Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 1 (всего у книги 17 страниц)

F. J. Yndurain

Quantum

Chromodynamics

An Introduction to the Theory of Quarks and Gluons

Springer-Verlag

New York Berlin

Heidelberg Tokyo

1983

Ф. Индурайн

Квантовая

хромодинамика

Введение в теорию кварков и глюонов

Перевод с английского А.А. БЫКОВА

под редакцией

д-ра физ.-мат. наук И.М. Дремина

Москва

«Мир» 1986

ББК

22.382

И60

УДК

539. 12

Индурайн Ф.

И60

Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов: Пер. с англ. – М.: Мир, 1986 – 288 с., ил.

Книга испанского физика Ф. Индурайна представляет собой курс современной теории сильных взаимодействий – квантовой хромодинамики. Она содержит практически весь основной материал, необходимый для ознакомления с важнейшими результатами, полученными в рамках пертурбативной КХД, и овладения вычислительными методами теории. Материал изложен с приведением всех промежуточных выкладок и с большим педагогическим мастерством, что позволяет использовать книгу в качестве учебного или справочного пособия.

Книга предназначена для научных работников, студентов и аспирантов физических факультетов, специализирующихся в области физики элементарных частиц.

И

1704070000 – 149

73 – 86, ч. 1

041(01)– 86

ББК 22.382

530.4

Редакция литературы по физике

©

by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1983 All Rights Reserved. Authorized translation from English language edition published by Springer-Verlag New York – Berlin – Heidelberg – Tokyo

©

перевод на русский язык, дополнения, исправления, ”Мир”, 1986.

Предисловие редактора перевода

Термин "квантовал хромодинамика" (КХД) стал одним из самых популярных в физической литературе, посвященной взаимодействиям частиц. Так называется теория взаимодействий кварков и глюонов – основных составляющих сильновзаимодействующих частиц (адронов). Фактически КХД является единственным серьезным кандидатом, претендующим на описание структуры адронов и процессов их соударений.

Историю КХД можно разделить на три десятилетних этапа. Около 30 лет назад (в 1954 г.) были сформулированы основы неабелевых калибровочных теорий – фундамент КХД. Понятий "кварк" и "глюон" тогда еще не существовало. Они появились спустя десять лет и вначале никак не связывались с математическим аппаратом неабелевых теорий, казавшимся в то время чисто формальным. Понадобилось еще почти десятилетие, чтобы синтез этих двух идей привел к формулировке КХД – существенно нелинейной теории взаимодействия кварков и глюонов – объектов, не наблюдавшихся в свободном состоянии, но входящих в состав адронов и полностью определяющих их взаимодействия.

Существенная нелинейность теории, проявляющаяся в самодействии глюонов, приводит к важным физическим следствиям. Одним из них является свойство "асимптотической свободы", т.е. уменьшение "константы" взаимодействия кварков и глюонов при их сближении до очень малых расстояний. Оно играет важную роль в процессах с большой передачей импульса и облегчает теоретикам задачу вычисления характеристик таких процессов, допуская применение методов теории возмущений.

Вместе с тем на "больших" расстояниях (> 1 ферми = 10 ^-13см), видимо, эта же нелинейность приводит к таким силам между кварками и глюонами, которые не позволяют этим объектам появляться в свободном состоянии. Именно трактовка эффектов, связанных с большими расстояниями, является «камнем преткновения» КХД; с нею связаны основные нерешенные проблемы. А важность этих проблем нельзя недооценивать. Даже в упомянутых выше «жестких» процессах с большой передачей импульса между кварками или глюонами в экспериментах наблюдаются лишь их совокупности – адроны, а не кварки и глюоны сами по себе. Значит, процесс перехода от языка кварков и глюонов к языку физических адронных состояний должен быть строго описан в рамках теории. Но эти превращения происходят на достаточно больших расстояниях, где в нашем распоряжении пока нет адекватного математического метода решения уравнений квантовой хромодинамики.

Таким образом, квантовая хромодинамика еще находится в периоде становления. Вместе с тем многие важные вопросы здесь уже выяснены, и полученные теоретические результаты применяются при интерпретации и описании экспериментальных данных. Книга Ф. Индурайна подводит итог десятилетнему этапу развития КХД, достаточно полно отражая все успехи и пока еще не поддающиеся решению проблемы.

