Текст книги "Теория струн и скрытые измерения вселенной"

Автор книги: Стив Надис

Соавторы: Яу Шинтан
сообщить о нарушении

Текущая страница: 20 (всего у книги 29 страниц)

Когда это происходит, то энергия, которая в иных обстоятельствах запускает инфляцию, рассеивается так быстро, что процесс расширения остановится раньше, чем начнется. По сценарию KKLT браны обеспечивают возможный механизм для образования Вселенной, которую мы видим, – Вселенной, на которую инфляция оказала достаточно сильное влияние.

В нашу задачу не входило воспроизведение Стандартной модели или подробное обсуждение физики элементарных частиц, но скорее широкое представление качественных характеристик нашей Вселенной, включая аспекты космологии, которая сейчас, вероятно, является самой всеобъемлющей дисциплиной из всех.

Дело в том, что в конце нашего обсуждения мы хотим получить теорию, которая работает на всех масштабах – и в физике элементарных частиц, и в космологии. В дополнение к предположениям KKLT относительно того, как инфляция может работать в теории струн, в 2002 году была опубликована статья Качру, Стива Гиддингса и Джозефа Полчински (последние двое из университета Калифорнии в Санта‑Барбаре), в которой показано, как теория струн может объяснить очевидную слабость гравитации, которая в триллион триллионов триллионов раз слабее электромагнитных сил. Согласно теории струн это можно объяснить отчасти тем, что гравитация пронизывает все десять измерений, которые «разбавляют» ее силу. Но в сценарии Гиддингса‑Качру‑Полчински (Giddings‑Kachru‑Polchinski, GKP) этот эффект ослабления экспоненциально усилен за счет геометрического деформирования, которое мы позже обсудим в данной главе. Объяснение построено на искривленной геометрической модели, впервые описанной в теории поля Лайзой Рэндалл из Гарварда и Раманом Сандрамом и позже введенной в теорию струн GKP, а также в последующую работу KKLT.

Продолжив исследования, авторы KKLT показали в рамках теории струн, как наша Вселенная могла снабжаться положительной энергией вакуума, иногда называемой темной энергией, существование которой стало очевидным благодаря измерениям, проводимым с конца 1990‑х годов. Мы не можем дать детальное описание технически сложного механизма передачи энергии, который подразумевает помещение объекта, называемого антибраной (антивещество, противоположное бране) в деформированную область Калаби‑Яу, например, на вершину конифолда – некомпактного, конического по форме выступа, простирающегося от «тела» многообразия. Во всяком случае, точные детали не столь важны, так как их исследование никогда не предполагало нахождения окончательного ответа на любой из этих вопросов. Качру пояснил, что «цель KKLT заключалась в создании “игрушечной” модели, с помощью которой теоретики могли бы изучить явление, хотя здесь возможны и другие конструкции».[185]

Суть в том, что если работа по стабилизации модулей и исследования в области физики элементарных частиц успешно продвигаются вперед, то потенциально, согласно Макаллистеру, физики могут «иметь все. Если вы возьмете многообразие Калаби‑Яу и бросите в него D‑браны и потоки, то вы можете получить все ингредиенты для получения Стандартной модели, инфляции, темной энергии и другие вещи, с помощью которых мы можем объяснить наш мир».[186]

В конце концов, авторы статьи KKLT, объяснив, как можно стабилизировать модули, показали, как можно ограничить само многообразие Калаби‑Яу до четкого набора стабильных или квазистабильных форм. Это означает, что вы можете выбрать многообразие Калаби‑Яу конкретного топологического типа, найти способы снабдить его потоками и бранами и точно рассчитать возможные конфигурации. Беспокоит то, что, когда вы произведете все расчеты, результат может устроить не всех, потому что число возможных конфигураций будет абсурдно большим, до 10 ⁵⁰⁰.

