Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 17 страниц)

§ 11. Ренормализационная группа

Рассмотрим, например, перенормировку кваркового пропагатора. В калибровке Ферми – Фейнмана в рамках μ-схемы

S

_(μ)

^R

(p;g,m)=i

1-(4/3)g

²

A

_(μ)

^R

(p

²

)

p

–m{1-(4/3)g

²

B

_(μ)

^R

(p

²

)}

 .

(11.1 а)

где

A

_(μ)

^R

(p

²

)=

2

∫

¹

16π

²

₀

dx(1-x)

xm

²

+x(1-x)μ

²

xm

²

–x(1-x)p

²

 ,

B

_(μ)

^R

(p

²

)=

-2

∫

¹

16π

²

₀

dx(1+x)log

xm

²

+x(1-x)μ

²

xm

²

–x(1-x)p

²

 ,

(11.1 б)

В рамках схемы MS выражения для пропагатора S и функций A и B имеют вид

S

_(ν)

^R

(p;g,m)=i

1-(4/3)g

²

A

_R

(p

²

,ν)

p

–m{1-(4/3)g

²

B

_R

(p

²

,ν)

 ,

(11.2 а)

A

_R

=

1

16π

²

{

–1-2

∫

¹

₀

dx(1-x)log

xm

²

–x(1-x)p

²

ν

²

₀

}

 ;

B

_R

=

1

16π

²

{

1+2

∫

¹

₀

dx(1+x)log

xm

²

–x(1-x)p

²

ν

²

₀

}

 .

(11.2 б)

Видно, что перенормировочная процедура вводит в функции Грина зависимость от произвольного параметра размерности массы: это точка нормировки μ² в μ-схеме или шкала масс ν² в схеме MS.

Начнем с рассмотрения μ-схемы перенормировки. Предположим, что точка нормировки изменилась и вместо прежнего значения μ взято новое значение μ'. Если использовать лишь выражения (11.16), в которых параметр μ заменен на μ', то выражение для кваркового пропагатора S^(μ')_R будет отличаться от прежнего. Но мы хотим построить теорию, которая была бы определена однозначно; следовательно, необходимо скомпенсировать изменение кваркового пропагатора. Этого можно добиться, если принять, что масса кварка тоже зависит от точки нормировки μ.

Поэтому перепишем выражение (11.1а) для пропагатора в виде

S

_(μ)

^R

(p;g,m(μ))=i

1-(4/3)g

²

A

_(μ)

^R

(p

²

)

p

–m(μ){1-(4/3)g

²

B

_(μ)

^R

(p

²

)}

 .

(11.3)

Существование зависимости массы кварка от точки нормировки очевидно из выражения для перенормированного пропагатора S_R, записанного через неперенормированный пропагатор:

S

_(μ)

^R

(p;g,m(μ))

=

Z

_-1

^F

(μ)S

_uD

(p;g,m

_uD

);

m

_uD

=

Z

_m

(μ)m(μ).

(11.4)

Поэтому для обеспечения независимости кваркового пропагатора от точки нормировки μ достаточно подходящим образом выбрать зависимости перенормировочных множителей Z_F и Z_m от этой точки. Другими словами, если известно выражение для пропагатора S^(μ)_R при (p;g,m(μ)), то можно вычислить его значение и при (p=μ';g,m(μ)). После этого определим пропагатор S^(μ')_R, нормированный в точке μ',в виде

S

_(μ')

^R

(μ',g,m(μ'))=

i

p

–p(μ')

.

Потребовав равенства выражений для пропагаторов при p=μ', можно определить функции m=(μ') и Z_F=(μ')/Z_F=(μ). В результате, например, получаем следующее выражение для функции m=(μ'):

m(μ')=m(μ)

{

1-

2

3

α

_g

∫

¹

π

₀

dx(1+x)log

xm+x(1-x)μ'

²

xm+x(1-x)μ

²

}

.

