²

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

(z²-i0)²

 

∑

^{n четн}

(iz⋅p)

ⁿ

a

_n+2

.

(18.16)

Последняя формула, которая нам понадобится, имеет вид

∂

∂q_μ1

…

∂

∂q_μn

=

2

ⁿ

q

ⁿ

…q

^μ_n

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

+ члены со свертками .

(18.17)

Используя ее для замены переменной iz^μj на производную ∂/∂q^μj в выражениях (18.16), запишем их в виде

Τ

_em

¹

(x,Q²)

_Bj

=

 

i

q²

ν

⋅

(2π)³

π²

∑

2ⁿa_n

n-1

q

_μ1

…q

_μn

p

^μ₁

…p

^μ_n

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

×

∫

d

⁴

z

e^iq⋅z

(z²-i0)²

_Bj

=

 

-(2π)³

q²

ν

∑

(2ν)

ⁿ

a_n

n-1

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

⋅log q²

=

2(2π)³

∑

(n-2)!a_n

x^n-1

=

t(x)/x ,

(18.18 а)

Τ

_em

²

(x,Q²)

_Bj

=

 

iν

(2π)³

π²

∑

a

_n+2

(2ν)

ⁿ

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

∫

d

⁴

z

e^iq⋅z

z²-i0

_Bj

=

 

-4ν(2π)³

∑

(2ν)

ⁿ

a

_n+2

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

1

q²

=

2(2π)³

∑

n!a_n+2

xⁿ⁺¹

=

Τ

_em

¹

(x,Q²)

(18.18 б)

При получении этих выражений использованы фурье-преобразования, приведенные в приложении Е, и введено обозначение

t(x)≡2(2π)³

 

∑

ⁿ

n!a

_n+2

1

xⁿ

⋅

(18.18 в)

Взяв мнимые части этих выражений, мы приходим к бьеркеновскому скейлингу и равенству структурных функций ƒ₁(x)=ƒ₂(x). Последнее соотношение, которое приводит к обращению в нуль продольной структурной функции, известно как соотношение Каллана – Гросса [62] (см. также [41]). Другой вывод, из которого ясно, что величина ƒ₂(x)/x имеет смысл вероятности обнаружить кварк с долей x полного импульса p в системе отсчета бесконечного импульса, содержится в работе [157].

§19. Применение операторного разложения к процессам глубоконеупругого рассеяния; моменты

В §18 не конкретизировалась теория поля, в рамках которой применялось операторное разложение. Предполагалось только, что это теория свободных полей. Перейдем теперь к реальной физической ситуации и учтем взаимодействие между полями.

Рассмотрим снова хронологическое произведение токов

TJ

_μ

^p

(x)

⁺

J

_ν

^p

(y) ,

(19.1)

где индекс p обозначает любой ток или комбинацию токов из тех, которые содержатся в (18.7). Но теперь мы хотим учесть взаимодействие между полями, из которых построены эти токи. По-прежнему будем пренебрегать членами, подавляемыми степенями отношения M²/Q², где M – некоторая масса. Операторное разложение можно провести по базису, содержащему операторы, дающие ведущий по степеням M²/Q² вклад в случае свободных полей. При этом в рамках КХД возникают лишь дополнительные логарифмические поправки. Если классифицировать операторы по твисту τ, определяемому соотношением τ=ρ-i, где ρ – размерность оператора, построенного из свободных полей, a j – спин оператора, то, исходя из размерного анализа, легко видеть, что ведущий вклад возникает от операторов с τ=2. Вклады операторов с τ=2n+2 подавляются в отношении (M²/Q²)ⁿ по сравнению с вкладами операторов с τ=2.

Единственными операторами с τ=2, которые можно связать с (19.1), являются операторы^29в)

^29в) Индексы F(V) обозначают синглетные операторы, построенные из полей фермионов (векторных бозонов).

N

_μ1…μn

^NS,a±

=

1

2

i^n-1

(n-2)!

Ƨ:

q

(0)λ

^a

γ

^μ₁

(1±γ

₅

)D

^μ₁

…D

^μ_n

q(0):,

a

=

1,…,8;

N

_μ1…μn

^F±

=

1

2

i^n-1

(n-2)!

Ƨ:

q

(0)λ

⁰

γ

^μ₂

(1±γ

₅

)D

^μ₂

…D

^μ_n

q(0): ;

N

_μ1…μn

^V

=

i^n-2

(n-2)!

