Текст книги "Теория струн и скрытые измерения вселенной"

Автор книги: Стив Надис

Соавторы: Яу Шинтан
сообщить о нарушении

Текущая страница: 12 (всего у книги 29 страниц)

Эта картина, конечно, является весьма грубой и схематичной и ничего не говорит нам о подлинной геометрии этого компактифицированного шестимерного мира. Возьмем, к примеру, обычную сферу, представляющую собой двухмерную поверхность, и мысленно сожмем ее в точку, то есть превратим ее в нульмерный объект. Таким образом, мы компактифицировали два измерения, превратив их в ничто. Можно попытаться таким же образом свести десять измерений к четырем, сжимая теперь уже шестимерную сферу a ² +b ² +c ² +d ² +e ² +f ² =1, но в качестве геометрии дополнительных измерений этот вариант не пройдет; уравнения теории струн требуют строго определенной структуры шестимерного пространства, и обычная сфера этим требованиям не соответствует.

Было ясно, что требовалась более сложная форма, и после успеха Грина и Шварца с нарушением четности задача нахождения этой формы вышла на первый план. Как только физикам стал бы известен точный вид многообразия, в которое сворачиваются дополнительные шесть измерений, они, наконец, смогли бы перейти от слов к делу.

Следующий шаг был предпринят в 1984 году, когда Грин, Шварц и Питер Вест из Кингс‑Колледжа заинтересовались K3‑поверхностями – широким классом комплексных многообразий, который изучался математиками уже более столетия, хотя внимание именно физиков K3 привлекли, когда мои доказательства гипотезы Калаби показали, что эти поверхности могут поддерживать риччи‑плоскую метрику. «Я понял, что компактное пространство должно быть риччи‑плоским, для того чтобы космологическая постоянная пространства более низкой размерности, в котором мы живем, не была положительной – как и требовали все теории того времени», – вспоминает Шварц.[55] В свете последующего открытия темной энергии, предполагающей наличие чрезвычайно малой, но все же положительной космологической постоянной, пришлось разработать более сложные варианты теории, предполагающей возникновение очень малой космологической постоянной в нашем четырехмерном мире из компактных риччи‑плоских пространств, – об этом пойдет речь в десятой главе.

Поверхность K3, обязанная своим названием горе K2 и трем математикам, исследовавшим геометрию подобных пространств, – Эрнсту Куммеру, упоминавшемуся ранее Эриху Кэлеру и Кунихико Кодайра, – была выбрана для предварительной проверки несмотря на наличие у нее только четырех вещественных (или двух комплексных) измерений вместо требуемых шести, во многом благодаря тому, что коллеги убедили Грина, Шварца и Веста в отсутствии аналогов этих многообразий более высокой размерности. Однако, как говорит Грин: «Я совершенно уверен в том, что мы нашли бы способ расставить все по местам… даже если бы в то время и не получили этой информации [о существовании шестимерных аналогов риччи‑плоских K3 поверхностей]».[56] «То, что исследование было начато с испытанных K3 поверхностей, – добавляет Шварц, – было обусловлено совсем не желанием найти подлинный вид компактификации. Мы просто хотели поиграть, посмотреть, что мы получим в результате и как это связано с сокращением аномалий».[57] С тех пор поверхности K3 имеют неоценимое значение для струнных теоретиков, исполняя роль «игрушечных моделей» для компактификации. Они также незаменимы при исследовании двойственностей в теории струн, о которых пойдет речь в следующей главе.

