Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Текст добавлен: 20 марта 2017, 22:30

Текст книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"

Автор книги: Франсиско Индурайн

Жанр:

Физика

сообщить о нарушении

Текущая страница: 13 (всего у книги 17 страниц)

Назад к карточке книги

𝑑^NΠ_φ(q²)

(𝑑q²)^N

≡

_(N)

^φ

(q²)

при N≥1 удовлетворяет дисперсионным соотношениям без какого-либо дополнительного вычитания. При значениях |q²| вблизи m²_φ можно аппроксимировать функцию Π^(N)(q²) единственным резонансом – φ-мезоном. Таким образом, можно написать приближенное выражение

_(N)

^φ

(q²)≈

N!a

₂

^φ

–q²)

^N+1

Взяв отношение двух последовательных производных, находим

_φ

)

≡

_(N)

^φ

(q²)

_(N+1)

^φ

(q²)

≈

N+1

₂

^φ

–q²).

(36.2)

Если вычислить производную Π^(N)_φ в рамках квантовой хромодинамики и использовать пертурбативные значения масс кварков, то получим

_(N)

^φ

(q²)

≈

₂

^φ

12π

₂

(N-1)!

(-q²)^N

⎧

⎨

⎩

m̂

₂

+O[α

(-q

)]

⎫

⎬

⎭

(36.3)

Но полученное выше значение m̂_s не удовлетворяет соотношению (36.2) при физическом значении массы φ-мезона. Это показывает, что существенную роль играют непертурбативные вклады. Проще всего их учесть, использовав вычисления непертурбативных частей кваркового S и глюонного D пропагаторов, выполненные в § 35. В низшем порядке теории возмущений по константе связи α_s необходимо учесть лишь выражения (35.3) и (35.6) . Тогда формула (36.3) принимает следующий вид:

_(N)

^φ

(q²)

≈

₂

^φ

12π

₂

(N-1)!

(-q²)^N

⎧

⎨

⎩

m̂

₂

4π

N(N+1)

⁴

⟨

s⟩

_vac

3πN(N+1)

8q⁴

⟨α

+O(α

)+O(q

^-6

)

⎫

⎬

⎭

(36.4)

Мы видим, что в пределе -q²/N→∞ существенный (фактически главный) вклад в массу φ-мезона возникает от вакуумного среднего ⟨α_sG². Таким образом, оказывается возможным в некотором смысле воспроизвести массы ρ, ω, φ,…, используя «конституентные» массы, имеющие величину порядка ⟨α_sG²⟩^¼. Мы не будем более углубляться в этот вопрос, а сделаем лишь два замечания. Во-первых, использование «конституентных» масс в лучшем случае является грубым приближением. Это обусловлено тем, что вклад вакуумного среднего ⟨α_sG²⟩ зависит от спина операторов (в нашем примере от спина оператора φ^μ), с которыми оно связано; в общем случае этот вклад оказывается различным для разных частиц типа ρ– и ƒ⁰-мезонов. Во-вторых, в настоящее время выполнены вычисления более чем 50 адронных масс и параметров. Достигнутое согласие с экспериментом кажется впечатляющим, если вспомнить, что для этого требуется весьма ограниченное число параметров – массы кварков (u, d, s, c и b), параметр Λ и значения вакуумных средних ⟨α_sG²⟩ и ⟨qq⟩. При этом последние три параметра могут быть взяты из других источников.

В заключение этого параграфа приведем пример конкретного вычисления непертурбативного вклада, а именно вклада в поляризационный оператор Π^μν_φ(q), обусловленного кварковым конденсатом ⟨ss⟩. Из формулы (36.1) имеем

_μν

^φ

(q)=iC

₂

^φ

∫

𝑑

⁴

^iq⋅x

⟨T

(x)γ

^μ

s(x)

(0)γ

^ν

s(0)⟩

_vac

(36.5)

Таким образом,

_μν

^φ

(q)=-iC

₂

^φ

∫

𝑑

k̂

Trγ

^μ

(k)γ

^ν

(k+q).

(36.6)

Рассмотрев только пертурбативную часть кваркового пропагатора S_s=S_P, мы получили бы часть поляризационного оператора

_μν

(q)

₂

^φ

⋅

16π²

(-g

^μν

^μ

^ν

)

_ε

–log q

+ конечные члены + O(m

₂

)).