ƧTr:G

^μ₁a

(0)D

^μ₂

…D

^μ_n-1

G

_μn

^a

(0): ,

19.2

где Ƨ обозначает симметризацию, т.е. Ƨa_i1…in=(1/n!)∑_{по перестановкам π}a_{π(i1,…,in)} взятие следа производится по цветовым индексам, а ковариантная производная D определяется по формуле

D

_μ

G

_a

^αβ

≡

 

∑

^c

⎧

⎨

⎩

∂

_μ

δ

^ac

+g

∑

ƒ

^abc

B

_b

^μ

⎫

⎬

⎭

G

_c

^αβ

.

С первыми двумя типами операторов (19.2) мы уже встречались (см. (18.14)). При этом оператор N^е определялся в виде суммы N^е=N⁺+N^-. Очевидно, что ненулевые проекции кварковых токов на чисто глюонные операторы можно прочить только в том случае, если учесть взаимодействие между глюонами и кварками. Именно поэтому теперь возник оператор N_V в (19.2).

Если мы работаем в калибровке, требующей введения ду́хов, то кроме операторов (19.2) необходимо учитывать также операторы, составленные из полей ду́хов. Но можно доказать, что благодаря треугольному виду матрицы смешивания (см.г например, [97, 183]) при рассмотрении операторов с τ=2 ду́хами можно полностью пренебречь. К этому вопросу мы вернемся несколько ниже. Запишем операторное разложение выражения (19.1) в виде

TJ

_μ

^p

(z)+J

_ν

^p

=-

 

∑

^j,n

C

_n

^1pj

(z²)g

^μν

i

^n-1

z

_μ1

…z

_μn

N

_μ1…μn

^j

(0)

-

 

∑

^j,n

C

_n

^2pj

(z²)i

^n-1

z

_μ1

…z

_μn

N

_{μνμ1…μn}

^j

(0)

+

 

∑

^j,n

C

_n

^2pj

(z²)ε

^μναβ

i

^n-2

z

_β

z

_μ1

…z

_μn

N

_αμ1…μn

^j

(0),

(19.3)

где индекс i относится к тем операторам из (19.2), которые имеют квантовые числа, совпадающие с квантовыми числами исходного произведения J⁺_pJ_p. Здесь следует отметить, что взаимодействия КХД не нарушают симметрии по ароматам кварков и, следовательно, все вычисления с матрицами λ действующими в пространстве ароматов, можно проводить так же, как в случае свободных полей. Например, для хронологического произведения двух электромагнитных токов выражение (19.3) принимает вид

iTJ

_μ

^em

(z)J

_ν

^em

(0) =

=

g

^μν

⎧

⎨

⎩

 

∑

n четн

C

_n

^1NS

(z²)

⎛

⎜

⎝

1

6

N

_μ1…μn

^NS,3

(0)+

1

6√3

N

_μ1…μn

^NS,8

(0)

⎞

⎟

⎠

+

2

9

C

_n

^1F

(z²)N

_μ1…μn

^F

(0)

⎫

⎬

⎭

i

ⁿ

z

_μ1

…z

_μn

+

 

∑

n четн

⎧

⎨

⎩

C

_n

^2NS

(z²)

⎛

⎜

⎝

1

6

N

_{μνμ1…μn}

^NS,3

(0)+

1

6√3

N

_{μνμ1…μn}

^NS,8

(0)

⎞

⎟

⎠

+

2

9

C

_n

^2F

(z²)N

_{μνμ1…μn}

^F

(0)

⎫

⎬

⎭

i

ⁿ

z

_μ1

…z

_μn

+

⎧

⎨

⎩

g

^μν

 

∑

n четн

C

_n

^1V

(z²)

2

9

N

_μ1…μn

^V

(0)

+

 

∑

n четн

C

_n

^2V

(z²)

2

9

N

_{μνμ1…μn}

^V

(0)

⎫

⎬

⎭

i

^n-1

z

_μ1

…z

_μn

.

(19.4)

Здесь использованы симметризованные выражения для операторов N. Это допустимо в данном случае, так как необходимы только диагональные матричные элементы, а членами порядка m²_N/Q² пренебрегают (ср. с (18.156), (18.15в)). Выражения (19.3) и (19.4) записаны довольно схематично. При учете кварк-глюонных взаимодействий операторы, входящие в (19.3) и (19.4), подвергаются перенормировке. Помимо прочих эффектов это приводит к двум весьма важным следствиям. Во-первых поскольку операторы N_F и N_V обладают одинаковыми квантовыми числами (они являются синглетами по группе аромата), выражения для перенормированных операторов N_F и N_V представляют собой комбинации, содержащие неперенормированные операторы обоих типов. Этого не происходит для операторов N_NS, которые при проведении процедуры перенормировок оказываются выраженными через себя же. Во-вторых, после перенормировки появляется зависимость коэффициентов C и операторов N от размерного параметра, который мы временно обозначим буквой μ, чтобы не путать его с бьеркеновской переменной ν=p⋅q.