Эта цифра далеко не точная, она призвана обеспечить приблизительное представление о числе возможных вариантов, которые вы можете получить для многообразия Калаби‑Яу со множеством дырок. Давайте снова рассмотрим тор с потоком, навитым сквозь дырку с целью его стабилизации. Поскольку поток квантуется, в дальнейшем мы будем предполагать, что он может принимать целые значения от 0 до 9, что эквивалентно существованию десяти стабильных форм для тора. Если бы у нас был тор с двумя дырками и через каждую из них мог проходить поток, то тор имел бы 10 ², или 100 стабильных форм. Очевидно, что шестимерное многообразие Калаби‑Яу предлагает намного больше вариантов. «Число 10 ⁵⁰⁰получено путем математического расчета, где учитывали максимальное возможное число дырок в многообразии (порядка пятисот) и предполагали, что через каждую дырку можно провести поля или потоки, которые могут находиться в одном из десяти возможных состояний, – объясняет Полчински, один из тех, кому обязано появлением это число. – Расчет действительно грубый. Число может быть намного больше или намного меньше, но оно не бесконечно».[187]

Что это за цифра и что она означает? Во‑первых, это означает, что в силу топологической сложности многообразий Калаби‑Яу уравнения теории струн имеют большое количество решений. Каждое из этих решений соответствует многообразию Калаби‑Яу со своей геометрией, что, в свою очередь, подразумевает разные элементарные частицы, разные физические постоянные и т. д. Кроме того, поскольку многообразия Калаби‑Яу по определению являются решениями уравнений Эйнштейна для вакуума, каждое из этих решений, которое включает различные способы введения потоков и бран, соответствует вселенной с разным вакуумным состоянием и, следовательно, различной энергией вакуума.

И вот парадокс: многие теоретики верят, что все эти вселенные действительно могут существовать.

Что же за картина вырисовывается? Представьте себе мяч, катящийся без трения по огромной ровной поверхности. Для мяча не существует предпочтительного положения – он может катиться в любом направлении без затрат энергии. Это похоже на ситуацию с нестабилизированным модулем и безмассовыми скалярными полями. А теперь давайте представим, что эта поверхность не совсем гладкая, а имеет несколько углублений, в которые мяч может попасть и застрять, не имея энергии, чтобы выбраться из ямки. Подобная ситуация имеет место, когда модули стабилизированы; каждое из углублений на поверхности соответствует различному решению теории струн – отдельному Калаби‑Яу, занимающему отдельное вакуумное состояние. Поскольку мы имеем большое число возможных решений, такой «ландшафт», содержащий различные вакуумные состояния, огромен.

Конечно, это понятие, называемое ландшафтом теории струн, является чрезвычайно противоречивым. Одни ученые принимают картину с множеством вселенных, другие отрицают, а некоторые (включая меня) считают это понятие спекулятивным. Иногда возникает вопрос о практической ценности данной теории, которая предлагает больше решений, чем мы можем классифицировать. Следом возникает еще вопрос: а существует ли какой‑либо способ обнаружить все эти возможные вселенные, разбросанные по всему ландшафту? Больше беспокоит то, что идея ландшафта становится тесно связанной с так называемыми антропными аргументами.

Космологическая константа для нашей Вселенной, рассчитанная из данных последних астрономических наблюдений, по‑видимому, должна быть очень маленькой, примерно в 10 ¹²⁰раз меньше, чем значение, предсказанное лучшими физическими теориями. Никто не может объяснить это расхождение или тот факт, что константа имеет чрезвычайно маленькое значение. Но что, если все 10 ⁵⁰⁰или примерно столько вакуумных состояний в ландшафте действительно где‑то реализованы и каждое представляет собой отдельную вселенную или подвселенную со своей внутренней геометрией (или Калаби‑Яу) и своей космологической константой? Среди всех этих вариантов, по крайней мере, одна из подвселенных обязательно имеет низкую космологическую постоянную, как у нас. И поскольку мы должны где‑то жить, то это и есть там, где мы и обитаем. Но это не бессмысленная удача, потому что мы не можем жить во вселенной с большой космологической постоянной, так как в этом случае расширение происходило бы так быстро, что звезды, планеты и даже молекулы никогда не смогли бы образоваться. Вселенная с большой отрицательной космологической постоянной быстро сжалась бы в ничто или до сильной сингулярности. Другими словами, мы живем во вселенной такого вида, в которой мы можем жить.