Поскольку эта книга возникла в результате обработки лекций, читавшихся студентам, изложение в ней построено по принципу перехода от простого к сложному с подробным разъяснением всех вновь вводимых понятий. Предполагается, что читатель уже знаком с основами квантовой теории поля. Используется стандартная операторная формулировка квантовой хромодинамики и лишь в конце книги уделено некоторое место функциональным методам. Естественно, что при сравнительно небольшом объеме книги автору пришлось ограничиться наиболее разработанными частями КХД.

Две главы книги отведены применениям КХД к жестким процессам и к структуре адронов, т.е. помимо расчетов по теории возмущений автору приходится упоминать и о методах, выходящих за ее рамки. Однако многие из них еще не доросли до того уровня, который позволил бы включить их в учебную литературу, поэтому они лишь кратко упоминаются. Читателю, желающему подробнее ознакомиться с этими подходами (например, с решеточными моделями, с 1/N-разложением и т.п.), придется обращаться к обзорным статьям в журналах или же к другим более специализированным пособиям по квантовой хромодинамике. Сейчас уже имеется около десяти книг на русском языке, которые в той или иной мере касаются вопросов, рассматриваемых в книге Индурайна, трактуя их иногда под несколько другим углом зрения. Поэтому можно сказать, что учебная литература по взаимодействиям кварков и глюонов достаточно обширна, чтобы подвести читателя к изучению обзорных и оригинальных статей по затрагиваемым здесь проблемам. Несомненно, книга Индурайна займет в ней одно из центральных мест.

Она будет весьма полезна студентам старших курсов и аспирантам, специализирующимся по теории взаимодействий частиц, при изучении ими современных методов расчета в квантовой теории поля. Конечно, и специалисты, уже активно работающие в этих направлениях, будут использовать ее как краткое справочное пособие по основам квантовой хромодинамики и ее приложениям ко многим адронным процессам на современном этапе развития этой бурно прогрессирующей области физики.

Для издания на русском языке автор несколько переработал и дополнил отдельные главы книги с учетом последних достижений квантовой хромодинамики. При переводе были устранены замеченные неточности и опечатки. В ряде мест даны небольшие примечания, поясняющие мысль автора или используемую терминологию.

И.М. Дремин

ПРЕДИСЛОВИЕ

Около тридцати лет назад, в 1954 г., Янг и Миллс опубликовали результаты своих исследований по теории калибровочных полей [276]. Сейчас можно почти с уверенностью сказать, что развитая на этой основе неабелева калибровочная теория – квантовая хромодинамика – способна адекватно описывать процессы, происходящие при сильных взаимодействиях частиц. И хотя мы еще не до конца понимаем содержание квантовой хромодинамики, но уже получены важные теоретические результаты, многие из которых подтверждены экспериментально, позволяющие дать последовательную и непротиворечивую интерпретацию КХД.

Конечно, любое изложение КХД нельзя считать полным, так как сама теория еще развивается. Это нашло свое отражение в выборе вопросов, рассмотренных в книге. Я пытался обсуждать только те аспекты теории, трактовка которых, по-видимому, не изменится в будущем. В частности, рассматривались только те результаты, вывод которых из "первых принципов" требует минимального числа произвольных допущений. Несомненно, мои личные склонности также повлияли на выбор излагаемого материала. Любой из нас неизбежно стремится уделить больше внимания предмету, с которым он хорошо знаком, и избежать обсуждения вопросов, в которых он не является специалистом. Я не буду останавливаться на перечислении тех вопросов, которые, может быть, следовало включить в книгу (см. § 46 ) ¹⁾. Список литературы должен в некоторой степени восполнить эти пробелы.

¹⁾ Больше всего я жалею о том, что опускаю рассмотрение КХД на решетке. В то время, когда я писал первоначальный вариант этой книги, КХД на решетке еще не испытала того бурного развития, свидетелями которого мы являемся в последнее время. К сожалению, детальное изложение этого раздела хромодинамики вызвало бы чрезмерную задержку сроков публикации книги.

Данная книга возникла из цикла лекций, которые я в течение нескольких последних лет читал студентам старших курсов. Она отражает вводный и педагогический характер этих лекций. Я попытался написать логически замкнутый текст, в котором по возможности не было бы выражений типа "можно показать, что …” или "как хорошо известно,…”. Однако я предполагал, что читатель знаком с основными понятиями теории поля и методами феноменологического описания элементарных частиц; при этом я не сомневался также, что иногда ему все-таки придется обращаться за помощью к литературе.

