Текст книги "Теория струн и скрытые измерения вселенной"

Автор книги: Стив Надис

Соавторы: Яу Шинтан
сообщить о нарушении

Текущая страница: 28 (всего у книги 29 страниц)

Масштабная инвариантность– свойство, сохраняющееся независимо от физического масштаба. В масштабно‑инвариантной системе физика остается неизменной, если размер системы однородно и изотропно увеличить или уменьшить.

Математический анализ– набор инструментов, включая производные, интегралы, пределы и бесконечные ряды, которые ввели в современную математику Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц. В англоязычной литературе используется термин calculus(исчисление).

Матрица– двухмерный (прямоугольный или квадратный) массив чисел или более сложных алгебраических выражений. Матрицы можно складывать, вычитать, перемножать и делить, используя относительно простой набор правил. Матрицу можно записать в сокращенном виде как набор элементов вида a _ij где i– номер строки, а j– номер столбца.

Метрика– математический объект, в общем виде представляемый тензором, используемый для измерения расстояний в пространстве или многообразии. В искривленном пространстве метрика показывает, в какой мере фактическое расстояние отличается от числа, полученного по теореме Пифагора. Знание метрики пространства эквивалентно пониманию геометрии этого пространства.

Минимальная поверхность– поверхность, площадь которой локально минимизирована, что означает, что ее площадь нельзя уменьшить путем замены небольших участков поверхностей участками поверхности другой формы.

Мировой лист– поверхность, вычерчиваемая струной, движущейся в пространстве‑времени.

Многогранник (полиэдр)– геометрический объект, состоящий из плоских граней, соприкасающихся прямыми краями. Трехмерные многогранники состоят из многоугольных граней, которые соприкасаются краями, образуя ребра, а ребра, в свою очередь, сходятся в вершинах. В качестве примера многогранников можно привести тетраэдр и куб.

Многообразие Калаби‑Яу– широкий класс геометрических пространств с нулевой кривизной Риччи, возможность которых была показана при доказательстве гипотезы Калаби. Эти пространства, или формы, являются комплексными, что означает, что они должны быть четной размерности. Случай шестимерного пространства представляет особый интерес для теории струн, где многообразие служит в качестве носителя шести скрытых, или дополнительных, измерений.

Многообразие– топологическое пространство, которое локально является евклидовым, что означает, что каждая точка лежит в месте, напоминающем плоское пространство.

Многоугольник (полигон)– плоская замкнутая ломаная, построенная из отрезков прямых. Например, треугольник, квадрат или пятиугольник.

М‑теория– теория, которая объединяет пять отдельных теорий струн в одну всеобъемлющую теорию с одиннадцатью пространственно‑временными измерениями. Основные составляющие М‑теории: браны, в частности двухмерные (М2) и пятимерные (M5). В М‑теории струны суть одномерные браны. Термин М‑теория был введен Эдвардом Виттеном, который, главным образом, заложил ее основы во время «второй струнной революции» в 1995 году.

Наклон– термин, обозначающий крутизну или градиент кривой, – мера изменения крутизны по вертикали по сравнению с ее изменениями в горизонтальном направлении.

Нарушение симметрии– процесс, который понижает количество наблюдаемых симметрий в системе. Имейте в виду, что после нарушения симметрии она все еще может существовать, хотя является скорее скрытой, чем видимой.

Натяжение– величина, отражающая способность сопротивления струны к растяжению или изгибу. Натяжение струны соответствует линейной плотности энергии.

Неевклидова геометрия– геометрия, которую применяют к неплоским пространствам, таким как сфера, где параллельные прямые, вопреки пятому постулату Евклида, могут пересекаться. В неевклидовом пространстве сумма углов треугольника может быть меньше или больше 180 градусов.

Нейтронная звезда– звезда большой плотности, почти полностью состоящая из нейтронов, которая формируется в процессе гравитационного коллапса массивной звезды, исчерпавшей свое ядерное топливо.

Не‑кэлерово многообразие– класс комплексных многообразий, который включает кэлеровы многообразия, но также включает многообразия, которые не могут поддерживать кэлерову метрику.

Нелинейное уравнение– уравнение, которое не является линейным, то есть изменение одной переменной может привести к непропорциональному изменению другой переменной.