Токи J, имеющие вид

J

^μ

(x)=aV

^μ

(x)+bA

^μ

(x)

(19.5)

не требуют проведения специальной перенормировки, так как операторы V и A являются сохраняющимися или квазисохраняющимися (см. § 13). Но операторы N и вильсоновские коэффициенты разложения C требуют перенормировки, за исключением некоторых особых случаев.

Перенормировка несинглетных операторов, выражающихся при этом через самих себя, сводится к добавлению перенормировочного множителя³¹⁾:

³¹ Заметим, что, так же как в § 13, кварковые и глюонные поля, входящие в операторы N_NS и N, предполагаются перенормированными.

N

_μ1…μn

^NS,a±R

=Z

_a±

^n-2

(μ)N

_μ1…μn

^NS,a±

(19.6 а)

В действительности множитель Z не зависит от a±.

Для синглетных операторов результат проведения перенормировочной процедуры записывается в матричном виде:

^⃗

N

_μ1…μn

^R

=ℤ

_n-2

^⃗

N

^μ₁…μ_n

(19.6 б)

Здесь введены вектор ɤ

^⃗

N

=

⎛

⎜

⎝

N_F

N_V

⎞

⎟

⎠

,

(19.6 в)

и матрица

ℤ=

⎛

⎜

⎝

Z_FF Z_FV

Z_VF Z_VV

⎞

⎟

⎠

.

(19.6 г)

Аномальные размерности и матрицы аномальной размерности для операторов N определены выражениями

γ

_NS

(n,g)

=

-(Z

_n

(μ))

^-1

μ∂

∂μ

Z

_n

(μ),

ɣ(n,g)

=

-(ℤ

_n

(μ))

^-1

μ∂

∂μ

ℤ

_n

(μ),

(19.7)

которые можно разложить в ряды по степеням константы связи:

γ

_NS

(n,g)

=

_∞

∑

^k=0

γ

_(k)

^NS

(n)

⎛

⎜

⎝

g²

16π²

⎞

⎟

⎠

^k+1

,

ɣ(n,g)

=

_∞

∑

^k=0

γ

^(k)

(n)

⎛

⎜

⎝

g²

16π²

⎞

⎟

⎠

^k+1

,

(19.8)

Мы вернемся к этому вопросу несколько ниже, а сейчас обратимся к формальному аппарату теории. Рассмотрим импульсное пространство, в котором запишем слагаемые, фигурирующие в операторном разложении и дающие ненулевой вклад в несинглетную часть структурной функции ƒ₂ (т.е. в часть структурной функции ƒ₂ , содержащую несинглетные операторы). Выбирая соответствующие слагаемые в выражении (19.3), получаем

i

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

TJ

^μ

(z)J

^ν

(0)

^NS

_p^μp^ν

=

 

∑

ⁿ

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

C

_n

^2NS

(z²)i

ⁿ

z

_μ1

…z

_μn

N

_{μνμ1…μn}

^NS

(0).

(19.9)

Если взять матричный элемент, фигурирующий в формулах для процессов глубоконеупругого рассеяния (например, в (17.8а)), то получим

p^μp^ν

ν

T

_2NS

=

(2π)³

 

∑

ⁿ

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

C

_n

^2NS

(z²)i

ⁿ

z

_μ1

…z

_μn

×

⟨p|N

_{μνμ1…μ1}

^NS

(0)|p⟩

(19.10)

С точностью до членов, содержащих свертки, матричный элемент ⟨p|N_NS|p⟩ можно записать в виде

i⟨p|N

_{μνμ1…μ1}

^NS

(0)|p⟩=p

^μ

p

^ν

p

^μ₁

…p

^μ_n

A

_n

^NS

(19.11)

и произвести следующую замену:

z

_μ1

…z

_μn

→

(-i)

ⁿ

∂

∂q_μ1

…

∂

∂q_μn

=(-2i)

ⁿ

q

_μ1

…q

_μn

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

+

члены, содержащие свертки.

