Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 17 страниц)

Z

_NS

ⁿ

=1+

g²N_ε

16π²

C

_F

⎧

⎨

⎩

4S

₁

(1)-3-

2

n(n+1)

⎫

⎬

⎭

,

(20.10)

S

₁

(n)=

_n

∑

^j=1

1

j

,

(20.11)

откуда получаем

γ

₍₀₎

^NS

(n)=

2C

_F

⎧

⎨

⎩

4S

₁

(1)-3-

2

n(n+1)

⎫

⎬

⎭

,

(20.12)

d(n)=

1

33-2n_ƒ

⎧

⎨

⎩

1

2n(n+1)

+

3

4

–S

₁

(n)

⎫

⎬

⎭

.

(20.13)

Для синглетного случая аналогичным способом можно получить ответ, записываемый в матричном виде:

D

_n

=

16

33-2n_ƒ

×

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

33-2n_ƒ

16

d(n)

3n_ƒ

8

⋅

n²+n+2

n(n+1)(n+2)

n²+n+2

2n(n²-1)

33-2nƒ

16

+

9

4

⎧

⎨

⎩

1

n(n-1)

+

1

(n+1)(n+2)

–S

₁

(n)

⎫

⎬

⎭

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.

(20.14)

Выражения для величины S₁(n) можно аналитически продолжить на случай комплексных значений переменной n . Согласно теореме Карлсона (см., например, [246]), существует единственное продолжение, для которого остаются справедливыми уравнения (19.19), (20,3), (20.6) и (20.7) для комплексных значений n. Оно имеет вид

S

₁

(n)=n

_∞

∑

^k=1

1

k(k+n)

.

(20.15 а)

Отметим, что с определенным таким образом аналитическим продолжением на случай комплексных значений переменной n (которое совпадает g выражением (20.11) для целочисленных значений n) величину S₁(n) можно представить в виде

S

₁

(n)

=

ψ(n+1)+γ

_E

,

ψ(z)

≡

d logΓ(z)

dz

.

(20.15 б)

В рассматриваемом порядке теории возмущений аналитические продолжения функции γ⁽⁰⁾(n) на область комплексных значений переменной n, начинающиеся с четных или нечетных значений n, совпадают. Поэтому никаких проблем, связанных с четностью или нечетностью структурных функций либо со справедливостью исходных уравнений при четных или нечетных значениях переменной n, не возникает.

§21. Уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений

В § 20 мы вывели уравнения КХД для моментов в ведущем порядке теории возмущений. Обратимся теперь к поправкам второго порядка.

Как видно из уравнений (20.2) и (20.4), для того чтобы вычислить поправки второго порядка, необходимо рассмотреть два различных эффекта³³⁾. Это, во-первых, эффект, связанный с учетом аномальных размерностей γ⁽¹⁾_NS(n) и γ⁽¹⁾(n) втором порядке теории возмущений. Во-вторых, необходимо вычислить следующий член разложения вильсоновских коэффициентов:

³³Конечно, помимо использования выражения для константы связи α_s(Q²) во втором порядке теории возмущений (§ 14) и учета конечных частей диаграмм первого порядка.

C

_n

^NS

(1,α

_s

(Q²))=C

_n

^NS

(1,0)

⎧

⎨

⎩

1+C

_n(1)

^NS

(1,0)

α(Q²)

4π

+…

⎫

⎬

⎭

.

(21.1)

Вычисление аномальных размерностей для несинглетных операторов N_NS было выполнено в работе [125], а для синглетных – в работе [126]. Полученные результаты сформулированы в более простом аналитическом виде для несинглетных операторов в статье [150] и для синглетных – в статье [151]. Недавно они были проверены [84, 131], и лишь для коэффициента при аномальной размерности γ⁽¹⁾_VV(n) было найдено выражение, отличающееся от полученного ранее³⁴⁾. Пусть величины γ^(1)±_NS(n) относятся к четным (нечетным) структурным функциям. Тогда имеем

³⁴⁾ Результаты работы [131] недавно были проверены независимым образом.

γ

_(1)±

^NS

(n)

=

32

9

S

₁

(n)

⎡

⎢

⎣

67+8

2n+1

n²(n+1)²

⎤

⎥

⎦

–64S

₁

(n)S

₂

(n)

-

32

9

[S

₂

–S

_±

²

(n/2)]

⎧

⎨

⎩

2S

₁

(n)-

1

n(n+1)

⎫

⎬

⎭

-

128

9

S

^̃

^±

(n)+

32

3

S

₂

(n)

⎡

⎢

⎣

3

n(n+1)

–7

⎤

⎥

⎦

16

9

S

_±

³

⎛

⎜

⎝

n

2

⎞

⎟

⎠

-

28-16

151⁴+260n³+96n²+3n+10

9n³(n+1)³

±

32

9

⋅

2n²+2n+1

n³(n+1)³

+

32n_ƒ

27

×

⎧

⎨

⎩

6S

₂

(n)-10S

₁

(n)+

3

4

+

11n²+5n-3

n²(n+1)²

⎫

⎬

⎭

,

(21.2 а)

S

₊

_l

(x/2)

=

S

_l

(x/2)

,

S

_-

_l

(x/2)

=

S

_l

⎛

⎜

⎝

x-1

2

⎞

⎟

⎠

,

S

^̃

^±

(x)

=

-

5

8

ζ(3)±

_∞

∑

^k=1

(-1)^k

(k+x)²

S

₁

(k+x)

.