Конечно, данная книга во многом обязана оригинальным статьям и обзорам по квантовой хромодинамике; все это отражено в ссылках. Я искренне признателен моим коллегам А. Гонсалес-Арройо, К. Бекши, С. Нарисону, Дж. Барнабыо, Е. де Рафаэлю, Р. Таррачу и в особенности К. Лопесу и П. Паскьюэлю (указавшим на ряд ошибок в первоначальном варианте книги) и многим другим за многочисленные полезные обсуждения. Я хочу также выразить благодарность А. Малене за неоценимую помощь в подготовке рукописи к печати.

Глава I ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

§ 1. Как возникла квантовая хромодинамика

Квантовая хромодинамика (КХД) возникла в результате развития кварковой модели. В начале шестидесятых годов было установлено, что адроны можно классифицировать по представлениям группы SU_F(3), которая теперь называется SU_F(З)-группой аромата [136, 211]. Такая классификация обладала рядом интересных особенностей. Прежде всего в ней фигурировали только некоторые довольно специфические представления этой группы. При добавлении группы спиновых вращений SU(2) к группе внутренней симметрии SU_F(3) они образовывали представления группы SU(6) [163, 214]. Но фундаментальные представления ни для группы SU_F(3), ни для группы SU(6) (3 и 3 для SU_F(3)), по-видимому, не обнаруживаются в природе. Это заставило Гелл-Манна [138] и Цвейга [282] постулировать, что физические адроны не элементарны, а состоят из трех кварков (барионы) или кварка и антикварка (мезоны). Теперь хорошо известны три сорта, или аромата, кварков, входящих в состав обычных адронов. Они получили следующие обозначения: u (up – верхний), d (down – нижний), s (strange – странный); первые два кварка несут квантовые числа изоспина, a s -кварк – квантовое число странности. Было установлено, что в природе встречаются именно те представления группы SU_F(3), которые можно получить редукцией произведений ЗхЗх3 (барионы) или 3x3 (мезоны); при учете спина кварков, равного 1/2, возникает схема SU(6). В дополнение к этому разности масс адронов можно объяснить, если предположить, что массы кварков удовлетворяют соотношениям

m

_d

–

m

_u

≈

4 МэВ,

m

_s

–

m

_d

≈

150 МэВ

(1.1)

с возможными электромагнитными радиационными поправками. Электрический заряд кварков, измеренный в долях заряда протона, оказывается дробным:

Q

_u

=

2

, Q

_d

=

Q

_s

= -

1

3

3

(1.2)

Гипотеза составных адронов имела и другие положительные стороны. Например, известно, что магнитный момент протона равен μ_p = 2,79 × eℏ/2m_p , тогда как, если бы протон был элементарен, его значение было бы равно μ_p = eℏ/2m_p . Значение же магнитного момента протона, вычисленное в кварковой модели, находится в хорошем согласии с экспериментальными результатами.

Эти успехи дали начало широкому поиску кварков, который продолжается и по сей день. Свободные кварки пока не обнаружены, но в результате этих опытов установлена нижняя граница массы свободных кварков (порядка гигаэлектронвальт), которая свидетельствует о том, что адроны представляют собой сильно связанные состояния кварков. В отношении этой модели можно выдвинуть по крайней мере два возражения. Во-первых, в основном состоянии составная система обладает нулевым орбитальным моментом. Поэтому резонанс Δ⁺⁺ должен интерпретироваться как состоящий из трех u-кварков:

u

↑,

u

↑,

u

↑,

(1.3)

(стрелками обозначены спиновые состояния кварков), неподвижных один относительно другого. Однако это абсурдно: поскольку кварки имеют спин 1/2, они должны подчиняться статистике Ферми – Дирака, а их состояния должны быть антисимметричными по отношению к перестановке любых двух частиц, чего явно нет в случае (1.3). Во-вторых, методами алгебры токов [141, 147,192] можно вычислить отношения m_s/m_d. Результат

m

_s

/

m

_d

≃ 20

,

(1.4)

противоречит оценкам (1.1) для конституентных кварков с массами ~1 ГэВ.

Возможное решение первого противоречия было предложено Гринбергом [154], предположившим, что кварки подчиняются парастатистике ранга 3. Известно, что такая парастатистика может быть получена из обычной статистики Ферми – Дирака введением нового внутреннего квантового числа^1a), которое Гелл-Манн и др. [129, 130] назвали цветом, так что каждый кварк может находиться в любом из трех цветовых состояний i = r,y,v (red—краcный, yellow – желтый, violet – синий). Теперь будем интерпретировать резонанс Δ⁺⁺ как состояние

^1a) Такое внутреннее квантовое число было введено в работе [165].