(19.12)

Таким образом, выражение (19.10) принимает вид

T

_2NS

(x,Q²;g,μ)

=

(2π)³ν

 

∑

^{n четн}

2

ⁿ

A

_n

^NS

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

i

C

_n

^2NS

(z²)(q⋅p)

ⁿ

=

1

2

(2π)³

 

∑

^{n четн}

(2ν)

ⁿ⁺¹

A

_n

^NS

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

i

C

_n

^2NS

(z²)

(19.13)

Известно, что в случае свободных полей коэффициенты Cⁿ_2NS(z²) обладают следующим поведением (см. § 18):

i

C

_n

^2NS

(z²)

_g=0

 

=

^z²→0

1

π²(z²-i0)

.

(19.14)

Поэтому в импульсном пространстве введем новые коэффициенты

C

_n

^2NS

(Q²/μ²,g²/4π)

≡

4(Q²)

ⁿ⁺¹

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

1

i

C

_n

^2NS

(z²).

(19.15)

В результате получим следующее окончательное выражение:

T

_2NS

(x,Q²;g,μ)

=

2

∑

1

xⁿ⁺¹

A

_n

^NS

C

_n

^2NS

(Q²/μ²,g²/4π);

A

≡

(2π)³

A

.

(19.16)

Как будет показано ниже, асимптотическая свобода КХД позволяет вычислить вильсоновские коэффициенты C, входящие в выражение (19.16). Но в общем случае коэффициенты A представляют собой неизвестные константы. Чтобы получить из выражения (19.16) физическую информацию, необходимо иметь возможность выделять вклады отдельных слагаемых в этом выражении. Этого можно добиться, используя известные аналитические свойства величины T и записав дисперсионное соотношение ³²⁾ для T₂ по переменной ν при фиксированном значении Q²:

³² В принципе при записи дисперсионных соотношений необходимо вычесть содержащиеся в них расходимости. Однако, как легко видеть, при условии сходимости выражения (19.19) это требование не вносит каких-либо изменений в изложенную здесь схему. О дисперсионных соотношениях см., например, в книге [104].

T

_2NS

(x,Q²;g,μ)

=

1

π

⎧

⎨

⎩

∫

_∞

 

_Q²/2

dν'

ν'-ν

ImT

_2NS

⎛

⎜

⎝

Q²

2ν'

,Q²;g,μ

⎞

⎟

⎠

-

∫

_Q²/2

 

_-∞

dν'

ν'-ν

ImT

_2NS

⎛

⎜

⎝

Q²

2ν'

,Q²;g,μ

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

.

(19.17)

Это соотношение можно связать с физическими структурными функциями только в том случае, если оно обладает определенной четностью по отношению к замене q→-q, т.е. является либо четной, либо нечетной функцией переменной q. Таким поведением величина Τ₂ обладает, например, в процессах электророждения. В этом случае она является четной функцией переменной x , т.е. Τ₂(x,…)=Τ₂(-x,…). Производя замену переменных ν'→x'=Q²/2ν' , перепишем соотношение (19.17) в виде

T

_2NS

(x,Q²;g,μ)

=

1

π

∫

¹

 

₀

dx'

x'(1-x'²/x²)

ImΤ

_2NS

(x',Q²;g,μ) .

Разложив в ряд по степеням x'/x , получим [77]

T

_2NS

(x,Q²;g,μ)

=2

 

∑

ⁿ

1

xⁿ

μ

_2NS

(n+1,Q²;g,μ),

(19.18)

где моменты μ_2NS определены соотношениями

μ

_2NS

(x,Q²;g,μ²)=

∫

¹

 

₀

dx'x'

^n-2

ƒ

_2NS

(x',Q²;g,ν) ,

(19.19)

сравнивая которые с (19.16), сразу получаем выражение для моментов

μ

_2NS

(x,Q²;g,μ²)=A

_n

^NS

C

_n

^2NS

(Q²/μ²,g²/4π) .