(21.2 б)

Сводку формул для величин γ⁽¹⁾_ij можно найти в работе [194], где для аномальной размерности γ⁽¹⁾_VV принят результат, полученный в работе [131].

Обратимся теперь к вильсоновским коэффициентам. Поскольку они представляют собой константы, их можно вычислить, взяв матричные элементы от хронологического произведения TJ^μJ^ν между произвольными состояниями. Эту свободу в выборе состояний можно использовать, чтобы максимально упростить вычисления. Естественно, удобно выбрать кварковые и глюонные состояния. Следует помнить, что в отличие от аномальных размерностей вильсоновские коэффициенты зависят от рассматриваемого процесса и структурной функции. Сводку значений³⁵⁾ коэффициентов Cⁿ⁽¹⁾_NS(1,0) и ^⃗Cⁿ⁽¹⁾(1,0) можно найти в работах [27, 55]. Здесь мы приведем пример вычисления продрльной структурной функции.

³⁵⁾ Некоторые из коэффициентов C были вычислены ранее в работах [1, 13, 63,90, 126, 168,181,164, 271, 279] и др. Значения, приведенные в работах [27, 55], проверены по крайней мере двумя независимыми вычислениями.

В ведущем порядке теории возмущений структурные функции ƒ₁ и ƒ₂ равны, и, следовательно, продольная структурная функция ƒ_L равна нулю. Для случая свободных полей это показано в § 18. Но так как поправки ведущего порядка сводятся просто к умножению коэффициентов Cⁿ_L(1,0) на множитель (log Q²/Λ²)^δ(n), где δ=d или δ=D, все моменты от продольной структурной функции ƒ_L , как и утверждалось, в этом порядке равны нулю. Это означает, что для продольной структурной функции формула (21.1) принимает вид

C

_n

^L

(1,α

_s

)

=

C

_n(1)

^L

(1,0)

α_s

4π

+… .

(21.3)

Это выражение определяет степень пертурбативного нарушения соотношения Каллана – Гросса. Его удобно представить в виде произведения двух сомножителей

C

_n(1)

^PL

(1,0)

=

δ

_P

B

_n(1)

^L

,

(21.4)

один из которых зависит от рассматриваемого процесса, а другой не зависит. При этом множители δ_P имеют вид

δ

_PNS

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

1

6

, для ƒ

_eN

²

1

, для ƒ

_ν±I

²

δ

_PF

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

5

18

, для ƒ

_eN

^2F

1

, для ƒ

_ν±I

²

(21.5)

Рис. 15. Диаграмма, дающая вклад в несинглетную часть продольной структурной функции ƒ_L

Рис. 16. Диаграмма, дающая вклад в синглетную часть продольной структурной функции ƒ_L

где индекс N принимает значения N=p (протон) или n (нейтрон), а индекс / обозначает "изоскалярный" нуклон. Рассмотрим теперь продольную структурную функцию ƒ^NS_L . Выражение для продольной структурной функции получается в результате вычисления диаграмм рис. 15, так как все другие диаграммы дают либо одинаковые вклады, которые сокращаются при вычислении разности ƒ₁-ƒ₂ , либо вклады только в синглетную часть³⁶⁾. Более того, поскольку разложение продольной структурной функции ƒ_L начинается с членов первого порядка по константе связи α_s , нет необходимости рассматривать вклад от перенормировочных множителей операторов N , которые в данном случае приводят к поправкам порядка O(α²_s) . Вычисления можно еще более упростить, заметив, что если в выражении для тензора Τ^μν сохранить члены, пропорциональные компонентам импульса q^μ и q^ν , то продольная структурная функция будет единственной инвариантной амплитудой, пропорциональной произведению q^μq^ν . Например, в случае векторных токов имеем

³⁶⁾ При вычислении синглетной части следует учитывать также диаграммы рис. 16.

Τ

^μν

=

(g

^μν

–q

^μ

q

^ν

/q²)T

_L

+

⎛

⎜

⎝

g

^μν

–p

^μ

p

^ν

q²

ν

+

p^μq^ν+p^νp^μ

ν

⎞

⎟

⎠

Τ

₂

,

ƒ

_L

=

1

2π

Im Τ

_L

.

