Текст книги "Теория струн и скрытые измерения вселенной"

Автор книги: Стив Надис

Соавторы: Яу Шинтан
сообщить о нарушении

Текущая страница: 14 (всего у книги 29 страниц)

Проблемы возникают, когда требование конформной инвариантности выдвигается в рамках квантовых представлений. Подобно тому как классическая частица движется по геодезической линии – траектории, соответствующей минимальному четырехмерному пространственно‑временному расстоянию между двумя точками, как предсказывает принцип наименьшего действия, о котором шла речь в третьей главе, классическая струна также движется по траектории, длина которой минимальна. В результате этого мировой лист, образованный движущейся струной, представляет собой минимальную поверхность особого типа. Поверхность такого двухмерного мирового листа можно описать при помощи системы уравнений – двухмерной теории поля, которая точно предсказывает возможные пути перемещения струны. В теории поля все силы описываются при помощи полей, пронизывающих пространство‑время. Движение струны и ее поведение в целом определяется силами, которые на нее действуют, и струна перемещается таким образом, чтобы поверхность соответствующего мирового листа была минимальной. Среди огромного количества возможных мировых листов, соответствующих множеству возможных путей перемещения струны, теория поля отбирает именно тот, площадь которого минимальна.

Квантовая интерпретация данной теории поля учитывает не только наиболее существенные особенности движения струны в пространстве‑времени и поверхности, заметаемой данной струной, но также и некоторые более мелкие детали, обусловленные колебаниями струны в процессе движения. В результате мировой лист будет иметь небольшие особенности, отражающие эти колебания. В квантовой механике частица или струна, движущаяся в пространстве‑времени, движется одновременно по всем возможным траекториям. Вместо того чтобы просто выбрать один мировой лист, обладающий минимальной поверхностью, квантовая теория поля рассматривает средневзвешенное значение всех возможных конфигураций мирового листа, и большое значение в ее уравнениях отведено поверхности с меньшей площадью.

Вопрос состоит в том, будет ли теория двухмерного квантового поля после усреднения, проведенного путем интегрирования по всем возможным геометриям мирового листа, по‑прежнему удовлетворять условию масштабной инвариантности и другим аспектам конформности? Ответ на этот вопрос зависит от метрики пространства, в котором находится мировой лист; для одних метрик теория поля является конформной, для других – нет.

Для того чтобы определить, поддерживается или нет масштабная инвариантость конкретной метрикой, рассчитывается так называемая бета‑функция, определяющая отклонение теории от конформности. Если значение бета‑функции равно нулю, то при деформации мирового листа – раздувании, растяжении или сжатии – ничего не изменяется, что говорит о конформности теории. Бета‑функция автоматически обращается в нуль в случае риччи‑плоской метрики подобной той, которой обладают пространства Калаби‑Яу. К сожалению, как и в случае многих обсуждавшихся ранее сложных уравнений, решение уравнения для бета‑функции в явном виде найти невозможно. Вместо этого было найдено приближенное решение путем аппроксимации искомой функции суммой бесконечного числа слагаемых – так называемым степенным рядом. Считается, что чем больше членов ряда задействовано в аппроксимации, тем она лучше.

Чтобы лучше понять, как это работает, представьте, что вы хотите измерить площадь поверхности сферы, заворачивая ее в проволочную сетку. Если проволока состоит только из одной петли, то, натянув ее на сферу, вы едва ли получите хорошую оценку для площади. Однако если взять не одну, а четыре треугольные петли, соединенные в форме тетраэдра, охватывающего сферу, аппроксимация будет гораздо лучше. Увеличение числа петель до двенадцати – в форме пятиугольников, соединенных в додекаэдр, или до двадцати – в форме треугольников, соединенных в икосаэдр, даст еще более точные оценки. Как и в нашем примере, слагаемые степенного ряда бета‑функции также носят название петель. Взяв только первое слагаемое ряда, вы получите однопетлевую бета‑функцию, взяв первые два – двухпетлевую и т. д.