Примерно в то же время, в 1984 году, физик Эндрю Строминджер, сейчас работающий в Гарварде, а тогда – в Институте перспективных исследований (ИПИ) в Принстоне, объединил свои усилия с физиком‑теоретиком Филиппом Канделасом, сейчас работающим в Оксфорде, а тогда – в Техасском университете, для того чтобы определить класс шестимерных пространств, удовлетворяющий строгим условиям теории струн. Им было известно, что внутренние пространства этих шестимерных многообразий должны быть компактными, чтобы иметь возможность перейти от десяти к четырем измерениям, а кривизна должна удовлетворять как уравнениям теории гравитации Эйнштейна, так и требованиям симметрии, налагаемым теорией струн. Эти исследования в конце концов привели их и еще двоих их коллег – Гари Горовица из Калифорнийского университета и Виттена – к тем пространствам, существование которых я установил, доказав гипотезу Калаби, хотя Виттен пришел к этим многообразиям собственным путем. «Одной из важнейших особенностей открытий в современной науке является то, что физики и математики по совершенно разным причинам зачастую приходят к одним и тем же структурам, – делится своим наблюдением Строминджер. – Порой физики обгоняют математиков, порой математики обгоняют физиков. В данном случае математики оказались впереди. Им удалось понять важность этих пространств раньше нас».[58]

То, что говорит Строминджер, несомненно является правдой, но так же верно и то, что математики, и в их числе я сам, изначально не имели ни малейшего представления о связи пространств Калаби‑Яу с физикой. Причина, по которой я занялся исследованием этих пространств, состояла в том, что я находил их чрезвычайно красивыми; именно их необычайная красота зародила во мне подозрение, что физики обязательно должны взглянуть на них повнимательнее, что эти пространства содержат в себе множество загадок, достойных того, чтобы быть открытыми. В конечном итоге, именно физикам предстояло создать эту связь, построив мост между геометрией и физикой и положив тем самым начало долгому и продуктивному сотрудничеству между двумя областями знаний – сотрудничеству, которое процветает и по сей день.

История установления этой связи интересна сама по себе. Строминджер подытожил ее следующим образом: «Суперсимметрия позволила перебросить мост к голономии, а голономия стала мостом к пространствам Калаби‑Яу».[59]

Как вы помните, мы кратко обсудили суперсимметрию в четвертой главе, в контексте вопроса об одной из разновидностей внутренней – ограниченной симметрии – в отличие от более радикальной, глобальной, симметрии такого объекта, как, например, сфера, – которую должны были демонстрировать многообразия Калаби‑Яу будучи классом кэлеровых многообразий. Эта внутренняя симметрия представляет собой часть того, что мы подразумеваем под термином «суперсимметрия», но прежде чем мы попытаемся нарисовать ясную картину, скажем несколько слов о голономии.

Грубо говоря, голономияявляется мерой, характеризующей поведение касательных векторов для определенной поверхности при попытке их параллельного переноса по петле, охватывающей данную поверхность. Представьте, к примеру, что вы стоите на Северном полюсе и держите в руке копье, направленное по касательной к земной поверхности. Сначала вы движетесь строго в направлении экватора вдоль того направления, в котором указывает ваше копье. Достигнув экватора, вы обнаружите, что теперь ваше копье направлено перпендикулярно экватору в сторону Южного полюса. После этого, двигаясь по экватору, вы обходите половину земной окружности, держа копье направленным на юг. Пройдя это расстояние, вы вновь держите путь на Северный полюс, не меняя направления копья. Оказавшись на Северном полюсе, вы неожиданно обнаружите, что, несмотря на все ваши старания, копье, которое вы держали в руках, оказалось повернутым на 180 градусов относительно первоначального направления.

Мы могли бы повторить этот процесс любое число раз, совершая более длинные или более короткие путешествия вдоль экватора, каждый раз обнаруживая, что копье повернулось на некоторый угол, иногда меньше 180 градусов, иногда больше – в зависимости от длины нашего пути по экватору. Для того чтобы определить голономию нашей планеты, которую в первом приближении можно считать двухмерной сферой, рассмотрим все возможные пути – или все возможные петли, – которые можно проложить на ее поверхности. Оказывается, на поверхности сферы можно получить любой наперед заданный угол поворота от 0 до 360 градусов, делая соответствующую петлю больше или меньше. Можно даже получить угол больше 360 градусов, пройдя один и тот же путь два или более раз. Принято говорить, что двумерная сфера относится к группе голономии SO(2) или к специальной ортогональной группе 2, содержащей в себе все возможные углы. Сферы более высоких размерностей относятся к группам SО( n), содержащим все возможные вращения, сохраняющие ориентацию, а  nотносится к числу измерений.

