Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"
Автор книги: Франсиско Индурайн
Жанр:
Физика
сообщить о нарушении
Текущая страница: 12 (всего у книги 17 страниц)
m̂
u
+m̂
d
≥
⎧
⎪
⎩
2π
3
⎫½
⎪
⎭
⋅
8m
2
π
ƒ
2
π
3⟨αG²⟩½
{1±δ} ,
(32.6)
где δ – поправка~25%. Если использовать значение вакуумного среднего ⟨αsG²⟩0 , полученное из спектроскопии чармония [229, 230] или в вычислениях на решетке [96], то получим такие численные оценки:
m̂
u
+m̂
d
≥(23±8) МэВ ,
⟨α
s
G²⟩≈0.044
+0.014
-0.006
ГэВ
4
.
(32.7)
Эта ограничения не учитывают возможные ошибки в определении значения вакуумного среднего ⟨αsG²⟩ . Если добавить и их, то получим ограничение снизу
m̂
u
+m̂
d
≥13 МэВ .
(32.8)
Во всяком случае, это ограничение совместимо в пределах ошибок с ограничениями (31.7), хотя некоторое предпочтение отдается бо́льшим массам кварков.
Этот метод можно использовать не только для получения ограничений на массы кварков, но и для оценки их значений. С этой целью в рамках той или иной модели вычисляют функцию Im Ψ5ij(t), для которой при больших t используют выражение, полученное из КХД, а низкоэнергетическую часть параметризуют (одним или несколькими) резонансами. Таким способом получена оценка [169, 254, 284*]
m̂
u
+m̂
d
≥(20±6) МэВ ,
(32.9)
Недавно был развит альтернативный метод [210], который можно рассматривать как основанное на КХД улучшение классических оценок, полученных в работе [192]. Этот метод позволил получить приближенное значение m̂u+m̂d≈(27±8) МэВ при параметре обрезания Λ=130 ± 50 МэВ. Как было указано выше, мы получаем массы кварков, согласующиеся с оценками (31.7), но смещенные в сторону больших значений. Между прочим, эти оценки показывают, что ограничение (32.6) является очень строгим, и, возможно, приближенное равенство
m̂
u
+m̂
d
≈
⎧
⎪
⎩
2π
3
⎫½
⎪
⎭
⋅
8m
2
π
ƒ
2
π
3⟨αG²⟩½
,
по крайней мере в некотором пределе, является точным.
§ 33. Распад π0→γγ; аксиальная аномалия
Одно из первых указаний на существование цветовых степеней свободы было получено при изучении распада π0→γγ, к детальному рассмотрению которого мы теперь переходим.
Используя редукционные формулы, амплитуду этого распада можно записать в виде
⟨γ(k
1
,λ
1
),γ(k
2
,λ
2
)
|S|π
0
(q)⟩
=
-ie2
(2π)9/2
ε
*
μ
(k
1
,λ
1
)
ε
*
ν
(k
2
,λ
2
)
∫
𝑑
4
x
1
𝑑
4
x
2
𝑑
4
z
e
i(x1⋅k1+x2⋅k2-z⋅q)
×
(∂
2
z
+m
2
π
⟨TJ
μ
em
(x
1
)
J
ν
em
(x
2
)
φ
π0
(z)⟩
0
,
(33.1)
где принято
∂A
μ
(x)=J
μ
em
(x),
A – поле фотонов48а). Выделяя дельта-функиию δ(k1+k2+q), получаем
48а) Мы оставляем читателю в качестве упражнения доказательство этого равенства, а также равенства ∂
2
x1 ∂
2
x2 TAμ(x1)Aν(x2)φ(z) = T(∂²Aμ(x1)∂²Aν(x2))φ(z) , означающего, что возможные члены, в которых производные действуют на функцию θ01-z0 в хронологическом произведении, приводят к вкладам, равным нулю.
F(π
0
)→γ(k
1
,λ
1
),γ(k
2
,λ
2
))
=
e
2
(q
2
–m
2
π
)
√2π
ε
*
μ
(k
1
,λ
1
)
ε
*
ν
(k
2
,λ
2
)
F
μν
(k
2
,k
2
) ,
(33.2а)
где вакуумное среднее
F
μν
(k
2
,k
2
)
=
∫
𝑑
4
x𝑑
4
y
e
i(x⋅k1+y⋅k2)
⟨TJ
μ
(x)J
ν
(y)φ
π0
(0)⟩
0
,
q
=
k
1
+k
2
.
(33.2б)
Всюду в дальнейшем при токе J подразумевается индекс em, обозначающий электромагнитное взаимодействие. Теперь можно использовать соотношение (31.1), обобщив его так, чтобы включить поля π0-мезонов:
∂
μ
A
μ
3
(x)
=
2ƒ
π
m
2
π
φ
π0
(x),
A
μ
3
(x)
=
u
(x)γ
μ
γ
5
u(x)
–
d
(x)γ
μ
γ
5
d(x),
(33.3)
и записать с его помощью равенства
F
μν
(k
1
,k
2
)
=
1
ƒπm
2
π
T
μν
(k
1
,k
2
),
T
μν
(k
1
,k
2
)
=
1
2
∫
𝑑
4
x𝑑
4
y
e
i(x⋅k1+y⋅k2)
⟨TJ
μ
(x)J
ν
(0)∂A
3
(0)⟩
0
.
