Текст книги "Тени разума. В поисках науки о сознании"

Автор книги: Роджер Пенроуз

сообщить о нарушении

Текущая страница: 12 (всего у книги 49 страниц)

2.9. Формальные системы и алгоритмическое доказательство

 В предложенной мною формулировке доказательства Гёделя—Тьюринга (см. §2.5) говорится только о «вычислениях» и ни словом не упоминается о «формальных системах». Тем не менее, между этими двумя концепциями существует очень тесная связь. Одним из существенных свойств формальной системы является непременная необходимость существования алгоритмической (т.е. «вычислительной») процедуры F, предназначенной для проверкиправильности применения правил этой системы. Если, в соответствии с правилами системы F, некое высказывание является ИСТИННЫМ, то вычисление Fэтот факт установит. (Для достижения этого результата вычисление F, возможно, «просмотрит» все возможные последовательности строк символов, принадлежащих «алфавиту» системы F, и успешно завершится, обнаружив заключительной строкой искомое высказывание P; при этом любые сочетания строк символов являются, согласно правилам системы F, допустимыми.)

Напротив, располагая некоторой заданной вычислительной процедурой E, предназначенной для установления истинности определенных математических утверждений, мы можем построить формальную систему E, которая эффективно выражает как ИСТИННЫЕ все те истины, что можно получить с помощью процедуры E. Имеется, впрочем, и небольшая оговорка: как правило, формальная система должна содержать стандартные логические операции, однако заданная процедура  Eможет оказаться недостаточно обширной, чтобы непосредственно включить и их. Если сама заданная процедура Eне содержит этих элементарных логических операций, то при построении системы  Eуместно будет присоединить их к Eс тем, чтобы ИСТИННЫМИ положениями системы  Eоказались не только утверждения, получаемые непосредственно из процедуры E, но и утверждения, являющиеся элементарными логическими следствиями утверждений, получаемых непосредственно из E. При таком построении система  Eне будет строго эквивалентна процедуре E, но вместо этого приобретет несколько большую мощность.

(Среди таких логических операций могут, к примеру, оказаться следующие: «если P& Q, то P»; «если  Pи  P⇒ Q, то Q»; «если ∀ x[ P( x)], то P( n)»; «если ~ ∀ x[ P( x)], то ∃ x[~ P( x)]» и т.п. Символы «&», «⇒», «∀», «∃», «~» означают здесь, соответственно, «и», «следует», «для всех [натуральных чисел]», «существует [натуральное число]», «не»; в этот ряд можно включить и некоторые другие аналогичные символы.)

Поставив перед собой задачу построить на основе процедуры  Eформальную систему E, мы можем начать с некоторой в высшей степени фундаментальной (и, со всей очевидностью, непротиворечивой) формальной системы L, в рамках которой выражаются лишь вышеупомянутые простейшие правила логического вывода, – например, с так называемого исчисления предикатов(см. [ 223]), которое только на это и способно, – и построить систему  Eпосредством присоединения к системе Lпроцедуры  Eв виде дополнительных аксиом и правил процедуры для L, переведя тем самым всякое высказывание P, получаемое из процедуры E, в разряд ИСТИННЫХ. Это, впрочем, вовсе не обязательно окажется легко достижимым на практике. Если процедура  Eзадается всего лишь в виде спецификации машины Тьюринга, то нам, возможно, придется присоединить к системе L(как часть ее алфавита и правил процедуры) все необходимые обозначения и операции машины Тьюринга, преждечем мы сможем присоединить саму процедуру Е в качестве, по сути, дополнительной аксиомы. (См. окончание §2.8; подробности в [ 223].)

Собственно говоря, в нашем случае не имеет большого значения, содержит ли система E, которую мы таким образом строим, ИСТИННЫЕ предположения, отличные от тех, что можно получить непосредственно из процедуры  E(да и примитивные логические правила системы Lвовсе не обязательно должны являться частью заданной процедуры E). В §2.5мы рассматривали гипотетический алгоритм A, который по определению включал в себя все процедуры (известные или познаваемые), которыми располагают математики для установления факта незавершаемости вычислений. Любому подобному алгоритму неизбежно  придется, помимо всего прочего, включать в себя и все основные операции простого логического вывода. Поэтому в дальнейшем я буду подразумевать, что все эти вещи в алгоритме  Aизначально присутствуют.