∑ε^ikl( uⁱ↑, u^k↑, u^l↑),

которое полностью антисимметрично по отношению к перестановкам любых двух частиц. При этом отсутствие состояний, скажем, из двух или четырех кварков (так называемых экзотических состояний) можно объяснить, постулировав, что все физически наблюдаемые адроны бесцветны, т.е. представляют собой синглеты по отношению к вращениям в цветовом пространстве:

U

_c

 :

q

ⁱ

 →

 

∑

^k

U

_ik

q

^k

^c

 ,

U

_c

⁺

U

_c

 =

 1 .

(1.5)

Если детерминант этих преобразований положить равным единице, чтобы исключить тривиальную полную фазу, то они образуют группу, а именно цветовую группу SU_c(3). Теперь синглетное представление появляется только в произведениях 3_c × 3_c × 3_c (барионы) или 3_c × 3_c (мезоны), и этим объясняется, почему мы имеем обычные частицы и не имеем «экзотических», не наблюдаемых в природе.

Мы пока не станем обсуждать путей разрешения второй трудности, а вместо этого еще более обострим ситуацию, перейдя к алгебре токов. Если кварки элементарны, из них следует построить токи. Так, электромагнитный ток записывается в виде

J

^μ

=

2

u

γ

^μ

u

–

1

d

γ

^μ

d

–

1

s

γ

^μ

s

+

2

c

γ

^μ

c

,

_em

3

3

3

3

(1.6 а)

а слабый заряженный ток (θ_c – угол Кабиббо) в виде

J

^μ

=

u

γ

^μ

1 – γ

₅

d

_θ

+

c

γ

^μ

1 – γ

₅

s_θ

,

₂

2

2

(1.6 б)

d

_θ

=

d

cosθ

_c

+

s

sinθ

_c

;

s

_θ

=

–

d

sinθ

_c

+

s

cosθ

_c

.

Здесь подразумевается суммирование по опущенным цветовым индексам и учтен вклад кварка с (charmed – очарованный). Гелл-Манн [137, 139] постулировал, что на малых расстояниях коммутационные соотношения между этими токами такие, как если бы входящие в них кварковые поля были свободны и описывались лагранжианом вида

ℒ

_quarks

≈ ℒ

₀

(x)

 =

∑

∑

q

^j

(x)(i

∂

– m

_q

)q

^j

(x)

q=u,d,…

j

(1.7)

Трудно было понять, как может быть реализована столь странная гипотеза, но именно она привела к замечательному успеху в правилах сумм Адлера – Вайссбергера, Кабиббо – Радикати и при вычислениях Цирлином и другими радиационных поправок к β-распаду ядер.

К другому взгляду на кварковую модель приводят эксперименты по глубоконеупругому рассеянию. Виртуальный фотон или W-бозон с большой инвариантной массой Q² и высокой энергией ν рассеивается на некоторой мишени (например, на протоне). При этом получается удивительный результат (предсказанный Бьёркеном [39]) – сечение рассеяния имеет вид

dσ

 =

α

{

W

₂

cos

²

_θ

 2W

₁

sin

²

_θ

}

dΩdk

_'

4m

 

k

₂

sin

⁴

θ/2

₂

₂

⁰

^p

⁰

(1.8a)

и eсли написать

ƒ

₁

(x,Q

²

) = 2xW

₁

,

(1.8б)

ƒ

₂

(x,Q

²

)

=

ν

m

₂

^p

W

₂

x = Q

²

/ν ,

∫

𝑑

⁴

z

⟨p|[J

^μ

(z),J

^ν

(0)]|p⟩

e

^iq⋅z

≈

–g

^μν

W

₁

+

1

m

₂

^p

p

^μ

p

^ν

W

₂

то функции ƒ_i почти не зависят от Q² при Q² → ∞, когда переменная x имеет фиксированное значение (бьёркеновский скейлинг). Фейнман показал, как это можно интерпретировать. Если рассматривать cлучай Q², ν → ∞ (который ввиду (1.86) означает малые расстояния), то протон должен быть построен из составляющих – «партонов», которые не взаимодействуют между собой. Оставалось сделать только один шаг и отождествить эти партоны с кварками, которые снова оказываются свободными на малых расстояниях. Столь странное поведение кварков казалось загадочным.

