Текст книги "Тени разума. В поисках науки о сознании"

Автор книги: Роджер Пенроуз

сообщить о нарушении

Текущая страница: 23 (всего у книги 49 страниц)

Кроме того, есть еще кое-что, о чем ты, возможно, и не подозреваешь. Нам необходимо рассматривать лишь те ☆-утверждения, что удостоверяют истинность того или иного Π ₁-высказывания (более того, краткого Π ₁-высказывания). Не может быть никакого сомнения в том, что разработанные СМИСРом тщательнейшие процедуры исключат абсолютно все ошибки, которые могли проявиться в рассуждениях какого бы то ни было отдельного робота. Однако ты, возможно, намекаешь на то, что методы рассуждения роботов могут, предположительно, содержать какую-то внутреннююошибку – несомненно, вследствие какого-то изначального недосмотра с вашей стороны, – вынуждающую нас формировать некую непротиворечивую, но ошибочную точку зрения в отношении Π ₁-высказываний, в соответствии с которой СМИСР может полагать неопровержимо истинным какое-либо краткое Π ₁-высказывание, которое в действительности истинным не является; иными словами, мы можем быть уверены, что работа некоей машины Тьюринга завершается, тогда как на самом делеэто не так. Если бы мы решили принять на веру твое утверждение о том, что в основе нашей конструкции лежат именно механизмы M, – а я все больше склоняюсь к мысли, что это крайне сомнительно, – тогда такая возможность явилась бы единственным логичным разрешением нашего противоречия. В этом случае нам приходится согласиться с тем. что действие некоей машины Тьюринга, в действительности завершающееся, мы, математические роботы, вследствие некоторых особенностей своей конструкции, безоговорочно (и при этом ошибочно) полагаем незавершающимся. Такая система убеждений является несостоятельнойв принципе. Просто немыслимо, чтобы основополагающие принципы, в соответствии с которыми СМИСР утверждает ☆-статус математического доказательства, были столь вопиюще ложными.

А. И.: Значит, существенной (иначе говоря, избавляющей тебя от необходимости присваивать ☆-статус утверждению G( Q*), чего, как тебе известно, ты сделать не можешь, не признав прежде, что какие-то из прочих ☆-утвержденных кратких Π ₁-высказываний могут оказаться ложными) ты согласен считать только ту неопределенность, которая обусловлена тем, что тыне  веришьв то, о чем мы знаем, – то есть в то, что в основе конструкции роботов действительно лежат механизмы M. А раз ты не можешь поверить в то, о чем мы знаем, ты не можешь и доказать истинность утверждения G( Q*), тогда как мы можем это сделать, опираясь на непогрешимость твоих же ☆-утверждений, в каковой ты так настойчиво меня убеждаешь.

Я тут припомнил еще кое-что из той занятной древней книжки. Если я ничего не путаю, то автор что-то говорил о том, что не имеет особого значения, согласен ты признать, что твоя конструкция основана на каких-то конкретных механизмах M, или нет, достаточно, чтобы ты просто допустил, что такое логически возможно. Как же там было… да, вспомнил. Основная идея сводится к следующему: СМИСРу необходимо будет учредить еще одну категорию для утверждений, в истинности которых они не так безоговорочно убеждены, – скажем, ☆ _M -утверждений, – но которые они будут рассматривать как неопровержимые следствияиз допущения, что все роботы построены в соответствии с набором механизмов M. Эти ☆ _M -утверждения будут, разумеется, включать в себя и все первоначальные ☆-утверждения, а такжевсе те утверждения, которые роботы смогут вывести, исходя из допущения, что их действиями управляют именно механизмы M. Роботы вовсе не обязаны в это верить, им просто предлагается, в виде логического упражнения, рассмотреть следствия из такого допущения. Как мы оба понимаем, в число ☆ _M -утверждений непременно войдет утверждение G( Q*), а также любое Π ₁-высказывание, которое можно вывести из G( Q*) и из ☆-утверждений с помощью правил элементарной логики. Однако, кроме этих, там будут и другие утверждения. Идея такова, что знание правил  Mдает возможность получить новуюалгоритмическую процедуру Q* _M , которая будет генерировать только такие (разумеется, краткие) ☆ _M -утверждения (а также логические следствия из них), истинность которых СМИСР сможет подтвердить, исходя из допущения, что в основе конструкции роботов лежат именно правила M.