Следовательно, как процедуры для установления математических истин, алгоритмы (т. е. вычислительные процессы) и формальные системы для нужд моего доказательства, в сущности, эквивалентны. Таким образом, несмотря на то, что представленное в §2.5доказательство было сформулировано исключительно для вычислений, оно сгодится и для общих формальных систем. В том доказательстве, если помните, речь шла о совокупности всех вычислениях (действий машины Тьюринга) C _q( n). Следовательно, для того чтобы оно оказалось во всех отношениях применимо к формальной системе F, эта система должна быть достаточно обширной для того, чтобы включать в себя действия всех машин Тьюринга. Алгоритмическую процедуру A, предназначенную для установления факта незавершаемости некоторых вычислений, мы можем теперь добавить к правилам системы Fс тем, чтобы вычисления, предположения о незавершающемся характере которых устанавливаются в рамках Fкак ИСТИННЫЕ, были бы тождественны всем тем вычислениям, незавершаемость которых определяется с помощью процедуры A.

Как же первоначальное кенигсбергское доказательство Гёделя связано с тем, что я представил в §2.5? Не будем углубляться в детали, укажем лишь на наиболее существенные моменты. В роли формальной системы Fиз исходной теоремы Гёделя выступает наша алгоритмическая процедура A:

алгоритм  A↔ правила системы F.

Роль же представленного Гёделем в Кенигсберге предположения G( F), которое в действительности утверждает непротиворечивость системы F, играет полученное в §2.5конкретное предположение «вычисление  C _k( k) не завершается», недоказуемое посредством процедуры A, но интуитивно представляющееся истинным, коль скоро процедуру А мы полагаем обоснованной:

утверждение «вычисление C _k( k) не завершается» ↔ утверждение «система Fнепротиворечива».

Возможно, такая замена позволит лучше понять, каким образом убежденность в обоснованности процедуры – такой, например, как  A– может привести к другой процедуре, с исходной никак не связанной, но в обоснованности которой мы такжедолжны быть убеждены, поскольку если мы полагаем процедуры некоторой формальной системы Fобоснованными – т.е. процедурами, с помощью которых мы получаем одни лишь действительные математические истины, полностью исключив ложные утверждения (иными словами, если некое предположение  P выводится из такой процедуры как ИСТИННОЕ, то это значит, что оно и в самом деле должно быть истинным), – то мы должны также уверовать и в ω-непротиворечивость системы F. Если под «ИСТИННЫМ» понимать «истинное», а под «ЛОЖНЫМ» – «ложное» (как оно, собственно, и есть в рамках любой обоснованной формальной системы F), то безусловно истинно следующее утверждение:

не все предположения P(0), P(1), P(2), P(3), P(4), … могут быть ИСТИННЫМИ, если утверждение «предположение P( n) справедливо для всех натуральных чисел n» ЛОЖНО,

что в точности совпадает с условием ω-непротиворечивости.

Однако убежденность в ω-непротиворечивости формальной системы Fможет происходить не только из убежденности в обоснованности этой системы, но и из убежденности в ее обыкновенной непротиворечивости. Поскольку если под «ИСТИННЫМ» понимать «истинное», а под «ЛОЖНЫМ» – «ложное», то, несомненно, выполняется условие

«ни одно предположение  Pне может быть одновременно иИСТИННЫМ,  иЛОЖНЫМ»,

в точности совпадающее с условием непротиворечивости. Вообще говоря, во многих случаях различия между непротиворечивостью и ω-непротиворечивостью практически отсутствуют. Для упрощения дальнейших рассуждений этой главы я, в общем случае, не стану разделять эти два типа непротиворечивости и буду обычно говорить просто о «непротиворечивости». Суть доказательства Гёделя и Россера сводится к тому, что установление факта непротиворечивости формальной системы (достаточно обширной) превышает возможности этой самой формальной системы. Первоначальный (кенигсбергский) вариант теоремы Гёделя опирался только на ω-непротиворечивость, однако следующий, более известный, вывод был связан уже исключительно с непротиворечивостью обыкновенной.

