Текст книги "Математика. Утрата определенности."

Автор книги: Морис Клайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 26 (всего у книги 38 страниц)

В метаматематике Гильберт предложил использовать особую логику, которая не вызывала бы никаких возражений. Истинность ее законов должна быть настолько очевидной, что всякий мог бы принять их без тени сомнения. По существу эти идеи Гильберта были весьма близки принципам интуиционизма. Все спорные моменты – доказательство существования от противного, трансфинитная индукция, актуально бесконечные множества, непредикативные определения – старательно изгонялись. Доказательства существования должны были быть конструктивными. Поскольку формальная система может продолжаться неограниченно, метаматематика не могла обойти вниманием понятия и проблемы, по крайней мере относящиеся к потенциально бесконечным системам. Но ссылки на бесконечное число структурных свойств формулы или использование бесконечного числа производимых над формулами операций объявлялись недопустимыми. Рассматривать формулы, в которые входят символы, означающие актуально бесконечные множества, не запрещалось, но сами множества могли входить лишь как символы в формулах. Математическая индукция по натуральным (положительным целым) числам считалась допустимой, поскольку она доказывает утверждение для любого конечного n; однако не следовало понимать этот метод так, будто он позволяет доказывать утверждение сразу для всего бесконечного множества натуральных чисел.

Понятия и методы метаматематического доказательства Гильберт назвал финитными.Строгого определения этого термина дано не было. В работе 1925 г. смысл финитности Гильберт пояснил на следующем примере. Высказывание «Если p– простое число, то существует простое число, которое больше p» не финитно, так как представляет собой утверждение о всех целых числах, которые больше p.Высказывание же «Если  p– простое число, то существует простое число, которое больше  pи меньше  p! + 1( p– факториал плюс единица)» финитно, так как при любом простом  pнам необходимо лишь убедиться, существует ли простое число среди конечного {130}130
  Здесь хочется вспомнить древних греков с их отказом от принятия актуальной бесконечности и стремлением избежать каких бы то ни было бесконечных процедур, что, например, нашло свое выражение в глубоком методе исчерпыванияЕвдокса – Архимеда, позволявшем дать сугубо конечные («финитные») доказательства результатам, которые ныне получают с помощью интегрального исчисления, связанного с предельным переходом при n→∞(где n, скажем, число частей, на которые разбивается область интегрирования).


[Закрыть]множества чисел, заключенных между  pи p! + 1.

В книге, написанной вместе с Бернайсом и опубликованной в 1934 г., Гильберт описывает финитность следующим образом:

…Мы будем говорить о финитных понятиях и утверждениях, подчеркивая всюду словом «финитный», что рассматриваемое рассуждение, утверждение или определение придерживаются рамок принципиальной представимости объектов и принципиальной выполнимости операций, а тем самым происходят в рамках конкретного рассмотрения.

([75], т. I, с. 59.)

В тех случаях, когда это не могло привести к недоразумениям, формалисты использовали язык и некоторые обозначения интуитивной, или неформальной, математики.

Выступая с докладом о своей метаматематической программе на Международном математическом конгрессе 1928 г., Гильберт с уверенностью заявил: «Не сомневаюсь, что наш новый подход к основаниям математики, который можно было бы назвать теорией доказательства, позволит навсегда покончить со всеми проблемами обоснования математики». В частности, Гильберт выражал надежду на то, что ему удастся доказать непротиворечивость математики и решить проблему полноты. Иначе говоря, все высказывания, имеющие смысл, будут либо доказаны, либо опровергнуты. Не останется ни одного неразрешимого утверждения.

Как и следовало ожидать, формалистская программа вызвала критику со стороны представителей соперничающих направлений. Во втором издании «Принципов математики» (1937) Рассел заметил, что используемые формалистами аксиомы арифметики не задают однозначно значения символов 0, 1, 2, …, с тем же успехом счет можно было бы начать и с того, что мы интуитивно понимаем под числами 100, 101, 102, …. Поэтому утверждение «Апостолов было 12» с точки зрения формализма лишено смысла. «Формалисты напоминают часовщика, который настолько озабочен тем, как выглядят выпускаемые им часы, что забыл об их прямом назначении – измерять время – и не вставил в корпус механизм». Логицистское определение числа вкладывает смысл в связь этого понятия с реальным миром; формалистская теория лишает такую связь всякого смысла.