Добавление новых петель к проволочной сетке приводит к следующей проблеме: расчеты бета‑функции, которые и без того чрезвычайно сложны, при возрастании числа петель становятся еще сложнее, и объем вычислений многократно возрастает. Расчеты показали, что первые три слагаемых степенного ряда, как и было предсказано ранее, равны нулю – что весьма обнадежило физиков. Однако в статье 1986 года Маркус Грисару, физик, в настоящее время работающий в Университете Макгилла, и двое его коллег, Антон ван де Вен и Даниэла Занон, обнаружили, что четырехпетлевая бета‑функция в нуль не обращается. Последовавший за этим расчет, выполненный Грисару и его коллегами, показал, что пятипетлевая бета‑функция тоже не равна нулю. Это открытие стало заметным ударом по позициям, занимаемым в физике многообразиями Калаби‑Яу, поскольку из него следовало, что метрика данных многообразий не приводит к сохранению конформной инвариантности.

«У меня, как у сторонника теории струн и суперсимметрии, наши результаты вызвали некоторое беспокойство, – говорит Грисару. – Мы, конечно, были счастливы, что эти результаты в некоторой степени прославили нас, но слава разрушителя прекрасного здания – это далеко не то, чего можно желать каждому. Впрочем, мое мнение о науке заключается в том, что нужно смириться с теми результатами, которые ты получил».[85]

Однако не все еще было потеряно. В статье, выпущенной в 1986 году Дэвидом Гроссом и Виттеном, работавшими тогда в Принстоне, было показано, что, несмотря на то что для риччи‑плоской метрики многообразий Калаби‑Яу конформная инвариантность действительно не соблюдается, эту метрику можно слегка изменить так, чтобы бета‑функция, как и требовалось, обратилась в нуль. Подобная «настройка» метрики проводится не за один, а за бесконечное число корректировок, или квантовых поправок. Но в подобных случаях, когда поправки представляют собой бесконечный ряд, неминуемо возникает вопрос: сойдется ли этот ряд в конце концов к искомому решению? «Может ли выйти так, что, сведя воедино все поправки, никакого решения вы не получите?» – задается вопросом Плессер.

В лучшем случае небольшое изменение метрики приведет к незначительному изменению решения. К примеру, нам известно, как решать уравнение 2x=0, его ответом является x=0. «Если теперь я захочу решить уравнение 2x=‑0,1, то обнаружу, что ответ изменился весьма несущественно ( x=‑0,05), – что является для меня оптимальным вариантом», – поясняет Плессер. Уравнение x ² =0также не вызывает особых затруднений (вновь x=0). «Но если я попытаюсь решить уравнение x ² =‑0,1, то обнаружу, что оно попросту не имеет решения, по крайней мере, в действительных числах, – говорит он. – Итак, вы видите, что небольшое изменение параметров может привести как к тому, что решение лишь немного изменится, так и к тому, что оно вообще исчезнет [например, для вещественных чисел]».[86]

Как было установлено Гроссом и Виттеном, для исправленного многообразия Калаби‑Яу последовательный ряд поправок сходится. Они показали, что, если почленно исправлять метрику Калаби‑Яу, в результате возникнет сложнейшее уравнение, которое тем не менее можно решить. При этом все петли бета‑функции устремятся к нулю.

После этого, по словам Шамита Качру из Стэнфорда, «вопрос о том, чтобы полностью отбросить многообразия Калаби‑Яу, уже не стоял; теперь достаточно было только слегка их модифицировать. И, поскольку изначально не существовало возможности записать метрику Калаби‑Яу, необходимость ее небольшого преобразования не стала чем‑то особо удручающим».[87]

Дальнейшее развитие идей о способах преобразования метрики Калаби‑Яу основано на появившейся в том же году работе Денниса Немесчанского и Ашока Сена, в то время работавших в Стэнфорде. Полученное в результате исправления многообразие топологически оставалось многообразием Калаби‑Яу, а его метрика – почти риччи‑плоской, хотя и не совсем. Немесчанский и Сен вывели точную формулу, показывающую степень отклонения модифицированной метрики от риччи‑плоского случая. Их работа, совместно с работой Гросса и Виттена, «помогла сохранить многообразия Калаби‑Яу для физики, поскольку без них пришлось бы прекратить исследования в целой области», – утверждает Сен. Более того, по словам Сена, без первого допущения о том, что многообразия Калаби‑Яу, фигурирующие в теории струн, являются риччи‑плоскими, добраться до окончательного решения было бы невозможно. «Если бы мы начали с метрики, не являющейся риччи‑плоской, сложно даже представить, при помощи каких методик мы получили бы исправленный вариант».[88]