Рис. 10.3.Энергия пустого пространства, также называемая энергией вакуума, может принимать огромное число возможных значений, которые представляют стабильные или полустабильные решения уравнений теории струн. Понятие ландшафта теории струн было придумано, в частности, для того, чтобы наглядно показать, что теория имеет много возможных решений, соответствующих многим вакуумным состояниям, или ложным вакуумом, – каждое из которых может представлять другую вселенную. Стабильное состояние ложного вакуума на этом рисунке представлено впадинами, или долинами, куда могут попасть и остаться там шары, которые скатываются вниз с горы в разных направлениях. Высота этих впадин соответствует энергии вакуума, принятой для каждого участка ландшафта. Некоторые теории предполагают, что может быть порядка 10 ⁵⁰⁰решений, каждое из которых соответствует своему многообразию Калаби‑Яу и, следовательно, своей геометрии для компактных измерений. Пространства Калаби‑Яу являются неотъемлемой частью этой картины, так как, по мнению ученых, суммарная вакуумная энергия поддерживает шесть дополнительных измерений теории струн, свернутых в таких пространствах, не позволяя им расширяться до бесконечности (изображения пространства Калаби‑Яу любезно предоставлены Эндрю Дж. Хансоном (Andrew J. Hanson), Университет Индианы)

Физик Дэвид Гросс сравнил антропные аргументы такого рода с тараканами, которых необходимо уничтожать. «Если вас одолели тараканы, вы не можете избавиться от них», – пожаловался он на космологической конференции.[188]

Стэнфордский физик Бартон Рихтер говорит, что энтузиасты ландшафта, такие как его стэнфордский коллега Леонард Зюскинд «отказались от этой идеи. Для них путешествие, которое завело физиков так далеко, подошло к концу, – пишет Рихтер в New York Times. – Поскольку они верят в эту идею, я не могу понять, почему они не возьмутся еще за что‑нибудь, например за макраме».[189]

«Нам не удается избавиться от множества решений теории струн, – замечает Зюскинд, – поэтому нравится вам это или нет, ландшафт остается». Поскольку это так, то лучше с ним заключить мир и проверить, есть ли что‑нибудь полезное, что можно из него извлечь. «Дорога физики усеяна трупами упрямых стариков, которые не знали, когда пора сдаваться», – пишет он в своей книге «Космический ландшафт» (The Cosmic Landscape), осознавая, что он также может быть «упертым стариком, сражающимся до конца».[190]

Справедливости ради следует сказать, что споры возникали постоянно. Я никогда не принимал участия в дискуссии, от которой, вероятно, получил бы удовольствие будучи математиком. Мне не приходится давать материал, который угрожает подорвать сообщество физиков. Вместо этого я имею возможность сидеть в стороне и задавать обычные вопросы типа: как математика может пролить свет на эту ситуацию?

Некоторые физики вначале надеялись на то, что только одно многообразие Калаби‑Яу может характеризовать скрытые измерения теории струн, но скоро стало понятно, что существует большое число таких многообразий, каждое из которых имеет свою уникальную топологию. В рамках каждого топологического класса существует непрерывное, бесконечно большое семейство многообразий Калаби‑Яу. Это положение, вероятно, легче всего проиллюстрировать с помощью торов. Тор представляет собой топологический эквивалент прямоугольника. Если скатать прямоугольный лист в цилиндр и соединить концы, то получится тор. Прямоугольник определяется высотой и шириной, которые могут принимать бесконечное число возможных значений. Все эти прямоугольники и соответствующие им торы являются топологически эквивалентными.

Они представляют собой часть одного и того же семейства, но их может быть бесконечное множество. То же справедливо для многообразий Калаби‑Яу. Мы можем взять многообразие, модифицировать его «высоту», «ширину» и другие параметры и получить бесконечное семейство многообразий одного и того же топологического типа. Таким образом, KKLT и связанная с ним концепция ландшафта не меняет эту ситуацию. В лучшем случае, наложение ограничений из физики, то есть обязательное квантование потоков, привело к очень большому, но конечному, а не бесконечному, числу многообразий Калаби‑Яу. Я полагаю, что это уже можно считать прогрессом.

Рис. 10.4.Две стороны, представляющие спор о ландшафте: а– физик Дэвид Гросс из Санта‑Барбары и б– физик Леонард Зюскинд из Стэнфорда (фото Зюскинда предоставила Анна Воррен (Anne Warren))

Лично я далек от мысли, что существует одно «данное богом» многообразие Калаби‑Яу или только несколько. Я всегда допускал, что все гораздо сложнее. В конце концов, еще никто не говорил, что достичь дна Вселенной и наметить ее внутреннюю геометрию легко.