(33.4)
До сих пор все вычисления были точными. Следующий же шаг связан с применением гипотезы частичного сохранения аксиального тока (ЧСАТ), сформулированной в таком виде: предполагается, что в пределе q²→0 амплитуду F(π→γγ) можно аппроксимировать ее ведущим членом. Из чисто кинематических соображений видно, что при этом также q, k1, k2 → 0. Тогда можно написать
T
μν
(k
1
,k
2
)
=
ε
μναβ
k
1α
k
2β
Φ+O(k
3
).
(33.5)
Гипотеза частичного сохранения аксиального тока означает, что в выражении (33.5) мы сохраняем только первый член. Ниже будет показано, что это приводит к противоречию, для разрешения которого необходимо ввести так называемую аксиальную аномалию, что позволит точно вычислить тензор Tμν во всех порядках теории возмущений (в приближении ЧСАТ).
Первый шаг состоит в рассмотрении величины
R
μνλ
(k
1
,k
2
)
=
∫
𝑑
4
x𝑑
4
y
e
i(x⋅k1+y⋅k2)
⟨TJ
μ
(x)J
ν
(y)A
λ
3
(0)⟩
0
.
(33.6)
Исходя только из требования лоренц-инвариантности, для нее можно написать общее разложение
R
μνλ
(k
1
,k
2
)
=
ε
μνλα
k
1α
Φ
1
+
ε
μνλα
k
2α
Φ
2
+O(k³),
(33.7)
где члены O(k³) имеют вид εμλαβkiαkiβklλΦlij + три перестановки, и для случая m≠0 функция Φ является регулярной в пределе ki→0. Сохранение электромагнитного тока ∂J=0 приводит к равенствам
k
1μ
R
μνλ
=
k
2ν
R
μνλ
=0;
(33.8)
первое из этих равенств обеспечивает выполнение соотношения
Φ
1
=
O(k²),
(33.9а)
а второе – соотношения
Φ
2
=
O(k²),
(33.9б)
Но из формул (33.4) и (33.6) следует равенство
q
λ
R
μνλ
(k
1
,k
2
)
=
T
μν
(k
1
,k
2
), т.е. Φ=Φ
2
–Φ
1
,
(33.10)
и, следовательно, учитывая выражения (33.9) , получаем результат [238, 255]
Φ=O(k²).
(33.11)
Импульс k имеет величину порядка m откуда следует оценка Φ2π. По это противоречит эксперименту и, что еще хуже, противоречит результату прямого вычисления. Действительно, используя уравнение движения, можно написать
∂
μ
A
μ
3
(3)=2i
⎧
⎨
⎩
m
u
u
(x)γ
5
u(x)
–
m
d
d
(x)γ
5
d(x)
⎫
⎬
⎭
.
(33.12)
Рис. 25. Диаграммы с аномалиями (а, б) и диаграммы, не содержащие аномалий (в, г).
Проведем вычисления в нулевом порядке теории возмущений по константе связи αs ; очевидно, что в этом порядке выражение (33.11) должно быть справедливо. Этому соответствуют диаграммы рис. 25, а. Результат, полученный впервые в работе [234], в пределе k1,k2→0 при δu=1, δd=-1 имеет вид
T
μν
(k
1
,k
2
)
=
3×2×
∑
f=u,d
δ
ƒ
Q
2
ƒ
m
ƒ
×
∫
𝑑4p
2(π)4
⋅
Tr γ
5
(
p
+k
1
+m
ƒ
)
γ
μ
(
p
+m
ƒ
)
γ
ν
(
p
–k
2
+m
ƒ
)
[(p+k
1
)²-m
2
ƒ
](p²-m
2
ƒ
[(p-k
2
)²-m
2
ƒ
]
=
-1
4π²
ε
μναβ
k
1α
k
2β
⎧
⎨
⎩
3(Q
2
u
–Q
2
d
)
⎫
⎬
⎭
+O(k
4
)
=
-1
4π²
ε
μναβ
k
1α
k
2β
+O(k
4
)
Множитель 2 в первом выражении является следствием учета «кросс» диаграмм; множитель 3 возник из суммирования по цвету. Таким образом, получаем
Φ=
–1
4π²
(33.13)
что противоречит результату (33.11). Это и составляет содержание треугольной аномалии [7, 36].
В чем скрыто противоречие? Очевидно, что нельзя сохранить выражение (33.12), которое получено с использованием уравнения движения для свободных полей i∂q=mq ; необходимо допустить, что в присутствии векторных полей (в данном случае фотонного поля) выражение (33.12) не справедливо. Чтобы получить согласие с формулой (33.13), необходимо написать [7]
∂
μ
A
μ
3
(x)
=
2i
⎧
⎨
⎩
m
u
u
(x)γ
5
u(x)
–
m
d
d
(x)γ
5
d(x)
⎫
⎬
⎭
+
3(Q
2
u
–Q
2
d
)
e²
16π²
F
μν
(x)
F
̃
μν
(x),
(33.14)
где дуальный тензор F̃ определяется формулой
F
̃
μν
=
1
2
ε
μναβ
F
αβ
,
F
αβ
=
∂
α
A
β
–∂
β
A
α
,
где A – фотонное поле. Для более общего случая фермионных полей ƒ, взаимодействующих с векторными полями с константой взаимодействия hƒ , справедливо выражение
∂
μ
ƒ
γ
μ
γ
5
ƒ
=
2im
ƒ
ƒ
γ
5
ƒ+
TFh²
8π²
H
μν
H
̃
μν
;
(33.15)
здесь Hμν – тензор напряженностей векторных полей. Вернемся к рассмотрению распада π0→γγ. Из (33.13) в пределе ЧСАТ mπ∼0 вычислим амплитуду распада
F(π
0
→2γ)
=
α
π
⋅
ε
μναβ
k
1α
k
2β
ε
μ
(k
1
,λ
1
)
ε
ν
(k
2
,λ
2
)
(q
2
–m
2
π
)
√
2π
ƒm
2
π
(33.16)
и ширину распада
Γ(π
0
→γγ)
=
⎧
⎪
⎩
α
π
⎫²
⎪
⎭
1
64π
⋅
m
3
π
ƒ
3
π
≈7,25⋅10
-6
МэВ,
которую следует сравнить с экспериментально полученным значением
Γ
exp
(π
0
→γγ)
=
7,95×10
-6
МэВ .