Рассел подверг критике и формалистское понятие существования. Гильберт считал приемлемыми бесконечные множества и другие идеальные элементы и утверждал, что если аксиомы какой-либо области математики, включающие закон исключенного третьего и закон противоречия, не приводят к противоречию, то тем самым гарантируется существование объектов; удовлетворяющих этим аксиомам. Такую трактовку существования Рассел назвал метафизической. Кроме того, он обратил внимание на то, что число непротиворечивых аксиоматических систем, которые можно придумать, неограниченно, но интерес представляют лишь такие системы, которые согласуются с эмпирическим материалом.

Критика Рассела напоминает поговорку «Не смейся, горох, ты не лучше бобов». Должно быть, к 1937 г. он успел основательно подзабыть то, что писал сам в 1901 г.: «Математику можно определить как предмет, в котором никогда не известно ни то, о чем мы говорим, ни истинно или ложно то, что мы говорим».

Формалистская программа была неприемлема и для интуиционистов. Помимо основных различий во взглядах на бесконечность и закон исключенного третьего интуиционисты неоднократно подчеркивали, что они полагаются на смысл математики и стремятся установить, насколько его можно считать здравым, в то время как формалисты (и логицисты) имеют дело с идеальными, или трансцендентальными, мирами, лишенными всякого смысла. Брауэр еще в 1908 г. показал, что в некоторых утверждениях классического математического анализа, в том числе в теореме Больцано – Вейершрасса (носящей сугубо специальный характер и утверждающей, что у любого ограниченного бесконечного множества существует по крайней мере одна предельная точка), логика и здравый смысл находятся в вопиющем противоречии. Мы должны выбирать, заявил Брауэр, между нашим априорным понятием положительного целого числа и неограниченным использованием закона исключенного третьего в тех случаях, когда последний применяется к любому утверждению, не поддающемуся проверке за конечное число шагов. Некритическое использование аристотелевой логики привело к появлению формально правильных, но бессмысленных утверждений. Порывая со смыслом во многих логических построениях, классическая математика тем самым порывала с реальностью.

Критика Брауэра заставила многих осознать неправильность казавшегося ранее бесспорным мнения о том, что великие математические теории правильно отражают некое заложенное в них реальное содержание. Разумеется, создатели математических теорий мыслили их как идеализации реальных вещей и явлений. Но впоследствии, особенно в XIX в., многие понятия математического анализа утратили какую бы то ни было интуитивную подоплеку, и в глазах интуиционистов они не выглядели логически удовлетворительными. Принять взгляды Бауэра означало отвергнуть значительную часть классической математики на том основании, что она лишена интуитивного смысла.

Современные интуиционисты заявляют, что формализованная математика бессодержательна, даже если бы Гильберту и удалось доказать ее непротиворечивость. Вейль сетовал на то, что Гильберт «спас» классическую математику «ценой коренного пересмотра ее содержания», формализовав и выхолостив ее и «тем самым в принципе превратив из системы с интуитивно воспринимаемыми результатами в игру с формулами по определенным, раз и навсегда установленным правилам… Вполне возможно, что математика Гильберта представляет собой великолепную игру с формулами, более увлекательную, чем шахматы. Но что, спрашивается, дает такая игра нашему разуму, если ее формулы умышленно лишены материального содержания, посредством которого они могли бы выражать интуитивные истины?» В защиту формалистской философии следует заметить, что Гильберт свел математику к бессодержательным формулам только во имя высокой цели: доказательства непротиворечивости, полноты и других не менее важных свойств. Что же касается математики в целом, то даже формалисты никогда не считали ее «просто игрой», а рассматривали как вполне содержательную научную дисциплину.

Как и Рассел, интуиционисты возражали против формалистской интерпретации существования в математике. Гильберт утверждал, что существование любого математического объекта гарантируется непротиворечивостью той области математики, в которой он был введен. Такая интерпретация существования была неприемлема для интуиционистов. Непротиворечивость отнюдь не гарантирует истинности чистых теорем существования. Возражение против принятия формалистской интерпретации существования было выдвинуто двести лет назад Кантом в его «Критике чистого разума»: «Бесплодная попытка подменить логическую возможность понятия(поскольку понятие не противоречит само себе) трансцендентальной возможностью вещей(поскольку понятию соответствует предмет) может обмануть и удовлетворить разве только неискушенного человека» ([18], т. 3, с. 364).