Рис. 6.1.Одним из способов классификации пространства или поверхности является его классификация при помощи голономии, показывающей, что происходит с касательным вектором при параллельном переносе в таком пространстве – то есть перемещении, при котором мы стремимся сохранить направление вектора, несмотря на искривленность траектории. В данном примере, взяв на северном полюсе касательный вектор, направленный в точку А, мы начинаем движение в сторону экватора. По достижении экватора оказывается, что вектор теперь направлен на юг. Сохраняя это направление, мы перемещаемся вдоль экватора из точки А в точку В, проходя при этом половину земной окружности. После этого мы опять движемся на северный полюс, вновь сохраняя направление вектора неизменным. Оказавшись на северном полюсе, мы неожиданно обнаруживаем, что вектор оказался повернутым на 180 градусов относительно первоначального направления, несмотря на все наши попытки сохранить его направление неизменным

Многообразия Калаби‑Яу, с другой стороны, относятся к более ограниченной группе голономии SU( n), что означает специальную унитарную группу, имеющую  nкомплексных измерений. Те из многообразий Калаби‑Яу, к которым проявляет особый интерес теория струн, имеют три комплексных измерения, что позволяет поместить их в группу голономии SU(3). Конечно, пространства Калаби‑Яу намного сложнее сфер, и голономия SU(3) намного сложнее предыдущего примера с вектором, который поворачивается при движении по поверхности сферы, несмотря на все наши усилия сохранять его направление неизменным. Более того, поскольку в многообразиях Калаби‑Яу, в отличие от сферы, отсутствует глобальная симметрия, не существует осей, при повороте вокруг которых эти многообразия совпали бы сами с собой. Впрочем, они имеют более ограниченный тип симметрии, который, как мы уже говорили, относится к голономии и суперсимметрии. Для многообразия обладание суперсимметрией равнозначно обладанию так называемым ковариантно‑постоянным спинором. Спиноры, хотя их весьма тяжело описать, во многом аналогичны касательным векторам. Для кэлерова многообразия существует единственный спинор, который остается неизменным при параллельном переносе вдоль любой замкнутой петли. В многообразиях Калаби‑Яу – как и во всей группе SU(3), к которой они принадлежат, помимо этого спинора существует еще один, который также не изменяется при параллельном переносе по любой замкнутой петле, принадлежащей многообразию.

Наличие этих спиноров помогает убедиться в наличии суперсимметрии для соответствующих многообразий, и именно требование суперсимметрии определенного типа было предъявлено Строминджером и Канделасом к группе SU(3) в первую очередь. Группа SU(3), в свою очередь, является группой голономии, связанной с компактными кэлеровыми многообразиями с обращающимся в нуль первым классом Черна и нулевой кривизной Риччи. Иными словами, голономия SU(3) неявно подразумевает многообразия Калаби‑Яу. Или, что эквивалентно, если нужно найти такое решение, которое удовлетворяло бы как уравнениям Эйнштейна, так и уравнениям суперсимметрии – и если при этом нужно оставить дополнительные измерения скрытыми и сохранить суперсимметрию в наблюдаемом мире, – единственным решением будут многообразия Калаби‑Яу. Как сказал физик из Университета Джона Хопкинса Раман Сандрам: «Они представляют собой прекрасный математический ответ».[60]

«Я едва ли хорошо разбирался в математике в то время, но мне удалось установить связь с многообразиями Калаби‑Яу благодаря группе голономии, их характеризующей, – говорит Строминджер. – Я обнаружил статью Яу в библиотеке и мало что из нее понял, но из того немногого, что мне удалось понять, я сделал однозначный вывод о том, что эти многообразия – это как раз то, что доктор прописал».[61] Хотя чтение моих статей далеко не для всех становится незабываемым жизненным опытом, Строминджер действительно говорил (почти через двадцать лет после того, как это произошло) о том возбуждении, которое он испытал, впервые наткнувшись на мое доказательство гипотезы Калаби.[62] Однако прежде чем полностью предаться своим чувствам, Строминджер позвонил мне, чтобы убедиться в том, что он действительно правильно понял мою статью. Я подтвердил его ожидания. В тот момент я осознал, что после восьми лет поисков физика наконец обнаружила многообразия Калаби‑Яу.

