Текст книги "Теория струн и скрытые измерения вселенной"

Автор книги: Стив Надис

Соавторы: Яу Шинтан
сообщить о нарушении

Текущая страница: 18 (всего у книги 29 страниц)

Симметрии, как правило, не работают таким образом, если они не являются калибровочными симметриями. Фактически Стандартная модель имеет четыре «глобальные» симметрии, связанные с частицами вещества и сохранением заряда, которые не являются калибровочными. Эти глобальные симметрии действуют на материальные поля Стандартной модели, которые мы обсудим позже. В Стандартной модели и вообще в теории поля существует еще одна глобальная симметрия, которая не является калибровочной. Эта симметрия называется симметрией Пуанкаре. Она включает простые переносы, такие как перемещение всей Вселенной на один метр вправо или проведение одного и того же эксперимента в двух разных лабораториях, и вращения, когда конечный результат выглядит аналогично исходному.

Однако если требуется, чтобы некоторые симметрии были калибровочными, то из расчетов Янга и Миллса следует, что для этого необходимо ввести в теорию нечто дополнительное, некий внешний фактор. Этим «нечто» могут быть калибровочные поля. В Стандартной модели калибровочные поля соответствуют калибровочным симметриям SU(3)ЧSU(2)ЧU(1), это означает по ассоциации, что калибровочные поля соответствуют трем взаимодействиям, которые включены в состав модели: сильному, слабому и электромагнитному. Между прочим, Янг и Миллс не были первыми, кто разработал калибровочную теорию U(1), описывающую электромагнетизм, – это было сделано за десятилетие до них. Но они были первыми, кто разработал калибровочную теорию для SU(2), которая показала путь разработки SU( n) теорий, для любого  nбольше двух, включая SU(3).

Введение калибровочных полей позволило получить теорию с калиброванными симметриями, что в свою очередь позволяет сохранять инвариантность физики, даже когда операции симметрии применяют раздельно. Физики создали Стандартную модель такой не потому, что она поразила их своей элегантностью и эстетической привлекательностью, а потому, что из экспериментов следовало, что так работает природа. Иными словами, Стандартная модель является калибровочной теорией по эмпирическим, а не эстетическим причинам.

Хотя физики обычно рассуждают в терминах калибровочных полей, математики часто выражают те же идеи в терминах расслоений, что является математическим способом представления полей, связанных с тремя взаимодействиями. Струнные теоретики стирают границу между физикой и математикой, а расслоения играют роль гетеротических конструкций, которых мы кратко коснемся.

Рис. 9.1. Чжэньнин Янг и Роберт Миллс, авторы теории Янга‑Миллса (Правила Янга)

Перед тем как перейти к ним, необходимо объяснить, каким образом многообразия Калаби‑Яу связаны с калибровочными полями, которые математики называют расслоениями. Поля, которые мы видим, – четырехмерная гравитация и калибровочные поля SU(3)ЧSU(2)ЧU(1), связанные с другими тремя силами, бесспорно, существуют в четырехмерной области, в которой, если верить нашим наблюдениям, обитаем и мы. Калибровочные поля фактически существуют в десяти измерениях, которые описывает теория струн. Компонент, лежащий в шести компактифицированных измерениях Калаби‑Яу, дает начало четырехмерным калибровочным полям нашего мира и приводит к сильному, слабому и электромагнитному взаимодействиям. Правильнее было бы сказать, что внутренняя структура Калаби‑Яу фактически рождает эти взаимодействия, – собственно, это и следует из теории струн.

До сих пор мы говорили о симметрии без упоминания проблемы, с которой столкнулись создатели модели, а именно с тем, что называют нарушением симметрии. В гетеротической версии теории струн мы обсуждали десятимерное пространство‑время, с которого мы начинаем, содержащее нечто, что мы называем Е8ЧЕ8‑симметрией. Е8 – это 248‑мерная группа симметрии, которую можно считать, в свою очередь, калибровочным полем с 248 компонентами (подобно тому как вектор, указывающий некоторое произвольное направление в трехмерном пространстве, имеет три компоненты, обозначаемые x , yи z). Е8ЧЕ8 – это более обширная группа из 496 компонентов (248 + 248), но для практических целей можно игнорировать второе Е8. Конечно, даже 248 симметричных измерений составляют проблему для вывода Стандартной модели, которая имеет только двенадцать симметричных измерений. Значит, нам нужно каким‑то способом «отломать» лишние измерения у 248‑мерной Е8‑группы, уменьшив их количество до двенадцати.