Сущность гёделевского доказательства в нашем случае состоит в том, что оно показывает, как выйти за рамки любого заданного набора вычислительных правил, полагаемых обоснованными, и получить некое дополнительное правило, в исходном наборе отсутствующее, но которое также должно полагать обоснованным, – т.е. правило, утверждающее  непротиворечивостьисходных правил. Важно уяснить следующий существенный момент:

убежденность в обоснованностиравносильна убежденности в непротиворечивости.

Мы имеем право применять правила формальной системы Fи полагать, что выводимые из нее результаты действительно  истинны, только в том случае, если мы также полагаем, что эта формальная система непротиворечива. (Например, если бы система Fне была непротиворечивой, то мы могли бы вывести, как ИСТИННОЕ, утверждение «1 = 2», которое истинным, разумеется, не является!) Таким образом, если мы уверены, что применение правил некоторой формальной системы Fдействительно эквивалентно математическому рассуждению, то следует быть готовым принять и рассуждение, выходящее за рамки системы F, какой бы эта система F ни была.

2.10. Возможные формальные возражения против G (продолжение)

Продолжим рассмотрение различных математических возражений, высказываемых время от времени в отношении моей трактовки доказательства Гёделя—Тьюринга. Многие из них тесно связаны друг с другом, однако я полагаю, что в любом случае их будет полезно разъяснить по отдельности.

Q10. Абсолютна ли математическая истина? Как мы уже видели, существуют различные мнения относительно абсолютной истинности утверждений о бесконечных множествах. Можем ли мы доверять доказательствам, опирающимся на какую-то расплывчатую концепцию «математической истины», а не на, скажем, четко определенное понятие формальной ИСТИНЫ?

Что касается формальной системы F, описывающей общую теорию множеств, то, действительно, не всегда ясно, можно ли вообще говорить о каком-то абсолютном смысле, в котором то или иное утверждение о множествах является либо «истинным», либо «ложным», – вследствие чего под сомнение может попасть и само понятие «обоснованности» формальной системы, подобной F. В качестве поясняющего примера приведем один известный результат, полученный Гёделем (1940) и Коэном (1966). Они показали, что определенные математические утверждения (так называемые континуум-гипотезаКантора и аксиома выбора) никак не зависят от теоретико-множественных аксиом системы Цермело—Френкеля– стандартной формальной системы, обозначаемой здесь через ZF. (Аксиома выбора гласит, что для любой совокупности непустых множеств существует еще одно множество, которое содержит ровно один элемент из каждого множества совокупности ^{29} . Согласно же континуум-гипотезе Кантора, количество подмножеств натуральных чисел – равное количеству вещественныхчисел – представляет собой вторую по величине бесконечность после множества собственно натуральных чисел ^{30} . Читателю нет нужды вникать в скрытый смысл этих утверждений прямо сейчас. Равно как нет нужды и мне углубляться в подробное изложение аксиом и правил процедуры системы ZF.) Некоторые математики убеждены в том, что система ZFохватывает все методы математического рассуждения, необходимые для обычной математики. Некоторые даже утверждают, будто приемлемым математическим доказательством можно считать только такое доказательство, какое можно, в принципе, сформулировать и доказать в рамках системы ZF. (См. комментарий к возражению Q14, где дается оценка применимости к таким субъектам гёделевского доказательства.) Иными словами, эти математики настаивают на том, что ИСТИННЫМИ, ЛОЖНЫМИ и НЕРАЗРЕШИМЫМИ в рамках системы ZFматематическими утверждениями можно считать только те утверждения, истинность, ложность и неразрешимость которых, в принципе, устанавливается математическими средствами. Для таких людей аксиома выбора и континуум-гипотеза являются математически неразрешимыми (что, по их мнению, и доказывается выводом Гёделя—Коэна), и они наверняка будут утверждать, что истинность или ложность этих двух математических утверждений суть предметы достаточно условные.