Яростный спор между формалистами и интуиционистами происходил в 20-е годы нашего столетия. В 1923 г. с критикой формалистского направления в основаниях математики выступил Брауэр. Как утверждал Брауэр, формалистский подход позволяет избежать противоречий, но не дает ничего, что обладало бы хоть какой-то математической ценностью. «Некорректная математическая теория, даже если ее нельзя отвергнуть, ссылаясь на какое-нибудь опровергающее ее противоречие, все же остается некорректной, подобно тому как преступление остается преступлением независимо от того, удастся ли суду оправдать преступника.» В лекции, прочитанной в 1912 г. в Амстердамском университете, Брауэр саркастически заметил: «На вопрос, где следует искать математическую строгость, две группировки дают два различных ответа. Интуиционисты отвечают, что в человеческом разуме, формалисты – что на бумаге».

В свою очередь Гильберт обвинил Брауэра и Вейля в том, что те пытаются выбросить за борт все им не подходящее и наложить диктаторские запреты на многие плодотворные области науки. В работе 1925 г. Гильберт назвал интуиционизм изменой науке. Тем не менее Вейль считал, что в метаматематике Гильберт, по существу, ограничил свои принципы интуционистскими.

Нужно сказать, что принципы метаматематики также подверглись критике. Предполагалось, что принципы метаматематики ни у кого не встретят возражений. Но сами формалисты оказались весьма разборчивыми. Почему же их интуиция должна быть пробным камнем? Почему в таком случае не применить интуиционистский подход целиком ко всей математике? Разумеется, высшим критерием допустимости того или иного метода в метаматематике должна быть его убедительность, но убедительность для кого?

Хотя формалисты могли ответить далеко не на все критические замечания, с начала 30-х годов у них появился весомый аргумент, существенно подкреплявший их позицию. К этому времени Рассел и его коллеги-логицисты признали, что аксиомы логики не являются универсальными истинами и поэтому их непротиворечивость отнюдь не гарантирована автоматически, а интуиционисты могли лишь утверждать, что надежной гарантией непротиворечивости служит сама интуиция. Между тем формалисты располагали тщательно продуманной процедурой доказательства непротиворечивости, которая с успехом применялась к простым системам; это вселяло в формалистов уверенность, что им удастся доказать непротиворечивость арифметики, а тем самым и всей математики. Однако мы на время оставим формалистов в этой сравнительно благоприятной для них позиции и обратимся к еще одному конкурирующему направлению в основаниях математики.

Представители этого направления, получившего название теоретико-множественного,сначала не формулировали в явном виде свою философию – и сторонников, и явно сформулированную программу это направление обрело позднее. Ныне теоретико-множественное направление по числу своих приверженцев успешно конкурирует с логицизмом, интуиционизмом и формализмом.

Истоки теоретико-множественного направления можно проследить в работах Дедекинда и Кантора. Хотя оба этих математика занимались главным образом изучением бесконечных множеств, они приступили к теоретико-множественному обоснованию обычных целых (натуральных) чисел, прекрасно понимая, что если бы им удалось обосновать целые числа, то тем самым была бы обоснована и вся математика (гл. VIII).

Когда обнаружились противоречия в канторовской теории множеств (трудности, связанные с понятиями наибольшего кардинального и наибольшего ординального числа) и противоречия типа парадоксов Рассела и Ришара, также имеющие непосредственное отношение к теории множеств, некоторые математики решили, что парадоксы обусловлены неформальным введением множеств. Кантор смело высказывал новые идеи, но его изложение далеко не соответствовало требованиям математической строгости. Он дал несколько словесных определений множества в 1884, 1887 и 1895 гг. Под множеством Кантор, по существу, понимал любой набор вполне определенных предметов, доступных нашей интуиции или мысли. Иначе говоря, по Кантору, множество определено, если относительно любого предмета xмы знаем, принадлежит он множеству или нет. Оба варианта определения множества не отличаются строгостью, и теорию множеств в том виде, как ее изложил Кантор, ныне нередко называют наивной. {131}131
  См., например, весьма популярный на Западе учебник [76] элементарной теории множеств, принадлежащий крупному математику и замечательному педагогу П. Халмошу, известному у нас по переводам ряда его книг и статей.