(36.7)

Непертурбативную часть поляризационного оператора мы получим, использовав в формуле (36.6) полное выражение для кваркового пропагатора S_s=S_P+S_NP . Ведущим является смешанный член

_μν

^NP

-iC

₂

^φ

∫

𝑑

k̂

Tr{γ

^μ

_NP

(k)γ

^ν

(k+q)

^μ

(k)γ

^ν

_NP

(k+q)},

(36.8)

где S_NP описывается (в ведущем порядке) выражением (35.3), a S_P(k)=i(k-m_s). Выполняя необходимые вычисления, получаем

_μν

^NP

-2C

₂

^φ

⟨

s⟩

_vac

(-g

^μν

^μ

^ν

как уже было показано в формуле (36.4).

§ 37. Проблема U(1); глюонная аномалия

В § 33 в связи с распадом π⁰→γγ мы рассмотрели треугольную аномалию. Там отмечалось, что эта аномалия не ограничивается фотонами. В частности, имеется глюонная аномалия. Определив ток формулой

_μ

⁰

∑

^ƒ=1

_ƒ

^μ

₅

_ƒ

(37.1)

получим, что он также обладает аномалией

∂

_μ

⁰

∑

^ƒ=1

_ƒ

₅

_ƒ

ng²

16π²

^̃

(37.2)

где дуальный тензор G^̃ удовлетворяет соотношениям

^̃

_μν

≡

½ε

^μναβ

_aαβ

^̃

≡

∑

^̃

_μν

_aμν

Ток (37.1) представляет собой так называемый U(1)-ток, необычный во многих отношениях (являющийся чистым синглетом по группе аромата). В частности, с ним связана так называемая проблема U(1), к обсуждению которой мы переходим.

Предположим, что имеется n легких кварков; рассмотрим только их, а возможным существованием тяжелых кварков (не относящихся к изучаемой проблеме) пренебрежем. Можно взять два легких кварка n=2(u,d) и обсуждать "проблему SU(2)U(1)" или три легких кварка n=3(u,d,s) и говорить о "проблеме SU(3)U(1)". Возьмем n²-1 матриц, действующих в пространстве ароматов λ₁,…,λ_n²-1 . Для группы SU(3) они совпадают с матрицами Гелл-Манна, а для группы SU(2) – с матрицами Паули. Любую эрмитову матрицу размерности n×n можно выразить в виде комбинации n² матриц λ₁,…,λ_n²-1, λ₀≡1. Удобно принять, что индексы a, b, c пробегают ряд значений от 1 до n-1 а индексы α, β, δ принимают значения 0,1,…,n²-1. Благодаря только что сформулированному свойству полноты матриц λ_i достаточно рассмотреть токи

_μ

^α

∑

_ƒ

^μ

₅

_α

^ƒƒ'

_ƒ'

;

из них, конечно, только ток A₀ обладает аномалией. Пусть N₁(x),…,N_k(x) – локальные операторы (простые или составные). Рассмотрим теперь величину

⟨vac|TA

_μ

^α

(x)

∏

)|vac⟩

(37.3)

В случае α≠0 из теоремы Голдстоуна следует, что в киральном пределе массы псевдоскалярных частиц P_a , имеющих квантовые числа токов A_a , равны нулю. Вводя общий для всех кварковых масс параметр ε и полагая m_ƒ=εr_ƒ где коэффициент r_ƒ(ƒ=1,…,n) в киральном пределе остается постоянным, получаем

₂

≡

₂

^P_a

≈ε.

(37.4)

Это было показано в § 31 (уравнения (31.4) и (31.5)). Следовательно, в этом пределе выражение (37.3) при α=a имеет полюс в точке q²=0. Точнее говоря, это означает, что в киральном пределе, т.е. при нулевых значениях масс кварков, справедливо равенство

lim

q→0

∫

𝑑

⁴

^iq⋅x

∂

_μ

⟨vac|TA

_μ

^α

(x)

∏

(x)

|vac⟩

≈(constant)q

_μ

q²

(37.5)