Итак, что мы можем сделать с идеей ландшафта, которая так тревожит некоторых ученых? Я полагаю, что можно просто проигнорировать ее, так как ничего нельзя установить и доказать. Одни физики считают концепцию полезной, в то время как другие не видят в ней никакой пользы. Поскольку само понятие ландшафта теории струн возникло из рассмотрения бесчисленного количества состояний, многие из которых, если не все, связаны с многообразиями Калаби‑Яу, то если мы вообще придаем какое‑то значение этой идее с ландшафтом, нам необходимо лучше разобраться в многообразиях Калаби‑Яу.

Я сознаю, что мое заявление звучит несколько наивно. Существует множество возможных решений для теории струн и множество возможных геометрий, исходя из которых можно компактифицировать дополнительные измерения, и многообразия Калаби‑Яу представляют только верхушку айсберга. Я хорошо понимаю ситуацию и даже работаю над некоторыми из этих новых областей физики. Тем не менее большей части успехов, достигнутых в теории струн, и большей части гипотез мы обязаны использованием многообразий Калаби‑Яу как модели. Кроме того, часть альтернативных геометрий, которые сейчас исследуются, такие как не‑кэлеровы многообразия, получают путем деформирования или искривления многообразий Калаби‑Яу. Не существует прямого и быстрого пути к не‑кэлеровым геометриям, поэтому мы должны разобраться в многообразиях Калаби‑Яу прежде, чем приступить к изучению таких вещей, как не‑кэлеровы многообразия. Это обычная стратегия для всех областей исследования: вы ставите базовый лагерь, который служит знакомой точкой отправления, а затем отправляетесь в неизвестное.

Примечательно, что, несмотря на количество исследований в этой области с момента, как я доказал существование этих многообразий в 1976 году, появилось много простых, даже шокирующее простых вопросов, на которые мы не можем дать ответ, например сколько всего топологически различных многообразий Калаби‑Яу? Их число конечно или бесконечно? И связаны ли между собой многообразия Калаби‑Яу? Начнем с первого вопроса: сколько существует топологически различных видов или семейств многообразий и входит ли в них Калаби‑Яу? Скажем кратко: мы не знаем, хотя попытки ответить на этот вопрос были. Более чем 470 миллионов трехмерных Калаби‑Яу были созданы с помощью компьютера. Для них мы построили более чем 30 000 ромбов Ходжа, то есть по крайней мере 30 000 разных топологий. (Ромбы Ходжа, как вы помните из седьмой главы, представляют собой массивы размером 4Ч4, которые суммируют основную топологическую информацию о трехмерном многообразии.) Однако число может быть значительно больше, чем 30 000, так как два многообразия могут иметь один и тот же ромб Ходжа, но отличаться по топологии.

«Никаких систематических попыток не было сделано для оценки количества топологических типов главным образом потому, что пока не удается однозначно провести различия между такими трехмерными многообразиями, – объясняет физик Гарвардского университета Тристан Хабш. – Мы все еще не имеем четкого “идентификационного номера” для многообразия Калаби‑Яу. Мы знаем, что ромб Ходжа является частью его, но он не определяет многообразие однозначно. Он больше похож на регистрационный номер автомобиля».[191]

Мы не только не знаем, действительно ли число многообразий Калаби‑Яу чуть больше или намного больше, чем 30 000, но мы даже не знаем, конечное это число или нет. В начале 1980‑х годов я выдвинул гипотезу, что это число – конечное, но математик Майлз Рид из Университета Варвика придерживается противоположной точки зрения, утверждая, что оно бесконечно. Было бы неплохо узнать, кто из нас прав. «Я полагаю, что для физиков, которые надеются, что многообразий Калаби‑Яу очень мало, обнаружение того факта, что это число является бесконечным, только усугубит ситуацию, – говорит Марк Гросс из Калифорнийского университета, Сан‑Диего. – С математической точки зрения это не имеет значения. Мы же хотим знать ответ. Мы хотим осознать все количество многообразий Калаби‑Яу. Предположение о том, что их число конечно, правильное оно или неправильное, служит своего рода мерилом нашего понимания».[192] А с чисто практической точки зрения, если набор многообразий является конечным, независимо от его величины, вы всегда можете взять среднее значение. Но мы не знаем, как взять среднее значение бесконечного числа объектов, и это усложняет характеристику этих объектов.