Влияют ли эти кажущиеся неопределенности в отношении абсолютного характера математической истины на выводы, которые мы сделали из доказательства Гёделя—Тьюринга? Никоим образом, так как мы имеем здесь дело с классом математических проблем гораздо более ограниченной природы, нежели те, что, подобно аксиоме выбора и континуум-гипотезе, относятся к неконструктивно-бесконечным множествам. В данном случае нас занимают лишь утверждения вида

«такое-то вычисление никогда не завершается»,

причем рассматриваемые вычисления можно задать совершенно точно через действия машины Тьюринга. Такие утверждения в логике называются Π ₁– высказываниями(или, точнее, Π ₁ ⁰– высказываниями). В пределах формальной системы F утверждение G( F) является Π ₁-высказыванием, а вот Ω( F) таковым не является (см. §2.8). По всей видимости, не существует каких-либо разумных доводов против того, что истинный/ложный характер любого Π ₁-высказывания есть предмет абсолютныйи никак не зависит от избранного нами мнения относительно предположений, касающихся неконструктивно-бесконечных множеств – таких, например, как аксиома выбора и континуум-гипотеза. (С другой стороны, как мы вскоре убедимся, выбор метода рассуждения, принимаемого нами в качестве инструмента для получения убедительных доказательствΠ ₁-высказываний, действительно может определяться мнением, которого мы придерживаемся в отношении неконструктивно-бесконечных множеств; см. возражение Q11.) Очевидно, если не считать крайней позиции, занимаемой отдельными интуиционистами (см. комментарий к Q9), единственное здравое возражение по поводу абсолютного характера истинности таких утверждений может быть связано с тем обстоятельством, что некоторые принципиально завершающиеся вычисления могут потребовать для своего выполнения столь непомерно долгого времени, что на практике, вполне возможно, не завершатся, скажем, и за все время жизни Вселенной; может случиться и так, что для записи самого вычисления (пусть и конечного) потребуется так много символов, что физически невозможным окажется составить даже его описание. Впрочем, все эти вопросы были исчерпывающим образом проанализированы выше, в обсуждении возражения Q8; там же мы выяснили, что на наш основной вывод  Gони никоим образом не влияют. Вспомним и о возражении Q9, рассмотрение которого показало, что интуиционисты в этом случае также не избегают вывода G.

Кроме того, концепция (весьма ограниченная, надо сказать) математической истины, необходимая мне для доказательства Гёделя—Тьюринга, определена, вообще говоря, не менее четко, нежели концепции ИСТИННОГО, ЛОЖНОГО и НЕРАЗРЕШИМОГО для любой формальной системы F. Из сказанного выше ( §2.9) нам известно, что существует некий алгоритм F, эквивалентный системе F. Если алгоритму Fпредстоит обработать некое предположение  P(формулируемое на языке системы F), то выполнение этого алгоритма может быть успешно завершено только в том случае, если предположение  Pдоказуемо в соответствии с правилами системы F, т.е. когда предположение  P ИСТИННО. Соответственно, предположение  Pявляется ЛОЖНЫМ, если алгоритм Fуспешно завершается при обработке предположения ~ P, и НЕРАЗРЕШИМЫМ, если не завершается ни одно из упомянутых вычислений. Вопрос о том, является ли математическое утверждение  PИСТИННЫМ, ЛОЖНЫМ или НЕРАЗРЕШИМЫМ, в точности совпадает по своей природе с вопросом о реальной истинности утверждений о завершаемости или незавершаемости вычислений – иными словами, о ложности или истинности определенных Π ₁-высказываний – а кроме этого для нашего «гёделевско—тьюринговского» доказательства ничего и не требуется.

Q11. Существуют определенные Π ₁-высказывания, которые можно доказать с помощью теории бесконечных множеств, однако не известно ни одного доказательства, которое использовало бы стандартные «конечные» методы. Не означает ли это, что даже к таким четко определенным проблемам математики, на деле, подходят субъективно? Различные математики, придерживающиеся в отношении теории множеств разных убеждений, могут применять к оценке математической истинности Π ₁-высказываний неэквивалентные критерии.