(21.6)

В общем случае вычисления следует проводить для импульсов p²<0, чтобы можно было контролировать инфракрасные расходимости. Но это условие не является необходимым при расчете ƒ_L , которая в рассматриваемом порядке теории возмущений остается конечной в пределе p²→0 .

Амплитуда, соответствующая диаграмме рис. 15, имеет вид

i

2

(2π)³

 

∑

^σ

∫

d

⁴

z e

^iq⋅z

⟨p,σ|ΤJ

^μ

(z)J

^ν

(0)|p,σ⟩

=

⎡

⎢

⎢

⎣

Τ'

_μν

^ij

=-

d

C

_F

δ

_ij

g²

1

4

 

∑

^σ

u

(p,σ)

×

∫

d

^D

k

^̂

γ_α(p+k)γ^μ(p+k+q)γ^ν(p+k)γ^α

(p+k)⁴(p+k+q)²k²

u(p,σ)

⎤

⎥

⎥

⎦

+

"кросс"-член.

Используя соотношение

 

∑

^σ

u

(p,σ)ℳu(p,σ)=Tr(

p

ℳ) ,

выделяя член, пропорциональный произведению q^μq^ν , и вводя фейнмановские параметры, находим

Τ'

NS

L

=

g²

16π²

C

_F

8

x

∫

¹

 

₀

d

α⋅α

∫

¹

 

₀

d

β

(1-u₂)u₁

[1-u₂-(1-(u₁+u₂)/x]²

,

где u₁=αβ и u₂=1-α . Разлагая в ряд по степеням 1/x и интегрируя, получаем

Τ'

_NS

^L

=

g²

16π²

4C

_F

_∞

∑

ⁿ⁼¹

1

n+1

⎛

⎜

⎝

1

x

⎞ⁿ

⎟

⎠

Перекрестные диаграммы удваивают значения коэффициентов при четных степенях 1/x и приводят к сокращению членов разложения, содержащих 1/x в нечетной степени. Таким образом, окончательный результат имеет вид

Τ

_NS

^L

=

2g²

16π²

4C

_F

_∞

∑

^{n четн}

4

n+1

⎛

⎜

⎝

1

x

⎞ⁿ

⎟

⎠

(21.7)

Записывая аналог выражения (19.18), находим

B

_n(1)NS

^L

=

4

n+1

C

_F

,

n – четное число

μ

_NS

^L

(n,Q²)

=

δ

_NS

^L

α_s(Q²)

π

⋅

C_F

n+1

μ

_NS

²

(n,Q²) .

(21.8)

Детальное изложение вычислений других коэффициентов B можно найти в статье [27]. Здесь мы лишь приведем результаты для процесса электророждения на протонной мишени:

C

₍₁₎

^NS

(n)

=

C

₍₁₎

^F

(n)

=

C

_F

⎧

⎨

⎩

2[S

₁

(n)]²+3S

₁

–2S

₂

(n)-

2S₁(n)

n(n+1)

=

+

3

n

+

4

n+1

+

2

n²

–9

⎫

⎬

⎭

,

(21.9 а)

C

₍₁₎

^V

=

4Τ

_F

n

_ƒ

⎧

⎨

⎩

–

1

n

+

1

n²

+

6

n+1

–

6

n+2

–S

₁

(1)

n²+n+2

n(n+1)(n+2)

⎫

⎬

⎭

.

(21.9 б)

Поскольку мы объяснили общие методы, можно записать в явном виде уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений. Для несинглетного случая имеем

μ

_NS

(n,Q²)

=

⎡

⎢

⎢

⎣

α_s(Q

₂

⁰ )

α_s(Q

₂

  )

⎤^d(n)

⎥

⎥

⎦

×

1+C

₍₁₎

^NS (n)α_s(Q

₂

  )/4π

1+C

₍₁₎

^NS (n)α_s(Q

₂

⁰ )/4π

⎧

⎨

⎩

1+β₁α_s(Q

₂

  )/4πβ₀

1+β₁α_s(Q

₂

⁰ )/4πβ₀

⎫^p(n)

⎬

⎭

×

μ

_NS

(n,Q

₂

⁰

);

p(n)

=

½

⎧

⎨

⎩

γ

₍₁₎

^NS

(n)/β

₁

–γ

₍₀₎

^NS

(n)/β

₀

⎫

⎬

⎭

.

(21.10)

Для синглетного случая возникают некоторые дополнительные трудности. Нужно начать с определения матрицы C⁽¹⁾(n), имеющей матричные элементы C⁽¹⁾₁₂(n)=C⁽¹⁾_V(n) , C⁽¹⁾₁₁(n)=C⁽¹⁾_F(n) ,

C

₍₁₎

²¹

(n)=

D₂₁(n)

D₁₂(n)

C

₍₁₎

¹²

(n) ,

C

₍₁₎

²²

(n)=C

₍₁₎

¹¹

(n)+

D₂₂(n)-D₁₁(n)

D₁₂(n)

C

₍₁₎

¹²

(n) .