До сих пор не выдвинуто аргументов против моей гипотезы. Вероятно, все известные нам методы построения многообразий Калаби‑Яу ведут только к конечному числу многообразий. Важно найти другие способы построения многообразий, но после двух десятков лет поисков никто не представил новый метод, ведущий к бесконечному набору многообразий. В 1993 году Марк Гросс ближе всех подошел к решению этой задачи. Он доказал, что если рассматривать Калаби‑Яу как четырехмерную поверхность с двухмерными бубликами, присоединенными к каждой из ее точек, то получается только конечное число поверхностей. «Подавляющее большинство известных многообразий Калаби‑Яу попадают в эту категорию, которая оказывается конечным множеством», – говорит Гросс. Это главная причина, по которой он поддерживает «конечную» гипотезу. С другой стороны, Гросс отмечает, что множество многообразий не попадают в эту категорию, и мы безуспешно пытаемся доказать что‑либо в отношении них.[193] Так что вопрос остается открытым.

Эта не разрешенная до конца проблема подводит нас ко второму, также нерешенному вопросу, впервые поставленному Ридом в 1987 году: существует ли способ, с помощью которого можно связать все многообразия Калаби‑Яу? Или в постановке Рида: «Все эти разновидности Калаби‑Яу обладают всеми видами топологических характеристик. Но если посмотреть на проблему шире, то можно заметить, что все это, возможно, одно и то же. Конечно, это безумная идея, которая, вероятно, неверна. Тем не менее…» Фактически, Рид считал идею настолько странной, что он никогда не называл ее гипотезой, предпочитая говорить вместо этого «фантазия». Но он все еще верит, что кто‑то, может быть, докажет ее.[194]

Рид допускал, что все многообразия Калаби‑Яу можно связать посредством чего‑то, названного им конифолдным переходом. Идея, разработанная в 1980‑е годы математиками Хербом Клеменсом из Университета Юты и Робертом Фридманом из Колумбийского университета, описывает, что происходит с многообразиями Калаби‑Яу при перемещении их через особый вид сингулярности. Как всегда, концепцию легче показать на двухмерном торе. Вспомним, что тор всегда можно представить как множество окружностей, присоединенных к окружности, представляющей дырку. Теперь возьмем одну из множества окружностей и сожмем ее в точку. Мы получим сингулярность, потому что любое другое место на поверхности является гладким. Итак, на этом крошечном участке, так называемой конифолдной сингулярности, два маленьких конуса сходятся вместе. Далее вы должны проделать операцию, которую математики называют хирургической и которая включает вырезание проблемной точки и замену ее двумя другими точками. Затем мы можем разделить эти две точки, разведя их так, чтобы получилась фигура, имеющая форму рогалика. Далее, мы изменим топологию рогалика, превратив его в топологический эквивалент – сферу. И на этом не будем останавливаться. Предположим, что на следующем этапе мы вытягиваем сферу так, что она снова становится похожей на рогалик. Затем мы соединяем концы рогалика с получением тора, но при этом дополнительно перекручиваем сферу. Таким образом, мы получаем тор с другой топологией и двумя дырками вместо одной. Если мы будем продолжать этот процесс неопределенно долгое время, включая дополнительные перекручивания или дырки, то мы, в конце концов, получим все возможные двухмерные торы. Следовательно, конифолдный переход представляет собой способ связывания топологически разных торов через промежуточную форму (в нашем случае сферу) и эта общая процедура работает и для других нетривиальных видов многообразий Калаби‑Яу.

Рис. 10.5.Конифолдный переход представляет собой процесс изменения топологии. В этом сильно упрощенном примере мы начинаем с бублика, сделанного из маленьких окружностей, и сжимаем одну из них в точку. Эта точка представляет собой вид сингулярности, где две формы, напоминающие конусы, сходятся вместе. Конусовидная сингулярность этого рода называется конифолд. Посредством математической версии хирургической операции мы заменяем эту сингулярную точку двумя точками и затем разводим их в стороны, чтобы бублик превратился в рогалик. Затем мы расширяем рогалик, чтобы получить объект, подобный сфере. Таким образом, мы перешли от бублика к топологически другому объекту – сфере

Рис. 10.6.Здесь представлен другой способ конифолдного перехода. Мы начинаем наши действия с многообразия Калаби‑Яу, расположенного слева. Это шестимерный объект, потому что он имеет пятимерную основу, будучи декартовым произведением двухмерной сферы (S ²) и трехмерной сферы (S ³), плюс одно дополнительное измерение для высоты. Эта поверхность Калаби‑Яу – элегантная и гладкая, потому что на вершине находится двухмерная сфера (S ²). Если сжать поверхность до точки, то мы получим промежуточное изображение – пирамиду. Точка на самом верху пирамиды представляет собой сингулярность – конифолд. Если мы выровняем верхушку, раздув точку в трехмерную сферу (S ³), а не в двухмерную (S ²), с которой мы начали, то мы придем к третьей модели – многообразию М. Суть идеи в том, что конифолдная сингулярность служит своего рода мостиком от одного многообразия Калаби‑Яу к другому (перенесено, с разрешения, с рисунка Тристана Хабша)