Я полностью согласен с Сеном, хотя и не считаю, что допущение о риччи‑плоской метрике многообразий Калаби‑Яу после этого стало бесполезным. Можно рассматривать многообразие Калаби‑Яу с риччи‑плоской метрикой как решение уравнения x ² =2. При этом уравнение, которое нужно решить, – это x ² =2,0000000001, поскольку, как уже было сказано, искомое многообразие является почти, но не точно риччи‑плоским. Для того чтобы получить модифицированную метрику, существует только один способ – начать с решения уравнения x ² =2и уже от него двигаться в требуемом направлении. При этом в большинстве случаев решение уравнения x ² =2 служит весьма хорошим приближением. Кроме того, риччи‑плоская метрика, как правило, является простейшей для использования и охватывает подавляющее большинство явлений, интересующих ученых.

Следующие существенные шаги в вопросе восстановления в правах многообразий Калаби‑Яу были сделаны Дороном Гепнером, в то время постдоком в Принстоне, на протяжении нескольких лет, начиная с 1986 года. Гепнер разработал несколько конформных теорий поля, каждая из которых в рамках соответствующих физических понятий обладала потрясающим сходством с описаниями отдельных многообразий Калаби‑Яу определенного размера и формы. Изначально Гепнер обнаружил, что физика, относящаяся к его теории поля, – включая определенные симметрии, поля и частицы, – имеет тот же вид, что и физика струны, движущейся в определенном многообразии Калаби‑Яу. Это привлекло его внимание, поскольку связь между двумя столь, казалось бы, несвязанными вещами, как конформная теория поля и многообразия Калаби‑Яу, казалась поистине сверхъестественной.

Одним из тех, кто проявил чрезвычайный интерес к этой новости, стал Брайан Грин – в то время мой гарвардский постдок, специалист в области математических обоснований многообразий Калаби‑Яу, закончивший докторскую диссертацию по этому предмету и, кроме того, имевший солидную подготовку в области конформной теории поля. Он тут же связался с учеными с физического факультета, также работавшими в области конформных теорий, в том числе с двумя аспирантами – Роненом Плессером и Жаком Дистлером. Дистлер и Грин начали совместное исследование корреляционных функций, связанныхс конформной теорией поля и соответствующим многообразием Калаби‑Яу. Корреляционные функции в этом случае включали в себя так называемые «взаимодействия Юкавы», определяющие взаимодействия частиц между собой, в том числе и такие взаимодействия, которые наделяли частицу массой. В статье, представленной весной 1988 года, Дистлер и Грин объявили, что корреляционные функции – или взаимодействия Юкавы – для конформной теории поля и соответствующих многообразий Калаби‑Яу численно совпадают, что стало еще одним подтверждением их тесной взаимосвязи, если не сказать больше.[89] Гепнер пришел к аналогичному выводу относительно совпадения величин взаимодействий Юкавы в статье, поданной в печать вскоре после этого.[90]

В частности, Дистлер, Грин и независимо от них Гепнер обнаружили, что для многообразий определенного размера и формы можно рассчитать все корреляционные функции, представляющие собой набор математических выражений, которые, будучи сведены воедино, полностью характеризуют конформную теорию поля. Иными словами, результатом стала возможность представить связь между конформной теорией поля и многообразиями Калаби‑Яу в строгих и исчерпывающих понятиях, путем определения как типа конформной теории поля со всеми корреляционными функциями, так и точного размера и формы соответствующего многообразия Калаби‑Яу. Таким образом, ограниченному классу многообразий Калаби‑Яу, известных на сегодняшний день, стало возможным сопоставить соответствующую модель Гепнера.

Эта связь, нашедшая надежное подтверждение в конце 1980‑х годов, помогла опровергнуть мнение относительно бесполезности многообразий Калаби‑Яу. Как сказал Качру, «можно не сомневаться в существовании предложенных им [Гепнером] конформных теорий поля, поскольку они являются полностью разрешимыми, в том числе и в численном виде. И если истинность этих теорий не вызывает сомнений, а их свойства аналогичны свойствам компактификаций Калаби‑Яу, то в достоверности этих компактификаций также можно не сомневаться».[91]

«Статья Гепнера позволила сохранить многообразия Калаби‑Яу, – утверждает Эспинволл, – по крайней мере, для физики и теории струн».[92] Более того, связь между моделью Гепнера и отдельными компактификациями Калаби‑Яу помогла заложить основу для открытия зеркальной симметрии, что стало достаточным для исключения всех сомнений в том, заслуживают ли многообразия Калаби‑Яу дальнейшего исследования.