В рамках схемы MS рассуждение оказывается более простым, но вместе с тем и более тонким ^17б). После проведения регуляризации во всех выражениях возникает произвольный параметр ν₀, имеющий размерность массы. Если мы хотим получить функции Грина, не зависящие от этого произвольного параметра ν₀, то этого можно добиться, отбросив в возникающих выражениях не только (4π)^ε/2Γ(ε/2), а весь член (4π)^ε/2Γ(ε/2)ν^ε₀. Единственный способ достичь этого состоит во введении нового параметра ν размерности массы, так что теперь перенормировочный множитель Z заменяется на комбинацию Z(ν)=(ν₀/ν)^εZ; которая сократится с множителем N^ν₀=2/ε-γ_E+log4π+logν₀. Перенормированные функции Грина будут зависеть от параметра ν, но не будут уже зависеть от ν₀. Предположим, что мы хотим изменить значение параметра ν, но так, чтобы при этом не возникло физических эффектов. Для этого достаточно ввести зависимость от параметра ν в константу связи g, массу кварка m и калибровочный параметр ξ (в дополнение к зависимости от ν перенормировочного множителя Z). Для функции Грина Γ с отсеченными внешними линиями получаем

^17б) Используемая здесь перенормировочная схема MS несколько отличается от стандартной схемы MS, хотя по существу полностью ей эквивалентна.

Γ

_R

(p

₁

,…,p

_N-1

;g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)

=Z

_-½

^Φ₁

(ν)…Z

_½

^Φ_N

(ν)Γ

_uD

(p

₁

,…,p

_N-1

;g

_uD

,m

_uD

,ξ

_uD

);

(11.5)

g

_uD

=Z

_g

(ν)g(ν),

m

_uD

=Z

_m

(ν)m(ν),

λ

_uD

=Z

_λ

(ν)λ(ν),

ξ=1-λ

^-1

(11.6)

Легко видеть, какая требуется зависимость от параметра ν. Напомним, что параметр ν₀ входил во все выражения в комбинации

d

^D

k̂=

d

^D

k

(2π)

^D

ν

_4-D

⁰

,

так что зависимость от ν₀ имеется только в расходящихся частях интегралов

Γ(2/ε)(4π)

^ε/2

(

ν

₂

⁰

)

^ε/2

.

Следовательно, все перенормировочные множители Z_ν имеют вид

Z

_j

(ν)=1+

C

₍₁₎

^j

(ν)

g

²

16π

²

+…,

(11.7 а)

C

₍₁₎

(ν)=c

₍₁₎

^j

^j

{

2

ε

-γ

_E

+log4π+log

ν

₂

⁰

ν

₂

 

}

.

(11.7 б)

Коэффициенты перед членом log ν² с точностью до знака совпадают с ранее вычисленными коэффициентами c⁽¹⁾_j. В низших порядках теории возмущений легко показать, что в μ-схеме перенормировки это утверждение справедливо и в отношении коэффициентов перед членом log μ².

Преобразования вида μ→μ' (или ν→ν') образуют ренормализационную группу^17в), впервые введенную в рассмотрение Штюкельбергом и Петерманом [237] (см. также [45, 140]). Инвариантность физических величин по отношению к этой группе преобразований можно использовать (см. § 20) для изучения асимптотического поведения функций Грина. Эффективнее всего это можно сделать, используя уравнение, полученное Калланом [59] и Симанзиком [239], которое рассматривается в следующем параграфе.

^17в) В действительности групповая структура возникает только в рамках заданной перенормировочной схемы. Если включить в рассмотрение преобразования вида Τ(R₁→R), изменяющиеся при переходе от одной схемы к другой, то в результате возникает расслоенное пространство.

§ 12. Уравнение Каллана – Симанзика

Уравнение Кадлана – Симанзика (КС) проще всего получить, заметив, что неперенормированные величины Γ_u, g_u, m_u, ξ_u не зависят от значения параметра ν (скажем, в перенормированной схеме MS). Исходя из этого, на основании формул (11.5) и (11.6) немедленно получаем уравнение

νd

dν

Γ

_uD

(p

₁

,…,p

_N-1

;g

_uD

,m

_uD

,λ

_uD

)=0,

т.е.

{

ν∂

∂ν

+g∂

∂

∂g

+(1-ξ)λδ

∂

∂λ

+

 

∑

^q

m

_q

γ

_m,q

∂

∂m

_q

-γ

_Γ

}

×Γ

_R

(p

₁

,…,p

_N-1

;g(ν),m(ν),λ(ν);ν)=0.