Итак, в этот укромный уголок математики физиков привела суперсимметрия, – впрочем, я еще не объяснил, по какой именно причине принято рассматривать суперсимметрию как нечто сверхъестественно важное, если не считать таковым общего утверждения о значимости симметрии в понимании любого типа многообразий. Как поясняет принстонский физик Хуан Малдасена: «Суперсимметрия не только делает расчеты проще, она делает их возможными. Почему? Потому что проще описать движение сферы, катящейся с идеального холма, чем движение футбольного мяча по реальному склону, траектория которого будет в значительной степени случайна».[63]

Наличие симметрии делает все проблемы более простыми для разрешения. Предположим, что нам необходимо найти все решения уравнения xy=4. Это займет много времени, поскольку число решений этого уравнения бесконечно. Если, однако, ввести условие симметрии, x=y, то решений будет только два: 2и ‑ 2. Аналогично, если известно, что необходимые нам точки плоскости x‑yсимметричны относительно начала координат, то есть находятся на окружности, то вместо двух переменных – xи y– для описания этой окружности вам будет достаточно только одной – ее радиуса. Подобным образом и суперсимметрия сокращает число переменных, значительно упрощая тем самым решаемые задачи, накладывая ограничения на те геометрические формы, которые могут принимать скрытые шесть измерений. По словам математика из Техасского университета Дэна Фрида, «это ограничение и дает вам Калаби‑Яу».[64]

Конечно, мы не имеем права настаивать на существовании суперсимметрии в нашей Вселенной только ради того, чтобы сделать наши расчеты проще. Должна существовать более веская причина, чем простое удобство. И она существует. Одним из преимуществ теории суперсимметрии является то, что она автоматически обеспечивает устойчивое состояние вакуума – основного состояния в общей теории относительности, благодаря чему наша Вселенная может избежать постоянного падения во все более и более глубокие энергетические ямы. Эта идея относится к гипотезе о положительности массы, о которой уже шла речь в третьей главе. На самом деле суперсимметрия была одним из инструментов Эдварда Виттена в доказательстве его гипотезы, основанной на физических представлениях, однако в более нелинейном математическом подходе, разработанном Ричардом Шоном и мной, ей места не нашлось.

Но большинство физиков заинтересованы в идее суперсимметрии по иной причине, которая, собственно, и привела к возникновению этого понятия. Для физиков наиболее важным аспектом является концепция симметрии, связывающей элементарные частицы материи, иначе называемые фермионами, к которым относятся, например, кварки или электроны, и частицы, отвечающие за взаимодействия, иначе называемые бозонами, – такие как фотоны и глюоны. Суперсимметрия приводит к возникновению подобия, своего рода математической эквивалентности, между силами и материальными объектами, то есть между этими двумя классами частиц. Теория утверждает, что каждый фермион связан с определенным бозоном – его суперпартнером, и то же самое верно для любого бозона. Таким образом, теория предсказывает существование целого класса элементарных частиц с забавными названиями, такими как скварки, сэлектроны, фотинои глюино, – более тяжелыми по сравнению со своими известными аналогами и со спином, отличающимся от спина своих партнеров на 1/2. До настоящего времени эти суперпартнеры в природе не наблюдались, хотя исследователи продолжают их поиск при помощи мощнейших ускорителей (см. двенадцатую главу).