[Закрыть]По мнению представителей теоретико-множественного направления, тщательный выбор аксиоматической основы должен был избавить теорию множеств от парадоксов, подобно тому как аксиоматизация геометрии и системы чисел позволила разрешить все связанные с ними логические проблемы.

Хотя теория множеств была составной частью логистического направления в математике, представители теоретико-множественной школы предпочитали прямой аксиоматический подход к теории множеств. Аксиоматизацию теории множеств впервые предпринял Эрнест Цермело в работе 1908 г. Причину парадоксов он видел в том, что Кантор не уточнил понятие множества. Поэтому, как полагал Цермело, ясные и явно сформулированные аксиомы могли бы прояснить, что следует понимать под множеством и какими свойствами оно должно обладать. В частности, Цермело намеревался ограничить размеры допустимых множеств. Цермело не придерживался какой-либо последовательной философии, а лишь стремился избежать противоречий. Предложенная Цермело система аксиом оставляла неопределенными фундаментальные понятия множества и отношение включения одного множества в другое. Эти неопределяемые понятия и другие, заданные явными определениями, должны были удовлетворять утверждениям, содержащимся в аксиомах. Не допускалось использование никаких других свойств множеств, кроме тех, что перечислены в аксиомах. Аксиомы гарантировали существование бесконечных множеств и выполнимость таких операций, как объединение множеств и образование подмножеств. Цермело использовал также аксиому выбора.

Система аксиом Цермело была усовершенствована несколько лет спустя (1922) Абрагамом А. Френкелем (1891-1965). Цермело не проводил различия между свойством, задающим множество, и самим множеством. Эти понятия для Цермело были синонимичны. Различие между свойствами множества и множеством было введено Френкелем в 1922 г. Система аксиом, в наше время наиболее часто используемая специалистами по теории множеств, известна как система Цермело – Френкеля.Оба автора опирались на самую изощренную и стройную математическую логику, какая только существовала в их время, но не указывали явно логические принципы. Цермело и Френкель считали их лежащими за пределами математики и применяли столь же уверенно, как в XIX в. математики пользовались логикой.

Назовем некоторые из аксиом Цермело – Френкеля, взяв на себя смелость привести их в словесной формулировке.

1. Два множества тождественны, если они состоят из одних и тех же элементов. (Интуитивно это определяет множество.)

2. Существует пустое множество.

3. Если  xи  y– множества, то неупорядоченная пара {x, y}также множество.

4. Объединение любого множества множеств есть множество.

5. Существуют бесконечные множества. (Пятая аксиома делает допустимыми трансфинитные кардинальные числа. Это имеет решающее значение, поскольку не подлежит проверке опытом.)

6. Любое свойство, формализуемое на языке теории, может быть использовано для определения множества.

7. Допускается образование множества подмножеств любого множества, т.е. набор всех подмножеств данного множества есть множество. (Процесс образования множества подмножеств можно повторять любое число раз, т.е. рассматривать множество всех подмножеств любого данного множества как некое новое множество; множество подмножеств этого множества также является множеством и т.д).

8. Аксиома выбора.

9.  xне принадлежит x.

Нельзя не отметить одну замечательную особенность аксиом Цермело – Френкеля: они не допускают к рассмотрению множество, которое содержит все множества, и тем самым, возможно, позволяют избежать парадоксов. В то же время аксиомы Цермело – Френкеля вместе со следствиями из них адекватно отражают все понятия и теоремы теории множеств, необходимые для построения классического математического анализа. Построить теории натуральных чисел на основе теории множеств несложно. Кантор утверждал в 1885 г., что чистая математика сводится к теории множеств, и канторовская программа была осуществлена Расселом и Уайтхедом, хотя их подход к теории множеств отличался гораздо большей сложностью. А если воспользоваться методом координат, то из математики чисел (т.е. из арифметики) следует вся математика, включая геометрию. Тем самым теория множеств становится основанием всейматематики. {132}132
  Впоследствии Гёдель (1940) и Бернайс (1937) модифицировали систему Цермело – Френкеля, введя различие между множествами и классами. В 1925 г, Гёдель и Бернайс упростили вариант аксиоматики теории множеств, предложенный фон Нейманом. Множества могут принадлежать другим множествам. Все множества – классы, но не все классы – множества. Классы не могут принадлежать большим классам. Различие между множествами и классами означает, что чудовищно большим совокупностям элементов не разрешается принадлежать другим классам. Тем самым исключаются канторовские множества, приводящие к парадоксам. Любая теорема в системе Цермело – Френкеля является теоремой в системе Гёделя – Бернайса, и наоборот.
  Известно много вариантов аксиоматики теории множеств, но не существует критерия, который позволил бы отдать одному варианту предпочтение перед другим. [По поводу аксиоматики теории множеств см., например, [32]* и [78]-[80]. – Ред.]