Давайте вернемся к нашему примеру двухмерной сферы, или шара, обладающей вращательной симметрией в трех измерениях и принадлежащей к симметричной группе SO(3). Здесь термин «SO» – это сокращение от «special orthogonal group» (специальная ортогональная группа), поскольку она описывает вращение вокруг взаимно перпендикулярных осей. Можно взять сферу и начать вращать ее вокруг любой из трех осей – x, yи z, – и она всегда будет оставаться той же самой сферой. Но можно нарушить симметрию, если потребовать, чтобы одна точка всегда отображалась сама на себя. На нашей планете можно было бы в качестве такой точки выбрать Северный полюс. После этого у нас останется только один набор преобразований поворота, а именно повороты относительно оси, проходящей через Северный и Южный полюсы, которые оставляют точку Северного полюса неподвижной. В результате трехмерная симметрия шара нарушается и превращается в одномерную симметрию U(1).[160]

Для того чтобы перейти к четырем измерениям и Стандартной модели с ее 12‑мерной симметричной группой, следует найти аналогичный способ нарушения симметрии калибровочной группы Е8. Например, можно нарушить симметрию путем выбора определенной конфигурации, включающей или выключающей отдельные компоненты 248‑компонентного калибровочного поля. В конце концов, мы найдем способ оставить включенными только двенадцать полей, по аналогии с тем, как, зафиксировав Северный полюс, мы оставили только одно из трех направлений вращения на сфере. Но это не могут быть произвольные двенадцать полей: это должны быть правильные поля, чтобы вписаться в симметричные группы SU(3)ЧSU(2)ЧU(1). Другими словами, когда вы закончите разрушать массивную группу Е8, то оставите в четырех измерениях только калибровочные поля Стандартной модели.

Рис. 9.2.Благодаря полной симметрии сфера остается без изменений при вращении вдоль любой оси, проходящей через ее центр. Однако можно нарушить симметрию, если потребовать, чтобы при повороте северный полюс оставался неподвижным. Теперь вращение разрешено только относительно одной оси, проходящей через северный и южный полюсы. Следование этому условию нарушает или ограничивает полную вращательную симметрию сферы

Остальные поля, соответствующие нарушенным симметриям, полностью не исчезают. Они будут проявлять себя только в области очень высоких энергий, что делает их недоступными для нас. Можно сказать, что дополнительные симметрии Е8 спрятаны в Калаби‑Яу.

Тем не менее одно лишь многообразие Калаби‑Яу само по себе не способно породить Стандартную модель. Здесь и вступают в игру расслоения, которые являются в буквальном смысле расширениями многообразия. Расслоенияминазывают группы векторов, прикрепленные к каждой точке многообразия. Самый простой тип расслоения известен под названием касательное расслоение. Каждое многообразие Калаби‑Яу имеет такое расслоение, но поскольку касательное расслоение Калаби‑Яу является более сложным для представления, чем даже само многообразие, то давайте вместо него рассмотрим касательное расслоение обычной двухмерной сферы. Если выбрать точку на поверхности этой сферы и построить два вектора, касательных поверхности сферы в этой точке, то такие векторы определят плоскость или диск в пределах плоскости, если ограничить векторы определенной длиной. Если сделать то же самое в каждой точке поверхности и объединить все эти плоскости или диски вместе, то таким коллективным объектом и будет расслоение. Следует отметить, что расслоение обязательно включает само многообразие, поскольку в расслоение входит, по определению, каждая отдельная точка на поверхности многообразия. По этой причине касательное расслоение двухмерной сферы является четырехмерным пространством, поскольку касательная к поверхности обладает двумя степенями свободы, или двумя независимыми направлениями движения, а также сама по себе сфера, будучи частью расслоения, добавляет еще две степени свободы, которые сами не зависят от касательного пространства.