Мир, в котором мы живем, называемый физиками «миром низких энергий», несомненно, суперсимметричным не является. В то же время принято считать, что суперсимметрия доминирует в области высоких энергий, и в этой области элементарные частицы и их суперпартнеры идентичны. Но как только энергия становится ниже некого определенного значения, суперсимметрия «разрушается», и тот мир, в котором мы живем, является миром нарушенной суперсимметрии, где элементарные частицы и их суперпартнеры различны как по массе, так и по другим свойствам. Разрушившись, суперсимметрия не исчезает полностью, но переходит в скрытую фазу. По словам физика Тристана Хабша из Университета Говарда, моего бывшего постдока, можно понять существование различия в массах, мысленно заменив суперсимметрию на вращательную симметрию некого объекта, например вертикально расположенного гибкого стержня. Представьте, что вы закрепили концы стержня и изгибаете его в двух направлениях, перпендикулярных стержню. Вне зависимости от того, под каким углом вы на него нажимаете, объясняет Хабш, пока вы будете делать это в направлении, перпендикулярном направлению стержня, каждое из этих возмущений будет требовать одно и то же количество энергии. «И поскольку эти малые перемещения связаны друг с другом посредством вращательной симметрии, можно свободно заменять одно из них на другое».

Предположим, что мы ударили по стержню, возбудив в нем поперечные колебания. Эти колебания будут обладать вращательной симметрией и будут эквивалентны двум различным элементарным частицам, а энергия колебаний будет определять массу частиц. Наличие вращательной симметрии (или суперсимметрии, в случае теории струн) позволяет двум элементарным частицам иметь одинаковую массу и оставаться неразличимыми во всех прочих отношениях.

Вращательную симметрию – в данном случае служащую заменой суперсимметрии – можно разрушить, согнув стержень наподобие лука. Чем сильнее мы сведем его концы, тем больше будет изгиб и тем сильнее нарушится симметрия. «После того как симметрия нарушена, по‑прежнему существуют два вида колебаний, но они уже не связаны друг с другом вращательной симметрией», – говорит Хабш. Чтобы возбудить колебания в плоскости изгиба, как и раньше, требуется энергия, и чем больше величина изгиба, тем эта энергия больше. Но если толкнуть стержень в направлении, перпендикулярном плоскости изгиба, стержень придет во вращательное движение, не требующее для своего поддержания никаких затрат энергии (конечно, при условии, что затратами энергии на преодоление силы трения между концами стержня и их креплениями можно пренебречь). Иными словами, между этими двумя движениями существует разница в энергиях, или энергетическая щель, – одно из них требует затрат энергии, а второе – нет, что соответствует энергетической разнице (или разнице в массах) между безмассовой элементарной частицей и ее суперпартнером, обладающим массой, в случае разрушенной суперсимметрии.[65] Физики пытаются обнаружить признаки существования подобной энергетической щели и таким образом доказать существование обладающих массой суперсимметричных партнеров привычных нам частиц в высокоэнергетических экспериментах, приводящихся в настоящее время на Большом адронном коллайдере.

Если с точки зрения математика способ объединения сил и материи при помощи суперсимметрии прекрасен сам по себе, то физики‑теоретики интересуются симметрией по другой причине, выходящей за пределы ее эстетически привлекательных аспектов. Без суперсимметрии теория струн становится малоосмысленной. Она начинает предсказывать немыслимые частицы типа тахионов, движущихся быстрее света и имеющих отрицательное значение квадрата массы – то есть их масса содержит в себе комплексную единицу i. Большинство физических теорий отвергают возможность существования столь странных объектов. Суперсимметрия, возможно, не нуждается в теории струн – хотя она обязана своим развитием именно этой теории – но теория струн, несомненно, очень многое приобретает за счет суперсимметрии. Суперсимметрия же, как уже говорилось выше, была именно тем понятием, которое привело физиков на порог двери, за которой скрывались многообразия Калаби‑Яу.