Этот момент может оказаться существенным в том, что касается моих собственных выводов из доказательства Гёделя(—Тьюринга), и я, возможно, уделил ему недостаточно много внимания в кратком изложении, представленном в НРК. Как ни странно, но возражение Q11, похоже, никого, кроме меня, не обеспокоило – по крайней мере, никто мне на него не указал! В НРК (с. 417, 418), как и здесь, я сформулировал доказательство Гёделя(—Тьюринга) исходя из того, что посредством разума и понимания способны установить все «математики» или «математическое сообщество». Преимущество подобной формулировки, в отличие от рассмотрения вопроса о способности какого-либо конкретногоиндивидуума к установлению математических истин посредством своего разума и понимания, заключается в том, что первый способ позволяет избежать некоторых возражений, которые нередко выдвигают в отношении той версии доказательства Гёделя, которую предложил Лукас (1961). Самые разные ученые ^{31} указывали, к примеру, на то, что «сам Лукас» никак не мог обладать знанием о своем собственном алгоритме. (Некоторые из них говорили то же самое и о варианте доказательства, предложенном мною ^{32} , не обратив, судя по всему, внимания на тот факт, что моя формулировка вовсе не настолько «личностна».) Именно возможность сослаться на способности к рассуждению и пониманию, присущие всем «математикам» вообще или «математическому сообществу», позволяет нам избежать необходимости считаться с предположением о том, что различные индивидуумы могут воспринимать математическую истину по-разному, каждый в соответствии с личным непознаваемым алгоритмом. Значительно сложнее смириться с тем, что результатом выполнения некоего непостижимого алгоритма может оказаться коллективное понимание математического сообщества в целом, нежели с тем, что этот самый алгоритм обусловливает математическое понимание всего лишь какого-то конкретного индивидуума. Суть возражения Q11как раз и заключается в том, что упомянутое коллективное понимание может оказаться совсем не таким универсальным и безличным, каким счел его я.

Утверждения, о каких говорится в Q11, действительно, существуют. То есть существуют Π ₁-высказывания, единственные известные доказательства которых опираются на то или иное применение теории бесконечных множеств. Такое Π ₁-высказывание может быть результатом арифметического кодирования утверждения типа «аксиомы формальной системы F являются непротиворечивыми», где система F подразумевает манипуляции обширными бесконечными множествами, само существование которых может быть сомнительным. Математик, убежденный в реальном существовании некоторого достаточно обширного неконструктивного множества S, придет к выводу, что система F действительно непротиворечива, тогда как другой математик, который полагает, что множества S не существует, вовсе не обязан считать систему F непротиворечивой. Таким образом, даже ограничив рассмотрение одним вполне определенным вопросом о завершении или незавершении работы машины Тьюринга (т.е. ложности или истинности Π ₁-высказываний), мы не можем себе позволить не учитывать субъективности убеждений в отношении, скажем, существования некоторого обширного неконструктивно-бесконечного множества S. Если различные математики используют для установления истинности определенных Π ₁-высказываний неэквивалентные «персональные алгоритмы», то, по-видимому, с моей стороны несправедливо говорить о просто «математиках» или «математическом сообществе».

Полагаю, что в строгом смысле это действительно может быть несколько несправедливо; и читатель может при желании перефразировать вывод  Gследующим образом:

G* Для установления математической истины ни один отдельно взятый математик не применяет только те алгоритмы, какие он (или она) полагает обоснованными.

Представленные мною доводы по-прежнему остаются в силе, однако, мне кажется, некоторые из более поздних утратят значительную часть своей силы, если представить ситуацию в таком виде. Более того, в случае формулировки G* все доказательство уходит в направлении, на мой взгляд, бесперспективном, сосредоточенном, в большей степени, на конкретных механизмах, управляющих действиями конкретных индивидуумов, нежели на принципах, лежащих в основе действий любого из нас. Меня же на данном этапе интересует не столько различия подходов отдельных математиков к той или иной математической проблеме, сколько то общее, что есть между нашим пониманием и нашим математическим восприятием.