Ньютоновская постоянная– коэффициент пропорциональности G, который связывает силу гравитации теории Ньютона с массами тяготеющих тел и расстоянием между ними. Хотя закон всемирного тяготения Ньютона вытеснен общей теорией относительности Эйнштейна, он все же остается хорошим приближением во многих случаях.

Общая теория относительности– теория Альберта Эйнштейна, описывающая всемирное тяготение как геометрию пространства‑времени.

Ортогональный– перпендикулярный.

Параллельный перенос– способ перемещения векторов вдоль траектории на поверхности или многообразии, при котором сохраняются длины этих векторов, а также углы между любыми двумя векторами. Параллельный перенос легко наблюдать на плоской двухмерной плоскости, но в более сложных, искривленных пространствах, возможно, придется решать дифференциальные уравнения, чтобы определить точный способ перемещения векторов.

Планковская шкала– масштаб длины (около 10‑ ³³сантиметра), времени (около 10‑ ⁴³секунды), энергии (около 10 ²⁸электрон‑вольт) и массы (около 10‑ ⁵грамм), на котором необходимо учитывать влияние квантовых эффектов на гравитацию.

Платоновы тела– пять правильных выпуклых многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, которые удовлетворяют следующим свойствам: грани многогранников состоят из конгруэнтных правильных многоугольников, ребра имеют одинаковую длину, а в каждой вершине сходится одно и то же количество граней. Греческий философ Платон предположил, что элементы Вселенной состоят из этих твердых тел, которые впоследствии были названы в его честь.

Поверхность K3– многообразие Калаби‑Яу в четырех вещественных измерениях или, аналогично, – в двух комплексных измерениях, названное в честь геометров Эрнста Куммера, Эриха Кэлера и Кунихико Кодайра – 3K. Название этих поверхностей, или многообразий, также связано с названием знаменитой горы в Гималаях – К2.

Поколение– элемент классификации фундаментальных элементарных частиц – лептонов и кварков – в три группы, каждая из которых состоит из двух кварков и двух лептонов. Частицы из разных поколений идентичны во всем, за исключением массы, которая увеличивается от поколения к поколению.

Поле– физическое понятие, введенное в XIX веке физиком Майклом Фарадеем, которое предполагает задание конкретной величины, например числа или вектора, в каждой точке пространства‑времени. Хотя поле может описывать силу, действующую на частицу в данной точке пространства, оно также может описывать и саму частицу.

Полином (многочлен)– выражение с одной или несколькими переменными, содержащее операции сложения, вычитания, умножения и возведения в степень, где показатель степени является целым неотрицательным числом. Хотя полиномиальные уравнения на первый взгляд могут показаться простыми, их часто очень трудно (а иногда и невозможно) решить.

Поток– силовые линии, похожие на известные электрические и магнитные поля, которые соответствуют особым полям в теории струн.

Принцип неопределенности– также известен как принцип неопределенности Гейзенберга. Постулат квантовой механики, который утверждает, что нельзя с абсолютной точностью определить одновременно положение объекта и его импульс или одновременно определить энергию состояния и время нахождения системы в этом состоянии. Чем точнее определена одна из этих переменных, тем выше неопределенность другой переменной.

Произведение– результат умножения двух или более чисел или других величин.

Производная– мера изменения функции или величины по отношению к конкретной переменной или переменным. Для каждого значения аргумента (или аргументов) функция дает конкретный результат (число). Производная характеризует, насколько сильно изменяется результат при небольшом изменении аргумента. Если у нас есть график функции, скажем, на плоскости x‑y, то производная функции в данной точке равна тангенсу утла наклона касательной к графику в этой точке.

Пространство модулей– для данного топологического объекта, например для многообразия Калаби‑Яу, пространство модулей состоит из множества всех возможных геометрических структур – непрерывного набора многообразий, охватывающего все возможные формы и размеры.

Пространство‑время– в четырехмерном варианте пространство‑время представляет собой объединение трех пространственных и одного временного измерения. Это понятие было введено в начале XX столетия Альбертом Эйнштейном и Германом Минковским. Однако понятие пространства‑времени не ограничивается четырьмя измерениями. Теория струн базируется на десятимерном пространстве‑времени, а М‑теория, с которой она связана, основана на 11‑мерном пространстве‑времени.