В действительности можно определить и знак амплитуды распада (используя метод Примакова), который согласуется с теоретическими предсказаниями. Важно отметить, что если бы не было цветовых степеней свободы, то результат был бы в (1/3)2 раза меньше и отличался бы от экспериментального значения на целый порядок величины.
Можно поставить вопрос о том, насколько достоверны эти вычисления. В конце концов, они выполнены в нулевом порядке теории возмущений по константе связи αs . На самом деле этот расчет верен во всех порядках теории возмущений КХД 48б); единственное приближение состоит в использовании гипотезы ЧСАТ mπ≈0. Чтобы убедиться в этом, приведем альтернативный метод получения основного результата (33.13). Для этого вернемся к выражению (36.6). В нулевом порядке теории возмущений по константе связи αs имеем
48б) В действительности этот расчет верен во всех порядках теории возмущений для любого взаимодействия, подобного векторному. Доказательство этого факта в основном содержится в работе [9] (см. также [25, 80, 268]).
R
μνλ
=
∑
δ
ƒ
Q
2
ƒ
∫
𝑑4p
(2π)4
⋅
⋅
Tr γ
λ
γ
5
(
p
+k
1
+m
ƒ
)
γ
μ
(
p
+m
ƒ
)
γ
ν
(
p
–
k
2
+m
ƒ
)
((p+k
1
)
2
–m
2
ƒ
)(p
2
–m
2
ƒ
)((p-k
2
)
2
–m
2
ƒ
)
+
вклад "кросс"-диаграммы
(рис. 25,6) В общем случае можно рассматривать произвольный аксиальный треугольник, которому соответствует выражение
R
μνλ
ijl
=2
∫
𝑑Dp
(2π)D
⋅
Tr γ
5
(
p
+k
1
+m
ƒ
)
γ
μ
(
p
+m
ƒ
)
γ
ν
(
p
–k
2
+m
ƒ
)
[(p+k
1
)²-m
2
ƒ
](p²-m
2
ƒ
[(p-k
2
)²-m
2
ƒ
]
(33.17)
Нам нужно вычислить величину qλRλμν . Используя равенство
(
k
1
+
k
2
)γ
5
=-
(
p
–
k
2
–m
l
)γ
5
+
(
p
+
k
1
–m
i
)γ
5
–
(m
i
+m
l
)γ
5
,
приходим к результату
q
λ
R
λμν
ijl
=
-2(m
i
+m
l
)
×
∫
𝑑4p
(2π)4
Tr
γ
5
(
p
+
k
1
+m
i
γ
μ
(
p
+m
j
)
γ
ν
(
p
–
k
2
+m
l
)
((p+k
1
)²-m
2
i
)(p
2
–m
2
j
)((p-k
2
)
2
–m
2
l
)
+
a
μν
ijl
(33.18а)
a
μν
ijl
=
2
∫
𝑑
D
p̂ Tr{(
p
–
k
2
–m
l
)γ
5
(
p
+
k
–m
i
)γ
5
}
×
1
p+k1-mi
γ
μ
1
p-mj
γ
ν
1
p-k2-ml
⋅
(33.18б)
Первый член в (33.18а) соответствует тому, что мы получили бы при непосредственном использовании уравнений движения ∂μqiγμγ5ql = i(mi+ml)qiγ5ql ; второй член описывает аномалию. Приняв в пространстве размерности D для γ-матриц коммутационные соотношения {γμ,γ5}=0, второе слагаемое в формуле (33.18а) можно записать в виде
a
μν
ijl
=
-2
∫
𝑑
D
p̂
⎧
⎨
⎩
Tr γ
5
1
p+k1-mi
γ
μ
1
p-mj
γ
ν
+
Tr γ
5
γ
μ
1
p-mj
γ
ν
1
p-k-ml
⎫
⎬
⎭
.
(33.18в)
Отсюда заключаем, что тензор aμν равен нулю, так как каждый член выражения (33.18в) представляет собой антисимметричный тензор, зависящий от единственного вектора (первый член зависит от вектора k1 , второй – от вектора k2), который обращается в нуль. Между прочим, отсюда видно, что тензор a фактически не зависит от масс, так как производная (∂/∂m)aμν сходится, и, таким образом, это доказательство применимо. Следовательно, можно написать aμνijl≡aμν, где тензор aμν получается из исходного тензора, если в нем массы всех частиц положить равными нулю. Аналогичные аргументы показывают, что тензор aμν должен иметь вид
a
μν
=aε
μναβ
k
1α
k
2β
, a=constant,
(33.19а)
так что величину a можно получить двойным дифференцированием тензора aμν:
a=
∂2
∂k1αk2β
a
μν
⎪
⎪
⎪ki=0
.
(33.19б)
Из этих рассуждений и из выражения (33,18в) следует равенство a≡0, противоречащее теореме Велтмана – Сатерленда.