(19.20)

Следует помнить, что выражения (19.19) и (19.20) получены в предположении четности функции Τ; в противном случае интеграл ∫⁰₁dx' нельзя заменить интегралом ∫¹₀dx' . Следовательно, выражения (19.19*) и (19.20) справедливы только для четных значений n, если функция Τ четная (как это имеет место в случае электророждения), или для нечетных значений n, если функция Τ нечетная (как, например, функция Τ₃ в формулах, описывающих процессы рассеяния нейтрино). Соответствующие выражения для других значений n приходится получать методом аналитического продолжения (Редже – Карлсона). Эта процедура тривиальна, если ограничиться вычислениями только ведущих вкладов (см. § 20), но содержит ряд тонкостей при проведении вычислений во втором порядке теории возмущений. Еще одна особенность заключается в том, что, как уже отмечалось выше, приходится ограничиваться такими значениями n, при которых выражение (19.19) сходится. Исходя из теории Редже, можно ожидать, что такая сходимость имеет место по крайней мере при Re n≥1 для несинглетных величин и при Re n≥2 для синглетных величин (см. также § 23, п. 2).

§ 20. Ренормгрупповой анализ; уравнения КХД для моментов

Запишем ренормгрупповые уравнения для моментов. Так как моменты выражаются в виде интегралов от структурных функций, то они представляют собой физически наблюдаемые величины и, следовательно, не зависят от выбора точки нормировки. Из уравнений (19.6), (19.11) и (19.20) следует, что перенормировочная константа для вильсоновского коэффициента C точно равна обратной величине перенормировочной константы для операторов N_R . Таким образом, мы получаем уравнение Каллана – Симанзика

⎧

⎨

⎩

μ

∂

∂μ

+

β(g)g

∂

∂g

–γ

_NS

(g,n)

⎫

⎬

⎭

C

_n

^2NS

(Q²/μ²,g²/4π)=0 ,

(20.1)

решение которого имеет вид

C

_n

^2NS

(Q²/μ²,g²/4π)

=

=

e

^{-∫t₀ d log(Q'/μ)γ_NS(g(Q'²),n)}

C

_n

^2NS

(1,α

_s

(Q²)) ,

t

=

½log Q²/μ² .

(20.2)

Для синглетных операторов имеются некоторые дополнительные усложнения, обусловленные тем, что возникает система связанных уравнений. Необходимо ввести дополнительную структурную функцию ƒ_V(x,Q²) , физический смысл которой состоит в том, что она описывает распределение глюонов в нуклоне. Используя векторные обозначения

^⃗

ƒ=

⎛

⎜

⎝

ƒ_F

ƒ_V

⎞

⎟,

⎠

^⃗

C

ⁿ

=

⎛

⎜

⎝

C

_n

^F

C

_n

^V

⎞

⎟,

⎠

^⃗

μ

₂

(n,Q²)=

∫

¹

 

₀

dx x

^n-2

^⃗

ƒ

₂

(x,Q²) ,

(20.3)

аналог выражения (20.2) для синглетного случая можно записать в виде

^⃗

C

_n

²

(Q²/μ²,g²/4π)

=

=

Τe

^{-∫t₀ d log(Q'/μ)γ(g(Q'²),n)}

^⃗

C

_n

²

(1,α

_s

(Q²)) ,

(20.4)

Здесь оператор Τ формально совпадает с оператором упорядочения по времени, за исключением того, что он действует на переменную t=½log Q²/μ² . (Подробное изложение см. в работах [157, 162].) Асимптотическая свобода КХД позволяет использовать теорию возмущений и из уравнений (20.2) и (20.4) вычислить вильсоновские коэффициенты. Но так как величины Aⁿ пока неизвестны, можно рассчитать лишь характер зависимости моментов от переменной Q² . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим уравнение (20.2) в низшем порядке теории возмущений. Решение этого уравнения имеет вид

C

_n

^2NS

(Q²/μ²,g²(μ)/4π)

=

C

_n

^2NS

(1,0)

⎛

⎜

⎝

log Q²/Λ²

log μ²/Λ²

⎞^d(n)

⎟

⎠

,

(20.5)

где аномальная размерность d(n) определяется формулой

d(n)

= -γ

₍₀₎

^NS

(0)/2β

₀

.

(20.6 а)

Коэффициенты Cⁿ_2NS(1,0) равны просто вильсоновским коэффициентам, полученным в § 18 для случая свободных полей. Неизвестные константы Aⁿ и μ² можно исключить, нормируя на заданное значение Q²₀ , достаточно большое, чтобы константа связи α_s(Q²₀) была малой и было оправданно применение теории возмущений. В результате получаем уравнения КХД, описывающие в ведущем порядке теории возмущений зависимость моментов μ от переменной Q² . Опуская некоторые индексы, находим решения этих уравнений: для несинглетного случая

μ

_NS

(n,Q²)

=

⎡

⎢

⎢

⎣

α_s(Q

₂

⁰ )

α_s(Q

₂

  )

⎤^d(n)

⎥

⎥

⎦

μ

_NS

(n,Q

₂

⁰

)

(20.6 б)

и для синглетного случая

^⃗

μ(n,Q²)

=

⎡

⎢

⎢

⎣

α_s(Q

₂

⁰ )

α_s(Q

₂

  )

⎤^ⅅ(n)

⎥

⎥

⎦

^⃗

μ(n,Q

₂

⁰

);

ⅅ(n)

=

–γ

⁽⁰⁾

(n)/2β

₀

.