Расслоение– топологическое пространство, которое образовано из многообразия или прикреплено к нему. Чтобы представить его, предположим, что многообразие чем‑то похоже на сферу. Далее предположим, что к каждой точке на поверхности сферы присоединен массив векторов (или векторное пространство). Расслоение состоит из самого многообразия (в данном случае – сферы) и массива векторов, присоединенных к каждой точке (см. Касательное расслоение).

Релятивистский– термин, применяемый к частицам или другим объектам, движущимся со скоростями, приближающимися к скорости света.

Риманова геометрия– математическая модель для изучения кривизны пространства произвольной размерности. Эта геометрия, предложенная Георгом Бернхардом Риманом, лежит в основе теории относительности.

Риманова поверхность– одномерное комплексное многообразие или, что эквивалентно, двухмерная действительная поверхность. В теории струн поверхность, которую заметает струна при своем движении через пространство‑время, считается римановой поверхностью.

Род– грубо говоря, количество дырок в поверхности или пространстве. Например, обычный бублик – это поверхность 1‑го рода, в то время как сфера, в которой отсутствуют дырки, относится к поверхности 0‑го рода.

Сильное взаимодействие– взаимодействие, ответственное за связывание кварков внутри протонов и нейтронов и за удержание протонов и нейтронов вместе с образованием атомного ядра.

Симметрия– операция с объектом, физической системой или уравнением, оставляющее их неизменными. Например, круг остается неизменным при повороте вокруг своего центра. Квадрат или равносторонний треугольник остаются неизменными при повороте вокруг центра на 90 и 120 градусов соответственно. Однако квадрат не обладает симметрией относительно поворота на 45 градусов, так как при этом его внешний вид изменился бы на правильный ромб, поставленный на угол.

Сингулярность– точка в пространстве‑времени, где кривизна и другие физические характеристики, такие как плотность, становятся бесконечными и обычные законы физики нарушаются. Центр черной дыры и момент Большого взрыва считаются сингулярностями.

Скалярное поле– поле, которое полностью может быть описано единственным числом в каждой точке пространства. Число, соответствующее температуре в каждой точке пространства, представляет собой один из примеров скалярного поля.

Слабое взаимодействие– одна из четырех известных фундаментальных сил природы, которая отвечает за радиоактивный распад и за ряд других процессов.

Специальная теория относительности– разработанная Эйнштейном теория, объединяющая пространство и время и утверждающая, что законы физики должны быть одинаковыми для всех наблюдателей, движущихся с постоянной скоростью, независимо от их скорости. Согласно специальной теории относительности, скорость света является одинаковой для всех наблюдателей. Эйнштейн показал, что для покоящейся частицы ее энергия и масса связаны формулой E=mc ² .

Стандартная модель– теория в физике элементарных частиц, которая описывает известные элементарные частицы и взаимодействия (сильные, слабые и электромагнитные) между ними. Гравитация не входит в Стандартную модель.

Субмногообразие– пространство более низкой размерности, расположенное внутри пространства более высокой размерности. Например, можно представить, что тор – это замкнутая трубка, построенная из окружностей, каждая из которых является субмногообразием в более крупной структуре или многообразии, которым является сам тор.

Суперсимметрия– математическая симметрия, которая связывает фермионы с бозонами. Важно отметить, что подразумеваемые суперсимметрией бозоны, которые были бы «суперпартнерами» для известных кварков и лептонов, до сих пор не наблюдались. Хотя суперсимметрия является важным элементом большинства теорий струн, обнаружение четкого доказательства ее наличия не обязательно докажет, что верна сама теория струн.

Сфера– используемый в геометрии термин обычно относится к двухмерной поверхности шара, а не к трехмерному объекту. Однако понятие сферы не ограничивается двумя измерениями и может применяться к объектам любой размерности от нуля и выше.

Темная энергия– таинственная форма энергии, составляющая, согласно последним наблюдениям, более 70 процентов всей энергии Вселенной. Темную энергию можно характеризовать величиной энергии вакуума. Космологи верят, что она является причиной ускоренного расширения Вселенной.

Темное вещество– гипотетическое несветящееся вещество неизвестной природы, пока что непосредственно не обнаруженное. Темная материя, как полагают, составляет большую часть вещества Вселенной и на нее приходится примерно 25 процентов полной энергии Вселенной.

Теорема о положительности массы– также называется теоремой о положительности энергии. Утверждение о том, что в любой изолированной физической системе совокупная масса или энергия должна быть положительной.