Если пренебречь аномалиями, то вывод формулы (37.4) можно повторить и для случая α=0, откуда мы получили бы, что частица U(1) также в киральном пределе имеет нулевую массу [145]. В действительности это утверждение более точно сформулировано в работе [259], где получено неравенство m₀≤√n. Это неравенство свидетельствует о неправильности всех наших построений, так как для группы SU(2) выполняется соотношение m_η≫√2m_π . Для группы SU(2) масса m_η' также нарушает это ограничение. В дополнение к этому было доказано [50], что при таких условиях распад η→3π и запрещен, что также противоречит эксперименту. Следовательно, нужно предположить, что выражение (37.3) для случая α=0 в пределе ε→0 остается регулярным. Если бы мы могли доказать это, мы бы решили проблему U(1). Этот вопрос подробнее обсуждается несколько ниже; здесь же мы просто предположим, что U(1)-бозонов не существует, не задаваясь вопросом, можно ли доказать это в рамках КХД. Совершенно очевидно, что, если бы не было аномалии, это предположение было бы противоречивым. Поэтому, возможно, полезно проследить, к каким результатам приводит одновременное отсутствие голдстоуновских бозонов P₀ и наличие аномалии в токе A₀. В решении этого вопроса мы следуем прекрасному обзору [82].

Определенный формулой (37.1) ток A₀ инвариантен по отношению к калибровочным преобразованиям, но в киральном пределе не инвариантен по отношению к преобразованиям группы U(1) вследствие аномалии, содержащейся в выражении (37.2). Как было показано для абелевых групп в работе [7], а для общего случая в работе [25], можно построить другой, инвариантный относительно преобразований группы U(1) ток:

_μ

⁰

_μ

⁰

–2nK

^μ

(37.6)

где введен чисто глюонный ток

^μ

2g²

32π²

^μνρσ

∑

_aν

⎧

⎨

⎩

∂

_ρ

_aσ

_abc

_bρ

_cσ

⎫

⎬

⎭

(37.7)

В правильности этого выражения легко убедиться, заметив, что

∂

_μ

^μ

g²

32π²

^̃

(37.8)

так что из формулы (37.2) в киральном пределе получаем

∂

_μ

⁰

=0.

(37.9)

Следует отметить, что ток K, удовлетворяющий уравнению (37.8), определен неоднозначно, так как он зависит от используемой калибровки. В принципе выражение (37.6) записано для «голых» величин, но всегда можно провести перенормировку таким образом, что оно останется справедливым и для «одетых» величин. Конечно, причина состоит в том, что аномалия не перенормируется.

Генератором преобразований U(1) должен быть сохраняющийся ток, а именно ток Â₀ . Следовательно, можно определить киралъностъ χ соотношением

δ(x

⁰

–y

⁰

)

⎡

⎣

₀

⁰

(x),N

(y)

⎤

⎦

–χ

δ(x-y)N

(y),

(37.10а)

или в интегральном виде

⎡

⎣

^̂

₀

=-χ

⎤

⎦

(37.10б)

где U(1)-киральный заряд имеет вид

^̂

₀

∫

𝑑x

^⃗

₀

⁰

(x).

(37.11)

Так как ток Â удовлетворяет уравнению (37.9), киральный заряд Q^̂₀ не зависит от времени, и, следовательно, можно ожидать, что не только соотношение (37.10) имеет смысл, но и числа χ_j не изменяются в процессе перенормировки. Чтобы доказать это более формально, рассмотрим вакуумное среднее

⟨vac|TÂ

_μ

⁰

(x)

∏

)|vac⟩,

и применим к нему оператор дифференцирования ∂_μ . Мы получим тождество Уорда

∂

_μ

⟨vac|TÂ

_μ

⁰

(x)

∏

)|vac⟩,

⎧

⎨

⎩

∑

δ(x-x

)

⎫

⎬

⎭

⟨vac|T

∏

)|vac⟩;

(37.12)

при выводе мы использовали соотношения (37.9) и (37.10а). Так как ток Â (частично) сохраняется, то, как мы уже знаем, он не изменяется в процессе перенормировок, и величина χ также должна обладать этими свойствами. В § 38 будет показано, что соотношение (37.12) и отсутствие U(1)-бозонов приводят к довольно специфическим свойствам вакуума квантовой хромодинамики.

§ 38. Параметр θ, вакуум КХД, эффект безмассовых кварков и решение проблемы U(1)

До сих пор мы пользовались лагранжианом КХД (опуская члены, фиксирующие калибровку и описывающие вклад ду́хов)

ℒ=

∑

–m)q-

GG.

(38.1)

Зададимся теперь вопросом: какие изменения возникнут при добавлении к лагранжиану (38.1) дополнительного члена

ℒ

_1θ

θg²

32π²

^̃

(38.2а)

так что полный лагранжиан имеет вид

ℒ

_θ

=ℒ+ℒ

_1θ

(38.2б)

В действительности последний член является единственным членом, совместимым с требованиями калибровочной инвариантности и перенормируемости, который может быть добавлен к лагранжиану (38.1). Кроме того, как было показано в § 37, он представляет собой 4-дивергенцию и, следовательно, не приводит к изменению уравнений движения. Конечно, от этого члена можно избавиться, положив параметр θ равным нулю, однако, хотя и есть указания на то, что значение параметра θ очень мало, существуют также причины, по которым оно может быть не равным нулю. Во всяком случае интересно выяснить следствия выбора более общего выражения (38.2) для лагранжиана КХД.