Оказывается, что вывод о тождественном равенстве нулю величины a фактически является иллюзорным. Если провести замену переменных, например p→p+ξk2 , в интеграле (33.18в), то мы получим конечный не равный нулю результат, зависящий от параметра ξ: a=-ξ/(2π²). Отсюда видно, что коммутационные соотношения {γμ,γ5}=049) приводят к неопределенному значению аномалии. Однако если начать с формулы (33.186) и не предполагать антикоммутативности матриц γμ и γ5, то получим
49) Такие коммутационные соотношения внутренне противоричивы. Например, используя формулы, приведенные в приложении А для пространства размерности D≠4, получим Tr γ5γαγμγνγργαγσ = (6-D) Tr γ5γμγνγργσ, в то время как, приложив коммутативность, можем получить выражения Tr γ5γαγμγνγργαγσ = -Tr γ5γμγνγργαγσγα = (D-2) Tr γ5γμγνγργσ, которые отличаются от предыдущих членами O(4-D). Но эти проблемы возникают только в том случае, если имеется по меньшей мере четыре γ-матрицы.
aε
μναβ
=-2
∫
𝑑
D
p̂
Tr γ
5
⎧
⎨
⎩
1
p
γ
α
1
p
γ
μ
1
p
γ
ν
1
p
γ
β
–
1
p
γ
μ
1
p
γ
ν
1
p
γ
β
1
p
γ
α
⎫
⎬
⎭
.
Выполняя симметричное интегрирование (приложение Б) и пользуясь только правилами вычислений, приведенными в приложении А для пространства размерности D≠4, получим однозначный результат
aε
μναβ
=
8(D-1)(4-D)
D(D+2)
⋅
i
16π²
⋅
2
4-D
⋅
Tr γ
5
γ
μ
γ
ν
γ
α
γ
β
+
O(4-D)
→
D→4
-1
2π²
.
В этом заключается одна из особенностей аномалии: значение конечного фейнмановского интеграла зависит от способа регуляризации. К счастью, этой проблемы можно избежать, если использовать теорему Велтмана – Сатерленда, из которой можно заключить, что во всяком случае существует единственное значение величины a49а) , совместимое с калибровочной инвариантностью, а именно
49а) В действительности ситуация еще сложнее; по-видимому, знамения поправок высших порядков к тензору aμν меняются при переходе от одной регупяризацонной процедуры к другой, даже еспи обе они сохраняют калибровочную инвариантность. Обсуждение этого вопроса и дальнейшие ссылки заинтересованный читатель может найти в работе: Jones D.R., Leveille J.P. , The Two Loop Axial Anomaly in N = 1 Supersymmetric Yang – Mills Theory. Univ. of Michigan preprint UM. He. 81-67, 1981 (не опубликовано).
a
μν
ijl
=a
μν
=-
1
2π²
ε
μναβ
k
1α
k
2β
.
(33.20)
Мы проверили, что выбранная нами регуляризация приводит именно к этому значению; проверку того, что при такой регуляризации сохраняется свойство калибровочной инвариантности, оставляем читателю в качестве простого упражнения.
Прежде чем продолжать, необходимо сказать несколько слов о теореме Велтмана – Сатерленда для безмассовых кварков. В этом случае первый член в правой части (33.18а) отсутствует; кажется, что теперь нельзя сохранить прежний результат для тензора aμν (выражение (33.20)), так как это приводит к неравенству
q
λ
R
λμν
=-
1
2π²
ε
μναβ
k
1α
k
2β
≠0,
противоречащему выводу из теоремы Велтмана – Сатерленда qλRλμν=0. Но это не так: соотношение qλRλμν=aμν и значение тензора aμν по-прежнему справедливы. Причина состоит в том, что в случае m=0 функции Φi в (33.7) имеют сингулярности вида 1/k1⋅k2 . Следовательно, теорема Велтмана – Сатерленда в этом случае неприменима. Это еще одна особенность треугольной аномалии: limm→0qλRλμν=0, но если с самого начала предположить частицы безмассовыми, т.е. m=0, то
q
λ
R
λμν
m≡0
=a
μν
≠0,
Вернемся к нашему обсуждению, в частности рассмотрим случай m≠0. Настоящий метод демонстрирует, как можно доказать, что данный результат не перенормируется. Теорема Велтмана – Сатерленда представляет собой точное утверждение; как уже было показано, ее достаточно для того, чтобы доказать, что выражение (33.20) при учете поправок высших порядков не изменяется. Рассмотрим теперь типичный вклад высшего порядка, которому соответствует диаграмма рис. 25, в. Его можно записать в виде интегралов по импульсам кварка и глюона. Но в этом случае вместо треугольника в диаграмме фигурирует семиугольник (рис. 25, г), для которого интеграл по кварковым переменным сходится, и, следовательно, можно непосредственно перейти к пределу D→4; при этом интеграл тождественно обращается в нуль. Кроме того, приведенные выше доводы показывают, что аномалия связана фактически с поведением фигурирующих в теории величин в ультрафиолетовом пределе, поэтому ожидается, что точность выражения (33.13) не будет нарушена непертурбативными эффектами.
Мы не рассматриваем здесь детального доказательства этого утверждения, а отсылаем читателя к литературе49а). Но мы приведем альтернативный вывод [268], из которого виден ультрафиолетовый характер треугольной аномалии. Аксиальный ток представляет собой произведение двух полевых функций, взятых в одной и той же пространственно-временной точке; поэтому его можно определить в виде
49а) Подробное обсуждение этого вопроса см. в обзорах [8, 107]. Треугольная диаграмма является единственной диаграммой, обладающей простыми аномалиями; но она приводит к вторичным аномалиям в квадратных и пятиугольных графиках. Триаксиальный треугольный график содержит аномалию, тесно связанную с аномалией аксиапьно-векторного графика.