Очевидно, что все эти трудности порождены сложной динамикой сильных взаимодействий, и, следовательно, их можно устранить, только простроив теорию взаимодействий этого типа. Таким образом, все зависит от того, как взаимодействуют между собой адроны. Замечательный факт адронной физики состоит в том, что, несмотря на разнообразие адронов (взять, например, массы мезонов π и K), взаимодействие между ними (константы связи и сечения рассеяния при высоких энергиях, при которых можно пренебречь разностями масс) не зависит от ароматов. Это означает, что, каковы бы ни были переносчики взаимодействий между кварками, они должны одинаково действовать на кварки всех ароматов.

Тем временем Глешоу, Вайнберг, Салам, Уорд и другие авторы построили единую перенормируемую теорию слабых и электромагнитных взаимодействий. Как показали Вайнберг [257] и Нанопулос [207], чтобы избежать катастрофического нарушения четности уже в первом порядке по константе связи α , сильные взаимодействия должны действовать не на аромат, а на некоторое другое квантовое число. Это было одной из причин, заставивших физиков выдвинуть гипотезу о том, что "склеивающие" кварки частицы (глюоны) взаимодействуют только с цветом, которого слабые и электромагнитные взаимодействия не различают (ср. с (1.6)). Берутся восемь векторных глюонов B^μ_a, a = 1,…, 8, в присоединенном представлении группы SU_c(3), взаимодействующих одинаково с кварками любого аромата. Теперь кварк-глюонный лагранжиан приобретает вид

ℒ

₁

= ℒ

₀

+ g

∑

∑

q

ⁱ

γ

_μ

t

_a

^ik

q

^k

(x)

B

_μ

^a

(x) ;

^q

^ika

(1.9)

здесь лагранжиан ℒ₀ определен формулой (1.7), a t^a = λ^a/2, где λ^a – матрицы Гелл-Манна. Последние генерируют фундаментальное представление группы SU_c(3) и удовлетворяют коммутационным соотношениям ²⁾.

² Теоретико-групповые соотношения приведены в приложении В. Цветовые индексы мы записываем произвольно в виде верхних или нижних индексов: ƒ^aЬс = ƒ_aЬс , t^ik_a = t^a_ik и т.д.

[

t

^a

,t

^b

]

=

i

 

∑

^c

 ƒ

^abc

t

^c

(1.10)

Такой цветовой и векторный характер глюонов имеет еще и то преимущество, что он позволяет объяснить расщепление масс резонанса Δ₃₃ и нуклонов [89].

Чтобы продвинуться дальше, нужно понять, что в неабелевой калибровочной теории с безмассовыми векторными полями (предложенной Янгом и Миллсом [276]) имеются скрытые инфракрасные сингулярности, которые могут препятствовать появлению свободных кварков и глюонов. Таким образом, можно,наконец,согласовать условия (1.1) и (1.4). Свободные кварки не наблюдаются потому, что они не могут расходиться на большие расстояния вследствие взаимодействия, а не из-за большой массы. Это так называемая гипотеза конфайнмента (удержания). Модифицируем лагранжиан (1.9), введя в него член, описывающий глюонные поля:

ℒ

_QCD

 =

ℒ

₁

– ¼

 

∑

^a

G

_μν

(x)G

(x) ,

^a

^aμν

(1.11)

G

_μν

 = ∂

_μ

B

_ν

 – ∂

_ν

B

_μ

 +

∑

 ƒ

B

_μ

B

_ν

 .

^a

^a

^a

^abc

^b

^c

Это дает одно дополнительное преимущество. Во всех неабелевых калибровочных теориях константа связи g автоматически получается универсальной. Выражение (1.11) представляет собой обычный лагранжиан КХД, с которого начнется изложение в следующей главе.