Рис. 9.3. В каждой точке поверхности сферы существует касательная плоскость, пересекающая сферу только в этой точке и больше нигде. Касательное расслоениедля сферы состоит из плоскостей, касательных к каждой точке этой сферы. Поскольку, по определению, касательное расслоение включает каждую точку на сфере, оно также должно включать и саму сферу. Невозможно изобразить касательное расслоение с его бесконечным количеством касательных плоскостей, поэтому мы покажем сферу с кусками касательных плоскостей в нескольких показательных точках

Касательное расслоение шестимерного многообразия Калаби‑Яу представляет собой соответственно 12‑мерное пространство с шестью степенями свободы в касательном пространстве и шестью степенями свободы в самом многообразии.

Расслоения имеют решающее значение в попытках струнных теоретиков сформулировать физику элементарных частиц в терминах теории Янга‑Миллса, где калибровочные поля описываются набором дифференциальных уравнений, называемых, как нетрудно догадаться, уравнениями Янга‑Миллса.

Наш следующий шаг состоит, в частности, в поиске решений уравнений для калибровочных полей, живущих на трехмерном многообразии Калаби‑Яу. Поскольку основной причиной появления многообразий Калаби‑Яу в теории струн было удовлетворение требованиям суперсимметрии, калибровочные поля также должны подчиняться суперсимметрии. Это означает, что мы должны решать специальные суперсимметричные уравнения Янга‑Миллса, называемые эрмитовыми уравнениями Янга‑Миллса. Эти уравнения дают суперсимметрию с минимальным количеством типов симметрии, которое только можно получить, известную как суперсимметрия N =1, и это единственная суперсимметрия, которая согласуется с современной физикой элементарных частиц.

«До того как теория струн поразила наше воображение, большинство физиков особо не задумывались о геометрии и топологии, – говорит физик Пенсильванского университета Бёрт Оврут. – Мы просто записывали уравнения типа уравнений Янга‑Миллса и пытались их решить». Единственной загвоздкой является то, что эрмитовы уравнения Янга‑Миллса являются существенно нелинейными дифференциальными уравнениями, которые никто не может решить. «До сегодняшнего дня, – говорит Оврут, – нет ни одного известного [явного] решения эрмитовых уравнений Янга‑Миллса в шестимерном многообразии Калаби‑Яу. Следовательно, мы должны были бы остановиться на достигнутом, если бы не работа некоторых геометров, показавших нам иной путь».[161]

Расслоения предлагают нам обходной путь для этого нелинейного дифференциального барьера, поскольку мы можем считать расслоение, прикрепленное к многообразиям Калаби‑Яу, альтернативным описанием калибровочных полей, определяемых уравнениями Янга‑Миллса. Как это сделать, описывает теорема DUY(ДУЯ), название которой составлено из первых букв фамилий Саймона Дональдсона (Simon Donaldson) (Королевский колледж), Карена Уленбека (Karen Uhlenbeck) (Техасский университет) и моей (Yau).

Идея, лежащая в основе теоремы, заключается в том, что эрмитовы уравнения Янга‑Миллса определяют поле, которое может быть представлено векторным расслоением. Мы доказали, что если построить расслоение на Калаби‑Яу, которое удовлетворяет конкретному топологическому условию, а именно является устойчивым или технически – с более устойчивым углом наклона (крутизной), то такое расслоение допускает существование уникального калибровочного поля, которое автоматически удовлетворяет этим уравнениям. «Это не имеет смысла, если вы меняете одну чрезвычайно сложную проблему на другую крайне трудную, – отмечает Оврут. – Но вторая проблема создания устойчивого расслоения намного проще, в результате не надо вообще решать эти ужасные дифференциальные уравнения».[162]

Иными словами, мы нашли геометрическое решение проблемы, которую не могли решить другими способами. Мы показали, что не стоит волноваться о полях или дифференциальных уравнениях. Все, о чем следует беспокоиться, это о построении устойчивого расслоения. Что означает выражение «расслоение с устойчивым наклоном»? Когда мы говорили о наклоне кривой, мы отметили, что это число, связанное с кривизной, а устойчивость наклона расслоения в данном случае связана с кривизной расслоения. Проще говоря, «наклон выражает чувство равновесия, – объясняет математик Рон Донаги из Пенсильванского университета. – Он указывает, что кривизна в одном направлении не может быть намного больше, чем кривизна в другом направлении. Независимо от выбранного пути, ни одно направление не может быть слишком экстремальным относительно других направлений».[163] Любое расслоение можно разделить на более мелкие части или субрасслоения, а требование устойчивости означает, что наклон любого из этих субрасслоений не может быть больше наклона расслоения как единого целого. Если это требование выполняется, то такое расслоение является расслоением с устойчивым наклоном, а калибровочные поля удовлетворяют эрмитовым уравнениям Янга‑Миллса. В результате условие суперсимметрии будет выполнено.