A
μ
q
(x)
=
lim
ξ→0
A
μ
gn
(x,ξ),
A
μ
gn
(x,ξ)
≡
q
⎧
⎪
⎩
x+
ξ
2
⎫
⎪
⎭
γ
μ
γ
5
q
⎧
⎪
⎩
x-
ξ
2
⎫
⎪
⎭
.
(33.21)
Однако в случае ξ≠0 эти выражения не обладают свойством калибровочной инвариантности. Для восстановления калибровочной инвариантности необходимо заменить выражения (33,21) (см. приложение И) выражением
A
μ
gi
(x,ξ)
≡
q
⎧
⎪
⎩
x+
ξ
2
⎫
⎪
⎭
γ
μ
γ
5
exp
⎧
⎪
⎩
ie
∫
x+ξ/2
x-ξ/2
𝑑y
μ
A
μ
(y)
⎫
⎪
⎭
q
⎧
⎪
⎩
x-
ξ
2
⎫
⎪
⎭
.
Дивергенция имеет вид
∂
μ
A
μ
gi
(x,ξ)
=
lim
ξ→0
{2im
q
q
(x)+igA
μ
gi
(x,ξ)
F
μλ
ξ
λ
+O(ξ²)}.
Поскольку функция Aμƒ(x,ξ) в пределе ξ→0 расходится как 1/ξ, второй член в правой части в этом пределе не равен нулю. Точные вычисления [80, 268] показывают, что, как и ожидалось, окончательный результат совпадает с (33.14).
Обсуждение вопроса о токах с аномалиями для любого типа взаимодействий можно найти в работе [263].
Аномалиями обладают не только аксиальные токи. След тензора энергии-импульса Θμμ также представляет собой аномалию, обусловленную тем, что в процессе перенормировки нарушается масштабная инвариантность . Этот круг вопросов подробно обсуждается в работе [60], а в контексте КХД – в работе [74]. Но эта аномалия довольно безобидна; действительно, ее анализ тесно связан с ренормализационной группой.
§ 34. Распады мезонов: эффекты, обусловленные массами кварков
1. Легкие кварки и радиационные распады
Рассмотрим радиационные распады мезонов49б)
49б) Подробное описание общих свойств этих распадов можно найти в книге [198].
π
+
→l
+
ν
l
γ ,
K
+
→l
+
ν
l
γ ,
l=e, μ,
которые тесно связаны с процессом π0→γγ. Мы рассмотрим первый из этих распадов; распад K+-мезона может быть исследован тем же методом с очевидными изменениями (замена s-кварка на d-кварк и т.д.).
Рис. 26. Процесс π→(lνl)вектор+γ.
Этот распад происходит в два этапа: на первом из них лептонный ток аксиален, а на втором он носит векторный характер. Последний связан с вакуумным средним (обозначение кинематических переменных см. на рис. 26):
T
μν
W
(p,k)
=
∫
𝑑
4
x
𝑑
4
y
e
i(x⋅p+y⋅k)
⟨TV
μ
(x)J
ν
(y)∂A(0)⟩
0
,
(34.1)
где, как и раньше, J – электромагнитный ток, а A и V определяются формулами
V
μ
=
u
γ
μ
d,
A
λ
=
d
γ
λ
u.
Использование уравнений движения приводит к равенствам
∂
μ
V
μ
=
i(m
u
–m
d
)
u
d,
(34.2)
∂
λ
A
λ
=
i(m
u
+m
d
)
d
γ
5
u.
(34.3)
Дивергенция электромагнитного тока, конечно, равна нулю. Как и при изучении распада π0→γγ, рассмотрим вакуумное среднее
R
μνλ
W
(p,k)=i
∫
𝑑
4
x
𝑑
4
y
e
i(x⋅p+y⋅k)
⟨TV
μ
(x)J
ν
(y)A
λ
(0)⟩
0
,
(34.4)
которое представим в виде
R
μνλ
W
(p,k)
=
ε
μνλρ
p
ρ
Φ
1
+
ε
μνλρ
k
ρ
Φ
2
+O(p³,k³).
(34.5)
Свертка этого выражения с компонентой импульса kν приводит к равенству Φ1=0, но если массы кварков mu и md различны, то требовать выполнения равенства pμRμνλ=0 нельзя. Вместо этого имеют место равенства
p
μ
R
μνλ
=
ε
μνλρ
p
μ
k
ρ
Φ
2
,
q
λ
R
μνλ
=
ε
μνλρ
p
λ
k
ρ
Φ
2
.
Таким образом, мы приходим к соотношению
p
μ
R
μαβ
=
q
λ
R
αβλ
.
(34.6)
Учитывая формулу (34.2), для левой и правой частей получаем
p
μ
R
μαβ
=
i(m
b
–m
u
)
∫
𝑑
4
x
𝑑
4
y
e
i(x⋅p+y⋅k)
⟨TS(x)J
α
(y)A
β
(0)⟩
0
,
(34.7)
q
λ
R
αβλ
=
i(m
d
+m
u
)
∫
𝑑
4
x
𝑑
4
y
e
i(x⋅p+y⋅k)
⟨TP(0)J
β
(y)V
α
(x)⟩
0
+a
αβ
,
(34.8)
где использованы обозначения
S(x)≡
u
(x)d(x),
P(x)≡
d
(x)γ
5
u(x),
а тензор aαβ представляет собой аномалию. Если ввести тензор Sαβ по формуле Sαβ=pμRμαβ, то из уравнений (34.6) и (34.8) получим
T
αβ
W
+S
αβ
=a
αβ
.