Если принять такое определение, то матрицы C⁽¹⁾ и D коммутируют. Введем обозначения α для α_s(Q²) и α₀ для α_s(Q²₀) . Тогда уравнения для моментов в синглетиом случае принимают вид [149]

^⃗

μ(n,Q²)

=

C

(n,α)

C

^-1

(n,α

₀

)

M

(n;α,α

₀

)

^⃗

μ(n,Q²

₀

) ,

(21.11)

где введены обозначения C=1+C⁽¹⁾α/4π; ,

R

(n,α,α

₀

)=1-

α-α₀

4π

⋅

β

 

¹

2β

₂

⁰

γ

⁽⁰⁾

(n)+

Δ

(n,αα

₀

) ,

Δ

(n,α,α

₀

)

=

–3

32

⋅

α₀

4π

∫

^r

 

₀

d

r' e

^-3β₀r'/16

[

M

⁰

(n,r')]

^-1

γ

⁽¹⁾

(n)

M

⁰

(n,r') ,

M

(n,α,α

₀

)

=

⎛

⎜

⎝

α₀

α

⎞

⎟

⎠

^D(n)

 

 

R

(n,α,α

₀

) ,

r

=

16

3β₀

log

α₀

α

,

M

(n,r')

=

e

^{-3r'γ(0)(n)/32}

.

Уравнение для моментов в синглетном случае можно переписать в другом виде, более удобном в некоторых приложениях. Пусть матрица S_n диагонализует матрицу D_n :

S

^-1

(n)

D

(n)

S

(n)

=

D^̂

(n)

≡

⎛

⎜

⎝

d

₊

(n)

0

0

d

_-

(n)

⎞

⎟

⎠

, d

₊

(n) > d

_-

(n) .

Ее можно выбрать так, чтобы det S=S₁₁=1 ; тогда матрица S имеет вид

S

(n)=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

1

D₁₂(n)

d_-(n)-d₊(n)

d₊(n)-D₁₁(n)

D₁₂(n)

d_-(n)-D₁₁(n)

d_-(n)-d₊(n)

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

.

(21.12)

Определим величину γ как результат преобразования матрицы γ⁽¹⁾ под действием матрицы S :

S

^-1

(n)γ

⁽¹⁾

(n)

S

(n)

=

γ

(n) .

(21.13)

Тогда получим

α

^D̂(n)

⎧

⎨

⎩

1+

α

4π

Γ

(n)

⎫

⎬

⎭

S

^-1

(n)

C

^-1

(n,α)

^⃗

μ(n,Q²)

=

α

_D̂(n)

⁰

⎧

⎨

⎩

1+

α₀

4π

Γ

(n)

⎫

⎬

⎭

S

^-1

(n)

C

^-1

(n,α

₀

)

^⃗

μ(n,Q

₂

⁰

)

≡

^⃗

b(n) (не зависит от Q²).

20.14

Здесь использовано обозначение^36а)

^36а Уравнения несколько изменяются для двух значений n_± , для которых выполняся соотношение d_-(n_±)-d₊(n_±)+1=0. При этом поправки следующего порядка теории возмущений равны не O(α_s), а O(α_s log α_s).

Γ

(n)

=

–1

2β₀

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

γ

₁₁

(n)+2β

₁

d

₊

(n)

γ₁₂(n)

d₊(n)-d_-(n)+1

γ₂₁(n)

d_-(n)-d₊(n)+1

γ

₂₂

(n)+2β

₁

d

_-

(n)

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

.

Выражвння (21.10) и (21.11) применимы для моментов структурных функций ƒ₂ и ƒ₃ . Используя соотношения (21.8), продольную структурную функцию ƒ_L можно выразить через функцию ƒ₂ :

ƒ

_L

=

ƒ

_NS

^L

+

ƒ

_F

^L

+

ƒ

_V

^L

,

(21.15 а)

ƒ

_NS

^L

(x,Q²)

=

4α_s

3π

∫

¹

 

_x

dy

x²

y³

ƒ

_NS

²

(y,Q²) ,

(21.15 б)

ƒ

_F

^L

(x,Q²)

=

4α_s

3π

∫

¹

 

_x

dy

x²

y³

ƒ

_F

²

(y,Q²) ,

(21.15 в)

ƒ

_V

^L

(x,Q²)

=

4α_s

3π

δ

_L

∫

¹

 

_x

dy

x²

y³

⎛

⎜

⎝

1-

x

y

⎞

⎟

⎠

ƒ

_V

²

(y,Q²) ,

(21.15 г)

где для процесса электророждения на протонной мишени

δ

_L

=

3nƒ

2

.