Теорема Пифагора– утверждение, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы a ² +b ² =c ² .

Теорема– утверждение или предположение, доказываемое путем формальных математических рассуждений.

Теория Калуцы‑Клейна– ранняя попытка объединить общую теорию относительности и электромагнетизм за счет введения дополнительного (пятого) измерения. Термин «Калуца‑Клейн» иногда используют как сокращенное название общего метода объединения сил природы путем постулирования существования дополнительных невидимых измерений.

Теория поля– теория, в которой как частицы, так и силы описываются полями.

Теория струн– физическая теория, объединяющая квантовую механику и общую теорию относительности, и считающаяся главным кандидатом на роль теории квантовой гравитации. Теория струн предполагает, что фундаментальные строительные блоки природы являются не точечными частицами, а крошечными, одномерными нитями, называемыми струнами, которые встречаются как в открытой, так и в закрытой (петли) форме. Существует шесть типов струнных теорий: бозонная, типа I, типа IIA, типа IIB, гетеротическая теория Е8ЧЕ8 и гетеротическая теория SO(32), и все они связаны между собой. Термин теория суперструн иногда используют вместо термина теория струн, чтобы явно показать, что теория включает суперсимметрию.

Топология– общая характеристика геометрического пространства. Топология имеет дело только с глобальными свойствами пространства, а не с его точным размером или формой. В топологии формы подразделяются на группы, которые могут быть преобразованы друг в друга путем растяжения или сжатия без разрыва или изменения числа дырок.

Тор– класс топологических форм, который включает двухмерную поверхность типа бублика, а также ее многомерные обобщения.

Туннелирование– явление, когда частица проходит через потенциальный барьер в другую область пространства, что запрещено в классической физике, но разрешено (или имеется ненулевая вероятность) в квантовой механике.

Уравнение Дирака– система из четырех уравнений, предложенная британским физиком Полем Дираком для описания поведения свободных частиц, обладающих спином, таких как, например, электроны.

Уравнения Эйнштейна– уравнения, описывающие гравитацию в общей теории относительности. Уравнения Эйнштейна связывают кривизну пространства‑времени с массой и энергией, содержащимися в этом пространстве.

Уравнения Янга‑Миллса– обобщение уравнений Максвелла, описывающих электромагнетизм. Сейчас физики используют уравнения Янга‑Миллса для описания сильных и слабых взаимодействий, а также электрослабого взаимодействия, которое объединяет электромагнитные и слабые взаимодействия. Уравнения являются частью теории Янга‑Миллса или калибровочной теории, которая была разработана в 1950‑е годы физиками Чженьнин Янгом и Робертом Миллсом.

Фазовый переход– внезапное изменение свойств вещества или системы, то есть их переход из одного состояния в другое. Кипение, замерзание и плавление – известные вам примеры фазовых переходов воды.

Фермион– частица с полуцелым значением спина. Этот класс частиц включает лептоны и кварки, так называемые материальные частицы Стандартной модели.

Фундаментальная группа– способ классификации пространств в топологии. В случае пространств с тривиальнойфундаментальной группой каждую петлю, которую можно создать в этом пространстве, можно стянуть в точку, не разрезая пространство и не проделывая в нем дыр. Пространства с нетривиальнойфундаментальной группой содержат нестягиваемые петли, то есть петли, которые нельзя стянуть в точку из‑за наличия некоторого препятствия, например дыры.

Функция– математическое выражение, например, вида f(x)=3x ² , где каждому значению аргумента xсоответствует одно значение функции f(x).

Хиггса поле– гипотетическое поле, переносчиком которого является бозон Хиггса, ответственный за наличие масс у частиц в Стандартной модели. Есть надежда, что поле Хиггса можно будет обнаружить на Большом адронном коллайдере.

Ходжа ромб– матрица или массив чисел Ходжа, который содержит подробную топологическую информацию о кэлеровом многообразии, из которого можно определить эйлерову характеристику и другие топологические свойства. Ромб Ходжа для шестимерного многообразия Калаби‑Яу состоит из массива четыре на четыре. Массивы различных размеров соответствуют пространствам разных четных размерностей. Числа Ходжа, названные в честь шотландского геометра Уильяма Ходжа, помогают разобраться с внутренней структурой пространства.

Черная дыра– область в пространстве‑времени, характеризующаяся настолько большой кривизной, что ничто, даже свет, не может покинуть ее пределы.