Как показано в § 33, тензор aαβ не зависит от масс кварков, и поэтому окончательно получаем
T
αβ
W
+S
αβ
=
–1
2π²
ε
αβρσ
p
ρ
k
σ
.
(34.9)
Если бы масса u-кварка mu была равна массе d-кварка md, то тензор Sαβ был бы равен нулю и мы получили бы
T
αβ
W
=
T
αβ
=
–1
2π²
ε
αβρσ
p
ρ
k
σ
.
(24.10)
т.е. векторная часть распада π+→e+νγ с точностью до известных факторов была бы равна амплитуде распада π0→γγ (см., например, [ 8 ]). Поскольку массы u– и d-кварков не равны (mu≠md) в соотношение (34.10) должны быть внесены поправки. В общем случае вычислить их не удается, но есть одна ситуация, для которой точный результат может быть доказан во всех порядках теории возмущений квантовой хромодинамики49в). Если mu=0, то преобразования
49в) См. работу [38]. В отличие от случая аномалии неизвестно, влияют ли на этот результат непертрубативные поправки.
u→γ
5
u,
d→d
являются преобразованиями симметрии для лагранжиана КХД. При этих преобразованиях
S
+
→P,
A→V,
и, таким образом, справедливо равенство TαβW=Sαβ. Поэтому мы модифицируем выражение (34.10) так, чтобы оно имело вид
T
αβ
W
=
–1
4π
ε
αβρσ
p
ρ
k
σ
,
(34.11)
т.е. введем множитель 1/2 в амплитуду и коэффициент 1/4 в ширину распада. Хотя имеются некоторые экспериментальные указания на существование этого эффекта, данный вопрос пока недостаточно изучен, и мы о нем говорить больше не будем.
2. Тяжелые кварки и механизм ГИМ
В § 33 были рассмотрены главным образом легкие кварки, т. е. кварки, массы которых малы по сравнению с Λ. Теперь же мы рассмотрим тяжелые кварки, массы которых удовлетворяют условию m≫Λ. К их числу принадлежат кварки c и b.
В отличие от случая легких кварков здесь едва ли можно ожидать выполнения предположения о гладкости функций, несколько вольно называемого гипотезой ЧСАТ. Таким образом, необходимо обратиться к какому-то другому источнику информации о массах тяжелых кварков.
Первое замечание состоит в том, что кажется маловероятным, чтобы приблизительное равенство вакуумных средних
⟨
u
u⟩
≈
⟨
d
d⟩
≈
⟨
s
s⟩
могло быть распространено на величины ⟨cc⟩ ⟨bb⟩. Однако мы ожидаем выполнения неравенств
⟨α
s
G²⟩
1/4
,
|⟨
q
h
q
h
⟩|
1/3
≪m
h
, h=c,b .
Если принять эти предположения, то очевидно, что бо́льшую часть массы тяжелого адрона можно приписать массе конституентного кварка, и, таким образом,
m̂
c
≈
mΨ
2
≈
1,6 ГэВ
,
m̂
b
≈
mT
2
≈
5 ГэВ
.
Рис. 27. Распад K0→μ+μ- и характерная диаграмма, дающая вклад в этот процесс.
До сих пор наиболее точные опенки масс тяжелых кварков получаются из правил сумм, подобных рассмотренным в § 32 и 36. Подробное изложение можно найти в работе [209] и цитируемой там литературе. Мы же обратимся к другому важному эффекту, связанному с массами кварков, – механизму Глэшоу -Илиопулоса – Майани (ГИМ) [146]. В самом деле, масса c-кварка mc = 1,6 ГэВ была предсказана еще до экспериментального обнаружения J/Ψ-мезона в работе [146] и в статье [133], в которой было дано дальнейшее усовершенствование метода. Подробное рассмотрение различных случаев можно найти в работе [1ЗЗ] и в обзоре [132]. Здесь мы рассмотрим типичный пример, а именно распад K0→μ+μ-. В низшем порядке теории возмущений по константе слабого взаимодействия и в нулевом порядке по константе αs этот распад описывается диаграммой рис. 27. Эту диаграмму мы вычислим точно. Соответствующая амплитуда процесса имеет вид50)
50) Для первой скобки должны быть взяты матричные элементы по спинорам, отвечающим лептонам, а для второй – по спинорам, соответствующим кваркам.
𝓐
=
g
4
W
∑
ƒ=u,c
δ
ƒ
∫
𝑑4k
(2π)4
×
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎧
⎪
⎩
γ
μ
1-γ5
2
k
γ
ν
1-γ5
2
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
γ
ν
1-γ5
2
(
k
–
p
'
1
+
p
1
+m
ƒ
)
γ
μ
1-γ5
2
⎫
⎪
⎭
k
2
⎡
⎢
⎣
(k-p'
1
)
2
–M
2
W
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
(k-p'
1
+p
1
)
2
–m
2
ƒ
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
(k-p'
2
)
2
–M
2
W
⎤
⎥
⎦
+
⎧
⎪
⎩
γ
μ
1-γ5
2
k
γ
ν
1-γ5
2
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
γ
μ
1-γ5
2
k
–
p
'
1
+
p
1
+m
ƒ
γ
ν
1-γ5
2
⎫
⎪
⎭
k
2
⎡
⎢
⎣
(k-p'
1
)
2
–M
2
W
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
(k-p'
1
+p
1
)
2
–m
2
ƒ
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
(k-p'
2
)
2
–M
2
W
⎤
⎥
⎦
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
=
g
4
W
∑
ƒ
δ
ƒ
∫
𝑑
D
k̂
×
1
k
2
⎡
⎢
⎣
(k-p'
1
)
2
–M
2
W
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
(k-p'
1
+p
1
)
2
–m
2
ƒ
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
(k-p'
2
)
2
–M
2
W
⎤
⎥
⎦
×
⎧
⎨
⎩
⎧
⎪
⎩
γ
μ
k
γ
ν
1-γ5
2
⎫
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
γ
ν
(
k
–
p
'
1
+
p
2
)
γ
μ
1-γ5
2
+(μ⇔ν)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
+
O(m
2
ƒ
/M
4
W
) .