В некотором смысле идея устойчивости наклона, являющаяся центральной для теоремы DUY, представляет собой следствие теоремы Калаби‑Яу, поскольку эта теорема выдвигает определенные требования кривизны к многообразию Калаби‑Яу, гарантируя, что касательное расслоение будет обладать устойчивым наклоном. А тот факт, что уравнения Калаби‑Яу и эрмитовы уравнения Янга‑Миллса одинаковы для касательного расслоения, когда в основе лежит метрика Калаби‑Яу, является еще одним следствием доказательства гипотезы Калаби, которое заставило меня подумать о взаимосвязи между устойчивостью наклона и эрмитовыми уравнениями Янга‑Миллса. Возникшая у меня идея заключалась в том, что расслоение будет удовлетворять этим уравнениям тогда и только тогда, когда оно устойчивое.

По сути, Дональдсон доказал это в своей части теоремы DUY, опубликованной им в 1985 году, конкретно относящейся к особому случаю двух комплексных размерностей. Уленбек и я работали независимо от Дональдсона, и в работе, вышедшей в свет через год, мы доказали, что аналогичный результат применим к любой комплексной размерности и соответственно к любому пространству с четным количеством реальных размерностей. Я считаю DUY одной из самых сложных теорем, которые я когда‑либо доказывал или – в данном случае – доказал совместно с другим ученым. В настоящее время наш труд вместе с работой Дональдсона называется DUY.

Эта теорема очень похожа на доказательство гипотезы Калаби, поскольку в обоих случаях мы стремились свести задачу, включающую систему неприятных нелинейных уравнений, с которыми мы не умеем работать, к геометрической задаче, которую мы умеем решать. В случае Калаби я никогда не решал соответствующие дифференциальные уравнения в явном виде. Я только показал, что если многообразие удовлетворяет определенным условиям (компактное, кэлерово, с исчезающим первым классом Черна), что можно проверить с помощью стандартных процедур алгебраической геометрии, то должно существовать решение таких уравнений в форме риччи‑плоской метрики. DUY работает аналогичным образом, предполагая наличие такого расслоения, точнее, устойчивости наклона, чтобы решения эрмитовых уравнений Янга‑Миллса всегда существовали. В алгебраической геометрии также разработаны методы для оценки устойчивости расслоения, хотя это оказалось намного сложнее, чем проверить, является первый класс Черна для многообразия исчезающим или нет.

Некоторые люди, в том числе и физики, не знакомые с этой областью математики, находят DUY удивительным, поскольку на первый взгляд условия расслоения не имеют ничего общего с дифференциальными уравнениями, которые вы надеетесь решить.

Но для меня эта теорема не была удивительной, поскольку, если уж на то пошло, она казалась мне естественным продолжением гипотезы Калаби. Все доказательство теоремы Калаби посвящено многообразию Калаби‑Яу, тогда как теорема DUY вся посвящена расслоению. Вы ищете метрику расслоения, но метрика многообразия уже дана вам как часть исходной информации. По желанию можно выбрать любую лежащую в основе метрику, включая метрику Калаби‑Яу.

Пункт пересечения между гипотезой Калаби и теоремой DUY представляет собой касательное расслоение. И вот почему: когда вы докажете существование многообразий Калаби‑Яу, то получите не только эти многообразия, но также их касательные расслоения, так как каждое многообразие имеет расслоение. Поскольку касательное расслоение определяется многообразием Калаби‑Яу, оно наследует свою метрику от родительского многообразия – в данном случае от многообразия Калаби‑Яу. Другими словами, метрика касательного расслоения должна удовлетворять уравнениям Калаби‑Яу. При этом оказывается, что для касательного расслоения эрмитовы уравнения Янга‑Миллса те же, что и для уравнений Калаби‑Яу, при условии, что фоновая метрика, выбранная вами, является метрикой Калаби‑Яу. Следовательно, если касательное расслоение удовлетворяет уравнениям Калаби‑Яу, оно также автоматически удовлетворяет эрмитовым уравнениям Янга‑Миллса. В результате получается, что касательное расслоение фактически является первым частным случаем теоремы DUY – первым решением, несмотря на то что доказательство гипотезы Калаби было получено за десять лет до теоремы DUY.