Когда Строминджер и Канделас получили в свои руки многообразие Калаби‑Яу, у них тут же возникло страстное желание сделать следующий шаг – проверить, действительно ли это то многообразие, которое они искали, то самое, которое обусловливает всю физику, с которой мы имеем дело. Они приехали в Санта‑Барбару в 1984 году, горя желанием приступить к этому проекту, и вскоре сошлись с Горовицем, который годом раньше перешел в Санта‑Барбару из ИПИ. Помимо всего прочего, они были в курсе, что Горовиц являлся моим постдоком и в результате этого сотрудничества знал больше о гипотезе Калаби, чем ему нужно было для его непосредственной работы. Когда Горовиц понял, чем занимаются Строминджер и Канделас, а именно пытаются определить математические требования к внутреннему пространству теории струн, – он подтвердил, что многообразия Калаби‑Яу полностью им соответствуют. Имея более близкие отношения с этой областью математики, чем кто‑либо другой, Горовиц стал весьма ценным членом команды.

Вскоре после этого Строминджер посетил Виттена в Принстоне и посвятил его в те результаты, которые им удалось получить. Оказалось, что Виттен независимо от них добрался практически до того же места, хотя и попал туда несколько иным путем. Канделас и Строминджер начинали с утверждения о существовании в теории струн десяти измерений, которые должны были быть компактифицированы в некое шестимерное многообразие. Затем физики попытались выяснить, какая из разновидностей шестимерных пространств (помимо прочих требований) дает правильный тип суперсимметрии. С другой стороны, Виттен подошел к проблеме с точки зрения замкнутой струны, движущейся в пространстве‑времени и заметающей при этом поверхность с одним комплексным и двумя вещественными измерениями, известную также как риманова поверхность. Подобно обычной поверхности в дифференциальной геометрии, риманова поверхность оснащена метрикой, позволяющей определять расстояние между любыми двумя точками поверхности, и «механизмом» измерения углов. От всех остальных поверхностей римановы поверхности отличает возможность обладания (за некоторыми незначительными исключениями) уникальной метрикой с отрицательной (‑1) кривизной во всех точках.

Расчеты Виттена в рамках двухмерной разновидности квантовой теории, называемой конформной теорией поля, заметно отличались от расчетов его коллег, поскольку он сделал намного меньше предположений относительно лежащего в ее основе пространства‑времени. Впрочем, он пришел к тому же заключению, что и другие, а именно что геометрия внутренних пространств должна принадлежать к типу Калаби‑Яу. Ничто другое не подходило. «Тот факт, что результат был получен двумя независимыми путями, укреплял уверенность в его истинности, – говорит Горовиц. – Более того, это свидетельствовало в пользу того, что это наиболее естественный путь проведения компактификации, поскольку к одним и тем же условиям мы пришли с двух совершенно разных стартовых позиций».[66]

Четверка закончила свою работу в 1984 году и моментально поделилась своими открытиями с коллегами, выпустив несколько препринтов, хотя их статья вышла только через год. Эта статья ввела в оборот термин «пространства Калаби‑Яу», впервые познакомив физиков со странным шестимерным миром.

До публикации в 1985 году статьи Калаби «не ожидал, что наша работа может иметь какое‑либо физическое значение. Это была чистая геометрия», – по его же собственным словам. Вышедшая статья, однако, изменила все, введя многообразия Калаби‑Яу в самое сердце теоретической физики. «Она также привлекла неожиданное внимание к двум математикам, причастным к открытию этих пространств, – вспоминает Калаби, – поместив нас на передовицы газет. Подобные вещи всегда льстят, это относится и к той известности, которая пришла к нам с началом разговоров о пространствах Калаби‑Яу, хотя на самом деле наша заслуга была не столь велика».[67]