Эйлерова характеристика, или число Эйлера, – целое число, которое помогает охарактеризовать топологическое пространство в наиболее общем смысле. Эйлерова характеристика, самый простой и наиболее известный топологический инвариант пространства, впервые введенный Леонардом Эйлером для многогранников и с тех пор обобщенный и на другие пространства. Эйлерова характеристика многогранника равна числу вершин минус число ребер плюс число граней.

Электромагнитное взаимодействие– одно из четырех фундаментальных взаимодействий; объединяет в себе электричество и магнетизм.

Элементарная частица– частица, у которой не обнаружено наличия никакой внутренней структуры, то есть частицы, которые мы сегодня считаем фундаментальными и неделимыми. В Стандартной модели элементарными частицами являются кварки, лептоны и калибровочные бозоны.

Энергия вакуума– энергия, связанная с пустым пространством. Однако энергия, содержащаяся в вакууме, не равна нулю, поскольку в квантовой теории пространство никогда не является полностью пустым. Частицы непрерывно появляются на свет на мгновение и затем исчезают в небытие.

Энтропия– мера беспорядка физической системы; неупорядоченные системы имеют высокую энтропию, а упорядоченные – низкую. Энтропию также можно рассматривать как число способов перестановок, составляющих систему частей (например, молекул) без изменения общих характеристик системы, таких как объем, температура или давление.

[1] Plato, Timaeus, trans. Donald J. Zeyl (Indianapolis: Hackett, 2000), p. 12.

[2] Так в книге. Правильно: «из двадцати треугольников» ( прим. Vadi. Далее множество подобных «тупых» ошибок исправляю в тексте без примечаний)

[3] Ibid., p. 46–47.

[4] Ibid., p. 44.

[5] Max Tegmark (MIT), interview with author, May 16, 2005. (Note: All interviews were conducted by Steve Nadis unless otherwise noted.)

[6] Aristotle, On the Heavens, at Ancient Greek Online Library, http://greektexts.com/library/Aristotle/On_The_Heavens/eng/print/1043.html.

[7] Michio Kaku. Hyperspace(New York: Anchor Books, 1995), p. 34.

[8] H. G. Wells, The Time Machine(1898), available at http://www.bartleby.com/1000/1.html.

[9] Abraham Pais, Subtle Is the Lord(New York: Oxford University Press, 1982), p. 152.

[10] Oskar Klein, “From My Life of Physics,” in The Oskar Klein Memorial Lectures, ed. Gosta Ekspong (Singapore: World Scientific, 1991), p. 110.

[11] Leonard Mlodinow, Euclid’s Window (New York: Simon & Schuster, 2002), p. 231.

[12] Andrew Strominger, “Black Holes and the Fundamental Laws of Nature,” Lecture, Harvard University, Cambridge, MA, April 4, 2007.

[13] Ibid.

[14] Georg Friedrich Bernhard Riemann, “On the Hypotheses Which Lie at the Foundations of Geometry,” lecture, Gottingen Observatory, June 10, 1854.

[15] E. T. Bell, Men of Mathematics(New York: Simon & Schuster, 1965), p. 21.

[16] Leonard Mlodinow, Euclid's Window(New York: Simon & Schuster, 2002), p. xi.

[17] Edna St. Vincent Millay, “Euclid Alone Has Looked on Beauty Bare,” quoted in Robert Osserman, Poetry of the Universe(New York: Anchor Books, 1995), p. 6.

[18] Andre Nikolaevich Kolmogorov, Mathematics of the 19th Century(Birkhauser, 1998).

[19] Deane Yang (Polytechnic Institute of New York University), e‑mail letter to author, April 20, 2009.

[20] Mlodinow, Euclid's Window, p. 205.

[21] Brian Greene, The Elegant Universe(New York: Vintage Books, 2000), p. 231.

[22] C. N. Yang. “Albert Einstein: Opportunity and Perception,” speech, 22nd International Conference on the History of Science, Beijing, China, 2005.

[23] Chen Ning Yang, “Einstein’s Impact on Theoretical Physics in the 21st Century,” AAPPS Bulletin15 (February 2005).

[24] Greene, The Elegant Universe, p. 72.

[25] Robert Greene (UCLA), interview with author, March 13, 2008.