Рис. 9.4.Карен Уленбек (фото любезно предоставлено Техасским университетом в Остине)

Однако это не самое интересное в DUY. Истинная сила DUY состоит в предписании условий (снова в отношении устойчивости), которым должны удовлетворять другиерасслоения (а не только касательное расслоение), чтобы решения эрмитовых уравнений Янга‑Миллса существовали.

Еще до выхода нашего труда в 1986 году я говорил Эдварду Виттену, что теория Янга‑Миллса, похоже, естественным образом согласуется с многообразиями Калаби‑Яу и поэтому должна быть важна для физиков. Виттен вначале не понял актуальности теоремы, но примерно через год, продолжив работу, он пошел еще дальше, показав, как этот подход можно использовать в компактификациях Калаби‑Яу. Когда вышел труд Виттена, то благодаря его авторитету в этой области применением DUY к теории струн стали интересоваться и другие исследователи, что служит еще одним примером того, как геометрия взяла инициативу в свои руки, несмотря на то что она не всегда шла этим путем.

Теперь давайте посмотрим, как можно использовать эту геометрию и топологию для получения физики элементарных частиц из теории струн. Первый шаг заключается в выборе многообразия Калаби‑Яу, но подходит не всякое многообразие. Если мы хотим использовать определенные методы, которые в прошлом доказали свою эффективность, нам необходимо выбрать неодносвязное многообразие, то есть многообразие с нетривиальной фундаментальной группой. Я надеюсь, вы помните, – это означает, что вы можете найти в таком пространстве петлю, которую нельзя стянуть в точку. Другими словами, многообразие должно быть больше похоже на тор, а не на сферу, и иметь, по крайней мере, одну дырку. Наличие дырки, цикла или петли, бесспорно, оказывает влияние на геометрию и топологию самого расслоения, что, в свою очередь, влияет на физику.

Второй шаг заключается в построении расслоения, которое даст не только калибровочные поля Стандартной модели, но также устранит аномалии – отрицательные вероятности, нежелательные бесконечности и другие раздражающие свойства, которые были присущи самым первым версиям теории струн. Когда Майкл Грин и Джон Шварц проиллюстрировали способ устранения аномалий в своей знаменитой работе 1984 года, их аргумент был сформулирован в терминах калибровочных полей. Выражая аналогичную идею в геометрических и топологических терминах, можно сказать, что расслоение будет удовлетворять требованию устранения аномалий, если его второй класс Черна равен второму классу Черна касательного расслоения.

Мы уже обсуждали понятие класса Черна – метода классификации топологических пространств и грубого определения различия между ними (см. четвертую главу). Как уже указывалось, первый класс Черна исчезает (или равен нулю), если можно ориентировать все касательные векторы на многообразии в одном и том же направлении. Это похоже на задачу расчесать густые волосы, не оставив торчащего чуба. Это невозможно на двухмерной сфере, но можно избежать чуба на поверхности двухмерного тора. Поэтому мы говорим, что тор обладает исчезающим первым классом Черна, тогда как первый класс Черна для сферы является неисчезающим.

Второй класс Черна можно на пальцах определить аналогичным образом, за исключением того, что нам необходимо рассмотреть на некотором многообразии два векторных поля, а не одно. Векторные поля, о которых мы здесь говорим, являются комплексными, то есть координаты отдельного вектора описываются комплексными числами. Если принять, что эти два векторных поля являются независимыми, то в большинстве точек на многообразии векторы, вероятно, будут иметь различные направления. Но в определенных точках векторы из каждого поля могут иметь одно и то же комплексное направление или оба стремиться к нулю. На самом деле, может существовать целый набор точек, где это условие будет выполняться. Такой набор точек образует замкнутую двухмерную поверхность в пределах нашего шестимерного многообразия, а вместе эти точки представляют второй класс Черна.