Попытаемся разобраться, действительноли мы вынуждены принять формулировку G*. В самом ли деле суждения математиков настолько субъективны, что они могут принципиальнорасходиться при установлении истинности какого-то конкретного Π ₁-высказывания? (Разумеется, доказательство, устанавливающее истинность Π ₁-высказывания, может быть просто-напросто быть слишком громоздким или слишком сложным, чтобы его мог воспроизвести тот или иной математик (см. ниже по тексту возражение Q12), т.е. на практикематематики вполне могут разойтись во мнениях. Однако в данном случае нас интересует вовсе не это. Мы занимаемся исключительно  принципиальнымивопросами.) Вообще говоря, математическое доказательство есть вещь не настолько субъективная, как может показаться на основании вышесказанного. Математики могут придерживаться самых разных – и, на их взгляд, неопровержимо истинных – точек зрения по тем или иным фундаментальным вопросам и во всеуслышание объявлять об этом, однако едва дело доходит до доказательств или опровержений каких-либо вполне определенных конкретных Π ₁-высказываний, все разногласия тут же куда-то исчезают. Никто не воспримет всерьез доказательство Π ₁-высказывания, утверждающего, по сути своей, непротиворечивость некоторой формальной системы F, если математик будет основывать его только лишь на существовании некоего спорного бесконечного множества S. То, что при этом в действительности доказывается, можно сформулировать следующим, куда более приемлемым, образом: «Если множество S существует, то формальная система Fявляется непротиворечивой, и в этом случае данное Π ₁-высказывание истинно».

Тем не менее, могут быть и исключения: например, один математик полагает, что некоторое неконструктивно-бесконечное множество S«с очевидностью» существует – или, по крайней мере, что допущение о его существовании никоим образом не приводит к противоречию, – другой же математик никакой очевидности здесь не усматривает. Дискуссии математиков по таким фундаментальнымвопросам могут порой принимать поистине неразрешимый характер. При этом обе стороны могут оказаться, в принципе, неспособны сколько-нибудь убедительно изложить свои доказательства, даже в отношении Π ₁-высказываний. Возможно, каждому математику и в самом деле присуще некое особое внутреннее восприятие истинности утверждений, связанных с неконструктивно-бесконечными множествами. Конечно же, математики нередко заявляюто том, что их восприятие таких вещей в корне отличается от восприятия коллег. Однако я полагаю, что такие различия, по сути своей, подобны различиям в ожиданиях, которые различные математики могут иметь и в отношении истинности обычных математических высказываний. Эти ожидания суть всего лишь предварительные предположения. До тех пор, пока не представлено убедительного доказательства или опровержения, математики могут спорить друг с другом об ожидаемой или предполагаемойистинности того или иного положения, однако представление такого доказательства одним из математиков убеждает (в принципе) всех. Что до фундаментальных вопросов, то там этих доказательств как раз нет. Возможно, и не будет. Быть может, их нельзя отыскать по той причине, что их просто-напросто нет, а фундаментальные вопросы допускают существование различных, но равно справедливыхточек зрения.

Здесь, однако, следует подчеркнуть еще один связанный с Π ₁-высказываниями момент. Возможность наличия у математика ошибочнойточки зрения – т.е. такой точки зрения, которая вынуждает его делать неверные выводы в отношении истинности тех или иных Π ₁-высказываний, – нас в данный момент не интересует. Нет ничего невероятного в том, что математики порой опираются на неверное в фактическом отношении «понимание» – а то и на необоснованные алгоритмы, – только к настоящему обсуждению это никакого отношения не имеет, поскольку согласуетсяс выводом G. Впрочем, эту ситуацию мы подробно рассмотрим ниже, в §3.4. Следовательно, дело в данном случае заключается не в том, могут ли разные математики придерживаться противоречащиходна другой точек зрения, а скорее в том, может ли одна точка зрения оказаться, в принципе, мощнеедругой. Каждая такая точка зрения будет совершенно справедлива в том, что касается установления истинности Π ₁-высказываний, однако какая-то из них сможет, в принципе, дать своим последователям возможность установить, что те или иные вычисления не завершаются, тогда как другие, более слабые, точки зрения на это неспособны; то есть одни математики будут обладать существенно большей способностью к пониманию, нежели другие.