(12.1)

Здесь введены универсальные функции β, γ_k и δ, определяемые соотношениями

ν

d

dν

g(ν)=g(ν)β,

ν

d

dν

m

_q

(ν)=m

_q

(ν)γ

_m,q

,

ν

d

dν

λ(ν)={1-λ(ν)}δ.

(12.2)

и

Z

_-1

=Z

_½

…Z

_½

^Γ

^Φ₁

^Φ_N

,

Z

_-1

ν

_d

Z

_Γ

=γ

_Γ

^Γ

dν

.

(12.3)

Функции β, γ и δ можно вычислить, если использовать уравнение (9.10) и учесть, что величины g_u, m_u и ξ_u не зависят от параметра ν:

β=-Z

_-1

^g

(ν)ν

_d

dν

Z

_g

(ν),

γ

_m,q

=-Z

_-1

^m

(ν)ν

d

dν

Z

_m

(ν),

δ=-Z

_λ

(ν)ν

d

Z

_-1

dν

_λ

(ν).

(12.4)

Уравнение (12.1) в приведенном выше виде неудобно, так как содержит частную производную по параметру ν∂/∂ν. Но его можно представить в более удобной форме, если использовать соображения размерности. Предположим, что размерность величины Γ_R равна ρ_Γ; тогда величина ν^-ρΓΓ_R является безразмерной¹⁹⁾, поэтому она может зависеть только от безразмерных отношений размерных параметров. Изменим масштаб импульсов, являющихся аргументами функции Грина, в λ раз: p_i→λp_i. В результате получим

¹⁹⁾ Размерность полей, входящих в определение функции Грина, легко вычислить, если учесть, что действие Α=∫d⁴xℒ(x) безразмерно. Отсюда следует, что размерность кварковых полей [q]=[M]^3/2, полей д́ухов [ω]=[M], глюонных полей [B]=[M]. Размерность же функции Грина выражается через размерности полей, фигурирующих в её определении. Например, размерность фермионнного пропагатора ρ_S=-1 (слагаемые 3/2+3/2 возникают из размерностей полей кварков, а 4 – из элемента объёма четырёхмерного пространства d⁴x).

ν

^-ρΓ

Γ

_R

(λp

₁

,…,λp

_N-1

;g,m,a

^-1

;ν) = F(λp

₁

/ν,…,λp

_N-1

/ν;g,m/ν,a

^-1

).

Чтобы отличать масштаб изменения импульсов λ от калибровочного параметра, последний обозначим через a=λ^-1. Теперь, заменяя частную производную ν∂/∂ν на производную -λ∂/∂λ, получаем уравнение Каллана-Симанзика

{

–

∂

∂logλ

+gβ

∂

∂g

+(a

^-1

)δ

∂

∂a

^-1

+

 

∑

^q

m

_q

(γ

_m,q

–1)

∂

∂m

_q

+ρ

_Γ

–γ

_Γ

}

×Γ

_R

(λp

₁

,…,λp

_N-1

;g,m,ξ,ν)=0.

(12.5)

Чтобы решить это уравнение, введем эффективные, или «бегущие», параметры, определяемые соотношениями

d

g

(λ)

d logλ

=

g

(λ)β(

g

(λ)) ,

d

m

(λ)

d logλ

=

m

(λ)γ

_m,q

 ,

d

a

(λ)

^-1

d logλ

=

a

^-1

δ ,

(12.6 а)

и удовлетворяющие граничным условиям

g

 

_λ=1

=g(ν) ,

m

 

_λ=1

=m(ν) ,

a

 

_λ=1

=a(ν) .

(12.6 б)

Тогда решение уравнения Каллана—Симанзика можно записать в виде

Γ

_R

(λp

₁

,…,λp

_N-1

;g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)

=λ

^ρΓ

Γ

_R

(p

₁

,…,p

_N-1

;

g

(λ),

m

(λ),

a

(λ)

^-1

;ν)

× exp

{

–

∫

^{log λ}

₀

d log γ'γ

_Γ

(

g

(λ'),

m

(λ'),

a

(λ')

^-1

)

}

.

(12.7)

Из этого выражения видно, что при изменении импульсов в λ раз функция Грина Γ_R не умножается просто на величину λ^ρΓ как этого следовало ожидать из размерного анализа, а приобретает дополнительный множитель (экспоненту, стоящую в правой части (12.7)). Именно поэтому величину γ_Γ обычно называют аномальной размерностью функции Грина Γ_R. С этой точки зрения ренормализационную группу можно интерпретировать как способ обеспечения масштабной инвариантности в квантовой теории калибровочных полей²¹⁾. Масштабная инвариантность таких теорий нетривиальна ввиду бесконечного характера проводимых перенормировок, в ходе которых вводится внешний по отношению к задаче масштаб масс.

²¹⁾ Такой подход к вопросу о ренормализационной группе развит в работах [60, 74].

Следует отметить, что выражение (12.7) справедливо всегда безотносительно к теории возмущений; однако на практике для получения реальных результатов необходимо использовать теорию возмущений.

§ 13. Перенормировка составных операторов

Для изучения структуры адронов используют внешние электромагнитные и слабые токи, поэтому необходимо рассмотреть не только функции Грина, но и матричные элементы различных составных операторов. Эти операторы можно разбить на две группы: сохраняющихся или частично сохраняющихся операторов и несохраняющихся операторов.

Сохраняющимся является, например, оператор электромагнитного тока J^μ_em=∑Q_qV^μ_q, где проводится суммирование по всем ароматам кварков, а операторы V^μ_q имеют следующий вид:

V

_μ

^q

(x)=:

q

(x)γ

^μ

q(x): ;

и во всех порядках теории возмущений удовлетворяют условиям сохранения

∂

 

V

_μ

(x)=0 .

^μ

^q

(13.1 а)

В качестве примера частично сохраняющегося тока можно привести слабый аксиальный ток

A

_μ

^qq'

(x)=:

q

(x)γ

^μ

γ

₅

q'(x): .

Используя уравнения движения (3.6), легко убедиться, что аксиальный ток удовлетворяет соотношениям

∂

_μ

A

_μ

^qq'

(x)=i(m

_q

+m

_q'

)J

₅

^qq'

(x) , J

₅

^qq'

(x)=:

q

(x)γ

₅

q'(x): ,

(13.1 б)

из которых видно, что в пределе больших энергий, когда можно пренебречь массами кварков, он является сохраняющимся.

Вообще говоря, матричные элементы любого составного оператора представляют собой расходящиеся величины. Но если учесть контрчлены, входящие в лагранжиан КХД, то матричные элементы сохраняющихся и частично сохраняющихся токов оказываются конечными ^21a). Физически это очевидно, формальное же доказательство этого утверждения будет приведено ниже.

^21a) Отметим, что мы работаем в низшем порядке теории возмущений по слабому и электромагнитному взаимодействиям. В противном случае возникает необходимость включения в формулы слабых и электромагнитных перенормировочных множителей Z^ω_F, Z^em_F и т.д.

Несохраняющиеся операторы, как правило, требуют проведения перенормировки. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в качестве простого примера оператор Σ_i:qⁱ(x)qⁱ(x)≡M(x). Как уже обсуждалось в § 8 и 9, можно работать либо с неперенормированной величиной q_uq_u и проводить вычисления, учитывая контрчлены, либо использовать перенормированную величину Z^-1_Fq_uq_u , проводя подстановки g→g_u=Z_gg для константы связи и m→m_u=Z_mm для массы и пренебрегая контрчленами. Тем не менее, вообще говоря, этого оказывается недостаточно, чтобы величина M была конечной. Для того чтобы получить конечные выражения для матричных элементов оператора M, необходимо умножить его на дополнительный множитель Z_M, называемый перенормировочным множителем оператора:

M

_R

(x)=Z

_M

M(x) .

(13.2)

Чтобы доказать это утверждение, используем формулы § 3. При этом поля, отмеченные верхним или нижним индексом 0, являются свободными, например q₀≡q⁰_u или B₀≡B⁰_u. В терминах свободных полей оператор M_R записывается в виде

M

_R

(x)=Z

_M

T:

q

₀

(x)q

₀

(x):

exp i

∫

d

⁴

zℒ

₀

_int

(z) .

В низшем порядке теории возмущений по константе связи g это выражение принимает вид

M

_R

(x)

=

Z

 

^M

Z

_-1

^F

:

q

₀

(x)q

₀

(x):

=

-

g

²

2!

Z

_M

∑∫

d

⁴

z

₁

d

⁴

z

₂

T

:

q

₀

(x)q

₀

(x):

:

q

₀

(z

₁

)t

^a

γ

_μ

q

₀

(z

₁

):

×

q

₀

(z

₂

)t

^b

γ

_ν

q

₀

(z

₂

):

B

_μ

^0a

(z

₁

)

B

_ν

^0b

(z

₂

) .

(13.3)

Поскольку перенормировочный множитель оператора имеет вид Z_M=1+O(g²), множителем Z_M во втором слагаемом правой части (13.3) можно пренебречь. Рассмотрим далее расходящиеся матричные элементы, а именно матричные элементы M_R по кварковым состояниям с равным импульсом p; нетрудно видеть, что характер расходимости в рассматриваемом примере одинаков как для диагональных, так и для недиагональных матричных элементов. Обозначим диагональные матричные элементы операторов M и M_R соответственно через ⟨M⟩_p и ⟨M_R⟩_p. Тогда в калибровке Ферми-Фейнмана после простых вычислений из выражения (13.3) для этих матричных элементов получим

⟨M

_R

⟩

_p

=

Z

 

^M

Z

_-1

^F

⟨M

₀

⟩

_p

+

i⟨M

₀

⟩

_p

⎧

⎨

⎩

g

²

C

_F

∫

d

^D

k̂

-γ

^μ

(

p

+

k

)(

p

+

k

)γ

_μ

k

²

(p+k)

⁴

+S

_u

(p)+S

_u

(p)

⎫

⎬

⎭

.

(13.4)

где

M

₀

≡

:

q

₀

q

₀

: .

Рис. 9. Перенормировка оператора qq.

Соответствующие фейнмановские диаграммы приведены на рис. 9. Первое слагаемое правой части (13.4) соответствует диаграмме рис. 9, а , два последних слагаемых – диаграмме рис. 9, б, а интеграл соответствует диаграмме рис. 9, в. Вычисления проведены в приближении безмассовых кварков. Легко убедиться в том, что пренебрежение массой кварков не влияет на характер расходимостей. Очевидно, что расходящаяся часть одного из кварковых пропагаторов S_u в правой части (13.4) точно сокращается с фермионным перенормировочным множителем Z_F; таким образом, остается только расходимость, связанная с интегралом:

-iC

_F

g

²

∫

d

^D

k

(2π)

^D

ν

_4-D

⁰

γ

^μ

γ

_μ

k

²

(p+k)

²

_div

=

 

4g

²

C

_F

16π

²

Γ(ε/2)(4π)

^ε/2

ν

_ε

⁰

.

Добавляя вклад от расходимости, обусловленной вторым кварковым пропагатором S_u , получаем

Z

_M

(ν)=1-

3C

_F

α

_g

4π

⎧

⎨

⎩

2

ε

+log 4π-γ

_E

–log ν

²

/ν

₂

⁰

⎫

⎬

⎭

.

(13.5)

Вычисление перенормировочного множителя Z_M проведено в калибровке Ферми-Фейнмана, но нетрудно убедиться, что он является величиной, не зависящей от калибровки.

Если бы мы провели вычисления не для величины qq, а, скажем, для величин qγ^μq или qγ^μγ₅q' , то получили бы, что аномальные размерности этих операторов равны нулю. Как уже говорилось, это утверждение является частным случаем общего результата, к доказательству которого мы переходим. Пусть ток J^μ представляет собой квазисохраняющийся оператор, т.е. в пределе, когда массы частиц стремятся к нулю, он удовлетворяет условию ∂_μJ^μ(x)=0. Рассмотрим какое-нибудь хронологическое произведение произвольных полей Φ_i и тока J^μ

ΤJ

^μ

(x)Φ

₁

(y

₁

)…Φ

_N

(y

_N

) .

Тогда, используя соотношение ∂₀θ(x⁰-y⁰) = δ(x⁰-y⁰), можно получить тождество Уорда

∂ΤJ^μ(x)Φ₁(y₁)…Φ_N(y_N)

=

Τ(∂

_μ

J

^μ

(x))Φ

₁

(y

₁

)…Φ

_N

(y

_N

)

+

_N

∑

^k=1

δ(x

⁰

–y

₀

^k

)ΤΦ

₁

(y

₁

)

…

[J

⁰

(x),Φ

_k

(y

_k

)]

…

Φ

_N

(y

_N

) .

(13.6)

Пусть справедливо равенство

δ(x

⁰

–y

₀

^k

)[J

⁰

(x),Φ

_k

(y

_k

]

=

Φ'

_k

(y)

_k

δ(x-k

_k

) ;

тогда, если множители Z_J и Z_D представляют собой аномальные размерности тока J^μ и его дивергенции ∂_μJ^μ соответственно, а множители γ_J и γ_D являются коэффициентами перед членом -(g²/16π²)N_ε в выражениях для Z_J и Z_D, то, применяя к левой и правой частям (13.6) оператор νd/dν, получаем

γ

_J

∂

_μ

ΤJ

^μ

(x)Φ

₁

(y

₁

)…Φ

_N

(y

_N

)

=

Τ

⎧

⎨

⎩

∑

γ

_m

m

∂

∂m

∂

_μ

J

^μ

(x)

⎫

⎬

⎭

Φ

₁

(y

₁

…Φ

_N

(y

_N

)

+

γ

_D

Τ(∂

_μ

J

^μ

(x))Φ

₁

(y

₁

)…Φ

_N

(y

_N

) .

(13.7)

Уравнение (13.7) может выполняться только в том случае, если γ_J=0, а множители γ_D и γ_m удовлетворяют условию

γ

_D

∂

_μ

J

^μ

=-

∑

γ

_m

m

∂

∂m

∂

_μ

J

^μ

.

(13.8)

Уравнение (13.8) можно проверить для частного случая, когда ток J^μ записывается в виде J^μ=qγ^μq' . При этом используем полученное выше выражение для дивергенции тока

∂_μJ^μ = i(m-m')qq,

а также явный вид аномальной размерности γ_m , которая вычислена в § 14. Или же можно учесть соотношения (9.17) и (11.6), чтобы убедиться в том, что во втором порядке теории возмущений выполняются равенства

m_uD(qq)_uD = m_RZ_m(qq)_uD = M_RZ_M(qq)_uD = M_R(qq)_R ,

с перенормировочным множителем Z_m , равным только что вычисленному множителю Z_M .

§14. Бегущая константа связи и бегущая масса в КХД; асимптотическая свобода

Вернемся к уравнениям (12.6) и (12.7). Чтобы решить уравнение (12.6), предположим, что при некотором значении параметра ν перенормированная константа связи достаточно мала для того, чтобы фуыкции β, γ, δ, можно было разложить в ряд по степеням константы связи g(ν) :

β

=

-

⎧

⎨

⎩

β

₀

g

²

(ν)

16π

²

+β

₁

⎧

⎪

⎩

g

²

(ν)

16π

²

⎫²

⎪

⎭

+β

₂

⎧

⎪

⎩

g

²

(ν)

16π

²

⎫³

⎪

⎭

+…

⎫

⎬

⎭

,

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

γ

_m

=

γ

₍₀₎

^m

g

²

(ν)

16π

²

+γ

₍₁₎

^m

⎧

⎪

⎩

g

²

(ν)

16π

²

⎫²

⎪

⎭

+… ,

δ

=

δ

⁽⁰⁾

g

²

(ν)

16π

²

+δ

⁽¹⁾

⎧

⎪

⎩

g

²

(ν)

16π

²

⎫²

⎪

⎭

+… .

(14.1)

Значение коэффициента β₀ можно получить из выражений (9.30) и (12.4):

β

₀

=

1

3

{11C

_A

–4n

_ƒ

Τ

_F

}

=

1

3

(33-2n

_ƒ

) .

(14.2 а)

Используя результат вычислений перенормировочного множителя Z_g во втором [64, 179] и в третьем [241] порядках теории возмущений, для коэффициентов β₁ и β₂ получаем следующие выражения ^21а):

^21а) Значения коэффициентов β₀ и β₁ не зависят от перенормировочной схемы; выражение для коэффициента β₂ выписано для случая схемы MS.

β

₁

=

34

3

C

₂

^A

–

20

3

C

_A

Τ

_F

n

_ƒ

–4C

_F

Τ

_F

n

_ƒ

=102-

38

3

n

_ƒ

;

β

₂

=

2857

54

C

₃

^A

–

1415

27

C

₂

^A

Τ

_F

n

_ƒ

+

158

27

C

_A

Τ

₂

^F

n

₂

^ƒ

-

205

9

C

_A

C

_F

Τ

_F

n

_ƒ

+

44

9

C

_F

Τ

₂

^F

n

₂

^ƒ

+2C

₂

^F

Τ

_F

n

_ƒ

=

2857

2

-

5033

18

n

_ƒ

+

325

54

n

₂

^ƒ

.

(14.2 6)

Вычислим эффективную константу g в низшем порядке теории возмущений. Введем стандартное обозначение α_S=g²/4π. Уравнение (12.6а) в низшем порядке теории возмущений имеет вид

d

g

d

log λ

=

–β

₀

g

³

16π

²

,

и при λ²=Q²/ν² приводит к следующему результату для эффективной константы связи:

∫

α_s(Q²)

 

α_g(ν)

d

α

_s

α

_s

²

=

-β

₀

2π

∫

_{(1/2)log Q²/ν²}

 

⁰

d

log λ' ,

α

_s

(Q

²

)=

α

_g

(ν)

1+α

_g

β

₀

(log Q

²

/ν

²

)/4π

.

(14.3)

Последнее выражение удобно записать через инвариантный параметр Λ, выбирая его таким образом, чтобы оно приняло вид

α

_s

(Q

²

)=

 

4π

 

β

₀

log Q

²

/Λ

²

;

Λ

²

=ν

²

e

^{-4π/β₀α_g(ν)}

.

(14.4 а)

Подставляя выражение для коэффициента β₀ , получаем следующую формулу, описывающую зависимость константы связи α_s от переданного 4-импульса Q:

α

_s

(Q

²

)=

 

12π

 

(33-2n

_ƒ

)log Q

²

/Λ

²

(14.4 б)

Если учесть члены второго порядка малости по константе связи α_g в разложении для ренормгрупповой (β -функции (член ∼ (g²(ν)/16π²)² в ( 14.1)), то для бегущей константы связи получим

α

₍₂₎

^s

(Q

²

)

=

12π

(33-2n

_ƒ

)log Q

²

/Λ

²

⎧

⎪

⎩

1-3

153-19n

_ƒ

(33-2n

_ƒ

)

²

⋅

log log Q

²

/Λ

²

½log Q

²

/Λ

²

⎫

⎬

⎭

.

(14.4 в)

Мы видим, что α_s⁽²⁾(Q²)/α_s(Q²)→1 и оба выражения (14.46) и (14.4в) логарифмически стремятся к нулю в пределе (Q²)→∞²²⁾. В этом и состоит проявление замечательного свойства квантовой хромодинамики – явления асимптотической свободы, которое впервые обсуждалось в работах Гросса и Вильчека [160] и Политцера [218]. С учетом выражения (12.7) оно означает, что при больших пространственноподобных импульсах λp_i∼q, q²=-Q² квантовая хромодинамика представляет собой свободную квантовополевую теорию с точностью до логарифмических поправок. Более того, в пределе (Q²)→∞ константа связи α→0. Следовательно, эти поправки можно вычислить в виде ряда теории возмущений по малой константе связи α_s.

²²⁾ При условии, что число ароматов n_ƒ≤16. Это ограничение достаточно слабое и легко выполнимое. Экспериментально пока обнаружены кварки пяти ароматов. Современная теория предсказывает существование шестого, так называемого t -кварка. (Указания на экспериментальное обнаружение t -кварка получены в анализе адронных струй на pp-коллайдере. – Прим. перев.)

Можно также вычислить бегущую массу. В низшем порядке теории возмущений потребуем выполнения соотношений (12.2), (12.6) и (9.14). Тогда получим

1

m

⋅

d

m

d

log λ

= γ

₍₀₎

^m

g

²

16π

²

=

γ

₍₀₎

m

2β

₀

log λ

 

 

.

Используя выражение (14.4а), полагая log Q²/Λ²=2log λ и вводя константу интегрирования m̂ (которая представляет собой аналог параметра Λ), получаем выражение для эффективной массы

m

(Q

²

)=

m̂

(½log Q

²

/Λ

²

)

^{-γ(0)_m/β₀}

, γ

₍₀₎

^m

=-3C

_F

.