(21.16)

§ 22. Метод Алтарелли – Паризи

Метод операторного разложения в применении к анализу процессов глубоконеупругого рассеяния является достаточно простым и вполне строгим. Однако он, по-видимому, не опирается на физическую интуицию. В частности, не совсем ясна его связь с партонной моделью. Это является одной из причин, обусловивших успех метода Алтарелли – Паризи ([12], см. также [98]), в рамках которого такая связь сохраняется на каждом этапе.

Прежде чем обсуждать партонную интерпретацию, проанализируем еще раз полученные уравнения. Для определенности будем рассматривать несинглетную часть структурной функции ƒ₂(x,Q²) , а именно сосредоточим внимание на вкладе кварка заданного аромата ƒ в выражения для ƒ^NS₂ и функции q_ƒ . В приближении свободных партонов (см. (17.11)) функция распределения q_ƒ не зависит от квадрата 4-импульса Q², но при учете взаимодействия она такую зависимость приобретает. Если через μ² обозначить некоторое фиксированное характерное значение квадрата 4-импульса и переменную t определить формулой t=½ log(Q²/μ²), то выражение (17.11) можно обобщить следующим образом:

ƒ

_NS

²

(x,Q²)=

∑

δ

_NS

^ƒ

xq

_ƒ

(x,t) ,

(22.1)

где коэффициенты δ_ƒ известны.

Уравнения квантовой хромодинамики позволяют выяснить изменение моментов в зависимости от переменной t. Запишем выражение (20.6) для функции распределения в дифференциальном виде:

dq^̃_ƒ(n,t)

dt

=

γ

₍₀₎

^NS (n) a_g(t)

 4π 

q

^̃

_ƒ

(n,t) ,

(22.2)

здесь использовано выражение (14.3), в котором параметр ν заменен на μ, и введены моменты

q

^̃

_ƒ

(n,t)

=

∫

¹

 

₀

dx x

^n-1

q

_ƒ

(n,t) .

(22.3)

Конечно, выражения (22.1) – (22.3) полностью эквивалентны (20.6). Выполним теперь преобразование, обратное преобразованию Меллина (22.3). Если функцию P⁰_NS(z)(z) определить соотношением

∫

¹

 

₀

dz z

^n-1

P

₍₀₎

^NS

(z)=γ

₍₀₎

^NS

(n) ,

(22.4 а)

то из теоремы о свертках^36а) следует

^36а) Эту теорему нетрудно доказать, проводя замену переменной z→log z=ζ и используя теорему о свертках для преобразования Лапласа. Можно также проинтегрировать уравнение (22.5) и получить (22.2).

dq_ƒ(n,t)

dt

=

α_g(t)

4π

∫

¹

 

_x

dy

y

dq

_ƒ

(y,t)P

₍₀₎

^NS

⎛

⎜

⎝

x

y

⎞

⎟

⎠

.

(22.4 б)

Это так называемое уравнение Алтарелли – Паризи. Его можно записать в инфинитезимальном виде:

q

_ƒ

(x,t)+dq

_ƒ

(x,t)

=

∫

¹

 

₀

dy

∫

¹

 

₀

dz δ(zy-x)q

_ƒ

(y,t)

×

⎧

⎨

⎩

δ(z-1)+

α_g(t)

4π

P

₍₀₎

^NS

(z) dt

⎫

⎬

⎭

.

(22.5)

Мы видим, что функцию P⁽⁰⁾_NS(z) можно рассматривать как величину, определяющую скорость изменения вероятности распределения партонов с изменением переменной t. Но ниже мы дадим более интересную интерпретацию этой характеристики.

Рис. 17. Элементарные процессы, дающие вклад в процесс γ^*+p→ любые допустимые частицы.

Рассмотрим процесс рассеяния пробной виртуальной частицы (скажем, фотона) на партоне. В рамках партонной модели предполагается, что кварки являются свободными частицами и обладают определенной вероятностью q_ƒ(x) иметь долю x полного импульса протона. Примем теперь, что эта вероятность зависит также от переменной t. Такая зависимость обусловлена тем, что кварк может испускать глюоны (рис. 17). Использование аксиальной калибровки сильно упрощает вычисления, так как при этом нужно учитывать вклад только диаграммы рис. 17, б (только эта диаграмма приводит к зависимости от t). Более того, можно учесть все асимптотически свободные поправки, если заменить g²/4π величиной α_s ^36б). Поэтому мы будем использовать аксиальную калибровку.

^36б)Это легко понять, вспомнив вывод выражения (5.18) и сравнив его с выражениями (9.29) и (9.30): весь вклад в перенормировочный множитель Z_g в рассматриваемой калибровке обусловлен глюонным пропагатором.