Некоторые из наиболее ранних идей относительно зеркальной симметрии возникли в 1987 году, когда стэнфордский физик Ланс Диксон совместно с Гепнером установил, что различные K3‑поверхности связаны с одной и той же квантовой теорией поля, что говорило о том, что эти совершенно различные поверхности связаны при помощи симметрии. При этом ни Диксон, ни Гепнер не публиковали статей по этой теме, хотя Диксон сделал несколько докладов, поэтому первой публикацией, посвященной зеркальной симметрии, по‑видимому, стала вышедшая в 1989 году статья Вольфганга Лерке из Калифорнийского технологического института, Кумрана Вафы и Николаса Варнера из Массачусетского технологического института. Они доказали, что если взять два топологически различных трехмерных многообразия Калаби‑Яу, то есть шестимерное многообразие Калаби‑Яу вместо четырехмерной K3‑поверхности, мы получим одну и ту же конформную теорию поля и, следовательно, ту же самую физику.[93] Это утверждение было более сильным, чем утверждение Диксона‑Гепнера, поскольку оно связывало многообразия Калаби‑Яу с различной топологией, тогда как предыдущее относилось к поверхностям с одной и той же топологией, хотя и с различной геометрией (все K3‑поверхности являются топологически эквивалентными). Проблема состояла в том, что никому не был известен способ объединения многообразий Калаби‑Яу в пары, связанные между собой столь странным образом. Модели Гепнера оказались ключом к разгадке – и эти же модели помогли встретиться Брайану Грину и Ронену Плессеру.

Осенью 1988 года Брайан Грин, общаясь с Вафой, – их офисы находились на одном и том же «теоретическом» этаже здания, в котором размещался физический факультет Гарвардского университета, – узнал о существовании возможной связи между различными многообразиями Калаби‑Яу. Грин моментально понял, что эта теория была бы чрезвычайно важна, если бы удалось ее доказать. Он объединил усилия с Вафой и Варнером, для того чтобы лучше понять взаимосвязь многообразий Калаби‑Яу с моделью Гепнера. По словам Грина, в первую очередь он, Вафа и Варнер наметили шаги перехода от модели Гепнера к определенному многообразию Калаби‑Яу.[94] Исследователям удалось разработать «алгоритм, показывающий, почему и как связаны эти многообразия. Дайте мне модель Гепнера, и я в мгновение ока смогу показать вам, какому многообразию Калаби‑Яу она соответствует».[95] В статье Грина, Вафы и Варнера объяснялось, почему каждая модель Гепнера приводит к компактификации Калаби‑Яу. Их анализ подтвердил догадки о согласовании моделей Гепнера с многообразиями Калаби‑Яу, ранее сделанные самим Гепнером на основании рассмотрения таблиц многообразий Калаби‑Яу и выбора из них тех многообразий, которые приводили к требуемой физике.

В 1989 году, когда связь между моделями Гепнера и многообразиями Калаби‑Яу была установлена окончательно, Грин объединился с Плессером в надежде на дальнейшее продвижение. Одним из первых выводов, который им удалось сделать, по словам Грина, стал вывод о том, что «теперь мы имели мощный инструмент для анализа чрезвычайно сложной геометрии [Калаби‑Яу] в виде теории поля, которую мы полностью контролируем и полностью понимаем»[96]. Их заинтересовал вопрос о том, что произойдет, если они слегка изменят модель Гепнера. Как они полагали, измененная модель будет соответствовать немного отличному многообразию Калаби‑Яу. Для начала они применили к модели Гепнера преобразование, отвечающее вращательной симметрии, подобно повороту квадрата на 90 градусов. Эта операция оставила теорию поля неизменной. Однако, выполнив то же преобразование для многообразия Калаби‑Яу, они получили многообразие с совершенно иной топологией и совершенно иной геометрией.

Иными словами, преобразование, отвечающее вращательной симметрии, изменило топологию многообразия Калаби‑Яу, оставив неизменной сопутствующую ей конформную теорию поля. В результате теперь двум многообразиям Калаби‑Яу с совершенно различной топологией можно было сопоставить одну и ту же физическую теорию. «Это, коротко говоря, и называется зеркальной симметрией», – поясняет Гепнер.[97] Используя более общее понятие, можно также определить это свойство как дуальность, смысл которой состоит в том, что два объекта, с виду не имеющие отношения друг к другу, в данном случае – два многообразия Калаби‑Яу, тем не менее порождают одну и ту же физику.