Шестимерные многообразия Калаби‑Яу не так просты. На нашем рисунке конифолдного перехода, предложенного Клеменсом, вместо сжатия окружности до точки мы сжали двухмерную сферу. Мы допускаем, что каждое компактное многообразие Калаби‑Яу имеет по крайней мере одну двухмерную сферу особого рода, расположенную внутри. Японский математик Сигефуми Мори доказал, что кэлеровы многообразия с позитивной кривизной Риччи имеют, по крайней мере, одну такую подповерхность, и мы ожидаем, что это условие также применимо к многообразиям Калаби‑Яу с риччи‑плоской метрикой. Каждое известное нам многообразие Калаби‑Яу имеет двухмерную сферу, так что наша интуиция нас не подвела. Но у нас все еще нет доказательства для многообразий Калаби‑Яу с риччи‑плоской метрикой. После сжатия нашей двухмерной сферы в точку мы можем заменить эту точку сжатой трехмерной сферой, которую затем можно снова расширить.

Если наше предыдущее допущение верно, то после такой операции многообразие больше не является кэлеровым, поскольку оно больше не имеет двухмерной сферы и, следовательно, не может быть многообразием Калаби‑Яу. Это уже что‑то другое – не‑кэлерово многообразие. Продолжая конифолдный переход, мы можем взять не‑кэлерово многообразие, вставить другую двухмерную сферу (где мы предварительно вставили трехмерную сферу) и получить другое многообразие Калаби‑Яу.

Хотя не Рид придумал конифолдный переход, он первым увидел, как его можно использовать для установления связи между всеми многообразиями Калаби‑Яу. Важно, что конифолдный переход состоит в получении из одной поверхности Калаби‑Яу другой, причем геометрия должна пройти через промежуточную стадию, на которой переходная форма представляет собой не‑кэлерово многообразие. Неужели все не‑кэлеровы многообразия связаны в том смысле, что из одного можно вылепить другое посредством сжатия, растяжения или вытягивания? Да, действительно, в этом и есть суть гипотезы Рида. Представьте себе гигантский кусок швейцарского сыра с бесчисленными крошечными дырками, или пузырьками. Алан Адамс говорит, что если вы живете в одном пузырьке, то вы не уйдете далеко, не столкнувшись с границей. «Но если вы не возражаете идти через сыр, то сможете попасть из одного пузырька в другой. Рид выдвинул гипотезу, что конифолдный переход может провести вас через сыр (не‑кэлерову часть) в другой пузырек», кэлерову часть, которая и представляет собой многообразие Калаби‑Яу.[195]

Проведем еще одну аналогию с сыром, где основное пространство заполнено собственно сыром и немного места оставлено для крошечных пузырьков, разбросанных тут и там. Эти маленькие пузырьки похожи на маленькие кусочки кэлеровых пространств, рассеянных среди намного большего не‑кэлерова пространства. В результате мы имеем огромное число не‑кэлеровых пространств, где кэлеровы многообразия составляют крошечное подмножество.

Общая стратегия, лежащая в основе гипотезы Рида, придает смысл идеям Марка Гросса. Он говорит, что не‑кэлеровы многообразия представляют значительно больший набор объектов и «если вы хотите видеть взаимосвязь вещей, то легче это сделать, согласившись, что они являются частью значительно большего не‑кэлерова набора».[196]

Ситуация напоминает игру «Шесть шагов до Кевина Бэйкона», участники которой должны не более чем за шесть переходов найти связь между загаданным актером и Кевином Бэйконом через актеров, вместе с которыми они снимались. Игра основана на теориях «тесного мира» и «шести рукопожатий». Адамс говорит, что аналогичную ситуацию мы наблюдаем с многообразиями Калаби‑Яу. «Неужели они все соседи? Можно ли превратить одно в другое путем деформирования? Конечно, нет. Но гипотеза Рида говорит, что каждое многообразие Калаби‑Яу можно деформировать во что‑то еще (не‑кэлерово многообразие), если знать все другие многообразия Калаби‑Яу. Адамс добавляет, что можно провести аналогию с группой людей, между которыми вы пытаетесь найти что‑то общее. «Нам только надо показать, что все они знают одного общительного парня и в таком случае все они являются частью одной группы – группы знакомых этого парня».[197]