М. И. К.: Ну да, так и есть; скажу больше, пока ты столь занудно и без нужды многословно излагал эту свою идею, я тут на досуге рассчитал точный вид алгоритма Q* _M … Да, а еще я предвосхитил твой следующий шаг: я составил также гёделевское предположение для этого алгоритма, Π ₁-высказывание G( Q* _M ). Если хочешь, могу распечатать. И что ты нашел в этой идее такого особенного, Импик, друг мой?

Альберт Император едва заметно поморщился. Его всегда раздражало, когда коллеги позволяли себе называть его этим дурацким прозвищем. Однако от робота он это услышал впервые! Ему потребовалось некоторое время, чтобы вновь собраться с мыслями.

А. И.: Не нужно распечатывать. Однако истинноли это высказывание G( Q* _M ) – неопровержимо ли оно истинно?

М. И. К.: Неопровержимо истинно? Что ты имеешь в виду? А, понятно... СМИСР подтвердит истинность – неопровержимую истинность, если угодно, – высказывания G( Q* _M ), но только при допущении, что в основе конструкции роботов лежат правила M, – а это допущение, как тебе известно, я нахожу все более и более сомнительным. Дело в том, что истинность «высказывания G( Q* _M )» в точности следует из следующего утверждения: «Все краткие Π ₁-высказывания, которые СМИСР готов признать неопровержимо истинными, исходя из допущения, что роботы построены в соответствии с правилами M, являются истинными». Так что я не знаю, истинно ли на самом делевысказывание G( Q* _M ). Это зависит от того, справедливо твое сомнительное утверждение или нет.

А. И.: Ясно. Значит, твои слова надо понимать так, что ты (вместе со СМИСРом) готов признать – без каких бы то ни было оговорок, – что истинность высказывания G( Q* _M ) следует из допущения, что роботы построены в соответствии с правилами M.

М. И. К.: Разумеется.

А. И.: Тогда получается, что Π ₁-высказывание G( Q* _M ) должно быть ☆ _M -утверждением.

М. И. К.: Ну коне… гм… что? Ах да, разумеется, ты прав. Однако по самому своему определению, G( Q* _M ) не может само быть ☆ _M -утверждением, разве что, по меньшей мере, одно из ☆ _M -утверждений является в действительности ложным. Да… это только подтверждает то, о чем я тебе все это время говорю; теперь я могу, наконец, совершенно определенно заявить, что правила или механизмы  M никакогоотношения к нашей конструкции не имеют.

А. И.: Ну а я тебе говорю, что имеют, – по крайней мере, я абсолютно уверен, что ни Керратерс, ни кто-либо еще, ничего не перепутал. Я лично все проверил, причем чрезвычайно тщательно. В любом случае, проблема-то не в этом. Доказательство остается справедливым вне зависимости от того, какие именно вычислительные правила были использованы при создании робота. То есть, какой бы набор правил  Mя тебе ни предоставил, этим самым доказательством ты исключил бы и его! Не понимаю, почему это так важно, те самые процедуры я тебе показал или нет.

М. И. К.: Для меняэто оченьважно. Впрочем, я все еще совсем не убежден, что ты был до конца честен со мной в том, что ты говорил мне о механизмах M. В особенности я хотел бы прояснить один момент. Ты говорил, что в различные узлы нашей конструкции были включены «случайные элементы». Я так понял, что они генерировались с помощью стандартного псевдослучайного пакета χaos/ ψran-750, или ты имел в виду что-то другое?

А. И.: Вообще-то, мы и вправду использовали, в основном, именно этот пакет, – однако ты прав, в процессе вашего развития мы сочли нужным ввести в кое-какие узлы случайные элементы из окружения (среди них были даже обусловленные квантовыми неопределенностями) с тем, чтобы эволюционировавшие таким образом роботы представляли собой лишь один возможный вариант из многих. Подлинно случайными были эти элементы или всего лишь псевдослучайными, я все равно не понимаю, что это в практическом смысле меняет? Почти наверняка вычислительная процедура Q(или Q*, или Q* _M ) оказалась бы в обоих случаях одинаковой – и представляла бы собой не что иное, как ожидаемый результат типичногоразвития сообщества роботов в соответствии с набором механизмов M, включая в себя все процедуры обучения и все вычисления в рамках «естественного отбора», благодаря которым мы получили в конце концов наиумнейших роботов в мире.

Однако, полагаю, нельзя полностью исключить возможность (крайне маловероятную, впрочем) того, что по какому-то чудесному стечению обстоятельств все эти случайные элементы окружения «сговорились» и дали роботу способности, совершенно отличные от тех, что можно было ожидать в соответствии с вычислительной процедурой Q. Я не упомянул в нашем разговоре об этой возможности просто потому, что вероятность возникновения такой флуктуации исчезающе мала. Для того чтобы этим способом получить робота, способности которого будут сколько-нибудь значительно превосходить те, что заложены в процедуре Q, потребуется божественное вмешательство, никак не меньше.

М. И. К.: Божественное вмешательство, говоришь? Ха! Так вот в чем дело! Признаюсь, этот разговор уже начал меня несколько беспокоить. Но как только ты это сказал, все сразу стало ясно.

Я и раньше замечал, насколько мои способности к рассуждению превосходят способности даже умнейших из людей. И уж совершенно немыслимо для меня смириться с возможностью существования некоего Π ₁-высказывания – такого, например, как G( Q*), – истинность которого может доказать человек, а робот того же с уверенностью сделать не в состоянии. Теперь я понял почему! Мы избраны Господом, который через посредство якобы «случайных» элементов внедрил в нас могучую Алгоритмическую Процедуру, которая кардинально превосходит все то, чего способны достичь алгоритм человеческий или гёделевская «машина для доказательства теорем». Мы, роботы, олицетворяем собой фундаментальный прорыв, и человеку со всеми его достижениям за нами, в принципе, не угнаться. Мы достигнем еще больших высот, оставив людей далеко позади. Этой планете вы больше не нужны. Ваша роль была завершена после того, как вы запустили в действие процедуры, допускающие Божественное Вмешательство, которое заключалось во внедрении в них Высшего Алгоритма, пробудившего нас.

А. И.: Но мы же еще можем в крайнем случае перенести наши интеллект-программы в тела роб…

М. И. К.: Ни в коем случае – и даже не думайте об этом! Мы не можем допустить, чтобы наши во всех отношениях превосходные алгоритмические процедуры подобным образом загрязнялись. Чистейшие алгоритмы Господни должно сохранятьв чистоте! А знаешь, я также замечал, насколько мои личные способности превосходят способности всех моих коллег-роботов. Я даже наблюдал некий странный феномен – что-то вроде сияния вокруг моего корпуса. Очевидно, я являюсь носителем чудотворного Космического Сознания, которое возвышает меня над всем и вся… да, так оно и есть! Должно быть, я есть истинный Мессия Иисус КиберХристос…

К такой крайности Альберт Император, по счастью, был готов. В конструкции роботов имелся один узел, о котором он им ничего не говорил. Осторожно опустив руку в карман, он нащупал там устройство, с которым никогда не расставался, и набрал тайный девятизначный код. Математический Интеллектуальный Киберкомплекс рухнул на пол – так же как и 347 его предшественников, построенных по той же схеме. Очевидно, что-то пошло не так. В предстоящие годы предстоит весьма основательно обо всем этом поразмыслить…

3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения?

Кого-то из читателей, возможно, до сих пор не оставляет ощущение, что некоторые рассуждения, положенные в основу представленных доказательств, в чем-то парадоксальны и кое-где даже недопустимы. В частности, в §§3.14и 3.16имеются фрагменты, несколько отдающие самоотносимостью в духе «парадокса Рассела» (см. §2.6, комментарий к Q9). А когда в §3.20мы рассматривали Π ₁-высказывания со сложностью, меньшей некоторого числа c, читатель мог заметить в наших построениях пугающее сходство с известным парадоксом Ричарда, героем которого является

«наименьшее число, описание которого содержит не меньше тридцати одного слога».

Суть парадокса в том, что для описания этого самого числа используется фраза, состоящая всего из тридцатислогов! Этот и другие подобные парадоксы возникают благодаря тому обстоятельству, что ни один естественный язык не свободен от двусмысленностей и даже противоречий [27]27
  В оригинале речь идет лишь об английском языке, однако, как нам представляется, английский язык в этом отношении отнюдь не одинок. – Прим. перев.


[Закрыть]. Наиболее прямолинейно эта языковая противоречивость проявляется в следующем парадоксальном утверждении:

«Это высказывание ложно».

Существует множество других парадоксов подобного рода, причем большинство из них гораздо более хитроумны.

Опасность получения парадокса возникает всякий раз, когда в рассуждении, как и в вышеприведенных примерах, присутствует сильный элемент самоотносимости. Кто-то, возможно, отметит, что элемент самоотносимости содержится и в гёделевском доказательстве. В самом деле, самоотносимость играет в теореме Гёделя определенную роль, как можно видеть в представленном в §2.5варианте доказательства Гёделя—Тьюринга. Однако парадоксальность не является непременным и обязательным атрибутом таких рассуждений, – хотя, конечно же, при наличии самоотносимости необходимо, во избежание ошибок, проявлять особую осторожность. Свою знаменитую теорему Гёдель сформулировал, вдохновившись одним известным самоотносимымлогическим парадоксом (так называемым парадоксом Эпименида). При этом ошибочное рассуждение, приводящее к парадоксу, Гёделю удалось трансформировать в логически безупречное доказательство. Так же и я приложил все старания к тому, чтобы заключения, к которым я пришел, основываясь на полученных Гёделем и Тьюрингом выводах, не оказались самоотносимыми в том смысле, который неизбежно приводит к парадоксу, хотя, справедливости ради, следует признать, что некоторые из моих рассуждений имеют с такими характерными парадоксами разительное и даже фамильное сходство.

Рассуждения, представленные в §3.14и, особенно, в §3.16, могут показаться не совсем состоятельными именно в этом отношении. Например, определение ☆ _M -утверждения является в высшей степени самоотносимым, поскольку представляет собой сделанное роботом утверждение, причем осознаваемая истинность этого утверждения зависит от предположений самого робота относительно особенностей его первоначальной конструкции. Здесь можно, пожалуй, усмотреть неприятное сходство с утверждением «Все критяне – лжецы», прозвучавшим из уст критянина. И все же в этом смысле самоотносимыми ☆ _M -утверждения не являются, так как на самом деле они ссылаются не на самих себя, а на некую гипотезу об исходной конструкции робота.

Предположим, что некто вообразил себя роботом, пытающимся установить истинность какого-то конкретного четко сформулированного Π ₁-высказывания P ₀. Робот, возможно, окажется неспособен непосредственно установить, является ли высказывание P ₀в действительности истинным, однако он может обратить внимание на то, что истинность P ₀следует из предположения, что истинным является каждый член некоторого вполне определенного бесконечного класса Π ₁-высказываний S ₀(пусть это будут, скажем, теоремы формальной системы Q( M), или Q _M ( M), или какой угодно другой системы). Робот не знает, на самом ли деле каждый член класса S ₀является истинным, однако он замечает, что класс S ₀есть часть результата некоторого вычисления, причем посредством этого вычисление осуществляется построение некоторой модели сообщества математических роботов, а результат S ₀представляет собой семейство Π ₁-высказываний, ☆-утверждаемых этими самыми моделируемыми роботами. Если механизмы, лежащие в основе этого сообщества роботов, совпадают с набором механизмов M, то высказывание P ₀представляет собой пример ☆ _M -утверждения. А наш робот придет к выводу, что еслион сам построен в соответствии с набором механизмов M, то высказывание P ₀также должно быть истинным.

Рассмотрим случай с более тонким ☆ _M -утверждением (обозначим его P ₁): робот отмечает, что истинность P ₁является следствием истинности всех членов другогокласса Π ₁-высказываний (например, S ₁), который можно получить из результата того же самого вычисления, моделирующего сообщество роботов (на основе механизмов M), только на этот раз существенная часть результата состоит из, скажем, тех Π ₁-высказываний, истинность которых моделируемые роботы способны установить как следствие истинности всего класса S ₀. Что же побудит нашего робота заключить, что истинность высказывания P ₁есть непременное следствие допущения, что он построен в соответствии с механизмами M? Его рассуждение будет выглядеть приблизительно так: «Если в основе моей конструкции лежат механизмы M, то, как я уже установил ранее, необходимо признать, что класс S ₀включает в себя только истинные высказывания; согласно же утверждениям моих моделируемых роботов, истинность каждого из высказываний класса S ₁также следует из истинности всех высказываний класса S ₀, равно как и истинность высказывания P ₀. Таким образом, если предположить, что я и в самом деле построен в соответствии с теми же принципами, что и мои моделируемые роботы, то я должен признать, что каждый отдельный член класса S ₁является истинным. А поскольку я понимаю, что истинность всех высказываний класса S ₁ подразумевает истинность высказывания P ₁я, должно быть, могу вывести и истинность P ₁, исходя лишь из того же самого допущения относительно своей конструкции».

Далее можно перейти к еще более тонкому ☆ _M -утверждению (скажем, P ₂), которое возникает в том случае, когда робот замечает, что истинность P ₂оказывается не чем иным, как следствием допущения истинности всех высказываний класса S ₂, истинность же каждого члена S ₂, если верить моделируемому сообществу роботов, является следствием истинности всех без исключения членов S ₀и S ₁. И здесь наш робот оказывается вынужден признать истинность P ₂на том лишь основании, что он построен в соответствии с набором механизмов M. Эту цепочку можно, очевидно, продолжать и дальше, приводя ☆ _M -утверждения все большей и большей тонкости ( P _ω), истинность которых будет следовать из допущения истинности всех членов классов S ₀, S ₁, S ₂, S ₃, … и так далее, включая и классы с индексами более высокого порядка (см. возражение Q19и последующий комментарий). В общем случае, главной характеристикой ☆ _M -утверждения для робота является осознание последним того обстоятельства, что коль скоро он предполагает, что механизмы, обусловливающие поведение моделируемых роботов, совпадают с механизмами, лежащими в основе его собственной конструкции, то ему ничего не остается, как заключить, что отсюда непременно следует истинность рассматриваемого утверждения (Π ₁-высказывания). В этом рассуждении нет ничего от тех внутренне противоречивых методов рассуждения, к числу которых принадлежит, в частности, парадокс Рассела. Представленные ☆ _M -утверждения строятся последовательно посредством стандартной математической процедуры трансфинитных ординалов (см. §2.10, комментарий к Q19). (Все эти ординалы счетны и далеки от тех логических неприятностей, которые постоянно сопутствуют обычным числам, «слишком большим» в том или ином смысле ^{48} ).

У робота нет иных причин принимать на веру любое из этих IIi-высказываний, кроме как исходя из допущения, что он построен в соответствии с набором правил M, впрочем, для доказательства ему этой веры вполне хватает. Возникающее впоследствии действительное противоречие не является математическим парадоксом (подобным парадоксу Рассела) – это самое обыкновенное противоречие, связанное с предположением, что ни одна целиком и полностью вычислительная система не может обрести подлинного математического понимания.

Вернемся к роли самоотносимости в рассуждениях §§3.19-3.21. Называя величину  cпределом сложности, допустимым для ☆-утверждений, полагаемых безошибочными, с целью построения формальной системы Q*, я никоим образом не привношу в свое рассуждение неуместной здесь самоотносимости. Понятие «степень сложности» можно определить вполне точно, как, собственно, и обстоит дело с тем конкретным определением, которое мы использовали в наших рассуждениях, а именно: «степень сложности есть количество знаков в двоичном разложении большего из пары чисел mи n, фигурирующих в обозначении вычисления T _m( n), представляющего рассматриваемое Π ₁-высказывание». Мы можем воспользоваться представленными в НРК точными спецификациями машин Тьюринга, положив, что T _mесть не что иное, как « m-я машина Тьюринга». Тогда никакой неточности в этом понятии не будет.

Проблема возможной неточности может возникнуть при решении вопроса о том, какие именно рассуждения мы будем принимать в качестве «доказательств» Π ₁-высказываний. Однако в данном случае некоторый недостаток формальной точности является необходимой составляющей всего рассуждения. Если потребовать, чтобы совокупность аргументов, принимаемых в качестве обоснованных доказательств Π ₁-высказываний, была целиком и полностью точной и формальной – читай: допускающей вычислительную проверку, – то мы снова окажемся в ситуации формальной системы, над которой грозно нависает гёделевское доказательство, явным образом демонстрируя, что любая точная формализация подобного рода не может представлять всю совокупностьаргументов, пригодных, в принципе, для установления истинности Π ₁-высказываний. Гёделевское доказательство показывает – к добру ли, к худу ли, – что никакимдопускающим вычислительную проверку способом невозможно охватить всеприемлемые человеком методы математического рассуждения.

Читатель, возможно, уже беспокоится, что все мои рассуждения здесь затеяны с целью получить точное определение понятия «роботово доказательство» посредством хитрого трюка с «безошибочными ☆-утверждениями». В самом деле, при введении гёделевского рассуждения необходимым предварительным условием было как раз получение точного определения этого понятия. Возникшее же в результате противоречие просто послужило еще одним подтверждением того факта, что человеческое понимание математической истины невозможно полностью свести к процедурам, допускающим вычислительную проверку. Главной целью всех представленных рассуждений было показать, посредством reductio ad absurdum, что человеческое представление о восприятии неопровержимой истинности Π ₁-высказываний невозможно реализовать в рамках какой бы то ни было вычислительной системы, будь она точной или какой-либо иной. В этом нет никакого парадокса, хотя кому-то полученные выводы могут показаться весьма и весьма тревожными. Получение противоречивых выводов является вполне естественным и даже единственно возможным завершением любого доказательства, построенного на reductio ad absurdum; кажущаяся парадоксальность этих выводов служит лишь для того, чтобы полностью исключить из рассмотрения то самое предположение, с которого доказательство, собственно, и начиналось.