Каким образом это связано с устранением аномалий? Грин и Шварц показал, что независимо от того, насколько плохими могут оказаться аномалии, если удастся заставить их компенсировать друг друга и тем самым устранить, то, возможно, в конце концов, получится жизнеспособная теория. Один из способов избавления от таких надоедливых аномалий заключается в том, чтобы убедиться, что выбранное вами расслоение имеет тот же второй класс Черна, что и касательное расслоение.

Что касается вопроса, почему это должно работать, мы должны помнить, что расслоения, о которых идет речь, являются, в некотором смысле, эрзацами фоновых полей – гравитационных и калибровочных, из которых можно вывести реальные силы, существующие в природе. Например, касательное расслоение Калаби‑Яу является хорошим слепком гравитационного поля, так как Калаби‑Яу, характеризуемое специальной метрикой, позволяет решить уравнения гравитационного поля Эйнштейна. Другими словами, гравитация в некотором роде зашифрована в его метрике. Но метрика также связана с касательным расслоением, потому что метрика, как говорилось ранее, предоставляет нам функцию для вычисления расстояния между любыми двумя точками А и В на многообразии. Мы берем все возможные пути между А и В и разбиваем каждый путь на много крошечных касательных векторов; объединенные вместе касательные векторы образуют касательное расслоение. Вот почему в случае попытки удаления аномалий можно использовать касательное расслоение Калаби‑Яу, чтобы построить гравитационную часть теории.

Затем мы выбираем дополнительное векторное расслоение с целью воспроизведения калибровочных полей Стандартной модели. Теперь у нас есть два расслоения, одно дает нам гравитационное поле, второе – калибровочные поля. К сожалению, каждое поле неизбежно будет иметь аномалии, которых невозможно избежать, но Грин и Шварц показали, что нет причины для отчаяния. По мнению Донаги, они продемонстрировали, «что аномалия, являющаяся результатом гравитационного взаимодействия, обладает противоположным знаком по отношению к аномалии калибровочного поля. Поэтому если удастся сделать так, чтобы они имели одинаковые абсолютные значения, то они уничтожат друг друга».[164]

Чтобы выяснить, работает ли наша теория, мы возьмем второй класс Черна как касательного расслоения Калаби‑Яу, так и расслоения калибровочного поля. Ответ, который мы получаем для каждого расслоения, зависит от тех особых точек, где векторные поля совпадают или исчезают. Однако невозможно просто вычислить количество таких точек, поскольку на самом деле их количество бесконечно. Вместо этого можно сравнить кривые (единичной комплексной размерности), которые вычерчивают эти точки. Кривые, которые относятся к каждому из этих расслоений, не должны быть одинаковыми, чтобы не соответствовать второму классу Черна, но они должны быть гомологичными.

Гомология является тонким понятием, которое лучше всего объяснить на примере, я постараюсь подобрать наиболее простой пример – крендель. Каждая дырка вырезается по кругу, одномерному объекту, но каждый круг ограничивает дырку, которая является двухмерным объектом. В данном случае примером гомологии будут два круга нашего кренделя. Таким образом, мы называем две кривые, или два круга, гомологичными, если они имеют одну и ту же размерность и ограничивают поверхность или многообразие, имеющее на одно измерение больше. Мы используем термин класс Черна, чтобы указать на наличие целого класса кривых, которые связаны через гомологию. Мы ставим эту концепцию на первое место, потому что если кривые для наших двух расслоений являются гомологичными (касательное расслоение, представляющее гравитацию, и второе расслоение – калибровочные поля), то этим расслоениям будет соответствовать второй класс Черна. В результате, как ни странно, аномалии теории струн исчезнут, чего мы и добивались.

Когда ученые впервые начали проверку этих идей, как это сделали в своем труде Канделас, Горовиц, Строминджер и Виттен в 1985 году, они использовали касательное расслоение как единственное, известное на тот момент. Если использовать касательное расслоение, то второй класс Черна вашего расслоения не может не соответствовать второму класса Черна касательного расслоения. Таким образом, ваш выбор будет правильным, но касательное расслоение также будет удовлетворять условию стабильности, что, как уже указывалось ранее, является прямым следствием доказательства гипотезы Калаби. Тем не менее исследователи считали, что если другие расслоения соответствуют вышеуказанным требованиям, включая стабильность, то можно найти и более гибкие с точки зрения физики варианты. Канделас говорит, что даже в далеком 1985 году «мы уже поняли, что должны существовать более общие способы решения задач, а именно что существуют иные расслоения, кроме касательного, которое мы используем. Хотя мы знали, что это возможно, но еще не знали, как это сделать практически».[165]