(20.7)

Рис. 14. Диаграммы, используемые при вычислении коэффициента Z^NS_n.

Остается лишь вычислить аномальные размерности γ(0)NS и γ(0)(n) . Сначала нужно вывести фейнмановские правила диаграммной техники для операторов N. Они получаются прямым вычислением (см. § 42) и приведены в приложении Д. Затем надо вычислить перенормировочные константы для операторов N. Результат для синглетного случая можно найти в работе [162]. Здесь мы рассмотрим вычисление величин Nμ1…μnNS , которым соответствуют диаграммы рис. 14. В фейнмановской калибровке диаграмма рис. 14, а дает

V

_Aij

=i

⁵

g²

∫

d

^D

k

^̂

γ^μkΔ(Δ⋅k)^n-1kγ^ν(-g_μν)

k⁴(k-p)²

 

∑

^a,l

t

_a

^il

t

_a

^lj

.

Для того чтобы вычислить перенормировочный множитель Z , достаточно знать расходящуюся часть коэффициента при величине (Δ⋅p)^n-1Δ . Будем использовать обозначение a^eff₌b , которое означает, что величины а и b имеют одинаковые расходящиеся части. После стандартных выкладок получаем

V

_Aij

=

ig²C

_F

δ

_ij

∫

¹

 

₀

dx(1-x)

×

∫

d

^D

l

^̂

–2γ^α(l+xp)Δ(l+xp)γ_α[Δ⋅(l+xp]^n-1

(l²+x(1-x)p²)³

.

Расходящаяся часть члена, пропорционального величине (Δ⋅p)^n-1Δ легко выделяется и имеет вид

V

_Aij

_eff

=

 

ig²δ

_ij

C

_F

∫

₁

 

⁰

dx(1-x)

∫

d^Dl^̂

[l²+x(1-x)p²]³

×

⎧

⎨

⎩

–

2l²

D

γ

^α

γ

^β

Δ

γ

_β

γ

_α

x

^n-1

⎫

⎬

⎭

Δ

(

Δ

⋅p)

^p-1

=

g²

16π²

N

_ε

C

_F

2

n(n+1)

(

Δ

⋅p)

^n-1

Δ

δ

_ij

.

(20.8)

Вклад диаграммы рис. 14, б описывается выражением

V

_Bij

=

–i³g²C

_F

δ

_ij

×

∫

d

^D

k

^̂

Δ^μΔ {∑

_n-2

^l=0 (Δ⋅p)^l[Δ⋅(p+k)]^n-l-2(p+k)γ_μ

k²(k+p)² 

.

Здесь также необходимо найти коэффициент при величине (Δ⋅p)^n-1Δ. Повторяя ту же процедуру, получаем

V

_Bij

_eff

=

 

2ig²C

_F

δ

_ij

Δ

∫

¹

 

₀

dx

∫

d

^D

q

^̂

∑

_n-2

^l=0 (Δ⋅p)^l[Δ⋅q+xΔ⋅p]^n-1-l

(q²+x(1-x)p²)²

_eff

=

 

-2

g²N_ε

16π²

C

_F

δ

_ij

(

Δ

⋅p)

^n-1

Δ

∫

¹

 

₀

dx

_n-1

∑

^l=1

x

^l

=

g²

16π²

N

_ε

C

_F

δ

_ij

⎛

⎜

⎝

–2

_n

∑

^l=2

1

l

⎞

⎟

⎠

(

Δ

⋅p)

^n-1

Δ

.

(20.9)

Диаграмма рис. 14, в приводит к ответу, совпадающему с результатом (20.9) для диаграммы рис. 14, б. Диаграмма рис. 14, г приводит к результатам, эквивалентным перенормировочному коэффициенту Z_F . Чтобы вычислить тетерь аномальные размерности y γ_NS , необходимо добавить вклады от контрчленов, обеспечивающие конечность выражения Z_nZ^-1_FN . Таким образом, используя значение перенормировочного множителя Z_F , вычисленное в § 9, находим