Первая статья Грина и Плессера по теме зеркальной симметрии описывала десять так называемых зеркальных партнеров, или зеркальных многообразий, обнаруженных среди нетривиальных и не являющихся совершенно плоскими многообразий Калаби‑Яу, начиная с простейшего случая – трехмерной поверхности пятого порядка. Наряду с еще девятью примерами в этой статье содержалась формула, дающая возможность получить зеркальные пары для любой модели Гепнера, – на сегодня число подобных пар составляет сотни, если не тысячи.[98]

Зеркальные многообразия имеют ряд интереснейших свойств, проявляющихся при сопоставлении объектов, которые ранее казались не имеющими отношения друг к другу. К примеру, Грин и Плессер обнаружили, что одно из многообразий Калаби‑Яу может иметь 101 вариант формы и только один вариант размера; зеркальное же многообразие, напротив, будет иметь 101 вариант размера и единственный вариант формы. Многообразия Калаби‑Яу могут иметь дырки различной размерности – как нечетной, так и четной. Грину и Плессеру удалось обнаружить любопытное взаимоотношение между зеркальными парами: число дырок нечетной размерности в многообразии равно числу дырок четной размерности в его зеркальном партнере, и наоборот. «Это означает, что общее число дырок… в обоих многообразиях одинаково, даже несмотря на то, что замена дырок четной размерности на дырки нечетной размерности приводит к совершенно различным формам и геометрическим структурам», – замечает Грин.[99]

Рис. 7.1.Брайан Грин (© Андреа Кросса)

Рис. 7.2.Ронен Плессер (Duke Photography)

Рис. 7.3.Двойной тетраэдр, имеющий пять вершин и шесть граней, и треугольная призма, имеющая шесть вершин и пять граней, являются простыми примерами зеркальных многообразий. Эти привычные всем многогранники, в свою очередь, можно использовать для создания многообразия Калаби‑Яу и его зеркальной пары, причем число вершин и граней многогранника будет определять внутреннюю структуру соответствующего многообразия Калаби‑Яу. Подробности процедуры «конструирования» многообразия носят скорее технический характер, выходящий за рамки этого обсуждения

Это еще не объясняет «зеркальный» аспект обнаруженной симметрии, который проще проиллюстрировать при помощи топологии. Было установлено, например, что многообразия Калаби‑Яу и их зеркальные партнеры имеют эйлеровы характеристики противоположных знаков, что говорит о существенном различии в их топологиях, хотя и несколько опосредованно, поскольку эти числа сами по себе дают только незначительную часть информации о пространстве и, как уже было показано ранее, многие пространства, заметно отличающиеся друг от друга, такие как куб, тетраэдр и сфера, могут иметь одинаковые эйлеровы характеристики. Можно показать это и более строго, представив эйлеровы характеристики в виде сумм и разностей целых чисел, называемых числами Бетти, которые содержат более полную информацию о внутренней структуре пространства.

Любой объект имеет  n+ 1 чисел Бетти, где  n– размерность объекта. Таким образом, нульмерная точка имеет одно число Бетти; одномерная окружность – два числа Бетти; двухмерная поверхность, например сфера, – три числа Бетти и т. д. Первое число Бетти обозначается как b ₁ второе – как  b ₂ и последнее – как b _k где к‑ечисло Бетти представляет собой количество независимых k‑мерных циклов, или петель, которые могут быть обернуты вокруг пространства или многообразия или пропущены через рассматриваемое пространство или многообразие. Подробнее о циклах будет рассказано далее.

Рис. 7.4.Поверхности (речь идет об ориентируемых или двухсторонних поверхностях) можно различать топологически, сравнивая их числа Бетти. В целом число Бетти означает число способов, которыми можно провести разрез на двухмерной поверхности, не приводящих к образованию двух отдельных частей. Для сферы подобный разрез невозможен, поэтому ее число Бетти равно нулю. С другой стороны, бублик возможно разрезать двумя различными способами, не разделив его на две отдельные части, как показано на рисунке. Поэтому его число Бетти равно двум

В случае двухмерных поверхностей первое число Бетти описывает число возможных разрезов, которые не приводят к разделению объекта на два. Если взять поверхность сферы, являющуюся двухмерным пространством, то очевидно, что разрезать ее, не разделив на две части, невозможно. Это равносильно утверждению о том, что для сферы первое число Бетти равно нулю.