[26] Lizhen Ji and Kefeng Liu, “Shing‑Tung Yau: A Manifold Man of Mathematics,” Proceedings of Geometric Analysis: Present and Future Conference, Harvard University, August 27‑September 1, 2008.

[27] Leon Simon (Stanford University), interview with author, February 6, 2008.

[28] Greene, interview with author, March 13, 2008.

[29] Cameron Gordon (University of Texas), interview with author, March 14, 2008.

[30] Robert Geroch (University of Chicago), interview with author, February 28, 2008.

[31] Edward Witten (Institute for Advanced Study), interview with author, March 31, 2008.

[32] Edward Witten, “A New Proof of the Positive Energy Theorem,” Communications in Mathematical Physics80 (1981): 381–402.

[33] Roger Penrose, “Gravitational Collapse: The Role of General Relativity,” 1969, reprinted in Mathematical Intelligencer30 (2008): 27–36.

[34] Richard Schoen (Stanford University), interview with author, January 31, 2008.

[35] Demetrios Christodoulou, The Formation of Black Holes in General Relativity(Zurich: European Mathematical Society, 2009).

[36] John D. S. Jones, “Mysteries of Four Dimensions,” Nature332 (April 7, 1998): 488–489.

[37] Simon Donaldson (Imperial College), interview with author, April 3, 2008.

[38] Faye Flam, “Getting Comfortable in Four Dimensions,” Science 266 (December 9, 1994): 1640.

[39] Ibid.

[40] Mathematical Institute at the University of Oxford, “Chart the Realm of the 4th Dimension,” http://www2.maths.ox.ac.uk/~dusautoy/2soft/4D.htm.

[41] Grisha Perelman, “The Entropy Formula for the Ricci Flow and Its Geometric Applications,” November 11, 2002, http://arxiv.org/abs/math/0211159vl.

[42] Eugenio Calabi (University of Pennsylvania), interview with author, October 18, 2007.

[43] Robert Greene, interview with author, April 17, 2008.

[44] Robert Greene, interview with author, June 24, 2008.

[45] Eugenio Calabi, interview with author, October 18, 2007.

[46] Robert Greene (UCLA), interview with author, January 29, 2008.

[47] Eugenio Calabi (University of Pennsylvania), interview with author, May 14, 2008.

[48] Ibid.

[49] Erwin Lutwak (Polytechnic Institute of NYU), interview with author, May 15, 2008.

[50] Calabi, interview, May 14, 2008.

[51] Eugenio Calabi, interview with author, June 16, 2008.

[52] Ibid.

[53] Eugenio Calabi, interview with author, October 18, 2007.

[54] Cumrun Vafa (Harvard University), interview with author, January 19,2007.

[55] John Schwarz (California Institute of Technology), interview with author, August 13, 2008.

[56] Michael Green (University of Cambridge), e‑mail letter to author, August 15, 2008.

[57] John Schwarz, interview with author, August 13, 2008.

[58] Andrew Strominger (Harvard University), interview with author, February 7, 2007.

[59] Andrew Strominger, interview with author, November 1, 2007.

[60] Raman Sundrum (Johns Hopkins University), interview with author, January 25,2007.

[61] Andrew Strominger, interview with author, February 7, 2007.

[62] Dennis Overbye, “One Cosmic Question, Too Many Answers,” New York Times, September 2, 2003.

[63] Juan Maldacena (Princeton University), interview with author, September 9, 2007.

[64] Dan Freed (University of Texas), interview with author, June 24, 2008.

[65] Tristan Hubsch (Howard University), interview with author, August 30, 2008.

[66] Gary Horowitz (University of California, Santa Barbara), interview with author, February 15, 2007.

[67] Eugenio Calabi (University of Pennsylvania), interview with author, October 18, 2007.

[68] Woody Allen, “Strung Out,” New Yorker, July 28, 2003.

[69] Liam McAllister (Cornell University), e‑mail letter to author, April 24, 2009.

[70] Allan Adams (MIT), interview with author, August 10, 2007.

[71] Joe Polchinski (University of California, Santa Barbara), interview with author, January 29, 2007.

[72] Brian Greene, The Fabric of the Cosmos(New York: Alfred A. Knopf, 2004), p. 372.

[73] P. Candelas, G. Horowitz, A. Strominger, and E. Witten, “Vacuum Configurations for Superstrings,” Nuclear Physics В258 (1985): 46–74.

[74] Edward Witten (IAS), e‑mail letter to author, July 24, 2008.