Наша работа, по крайней мере, на некоторое время стала последним писком моды в физике, перекинувшись с «газетных передовиц» и на другие области. Многообразия Калаби‑Яу стали названием экспериментальной театральной постановки «Калаби‑Яу», заглавием альбома в жанре электро/синтпоп группы DopplerEffekt – «Пространства Калаби‑Яу», названием картины «Мона Лиза Калаби‑Яу» итальянского художника Франческо Мартино и мишенью шутки в рассказе Вуди Аллена из «Нью Йоркера»: «Мой милый, – сказала она, кокетливо улыбаясь и свернувшись в форме поверхности Калаби‑Яу».[68] Известность, которую приобрела эта столь трудная для понимания идея, была весьма неожиданной, учитывая то, что многообразия данного типа непросто даже описать словами, не то что представить. Пространство, обладающее шестью измерениями, по замечанию одного физика, имеет «на три измерения больше, чем то, которое я способен вообразить». Картина осложняется и присутствием скрученностей, многомерных дыр, которых может быть как небольшое количество, так и свыше пятисот, словно в элитном сорте швейцарского сыра.

Рис. 6.2.Наглядное изображение двухмерного «поперечного сечения» шестимерного многообразия Калаби‑Яу (Эндрю Хэнсон, Университет Индианы)

Возможно, наиболее простой особенностью пространств Калаби‑Яу является их компактность. Многообразия Калаби‑Яу похожи на бесконечный лист бумаги, но не ровный и простирающийся неограниченно во всех направлениях, а скомканный и покрытый складками, но скомканный строго определенным образом. Компактное пространство не содержит областей с бесконечной длиной или шириной, так что при наличии достаточно большого чемодана пространство легко уместится внутри него. Можно выразиться по‑другому: по словам Лайама Макаллистера из Корнеллского университета, компактное пространство «можно накрыть одеялом из конечного числа лоскутов» – при этом каждый лоскут, разумеется, должен быть конечного размера.[69] Оказавшись на поверхности подобного пространства и начав прогулку по «большому кругу», можно вернуться в ту же точку, из которой вы вышли. Впрочем, даже если вы не вернетесь именно в ту точку, вы все же никогда не уйдете бесконечно далеко от точки, из которой вы вышли, вне зависимости от продолжительности вашей прогулки. Назвать пространство Калаби‑Яу компактным никоим образом не будет преувеличением. Хотя вопрос о точном размере подобного многообразия по‑прежнему остается открытым, очевидно, что оно должно быть чрезвычайно мало и иметь диаметр порядка 10‑ ³⁰сантиметров, что в двести восемьдесят квадриллионов раз меньше классического радиуса электрона. Обитатели четырехмерного пространства, подобные нам, не в силах даже увидеть это шестимерное пространство, но оно все же всегда на месте, будучи прикреплено к каждой точке нашего пространства. Мы просто слишком велики, чтобы зайти внутрь и осмотреться.

Рис. 6.3.Калаби‑Яу собственной персоной: Эудженио Калаби (слева)и Шинтан Яу (фотография Калаби публикуется с разрешения Э. Калаби, фотография Яу сделана Сьюзан Таун Гильберт)

Это, впрочем, совсем не значит, что мы не взаимодействуем с этими невидимыми измерениями. Прогуливаясь или двигая рукой, мы каждую секунду пронизываем скрытые измерения, даже не замечая этого, – эти движения в каком‑то смысле компенсируют друг друга. Представим себе стадо северных оленей в сто тысяч голов, движущееся в одном направлении – например, с прибрежной равнины Аляски на хребет Брукса, где их ждет прекрасная долина, в которой они смогут провести зиму. «Каждое животное, – объясняет Алан Адамс из Массачусетского технологического института, – пройдет эти 800 миль по своей собственной траектории, но в целом отклонения от среднего компенсируют друг друга, и можно считать все стадо движущимся по одному общему пути».[70] Наши краткие вторжения в пространства Калаби‑Яу взаимно компенсируют друг друга аналогичным образом, что делает их несущественными по сравнению с более длинными путями, которые мы проходим в четырехмерном пространстве.