В низшем порядке теории возмущений по константе связи g нужно рассмотреть только диаграмму рис. 17, а. Будем считать кварки безмассовыми и перейдем в систему бесконечного импульса, определяемую соотношениями

q=(0,

0

,-Q) , p=

Q

2x

(0,

0

,q) ,

где 0 – нулевой вектор, лежащий в плоскости xy . Структурная функция ƒ₂ фактически представляет собой сечение этого процесса и, как показано в § 17, выражается в виде суммы сечений рассеяния фотона на точечном кварке, взвешенных с функциями распределения q_ƒ . Проводя очевидные изменения обозначений и вводя величину w, пропорциональную сечению рассеяния фотона на точечном кварке, получаем

1

x

ƒ

_NS

²

(x,t)=

∑

δ

_NS

^ƒ

∫

¹

 

₀

dy

y

q

_ƒ

(y,t)w

_точечн

(p

_ƒ

,q) .

(22.6)

Происхождение каждого члена в (22.6) очевидно. Переменная y определена соотношением p_ƒ=yp . Но ввиду безмассовости кварков имеем (p_ƒ+q)²=0 , а следовательно,

w

_точечн

(p

_ƒ

,q)=δ(y/x-1) .

Как и следовало ожидать, при этом воспроизводится результат (22.1) для структурной функиии ƒ₂ . Перепишем тождественно уравнение (22.6) в виде

q

_ƒ

(x,t)=

∫

¹

 

₀

dy

y

δ(y/x-1)q

_ƒ

(x,t) .

(22.7)

Конечно, уравнение (22.7) справедливо только в нулевом порядке теории возмущений по константе связи g (модель свободных партонов). Вследствие взаимодействия кварков и глюонов в это уравнение должны быть введены поправки. Их можно разделить на две группы. Первую группу составляют радиационные поправки к вершине взаимодействия фотона с кварком и к кварковому пропагатору на рис. 17, а. Эти поправки описываются диаграммами рис. 17, в. Вторую группу составляют поправки, обусловленные возможностью испускания кварком реального глюона (рис. 17, б). Рассмотрим сначала поправки второго типа. Амплитуда процесса излучения кварком реального глюона имеет вид³⁷⁾

³⁷⁾ Это выражение нормировано таким образом, что в том случае, если бы фотон γ* был реальным, амплитуда рассеяния удовлетворяла бы условию F(γ^*+q→G+q)=ε_μ𝓐^μ .

𝓐

^μ

=(2π)

^-2

u

(p

_ƒ

–k+q,σ')γ

^μ

i

p_ƒ-k

iγ

^α

gt

_α

^ij

u(p

_ƒ

,σ)ε

_*

^α

(k,λ) .

Следовательно, вероятность этого процесса пропорциональна тензору

w

^μν

=

½

∫

𝑑^⃗k

2k⁰

⋅

𝑑^⃗k'

2k'⁰

δ(p

_ƒ

+q-k-p')

 

∑

^spins

𝓐

^μ*

𝓐

^ν

=

½

 

∑

^σ,σ',λ

 

∑

^a,j

∫

𝑑

⁴

kθ(k

⁰

)

×

δ(k²)θ(p

₀

^ƒ

–k

⁰

+q

⁰

)δ[(p

_ƒ

–k+q)

²

]

𝓐

^μ*

𝓐

^ν

.

Заметим еще раз, что испускается реальный глюон, поэтому следует использовать соотношение

 

∑

^λ

ε

_u

(k,λ)ε

_*

^β

(k,λ)

=-g

_αβ

+

k_αu_β+k_βu_α

k⋅n

,

где применена светоподобная калибровка

k⋅ε=u⋅ε=0 ,

u²=0 .

Учитывая эти выражения и вводя обозначение δ₊(v²)=δ(v²)θ(v⁰) , получаем

w

^μν

=

1

2(2π)²

g²C

_F

Φ

^μν

,

(22.8 а)

Φ

^μν

=

∫

𝑑

⁴

kδ

₊

(k²)δ

₊

[(p

_ƒ

–k+q)²]

⎛

⎜

⎝

–g

_αβ

+

k_αu_β+k_βu_α

k⋅u

⎞

⎟

⎠

×

Tr(p_ƒ-k)γ^μ(p_ƒ-k+q)γ^ν(p_ƒ-k)γ^βp_ƒγ^α

(p_ƒ-k)⁴

.

(22.8 б)

В случае безмассовых кварков и глюонов выражения (22.8) оказываются расходящимися, и их следует регуляризовать. Для этого можно использовать размерную регуляризацию, но проще считать исходный кварк виртуальным: p²_ƒ=-μ². Благодаря компактности области интегрирования при этом может возникнуть только логарифмически расходящийся член, который, как будет показано ниже, имеет вид log (Q²/p²_ƒ). На самом деле, только этот логарифмический член нас и интересует; это существенно облегчает вычисления.