До сих пор все построения были в какой-то мере шаткими. Они состояли из набора предположений, достигших своего полного выражения в формуле (1.11), каждое из которых уводило нас все дальше от реального мира (пионов, протонов и т.д.) в воображаемую область (кварков и глюонов) с набором предсказаний, едва ли численно превосходящим количество предположений. Однако ситуация радикально изменилась в начале семидесятых годов. В это время т’Хофт (неопубликованная работа), Политцер [218] и независимо от них Гросс и Вильчек [160 – 162] доказали, что в теориях с лагранжианом типа (1.11) эффективная константа связи на малых расстояниях стремится к нулю (асимптотическая свобода), а на больших растет. Таким образом, они одновременно объяснили успехи алгебры токов и партонной модели, а также доказали возможность возникновения конфайнмента. Кроме того, оказалось возможным вычислить поправки к расчетам, проведенным в приближении свободных кварков. Результаты, учитывающие такие поправки, систематически согласуются с экспериментальными данными в пределах точности вычислений (и самих экспериментальных данных). В общем весьма вероятно, что КХД адекватно описывает процессы, происходящие при сильных взаимодействиях частиц ^2a).

^2a Скептическая точка зрения содержится в работе [220].

Другим важным, свойством КХД, которое, пожалуй, недостаточно подчеркивается при изложении хромодинамики, является локальный характер КХД как теории поля, что приводит (по крайней мере, если конфайнмент действительно имеет место) к локальным наблюдаемым. Точнее картина такова. Поля, являющиеся точными решениями уравнений движения, соответствующих лагранжиану (1.11), определены в гильбертовом пространстве Χ_QCD, состоящем из кварковых и глюонных векторов состояний, и строятся, например, по теории возмущений. Кварки и глюоны представлены локальными полями q(x) и В(х). Если гипотеза конфайнмента справедлива, то существует подпространство Χ_Ph, которое содержит физические состояния. Иными словами, если точно решить уравнения теории, то сохранятся только синглетные по цвету операторы. К ним относятся токи типа

∑qⁱ γ^μ (1 ± γ₅) q'ⁱ ,

и другие составные операторы: операторы для π-мезона или для протона

∑qⁱ γ₅dⁱ , ∑ε^ijkuⁱu^jd^k

и т.д. Дело в том, что эти операторы локальны, хотя они и составные; если модель верна, то наблюдаемые операторы в физическом гильбертовом пространстве Χ_Ph тоже локальны. Это существенно при выводе ^2b) всех стандартных результатов «старомодной» адронной физики – дисперсионных соотношений при фиксированном t, ограничений типа фруассаровского предела и т.д., которые, будучи проверены экспериментально, привели к впечатляющим успехам.

^2b См. работы [44, 111], в которых можно найти ссылки на соответствующую литературу.

Отметим еще одно преимущество КХД хотя оно и носит более умозрительный характер, чем упомянутые выше. КХД допускает естественное обобщение до теории Великого объединения. Поскольку SU_c(3) – более широкая группа, чем стандартная электрослабая группа SU(2) х U(l), при некотором масштабе энергий все константы связи могут стать равными по величине. Пока этот масштаб энергий (10¹⁴ ГэВ) намного выше экспериментальных возможностей, и предсказания моделей Великого объединения не противоречат существующим экспериментальным результатам.

§ 2. Теория возмущений, S-матрица и функции Грина; теорема Вика

В этом параграфе очень кратко рассматриваются основные вопросы релятивистской теории поля. Конечно, изложить теорию поля сколько-нибудь детально в столь малом объеме невозможно. Поэтому настоящий параграф служит главным образом для того, чтобы ввести необходимые обозначения и наметить в общих чертах круг вопросов, знакомство с которыми необходимо для понимания материала, излагаемого ниже. Подробное изложение теории квантованных полей содержится, например, в книгах [40, 45, 172].

Теория поля определяется заданием соответствующего лагранжиана. Если Φ_i – поля, фигурирующие в теории, то лагранжиан является функцией от полей Φ_i и их пространственно-временных производных ∂Φ_i. Лагранжиан ℒ (в действительности ℒ представляет собой плотность лагранжевой функции) принято разбивать на два слагаемых ℒ₀ и ℒ_int; при этом член ℒ₀ описывает динамику свободных полей (он получается из лагранжиана ℒ, если принять все взаимодействия равными нулю), а член ℒ_int который определяется как разность ℒ_int = ℒ – ℒ₀ , описывает взаимодействия между полями. Например, в квантовой хромодинамике полный лагранжиан выражается в виде (1.11), а лагранжиан свободных полей записывается в следующем виде:

ℒ

₀

=

∑

q

(x)(i

∂

 -

m

_q

)q(x)

-

¼

∑

(∂

^μ

B

_ν

(x) – ∂

^ν

B

_μ

(x))

^q

^a

 

^q

 

^a

×

(∂

_μ

B

_aν

(x) – ∂

_ν

B

_aμ

(x)).