Тем временем с наступлением второй струнной революции в середине 1990‑х годов исследователи поняли, что существует возможность смягчить ограничения по расслоениям, в связи с чем открывалось много новых возможностей. В М‑теории существовала дополнительная размерность, что давало исследователю свободу и простор для размещения дополнительных полей, которые соответствовали бранам – важным новым компонентам, введенным М‑теорией. После введения браны в общую картину второй класс Черна калибровочного поля уже больше не должен быть равным второму классу Черна касательного расслоения: он мог быть меньше или равен.

Все это стало возможным потому, что сама брана или кривая, вокруг которой она обернута, имеет свой собственный второй класс Черна, который можно сложить со вторым классом Черна калибровочного расслоения, чтобы соответствовать касательному расслоению и таким образом обеспечить устранение аномалии. В результате сегодня физики могут работать с более широким разнообразием калибровочных расслоений.

«Каждый раз, когда вы ослабляете условия (в данном случае меняя равенство на неравенство), у вас появляется больше примеров», – объясняет Донаги.[166] Обратившись снова к нашему примеру со сферой или к большому надувному мячу для игры на пляже, заметим, что вместо присоединения касательной плоскости или ее части к каждой точке на поверхности мяча можно присоединить обычное расслоение с векторами, направленными от поверхности. Существует много других расслоений, которые можно создать, присоединив определенное векторное пространство к различным точкам на многообразии и затем объединив все эти векторные пространства для получения расслоения.

Хотя новая степень свободы «от М‑теории» позволила ученым исследовать широкий спектр расслоений, они до сих пор не придумали примеры, которые бы действительно работали. Первый шаг снова заключается в выборе расслоения, которое является устойчивым и избавленным от аномалий. Из теоремы DUY мы знаем, что такое расслоение может дать вам калибровочные поля или взаимодействия Стандартной модели.

Конечно, Стандартная модель посвящена не только взаимодействиям. Это теория физики элементарных частиц, поэтому ей есть что сказать и об элементарных частицах. Тогда поставим вопрос следующим образом: как элементарные частицы связаны с многообразиями Калаби‑Яу? Существуют два вида элементарных частиц, о которых будет идти речь: частицы, которые мы можем потрогать (материальные частицы), и частицы‑переносчики взаимодействий (полевые частицы), в число которых входят фотоны, переносящие свет, а также другие, невидимые для нас частицы – слабые бозоны и глюоны.

Частицы силовых полей в некотором смысле легче извлечь, поскольку если вы правильно получили все калибровочные поля на предыдущем этапе со всеми группами правильной симметрии, то вы уже имеете все эти частицы. Они являются в буквальном смысле частью силовых полей, а количество симметричных размерностей в каждом калибровочном поле соответствует количеству частиц, передающих взаимодействие. Например, сильное взаимодействие, связанное с восьмимерной симметрией SU(3), обеспечивается восемью глюонами; слабое взаимодействие, связанное с трехмерной симметрией SU(2), передается тремя бозонами: W ⁺ , W‑ и Z; а электромагнитное взаимодействие с одномерной симметрией U(1) передается одной частицей – фотоном.

Мы можем изобразить эти частицы в движении довольно легко. Представим, как два парня едут на роликах параллельно друг другу и один из них бросает волейбольный мяч другому. Парень, бросающий мяч, отклоняется в противоположном от летящего мяча направлении, а парень, ловящий мяч, отклоняется в том же направлении, в каком летит мяч. Если наблюдать это взаимодействие из самолета, летящего достаточно высоко, чтобы не был виден мяч, то может показаться, что на этих двух людей действует сила отталкивания. Но если посмотреть на действие отталкивающей силы с очень близкого расстояния, где эта сила «квантована», то можно увидеть, что движения роллеров вызваны дискретным объектом – волейбольным мячом, а не каким‑то невидимым полем. Квантование полей, и материальных, и калибровочных, означает, что среди всех возможных флуктуаций или вибраций вы выбираете только определенные. Каждая специально выбранная флуктуация соответствует волне с конкретной величиной энергии и, следовательно, частотой.