Прежде всего в выражениях (22.8) всюду, за исключением знаменателя, можно положить p²_ƒ=0; поправки будут иметь величину O(μ²/Q²). Таким образом, получаем

⎛

⎜

⎝

–g

_αβ

+

k_αu_β+k_βu_α

k⋅u

⎞

⎟

⎠

Tr(

p

_ƒ

–

k

)γ

^μ

(

p

_ƒ

–

k

+

q

)γ

^ν

(

p

_ƒ

–

k

)γ

^β

p

_ƒ

γ

^α

=

-2(p

_ƒ

–k)²

⎧

⎨

⎩

Trγ

^μ

(

p

_ƒ

–

k

+

q

)γ

^ν

k

+Trγ

^μ

(

p

_ƒ

–

k

+

q

)γ

^ν

×

[(p⋅u)(

p

_ƒ

–

k

)+(p

_ƒ

–k)⋅u

p

+2k⋅

p

_ƒ

u

]

1

u⋅k

⎫

⎬

⎭

.

Так как p²_ƒ=k²=0, выполняется равенство 2kp_ƒ=-(p_ƒ-k)². Следовательно, последний член в полученном уравнении пропорционален (p_ƒ-k)⁴ и не дает вклада в логарифмический член. Используя обозначения ^log₌ , которое означает, что логарифмические члены в левой и правой частях уравнения равны, получаем

Φ

^μν

_log

=

 

-2

∫

𝑑^⃗k

2k⁰

δ

₊

[(p

_ƒ

–k+q)²]

1

(p_ƒ-k)²

×

Tr{γ

^μ

(

p

_ƒ

–

k

+

q

)γ

^ν

k

+μ

^ν

(

p

_ƒ

–

k

+

q

)γ

^ν

×

[(

p

_ƒ

–

k

)(p

_ƒ

⋅u/k⋅u)+

p

_ƒ

[(p

_ƒ

–k)⋅/k⋅u]]} .

(22.9)

Запишем теперь знаменатель выражения (22.9) в виде

(p

_ƒ

–k)²=-μ-2k

⁰

p

₀

^ƒ

2k

³

p

₃

^ƒ

cos θ

Он обращается в нуль только при условии cos θ=1, т.е. в случае коллинеарности векторов k и p_ƒ . (Это условие определяет также глюоны, приводящие к поправкам к явлению скейлинга.) Таким образом, во всех других случаях можно положить cos θ=1, так что, в частности, δ-функция в выражении (22.9) принимает вид

δ[(p

_ƒ

–k+q)²]

=δ(2ν-Q²-2Qk

⁰

=δ

⎡

⎢

⎣

2ν

⎛

⎜

⎝

1-x-

Qk⁰

ν

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

Удобно ввести обозначение

1-

Qk⁰

ν

≡

ρ ,

(22.10)

и записать δ-функцию в виде.

δ[(p

_ƒ

–k+q)²]

=

1

2ν

δ(ρ-x) .

Кроме того, мы видим, что в случае cos θ=1 выполнено условие

k

_θ=0,π

=

(1-ρ)p

_ƒ

Теперь легко завершить вычисление выражений (22.8):

Φ

^μν

_log

=

 

-2π

∫

⁺¹

 

_-1

𝑑cosθ

∫

^∞

 

₀

𝑑k⁰⋅k⁰

2

⋅

1

ν

δ(ρ-x)

1+ρ²

1-ρ

×

Trγ^μ(ρp_ƒ+q)γ^νp_ƒ

 

 

2k⁰p

₀

^ƒ cosθ-(μ²+2k⁰p

₀

^ƒ )

_log

=

 

⎛

⎜

⎝

log

Q²

μ²

⎞

⎟

⎠

π

2ν

∫

𝑑ρ

1+ρ²

1-ρ

Tr{γ

^μ

(ρ

p

_ƒ

+

q

)γ

^ν

p

_ƒ

}δ(x-ρ) .

Таким образом, для структурной функции ƒ₂ получаем следуюший результат (обозначения очевидны):

w

₂

=4C

_F

g²

16π²

∫

𝑑ρ

1+ρ²

1-ρ

ρδ(x-ρ)log

Q²

μ²

(22.11)

Выражение (22.11) не дает окончательного ответа, так как оно не определено при ρ=1. Эта неопределенность обусловлена глюонами нулевой энергии, которые приводят к характерной инфракрасной расходимости. В действительности можно убедиться в том, что эта расходимость точно сокращается радиационными поправками к вершине и пропагатору, которые мы еще не приняли во внимание. Так как реальный глюон при этом не испускается, вклад таких поправок в выражение для w₂ должен быть аналогичен (22.11) с точностью до замены (1+ρ²)/(1-ρ) на λδ(ρ-1). Суммируя все члены, получаем

w

₂

=

C₂(F)α_glog Q²/μ²

π

∫

𝑑ρ ρδ(x-ρ)

⎧

⎨

⎩

1+ρ²

1-ρ

+λδ(1-ρ)

⎫

⎬

⎭

.