Кроме основных, или элементарных, полей Φ_i, фигурирующих в теории (в случае КХД это поля q для кварков и B для глюонов), часто встречаются составные операторы (как правило, это локальные комбинации полей Φ_i), т.е. комбинации» содержащие произведения конечного числа полей Φ_i и их производных, взятых в одной и той же точке x. Например, в КХД используются операторы токов q(x)γ^μq'(x). Конечно, и сам лагранжиан ℒ(х) является составным локальным оператором.

Из локальных полей или из локальных операторов (элементарных или составных) можно образовать новые локальные операторы. Самый простой способ заключается в обычном перемножении операторов. Но имеются два других типа произведений, которые будут неоднократно рассматриваться в дальнейшем, – виковское и хронологическое произведения локальных операторов. Для свободных полей виковское, или нормальное, произведение определяется следующим образом. Разложим поля Φ_i по операторам рождения и уничтожения. Результат имеет вид

Φ

_i

(x)

 =

∑

C

_(n)

(x)a

_n

+

∑

C

_(n)

(x)

a

₊

 ,

ⁱ

ⁱ

ⁿ

n

n

где операторы a и a могут совпадать или не совпадать. Например, если поля Φ отождествить с кварковыми полями q , то их разложение имеет вид

q(x)

 =

1

∑

∫

d

^⃗

p

{

e

^-ip⋅x

u(p,σ)a(p,σ) + e

^ip⋅x

v(p,σ)

a

⁺

(p,σ)

}

,

(2π)

^3/2

2p

⁰

^σ

где u и v – обычные дираковские спиноры, а a⁺ (a⁺) – операторы рождения частиц (античастиц). Виковское произведение : Φ₁(x₁)Φ₂(x₂): получается перестановкой всех операторов рождения левее всех операторов уничтожения. При перестановках учитываются коммутационные (антикоммутационные) соотношения между бозонными (фермионными) операторами. В результате получается

:Φ

₁

(x

₁

)Φ

₂

(x

₂

):

≡

 

∑

^n,n'

⎧

⎨

⎩

C

_(n)

¹

(x

₁

)

C

_(n)

²

(x

₂

)a

_n

a

_n'

+

C

_(n)

¹

(x

₁

)

C

_(n)

²

(x

₂

)

a

₊

ⁿ

a

₊

^n'

+

C

_(n)

¹

(x

₁

)C

_(n')

²

(x

₂

)

a

₊

ⁿ

a

_n'

+

(-1)

^δ

C

_(n)

¹

(x

₁

)

C

_(n')

²

(x

₂

)

a

₊

^n'

a

_n

⎫

⎬

⎭

,

Здесь δ = 1 для фермионов и δ = 0 для бозонов.

Обобщение определения виковского произведения на большее число сомножителей :Φ₁(x₁) … Φ_n(x_n): или на виковское произведение от других виковских произведений типа : ( :Φ₁(x₁)Φ₂(x₂): ) ( :Φ₃(x₃)Φ₄(x₄): ) : производится непосредственно. Рецепт состоит в следующем: поля разлагают по операторам рождения и уничтожения и, учитывая коммутационные соотношения, переписывают выражение так, чтобы операторы рождения стояли левее операторов уничтожения.

Нетрудно проверить, что виковское произведение локальных операторов, взятых в одной и той же точке, тоже локально³⁾, т. е. если операторы O₁,…,O_n локальны, то и виковское произведение этих операторов :O₁(x)…O_n(x): локально.

³ Оператор O_α(x) называется локальным, если при преобразованиях Пуанкаре он преобразуется по формуле U(a,Λ)O_α(x)U^-1(a,Λ) = ∑ P_αα⋅(Λ)O_α'(Λx+a) и коммутирует сам с собой в разных пространственных точках.

Еще одним важным свойством виковского произведения является его регулярность. Иными словами, для любых состояний a и b матричные элементы от виковского произведения ⟨а∣ :O₁(x₁)…O_n(x_n): ∣b⟩ являются регулярными функциями переменных (x₁),…,(x_n).