[Закрыть]

Можно сказать, что надежда избежать противоречий в случае аксиоматизации теории множеств была основана на ограничении типов допустимых множеств, причем если налагаемые ограничения не слишком жестки, то система аксиом оказывается достаточной для обоснования математического анализа. Аксиомы теории множеств позволили до такой степени избежать парадоксов, что никому не удавалось получить их в рамках теории. Цермело заявил, что ни один парадокс не может возникнуть в аксиоматической теории множеств. Более поздние представители теоретико-множественного направления пребывали и продолжают пребывать в полной уверенности, что ни один парадокс не может быть выведен в теории, поскольку Цермело и Френкель тщательно построили иерархию множеств, исключив все неоднозначности, существовавшие в более ранних работах о множествах и их свойствах. К подобным заявлениям представителей теоретико-множественной школы никто из их идейных противников не относился всерьез. Пуанкаре не без сарказма заметил: «Мы возвели ограду вокруг стада, чтобы защитить его от волков, но нам не известно, нет ли волков внутри ограды».

Теоретико-множественное направление, как, впрочем, и все другие направления в основаниях математики, также не избежало критики. Многие считали недопустимым использование аксиомы выбора. Другие критики усматривали признак слабости теоретико-множественного направления в том, что его представители обходили молчанием вопрос о логических основах своей теории. Сама логика и ее отношение к математике явились предметом подробного обсуждения уже в первом десятилетии XX в. Представители же теоретико-множественного направления довольно небрежно обращались с логическими принципами. Их уверенность в непротиворечивости аксиоматической теории множеств считалась проявлением наивности (критики не без яда напоминали, что и Кантор был наивен до тех пор, пока не столкнулся с трудностями, гл. IX). Некоторые критики находили, что аксиомы теории множеств весьма произвольны и носят искусственный характер. Аксиомы Цермело – Френкеля предназначены для того, чтобы избежатьпарадоксов, но некоторые из этих аксиом неестественны или не основаны на интуитивных представлениях. Коль скоро представители теоретико-множественного направления принимают логические принципы как нечто очевидное, то почему бы не начать сарифметики, спрашивали критики.

Несмотря на все критические замечания, аксиоматика Цермело – Френкеля до сих пор используется некоторыми математиками как надежное основание для построения всей математики. Теория множеств Цермело – Френкеля – самая общая и фундаментальная теория, на которой и ныне строятся математический анализ и геометрия. Число приверженцев других направлений в основаниях математики возрастало по мере того, как их лидеры развивали и пропагандировали свои взгляды. Аналогичная история произошла и с теоретико-множественным подходом. Некоторые логицисты, например, Уиллард Ван Орман Куайн, выступили в поддержку теории множеств. В этой связи нельзя не упомянуть (нарушая хронологическую последовательность изложения) о группе известных и весьма уважаемых математиков, объединившихся под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки. В 1936 г. эта группа поставила перед собой задачу доказать во всех деталях то, в чем были глубоко убеждены многие математики: если принять аксиоматику теории множеств Цермело – Френкеля (в переработке Бернайса и Гёделя) и некоторые принципы логики, то на них можно построить всю математику. Но для бурбакистов логика подчинена аксиомам собственно математики. Логика не определяет ни того, что такое математика, ни того, чем занимаются математики.