[75] Volker Braun, Philip Candelas, and Rhys Davies, “A Three‑Generation Calabi‑Yau Manifold with Small Hodge Numbers,” October 28, 2009, http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0910/0910.5464vl.pdf.

[76] Dennis Overbye, “One Cosmic Question, Too Many Answers,” New York Times, September 2, 2003.

[77] Dale Glabach and Juan Maldacena, “Who’s Counting?” Astronomy, May 2006, p. 72.

[78] Andrew Strominger, “String Theory, Black Holes, and the Fundamental Laws of Nature,” lecture, Harvard University, Cambridge, Mass., April 4, 2007.

[79] Edward Witten (IAS), e‑mail letter to author, July 21, 2008.

[80] Petr Horava (University of California, Berkeley), interview with author, July 6, 2007.

[81] Ibid.

[82] Аллюзия на цитату из поэмы Томаса Стернза Элиота «Полые люди»: «Не взрыв, но всхлип». – Примеч. перев.

[83] Ronen Plesser (Duke University), interview with author, September 3, 2008.

[84] Ibid.

[85] Marcus Grisaru (McGill University), interview with author, August 18, 2008.

[86] Plesser, interview with author, September 3, 2008.

[87] Shamit Kachru (Stanford University), interview with author, August 19, 2008.

[88] Ashoke Sen (Harish‑Chandra Research Institute), interview with author, August 22, 2008.

[89] Jacques Distler and Brian Greene, “Some Exact Results on the Superpotential from Calabi‑Yau Compactifications,” Nuclear Physics В309 (1988): 295–316.

[90] Doron Gepner, “Yukawa Couplings for Calabi‑Yau String Compactification,” Nuclear PhysicsВ 311 (1988): 191–204.

[91] Kachru, interview with author, August 19, 2008.

[92] Paul Aspinwall (Duke University), interview with author, August 14, 2008.

[93] Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa, and Nicholas Warner, “Chiral Rings in N=2 Superconformal Theories,” Nuclear Physics В324 (1989): 427–474.

[94] В. R. Greene, C. Vafa, N. P. Warner, “Calabi‑Yau Manifolds and Renormalization Group Flows,” Nuclear Physics В324 (1989): 371–390.

[95] Brian Greene (Columbia University), interview with author, March 11,2010.

[96] Ibid.

[97] Doron Gepner, interview with author, August 19, 2008.

[98] B. R. Greene and M. R. Plesser, “Duality in Calabi‑Yau Moduli Space,” Nuclear Physics В338 (1990): 15–37.

[99] Brian Greene, The Elegant Universe(New York: Vintage Books, 2000), p. 258.

[100] Plesser, interview with author, September 19, 2008.

[101] Greene, interview with author, March 11, 2010.

[102] Greene, T he Elegant Universe, p. 259.

[103] Cumrun Vafa (Harvard University), interview with author, September 19, 2008.

[104] Greene, interview with author, March 13, 2010.

[105] Mark Gross (UCSD), interview with author, October 31, 2008.

[106] Andreas Gathmann (University of Kaiserslautern), interview with author, August 25, 2008.

[107] David Hilbert, “Mathematical Problems,” lecture, International Congress of Mathematicians, Paris, 1900, http://alephO.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html (html version prepared by David Joyce, Mathematics Department, Clark University, Worcester, Mass.).

[108] Andreas Gathmann, “Mirror Principle I,” Mathematical Reviews, MR1621573, 1999.

[109] David Cox (Amherst College), interview with author, June 13, 2008.

[110] Andrew Strominger (Harvard University), interview with author, February 7, 2007.

[111] Gross, interview with author, September 19, 2008.

[112] Ibid.

[113] Gross, interview with author, September 24, 2008.

[114] Eric Zaslow (Northwestern University), interview with author, June 26, 2008.

[115] Gross, interview with author, September 24, 2008.

[116] Mark Gross, e‑mail letter to author, September 29, 2008.

[117] Strominger, interview with author, August 1, 2007.

[118] Zaslow, interview with author, June 26, 2008.

[119] Gross, interview with author, September 19, 2008.

[120] Yan Soibelman (Kansas State University), interview with author, September 26, 2008.

[121] Aspinwall, interview with author, June 23, 2008.

[122] Michael Douglas (Stony Brook University), interview with author, August 20, 2008.