Хронологическое произведение, или Т-произведение, локальных (элементарных или составных) операторов O₁(x₁)…O_n(x_n) определяется следующим образом:

TO₁(x₁)…O_n(x_n) ≡ T{ O₁(x₁)…O_n(x_n) } = (-1)^δO_i1(x_i1) … O_in(x_in)

В правой части этого выражения операторы расположены в такой последовательности, что их временные аргументы удовлетворяют условию x⁰_i1 ≥ x⁰_i2 ≥ … ≥ x⁰_in , а параметр δ равен числу перестановок индексов, соответствующих фермионным операторам, которые необходимо выполнить,чтобы из исходной последовательности 1,…,n составить последовательность i₁,…,i_n. Иначе говоря, хронологическое произведение TO₁(x₁)…O_n(x_n) можно получить, переставляя операторы так, чтобы их временные аргументы образовывали невозрастающую последовательность, учитывая при этом коммутационные (антикоммутационные) соотношения для бозонных (фермионных) операторов. Например, для двух сомножителей q₁(x) и q₂(y) получаем

Tq₁(x)q₂(y) = θ(x⁰ – y⁰)q₁(x)q₂(y) – θ(y⁰ – x⁰)q₂(y)q₁(x)

или

Tq₁(x)B₂(y) = θ(x⁰ – y⁰)q₁(x)B₂(y) + θ(y⁰ – x⁰)B₂(y)q₁(x)

Следует помнить, что бозонные и фермионные операторы всегда коммутируют и хронологическое произведение операторов релятивистски инвариантно.

S-матрица представляет собой оператор, переводящий векторы, отвечающие свободным состояниям системы в момент времени t=-∞ в векторы, отвечающие свободным состояниям этой системы в момент времени t=+∞. S-матрица может быть получена из лагранжиана взаимодействия при помощи формулы Мэттьюза

S

 =

T exp i

∫

d

⁴

xℒ

₀

^int

(x).

(2.1а)

Здесь ℒ⁰_int(х) – лагранжиан взаимодействия, выраженный через нормально упорядоченные произведения полей, удовлетворяющих тем же коммутационным соотношениям, что и свободные поля. Хронологическая экспонента представляет собой формальное выражение, фактически определяемое разложением в ряд:

S

 =

T exp i

∫

d

⁴

xℒ

₀

^int

(x)

 ≡

1 + i

∫

d

⁴

xℒ

₀

^int

(x) + …

+

i

ⁿ

∫

d

⁴

x

₁

… d

⁴

x

_n

Tℒ

₀

(x

₁

) … ℒ

₀

(x

_n

) … .

n!

^int

^int

(2.1б)

Часто вместо матричных элементов S-матрицы будут рассматриваться матричные элементы токов (или произведений токов), а также матричные элементы составных операторов более общего вида. Их можно получить, введя в лагранжиан взаимодействия ℒ⁰_int вспомогательные члены. Предположим, например, что рассматривается матричный элемент вида

⟨a

|

TJ

_μ

(x)J

_ν

(y)

|

b⟩

¹

²

(2.2)

где J – слабые или электромагнитные токи (см. формулу (1.6)). Для этого заменим лагранжиан ℒ_int слeдyющим выражением:

ℒ

_φ

 =

ℒ

+ J

(x)Φ

_μ

(x) + J

(x)Φ

_μ

(x) ,

^int

^int

^1μ

¹

^2μ

²

(2.3)

в котором поля φ являются c-числовыми вспомогательными полями. Разлагая в ряд, получаем

⟨

a

|

T exp i

∫

d

⁴

x ℒ

_φ

^int

(x)

|

b

⟩

= ⟨

a

|

b

⟩ +

i

⟨

a

|

∫

d

⁴

x

{

ℒ

₀

(x) +

∑

J

₀

(x)Φ

_μ

(x)

}

|

b

⟩

^int

^iμ

ⁱ

ⁱ

+ … +

i

ⁿ

n!

⟨

a

|

∫

d

⁴

x

₁

…d

⁴

x

_n

T

×

{

ℒ

₀

^int

(x

₁

) +

∑

J

₀

^iμ

(x

₁

)Φ

_μ

ⁱ

(x

₁

)

}

× …

ⁱ

×

{

ℒ

₀

^int

(x

_n

) +

∑

J

₀

^iμ

(x

_n

)Φ

_μ

ⁱ

(x

_n

)

}

|

b

⟩ + … .

ⁱ

Предположим, что поля φ бесконечно малы, и сохраним в разложении только члены порядка O(φ) и O(φ²). Последние имеют вид

i

ⁿ

⟨

a

|

∫

d

⁴

x

₁

…d

⁴

x

_n

∑

Tℒ

₀

(x)