Свои взгляды на логику бурбакисты выразили в статье, опубликованной в Journal of Symbolic Logic(1949): «Иначе говоря, логика, если говорить о математиках, представляет собой не больше и не меньше, как грамматику языка, которым мы пользуемся, языка, который должен был существовать еще до того, как могла быть построена грамматика». Последующее развитие математики может потребовать новых модификаций логики. Так случилось с введением бесконечных множеств и, как мы увидим при обсуждении нестандартного анализа (гл. XIII), будет происходить в дальнейшем. Школа Бурбаки отвергла Фреге, Рассела, Брауэра и Гильберта. Ее представители используют аксиому выбора и закон исключенного третьего, хотя выводят его с помощью приема, предложенного Гильбертом. Группу Бурбаки не заботит проблема непротиворечивости. По поводу нее бурбакисты утверждают: «Мы просто отмечаем, что все эти трудности могут быть преодолены способом, позволяющим избежать всех возражений и не оставляющим сомнений в правильности рассуждений». Противоречия возникали в прошлом, и каждый раз их удавалось успешно разрешить. То же будет происходить и впредь. «Вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в будущее спокойно» ([2], с. 30). Бурбаки выпустил около тридцати томов «Элементов математики», построенных на основе теоретико-множественного подхода. {133}133
  Французские оригиналы обширного трактата Н. Бурбаки Eléments de mathématiqueвыходили в выпускаемой парижским издательством «Герман» серии «Новости науки и техники» (Actualités scientifique et industrielle), состоящей из книг небольшого объема; русский перевод этого, пока еще не законченного сочинения состоит из меньшего (хотя все равно очень большого) числа объемистых томов. [Некоторые неувязки, допущенные при переводе сочинения Бурбаки на русский язык, выпускавшегося двумя разными издательствами (ИЛ – «Мир» и Гостехиздат – Физматгиз – «Наука») в течение длительного времени, привели к тому, что на русском языке отдельные книги этого трактата выходили под тремя разными названиями: «Элементы математики» (чаще всего), «Основы математики» и «Начала математики» (а выпущенные отдельным изданием исторические вставки в разные части сочинения (в оригинале – Eléments d'histoire des mathématiques) получили титул «Очерки по истории математики»). На наш взгляд, наиболее точным было бы название «Начала математики», ибо бесспорна связь наименования, данного группой Бурбаки своему сочинению, с «Началами» Евклида (по-французски L'Eléments).]


[Закрыть]

Итак, к тридцатым годам XX в. сложились четыре различных, так или иначе конфликтующих подхода к математике, и сторонники различных направлений, не будет преувеличением сказать, вели между собой ожесточенную борьбу. Никто не мог более утверждать, что такая-то и такая-то теорема доказана правильно: в 30-е годы непременно следовало пояснить, каким стандартам правильности удовлетворяет данное доказательство. Проблема непротиворечивости математики – основная проблема, стимулировавшая появление и развитие не одного нового подхода, – не ставилась совсем (исключение, быть может, составляют интунционисты, считавшие, что человеческая интуиция служит надежной гарантией непротиворечивости).

Та самая наука, которая в начале XIX в., несмотря на все зигзаги логического развития, была провозглашена совершеннейшей из наук, та самая наука, в которой теоремы доказывались с помощью неопровержимых, безупречных рассуждений, та самая наука, утверждения которой были не только неопровержимыми, но и считались истинами об окружающем нас мире и, по мнению некоторых, остались бы истинами в любом из возможных миров, не только отказалась от всяческих притязаний на истину, но и запятнала себя конфликтами между различными школами в основаниях и взаимоисключающими утверждениями о правильных принципах логики. Гордость человеческого разума была глубоко уязвлена.

Положение, сложившееся в 30-е годы, красочно описал математик Эрик Темпл Белл:

Как известно большинству математиков по собственному опыту, многое из того, что одно поколение математиков считает надежным и удовлетворительным, имеет шанс обратиться в тончайшую паутину под пристальным взором следующего поколения… Знания как в некотором смысле разумного общего соглашения по вопросам обоснования математики, по-видимому, не существует… Ясно одно: одинаково компетентные специалисты разошлись и продолжают расходиться во мнениях по поводу простейших рассуждений, хоть в малейшей степени явно или неявно претендующих на универсальность, общность или неоспоримость.

Что могла ожидать математика от будущего? Как мы увидим, будущее принесло множество новых, не менее серьезных проблем.