(22.12)

Таким образом, определена искомая поправка к уравнению (22.7), которая имеет вид^36в)

^36в) В выражениях (22.1За), (22.136) уже учтено правильное значение параметра λ.

q

_ƒ

(x,t)

=

∫

¹

 

₀

𝑑y

∫

¹

 

₀

𝑑z δ(zy-1)q

_ƒ

(y,t)

⎧

⎨

⎩

δ(z-1)+

α_gt

4π

P

₍₀₎

^NS

(z)

⎫

⎬

⎭

,

P

₍₀₎

^NS

=

C

_F

⎧

⎨

⎩

3δ(1-z)-2

1+z²

(1-z)₊

⎫

⎬

⎭

,

(22.13 а)

где для любой функции φ введено определение

∫

¹

 

₀

𝑑z

1

(1-z)₊

≡

∫

¹

 

₀

𝑑z

φ(z)-φ(1)

1-z

(22.13 б)

Заметим, что если эти коэффициенты P⁽⁰⁾_NS идентифицировать с получеными ранее коэффициентами, то можно проверить, что они действительно удовлетворяют уравнению (22.4). Именно благодаря этому нет необходимости вычислять коэффициент λ при δ(ρ-1); он непосредственно фиксируется условием γ⁽⁰⁾_NS=1 (или условием det γ⁽⁰⁾(2)=0 для синглетного случая).

Теперь можно сравнить выражения (22.13) и (22.5). Фактически достаточно считать константу g определенной в точке – μ² и заменить переменную t дифференциалом 𝑑t, чтобы записать выражения (22.13) в инфинитезимальном виде.

Рис. 18. Лестничная диаграмма для несинглетного или фермионного рассеяния.

Но существует и более интересный метод. Предположим, что может быть действительно испущено произвольное число глюонов. Тогда нужно просуммировать все диаграммы, содержащие глюон в конечном состоянии. Эта задача, конечно, неразрешима. Но она сильно упрощается, если ограничиться рассмотрением только ведущих логарифмических членов. Можно показать [155], что в этом случае дают вклад только лестничные диаграммы (рис. 18). Оказывается, что эти диаграммы можно вычислить и даже просуммировать. Таким образом, мы воспроизведем результаты стандартных вычислений, получив при этом два преимущества. Во-первых, очевидно, что использование ведущего приближения по бегущей константе связи эквивалентно суммированию всех ведущих логарифмических членов по константе α_g: αⁿ_g logⁿ(Q²/μ²). Во-вторых, такое рассмотрение дает некоторые указания, как рассчитывать те процессы, для которых метод операторного разложения неприменим. Мы не будем углубляться в изучение этого вопроса, а сошлемся на книгу [226] и цитированную в ней литературу.

Во втором порядке теории возмущений ядра рассмотренных уравнений были вычислены в работах [84, 131].

Метод Алтарелли – Паризи позволяет представить структурные функции для различных процессов в виде сумм "плотностей распределения кварков" q(x,Q²), описывающих распределение кварков аромата q. Для упрощения последующих ссылок ниже приводятся выражения для структурных функций некоторых наиболее важных процессов. Обозначим через I изоскалярную мишень, а через p – протонную мишень. Тогда имеем

ƒ

_F

^2ep

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

2

9

x(u+

u

+d+

d

+s+

s

),

 n

_ƒ

=3

5

18

x(u+

u

+d+

d

+s+

s

+c+

c

),

 n

_ƒ

=4

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

ƒ

_NS

^2ep

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

1

6

x

⎛

⎜

⎝

2

3

u-

1

3

d-

1

3

s+

2

3

u

–

1

3

d

1

3

s

⎞

⎟

⎠

, n

_ƒ

=3

1

6

x(u-d-s+

u

–

d

–

s

+c+

c

),

 n

_ƒ

=4

(22.14 а)

ƒ

_F

^2eI

=ƒ

_F

^2ep

; ƒ

_NS

^2eI

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

1

18

x(u+

u

+d+

d

–2s-2

s

), n

_ƒ

=3

1

6

x(c-s+

c

–

s

), n

_ƒ

=4.

(22.14 б)

ƒ

_NS

^2νI

=0, ƒ

_2νI

=ƒ

_F

^2νI

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

9

2

ƒ

_F

^2ep

, n

_ƒ

=3

18

5

ƒ

_F

^2ep

, n

_ƒ

=4.

(22.14 в)

ƒ

_F

^3νI

=0, ƒ

_3νI

=ƒ

_NS

^3νI

=

⎧

⎨

⎩

x(u-

u

+d-

d

+s-

s

), n

_ƒ

=3

x(u-

u

+d-

d

+s-

s

+c-

c

), n

_ƒ

=4.

(22.14 г)

Некоторые из этих результатов уже были получены выше. Кроме того, можно ввести понятия распределения «валентных» кварков q_v (определив его как избыток числа кварков по сравнению с числом антикварков; для протона ∫¹₀𝑑xu_v=2, ∫¹₀𝑑xd_v=1 и «моря» остальных кварков и т.д. Подробное изложение этого круга вопросов можно найти в обзорах [11, 55].