Рассмотрим теперь полый бублик. Проведя разрез вокруг бублика вдоль его «экватора», вы все равно получите цельный объект, хотя и вывернутый наизнанку. Аналогично, если разрез пройдет через дырку бублика, его цельность снова останется неприкосновенной, хотя внешний вид сильно пострадает. Поскольку существует только два способа разрезать бублик и ни один из них не приводит к образованию двух частей, можно утверждать, что его первое число Бетти равно двум.

Рис. 7.5.Матрица чисел размером 4Ч4, известная как ромб Ходжа, содержит в себе подробную топологическую информацию о многообразии Калаби‑Яу, имеющем три комплексных измерения. Хотя многообразие Калаби‑Яу нельзя однозначно охарактеризовать ромбом Ходжа, многообразия с различными ромбами Ходжа топологически различны. Ромбы Ходжа, приведенные на рисунке, являются зеркальными отображениями друг друга и соответствуют многообразию Калаби‑Яу и его зеркальному партнеру

Теперь рассмотрим крендель с двумя дырками. Можно провести замкнутый разрез по внутренней поверхности каждой из его дырок или провести разрез по перемычке, соединяющей дырки, или же сделать разрез вдоль его внешнего края – крендель все равно останется объектом. Таким образом, существуют четыре способа разрезать крендель с двумя дырками, ни один из которых не приведет к возникновению двух отдельных частей, следовательно, его первое число Бетти равно четырем. А для кренделя с 18 дырками первое число Бетти равно 36.

Можно, однако, получить и более точное описание топологии различных многообразий. Каждое из чисел Бетти представляет собой сумму чисел, называемых числами Ходжа, открытыми шотландским математиком В. В. Д. Ходжом. Эти числа позволяют более пристально взглянуть на подструктуру пространства. Информация о ней содержится в так называемом ромбе Ходжа.

Ромбы Ходжа позволяют нам представить себе «зеркало» в зеркальной симметрии. Таблица из шестнадцати чисел соответствует определенному шестимерному многообразию Калаби‑Яу, которое мы обозначим как М. Чтобы получить ромб Ходжа для зеркального многообразия М', нужно нарисовать прямую, проходящую через середины левой нижней и правой верхней сторон. После этого необходимо перевернуть числа Ходжа относительно этой прямой. Модифицированный ромб Ходжа, характеризующий многообразие, является зеркальным партнером исходного, буквально отражением или зеркальным отображением оригинала.

Тот факт, что числа Ходжа для многообразия и его зеркального партнера симметричны относительно диагонали, является следствием, а не объяснением зеркальной симметрии, поскольку это возможно и для двух многообразий, не являющихся зеркальными парами. Взаимосвязь между числами Ходжа для различных многообразий, обнаруженная Грином и Плессером, была не доказательством, а лишь намеком на то, что им удалось обнаружить новое проявление симметрии. Намного более убедительным, по словам Плессера, стало то, что им удалось обнаружить «полную идентичность» физики (или конформных теорий поля) многообразий, являющихся зеркальными парами.[100]

Независимое подтверждение идей Грина и Плессера появилось в том же 1989‑м, через несколько дней после того, как они отправили свою статью в печать. Как сообщил Грину Канделас, ему и двум его студентам удалось, перебрав большое количество рассчитанных на компьютере многообразий Калаби‑Яу, обнаружить весьма интересную особенность. Они заметили, что эти многообразия образуют пары, в которых число дырок четной размерности для одного многообразия совпадало с числом дырок нечетной размерности для второго. Обнаруженный обмен числом дырок, количеством возможных форм и размеров и числами Ходжа между двумя многообразиями весьма заинтриговал исследователей, хотя и мог быть просто математическим совпадением. По словам Грина, «вполне возможно, что их связь имела такое же отношение к физике, как связь между магазином, в котором молоко продают по доллару, а сок – по два, и магазином, в котором сок стоит два доллара, а молоко – один. Точку в этом вопросе поставило доказательство, найденное мной и Плессером, которым мы показали, что различные пары многообразий Калаби‑Яу приводят к одинаковой физике. Это и стало подлинным определением явления зеркальной симметрии – из которого уже проистекали все прочие следствия, – и это гораздо больше, чем простая перестановка двух чисел».[101]