(34.12)
Здесь использованы обозначения δu=cos θC sin θC, δc=-cos θC sin θC,где θC – угол Кабиббо. Хотя интеграл сходится, мы записали его в пространстве произвольной размерности D по причинам, которые в дальнейшем станут очевидными. Должно быть ясно, что при mc=mu выражение (34.12) равно нулю; следовательно, ширина распада K0→μ+μ- должна быть пропорциональна разности m²c-m²u . Мы будем использовать приближение m≈0; тогда выражение (34.12) можно перепйсать в виде
𝓐
=
-g
4
W
(cos θ
C
sin θ
C
)
×
∫
𝑑
D
k̂
m
2
c
k
2
⎡
⎣
(k-p'
1
)²-M
2
W
⎤
⎦
⎡
⎣
(k-p'
1
+p
1
)²-m
2
c
⎤
⎦
(k-p'
1
+p
2
)²
×
(γ
μ
k
γ
ν
(1-γ
5
)/2)
⎡
⎣
γ
ν
(
k
–
p
1
+
p
2
)
γ
μ
(1-γ
5
)/2+(μ⇔ν)
⎤
⎦
(k-p'
2
)²-M
2
W
(34.13)
Этот интеграл содержит импульс k в степени 10 в знаменателе и в степени 2 в числителе; следовательно, можно работать в пределе M¹∞ и получить особенность не большую, чем логарифмическая. На самом деле эта особенность сокращается вкладом других диаграмм (главным образом распадами через γ-кванты и Z-бозоны в промежуточном состоянии). Пренебрегая членами, подавленными в m²K/M²W раз по сравнению с ведущими членами, получаем для амплитуды распада выражение
𝓐
=
-g
4
W
(cos θ
C
sin θ
C
)
m
2
c
M
4
W
⋅
1
4
×
∫
𝑑
D
k̂
(γ
μ
p
γ
ν
(1-γ
5
))
(γ
ν
k
γ
μ
(1-γ
5
)+(μ⇔ν))
k
4
(k²-m
2
c
)
=
-g
4
W
(cos θ
C
sin θ
C
)
m
2
c
4M
4
W
[γ
μ
γ
α
γ
ν
(1-γ
5
)]
[γ
ν
γ
α
γ
μ
(1-γ
5
)
+
γ
μ
γ
α
γ
ν
(1-γ
5
)]
i
16π²
⎧
⎪
⎩
N
ε
–log
m
2
c
ν
2
0
-1/2
⎫
⎪
⎭
.
Как объяснялось выше, множитель Nε-log(m²c/ν²0-½ при учете остальных диаграмм заменяется коэффициентом -2. (Благодаря такому сокращению этот распад фактически происходит по схеме K→2γ→μ+μ-.) В окончательный результат входят только члены, не зависящие от кинематических переменных; он оказывается чувствительным к величине отношения m²2/M4W . Мы пренебрегаем здесь сильными взаимодействяим; при более детальном анализе их следует учитывать. Заинтересованного читателя мы отсылаем к цитированной выше литературе.
§ 35. Пертурбативные эффекты и эффекты, обусловленные спонтанным нарушением киральной симметрии, в кварковом и глюонном пропагаторах
В гл. II вычислены пертурбативные (теоретиковозмущенческие) вклады в глюонный и кварковый пропагаторы. Они выражались через массы частиц, фигурирующие в лагранжиане КХД, которые обычно называют пертурбативными, механическими или (для кварков) "токовыми" массами. Однако, как известно, заметные успехи были достигнуты в так называемых конституентных (составных) моделях, в которых "конституентные" массы кварков u, d и s полагают равными ~400 МэВ, а массу глюона – равной ~800 МэВ. В этом и следующих параграфах будет показано, что непертурбативные вклады в кварковый S и глюонный D пропагаторы имитируют массы частиц. Будет показано, что, хотя эти массы нельзя отождествлять с конституентными массами, тем не менее данный эффект фактически ответствен за массы адронов, подобных ρ-мезону.
Начнем с рассмотрения кваркового пропагатора
S
ij
ξ
(p)=
∫
𝑑
D
x
e
ip⋅x
⟨Tq
i
(x)
q
j
(0)⟩
vac
,
(35.1)
который мы вычислим при больших значениях импульса p. Запишем для него операторное разложение, пренебрегая членами, которые при усреднении по вакуумным состояниям обращаются в нуль. Такое разложение имеет вид
Tq
i
(x)
q
j
(0)
=
δ
ij
⎧
⎨
⎩
C
0
(x)⋅1-C
1
(x)
∑
l
:
q
l
(0)q
l
(x):+…
⎫
⎬
⎭
;
(35.2)
в § 7 и 9 рассмотрен только коэффициент C0(x). В нулевом порядке теории возмущений по константе взаимодействия αg получаем приближенное равенство (α и β– дираковские индексы)
:
q
β
(0)q
α
(x):
≈
x→0
1
4
⎧
⎨
⎩
δ
αβ
–
imqxμ
D
⎫
⎬
⎭
:
q
(0)q(0): .