Так как мы добавили новое взаимодействие, следует ожидать, что теперь физический вакуум будет зависеть от значения параметра θ; поэтому мы будем использовать для него обозначение |θ⟩. Следующая наша задача состоит в исследовании зависимости функций Грина от параметра θ.

Для этого рассмотрим оператор топологического заряда^50б)

^50б)Бопее подробно о θ-вакууме и вопросах, обсуждаемых в этом параграфе, можно прочитать в § 43 – 45, где становятся ясными причины возникновения некоторых довольно специфических терминов.

g²

32π²

∫

𝑑

⁴

x G

^̃

(38.3)

Используя формулу (37,8) и теорему Гаусса, запишем его в виде интеграла по поверхности

∫

𝑑σ

_μ

^μ

Рис. 29. Область интегрирования при вычислении оператора топологического заряда.

В качестве поверхности интегрирования выберем цилиндр с осью, расположенной вдоль оси времени, и основаниями, лежащими при t₊→+∞ и t_-→-∞ (рис. 29). Устремив размеры цилиндра к бесконечности, получим

∫

𝑑

^⃗

⁰

₊

→+∞,

^⃗

–

∫

𝑑

^⃗

⁰

→-∞,

^⃗

≡

₊

–K

(38.4)

Операторы K_± являются самосопряженными, переходящими друг в друга при обращении времени; поэтому их спектры совпадают. Обозначим их собственные векторы через |n_±⟩≡|n, t_±→±∞; они удовлетворяют уравнению

_±

=n|n

_±

⟩.

(38.5)

В силу эрмитовости операторов K_± физический вакуум можно разложить по собственным векторам этих операторов. Такое разложение имеет вид

|θ⟩=

∑

(θ)|n

₊

⟩=

∑

(θ)|n

⟩;

(38.6)

коэффициенты c_n в первом и во втором равенстве одни и те же. Действительно, вакуум инвариантен по отношению к временны́м трансляциям; поэтому его можно рассматривать при t=0. Тогда, применяя оператор обращения времени U(T), мы получаем, что коэффициенты c_n в (38.6) одинаковы в обеих суммах. Теперь необходимо определить значения этих коэффициентов. Для этого применим оператор i∂/∂θ к функции Грина (вспомним формализм, развитый в § 2) и получим

∂

∂θ

⟨θ|T

∏

)|θ⟩

∂

∂θ

⟨0|

∏

₀

)ε

∫

𝑑

⁴

x{ℒ

₀

^int

(x)+ℒ

₀

^1θ

(x)}

|0⟩

g²

32π²

∫

𝑑

⁴

⟨0|TG

^̃

⁰

(x)G

⁰

(x)

∏

₀

)ε

i∫

𝑑

⁴

{ℒ

₀

^int

(x)+ℒ

₀

^1θ

(x)}

|0⟩

g²

32π²

∫

𝑑

⁴

⟨θ|TG

^̃

(x)G(x)

∏

)

|θ⟩.

(38.7)

Другими словами, оператор i∂/∂θ эквивалентен введению в формулу оператора топологического заряда Q_K. С учетом хронологического порядка операторов и формул (38.3) и (38.4) выражение (38.7) принимает вид

∂

∂θ

⟨θ|T∏N

)|θ⟩

⟨θ|K

₊

T∏N

)|θ⟩

–

⟨θ|T∏N

|θ⟩.

Разлагая его в ряд по собственйым векторам операторов K_± получаем уравнение^50в)

^50в) Более строгий вывод можно найти в работе [81]; в § 45 приведено альтернативное рассмотрение.

∂

∂θ

∑

^n,m

ⁿ

(θ)c

(θ)=

∑

^n,m

(n-m)c

ⁿ

(θ)c

(θ),

решения которого имеют вид

(θ)=Ce

^inθ

(38.8)

Произвольная константа C может быть выбрана равной единице.

Следствием формулы (38.8) является ортогональность вакуумов, соответствующих разным значениям параметра θ:

⟨θ|θ'⟩=δ(θ-θ'),

(38.9)

так что с точностью до периода каждому значению θ отвечает свой, отличный от других физический мир.