По словам Грина, эти два направления исследований были не только параллельными, но и «взаимодополняющими». В то время когда они с Плессером углубились в исследование физической природы указанных совпадений, Канделасу со своими студентами при помощи их компьютерной программы удалось обнаружить огромное количество многообразий Калаби‑Яу, для которых числа Ходжа образовывали зеркальные пары. Когда эти статьи вышли в свет (обе в 1990 году), Грин объявил, что «зеркальная симметрия теории струн» окончательно установлена.[102]

По словам Кумруна Вафы, он был счастлив, увидев доказательство, в которое он внес заметный вклад, – хотя и никогда не сомневался в существовании зеркальной симметрии. «Я иногда говорю, что если бы мы сформулировали эту теорию без каких‑либо известных примеров, то это было бы намного более смелым шагом с нашей стороны», – иронизирует он.[103]

Сначала я был настроен по отношению к исследовательской программе Вафы и Грина скептически, поскольку, как я неоднократно говорил им, все многообразия Калаби‑Яу, обнаруженные на тот момент, имели отрицательные эйлеровы характеристики. Если их предположения имели под собой реальную основу и многообразия с противоположными знаками эйлеровых характеристик действительно образовывали пары, то число многообразий с положительными эйлеровыми характеристиками должно было быть примерно таким же, как и число многообразий с отрицательными эйлеровыми характеристиками, поскольку эйлеровы характеристики многообразия и его зеркального партнера имеют противоположные знаки. К счастью, эти рассуждения не заставили Вафу, Грина, Плессера и других отказаться от исследований, посвященных поиску нового типа симметрии. Мораль этой истории заключается в том, что, вместо того чтобы заранее делать ставки на возможность или невозможность чего‑либо, лучше просто взять и проверить. Вскоре после этого нами было обнаружено огромное количество многообразий Калаби‑Яу с положительными эйлеровыми характеристиками – достаточно большое, для того чтобы я мог отбросить свои первоначальные сомнения.

Вскоре я попросил Грина выступить перед собранием математиков с докладом по вопросу зеркальной симметрии; этот доклад собирался посетить, в том числе, и такой авторитет, как И. М. Зингер из Массачусетского технологического института. Будучи физиком по образованию, Грин весьма переживал по поводу выступления перед таким большим скоплением людей. Я же посоветовал ему как можно чаще в своей лекции использовать слово «квантовый», зная, какое впечатление оно производит на математиков. Так, зеркальную симметрию я предложил ему описать в терминах «квантовой когомологии» – термина, пришедшего мне в голову в это время.

Объектом исследования когомологии являются циклы, или петли на многообразии, а также типы их пересечения. Циклы, в свою очередь, связаны с подповерхностями в пределах многообразия, также называемыми подмногообразиями, не имеющими границ. Чтобы лучше понять, что имеется в виду под понятием подмногообразия, представьте себе кусок швейцарского сыра в форме шара. Можно, рассматривая этот сырный шар как единое трехмерное пространство, попробовать завернуть его в полиэтиленовую пленку. Но и внутри этого шара можно также найти сотни дырок – подповерхностей в пределах большей поверхности, – которые тоже можно чем‑то покрыть или что‑то через них пропустить, например резиновую ленту. Подмногообразие представляет собой геометрический объект с четко определенными размером и формой. Для физика цикл – это просто менее строгое определение петли, основанное исключительно на ее топологии, тогда как большинство геометров не видят никакой разницы между циклом и подмногообразием. Тем не менее мы стремимся использовать циклы – подобные окружностям, проходящим через дырку бублика, – для того, чтобы получить информацию о топологии многообразия.

Физикам знаком метод, позволяющий связать квантовую теорию поля с заданным многообразием. Однако поскольку многообразие, как правило, имеет бесконечное число циклов, они обычно прибегают к аппроксимации, сводящей это бесконечное число к конечному, с которым уже можно свободно обращаться. Этот процесс носит название квантования– взяв величину, которая может принимать бесконечное число возможных значений, например частоты радиоволн в FM‑диапазоне, только о некоторых из них говорят как о разрешенных. Подобный процесс приводит к введению квантовых поправок в исходное уравнение, которое описывает циклы и, следовательно, когомологию. По этой причине говорят именно о квантовой когомологии.