Если через SP и SNP обозначить соответственно пертурбативный и непертурбативный вклады в кварковый пропагатор, то получим (рис. 28)
S
=
S
P
+S
NP
,
S
(0)ij
NP
(p)
=
-(2π)
D
δij⟨qq⟩vac
4nc
⎧
⎨
⎩
1-
mD
D
γ
μ
∂
∂pμ
⎫
⎬
⎭
δ(p), n
c
=3.
(35.3)
Последнее выражение при p≠0 тождественно обращается в нуль. Однако будет показано, что члены типа (35.3) играют важную роль при изучении масс наблюдаемых частиц (ρ, φ, …). Поправки второго порядка и непертурбативной части кваркового пропагатора SNP проще всего вычислить, записав их в виде
S
(2)ij
NP
=
∑
1
p-mq
g²
∫
𝑑
D
k̂ iγ
μ
t
a
ik
S
kk'
(p+k)iγ
ν
t
b
k'j
δ
ab
×
-gμν+ξkμkν/k2
k2
⋅
i
p-mp
,
и заменив в правой части Skk' на величину S(0)kkNP . При этом получаем
S
NP
=
S
(0)
NP
+S
(2)
NP
+…,
S
(2)ij
ξNP
(p)
=
-iδ
ij
α
g
πCF⟨qq⟩vac
3p4
⎧
⎨
⎩
D-ξ-
2(D-2)
D
(1-ξ)
mqp
p2
⎫
⎬
⎭
+
O
⎧
⎪
⎩
mq
p6
⎫
⎪
⎭
+O
⎧
⎪
⎩
m
4
q
p
p
⎫
⎪
⎭
.
(35.4)
Отметим, что этот результат зависит от используемой калибровки, поэтому выражение
M
ξ
(p)
=
–παgCF⟨qq⟩vac
3p2
(4-ξ)
нельзя интерпретировать как физическую массу частицы.
Рис. 28. Глюонный и кварковый пропагаторы; а – вклад, описываемый теорией возмущений; б – ведущие непертурбативные поправки; в – ведущие связанные непертурбативные поправки.
Аналогичные вычисления можно выполнить и для глюонного пропагатора (рис. 28):
D
μν
ξab
(k)
=
∫
𝑑
4
x
e
ik⋅x
⟨TB
μ
a
(x)B
ν
b
(0)⟩
vac
,
TB
μ
a
(x)B
ν
b
(0)
=
δ
ab
⎧
⎨
⎩
C
μν
0
(x)⋅1+C
μν
1
∑
c
:G
αβ
c
(0)G
αβc
(0):+…
⎫
⎬
⎭
,
(35.5)
и получить результат
D
=
D
P
+D
NP
D
(0)μν
NPab
(k)
=
(2π)
D
δ
ab
⟨G2⟩vac
4(n
2
c
–1)D(D-1)(D+2)
×
{
(D+1)g
μν
∂
2
–2∂
μ
∂
ν
}
δ(k).
(35.6)
Следует отметить, что непертурбативный вклад в глюонный пропагатор D(0)NP оказывается поперечным. Этот член дает также вклад в поправку второго порядка S(2)NP к кварковому пропагатору S; эта добавка к выражению (35.4) имеет вид
S
(2)
G²NP
(p)
=
2CF
3(n
2
c
–1)
⋅
π⟨αsG²⟩vac
p4
⋅
i
p
.
(35.7)
Можно оценить также вклады вакуумных средних ⟨qq⟩, ⟨G²⟩ в глюонный пропагатор D. Эти вклады приводят к появлению добавки к массе глюонов, которая, к сожалению, зависит от калибровки. В действительности, как будет показано в § 36, массы физических частиц не связаны с членом типа Mξ или аналогичным членом для глюонов; такие члены дают вклады только в следующем порядке теории возмущений. Основной вклад дают выражения (35.3) и (35.6). Подробное обсуждение этого вопроса в связи с вакуумным средним ⟨qq⟩ можно найти в работе [216].
§ 36. Массы адронов
Вместо обсуждения общего метода исследования проблемы масс адронов50а) мы рассмотрим один типичный пример, а именно вычисление массы φ-мезона. Рассмотрим с этой целью двухточечную функцию
50а) Метод, которому мы следуем, был предложен в работах Шифмана, Вайнштейна и Захарова [229, 230]. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах тех же авторов, а также в статьях [223] и цитируемой там литературе. Недавно этот метод был распространен на барионы (см. [171] и Chung J. et al., Heidelberg, preprint, 1981). Дальнейшие сведения о методе правил сумм, подобном описываемому здесь, см. в превосходном обзоре [209].
Π
μν
φ
(q)
=
i
∫
𝑑
4
x
e
iq⋅x
⟨Tφ
μ
(x)φ
ν
(0)⟩
vac
≡
(-g
μν
q
2
+q
μ
q
ν
)Π
φ
(q
2
),
(36.1)
где φμ – оператор с квантовыми числами, аналогичными квантовым числам φ-мезона; он имеет вид
φ
μ
(x)
=
C
φ
s
(x)γ
μ
s(x).
Константу Cφ можно получить из анализа процесса φ→e+e-, но мы здесь не будем обсуждать этот вопрос. Функция Π(q²) ведет себя как log q²; следовательно, любая ее производная