До сих пор мы не учитывали существования фермионов. Теперь мы покажем, как изменяется проведенный выше анализ при введении в рассмотрение n фермионов с исчезающе малой массой. Начнем с того, что напишем снова знакомое нам тождество Уорда (37.12):

∂

_μ

⟨θ|TÂ

_μ

⁰

(x)

∏

)|θ⟩

⎧

⎨

⎩

∑

δ(x-x

)

⎫

⎬

⎭

⟨θ|T

∏

)|θ⟩,

которое мы проинтегрируем по 𝑑⁴x:

∫

𝑑

⁴

∂

_μ

⟨θ|TÂ

_μ

⁰

(x)

∏

)|θ⟩

–

⎧

⎩

∑

⎫

⎭

⟨θ|T

∏

)|θ⟩.

Используя формулы (37.6) и (37.8), получим выражение

∫

𝑑

⁴

∂

_μ

⟨θ|T

∑

^ƒ

_ƒ

(x)γ

^μ

₅

_ƒ

(x)

∏

)|θ⟩

∫

𝑑

⁴

⟨θ|TG

^̃

(x)G(x)

∏

)|θ⟩

–

⎧

⎩

∑

⎫

⎭

⟨θ|T

∏

)|θ⟩.

(38.10)

Здесь следует сделать два замечания. Очевидно, что справедливо равенство

∫

𝑑

⁴

∂

_μ

⟨θ|T

∑

^ƒ

_ƒ

(x)γ

^μ

₅

_ƒ

(x)

∏

)|θ⟩

lim

^q→0

_μ

∫

𝑑

⁴

^iq⋅x

⟨θ|T

∑

^ƒ

_ƒ

(x)γ

^μ

⁵

_ƒ

(x)

∏

)|θ⟩.

Но если не существует U(1)-бозонов, то это вакуумное среднее не имеет полюса в точке q² = 0, поэтому результат обращается в нуль. Далее, как было показано выше, введение в формулу оператора топологического заряда Q_K эквивалентно применению оператора дифференцирования i∂/∂θ. Таким образом, выражение (38.10) принимает вид

2ni

∂θ

⟨θ|T

∏

)|θ⟩

⎧

⎩

⎫

⎭

⟨θ|T

∏

)|θ⟩.

(38.11)

Для случая безмассовых кварков вакуум инвариантен относительно киральных вращений:

|θ⟩=U

_φ

|θ⟩, U

_φ

^-iφQ̂₀

;

(38.12)

с другой стороны, используя формулу (37.106), получаем

∂φ

_-1

^φ

∏

_φ

⎧

⎩

⎫

⎭

_-1

^φ

∏

_φ

;

(38.13)

поэтому правую часть уравнения (38.11) можно переписать в виде

∂φ

⟨θ|T

∏

)|θ⟩.

Таким образом, видно, что под действием оператора

2ni

∂

∂θ

–i

∂

∂θ

все функции Грина обращаются в нуль. Это означает, что изменение значения параметра θ может быть скомпенсировано изменением фазы φ. Следовательно, теория θ-вакуума эквивалентна теории с θ=0, а последняя, очевидно, обладает инвариантностью относительно киральных преобразований. Таким образом, в частном случае безмассовых кварков⁵¹⁾ параметр θ можно выбрать равным нулю; тогда используемое нами выражение (38.1) для лагранжиана квантовой хромодинамики представляет собой в действительности выражение наиболее общего вида.

⁵¹⁾ Бопее детальный анализ показывает, что достаточно, чтобы безмассовым был хотя бы один кварк. Этот результат впервые получен в работе [217].

Можно предположить, что кварки приобретают массу в результате слабых взаимодействий посредством механизма Хиггса, и следует допустить, что в "чистой" квантовой хромодинамике кварки безмассовы. Но нас интересует реальный физический мир, и, таким образом, нельзя избежать (по крайней мере в первом порядке теории возмущений) эффектов, обусловленных слабыми взаимодействиями и нарушающих исходные чисто квантовохромодинамические уравнения^51а).

^51а) Другая возможность состоит в использовании подходящих хиггсовских систем, обеспечивающих нулевое значение θ [217]. Можно показать, что это приводит к существованию новых псевдоскалярных бозонов («аксионов», см. [261, 267]). Но нет достаточных данных, чтобы решить, существуют ли они в природе.