(14.5 а)

Подставляя значения коэффициентов β₀ и γ_m, окончательно имеем

m

(Q

²

)=

m̂

(½log Q

²

/Λ

²

)

^d_m

, d

_m

=

12

33-2n

_ƒ

,

(14.5 б)

где коэффициент d_m иногда называют аномальной размерностью массы.

Аналогично можно вычислить бегущий калибровочный параметр. Подробное вычисление можно найти в работе [209]. Приведем лишь результат

ξ

Q

²

=

1-

1

 

λ̂ (½log Q

²

/Λ

²

)

^d_ε

⎧

⎨

⎩

1+

9

39-4n

_ƒ

⋅

1

 

λ̂ (½log Q

²

/Λ

²

)

^d_ε

⎫^-1

⎬

⎭

,

d

_ε

=

1

2

⋅

39-4n

_ƒ

33-2n

_ƒ

.

В заключение этого параграфа приведем результат вычисления эффективной массы m⁽²⁾ в двухпетлевом приближении [242]:

m

⁽²⁾

(Q

²

)

=

m̂

(½log Q

²

/Λ

²

)

^d_m

⎧

⎨

⎩

1

-γ

₍₀₎

^m

β

₁

β

₂

⁰

⋅

log log Q

²

/Λ

²

2log Q

²

/Λ

²

+

1

2β

₂

⁰

⎧

⎪

⎩

γ

₍₁₎

^m

–γ

₍₀₎

^m

β

₁

β

₀

⎫

⎪

⎭

1

log Q

²

/Λ

²

⎫

⎬

⎭

,

γ

₍₁₎

^m

=

3

⎧

⎪

⎩

n

₂

^c -1

2n

 

^c

⎫²

⎪

⎭ 

+

97

6

⋅

n

₂

^c -1

 

  4

–

5n_ƒ (n

₂

^c -1)

3n

 

^c

,

(14.5 в)

где n_c = 3 (число цветов). В качестве примера использования развитой здесь техники приведем вывод импульсной зависимости кваркового пропагатора в пределе больших импульсов Q² ≫ Λ²

S

_R

(p,q(ν),m(ν),ξ(ν);ν) ,

p

²

=-Q

²

≫ Λ

²

.

Размерность кваркового пропагатора S_R равна ρ_S=-1. Следовательно, замечая, что Z=Z_F (в пропагаторе S_R сохранены внешние линии: «усеченный» пропагатор S_R был бы просто равен S^-1_R, при условии p=λn, n²=-Λ² из уравнения (12.7) получаем

S

_R

(p,g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)

=

S

_R

(p,

g

(ν),

m

(ν),

ξ

(ν);ν)

⎧

⎪

⎩

Q²

Λ²

⎫^-½

⎪

⎭ 

×

exp

⎧

⎨

⎩

–

∫

^{log Q/Λ}

 

₀

d

logλ'

1-ξ

3π

α

_g

(λ')

⎫

⎬

⎭

.

В ведущем приближении по α_s выражение для кваркового пропагатора принимает вид

S

_R

(p,

g

(ν),

m

(ν),

ξ

(ν);ν)

 

≃

^Q2→∞

i

n

Используя формулу (14.4а), окончательно получаем

S

_R

(p,g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)

 

≃

^Q2≫Λ2

i

p

⋅

1

(½log Q²/Λ²)^dFξ

,

(14.6 а)

(Q²=-p²), где аномальная размерность кваркового поля записывается в виде

d

^Fξ

=

3

2

⋅

(1-ξ)C_F

11C_A-4T_Fn_ƒ

=2

1-ξ

33-2n_ƒ

.

(14.6 б)

Таким образом, кварковый пропагатор S_R в пределе больших импульсов с точностью до логарифмических поправок (log Q/Λ)^-d_Fξ ведет себя аналогично пропагатору свободного кваркового поля. Отметим, что аномальная размерность кваркового поля d_Fξ, как и ожидалось, зависит от калибровочного параметра и равна нулю в калибровке Ландау, в которой кварковый пропагатор имеет каноническую размерность.