Согласуется ли предположение Рида о связанности многообразий Калаби‑Яу с реальностью? В 1988 году Тристан Хабш и математик Мерилендского университета Пол Грин доказали, что гипотеза Рида применима к примерно 8000 многообразий Калаби‑Яу, которые включали большую часть известных на тот момент многообразий. Последующее обобщение этой работы показало, что более чем 470 миллионов конструкций Калаби‑Яу, почти все известные трехмерные многообразия, связаны между собой способом Рида.[198]

Конечно, мы не можем утверждать, что гипотеза справедлива во всех случаях, пока мы это не доказали. И более чем через двадцать лет после того, как Рид выдвинул свою гипотезу, ее доказательство представляет большую трудность. Я полагаю, что большая часть проблемы заключается в том, что не‑кэлеровы многообразия не слишком понятны с точки зрения математических стандартов. Мы сможем получить шанс доказать гипотезу Рида, когда лучше поймем эти многообразия. Сейчас мы не можем с уверенностью сказать, что эти многообразия (не‑кэлеровы) реально существуют или математически жизнеспособны. У нас нет четкого доказательства их связи со всеми многообразиями Калаби‑Яу, а только с несколькими отдельными случаями.

Если мы намерены детально изучить многообразия, в связи с которыми возникла сложнейшая головоломка с ландшафтом и сопутствующий ей космологический пазл, то целесообразно установить, действительно ли все многообразия Калаби‑Яу связаны между собой. Ключ к ответу на эти вопросы может лежать в новой пограничной области, касающейся не‑кэлеровых многообразий. Эти многообразия вызывают интерес не только потому, что они могут пролить свет на многообразия Калаби‑Яу, но и потому, что с их помощью может быть предложена компактификация геометрии, необходимая для расчета масс элементарных частиц в Стандартной модели, которую мы упустили из виду, пока физики увлекались стратегиями, опирающимися исключительно на многообразия Калаби‑Яу.

Мой коллега Мелани Бекер, физик Техасского аграрно‑технического университета, полагает, что не‑кэлеров подход может дать ответ. «Получить структуру и массы элементарных частиц, – говорит Бекер, – можно только через компактификацию не‑кэлеровых многообразий». Это может оказаться та геометрия, которая приведет нас к обетованной земле Стандартной модели. Чтобы понять точку зрения Бекера, вернемся в начало этой главы. Струнные теоретики ввели потоки, чтобы избавиться от безмассовых скалярных полей и таким образом стабилизировать размер и форму многообразия Калаби‑Яу. Но включение этих мощных полей, или потоков, может исказить геометрию самого многообразия, изменив метрику так, что это уже будет не кэлерово многообразие. «Когда вы включаете поток, ваше многообразие становится не‑кэлеровым – это совершенно другая игра в мяч, – говорит Бекер. – Проблема заключается в том, что это действительно целый новый раздел математики. Многое из математики, что применяют к многообразиям Калаби‑Яу, неприменимо к не‑кэлеровым многообразиям».[199] С точки зрения теории струн многообразия, независимо от того, являются они многообразиями Калаби‑Яу или не‑кэлеровыми, важны возможностью компактификации, то есть редукцией десяти измерений теории струн до четырех измерений нашего мира.

Самый легкий способ разбиения пространства заключается в расщеплении его на четырехмерные и шестимерные компоненты. Это, по сути, подход Калаби‑Яу. Мы обычно считаем эти два компонента полностью раздельными и не взаимодействующими между собой. Таким образом, десятимерное пространство‑время является декартовым произведением его четырех‑ и шестимерных частей, и, как мы видим, вы можете визуализировать его с помощью модели Калуцы‑Клейна, которую мы обсуждали в первой главе: в этой модели наше бесконечное четырехмерное пространство‑время похоже на бесконечно длинную линию, за исключением того, что эта линия имеет толщину – крошечный круг, в котором находится дополнительное измерение. Поэтому все, что мы действительно имеем, так это декартово произведение круга и линии, другими словами – цилиндр. В случае не‑кэлерова многообразия четырех‑ и шестимерные компоненты не являются независимыми.