Другое возможное предположение связано с тем, что член ℒ_1θ нарушает инвариантность по отношению к обращению времени и P-инвариантность. Таким образом, потребовав сохранения P– и T– инвариантности, мы можем положите значение параметра θ равным нулю. Но принять такую точку зрения также невозможно, потому что слабые взаимодействия нарушают T– и P– инвариантность и связанные с этим эффекты могут проявиться в процессах сильного взаимодействия. Если в этом состоит причина возникновения ненулевого значения параметра θ, то имеются довольно веские аргументы [108] в пользу того, что этот эффект мал при условии, что исходное значение параметра θ_QCD равно нулю.

Возможно, полезнее обсудить экспериментальные ограничения на значения параметра θ. Как показано в § 45, эффекты, связанные с лагранжианом ℒ_1θ , в процессах типа глубоконеупругого рассеяния оказываются пренебрежимо малыми. Единственным источником, из которого можно получить информацию о значении параметра θ, являются процессы, нарушающие P– и T– инвариантность. При этом наиболее информативной величиной является дипольный момент нейтрона d_n . Вычисления были выполнены d_n в работе [33] в которой были уточнены оценки, данные ранее в статье [21]. Получено значение

≈4×10

^-16

|θ| (in e – cm).

(в единицах e-см), в то время как экспериментальное ограничение на дипольный момент нейтрона составляет

_exp

ⁿ

≤1.6×10

^-24

откуда получаем |θ|≤10^-8, т.е. очень малое значение.

Вернемся к рассмотрению проблемы вакуума. Эффекты, обусловленные наличием безмассовых кварков, мы уже обсудили. Теперь необходимо изучить следствия, к которым приводят нарушающие киральную инвариантность "малые" массовые члены. Например, что произойдет, по крайней мере в первом порядке теории возмущений по параметру ε (напомним, что массы кварков выражаются в виде m_ƒ=εr_ƒ, где коэффициент r_ƒ постоянен), при введении в лагранжиан возмущающего члена

∑

_ƒ

Мы здесь не будем вдаваться в детальный анализ (заинтересованному читателю рекомендуется обратиться к лекциям [82]), а просто приведем основные результаты. Рассмотрим неравенство

_-1

∑

^ƒ=2

_-1

^ƒ

;

(38.14)

отметим, что из результатов, полученных в § 31, следует, что оно, вероятно, выполняется в реальном мире. Тогда: 1) если неравенство (38.14) справедливо, то топологический заряд квантуется и приобретает только целочисленные значения (например, разность v между двумя собственными значениями операторов K₊ и K_- представляет собой целое число); 2) если неравенство (38.14) несправедливо, то по меньшей мере существуют дробные значения величины ν. На самом деле для некоторых частных значений масс параметр ν должен принимать иррациональные значения.

Завершим этот параграф двумя замечаниями. Во-первых, мы получили ограничения на спектр операторов K_± и выражение для вакуума в терминах собственных векторов этих операторов |n_± , но мы не доказали, что спектр этих операторов нетривиален. Действительно, можно представить себе, что все собственные значения n совпадают между собой; тогда о содержании этого параграфа можно сказать: «много шума из ничего». К счастью (или к сожалению , в зависимости от точки зрения), наличие инстантонов свидетельствует о существовании по крайней мере бесконечного счетного множества …, —1, 0, 1, 2, … различных значений параметра n. Это будет показано в §45.

Во-вторых, мы предположили, что безмассовые U(1)-бозоны не существуют. Массы псевдоскалярных мезонов можно оценить так же, как это сделано в § 31. Если повторить вычисления для синглетного тока A^μ₀, то получим, что вследствие аномалии уравнение (31.5) приобретет дополнительный член

₂

^ƒ

⎧

⎩

g²

32π²

⎫²

⎭

∫

𝑑

⁴

⟨TG(x)G

^̃

(x)G(0)G

^̃

(0)⟩

_vac

(38.15)

Если рассматривать вакуум теории возмущений, то этот член обращается в нуль, однако, как будет показано в § 43 – 45, наличие инстантонных решений, по крайней мере в квазиклассическом приближении, приводит в киральном пределе к ненулевому значению выражения (38.15) [252]. Можно поставить вопрос о справедливости такого приближения. С другой стороны, тот же результат получается в пределе больших чисел цветов [273]. Таким образом, хотя абсолютно строгого доказательства нет, но кажется чрезвычайно вероятным, что квантовая хромодинамика решает проблему U(1).

Назад к карточке книги "Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов"