Текст книги "Тени разума. В поисках науки о сознании"

Автор книги: Роджер Пенроуз

сообщить о нарушении

Текущая страница: 13 (всего у книги 49 страниц)

Оговорка «в принципе» используется в наших рассуждениях отнюдь не просто так. Если допустить, что некий математик располагает доказательством или опровержением некоторого Π ₁-высказывания, то его разногласия с другими математиками касательно обоснованности данного доказательства разрешимы только в том случае, если у этих самых других математиков хватит времени, терпения, объективности, способностей и решимости с вниманием и пониманием воспроизвести всю – возможно, длинную и хитроумную – цепочку его рассуждений. На практике же математики вполне могут отказаться от всех этих трудов еще до полного разрешения спорных вопросов. Однако подобные проблемы к данному исследованию отношения не имеют. Так как, по всей видимости, существует все же некий вполне определенный смысл, в котором то, что в принципепостижимо для одного математика, оказывается равным образом (если отвлечься на время от возражения Q11) постижимо и для другого, – вообще, для любого человека, способного мыслить. Рассуждения бывают весьма громоздкими, а участвующие в них концепции могут показаться чересчур тонкими или туманными, и тем не менее существуют достаточно убедительные основания полагать, что способность к пониманию одного человека не включает в себя ничего такого, что в принципе недоступно другому человеку. Это применимо и к тем случаям, когда для воспроизведения во всех подробностях чисто вычислительной части доказательства может потребоваться помощь компьютера. Возможно, не совсем разумно ожидать, что математик-человек будет лично выполнять все необходимые для такого доказательства вычисления, и все же он, вне всякого сомнения, сможет без особого труда понять и проверить каждый отдельныйего этап.

Здесь я говорю исключительно о сложности математического доказательства и ни в коем случае не о возможных существенных и принципиальных вопросах, которые могут вызвать среди математиков разногласия в отношении выбора допустимых методов рассуждения. Разумеется, я встречал математиков, утверждавших, что они в своей практике сталкивались с такими математическими доказательствами, которые были совершенно вне их компетенции: «Я уверен, что, сколько бы я ни старался, мне никогда не понять того-то или такого-то; этот метод рассуждения мне не по зубам». В каждом конкретном случае подобного заявления необходимо индивидуально решать, действительно ли данный метод рассуждения в принципевыходит за рамки системы убеждений этого математика – каковой случай мы рассматривали в комментарии к возражению Q11, – или он вообще-то смог бы разобраться в принципах, на которых основано это доказательство, если бы только приложил больше сил и затратил больше времени. Как правило, справедливым оказывается последнее. Более того, источником отчаяния нашего математика чаще всего становится туманный стиль изложения или ограниченные лекторские способности «такого-то», а вовсе не то, что какие-то существенные и принципиальные моменты «того-то» действительно выходят за рамки его способностей. Толковое изложение, на первый взгляд, непонятного предмета чудесным образом устраняет все прежние недоразумения.

Чтобы еще раз подчеркнуть, что я имею в виду, скажу следующее: сам я часто посещаю математические семинары, на которых не слежу (а иногда и не пытаюсь следить) за подробностями представляемых доказательств. Наверное, если бы я сел где-нибудь и обстоятельно изучил эти самые доказательства, я и в самом деле смог бы проследить за мыслью автора – хотя, возможно, это удалось бы мне лишь при наличии дополнительной литературы или устных пояснений, которые восполнили бы возможные пробелы в моем образовании или же в материалах самого семинара. Я знаю, что в действительности я этого делать не стану. У меня почти наверняка не окажется на это ни времени, ни достаточного количества внимания, ни, впрочем, особого желания. Но при этом я вполне могу принять представленный на семинаре результат на веру по всевозможным «несущественным» причинам – например, потому что полученный результат правдоподобно «выглядит», или потому что у лектора надежная репутация, или потому что другие слушатели, которых я считаю более сведущими в таких делах, нежели я сам, этот результат оспаривать не стали. Конечно, я могу ошибиться во всех своих умозаключениях, а результат вполне может оказаться ложным – либо истинным, но никоим образом не следующим из представленного доказательства. Все эти тонкости никак не влияют на ту принципиальную позицию, которую я здесь представляю. Результат может оказаться истинным и адекватно доказанным, и в таком случае я, в принципе, могу проследить за ходом всего доказательства – или же ошибочным, в каковом случае, как уже упоминалось, он нас в данном контексте не интересует (см. §3.2и §3.4). Возможные исключения могут составить лишь те случаи, когда представляемый материал касается каких-либо спорных аспектов теории бесконечных множеств или опирается на какой-то необычный метод рассуждения, который может быть признан сомнительным в соответствии с теми или иными математическими воззрениями (что, само по себе, может заинтриговать меня до такой степени, что я впоследствии действительно попытаюсь это доказательство повторить). Как раз такие исключительные ситуации мы обсуждали выше, в комментарии к возражению Q11.

Что касается подобных соображений относительно природы математической точки зрения, на практике многие математики могут и не иметь четкого представления о том, каких именно фундаментальных принципов они в действительности придерживаются. Однако, как уже было сказано выше, в комментарии к Q11, если математик, у которого нет определенной позиции в отношении того, следует ли принимать, скажем, некую «аксиому Q», желает проявить осмотрительность, то ничто не мешает ему изложить требующие принятия аксиомы Qрезультаты в следующем виде: «Из принятия аксиомы Qследует, что…». Разумеется, математики, несмотря на всю их пресловутую педантичность, проявляют в подобных вопросах должную осмотрительность далеко не всегда. Нельзя отрицать и того, что время от времени им удается допускать и вовсе очевидные ошибки. И все же все эти ошибки – если они допущены по недосмотру, а не следуют из тех или иных непоколебимых принципов – являются исправимыми. (Как упоминалось ранее, возможность действительного применения математиками в качестве основы для своих решений необоснованного алгоритма будет подробно рассмотрена в §3.2и §3.4. Поскольку эта возможность не противоречитвыводу G, она не является предметом настоящего обсуждения.) В данном случае нас не занимают исправимые ошибки, так как к вопросу о принципиальной достижимости тех или иных результатов они никакого отношения не имеют. А. вот возможные неопределенности в действительных взглядах математиков, безусловно, требуют дальнейшего обсуждения, которое и приводится ниже.

Q13. У математиков нет абсолютно определенных убеждений относительно обоснованности или непротиворечивости используемых ими формальных систем – как нет и однозначного ответа на вопрос о том, «пользователями» какихименно формальных систем они себя полагают. Не подвергаются ли их убеждения постепенному размыванию по мере того, как формальные системы все более удаляются от области феноменов, доступных непосредственному интуитивному или экспериментальному восприятию?

И правда, нечасто встретишь математика, способного похвалиться прочно устоявшимися и непоколебимо непротиворечивыми убеждениями, когда речь заходит об основах предмета. Кроме того, по мере накопления опыта математик вполне может изменить свои взгляды относительно того, что считать неопровержимо истинным, если он вообще склонен считать неопровержимо истинным что бы то ни было. Можно ли, например, быть совершенно и полностью уверенным в том, что число 1 отлично от числа 2? Если говорить о некоей абсолютнойчеловеческой уверенности, то не совсем ясно, можно ли подобное понятие как-то однозначно определить. Однако какую-то точку опоры все же выбрать необходимо. Вполне приемлемой точкой опоры может стать принятие в качестве неопровержимо истинной некоторойсистемы убеждений и принципов, от которой уже можно двигаться в своих рассуждениях дальше. Разумеется, нельзя забывать и о том, что многие математики вовсе не имеют определенного мнения относительно того, что именно можно считать неопровержимо истинным. Таких математиков я попросил бы какую-никакую опору для себя все же выбрать и просто быть готовыми при необходимости впоследствии ее сменить. Как показывает доказательство Гёделя, какую быпозицию математик в этом случае ни занял, ее все равно невозможно полностью уместить в рамки правил любой постижимой формальной системы (а если и возможно, то этот факт невозможно однозначно установить). И дело даже не в том, что та или иная конкретная позиция постоянно изменяется; система убеждений, полностью охватываемая рамками любой(достаточно обширной) формальной системы F, неизбежно должна также простирается и за пределы доступной Fобласти. Любая позиция, среди неопровержимых убеждений которой имеется и убеждение в обоснованности системы F, должна также включать в себя и убежденность в истинности гёделевского предположения [15]15
  Пояснение к используемым здесь обозначениям можно найти в §2.8. Впрочем, G( F) без ущерба для смысла рассуждения можно было бы везде заменить на Ω( F), в чем мы убедимся ниже.


[Закрыть] G( F). Убежденность в истинности G( F) не представляет собой изменения позиции; эта убежденность уже подразумевается неявно в исходной позиции, допускающей принятие истинности формальной системы F, пусть даже поначалу это и не очевидно.

Безусловно, всегда существует возможность того, что в выводы, получаемые математиком на основании исходных посылок какой-либо конкретной точки зрения, закрадется ошибка. Одна только возможностьвозникновения такой ошибки – даже если в действительности никакой ошибки допущено не было – может привести к уменьшению степени убежденности, которую математик питает в отношении своих выводов. Однако такое «постепенное размывание» нас, вообще говоря, не занимает. Подобно действительным ошибкам, оно «исправимо». Более того, если доказательство было проведено действительно корректно, то чем дольше его изучаешь, тем, как правило, более убедительными представляются полученные в нем выводы. «Постепенное размывание» математик может испытать на практике, но не в принципе, что возвращает нас к обсуждению возражения Q12.

Таким образом, вопрос перед нами встает здесь следующий: имеет ли место постепенное размывание в принципе, т.е. может ли математик счесть, скажем, обоснованность некоторой формальной системы Fнеопровержимой, тогда как в обоснованности более сильной системы F* он будет лишь «практически уверен». Этот вопрос не представляется мне сколько-нибудь серьезным, коль скоро, какой бы ни была система F, мы вправе настаивать, чтобы она включала в себя обычные логические правила и арифметические операции. Упомянутый выше математик, который верит в обоснованность системы F, должен также верить в ее непротиворечивость, а следовательно, и в истинность гёделевского высказывания G( F). Таким образом, одни только выводы из формальной системы Fне могут охватывать всей совокупности математических убеждений математика, какой быэта система ни была.

Однако следует ли считать высказывание G( F)  неопровержимоистинным всякий раз, когда мы признаем неопровержимо обоснованной формальную систему F? Полагаю, утвердительный ответ на этот вопрос не должен вызывать никаких сомнений; и это тем более так, если придерживаться в отношении воспроизведения математического доказательства той «принципиальной» позиции, которой мы придерживались до сих пор. Единственная возникающая в этой связи реальная проблема касается деталей фактического кодирования утверждения «система F непротиворечива» в форме арифметического утверждения (Π ₁-высказывания). Сама по себе базовая идеянеопровержимо очевидна: если система Fявляется обоснованной, то она, безусловно, непротиворечива. (Так как если бы она не была непротиворечивой, то среди ее утверждений присутствовало бы утверждение «1 = 2», т.е. система была бы необоснованной.) Что касается деталей этого самого кодирования, то здесь нам вновь предстоит иметь дело с различием между «принципиальным» и «практическим» уровнями. Не составит особого труда убедиться в том, что такое кодирование в принципе возможно (хотя сам процесс убеждения может занять некоторое время), однако убедиться в корректном выполнении того или иного конкретного  действительногокодирования – дело совсем другое. Детали кодирования, как правило, бывают в известной степени произвольными и в разных изложениях могут весьма значительно отличаться. Возможно, где-то закрадется незначительная ошибка или просто опечатка, которая, в формальном смысле, должна бы сделать недействительным данное конкретное предназначенное для выражения « G( F)» теоретико-числовое предположение, однако в действительности этого не происходит.

Надеюсь, читатель понимает, что возможность возникновения таких ошибок не существенна, когда речь заходит о том, что мы подразумеваем здесь под принятием предположения G( F) в качестве неопровержимой истины. Я, разумеется, говорю о  действительномпредположении G( F), а не о возможном случайном предположении, непреднамеренно сформулированном благодаря опечатке или незначительной ошибке. В этой связи мне вспоминается одна история о великом американском физике Ричарде Фейнмане. Фейнман, по-видимому, объяснял одному из студентов какое-то понятие, но оговорился. Когда студент выразил недоумение, Фейнман вспылил: «Не слушайте, что я говорю; слушайте, что я имею в виду!» [16]16
  Источник цитаты мне, к сожалению, обнаружить не удалось. Однако, как справедливо заметил Рихард Иожа, точная формулировка слов Фейнмана не имеет никакого значения, поскольку послание, которое они несут, применимо и к ним самим!


[Закрыть].

Один из возможных способов такого явного кодирования состоит в использовании представленных еще в НРК спецификаций машин Тьюринга и точном воспроизведении доказательства гёделевского типа, описанного в §2.5(пример такого кодирования приводится в Приложении А). Впрочем, даже и в этом случае об абсолютной «явности» говорить нельзя, поскольку нам понадобится еще и каким-то явным образом закодировать правила формальной системы Fв системе обозначений действий машин Тьюринга; обозначим такой код, скажем, через T _F – (Код T _F должен удовлетворять определенному свойству: если некоторому высказыванию P, выводимому в рамках системы F, ставится в соответствие некоторое число р, то необходимо, скажем, чтобы равенство T _F (p) = 1 выполнялось всякий раз, когда высказывание  Pявляется теоремой системы F, в противном же случае вычисление T _F (p) не должно завершаться вовсе.) Безусловно, все это открывает широкий простор для формальных ошибок. Помимо возможных трудностей, связанных с практическим построением кода T _F на основе системы Fи отысканием числа  pна основе высказывания P, отсутствует ясность и в отношении другого вопроса: а не ошибся ли я сам где-нибудь в спецификациях машин Тьюринга, – иными словами, можем ли мы быть полностью уверены в корректности приведенного в Приложении Аэтой книги кода, если вдруг решим использовать для отыскания вычисления C _k( k) именно это определение? Лично я думаю, что ошибок там нет, однако в собственной непогрешимости я уверен куда как меньше, нежели в первоначальных построениях Гёделя (пусть и более сложных). Впрочем, всякому дочитавшему до этого места, смею надеяться, уже ясно, что возможные ошибки подобного рода существенной роли здесь не играют. Помните, что говорил Фейнман?

Что же касается собственно моих спецификаций, следует упомянуть еще один формальный момент. Представленный мною в §2.5вариант доказательства Гёделя(—Тьюринга) опирается не на непротиворечивость системы F, а на обоснованность алгоритма A, и являет собой критерий для установления незавершаемости вычислений (т.е. истинности Π ₁-высказываний). Этот вариант подходит нам ничуть не хуже любых других, поскольку известно, что из обоснованности алгоритма  Aследует истинность утверждения о незавершаемости вычисления C _k( k), каковое явное утверждение (тоже Π ₁-высказывание) мы имеем полное право использовать вместо высказывания G( F). Более того, как отмечалось выше (см. §2.8), доказательство, вообще говоря, зависит не от непротиворечивости формальной системы F, а от ее ω-непротиворечивости. Из обоснованности системы Fочевидно следует ее непротиворечивость, равно как и ω-непротиворечивость. Если допустить, что система Fобоснованна, то ни Ω( F), ни G( F) из ее правил (см. §2.8) не следуют, однако оба эти высказывания являются истинными.

Думаю, можно с уверенностью заключить, что какое бы «постепенное размывание» убежденности того или иного математика ни сопровождало переход от убеждения в обоснованности формальной системы Fк убеждению в истинности высказывания G( F) (или Ω( F)), оно будет целиком и полностью обусловлено возможностью ошибки в точной формулировке полученного им высказывания « G( F)». (To же применимо и к высказыванию Ω( F).) Все это не имеет непосредственного отношения к настоящему обсуждению – при наличии подлинной(не случайной) формулировки высказывания G( F) никакого размывания убежденности происходить не должно. Если формальная система Fнеопровержимо обоснованна, то еевысказывание G( F) столь же неопровержимо истинно. Все формы заключения  G( G**, G***) остаются неизменными при условии, что под «истинностью» подразумевается «неопровержимая истинность».

Q14. Нет никаких сомнений в том, что формальная система ZF– или некоторая стандартная ее модификация (обозначим ее через ZF*) —действительно включает в себя все необходимое для серьезной математической деятельности. Почему бы просто не принять эту систему за основу, смириться с недоказуемостью ее непротиворечивости и продолжить свои математические изыскания?

Полагаю, такая точка зрения весьма и весьма распространена среди практикующих математиков, особенно тех, кто не слишком углубляется в фундаментальные основы или философию своего предмета. Подобное отношение вполне естественно для людей, главной заботой которых является просто хорошее выполнение серьезной, пусть и математической, работы (хотя в действительноститакие люди крайне редко выражают свои результаты в рамках строгих правил формальных систем, подобных ZF). Согласно этой точке зрения, математика имеет дело лишь с тем, что можно доказать или опровергнуть в рамках некоей конкретной формальной системы – такой, например, как ZF(или какая-либо ее модификация ZF*). С высоты такой позиции математическая деятельность и в самом деле напоминает своего рода «игру». Назовем ее ZF– игрой(или ZF*-игрой), причем играть в эту игру следует в соответствии с правилами, установленными в рамках данной системы. Такой подход характерен для формалиста, подлинный же формалист мыслит исключительно в терминах ИСТИННОГО и ЛОЖНОГО, которые не обязательно совпадают с истинным и ложным в их повседневном смысле. Если формальная система обоснованна, то все, что является истинным, и будет истинным, а все, что ЛОЖНО, будет ложным. Однако наверняка найдутся высказывания, формализуемые в рамках данной системы, которые, будучи истинными, не являются ИСТИННЫМИ, и другие, которые, будучи ложными, не являются ЛОЖНЫМИ, иными словами, в обоих случаях эти высказывания оказываются НЕРАЗРЕШИМЫМИ. Если система ZFнепротиворечива, то в ZF-игре гёделевское высказывание [17]17
  Как и ранее, обозначение G( F) можно без каких бы то ни было последствий заменить на Ω( F). То же справедливо и для комментариев к Q15– Q20.


[Закрыть] G( ZF) и его отрицание ~ G( ZF) принадлежат, соответственно, к этим двум категориям. (Более того, окажись система ZFпротиворечивой, то и высказывание G( ZF), и его отрицание ~ G( ZF) были бы ИСТИННЫМИ и ЛОЖНЫМИ одновременно!)

ZF-игра, судя по всему, представляет собой исключительно разумный подход, позволяющий реализовать большую часть того, что нас интересует в обычной математике. Однако по причинам, которые обозначены выше, я совершенно не в состоянии понять, каким же образом из нее может «произрасти» реальная точка зрения в отношении чьих бы то ни было математических убеждений. Ибо если кто-то считает, что с помощью «практикуемой» им математики он устанавливает исключительно подлинные математические истины – скажем, истинность Π ₁-высказываний, – то он должен верить и в то, что используемая им система обоснованна; а если он верит в ее обоснованность, то он должен также верить в ее непротиворечивость, то есть в то, что Π ₁-высказывание, утверждающее истинность G( F),  действительноистинно, несмотря на то, что оно НЕРАЗРЕШИМО. Таким образом, математические убеждения человека должны включать в себя нечто, что в рамках ZF-игры невыводимо. С другой стороны, если человек не верит в обоснованность формальной системы ZF, то он не может верить и в подлинную истинность ИСТИННЫХ результатов, полученных с помощью ZF-игры. В обоих случаях сама по себе ZF-игра не в состоянии снабдить нас удовлетворительной позицией в том, что касается математической истинности. (Это равным образом применимо к любой формальной системе ZF*.)

Q15. Выбранная нами формальная система Fможет и неоказаться непротиворечивой – по крайней мере, мы не можем быть вполне увереныв ее непротиворечивости; по какому же, в таком случае, праву мы утверждаем, что высказывание G( F) «очевидно» истинно?

Хотя этот вопрос был достаточно исчерпывающе рассмотрен в предыдущих обсуждениях, я полагаю, что суть того рассмотрения полезно будет изложить еще раз, поскольку возражения, подобные Q15, чаще всего оказываются среди нападок на наше с Лукасом приложение теоремы Гёделя. Суть же в том, что мы вовсе не утверждаем, что высказывание G( F) непременно истинно для любой формальной системы F, мы утверждаем лишь, что высказывание G( F) настолько же достоверно, насколько достоверна любая другая истина, получаемая применением правил самой системы F. (Вообще говоря, высказывание G( F) оказывается болеедостоверным, нежели утверждения, получаемые действительным применениемправил F, так как система F, даже будучинепротиворечивой, не обязательно будет обоснованной!) Если мы верим в истинность любого утверждения P, выводимого исключительно с помощью правил системы F, то мы должны верить и в истинность G( F), по крайней мере, в той же степени, в какой мы верим в истинность P. Таким образом, ни одна постижимая формальная система F– или эквивалентный ей алгоритм F– не может послужить абсолютно полной основой для подлинного математического познания или формирования убеждений. Как отмечалось в комментариях к Q5и Q6, наше доказательство построено как reductio ad absurdum: мы выдвигаем предположение, что система Fдействительно является абсолютной основой для формирования убеждений, а затем показываем, что такое предположение приводит к противоречию, т.е. является неверным.

Мы, конечно же, можем, как в Q14, выбрать для удобства какую-то конкретную систему F, хотя уверенности в том, что она обоснованна, а потому непротиворечива, это нам не добавит. Впрочем, при наличии действительныхсомнений в обоснованности системы Fлюбой получаемый в рамках Fрезультат  P следует формулировать в виде

«высказывание  Pвыводимо в рамках системы F»

(или, что то же самое, «высказывание  PИСТИННО»), избегая утверждений вида «высказывание  Pистинно». Такое утверждение в математическом смысле вполне приемлемо и может быть либо действительно истинным, либо действительно ложным. Совершенно законным образом мы можем свести все наши математические высказывания к утверждениям такого рода, однако и в этом случае нам никуда не деться от утверждений об абсолютных математических истинах. При случае мы можем прийти к убеждению, будто мы установили, что какое-то утверждение вышеприведенного вида является в действительности ложным, т.е. получить следующий результат:

«высказывание  Pневыводимо в рамках системы F».

Такие утверждения имеют вид: «такое-то вычисление не завершается» (или, по сути, «будучи примененным к высказыванию P, алгоритм Fне завершается»), что в точности совпадает с формой рассматриваемых нами Π ₁-высказываний. Вопрос: какие средства мы полагаем допустимыми в процессе получения подобных утверждений? Каковы, наконец, те математические процедуры, в которые мы действительно верими применяем при установлении математических истин? Такая система убеждений, при условии, что они достаточно разумны, никак не может быть  эквивалентнавсего лишь убежденности в обоснованности и непротиворечивости формальной системы, какой бы эта формальная система ни была.

Q16. Заключение об истинности высказывания G( F) для непротиворечивой формальной системы Fмы делаем, исходя из допущения, что те символы системы F, которые, как мы полагаем, служат для представления натуральных чисел,  действительнопредставляют натуральные числа. Окажись на их месте другие числа – скажем, некие экзотические «сверхнатуральные» числа, – мы вполне могли бы обнаружить, что высказывание G( F) ложно. Откуда мы знаем, что в нашей системе Fмы имеем дело с натуральными, а не со «сверхнатуральными» числами?

В самом деле, конечного аксиоматического способа убедиться в том, что «числа», о которых идет речь, и есть те самые подразумеваемые натуральныечисла, а не какие-то посторонние «сверхнатуральные», не существует ^{33} . Однако, в некотором смысле, в этом и состоит вся суть гёделевского рассуждения. Неважно, какую именно схему аксиом формальной системы Fмы построим, пытаясь охарактеризовать натуральные числа, – одних лишь правил системы Fбудет недостаточно, чтобы определить, является ли высказывание G( F) действительно истинным или же ложным. Полагая систему Fнепротиворечивой, мы знаем, что в высказывании G( F) подразумеваетсявсе же наличие некоего истинного смысла. Это, однако, происходит лишь в том случае, если символы, составляющие в действительности формальное выражение, обозначаемое « G( F)», имеют подразумеваемые значения. Если эти символы интерпретировать как-либо иначе, то полученная в результате интерпретация « G( F)» вполне может оказаться ложной.

Для того чтобы разобраться, откуда берутся все эти двусмысленности, рассмотрим новые формальные системы F* и F**, где F* получается путем присоединения к аксиомам системы Fвысказывания G( F), a F** – путем аналогичного присоединения высказывания ~ G( F). Если система Fобоснованна, то обе системы F* и F** непротиворечивы (т.к. высказывание G( F) истинно, а ~ G( F) из правил системы F) вывести невозможно. При этом в случае подразумеваемой (или стандартной) интерпретации символов Fиз обоснованности системы F следует, что система F* обоснованна, а система F** – нет. Впрочем, одним из характерных свойств непротиворечивых формальных систем является возможность отыскания так называемых нестандартныхреинтерпретаций символов таким образом, что высказывания, которые являются ложными в стандартной интерпретации, оказываются истинными в нестандартной; соответственно, в такой нестандартной интерпретации обоснованными могут быть системы Fи F**, а система F* обоснованной не будет. Можно вообразить, что такая реинтерпретация может повлиять на смысл логических символов (таких как «~» и «&», которые в стандартной интерпретации означают, соответственно, «не» и «и»), однако в данном случае нас занимают символы, обозначающие неопределенные числа (« x», « y», « z», « x'», « x"» и т.д.), и значения применяемых к ним логических кванторов (∀, ∃). В стандартной интерпретации символы «∀ x» и «∃ x» означают, соответственно, «для всех натуральных чисел x» и «существует такое натуральное число x, что»; в нестандартной же интерпретации эти символы могут относится не к натуральным числам, а к числам какого-то иного вида с иными свойствами упорядочения (такие числа действительно можно назвать «сверхнатуральными», или даже «ультранатуральными», как это сделал Хофштадтер [ 201]).

Дело, однако, в том, что мы-то знаем, что такое на самом деле представляют собой натуральные числа, и для нас не составит никакого труда отличить их от каких-то непонятных сверхнатуральных чисел. Натуральные числа суть самые обыденные вещи, обозначаемые, как правило, символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. С этой концепцией мы знакомимся еще в детском возрасте и легко отличим ее от надуманной концепции сверхнатурального числа (см. §1.21). Есть что-то таинственное в том, что мы, похоже, и впрямь обладаем каким-то инстинктивным пониманием действительного смысла понятия натурального числа. Все, что мы получаем в этом смысле в детском (или уже взрослом) возрасте, сводится к сравнительно небольшому количеству описаний понятий «нуля», «единицы», «двух», «трех» и т.д. («три апельсина», «один банан» и т.п.), однако при этом, несмотря на всю неадекватность такого описания, мы как-то умудряемся постичь всю концепцию в целом. В некотором платоническом смысле натуральные числа видятся своего рода категориями, обладающими абсолютным концептуальным существованием, от нас никак не зависящим. И все же, несмотря на «человеконезависимость» натуральных чисел, мы оказываемся способны установить интеллектуальную связь с действительной концепцией натуральных чисел, опираясь лишь на неоднозначные и, на первый взгляд, неадекватные описания. С другой стороны, не существует конечного набора аксиом, с помощью которого можно было бы провести четкую границу между множеством натуральных чисел и альтернативным ему множеством так называемых «сверхнатуральных» чисел.

Более того, такое специфическое свойство всей совокупности натуральных чисел, как их бесконечное количество, мы также можем каким-то образом воспринимать непосредственно, тогда как система, действие которой ограничено точными конечными правилами, не способна отличить данную конкретную бесконечность натуральных чисел от других возможных («сверхнатуральных») вариантов. Мы же легко понимаем бесконечность, характеризующую натуральные числа, пусть и обозначаем ее просто точками «…» —

«0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …»,

либо сокращением «и т.д.» —

«нуль, один, два, три и т.д.».

Нам не нужно объяснять на языке каких-то точных правил, что именно представляет собой натуральное число. В этом смысле можно считать, что нам повезло, так как такое объяснение дать невозможно. Как только нам приблизительно укажут верное направление, мы тут же обнаруживаем, что уже откуда-то знаем, что это за штука такая – натуральное число!

Возможно, некоторые читатели знакомы с аксиомамиПеано для арифметики натуральных чисел (об арифметике Пеано я уже упоминал в §2.7), и, возможно, теперь эти читатели находятся в некотором недоумении: почему же аксиомы Пеано не дают адекватного определения натуральных чисел. Согласно определению Пеано, мы начинаем ряд натуральных чисел с символа  0и затем добавляем слева особый «оператор следования», обозначаемый Sи осуществляющий простое прибавление единицы к числу, над которым совершается действие, т.е. 1определяется как S0, 2 как S1или SS0и т.д. В качестве правил мы располагаем следующими утверждениями: если Sa= Sb, то  a= b; и ни при каком  xчисло 0нельзя записать в виде Sx(последнее утверждение служит для характеристики числа 0). Кроме того, имеется «принцип индукции», согласно которому некое свойство чисел (скажем, P) должно быть истинным в отношении всехчисел n, если оно удовлетворяет двум условиям: (I) если истинно P( n), то для всех nистинно также и P( Sn); (II)  P( 0) истинно. Сложности начинаются, когда дело доходит до логических операций, символы которых ∀ и ∃ в стандартной интерпретации означают, соответственно, «для всех натуральных чисел…» и «существует такое натуральное число…, что». В нестандартной интерпретации смысл этих символов соответствующим образом изменяется, так что они квантифицируют уже не натуральные числа, а «числа» какого-то другого типа. Хотя математические спецификации Пеано, задающие оператор следования S, действительно описывают отношение упорядочения, отличающее натуральные числа от разных прочих «сверхнатуральных» чисел, эти определения невозможно записать в терминах формальных правил, которым удовлетворяют кванторы ∀ и ∃. Для того чтобы передать смысл математических определений Пеано, необходимо перейти к так называемой «логике второго порядка», в которой также вводятся кванторы типа ∀ и ∃, но только теперь они оперируют не над отдельными натуральными числами, а над множествами(бесконечными) натуральных чисел. В «логике первого порядка» арифметики Пеано кванторы оперируют над отдельными числами, и в результате получается формальная система в обычном смысле этого слова. Логика же второго порядка нам формальной системы не дает. В случае строгой формальной системы вопрос о правильности применения правил системы решается чисто  механическими(т.е. алгоритмическими) способами – в сущности, именно это свойство формальных систем и послужило причиной их рассмотрения в настоящем контексте. В рамках логики второго порядка упомянутое свойство не работает.