Не думаю, что такая возможность представляет собой сколько-нибудь серьезную угрозу для моей первоначальной формулировки G. Хотя в отношении бесконечных множеств математики и вправе придерживаться различных точек зрения, этих самых точек зрения вовсе не такмного: по всей видимости, не более пяти. Существенные в этом смысле расхождения могут быть обусловлены лишь утверждениями, подобными аксиоме выбора (о ней говорилось в комментарии к возражению Q10), которую одни полагают «очевидной», другие же напрочь отвергают связанную с ней неконструктивность. Любопытно, что эти различные точки зрения на собственно аксиому выбора неприводят непосредственно к тому Π ₁-высказыванию, относительно справедливости которого возникают разногласия. Ибо, независимо от своей предполагаемой «истинности» или «ложности», аксиома выбора, как показывает теорема Гёделя—Коэна(см. комментарий к Q10), не вступает в противоречие со стандартными аксиомами системы ZF. Могут, однако, существовать и другиеспорные аксиомы, соответствующей теоремы для которых нет. Впрочем, обыкновенно, когда речь заходит о принятии или опровержении той или иной теоретико-множественной аксиомы – назовем ее аксиомой Q, – утверждения математиков принимают следующий вид: «Из допущения справедливости аксиомы Qследует, что…». Такое утверждение при всем желании не сможет стать предметом спора между математиками. Аксиома выбора, похоже, является исключением в том смысле, что ее справедливость часто подразумевается без приведения упомянутой оговорки, однако это обстоятельство, по-видимому, никак не противоречит моей общей объективной формулировке вывода  G– при условии, что мы ограничимся только Π ₁-высказываниями:

G** Для установления истинности Π ₁-высказываний математики-люди не применяют заведомо обоснованные алгоритмы,

а этого нам в любом случае вполне достаточно.

Есть ли другие спорные аксиомы, которые одни математики считают «очевидными», а другие ставят под сомнение? Думаю, будет огромным преувеличением сказать, что имеется хотя бы десять существенно различных точек зрения на теоретико-множественные допущения, которые в явном виде как допущения не формулируются. Положим, что их не более десяти, и рассмотрим следствия из этого допущения. Это означает, что существует порядка десяти, по сути, различных классов математиков, различаемых по типу рассуждения в отношении бесконечных множеств, который они полагают «очевидно» истинным. Каждого такого математика можно назвать математиком n-го класса, где  nизменяется в весьма узком диапазоне – не более десяти значений. (Чем больше номер класса, тем мощнее будет точка зрения принадлежащих к нему математиков.) Вывод G** принимает в этом случае следующий вид:

G*** Для установления истинности Π ₁-высказываний математики-люди n-го класса (где п может принимать лишь несколько значений) не применяют только те алгоритмы, какие они полагают обоснованными.

Так получается, потому что доказательство Гёделя(—Тьюринга) можно применять к каждому классу отдельно. (Важно понять, что само гёделевское доказательство предметом спора между математиками не является, а потому если для любого математика n-го класса гипотетический алгоритм n-го класса будет познаваемо обоснованным, то доказательство приведет к противоречию.) Таким образом, как и в случае с G, дело вовсе не в существовании какого-то невообразимого количества непознаваемо обоснованных алгоритмов, каждый из которых присущ лишь одному конкретному индивидууму. Мы всего лишь исключаем возможность существования некоторого очень небольшого количества неэквивалентных непознаваемо обоснованных алгоритмов, рассортированных в соответствии с их мощностью и образующих в результате различные «школы мышления». В последующем обсуждении различия между вариантами G*** и  Gлибо G** не будут иметь особого значения, поэтому для упрощения изложения я не стану в дальнейшем их как-то различать и буду использовать для них всех одно общее обозначение G.

Q12. Вне зависимости оттого, насколько различных точек зрения придерживаются математики в принципе, на практике те же математики обладают весьма разными способностями к воспроизведению доказательств, разве не так? Не менее различны и их способности к пониманию, позволяющие им совершать математические открытия.

Безусловно, так оно и есть, однако к рассматриваемому вопросу все эти вещи не имеют ну абсолютно никакого отношения. Меня не интересует, какие именно и насколько сложные доказательства математик способен воспроизвести на практике. Еще меньше меня занимает вопрос о том, какие доказательства математик может на практике открытьили какие понимание и вдохновение могут ему в этом способствовать. Здесь мы говорим исключительно о том, доказательства какого типа математики могут, в принципе, воспринимать как обоснованные.