Рис. 6.4.Если теория струн верна, то в любой точке четырехмерного пространства‑времени присутствует скрытое шестимерное пространство Калаби‑Яу (изображения многообразий Калаби‑Яу сделаны Эндрю Хэнсоном, Университет Индианы)

Можно объяснить и по‑другому: мы живем в бесконечном пространстве, и наши горизонты чрезвычайно широки, даже если та часть пространства, которую мы успели посетить, чрезвычайно мала. Однако куда бы мы ни шли в этом большом и широком мире, везде «на расстоянии вытянутой руки» нас будет сопровождать крошечное пространство, полный доступ к которому мы никогда не получим. Представим себе необычную систему координат, в которой ось xпредставляет собой наше бесконечное четырехмерное пространство, а ось y– внутреннее пространство Калаби‑Яу. Каждой точке на оси xсоответствует скрытая шестимерная область. Напротив, каждой точке на оси усоответствует четырехмерное пространство или направление, также доступное для исследований.

Пожалуй, наиболее удивительным является то, что эта скрытая, внутренняя часть Вселенной – область, которую невозможно увидеть, ощупать, понюхать или ощутить иным образом, – может оказывать большее влияние на физические процессы, чем привычный нам мир из кирпича и камня, машин и ракет, а также миллиардов и миллиардов галактик. По крайней мере, именно это утверждает теория струн. «Все физические величины, которые можно измерить, – все фундаментальные понятия, такие как масса кварков и электронов, – определяются геометрией многообразий Калаби‑Яу, – объясняет физик Джозеф Полчинский из Калифорнийского университета. – Зная форму, мы, по сути, знаем все».[71]Или, как выразился Брайан Грин: «Код Вселенной можно успешно записать языком геометрии пространств Калаби‑Яу».[72] Если общая теория относительности Эйнштейна сводит гравитацию к геометрии, то струнные теоретики надеются развить это утверждение дальше, доказав, что геометрия в виде многообразий Калаби‑Яу лежит в основе не только гравитации, но и всей физики в целом.

Я, конечно, не собираюсь ставить под сомнение эти фундаментальные утверждения. Но разумный человек может задаться вопросом: если гипотеза Калаби слишком хороша для того, чтобы быть истинной, то как относиться к вышеуказанному утверждению? И каким образом можно объяснить все вышесказанное? Я опасаюсь, что настоящее объяснение покажется кому‑то неудовлетворительным и даже представляющим собой подобие порочного круга – способность многообразий Калаби‑Яу к столь чудесным свершениям объясняется тем, что это их свойство с самого начала было встроено в механизм работы теории струн. Впрочем, даже если и так, то все же возможно дать некое общее представление о том, как этот «механизм» – с десятимерными многообразиями на входе и четырехмерной физикой на выходе – работает на самом деле. Попробуем представить максимально упрощенную картину способа получения элементарных частиц и их масс из заданного многообразия Калаби‑Яу при учете того, что соответствующее многообразие является неодносвязным. Неодносвязное многообразие подобно тору с одной или большим числом дырок, часть петель которого, находящихся на его поверхности, не могут быть стянуты в точку, в противоположность сфере – односвязной поверхности, на которой любая петля может быть стянута в точку подобно тому как натянутая на глобус упругая резиновая лента соскальзывает с экватора на один из полюсов. Начав со сложного шестимерного многообразия с определенным числом дырок, рассчитаем все возможные пути, которыми можно пропустить струны через многообразие, проходя через различные дырки один или более раз. Это нелегкая задача, поскольку путей пропускания струн через многообразие существует огромное множество, а петли могут иметь разные размеры, зависящие, в свою очередь, от размеров дырок. Из всех этих возможностей вы можете составить список потенциальных частиц. Массы частиц можно определить, умножая длины струн на их натяжение, эквивалентное линейной плотности энергии струны, входящей в кинетическую энергию колебания. Объекты, получаемые таким образом, могут иметь любое число измерений между нулем и шестью. Некоторые из них разрешены, некоторые – нет. Взяв все разрешенные объекты и все разрешенные движения, вы и получите окончательный список частиц и их масс.